Toan kD co loi giai

[r]

SỞ GD VÀ ĐT PHÚ THỌ TRƯỜNG THPT THANH THUỶ

www.MATHVN.com

ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG ĐẠI HỌC LẦN II NĂM 2012 Môn: Toán – Khối B- D-T

( Thời gian 180 phút, không kể thời gian giao đề )

I.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I ( 2,0 điểm) Cho hàm số : y =

1

x x

+ − (C)

1.Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số

2.Tìm tất điểm M ∈(C) để tiếp tuyến M tạo với hai tiệm cận tam giác có chu vi nhỏ

Câu II ( 2,0 điểm)

1 Giải phương trình:

3

cos sin

2 cos cos sin

x x

x

x x

− =

+

2 Giải hệ phơng trình:

3

4 2

1

x y x xy x x y x y

 − + + =



− + =



Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân I =

(

)

2

3

2 sin cos sin cos

x x

dx

x x

π

− +

∫

Câu IV (1,0 điểm) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có AB = 1, CC’ = m (m > 0) Tìm m biết góc hai đường thẳng AB’ BC’ 600, tính khoảng cách hai đường thẳng AB’ CC’

Câu V (1,0 điểm) Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt: 10x2+ + =8x m

(

2x+1

)

x2+1

II.PHẦN RIÊNG ( 3,0 điểm)Thí sinh hai phần(phần A phần B) A.Theo chương trình chuẩn

Câu VI.a (2,0 điểm)

Trong mặt phẳng với hệ toạđộ Oxy, Cho đường tròn (C): x2 + y2 -2x – 2my + m2 – 24 = có tâm I đường thẳng (d): mx + 4y = Tìm m đểđường thẳng (d) cắt (C) hai điểm phân biệt A B cho diện tích tam giác IAB 12

Trong không gian với hệ toạđộ Oxyz , cho hai đường thẳng có phương trình :

(d1):

2

1

x− = y− = z

− ; (d2):

2

x t

y z t

= −

 

=



 =



.Viết phương trình mặt cầu có đường kính đoạn vng góc

chung (d1) (d2)

Câu VII.a (1,0 điểm) Giải phương trình: x

(

3log2x− >2

)

log2x−2

B.Theo chương trình nâng cao Câu VI.b (2,0 điểm)

1.Trong mặt phẳng với hệ toạđộ Oxy, Cho tam giác ABC có A(4; 6) , Phương trình đường cao CH trung tuyến CK là: 2x – y + 13 = 6x – 13y + 29 = Viết phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC

Trong không gian Oxyz, cho hình vng ABCD có A(5; 3; -1), C(2; 3; -4) Tìm toạ độ đỉnh D biết đỉnh B nằm mặt phẳng (P): x + y - z – =

Câu VII.b (1,0 điểm) Tìm phần thực số phức z = (1 + i)n ,biết n ∈N thoả mãn :

(

)

(

)

2

log n− +9 log n+ =6

ĐÁP ÁN ĐỀ KSCL ĐH KHỐI B – D - T NĂM 2012

Câu Nội dung Điểm

I 1.(1,0 điểm) Cho hàm số : y =

1

x x

+

− (C)

(2,0 điểm) * TXĐ: D = R\{ 1}

* Sự biến thiên:

- Giới hạn tiệm cận: lim lim

x→+∞y=x→−∞y= ; tiệm cận ngang: y =

1

lim ; lim

x→− y= −∞ x→+ y= +∞; ti

ệm cận đứng: x =

0,25

- Bảng biến thiên:

Ta có: ' 2

( 1)

y x

−

= <

− với x≠

x -∞ +∞

y’ - -

y +∞

-∞

Hàm số nghịch biến khoảng (-∞; 1) ( 1; +∞)

0,5

* Đồ thị

8

2

15 10 5 10 15

0,25

2 (1,0 điểm) Tìm tất điểm M ∈(C) để tiếp tuyến M tạo với hai tiệm

cận tam giác có chu vi nhỏ

G/s: M(x0; y0)

- Viết PTTT M, cắt tiệm cận A, B E giao hai tiệm cận

4

EAB

S∆ = ;AB2 = EA2 + EB2 ≥2EA.EB=16 nên AB ≥4;

EA+EB≥2 EA EB =4

Vậy chu vi nhỏ EA = EB ⇔x0= ±1 2⇒ y0 =?

II

1.(1,0 điểm) Giải phương trình:

3

cos sin

2 cos cos sin x x x x x − = +

(2,0 điểm)

Đk: cosx≥0, sinx≥0

Phương trình có dạng:

(

cos sin

)(

1 sin cos

) (

)(

)

cos sin cos sin cos sin

x x x x

x x x x

x x

− +

= − +

+

TH1: cosx – sinx = suy ra: x =

4 k π + π

Th2: sin cos+ x x=2 cos

(

x+sinx

)

( cosx+ sin )(*)x

VP(*) 2 2

2(sin x cos x)(sin x cos x)

≥ + + = ; VT(*)≤ + =1 2, dấu

không xảy ra⇒ vô nghiệm

0,25

0,25 0,25

0,25

2 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình:

3

4 2

1

x y x xy x x y x y

 − + + =



− + =



Đưa hệ dạng:

(

)

3

2 3

( )

1

x y x y x

x y x x y

 + − = −   − + =     

; Đặt u = x3y, v = x(y – x)

Giải hệđược

1 u x v y = = ±   ⇒   = − =   u v = −   =

 (vô nghiệm)

Vậy hệ phương trình có nghiệm:

0 x y = ±   =  0,25 0,5 0,25 III

Tính tích phân: I =

(

)

2

3

2 sin cos sin cos x x dx x x π − +

∫

(1,0 điểm) Đặt: x =

2

π – t, đổi cận: x = t =

2

π Kh x =

2

π t =

dx = -dt

⇒I =

(

)

(

)

2

3

0

2 cos sin cos sin sin cos sin cos

t t x x

dt dx

t t x x

π π − = − + +

∫

∫

⇒2I=

(

)

2 0

sin cos

tan

2

sin cos 2 cos 0

4

x x dx

dx x

x x x

π π π π π +   =  =  −  =   +  −   

∫

∫

I = 1/2

0,25

0,75

(1,0 điểm) -Kẻ BD//AB’nên:

(AB’,BC’) = (BD, BC’) = 600

0

' 60 or ' 120

DBC DBC

⇒ = =

*Nếu:

' 60

DBC = , lăng trụ

nên BB'⊥

(

A B C' ' '

)

ADĐL cosin

và định lý pitago ta có:

2

' 1; '

BD=BC = m + DC =

Kết hợp với

' 60

DBC = ta suy

'

DBC

∆ đó: m2 +1 =

2

m

⇒ = (tm)

Với

' 120

DBC = m = 0(loại)

*d(AB’,CC’)=d(CC’,(ABB’A’))

=d(C,(ABB’A’)=

2

C' A'

B

A

C

B' D

0,25

0,25

0,25

0,25

Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt:

(

)

10x +8x+ =4 m 2x+1 x +1

V

(1,0 điểm)

Phương trình tương đương với:

2

2

2

2

1

x x

m

x x

 +   + 

− + =

   

+ +

    ; Đặt t =

2 1

x x

 + 

 

+

 , − < ≤2 t

Rút m =

2

2t

t

+ lập bẳng biến thiên ta được: 12

4 ;

5

m m

< ≤ − < < −

0,5 0,5 VI a

(1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạđộ Oxy, Cho đường tròn (C): x2 + y2

-2x – 2my + m2 – 24 = có tâm I đường thẳng (d): mx + 4y =

Tìm m đểđường thẳng (d) cắt (C) hai điểm phân biệt A B

cho diện tích tam giác IAB 12

Đường trịn (C) có tâm I(1; m), BK :R = Gọi H trung điểm

dây cung AB nên IH đường cao tam giác IAB

Ta có IH = d(I, d) =

2

5 16

m m +

; AH =

2

20 16

m +

SIAB = 12 nên SIAH = nên d(I, d).AH = 12

Giải được: 3; 16

3

m= ± m= ±

0,25 0,25 0,25 0,25

2 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hai đường thẳng có phương trình : (d1):

2

1

x− = y− = z

− ; (d2):

2

x t

y z t

= −

 

=



 =



đường kính đoạn vng góc chung (d1) (d2)

G/s đoạn vng góc trung AB với A thuộc d1; B thuộc d2

Dễ tìm A 4; ; ;

(

2;3; 0

)

3 3 B

 

−

 

 

Vậy phương trình mặt cầu là:

2 2

11 13

6 6

x y z

     

− + − + + =

     

     

0,5

0,5

VII a Giải phương trình: x

(

3log2x− >2

)

log2x−2

(1,0 điểm) Đk: x >

(

)

(

)

3 log

BPT ⇔ x− x> x− (1) (x =3 không nghiệm)

TH1: x > BPT(1) 3log2

2

x x

x

−

⇔ >

− (2)

Với x > ta có: VT(2) > > VP(2) (đúng)

Với < x < ta có: VT(2) < 3; VP(2) > (vô nghiệm)

TH2: < x < 3, tương tự ta có < x <

Vậy bất phương trình có hai nghiệm x > 4; < x <

0,25 0,25 0,25

0,25

VI b 1.Trong mặt phẳng với hệ toạđộ Oxy, Cho tam giác ABC có A(4; 6) ,

Phương trình đường cao CH trung tuyến CK là: 2x – y

+ 13 = 6x – 13y + 29 = Viết phương trình đường trịn ngoại

tiếp tam giác ABC

(1,0 điểm) Tìm B(8; 4); C(-7; -1)

Giả sử pt đường tròn là: x2 + y2 + ax + by + c =

Thay tọa độ A, B, C ta hệ phương trình :

52

80

50

a b c

a b c

a b c

+ + + =

 

+ + + =



 − − + =



giải được: a = -4; b = 6; c = -72

Vậy phương trình đường trịn là:

x2 + y2 – 4x + 6y – 72 =0 hay (x -2 )2 + (y + 3)2 = 85

0,25 0,25

0,25

0,25 Trong khơng gian Oxyz, cho hình vng ABCD có A(5; 3; -1), C(2; 3; -4) Tìm

toạđộđỉnh D biết đỉnh B nằm mặt phẳng (P): x + y - z – =

(1,0 điểm) G s B x y z/ ( ;0 0; 0),do B∈( )P ⇒x0+ − − =y0 z0 0(1)

ABCD hình vng nên:∆ABC vng cân B

AB BC

AB BC

=



⇔

=



(

)(

) (

) (

)(

)

0

2

0 0 0

1 0(2)

5 (3)

x z

x x y z z

+ − =



⇔

− − + − + + + =



Từ (1), (2) (3) ta có: N(2; 3; -1); N(3; 1; -2)

0,25 0,25 0,25 0,25

VII b Tìm phần thực số phức z = (1 + i)n ,biết n ∈N thoả mãn :

(

)

(

)

2

(1,0 điểm) Giải pt: log2

(

n− +9

)

log2

(

n+ =6

)

ta n = 10

Đưa z dạng: z =

10

10 10 10 10

2 cos sin cos sin

3 i 3 i

π π π π

   

+ = + = −

   

   

0,5 0,5