Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M, song song với đường thẳng D, đồng thời khoảng cách d giữa đường thẳng D và mặt phẳng (P) bằng 4... Viết phương trình mặt phẳng (P) đ[r]
(1)TĐKG 01: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng cách xác định vectơ pháp tuyến
Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2;4;1), B(–1;1;3) mặt phẳng (P): x–3y+2 –5 0z = Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua hai điểm A, B vng góc với mặt phẳng (P)
· (Q) qua A, B vng góc với (P) Þ (Q) có VTPT nr=ëén ABrP,uuurùû=(0; 8; 12) 0- - ạr ị ( ) : 2Q y+3 11 0z- =
Câu hỏi tương tự:
a) Với A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), ( ) :P x+2y+3z+ =3 0 ĐS: ( ) :Q x-2y z+ - =2 Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm
A(2;1;3), (1; 2;1)B - song song với đường thẳng
x t
d y t
z t
1
:
3 ì = - + ï = í
ï = -ỵ
· Ta có BAuur=(1;3;2), d có VTCP ur=(1;2; 2)-
Gọi nr VTPT (P) Þ n BA n u ì ^ í ^ î
uur r
r r Þ chọn nr=éëBA uuur,rùû= -( 10;4; 1) -Þ Phương trình (P): 10x-4y z+ -19 0=
Câu Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng ( )d1 ( )d2 có phương trình:
x y z
d1 1
( );
2
- +
-= = , ( ) :d2 x y z
6
- -
-= = Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa (d1) ( )d2
· Chứng tỏ (d1) // (d2) (P): x + y – 5z +10 =
Câu Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình: x2+y2+z2-2x+6y-4z- =2 Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với giá véc tơ vr=(1;6;2), vng góc với mặt phẳng( ) :a x+4y z+ -11 0= tiếp xúc với (S) · (S) có tâm I(1; –3; 2) bán kính R = VTPT ( )a nr=(1;4;1)
Þ VTPT (P) là: nrP =[ ]n vr r, =(2; 1;2)- Þ PT (P) có dạng: 2x y- +2z m+ =0 Vì (P) tiếp xúc với (S) nên d I P( ,( )) 4= Û ê =é = -mm 321
ë
Vậy: (P): 2x y- +2z+ =3 0 (P): 2x y- +2z-21 0=
Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1; –1; 1) hai đường thẳng
x y z
d1
( ) :
1
+
= =
- -
x y z
d2
( ) :
1
-
-= = Chứng minh điểm M d d, ,1 2 nằm mặt phẳng Viết phương trình mặt phẳng
· d1 qua M1(0; 1;0)- có ur1=(1; 2; 3)- - , d2 qua M2(0;1;4) có ur2 =(1;2;5) u u1 2; ( 4; 8;4)
é ù = - - ¹
ër r û r, M M1 =(0;2;4) uuuuuur
(2)Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến mặt cầu
Câu Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d: x y z
2
- = - =
mặt cầu (S): x2+y2+z2-2x-2y-4z+ =2 Lập phương trình mặt phẳng (P) song song với d trục Ox, đồng thời tiếp xúc với mặt cầu (S)
· (S) có tâm I(1; 1; 2), bán kính R = d có VTCP ur=(2;2;1)
(P) // d, Ox Þ (P) có VTPT nr r=[ ]u i,r =(0;1; 2)- Þ PT (P) có dạng: y-2z D+ =0 (P) tiếp xúc với (S) Û d I P( ,( ))=R Û D
2
1 2
1 - + =
+ Û D- =3 5 Û D D
3 5 é = + ê
= -ë
Þ (P): y-2z+ +3 0= hoặc (P): y-2z+ -3 0=
Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x2+y2+z2+2x-4y- =4 mặt phẳng (P):x z+ - =3 Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua điểm M(3;1; 1) -vng góc với mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S)
· (S) có tâm I(–1; 2; 0) bán kính R = 3; (P) có VTPT nrP =(1;0;1)
PT (Q) qua M có dạng: A x( - +3) B y( - +1) C z( 1) 0,+ = A2+B2+C2¹0 (Q) tiếp xúc với (S) Û d I Q( ,( ))= Û -R 4A B C+ + =3 A2+B2+C2 (*)
Q P
Q P n n A C C A
( ) ( )^ Û r r = Û + = Û = -0 (**)
Từ (*), (**) Þ B-5A =3 2A2+B2 Û8B2-7A2+10AB=0 Û A=2B Ú 7A= -4B · Với A=2B Chọn B = 1, A = 2, C = –2 Þ PT (Q): 2x y+ -2z- =9
· Với 7A= -4B Chọn B = –7, A = 4, C = –4 Þ PT (Q): 4x-7y-4z- =9 Câu hỏi tương tự:
a) Với ( ) :S x2+y2+z2-2x+4y-4z+ =5 0, ( ) : 2P x y+ -6z+ =5 0, (1;1;2)M ĐS: ( ) : 2Q x+2y z+ - =6 0 ( ) :11Q x-10y+2z- =5 0 Câu Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu (S): x2+y2+z2–2x+4y+2 –3 0z =
Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Ox cắt mặt cầu (S) theo đường trịn có bán kính r=3
· (S) có tâm I(1; –2; –1), bán kính R = (P) chứa Ox Þ (P): ay + bz = Mặt khác đường trịn thiết diện có bán kính (P) qua tâm I Suy ra: –2a – b = Ûb = 2a (aạ0) ị (P): y 2z =
Câu Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu (S): x2+y2+z2+2x-2y+2 –1 0z = đường thẳng d:ì - - =í2x yx z 06 0
- - =
ỵ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d cắt mặt cầu (S) theo đường trịn có bán kính r =1
· (S) có tâm I( 1;1; 1)- - , bán kính R =
(3)Ta có:
M P
N P
d I P R2 r2 ( )
( ) ( ,( )) ì Ỵ ï Ỵ í
ï =
-ỵ
Û é =ê17a b ca= -,27 ,2b c= - +(a b d= - +(),a b d= - -),3a b= - -3a b (1)(2) ë
+ Với (1) Þ (P): x y z+ - - =4 + Với (2) Þ (P): 7x-17y+5z- =4
Câu 10 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng 1: x y z
2 1
D = - = - ,
x y z
2: 11 1 1
D - = =
- - mặt cầu (S): x y z x y z
2+ 2+ 2–2 +2 +4 –3 0= Viết phương trình tiếp diện mặt cầu (S), biết tiếp diện song song với hai đường thẳng D1 D1
· (P): y z+ + +3 0= (P): y z+ + -3 0=
Câu 11 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình x2+y2+z2-2x+4y-6 11 0z- = mặt phẳng (a) có phương trình 2x + 2y – z + 17 = Viết phương trình mặt phẳng (b) song song với (a) cắt (S) theo giao tuyến đường trịn có chu vi p=6p
· Do (b) // (a) nên (b) có phương trình 2x + 2y – z + D = (D¹17)
(S) có tâm I(1; –2; 3), bán kính R = Đường trịn có chu vi 6p nên có bán kính r = Khoảng cách từ I tới (b) h = R2-r2 = 52-32 =4
Do đĩ D D DD (loại)
2 2
2.1 2( 2) 7
4 12 17
2 ( 1)
+ - - + é =
-= Û - + = Û ê = ë + +
-Vậy (b) có phương trình 2x+2 – – 0y z = Câu hỏi tương tự:
(4)Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến khoảng cách
Câu 12 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua O, vng góc với mặt phẳng (Q): x y z+ + =0 cách điểm M(1; 2; –1) khoảng · PT mặt phẳng (P) qua O nên có dạng: Ax By Cz+ + =0 (với A2+B2+C2 ¹0) · Vì (P) ^ (Q) nên: 1.A+1.B+1.C =0 Û C= - -A B (1)
· d M P( ,( ))= 2 Û A B C A2 B2 C2
2 2
+ - =
+ + Û A B C A B C
2 2
( +2 - ) =2( + + ) (2) Từ (1) (2) ta được: 8AB+5B2=0 Û B
A B (3)
8 (4) é =
ê + = ë
· Từ (3): B = Þ C = –A Chọn A = 1, C = –1 Þ (P): x z- =0
· Từ (4): 8A + 5B = Chọn A = 5, B = –8 Þ C = Þ (P): 5x-8y+3z=0
Câu 13 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng D : x y z
1
- = - = điểm M(0; –2; 0) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M, song song với đường thẳng D, đồng thời khoảng cách d đường thẳng D mặt phẳng (P)
· Phương trình mp (P) qua M(0; –2; 0) có dạng: ax by cz+ + +2b=0 (a2+b2+c2¹0) D qua điểm A(1; 3; 0) có VTCP ur =(1;1;4)
Ta có:
a b c
P a b
d A P d
a2 b2 c2
( ) 5
4 ( ;( ))
ì + + = ï
ìD Û +
í = í =
ỵ ï
+ + ỵ
P Û a c
a 42c ì = í =
-ỵ
· Với a=4c Chọn a=4,c= Þ = -1 b 8Þ Phương trình (P): 4x-8y z+ -16 0= · Với a= -2c Chọn a=2,c= - Þ =1 b Þ Phương trình (P): 2x+2y z- + =4 0 Câu hỏi tương tự:
a) Với :x y z 1; (0;3; 2),M d 1
D = = - - =
ĐS: ( ) : 2P x+2y z- - =8 0 ( ) : 4P x-8y z+ +26 0=
Câu 14 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng
x t
d y t
z
( ) : ì = ï = - + í
ï = ỵ
điểm A( 1;2;3)- Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) cho khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P)
· (d) qua điểm M(0; 1;1)- có VTCT ur =(1;2;0) Gọi nr =( ; ; )a b c với a2+b2+c2 ¹0 là VTPT (P)
PT mặt phẳng (P): a x( - +0) b y( + +1) c z( 1) 0- = Ûax by cz b c+ + + - =0 (1) Do (P) chứa (d) nên: u nr r = Û +0 a 2b= Û = -0 a 2b (2)
( ) a b c b c
d A P b c b c
a b c b c
2
2 2 2
3
,( ) 3 5
5
- + + +
= Û = Û = Û + = +
+ + +
( )
b2 bc c2 b c c b
4 2
Û - + = Û - = Û = (3)
(5)Câu 15 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M( 1;1;0), (0;0; 2), (1;1;1)- N - I Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A B, đồng thời khoảng cách từ I đến (P) · PT mặt phẳng (P) có dạng: ax by cz d+ + + =0 (a2+b2+c2¹0)
Ta có:
M P
N P
d I P ( ) ( ) ( ,( )) ì Ỵ
ï Ỵ í
ï =
ỵ
Û êé = -5aa=7 ,2b c a b d a bb c a b d a b,2 = -= -,, = -= - (1)(2)
ë
+ Với (1) Þ PT mặt phẳng (P): x y z- + + =2 + Với (2) Þ PT mặt phẳng (P): 7x+5y z+ + =2 0
Câu 16 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(1; 1;2)- , B(1;3;0), C( 3;4;1)- , D(1;2;1) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, B cho khoảng cách từ C đến (P) khoảng cách từ D đến (P)
· PT mặt phẳng (P) có dạng: ax by cz d+ + + =0 (a2+b2+c2 ¹0) Ta có:
A P
B P
d C P d D P
( ) ( )
( ,( )) ( ,( )) ì Ỵ
ï Ỵ í
ï =
ỵ
Û a ba b dc d
b c d a b c d
a2 b2 c2 a2 b2 c2
2
3
3a
ì - + + = ï + + = ï
í - + + + = + + + ï
ï + + + +
ỵ
Û é =ê =cb 2 ,2 ,a b a da c==4 ,a d, = -= -4a7a ë
+ Với b=2 ,a c=4 ,a d= -7a Þ (P): x+2y+4z- =7 0 + Với c=2 ,a b a d= , = -4a Þ (P): x y+ +2z- =4 0 Câu hỏi tương tự:
a) Với A(1;2;1), ( 2;1;3), (2; 1;1), (0;3;1)B - C - D
ĐS: ( ) : 4P x+2y+7 15 0z- = ( ) : 2P x+3z- =5 0
Câu 17 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;2;3), B(0; 1;2)- , C(1;1;1) Viết phương trình mặt phẳng ( )P qua A gốc tọa độ O cho khoảng cách từ B đến ( )P khoảng cách từ C đến ( )P
· Vì O Ỵ (P) nên ( ) :P ax by cz+ + =0, vi a2+b2+c2 ạ0
Do A ẻ (P) Þ a+2b+3c=0 (1) d B P( ,( ))=d C P( ,( ))Û - +b 2c = + +a b c (2) Từ (1) (2) Þ b=0 c=0
· Với b=0thì a= -3c Þ ( ) : 3P x z- =0 · Với c=0 a= -2b Þ ( ) : 2P x y- =0 Câu hỏi tương tự:
a) Với A(1;2;0), (0;4;0), (0;0;3)B C ĐS: -6x+3y+4z=0 6x-3y+4z=0 Câu 18 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;1; 1)- , B(1;1;2),
C( 1;2; 2)- - mặt phẳng (P): x-2y+2 0z+ = Viết phương trình mặt phẳng ( )a qua A, vng góc với mặt phẳng (P), cắt đường thẳng BC I cho IB=2IC
· PT ( )a có dạng: ax by cz d+ + + =0, với a2+b2+c2¹0
Do A(1;1; 1) ( )- Ỵ a nên: a b c d+ - + =0 (1); ( ) ( )a ^ P nên a-2b+2c=0 (2) IB=2ICÞ d B( ,( )) ( ;( ))a = d C a Þ a b c d a b c d
a2 b2 c2 a2 b2 c2
2 2
2
+ + + - + - +
=
(6)a b c d
a b c d
3 (3)
5 é - + - = Û ê- + - + =ë
Từ (1), (2), (3) ta có trường hợp sau : TH1 :
a b c d
a b c b a c a d a
a b c d
0 1 3
2 ; ;
2
3
ì + - + = -
-ï - + = Û = = - =
í
ï - + - = ỵ
Chọn a= Þ = -2 b 1;c= -2;d= -3 Þ ( )a : 2x y- -2z- =3 TH2 :
a b c d
a b c b a c a d a
a b c d
0 3 3
2 ; ;
2
5
ì + - + =
-ï - + = Û = = =
í
ï- + - + = ỵ
Chọn a= Þ =2 b 3;c=2;d = -3Þ ( )a : 2x+3y+2z- =3 Vậy: ( )a : 2x y- -2z- =3 0hoặc ( )a : 2x+3y+2z- =3
Câu 19 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng d d1 2, có phương trình d1:x y z
2
- -
-= = , d2: x y z
2
- -
-= =
- Viết phương trình mặt phẳng cách hai đường thẳng d d1 2,
· Ta có d1 qua A(2;2;3) , có urd1=(2;1;3), d2 qua B(1;2;1) có urd2 =(2; 1;4)- Do (P) cách d d1 2, nên (P) song song với d d1 2, Þ nrP =éëu ur rd1, d2ùû=(7; 2; 4) -Þ PT mặt phẳng (P) có dạng: 7x-2y-4z d+ =0
Do (P) cách d d1 2, suy d A P( ,( ))=d B P( ,( )) Û 7.2 2.2 4.3 d 7.1 2.2 4.1 d
69 69
- - + - - +
= d d d
2 Û - = - Û = Þ Phương trình mặt phẳng (P): 14x-4y-8z+ =3
Câu 20 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng d d1 2, có phương trình
x t
d y t
z
1 : ì = + ï = -í ï = ỵ
, d2: x y z
1 2
- - +
= =
- Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với d1 d2, cho khoảng cách từ d1 đến (P) gấp hai lần khoảng cách từ d2 đến (P) · Ta có : d1 qua A(1;2;1) có VTCP ur1=(1; 1;0)
d2 qua B(2;1; 1)- có VTCP ur2 =(1; 2;2)
-Gọi nr VTPT (P), (P) song song với d1 d2 nên nr=éëu ur r1 2, ùû= - - -( 2; 2; 1) Þ Phương trìnht (P): 2x+2y z m+ + =0
m d d P( ,( ))1 d A P( ;( ))
3 +
= = ; d d P( ,( )) ( ,( ))2 d B P m +
= =
d d P( ,( )) ( ,( ))1 = d d P2 Û +7 m =2 5+m Û ê + = - +é + =77 mm 2(52(5+mm))
ë m m
17 3;
3 Û = - = -+ Với m= -3Þ ( ) : 2P x+2y z+ –3 0= + Với m 17
3
(7)Câu 21 Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A(0; 1;2)- , B(1;0;3) tiếp xúc với mặt cầu (S): (x-1)2+ -(y 2)2+ +( 1)z =2
· (S) có tâm I(1;2; 1)- , bán kính R= 2
PT mặt phẳng (P) có dạng: ax by cz d+ + + =0 (a2+b2+c2 ¹0) Ta có:
A P
B P
d I P R
( ) ( ) ( ,( )) ì Ỵ ï
ẻ
ù =
ợ
é = -êa3a= -b c8 ,,b c= - -= - -a b da b d, ,=2=a2+a3+b3b (2)(1) ë
+ Với (1) Þ Phương trình (P): x y- - =1
+ Với (2) Þ Phương trình (P): 8x-3y-5z+ =7
Câu 22 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2; 1;1)- Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A cách gốc tọa độ O khoảng lớn
· Ta có d O P( ,( ))£OA Do d O P( ,( ))max =OA xảy ÛOA^( )P nên mặt phẳng (P) cần tìm mặt phẳng qua A vng góc với OA Ta có OAuuur=(2; 1;1)
-Vậy phương trình mặt phẳng (P): 2x y z- + - =6 0
Câu 23 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(10; 2; –1) đường thẳng d có phương trình: x y z
2
- = =
- Lập phương trình mặt phẳng (P) qua A, song song với d khoảng cách từ d tới (P) lớn
· Gọi H hình chiếu A d Þ d(d, (P)) = d(H, (P)) Giả sử điểm I hình chiếu H lên (P), ta có AH HI³ Þ HI lớn A Iº Vậy (P) cần tìm mặt phẳng qua A và nhận uuurAH làm VTPT Þ (P): 7x y+ -5z-77 0=
Câu 24 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (d) có phương trình tham số {x= - +2 ;t y= -2 ;t z= +2 2t Gọi D đường thẳng qua điểm A(4;0;–1) song song với (d) I(–2;0;2) hình chiếu vng góc A (d) Viết phương trình mặt phẳng chứa D có khoảng cách đến (d) lớn
· Gọi (P) mặt phẳng chứa D, ( ) ( )P P d ( ) ( )P É d Gọi H hình chiếu vng góc I (P) Ta ln có IH IA£ IH ^AH
Mặt khác ìí Ỵd d PH( ,( ))( )P =d I P( ,( ))=IH ỵ
Trong (P), IH IA£ ; maxIH = IAÛH Aº Lúc (P) vị trí (P0) ^ IA A Vectơ pháp tuyến (P0) n IAr uur= =(6;0; 3- ), phương với rv=(2;0; 1- ) Phương trình mặt phẳng (P0) là: 2(x- -4) 1.( 1) 2z+ = x z- - =9 0
Câu 25 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:x y z
2
- = =
điểm A(2;5;3) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d cho khoảng cách từ A đến (P) lớn
(8)Vì (P) É d nờn ỡ ẻớn uM. =( )P0 ợr r ị
a c d
a b2 c
2
ì + + = í + + =
ợ ị
c a b
d a b (2 ) ì = - + í = +
ỵ Xét trường hợp:
TH1: Nếu b = (P): x z- + =1 0 Khi đó: d A P( ,( )) 0=
TH2: Nếu b ¹ Chọn b=1 ta (P): 2ax+2y-(2a+1)z+2a+ =2 0 Khi đó: d A P
a a
a
2
9
( ,( ))
8 1 3
2
2
= = £
+ + ỉ ư
+ +
ỗ ữ
ố ứ
Vy max ( ,( )) 2d A P = Û 2a a
2
+ = Û = - Khi đó: (P): x-4y z+ - =3 0 Câu hỏi tương tự:
a) d: x y z 2, (5;1;6)A
2
- +
-= = ĐS: ( ) : 2P x y z+ - + =1 b) d: x y z, (1;4;2)A
1
- = + =
- ĐS: ( ) : 5P x+13y-4z+21 0= Câu 26 Trong không gian toạ độ Oxyz, cho hai điểm M(0; 1;2)- N( 1;1;3)- Viết phương
trình mặt phẳng (P) qua M, N cho khoảng cách từ điểmK(0;0;2) đến mặt phẳng (P) lớn
· PT (P) có dạng: Ax B y+ ( + +1) C z( -2) 0= Û Ax By Cz B+ + + -2C=0
(A2+B2+C2¹0)
N( 1;1;3) ( )- Ỵ P Û - + +A B 3C B+ -2C= Û =0 A 2B C+
P B C x By Cz B C
( ) : (2 )
Þ + + + + - = ; d K P
B C BC
B ( ,( ))
2
4
=
+ +
· Nếu B = d(K, (P)) = (loại) · Nếu B¹0thì d K P B
B C BC C
B
2 2
1
( ,( ))
2
4
2
= = £
+ + ỉ ư
+ +
ỗ ữ
ố ứ
(9)Dng 4: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến góc
Câu 27 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (a) chứa đường thẳng ():
x y z
1
- = =
- - tạo với mặt phẳng (P) : 2x-2y z- + =1 góc 60
0 Tìm tọa độ giao
điểm M mặt phẳng (a) với trục Oz
· () qua điểm A(1;0;0) có VTCP ur=(1; 1; 2)- - (P) có VTPT nr¢ = - -(2; 2; 1) Giao điểm M(0;0; )m cho uuuurAM = -( 1;0; )m (a) có VTPT nr =éëuuur urAM u, ùû=( ;m m-2;1) (a) (P): 2x-2y z- + =1 0 tạo thành góc 600 nên :
( )n n m m
m m
2
1 1
cos ,
2 2 4 5
¢ = Û = Û - + =
- +
r r Û m= -2 2 hay m= +2 2
Kết luận : M(0;0;2- 2) hay M(0;0;2+ 2)
Câu 28 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua giao tuyến d hai mặt phẳng ( ) : – –1 0a x y = , ( ) : –b x z=0 tạo với mặt phẳng
Q x y z
( ) : –2 +2 –1 0= góc j mà cos 2 j =
· Ly A(0;1;0), (1;3;2)B ẻd (P) qua A ị PT (P) có dạng: Ax By Cz B+ + – =0 (P) qua B nên: A+3B+2 –C B=0 Þ A= -(2B+2 )C
Þ ( ) : (2P - B+2 )C x By Cz B+ + – =0
B C B C
B C B2 C2
2 2 2 2
cos
9 (2 )
j = - - - + =
+ + + Û B BC C
2
13 +8 –5 =0
Chọn C B 1; B 13 = Þ = =
+ Với B C= =1 Þ ( ) : 4P - x y z+ + –1 0= + Với B , 1C
13
= = Þ ( ) : 23P - x+5y+13 –5 0z =
Câu 29 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A( 1;2; 3), (2; 1; 6)- - B - - mặt phẳng ( ) :P x+2y z+ - =3 Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa AB tạo với mặt phẳng (P) góc a thoả mãn cos
6 a =
· PT mặt phẳng (Q) có dạng: ax by cz d+ + + =0 (a2+b2+c2¹0) Ta có:
A Q B ( )( )Q
3 cos
6 a ì Ỵ ï Ỵ ï í
ï =
ïỵ
Û a bb c dc d
a b c
a2 b2 c2
2
2a
2
6 ì- + - + = ï - - + = ï
í + +
ï =
ï + + + +
ỵ
Û ê = -é = -aa ,b cb c, == -0,d3 ,b d= -b= -15b ë
Þ Phương trình mp(Q): 4x y- +3 15 0z+ = (Q): x y- - =3 0 Câu hỏi tương tự:
a) A(0;0;1), (1;1;0)B , ( ) (P Oxy),cos a
º =
(10)Câu 30 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:ì + + - =í2x y zx y z 04 0 + + - =
ỵ Viết
phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d tạo với mặt phẳng (Oxy) góc
60 a =
· ĐS: ( ) : 2P x y z+ + - 2 0- = ( ) : 2P x y z- - - 2 0+ =
Câu 31 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng ( ) : 5P x-2y+5 0z- =
Q x y z
( ) : -4 -8 12 0+ = Lập phương trình mặt phẳng ( )R qua điểm M trùng với gốc tọa độ O, vng góc với mặt phẳng (P) tạo với mặt phẳng (Q) góc a =450
· Giả sử PT mặt phẳng (R): ax by cz d+ + + =0 (a2+b2+c2 ¹0) Ta có: ( ) ( )R ^ P Û5a-2b+5c=0 (1);
·R Q a b c
a b c
0
2 2
4
cos(( ),( )) cos45
2
-
-= Û =
+ + (2)
Từ (1) (2) Þ 7a2+6ac c- 2= Û ê =0 é = -ac 7ac ë
· Với a= -c: chọn a=1,b=0,c= -1 Þ PT mặt phẳng ( ) :R x z- =0
· Với c=7a: chọn a=1,b=20,c=7 Þ PT mặt phẳng ( ) :R x+20y+7z=0 Câu hỏi tương tự:
a) Với ( ) :P x y- -2z=0,( ) (Q º Oyz M), (2; 3;1),- a =450
ĐS: ( ) :R x y+ + =1 0 ( ) : 5R x-3y+4z-23 0=
Câu 32 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng có phương trình:
x y z
1: 11 11 31 D - = + =
x y z
2:1 2 1
D = =
- Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa D1 tạo với D2 góc a =300
· Đáp số: (P):5x+11y+2z+ =4 0 (P): 2x y z- - - =2 0 Câu hỏi tương tự:
a) Với 1:x y z
1 1
D = - = - ,
x y z
2: 22 13 15 D - = - = +
- ,
0 30 =
a
ĐS: (P): x-2y-2z+ =2 0 (P): x+2y z+ - =4 b) 1: x y z
2 1
D - = = +
- ,
x y z
2:1 12 11 D = - = +
- ,
0 30 =
a
ĐS: (P): (18+ 114)x+21y+(15 114)+ z- -(3 114) 0= hoặc (P): (18- 114)x+21y+(15 114)- z- +(3 114) 0=
Câu 33 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M(1;2;3) tạo với trục Ox, Oy góc tương ứng 45 , 300
· Gọi nr =( ; ; )a b c VTPT (P) Các VTCP trục Ox, Oy ir =(1;0;0),rj =(0;1;0)
Ta có: Ox P Oy P
2 sin( ,( ))
2 sin( ,( ))
2 ì
= ïï
í
ï =
ïỵ
Û a b
(11)PT mặt phẳng (P): 2(x- + - ± - =1) (y 2) (z 3) 0 - 2(x- + - ± - =1) (y 2) (z 3) Câu 34 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q): x+2y z- + =5 đường
thẳng d: x y z
2 1
+ = + =
- Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d tạo với mặt phẳng (Q) góc nhỏ
· PT mặt phẳng (P) có dạng: ax by cz d+ + + =0 (a2+b2+c2¹0) Gọi a =(( ),( ))·P Q Chọn hai điểm M( 1; 1;3), (1;0;4)- - N ẻd Ta cú: ỡớMN ẻ( )( )PP ịỡớcd= - -7a ba 4b
ẻ = +
ợ î
Þ (P): ax by+ + - -( 2a b z) +7a+4b=0 Þ a b a2 ab b2
cos
6 5 4 2
a = +
+ +
TH1: Nếu a = b
b2
3
cos
2 2
a = = ị a =300
TH2: Nu a
b a
b b
a a
2
3
cos
6
5
a = +
ổ + + ỗ ữ ố ứ
Đặt x b a
= f x( ) cos= 2a
Xét hàm số f x x x
x x
2
2
9
( )
6 + + =
+ +
Dựa vào BBT, ta thấy min ( ) 0f x = Ûcosa = Û =0 a 900 >300
Do có trường hợp thoả mãn, tức a = Khi chọn b=1,c=1,d =4 Vậy: (P): y z- + =4 0
Câu hỏi tương tự:
a) Với (Q): x+2y+2 –3 0z = , d:x y z
1
- = + =
- ĐS: ( ) :P x+2y+ + =5 0z b) Với ( ) (Q Oxy d), : x y z
1
- +
º = =
- ĐS: ( ) :P x y z- + - =3 0 c) Với ( ) : 2Q x y z- - - =2 0,
x t
d y t
z t
:
2 ì = -ï = - + í
ï = + ỵ
ĐS: ( ) :P x y z+ + - =3 0
Câu 35 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm M( 1; 1;3), (1;0;4)- - N mặt phẳng (Q): x+2y z- + =5 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M, N tạo với (Q) góc nhỏ
· ĐS: ( ) :P y z- + =4 0 Câu hỏi tương tự:
a) M(1;2; 1), ( 1;1;2),( ) (- N - Q º Oxy) ĐS: ( ) : 6P x+3y+5z- =7 0
Câu 36 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
x t
d y t
z t
1
:
2 ì = -ï
= - + í
ï = ỵ
Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d tạo với trục Oy góc lớn
(12)Chọn hai điểm M(1; 2;0), (0; 1;2)- N - Ỵd Ta có: ìíMN Ỵ( )( )PP Þìíd2c a b= -a 2b
Ỵ = - +
ợ ợ
ị (P): ax by a bz a 2b
-+ + - + = Þ b
a2 b2 ab
sin
5
a =
+ - TH1: Nếu b = a =00
TH2: Nếu b ¹
a a
b b
2 sin
5
a =
ổ + -ỗ ÷ è ø
Đặt x a b
= f x( ) sin= 2a
Xét hàm số f x
x2 x ( )
5
=
- + Dựa vào BBT, ta f x x
5
max ( )
6
= Û = Þ a >00 Vậy a lớn a
b
= Chọn a=1,b=5,c= -2,d=9 Þ(P): x+5y-2z+ =9 0
Câu 37 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: x y z
1
- = + =
-
x y z
d2:
2
+ = - =
- Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d1 cho góc mặt phẳng (P) đường thẳng d2 lớn
· d1 qua M(1; 2;0)- có VTCP ur=(1;2; 1)- .Vì d1Ì( )P nên MỴ( )P PT mặt phẳng (P) có dạng: A x( - +1) B y( + +2) Cz=0 (A2+B2+C2 ¹0) Ta có: dÌ( )P Ûu nr r = Û = +0 C A 2B
Gọi a =(( ), )·P d2 Þ A B A B
A AB B
A AB B
2
2
2
4 (4 )
sin
3
3
+ +
= =
+ +
+ +
a TH1: Với B = sin 2
3 = a TH2: Với B ¹ Đặt t A
B
= , ta được: sin t
t t
2 1. (4 3)
+ =
+ + a
Xét hàm số f t t
t t
2 (4 3) ( )
2 + =
+ + Dựa vào BBT ta có: f t 25 max ( )
7
= t= -7 Û AB = -7 Khi sin f( 7)
9 = - =
a
So sánh TH1 TH2 Þa lớn với sin =
a A
B = -7 Þ Phương trình mặt phẳng (P) : 7x y- + - =5 z
Câu 38 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:x y z
1 1
+ = - = +
- điểm A(2; 1;0)- Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, song song với d tạo với mặt phẳng (Oxy) góc nhỏ
(13)Câu 39 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q): 2x y z- + + =2 điểm A(1;1; 1)- Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A, vng góc với mặt phẳng (Q) tạo với trục Oy góc lớn
· ĐS: ( ) :P y z+ =0 ( ) : 2P x+5y z+ - =6 0
Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến tam giác
Câu 40 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(4; 5; 6) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, cắt trục tọa độ I, J, K mà A trực tâm tam giác IJK
· Gọi I(a;0;0), J(0;b;0), K(0;0;c) Þ P x y z a b c ( ) : + + =1
IA a JA b
JK b c IK a c
(4 ;5;6), (4;5 ;6) (0; ; ), ( ;0; )
= - =
-= - =
-uur uur
uur uur Þ a b cb c
a c
4 6 ì
+ + = ïï
í- + = ï
- + = ùợ
ị a 77;b 77;c 77
4
= = =
Vậy phương trình mặt phẳng (P): 4x+5y+6z-77 0= Câu hỏi tương tự:
a) Với A(–1; 1; 1) ĐS: (P): x y z- - + =3
Câu 41 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho A(2; 0; 0) M(1; 1; 1) Mặt phẳng (P) thay đổi qua AM cắt trục Ox, Oy B(0; b; 0), C(0; 0; c) (b > 0, c > 0) Chứng minh rằng: b c bc
2
+ = Từ đó, tìm b, c để diện tích tam giác ABC nhỏ · PT mp (P) có dạng: x y z
b c
2 + + = Vì MỴ( )P nên 1 1 12+ + =b c Û
bc b c
2 + = Ta có uuurAB( 2; ;0)- b , uuurAC( 2;0; ).- c Khi S= b2+c2+ +(b c)2
Vì b2+c2 ³2 ; (bc b c+ )2³4bc nên S³ 6bc
Mà bc=2(b c+ ³) bcÞbc³16 Do S³ 96 Dấu "=" xảy Û b c= =4 Vậy: minS= 96 b c= =4
Câu 42 Trong không gian toạ độ Oxyz, cho điểm A(2;2;4) mặt phẳng ( ) :P x y z+ + + =4 Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với (P) (Q) cắt hai tia Ox, Oy điểm B, C cho tam giác ABC có diện tích
· Vì (Q) // (P) nên (Q): x y z d+ + + =0 (d¹4) Giả s B=( )Q ầOx C, =( )Q ầOy ị B d( ;0;0), (0; ;0) (- C -d d<0) SABC AB AC,
2 é ù
= ëuuur uuurû = Û d= -2 Þ ( ) :Q x y z+ + - =2 0
Câu 43 Trong không gian toạ độ Oxyz, cho điểm A(3;0;0), (1;2;1)B Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, B cắt trục Oz M cho tam giác ABC có diện tích
(14)Dạng 6: Các dạng khác viết phương trình mặt phẳng
Câu 44 Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M(9;1;1), cắt tia Ox, Oy, Oz A, B, C cho thể tích tứ diện OABC có giá trị nhỏ
· Giá sử A a( ;0;0)ỴOx B b, (0; ;0)ỴOy C, (0;0; )c ỴOz ( , ,a b c>0) Khi PT mặt phẳng (P) có dạng: x y z
a b c+ + =1
Ta cú: M(9;1;1) ( )ẻ P ị a b c9 1 1+ + = (1); VOABC 1abc
= (2)
(1) Û abc=9bc ac ab+ + ≥ 3 9(3 abc)2 Û (abc)3³27.9(abc)2Ûabc³243 Dấu "=" xảy Û bc ac ab ab
c a b c
27
3 1 ì =3
ì = = ï
ï Û =
í
í + + = ï
ï ỵ =
ỵ
Þ (P): x y z 27 3+ + = Câu hỏi tương tự:
a) Với M(1;2;4) ĐS: ( ) :P x y z 12+ + =
Câu 45 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M(1;2;3), cắt tia Ox, Oy, Oz A, B, C cho biểu thức
OA2 OB2 OC2 + +
có giá trị nhỏ
· ĐS: ( ) :P x+2y+3 14 0z- =
Câu 46 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M(2;5;3), cắt tia Ox, Oy, Oz A, B, C cho biểu thức OA OB OC+ + có giá trị nhỏ
· ĐS: ( ) :P x y z
(15)TĐKG 02: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng cách xác định vectơ phương
Câu 1. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d:x y z
2
+ = - =
mặt phẳng P: x y z- - - =1 Viết phương trình đường thẳng D qua A(1;1; 2)- , song song với mặt phẳng ( )P vng góc với đường thẳng d
· ur =éëu nuur uurd; Pùû=(2;5; 3)- D nhận ur làm VTCP Þ : x y z
2
D - = - = +
-Câu 2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng (d) có phương trình: {x= -t;y= - +1 2t; z= +2 t(t RỴ ) mặt phẳng (P): 2x y- -2z- =3 0.Viết phương trình tham số đường thẳng D nằm (P), cắt vng góc với (d)
à Gi A = d ầ (P) ị A(1; 3;1)-
Phương trình mp(Q) qua A vng góc với d: - +x 2y z+ + =6 D giao tuyến (P) (Q) Þ D: {x= +1 ;t y= -3;z= +1 t
Câu 3. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(2; 1; 0) đường thẳng D: x y z
2 1
- = + =
- Lập phương trình đường thẳng d qua điểm M, cắt vuông góc với D
· urD =(2;1; 1)- Gọi H = d Ç D Giả sử H(1 ; ; )+ t - + -t t Þ uuuurMH =(2 1;t- t- -2; )t MH u^ D
uuuur r Û 2(2 1) ( 2) ( ) 0t- + - - - =t t Û t
= Þ urd =3MHuuuur=(1; 4; 2) -Þ d: xy tt
z t ì = + ï
= -í ï = ỵ
Câu 4. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x + 2y – 2z + = hai điểm A(1;7; –1), B(4;2;0) Lập phương trình đường thẳng (D) hình chiếu vng góc đường thẳng AB (P)
· Gọi (Q) mặt phẳng qua A, B vng góc với (P) Þ (Q): 8x + 7x + 11z – 46 = (D) = (P)Ç(Q) suy phương trình (D)
Câu 5. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình hình chiếu vng góc đường thẳng d:ì -í - + - =3xx 22zy z=0 3 0
ỵ mặt phẳng P x: -2y z+ + =5 · PTTS d:
x t
y t
z t
3 2 ì = ï
= - + í
ï = ỵ
Mặt phẳng (P) có VTPT nr=(1; 2;1)-
Gọi A d= ầ( )P ị A 4; ;211
ổ
ỗ ữ
ố ứ Ta cú B d B P
3
0; ;0 , 0; ;0 ( )
2
æ ổ
- ẻ - ẽ
ỗ ữ ỗ ữ
ố ứ ố ứ
Gọi H x y z( ; ; ) hình chiếu vng góc B (P) Ta tìm H 4; ;
ổ
-
-ỗ ữ
(16)Gọi D hình chiếu vng góc d (P) ÞDđi qua A H ÞD có VTCP ur =3uuurHA=(16;13;10) Þ Phương trình D:
x t
y t
z t
4 16 11 13
2 10 ì = + ï
= + í
ï = + ỵ
Câu hỏi tương tự:
a) Với d:x y z
2
+ = - =
-, ( ) :P x-3y+2z- =5 0 ĐS:
x m
y m
z m
1 23 : 29 32 D ì = +ï = +í
ï = + ỵ
Câu 6. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi A, B, C giao điểm mặt phẳng ( )P : 6x+2y+3z- =6 với Ox, Oy, Oz Lập phương trình đường thẳng d qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC đồng thời vng góc với mặt phẳng (P)
· Ta có: ( )P ÇOx A= (1;0;0); ( )P ÇOy B= (0;3;0); ( )P ÇOz C= (0;0;2)
Gọi D đường thẳng vng góc (OAB) trung điểm M AB; (a) mặt phẳng trung trực cạnh OC; I tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC Ta có: I = ÇD ( )a Þ I 3; ;1
2
ỉ
ỗ ữ
ố ứ Gi J tâm đường trịn ngoại tiếp DABC IJ ^ (ABC) , nên d đường thẳng IJ
Þ Phương trình đường thẳng d:
x t
y t
z t
1 2 ì
= + ï
ï
í = + ï
ï = + ỵ
Câu 7. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;2; 1), (2;1;1); (0;1;2)- B C đường thẳng d:x y z
2
- = + = +
- Lập phương trình đường thẳngD qua trực tâm tam giác ABC, nằm mặt phẳng (ABC) vng góc với đường thẳng d.
· Ta có uuurAB=(1; 1;2),- uuurAC= - -( 1; 1;3)Þéëuuur uuurAB AC, ùû= - - -( 1; 5; 2) Þ phương trình mặt phẳng (ABC): x+5y+2z- =9
Gọi trực tâm tam giác ABC H a b c( ; ; ), ta có hệ:
( )
BH AC a b c a
CH AB a b c b H
a b c c
H ABC
2 3 2
(2;1;1)
5
ì = ì - + = ì =
ï = Ûï + - = Ûï = Þ
í ớ
ù ẻ ùợ + + = ùợ = ỵ
uuur uuur uuur uuur
Do đường thẳng D nằm (ABC) vng góc với (d) nên: ABC
ABC d d
u n u n u
uD u D , (12;2; 11)
D
ì ^ é ù
Þ = =
-í ^ ë û
ỵ
r r r r r
r r
Vậy phương trình đường thẳng :x y z
12 11
D - = - =
(17)Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng liên quan đến đường thẳng khác
Câu 8. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2; 1; 0) đường thẳng d có phương trình d:x y z
2 1
- = + =
- Viết phương trình đường thẳng D qua điểm M, cắt vng góc với đường thẳng d tìm toạ độ điểm M¢ đối xứng với M qua d
· PTTS d:
x t
y t
z t
1 ì = + ï = - + í
ï = -ỵ
d có VTCP ur=(2;1; 1)-
Gọi H hình chiếu M d Þ H(1 ; ; )+ t - + -t t Þ MHuuuur =(2 1; ; )t- - + -t t Ta có MH ^ d Û MH uuuuur r =0 Û t
3
= Þ H 2; ; 3 ổ - -
ỗ ữ
ố ø, MH
1 ; ;
3 3
ổ
=ỗ - - ữ
è ø
uuuur Phương trình đường thẳng D: x y z
1
- = - = - -
Gọi M¢ điểm đối xứng M qua d Þ H trung điểm MM¢Þ M 4; ; 3
ổ
Âỗ - - ÷
è ø
Câu hỏi tương tự:
a) M( 4; 2;4); :d x y z
2
+ - +
- - = =
- ĐS:
1
:
3
+
-D = =
-x y z
Trong không gian cho điểm A(-4;-2;4) đường thẳng (d) có phương trình: x = -3 + 2t; y = - t; z = -1 + 4t; t Ỵ R Viết phương trình đường thẳng (D) qua A; cắt vng góc với (d)
Câu 9. Trong khơng gian Oxyz, cho đường thẳng d: x y z
1
- +
= =
- hai điểm A(1;1; 2)- , B( 1;0;2)- Viết phương trình đường thẳng D qua A, vng góc với d cho khoảng cách từ B tới D nhỏ
· d có VTCP urd =(1;2; 1)- Gọi (P) mặt phẳng qua A vng góc với d Gọi H hình chiếu vng góc B lên (P) đường thẳng Dđi qua A H thỏa YCBT
Ta có: (P): x+2y z- - =5 0 Giả sử H x y z( ; ; ) Ta có:
d H P
BH u phửụng ( )
, ỡ ẻ
ợuuur r Þ H
1 2; ; 3
ổ
ỗ ữ
ố ứ
Þ urD =3uuurAH= -( 2;5;8) Þ Phương trình D: x y z
2
- = - = +
-
Câu 10. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng : x y z
2
+ +
D = =
- hai điểm A(1;2; 1),- B(3; 1; 5)- - Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A cắt đường thẳng D cho khoảng cách từ B đến đường thẳng d lớn
· Giả sử d cắt D M ÞM( ;3 ; )- + t t - -t , AMuuur= - +( 2 ;3 2; ),t t- -t ABuuur=(2; 3; 4) -Gọi H hình chiếu B d Khi d B d( , )=BH BA£ Vậy d B d( , ) lớn BA
H A
Û º ÛAM AB^ ÛAM ABuuur uuur =0Û - +2( 2 ) 3(3 2) 4t - t- + t= Û =0 t M(3;6; 3)
Þ - Þ PT đường thẳng d:x y z
1
(18)Câu 11. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 5; 0), B(3; 3; 6) đường thẳng D:x y z
2
+
-= =
- Viết phương trình đường thẳng d qua điểm B cắt đường thẳng D điểm C cho diện tích tam giác ABC có giá trị nhỏ
· Phương trình tham số D: xy t t z t
1 2 ì = - + ï = -í ï = ỵ
Điểm C Ỵ D nên C( ;1 ;2 )- + t -t t AC= - +( 2 ; ;2 );t - -t t AB=(2; 2;6)
-uuur uuur
; éëuuur uuurAC AB, ù = - -û ( 24 ;12 ;12 )t - t - t AC AB, 18t2 36 216t
é ù
Þ ëuuur uuurû = - + Þ S AC AB,
2 é ù
= ëuuur uuurû = 18( 1) 198t- 2+ ≥ 198
Vậy Min S = 198 t=1 hay C(1; 0; 2) Þ Phương trình BC: x y z
2
- = - =
- -
Câu 12. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d: x y z
3 2
+ = - =
mặt phẳng (P): x + 3y + 2z + = Lập phương trình đường thẳng D song song với mặt phẳng (P), qua M(2; 2; 4) cắt đường thẳng (d)
· Đường thẳng (d) có PTTS:
x t
y t
z t
1 2 2 ì = - + ï = -í ï = + ỵ
Mặt phẳng (P) có VTPT nr =(1; 3; 2) Giả sử N(-1 + 3t ; - 2t ; + 2t) Ỵ d Þ MNuuuur=(3 3; ;2 2)t- - t t
-Để MN // (P) uuuur rMN n = Û =0 t 7Þ N(20; -12; 16) Phương trình đường thẳng D: x y z
9
- = - =
-Câu hỏi tương tự: a) d: x y z
1
-
-= = , ( ) :P x+3y+2z+ =2 0, M(2;2;4) ĐS: :x y z
1 1
D - = - =
-b) d: x y z
1
- = = +
, ( ): 2P x y z+ - + =1 0, M(1;2;–1) ĐS: : 2
- - +
D = =
-
-x y z
c) x y z
3 2
- = + =
,( ) : 3P x-2y-3z- =2 0,M(3; 2; 4)- - ĐS:
x y z :
5
- + +
D = =
-Câu 13. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ) : 3a x-2y z+ -29 0= hai điểm A(4;4;6), (2;9;3)B Gọi E F, hình chiếu A B ( )a Tính độ dài đoạn EF Tìm phương trình đường thẳng D nằm mặt phẳng ( )a đồng thời D qua giao điểm AB với ( )a Dvng góc với AB
· uuurAB= -( 2;5; 3),- nra =(3; 2;1)- , sin(AB,( )) cos(AB n, ) 19 532 a = uuur ra =
EF AB.cos(AB,( )) AB sin (2 AB,( )) 38 361 171 532 14
a a
= = - = - =
AB cắt ( )a K(6; 1;9)- ; uuurD =éëuuur uurAB n, aùû=(1;7;11) Vậy
x t
y t
z t
6
:
9 11 D ì = +ï = - +í
(19)Câu 14. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P), (Q) đường thẳng (d) có phương trình: ( ) :P x 2y z 0, ( ) :Q x 3y 0, ( ) :z d x y z
2 1
-
+ = - + + = = = Lập phương trình đường thẳng D nằm (P) song song với mặt phẳng (Q) cắt đường thẳng (d)
· (P), (Q) có VTPT nrP =(1; 2;1),- nrQ =(1; 3;3)- Þëén nr rP Q, ùû= - - -( 3; 2; 1) PTTS (d): x= +1 ,t y t z= , = +1 t Gọi A = (d) Ç (D) Þ A(1 ; ;1 )+ t t +t Do A Ì (P) nên: 1 2 1+ - + + = Û = -t t t t 2Þ A( 3; 2; 1)
-Theo giả thiết ta có: P P Q Q
u n
u n n
uD n D , ( 3; 2; 1) D
ì ^ é ù
Þ = =
-í ^ ë û
ỵ
r r r r r
r r
Vậy phương trình đường thẳng ( ) :x y z
3
D + = + = +
Câu 15. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1;2; 1), (2;1;1), (0;1;2)- B C đường thẳng ( ) :d x y z
2
- = + = +
- Lập phương trình đường thẳng D qua trực tâm tam giác ABC, nằm mặt phẳng (ABC) vng góc với đường thẳng (d)
· Ta có uuurAB=(1; 1;2),- uuurAC= - -( 1; 1;3)Þéëuuur uuurAB AC, ùû= - - -( 1; 5; 2) Þ phương trình (ABC): x+5y+2z- =9
Gọi trực tâm DABC H a b c( ; ; )
BH AC a b c a
CH AB a b c b H
H ABC a b c c
2 3 2
(2;1;1)
( )
ì = ì - + = ì =
ï = Ûï + - = Ûï = ị
ớ ớ
ù ẻ ùợ + + = ïỵ = ỵ
uuur uuur uuur uuur
Do (D) Ì (ABC) vng góc với (d) nên: ABC ABC d d
u n u n n
uD u D , (12;2; 11)
D
ì ^ é ù
Þ = =
-í ^ ë û
ỵ
r r r r r
r r
Þ PT đường thẳng : x y z
12 11
D - = - =
.
Câu 16. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x+2y z- + =5 0, đường thẳng d: x y z
2 1
+ = + =
điểm A( 2;3;4)- Viết phương trình đường thẳng D nằm (P), qua giao điểm d (P), đồng thời vng góc với d Tìm điểm M D cho khoảng cách AM ngắn
· Gọi B = d Ç (P) Þ B( 1;0;4)- Vì ì Ìí ^DD d( )P
ỵ nên
P d u n uDD u ì ^ í ^ ỵ
r r
r r Do ta chọn u n uP d, (1; 1; 1)
3
D = éë ùû=
-r r r Þ PT của D: yx t t z t
1 ì = - + ï
= -í ï = -ỵ
Giả sử M( ; ;4 )- + -t t - Ît D Þ AM t t t
2 26 26
3
3 3
ỉ
= - + = ỗ - ữ +
ố ứ
Du "=" xảy Û t
= Û M 11; ; 3
æ
-
-ỗ ữ
ố ứ Vy AM đạt GTLN M
2 11; ; 3
ổ
-
-ỗ ÷
è ø
(20)a) ( ) : 2P x y+ -2z+ =9 0,
x t
d y t
z t
:
3 ì = -ï = - + í
ï = + ỵ
ĐS: :
4 = ì ï D í =
-ï = + ỵ
x t y
z t
Câu 17. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(3; 1;1)- , đường thẳng x y z
:
1 2
D = - = , mặt phẳng ( ) : –P x y z+ - = Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A , nằm ( P) hợp với đường thẳng D góc 450
· Gọi u ur rd, D lần lươt VTCP d D; nrPlà VTPT ( P)
Đặt urd =( ; ; ), (a b c a2+b2+c2¹0) Vì d nằm ( P) nên ta có : nrP ^urd Þ a b c– + =0 Û b a c= + ( )
Theo gt: ( , ) 45d D = Û a b c a b c a b c a b c
2 2
2 2
2 2 2( 2 ) 9( )
2 + +
= Û + + = + +
+ + (2)
Thay (1) vào ( 2) ta có : 14c2 30ac c 0;c 15a
+ = Û = =
-+ Với c=0: chọn a b= =1 Þ PTTS d :
x t
y t
z
1– ì = + ï
= -í ï = î + Với c 15a
7
= - : chọn a=7,c= -15, b= -8 Þ.PTTS d là:
x t
y t
z t
3 1–8 1–15 ì = + ï = -í ï = ỵ
Câu 18. Trong không gian toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d: x y z
2 1
- = + = +
- mặt phẳng (P): x y z+ + + =2 Gọi M giao điểm d (P) Viết phương trình đường thẳng D nằm mặt phẳng (P), vng góc với d đồng thời khoảng cách từ M tới D 42 · PTTS d: yx tt
z t
3 2 ì = + ï = - + í
ï = -ỵ
M(1; 3;0)
Þ - (P) có VTPT nrP =(1;1;1), d có VTCP urd =(2;1; 1) -Vì D nằm (P) vng góc với d nên VTCP urD =éëu nr rd, Pùû=(2; 3;1)
-Gọi N(x; y; z) hình chiếu vng góc M D, đóuuuurMN =(x-1;y+3; )z Ta có
MN u N P MN
( ) 42
D
ì ^
ï Ỵ í
ï =
ỵ
uuuur r
Û x y zx y z
x y z2
2 11
( 1) ( 3) 42
ì + + + = ï - + - = í
ï - + + + =
ợ
ị N(5; 2; 5) hoc N(3; – 4; 5) · Với N(5; –2; –5) Þ Phương trình :x y z
2
- + +
D = =
-· Với N(–3; – 4; 5) Þ Phương trình : x y z
2
+ +
-D = =
-
Câu 19. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (a ): x y z+ - - =1 0, hai đường thẳng (D): x y z
1 1
- = =
- - , (D¢):
x y z
1
+
(21)trong mặt phẳng (a ) cắt (D¢); (d) (D) chéo mà khoảng cách chúng
2
· (a) có VTPT nr =(1;1; 1)- , (D) có VTCP urD = - -( 1; 1;1) Þ (D) ^ (a)
Gi A=( ) ( )DÂ ầ a ị A(0;0; 1)- ; B=( ) ( )D ầ a Þ B(1;0;0) Þ ABuuur=(1;0;1)
Vì (d) Ì (a) (d) cắt (D¢) nên (d) qua A (D) ^ (a) nên đường thẳng nằm (a) không qua B chéo với (D)
Gọi urd =( ; ; )a b c VTCP (d) Þ u n a b cr rd = + - =0 (1) và urd khơng phương với uuurAB (2)
Ta có: d d( , )D =d B d( , ) Þ d d AB u
u
, 6
2
é ù
ëuuur r û =
r Û b a c
a b c
2
2 2
2 ( )
2
+ - =
+ + (3)
Từ (1) (3) Þ ac=0 Û é =ê =ac 00 ë
· Với a=0 Chọn b c= =1 Þ urd =(0;1;1) Þ d y tx
z t
0 :
1 ì = ï = í
ï = - + ỵ
· Với c=0 Chọn a= - =b Þ urd =(1; 1;0)- Þ d yx tt z :
1 ì = ï
= -í ï = -ỵ
(22)Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng liên quan đến hai đường thẳng khác
Câu 20. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường vng góc chung hai
đường thẳng: 1: x y z
1
D - = - =
D2:
x t y t z t ì = + ï = -í ï = -ỵ
· Phương trình tham số D1:
x t
y t
z t ' ' ' ì = + ï = + í ï = -ỵ
Gọi M N giao điểm đường vng góc chung với D1 v D2 ị M(7 + tÂ;3 + 2tÂ;9 t¢) N(3 –7t;1 + 2t;1 + 3t)
VTCP D1 D2 a r
= (1; 2; –1) br = (–7;2;3) Ta có: MN a MN a
MN b MN b ì ì ï ^ Ûï = í í ^ = ï ï ỵ ỵ
uuuur r uuuur r
uuuur r uuuur r Từđây tìm t v t ị To ca M, N Đường vng góc chung D đường thẳng MN
Câu hỏi tương tự: a) Với
x t y t
z
3 ( ) :
4 D ì = +ï = - +í
ï = ỵ
,
x t y t
z t
2 ' ( ) : '
2 ' D ì = - +ï =í
ï = + ỵ
ĐS: D:ìí +2 – –2xx yy+10 – 47 0zz 6 0= + = ỵ
Câu 21. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d qua điểm
( )
M - -4; 5;3 cắt hai đường thẳng: d1:ìí - + =2yx+2z3y+7 011 0= ỵ
x y z
d2: 1
2
- = + = · Viết lại phương trình đường thẳng:
x t
d y t
z t
1
1
:
ì = -ï = - + í ï = ỵ , x t
d y t
z t
2
2
2 2
:
1 ì = + ï = - + í ï = -ỵ Gọi A d d B d d= ầ 1, = ầ 2 ị A(5 ; ; )- t1 - + t t1 1 , B(2 ; ;1 )+ t2 - + t2 - t2
MA= -( 3t1+9;2t1-2;t1-3) uuur
, MBuuur=(2t2+6;3t2+ -4; 5t2-2)
MA MB, ( 13t t1 2 8t1 13t2 16; 13t t1 2 39 ; 13t2 t t1 2 24t1 31t2 48)
é ù = - - + + - + - - + +
ëuuur uuurû
M, A, B thẳng hàng Û MA MBuuur uuur, phương Û ëéMA MBuuur uuur, ù =û 0r Û tt1 2 ỡ = = ợ ị A( 1; 3;2), (2; 1;1)- - B - Þ uuurAB=(3;2; 1)
-Đường thẳng d qua M(–4; –5; 3) có VTCP ABuuur=(3;2; 1)- Þ d yx tt z t
4
:
3 ì = - + ï = - + í ï = -ỵ Câu hỏi tương tự:
a) M(1;5;0), d1:x y z
1 3
-= =
- - ,
x t d y t
z t
2: ì = ï = -í ï = - + ỵ
ĐS:
b) M(3; 10; 1) , d1: x y z
3
- = + = +
, d2: x y z
1
- = - =
- ĐS:
x t
d y t
z t
3 : 10 10
(23)Câu 22. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng D D1, 2và mặt phẳng (a) có phương trình
x t x y z
y t x y z
z t
1
2 1 1 2
: , : , ( ) :
1
D ì = +ï = +í D - = + = + a - + + = ï =
ỵ
Viết phương trình đường thẳng d qua giao điểm D1với (a ) đồng thời cắt D2 vng góc với trục Oy
·Toạđộ giao điểm A (a ) D1 thoả mãn hệ
x t t
y t x A
z t y
x y z z
2
5 (1;2; 1)
2
2
ì = + ì =
-ï ï
ï = + Ûï = Þ
-í = í =
ï ï
- + + = =
-ï ï
ỵ ỵ
Trục Oy có VTCP rj=(0;1;0) Gọi d đường thẳng qua A cắt D2 B(1 ; ; 2 )+ - + - +t t t uuurAB=( ;t t-3;2 1);t- d Oy^ ÛuuurrAB j= Û = Þ0 t uuurAB=(3;0;5) Đường thẳng d qua A nhận uuurAB=(3;0;5) làm VTCP có phương trình
x u
y
z u
1
1 ì = + ï = í
ï = - + ỵ
Câu 23. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
x t
d y t
z t
1
1 :
1 ì = + ï = + í ï = + ỵ
, đường thẳng d2 giao tuyến hai mặt phẳng (P): – –1 0x y = (Q): 2x y+ +2 –5 0z = Gọi I giao điểm d d1 2, Viết phương trình đường thẳng d3 qua điểm A(2; 3; 1), đồng thời cắt hai đường thẳng d d1 2, B C cho tam giác BIC cân đỉnh I
· PTTS d2:{x t y= '; = - +1 ';t z= -3 't I d= 1ầd2 ị I(1;1;1) Giả sử: B(1 ;1 ;1 )+t + t + t Ỵd C t1, ( '; ';3 ')- + t - t Ỵd t2 ( ¹0, ' 1)t ¹ DBIC cân đỉnh I Û IB IC
AB AC [ , ] ì =
í =
ỵ uuur uuur ur Û t t' 21 ỡ = =
ợ ị Phng trình d3:{x=2;y=3;z= +1 2t
Câu 24. Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): –3x y+11z=0 hai đường thẳng d1: x
1 - =
y
= z +
, x
= y =
z
- Chứng minh d1 d2 chéo Viết phương trình đường thẳng D nằm (P), đồng thời D cắt d1 d2
· Toạđộ giao điểm d1 (P): A(–2;7;5) Toạđộ giao điểm d2 (P): B(3;–1;1) Phương trình đường thẳng D: x y z
5
+ = - = -
Câu 25. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai mặt phẳng hai đường thẳng có phương trình (P): 3x+12y-3z- =5 (Q): 3x-4y+9z+ =7 0, (d1): x y z
2
+ = - = +
- , (d2): x y z
2
- = + =
Viết phương trình đường thẳng (D) song song với hai mặt phẳng (P), (Q) cắt (d1), (d2)
(24)-(d1) có VTCP ur1=(2; 4; 3)- , (d2) có VTCP ur2= -( 2; 3; 4)
Gọi:
P Q
P d P P
Q d Q Q
u u
1
1
1 1
1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ),( ) ( ) ( ) ( ),( ) ( )
D
D
ì = Ç
ï É
ï
í É
ï = ùợ
P P
r r ị (D) = (P1) Ç (Q1) (D) // (D1) (D) có vectơ phương u [ ; ] (8; 3; 4)n nP Q
4
= =
-r r r
(P1) có cặp VTCP ur1 ur nên có VTPT: nrP1=[ ; ] (25; 32; 26)u ur r1 =
Phương trình mp (P1): 25(x + 5) + 32(y – 3) + 26(z + 1) = Û25x+32y+26z+55 0= (Q1) có cặp VTCP ur2 ur nên có VTPT: nrQ1=[ ; ] (0; 24; 18)u ur r2 =
-Phương trình mp (Q1): 0(x- +3) 24(y+ -1) 18(z-2) 0= Û 4y-3x+10 0=
Ta có: ( ) ( ) ( )D = P1 Ç Q1 Þ phương trình đường thẳng (D) : ìí254yx+3 10 0z32y+26z+55 0= - + =
ỵ
Câu 26. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): –x y+2 –3 0z = hai đường thẳng (d1), (d2) có phương trình x y z
2
- = - =
-
x y z
2
+ = + = Viết phương trình đường thẳng (D) song song với mặt phẳng (P), cắt ( )d1 ( )d2 A B cho AB =
à Aẻ( )d1 ị A (4 ;1 ; )+ t + t t- ; BỴ( )d2 ÞB( ; ;7 )- + t¢ - + t¢ - t¢ AB= - +( 2t¢-2 ; 3t - + t¢-2 ;7 2t - t t¢+ )
uuur
, nrP =(2; 1;2)- Từ giả thiết ta có: AB nP
AB
ì =
í = ỵ
uuur r
Û ì =í = -tt¢ 21
ợ ị A(2; 1;1),- AB= -( 1;2;2) uuur
Þ Phương trình đường thẳng (D): x y z
1 2
- = + =
Câu 27. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x y z- + + =1 hai đường thẳng d1:x y z
2
- = + =
-, d2: x y z
2
+ = - =
- Viết phương trình đường thẳng D song song với (P), vng góc với d1 cắt d2 điểm E có hồnh độ · d1 có VTCP ur1=(2;1;3), d2 có VTCP ur2 =(2;3;2), (P) có VTPT nr=(2; 1;1)- Giả sửD có VTCP ur =( ; ; )a b c , E dỴ 2 có xE =3 Þ E(3; 1;6)-
Ta có: dP u nu u 1
( )
D
D
ì Ûì =
í ^ í =
ỵ ỵ
r r r r
P Û a b c
a b c
2
2
ì - + = í + + =
ỵ Û
a c b c ì = =
-ợ ị Chn u=(1;1; 1) -r
Þ PT đường thẳng D: {x = +3 ;t y= - +1 ;t z= -6 t
Câu 28. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng ( ),( )d1 d2 mặt phẳng (P) có phương trình:( ) :d1 x y z
1
+ = + =
, ( ) :d2 x y z
2 1
- = - =
(25)· Đặt A( 1- + - +a; 2 ; ), (2 ;1a a B + b +b;1+b)Þ uuurAB= - +( a 2b+ - + + - + +3; 2a b 3; a b 1) Do AB // (P) nên: uuur rAB n^ P =(1;1; 2)- Û = -b a 4 Suy ra: uuurAB=(a- - - -5; a 1; 3)
AB= (a-5)2+ - -( a 1)2+ -( 3)2 = 2a2-8a+35 = 2(a-2)2+27 3³ Suy ra: minAB=3 3Û í = -ì =ab 22
ỵ , A(1;2;2), AB= - - -( 3; 3; 3) uuur
Vậy d: x y z
1 1
- = - = -
Câu 29. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng ( ) :d1 x y z 10
2 1
+ = - = -và
x t
d y t
z t
2
( ) : ì = ï = -í
ï = - + ỵ
Viết phương trình đường thẳng (d) song song với trục Ox cắt (d1) A, cắt (d2) B Tính AB
· Giả sử: A( ;6- + t1 +t1;10-t1) Ỵ d1, B t( ;22 -t2; )- + t2 Î d2 Þ uuurAB=(t2-2t1+ - - -8; t2 t1 4);2t2+ -t1 14)
AB i, =(1;0;0) uuur r
phương Û tt2 tt1
4
2 14
ì- - - = í + - =
ỵ Û
t t12
22 18 ì = -í =
ợ
ị A( 52; 16;32), (18; 16;32)- - B -
Þ Phương trình đường thẳng d: {x= - +52 ;t y= -16;z=32
Câu 30. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng: (d1):
x t
y t
z t 23 10 ì = - + ï
= - + í
ï = ỵ
(d2): x y z
2
- = + =
- Viết phương trình đường thẳng (d) song song với trục Oz cắt hai đường thẳng (d1), (d2)
· Giả sử A( 23 ; 10 ; )- + t1 - + t t1 1 Ỵ d1, B(3 ; 2 ; )+ t2 - - t t2 2 Î d2 Þ uuurAB=(2t2-8t1+26; 2- t2-4t1+8;t2-t1)
AB // Oz Û uuur rAB k phương, Û t t t t
2
2 26
2
ì - + =
í- - + =
ỵ Û
t t
17
5 ì
= ï í ù = -ợ
ị A 17; ; 3
ổ-
ỗ ữ
è ø
Þ Phương trình đường thẳng AB: x 1; y 4; z 17 t
3
ì
= - = = +
í ỵ
Câu 31. Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(2,0,0); B(0,4,0); C(2,4,6) đường thẳng (d): ìí66xx-33yy+22zz=24 00
+ + - =
ỵ Viết phương trình đường thẳng D // (d) cắt đường thẳng AB, OC
· Phương trình mặt phẳng (a) chứa AB song song d: (a): 6x + 3y + 2z – 12 =
(26)D giao tuyến (a) (b) Þ D: ìí - + =36xx+33y zy+2 12 0z-0 = ỵ
Câu 32. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(4;5;6); B(0;0;1); C(0;2;0); D(3;0;0) Chứng minh đường thẳng AB CD chéo Viết phương trình đường thẳng (D) vng góc với mặt phẳng Oxy cắt đường thẳng AB, CD
· Gọi (P) mặt phẳng qua AB (P) ^ (Oxy) Þ (P): 5x – 4y = (Q) mặt phẳng qua CD (Q) ^ (Oxy) Þ (Q): 2x + 3y – = Ta có (D) = (P)ầ(Q) ị Phng trỡnh ca (D)
Cõu 33. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng có phương trình:
x t
d y t z t
1 :
1 ì = -ï = í ï = + î
d 2: x y z
1 2= = Xét vị trí tương đối d1 d2 Viết phương trình đường thẳng d qua M trùng với gốc toạ độ O, cắt d1 vng góc với d2
· Đường thẳng D cần tìm cắt d1 A(–1–2t; t; 1+t) ÞOA uuur
= (–1–2t; t; 1+t) d d^ 2 ÛOA uuuur r 2 = Û = - Þ0 t A(1; 1;0)- Þ PTTS d x t y:{ = ; = -t z; =0 Câu hỏi tương tự:
a) Với M(1;1;1), ( ) :d1 x y z
3
+ = = ,
x t
d y t z t
2 ( ) :
2 ì = - + ï
= -í ï = + ỵ
ĐS: d:x y z
3 1
- = - =
-Câu 34. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng có phương trình:
(d1) : x t y t z 24 t ì = ï = + í ï = + ỵ
(d2) : x t y t z t
' '
' ì = ï = -í
ï = -ỵ
Gọi K hình chiếu vng góc điểm I(1; –1; 1) (d2) Tìm phương trình tham số đường thẳng qua K vng góc với (d1) cắt (d1)
· (d1) có VTCP ur1=(1; 1; 2); (d2) có VTCP ur2 =(1; 3; 1) K dẻ( )2 ịK t( ; 3Â tÂ-6;tÂ- Þ1) uurIK =(t¢-1; 3t¢-5;t¢-2) IK u2 t 9t 15 t t 18 K 18; 12 7;
11 11 11 11
ỉ
¢ ¢ ¢ ¢
^ Û - + - + - = = ị ỗ - ữ
ố ứ
uur r
Giả sử (d ) cắt (d1) H t( ; ; ), (+t + t HỴ( ))d1 HK 18 t; 56 t; 59 2t
11 11 11
ỉ
=ỗ - - - ữ
ố ứ
uuur HK u1 18 t 56 t 118 4t t 26
11 11 11 11
^ Û - - - = Û =
-uuur r
HK (44; 30; 7) 11
Þuuur= - -Vậy, PTTS đường thẳng (d ): x 18 44 ;y 12 30 ;z 7
11 l 11 l 11 l
ì
= + = - - =
-í ỵ
Câu 35. Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(0;1;1) đường thẳng (d1), (d2) với: (d1):x y z
3
- = + =
; (d2) giao tuyến mặt phẳng (P): x+ =1 (Q): x y z+ - + =2 Viết phương trình đường thẳng (d) qua M vng góc (d1) cắt (d2)
(27)A = (d2) Ç (a) Û
x y z
x A
x y z
3 5 8
1 1; ;
3
ì + + - = ổ ử
ù + = ỗ- ữ
í è ø
ï + - + = ỵ
Þ Phương trình AM: x y z
3
-
-= =
-
Câu 36. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ) : 2P x y- +2z=0 đường thẳng ( ) :d x y z
1
- = - =
-, ( )' : 2 1
x y z
d - = - =
- Viết phương trình đường thẳng ( )D nằm mặt phẳng (P), vng góc với đường thẳng (d) cắt đường thẳng (d')
· Ta có nrP =(2; 1;2),- urd =(1;3;2) PTTS (d'):
x t
y t z t
1 2 ì = -ï = + í ï = ỵ Gọi A = (d') ầ (P) ị A(1 ;2 ; )- t +t t
Do A Ỵ (P) nên: 2(1 ) 2- t - - +t 2t= Û = Þ0 t A(1;2;0)
Mặt khác (D) nằm (P), vng góc với (d) nên urD vng góc với n ur rP, d Þ ta có thể
chọn urD =éën ur rP d, ùû= - -( 8; 2;7) Þ Phương trình :x y z
8
D - = - =
-
-Câu 37. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x y z- + - =1 hai đường thẳng (d1): x y z
2
- = + =
-, (d2): x y z
2
+ = - =
- Viết phương trình đường thẳng (D) song song với mặt phẳng (P), vng góc với đường thẳng (d1) cắt đường thẳng (d2) điểm E có hồnh độ
· E Î (d2) Þ E(3; 7; 6) P P d d
a n a n a
a a
1 , 4(1;1; 1)
ì ^ Þ =é ù= -
-í ^ ë û
ỵ VV V
r r r r r
r r Þ (D): xy tt
z t ì = + ï = + í ï = -ỵ
Câu 38. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(0; 0;–3), B(2; 0;–1) mặt phẳng (P) có phương trình: 3x-8y+7 0z+ = Viết phương trình tắc đường thẳng d nằm mặt phẳng (P) d vng góc với AB giao điểm đường thẳng AB với (P) · Giao điểm đường thẳng AB (P) là: C(2;0;–1)
Đường thẳng d qua C có VTCP éëuuur rAB n, Pùû Þ d: x y z
2
- = =
-Câu 39. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: x y z
2 1
+ -
-= =
- ; d2: x y z
1
- - +
= = mặt phẳng (P): x y- -2z+ =3 Viết phương trình đường thẳng D nằm mặt phẳng (P) cắt hai đường thẳng d1 , d2
· Gọi A = d1 Ç D, B = d2 Ç D Vì DÌ (P) nên A = d1 Ç (P), B = d2 Ç (P) Þ A(1; 0; 2), B(2; 3; 1)
ÞD đường thẳng AB Þ Phương trình D: x y z
1
- = =
(28)mặt phẳng (P): x y z+ + - =1 đồng thời cắt hai đường thẳng ( ) :d1 x y z
2 1
- = + = -
x t
d y z t
1 ( ) :ì = - +ïí = -1
ï = -ợ
, vi t Rẻ
à Ly Mẻ( )d1 ị M(1 ; 1+ t1 - -t t1 1; ); Nẻ( )d2 ị N(- + - -1 ; 1;t t) Suy MNuuuur= -(t 2t1-2; ;t t t1 - - 1)
d P MN k n k R* t t1 t1 t t1
( ) ( )^ Ûuuuur= ;r Î Û -2 - = = - -2 Û t t1
4 5 ì
= ïï í
-ï = ïỵ
Þ M 2; ; 5
ổ
=ỗ - - ữ
ố ứ
Þ d: x y z
5 5
- = + = + Câu hỏi tương tự:
a) Với (P): 2x y+ +5z+ =3 0, ( ) :d1 x y z
2
- = + =
, ( ) :d2 x y z
1
- = =
-ĐS: d:x y z
2
+ = + = + b) Với ( ) : – –5 P x y z+ = , d1: x y z
2
+ -
-= = , d2:x y z
1
- +
= =
-ĐS: x y z
2
- -
-= =
-
-Câu 41. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba mặt phẳng: (P): –x y z+ + =1 0, (Q): x y– +2z+ =3 0, (R): x+2 –3 0y z+ = đường thẳng D1: x y z
2
- = + =
- Gọi D2 giao tuyến (P) (Q) Viết phương trình đường thẳng (d) vng góc với (R) cắt hai đường thẳng D1, D2
· D1 có PTTS: {x= -2 ;t y= - +1 ;t z=3t; D2 có PTTS: {x= +2 ;s y= +5 ;s z s= Gi s dầD1=A d; ầD2=B ịA(2 ; ;3 ), (2 ;5 ; )- t - +t t B +s + s s
AB= +(s ;3t s t- +6;s-3 )t uuur
, (R) có VTPT nr =(1;2; 3)- d^( )R Ûuuur rAB n, phương s 2t 3s t s 3t
1
+ - +
-Û = =
- t
23 24
Þ = Þ A 1 23; ; 12 12
ổ
ỗ ữ
ố ứ
Vậy phương trình d:
z x y 23
8
12 12
1
-= =
-
Câu 42. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba đường thẳng có phương trình x t
d y t
z t
1: ì = ï = -í
ï = - + ỵ
, d2: x y z
1 3
-= =
- - ,
x y z
d3: 1
5
+ = - = +
Viết phương trình đường
thẳng D, biết D cắt ba đường thẳng d d d1, 2, 3 điểm A, B, C cho AB BC=
(29)Giả sử A t( ;4 – ; ), ( ;2 –3 ; ), ( ;1 ; 1t - + t B u u - u C - + v + v - +v) Ta có: A, B, C thẳng hàng AB = BC ÛB trung điểm AC
t v u
t v u
t v u
( )
4 (1 ) 2.(2 ) ( ) 2( ) ì + - + =
ï
Ûí - + + = ï + + + = -ỵ
Û tu v
1 0 ì = ï
= í ï = ợ
ị A(1;3;1), (0;2;0), ( 1;1; 1) B C - -
Đường thẳng D qua A, B, C có phương trình: x y z
1 1
-= =
Dạng 4: Viết phương trình đường thẳng liên quan đến khoảng cách
Câu 43. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng (d):
x t
y t
z t
2
3 ì = + ï = + í
ï = - + ỵ
mặt phẳng (P): - + +x y 2z+ =5 Viết phương trình đường thẳng (D) nằm (P), song song với (d) cách (d) khoảng 14
· Chọn A(2;3;-3), B(6;5;-2)Ỵ(d), mà A, B Ỵ (P) nên (d) Ì (P) Gọi ur VTCP (d1) Ì (P), qua A vng góc với (d) d
P u u u u ì ^ í ^ ỵ
r r r r nên ta chọn ur r r=[ , ] (3; 9;6)u ud P = -
Phương trình đường thẳng (d1) :
x t
y t t R
z t
2
3 ( )
ì = +
ï = - Ỵ
í
ï = - + ỵ
Lấy M(2+3t; 3-9t; -3+6t) Ỵ(d1) (D) đường thẳng qua M song song với (d) Theo đề : AM 14 9t2 81t2 36t2 14 t2 t
9
= Û + + = Û = Û = ±
· t =
- ÞM(1;6;-5) ( ) :1 x y z
4
D - - +
Þ = =
· t = 1
3 ÞM(3;0;-1)
x y z
2
( ) :
4
D - +
(30)Câu 44. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x y z+ - + =1 đường thẳng: d: x y z
1
- -
-= =
- - Gọi I giao điểm d (P) Viết phương trình đường thẳng D nằm (P), vng góc với d cho khoảng cách từ I đến D h=3 · (P) có VTPT nrP =(1;1; 1)- d có VTCP ur =(1; 1; 3)- - I d= ầ( )P ịI(1;2;4)
Vì DÌ( );P D^ Þd D có véc tơ phương urD =éën ur rP, ùû= -( 4;2; 2) -Gọi H l hỡnh chiu ca I trờn Dị ẻH mp Q( )qua I vng góc D Þ Phương trình (Q): -2(x- + - - -1) (y 2) (z 4) 0= Û -2x y z+ - + =4 Gọi d1=( ) ( )P ầ Q ịd1cú VTCP ộởn nr rP Q; ù =û (0;3;3) 3(0;1;1)= d1 qua I
x d y t
z t
1
:
4 ì = ù ị ớ = +
ù = + ợ Gi s H dẻ ị1 H(1;2 ;4 )+t + ịt IHuur=(0; ; )t t Ta có:
t IH =3 2Û 2t2 =3 Û ê = -é =t 33
ë
· Với t= Þ3 H(1;5;7) Þ Phương trình : x y z
2 1
D - = - =
-· Với t= - Þ3 H(1; 1;1)- Þ Phương trình :x y z
2 1
D - = + =
-
Câu hỏi tương tự:
a) ( ) :P x y z+ + + =2 0, d: x y z
2 1
- + +
= =
- , h= 42
ĐS: :x y z
2
- + +
D = =
- ;
x y z :
2
+ +
-D = =
-Câu 45. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x y+ -2z+ =9 đường thẳng d: x y z
1
+ = - =
Viết phương trình đường thẳng D vng góc với (P) cắt d điểm M cách (P) khoảng
· Vì D^ (P) nên D nhận nrP =(2;1; 2)- làm VTCP
Giả sử M t( 1;7 1;3 )- t+ - Ỵt d Ta có: d M P( ,( )) 2= Û 11 6t+ = Û t t
8 11 11 é = -ê ê ê = ë + Với t
11
= - Þ M 19 45 41; ; 11 11 11
ỉ
-
-ỗ ữ
ố ứ ịD: x t y t z t
19 2 ; 45 ; 41 2
11 11 11
ì
= - + = - + = -í
ỵ + Với t
11
= Þ M 39 29; ; 11 11 11
ỉ
-ỗ ữ
ố ứ ịD: x t y t z t
7 2 ; 39 ; 29 2
11 11 11
ì
= - + = + =
-í ỵ
Câu 46. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ) :P x+3y z- - =1 điểm A(1;0;0);B(0; 2;3)- Viết phương trình đường thẳng d nằm (P) qua A cách B khoảng lớn (nhỏ nhất)
(31)uuurAB= -( 1;2; 3)- ; ëéu ABuur uuurd, ù = - -û ( 2a ;2b a-2 ;2b a b+ ) Þ d B d u AB a ab b
u a ab b
2
2
, 12 24 54
( , )
2
é ù + +
ë û
= =
+ +
uuur r
r
+ TH1: Nếu b = d B d( , )= 6 + TH2: Nếu b¹0 Đặt t a
b
= Þ d B d t t f t t t
2
12 24 54
( , ) ( )
2
+ +
= =
+ + Xét hàm số f t t t
t t
2
12 24 54 ( )
2
+ + =
+ + ta suy £d B d( , )= f t( )£ 14 So sánh TH1 TH2 Þ 6£d B d( , )£ 14
Do đó:
a) min( ( , ))d B d = Û =b 0 Chọn a =1 Þ c= Þ Phương trình đường thẳng d:
x t y z t
1 ì = + ï = í ï = ỵ
b) max( ( , ))d B d = 14 Û = -a b Chọn b = –1 Þ a =1 , c = –1 Þ Phương trình đường thẳng d:
x t y t z t ì = + ï = -í ï = -ỵ
Câu 47. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ) :P x-2y+2z- =5 điểm A( 3;0;1)- ;B(1; 1;3)- Viết phương trình đường thẳng d qua A, song song với (P) cách B khoảng nhỏ
· ĐS: d: x y z 26 11
+
-= =
-
Câu 48. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng :x y z
2 1
D + = =
, hai điểm A(0; 1;2)- , B(2;1;1) Viết phương trình đường thẳng d qua A cắt đường thẳng D cho khoảng cách từ B đến d lớn (nhỏ nhất)
· Gọi M d= ÇD Giả sử M( ; ;2 )- + t t -t VTCP d: urd =uuurAM=(2 1; 1; )t- t+ -t uuurAB(2;2; 1)- ; ëéuuur rAB u; dù = -û (1 ;1;4 )t - t
Þ d
d
AB u t t
d B d f t
u t t
2
, 12 18 18
( , ) ( )
6 2
é ù - +
ë û
= = =
- + uuur r
r
Xét hàm số f t t t t t
2
12 24 54 ( )
2
+ + =
+ + Ta có f t f f t f
1 max ( ) (0) 18; ( ) (2)
11
= = = =
Þ d B d( , ) 18
11£ £
a) min( ( , ))d B d t 11
= Û = Þ Phương trình đường thẳng d:
x t
y t
z t
3 2 ì = ï = - + í
(32)b) max( ( , ))d B d = 18Û =t 0Þ Phương trình đường thẳng d:
x t
y t
z 21t ì = -ï = - + í
ï = -ỵ Câu hỏi tương tự:
a) D:ì + + - =í - + - =x y zx y z 1 01 0, (2;1; 1), ( 1;2;0)A - B
-ỵ
ĐS: dmax:íìy zx+ =1 02 0;dmin :ìíxy z+2y- =2 03
+ - = - - =
ỵ ỵ
b) :x y z 1, (3; 2;1), (2;1; 1)A B
1
D - = + = - -
ĐS: dmax: x y z
19
- +
-= =
- ;
x y z
dmin: 20
5 20
- +
-= =
- -
c) :x y z A, (1;4;2), ( 1;2;4)B
1
D - = + =
ĐS: dmax: x y z
1
- = - = - ;
x y z
dmin: 15 18 19
- = - =
-Câu 49. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d: x y z
2 1
- = - =
, hai điểm A(1;1;0), (2;1;1)B Viết phương trình đường thẳng D qua A vng góc với d, cho khoảng cách từ B đến D lớn
· Ta có VTCP d là: urd =(2;1;1) ABuuur=(1;0;1)
Gọi H hình chiếu B lên D ta có:d B( , )D =BH AB£ Do khoảng cách từ B đến D lớn H Aº Khi D đường thẳng qua A vng góc với AB
Ta có d AB D D ỡ ^ ^
ợ ị Cú thể chọn VTCP D uD =éëu ABd, ùû=(1; 1; 1) -uuur
r r
Þ PT D là:
x t y t z t
1 ì = + ï = -í ï = -ỵ
Câu 50. Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d qua A(0; 1;2)- , cắt đường thẳng 1: x y z
2 1
D + = =
cho khoảng cách d đường thẳng 2: x y z
2
D - = =
- lớn
· Gọi M d= ÇD1 Giả sử M( ; ;2 )- + t t -t .VTCP d : urd =uuurAM=(2 1; 1; )t- t+ -t
D đi qua N(5;0;0) có VTCP vrD =(2; 2;1)- ; uuurAN=(5;1; 2)- ; éëv ur rD; dù = -û ( 1;4 1;6 )t t- t
Þ d
d
v u AN t
d d f t
v u t t
2
2 2
, (2 )
( , ) 3 ( )
, 53 10
D D
D = éë ùû = + =
é ù - +
ë û
uuur r r
r r Xét hàm số f t t
t t 2 (2 ) ( )
53 10 + =
- + Ta suy f t f
4 26 max ( ) ( )
37
= =
(33)a) A(2; 1;2), :1 x y z 1, :2 x y zx 2y z 1 01
2 1
D - + - D ì + - + =
- = = í - + + =
ỵ ĐS:
x y z
d: 2
41 68 27
- = + =
Câu 51. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d qua A(1; 1;2)- , song song với mặt phẳng ( ) :P x y z+ - + =1 cho khoảng cách d đường thẳng D:ì + + - =í2x y zx y z 02 0
- + - =
ỵ lớn · ĐS:
x
y t
z t
1 ì = ï
= - + í
ï = + ỵ
Dạng 5: Viết phương trình đường thẳng liên quan đến góc
Câu 52. Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(3; –1; 1), đường thẳng D: x y z
1 2
-= = mặt phẳng (P): x y z- + - =5 Viết phương trình tham số đường thẳng d qua A, nằm (P) hợp với đường thẳng D góc 450
· Gọi u u nr r rd, ,D P VTCP d, D VTPT (P) Giả sử urd =( ; ; ) (a b c a2+b2+c2 ¹0)
+ Vì d Ì (P) nên urd ^nrP Þ a b c- + =0 Û b a c= + (1) + ( )·d,D =450 Û a b c
a2 b2 c2
2 2
2
+ + =
+ + Û a b c a b c
2 2
2( +2 + ) =9( + + ) (2) Từ (1) (2) ta được: 14c2+30ac=0 Û é =ê15c a0 7c 0
+ = ë
+ Với c = 0: chọn a = b = Þ PTTS d: {x = +3 ;t y= - -1 ;t z=1 + Với 15a + 7c = 0: chọn a = 7, c = –15, b = –8
Þ PTTS d: {x= +3 ;t y= - -1 ;t z= -1 15t
Câu 53. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng D nằm mặt phẳng ( ) :P x y z+ – + =1 0, cắt đường thẳng
x t x t
d y t d y t
z t z t
1
1
: ; :
2 2
ì = + ì =
-ï = ï = +
í í
ï = + ï =
-ỵ ỵ
tạo với d1 góc 300
· Ta có d1Ì( )P Gọi A d= 2ầ( )P ị A(5; 1;5)- d1 cú VTCP ur1=(1;1;2) Lấy B(1 ; ;2 )+t t + t ẻd1ị uuurAB= -( 4; 1;2 3)t t+ t- VTCP D
Ta có cos( , ) cos30D d1 = 0Û t
t t t
6
2 ( 4) ( 1) (2 3)
- =
- + + +
(34)+ Với t= -1 uuurAB= -( 5;0; 5)- Þ d:
x t y z t
5 ì = + ï = -í ï = + ỵ + Với t=4 uuurAB=(0;5;5) Þ d:
x
y t
z t
1 ì = ï = - + í
ï = + ỵ
Câu 54. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình chóp A.OBC, A(1; 2; 4), B thuộc trục Ox có hồnh độ dương, C thuộc Oy có tung độ dương Mặt phẳng (ABC) vng góc với mặt phẳng (OBC), tan·OBC=2 Viết phương trình tham số đường thẳng BC
· BC: {x= +2 ;t y= -2 ;t z=0
Câu 55. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2; 1;1), (0;1; 2)- B - đường thẳng d:x y z
1
- +
= =
- Viết phương trình đường thẳng D qua giao điểm đường thẳng d với mặt phẳng (OAB), nằm mặt phẳng (OAB) hợp với đường thẳng d góc a cho cos
6 a =
· PT mặt phẳng (OAB): x+4y+2z=0 Gọi M = d ầ (OAB) ị M( 10;13; 21)- - Giả sửD có VTCP ur=( ; ; )a b c
+ Vì DÌ (OAB) nên a+4b+2c=0 (1) + cos
6
a = Û a b c
a2 b2 c2
2
6
- + =
+ + (2) Từ (1) (2) Þ b c a c
b c a c
5 ,
11 11
,
é
= =
-ê
ê = = -ë
+ Với b c a, c
11 11
= = - Þ ur=(2; 5; 11)- - Þ PT D: x 10 y 13 z 21
2 11
+ - +
= =
-
-+ Với b c a= , = -6c Þ ur =(6; 1; 1)- - Þ PT D: x 10 y 13 z 21
6 1
+ = - = +
-
-Câu 56. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng D qua điểm A(0;1; 2)- , vng góc với đường thẳng d:x y z
1 1
+ = - =
- tạo với mặt phẳng (P): x y z
2 + - + =5 góc a =300 · Giả sửD có VTCP ur =( ; ; )a b c Ta có:
a d cos
2 a ì ^ ï
í =
ïỵ r
Û
a b c a b c a2 b2 c2
0
2
2
ì - + =
ï +
-í =
ï + +
ỵ
Û é =ê = -cc 0,2 ,a ba b= = -a ë
+ Với c=0,a b= Þ ur =(1;1;0) ÞD: {x t y= ; = +1 ;t z= -2
(35)Câu 57. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d qua A(1; 1;2)- , song song với mặt phẳng ( ) : 2P x y z- - + =3 0, đồng thời tạo với đường thẳng
x y z :
1 2
D + = - =
- góc lớn (nhỏ nhất)
· D có VTCP urD =(1; 2;2)- Gọi VTCP đường thẳng d ur =( ; ; )a b c dP ( )P Ûu nr r P = Û =0 c 2a b- Gọi góc hai mặt phẳng a
Þ a b a b
a ab b a ab b
2
2
2
5 (5 )
cos
3
3
a = - =
+
- +
+ TH1: Nếu b = cos a = + TH2: Nếu b¹0 Đặt t a
b
= Þ t f t
t t 2
1 (5 4)
cos ( )
3 5 4 2
a = - =
- + Xét hàm số f t t
t t 2 (5 4) ( )
5
-=
- + Ta suy được: f t
5 cos ( )
9 a
£ = £
So sánh TH1 TH2, ta suy ra: 0 cos a
£ £
Do đó:
a) min(cos ) 0a = Û a b
4
= Þ Phương trình đường thẳng d : x y z
4
- +
-= =
b) max(cos )
a = Û ab = -15 Þ Phương trình đường thẳng d: x y z
1
- = + =
-Câu 58. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d qua A( 1;0; 1)- - , cắt đường thẳng 1:x y z
2 1
D - = - = +
- cho góc d đường thẳng
x y z
2: 13 22 23
D - = - = +
- lớn (nhỏ nhất) · Gọi M d= ÇD1 Giả sử M(1 ;2 ; )+ t + - -t t
VTCP d : urd =uuurAM=(2 2;t+ t+ - -2; )t Gọi a =( , )·d D2
Þ t f t
t t 2
2
cos ( )
3 6 14 9 a =
+ + Xét hàm số f t t
t t 2 ( )
6 14 =
+ + Ta suy f t f
9 max ( ) ( )
7
= - = ;min ( )f t = f(0) 0= a) min(cos ) 0a = Û =t Þ Phương trình đường thẳng d : x y z
2
+ = = + -b) max(cos )
5
a = t
7
Û = - Þ Phương trình đường thẳng d : x y z
4
(36)Dạng 6: Viết phương trình đường thẳng liên quan đến tam giác
Câu 59. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho DABC với tọa độ đỉnh C(3; 2; 3) phương trình đường cao AH, phương trình đường phân giác BD là:
x y z
d1: 3
1
- -
-= =
- ,
x y z
d2:
1
- -
-= =
- Lập phương trình đường thẳng chứa cạnh BC DABC tính diện tích DABC
· Gọi mp(P) qua C vng góc với AH Þ( )P ^d1Þ( ) :P x y+ -2 0z+ = B=( )P ầd2ịB(1;4;3) ị phng trỡnh BC x:{ = +1 ;t y= -4 ;t z=3 Gọi mp(Q) qua C, vng góc với d2, (Q) cắt d2 AB K M Ta có: ( ) :Q x-2y z+ - = Þ2 K(2;2;4)ÞM(1;2;5) (K trung điểm CM)
x
AB y t
z t
1
:
3 ì = ï
ị = +
ù = -ợ
, A AB d1 A(1;2;5) S ABC AB AC,
D é ù
= Ç Þ Þ = ëuuur uuurû =
Câu 60. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho DABC với A(1; 1;1)- hai đường trung tuyến có phương trình d1: x y z
2
-
-= =
- - ,
x t d y
z t
1
:
1 ì = -ï = í ï = + ỵ
Viết phương trình đường phân giác góc A
· Ta có A d A dÏ 1, Ï 2 Gọi M d N dỴ 1, Ỵ 2 trung điểm AC, AB N(1– ;0;1 )t +t Þ B(1–2 ;1;1 )t + t B d1 t
2
ẻ ị = Þ B(0;1;2)
M t(2 ;1 ;2 )- t - t Þ C t(4 –1;3 –6 ;3 – )t t C d2 t C(1;0;1)
ẻ ị = ị
Ta cú: AB= 6, AC=1 Gọi AD đường phân giác góc A DBuuur = - 6DCuuur Þ D ; ;2
1 6; 6
ổ +
ỗ ữ
ỗ + + + ữ
ố ứ ị AD
1 2; 6; 1 6
ổ - +
= ỗỗ ữữ
+ + +
è ø
uuur
Vậy phương trình đường thẳng AD là: x y z
1 2 6
- = + =
(37)TĐKG 03: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
Dạng 1: Viết phương trình mặt cầu cách xác định tâm bán kính
Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I(1; 2;3)- Viết phương trình mặt cầu tâm I tiếp xúc với trục Oy
· Gọi M hình chiếu I(1; 2;3)- lên Oy, ta có: M(0; 2;0)-
IM = -( 1;0; 3)- Þ =R IM= 10
uuur
bán kính mặt cầu cần tìm Kết luận: PT mặt cầu cần tìm (x-1)2+ +(y 2)2+ -(z 3)2 =10
Câu Trong không gian với hệ toạđộ Oxyz, cho hai đường thẳng: (d1) : {x=2 ;t y t z= ; =4
(d2) : {x= -3 t y t z; = ; =0 Chứng minh (d1) (d2) chéo Viết phương trình mặt cầu
(S) có đường kính đoạn vng góc chung (d1) (d2)
· Gọi MN đường vng góc chung (d1) (d2) Þ M(2; 1; 4); (2; 1; 0)N
Þ Phương trình mặt cầu (S): (x-2)2+ -(y 1)2+ -(z 2)2 =4
Câu hỏi tương tự:
a) d1: x y z
1
- = - =
- ,
x t
d y z t
2
2
:
ì = - Â ù = ù = Â ợ
ĐS: S x y z
2 2
11 13
( ) :
6 6
ỉ æ ö æ ö
- + - + + =
ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ
ố ø è ø è ø
b) ( ) :d1 x y z,( ) :d2 x y z
1 2
- = - = - = + =
ĐS: S x y z
2
2
( ) : ( 2) ( 3)
2
ổ
- +ỗ - ữ + - =
è ø
Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng: d1: x y z
3
- = - = + - -
2
: 3
= + ì
ï = - + í
ï = ỵ
x t
d y t
z t
Viết phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ tiếp xúc với hai đường thẳng d1 d2
· Mặt cầu nhận đoạn vng góc chung hai đường thẳng đường kính Câu hỏi tương tự:
a)
x t d y t
z
1
2 :
4
ì = ï = í ï = ỵ
,
x t d y t
z
2
3 :
0
ì = -ï = í ï = ỵ
ĐS: ( ) : (S x-2)2+ -(y 1)2+ -(z 2)2 =4
Câu Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng ( )D1 có phương trình
{x=2 ;t y t z= ; =4; ( )D2 giao tuyến mặt phẳng ( ) :a x y+ - =3 x y z
( ) : 4b +4 +3 12 0- = Chứng tỏ hai đường thẳng D D1, 2 chéo viết phương trình mặt cầu nhận đoạn vng góc chung D D1 2, làm đường kính
· Gọi AB đường vng góc chung D1,D2: A t t(2 ; ;4)ỴD1, B(3 ; ;0)+ -s s ẻD2
(38)ị Phương trình mặt cầu là: (x-2)2+ -(y 1)2+ -(z 2)2=4
Câu Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AºO, B(3;0;0), D(0;2;0), A’(0;0;1) Viết phương trình mặt cầu tâm C tiếp xúc với AB’
· Kẻ CH^AB’, CK^DC’ Þ CK ^ (ADC’B’) nên DCKH vuông K
CH2 CK2 HK2 49 10
Þ = + = Vậy phương trình mặt cầu: (x 3)2 (y 2)2 z2 49
10
- + - + =
Câu Trong không gian với hệ trục toạđộOxyz, cho điểm A( 1; –1; 2), B( 1; 3; 2), C( 4; 3; 2), D( 4; –1; 2) mặt phẳng (P) có phương trình:x y z+ + - =2 Gọi A’ hình chiếu
A lên mặt phẳng Oxy Gọi (S) mặt cầu qua điểm A¢, B, C, D Xác định toạđộ tâm bán kính đường trịn (C) giao (P) (S)
· Dễ thấy A¢( 1; –1; 0) Phương trình mặt cầu ( S): x2 +y2 +z2 -5x-2y-2z+1=0
Þ (S) có tâm I 5;1;1
2
ổ
ỗ ữ
ố ø, bán kính R
29
=
+) Gọi H hình chiếu I lên (P) H tâm đường tròn ( C)
+) PT đường thẳng (d) qua I vuông góc với (P): d:
x t
y t z t / 1
ì = +
ï = + í ï = + ỵ
H 1; ; 6
ổ
ị ỗ ữ
ố ứ
IH 75
36
= = , (C) có bán kính r R2 IH2 29 75 31 186
4 36 6
= - = - = =
Câu Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1; –2; 3) đường thẳng d có phương trình x y z
2 1
+ = - = +
- Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d Viết
phương trình mặt cầu tâm A, tiếp xúc với d
· d(A, (d)) = BA a
a
, 4 196 100 2
4 1
é ù + +
ë û = =
+ +
uur r r
PT mặt cầu tâm A (1; –2; 3), bán kính R = 5 2: ( –1)x 2+ +(y 2)2+( –3)z =50
Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: x y z
2
+ = - =
- điểm
M(4;1;6) Đường thẳng d cắt mặt cầu (S), có tâm M, hai điểm A, B cho AB=6 Viết phương trình mặt cầu (S)
· d đi qua N( 5;7;0)- có VTCP ur=(2; 1;1)- ; uuuurMN = -( 9;6; 6)-
Gọi H chân đường vng góc vẽ từ M đên đường thẳng d Þ MH = d M d( , ) 3= Bán kính mặt cầu (S): R MH AB
2
2 18
2
ỉ
= +ỗ ữ =
ố ứ
Þ PT mặt cầu (S): (x-4)2+ -(y 1)2+ -(z 6)2 =18
(39)· ( ) :S (x-1)2+(y+2)2+ -(z 4)2=25 có tâm I(1; 2;4- ) R =
Khoảng cách từ I đến (a) là: d I( ,( )a )= <3 R Þ (a) mặt cầu (S) cắt Gọi J điểm đối xứng I qua (a) Phương trình đường thẳng IJ :
x t
y t
z t
1 2
ì = + ï = -í
ï = + ỵ
Toạđộ giao điểm H IJ (a) thoả ( )
x t t
y t x H
z t y
x y z z
1
2 1; 1;2
4
2
ì = + ì =
-ï ï
ï = - - Ûï = - Þ
-í = + í =
-ï ï
- + - = =
ï ï
ỵ ỵ
Vì H trung điểm IJ nên J(-3;0;0) Mặt cầu (S¢) có tâm J bán kính R¢ = R = nên có phương trình: ( ) :S¢ (x+3)2+y2+z2 =25
Câu 10 Trong khơng gian với hệ toạđộ Oxyz, lập phương trình mặt cầu (S) biết mặt phẳng Oxy mặt phẳng (P): z=2 cắt (S) theo hai đường trịn có bán kính
· Từ giả thiết ta có vơ số mặt cầu (S) thoả YCBT Gọi (S0) mặt cầu có tâm I0(0;0; )m
thuộc trục Oz Khi mp(Oxy) mp(P) cắt (S0) theo đường tròn tâm O1ºO(0;0;0), bán
kính R1=2 tâm O2(0;0;2), bán kính R2 =8
Gọi R bán kính mặt cầu R m m m m
R m
2
2 2 2
2
2
2 4 64 ( 2) 16
8
ìï = + Þ + = + - ị =
ớ
= +
-ùợ
Þ R=2 65 I0(0;0;16) Suy mặt cầu (S) có tâm I a b( ; ;16) (a, b Ỵ R), bán kính
R=2 65
Vậy phương trình mặt cầu (S): (x a- )2+ -(y b)2+ -( 16)z =260 (a, b Î R)
Câu 11 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x y- -2z- =2 đường thẳng d: x y z
1
+
-= =
- Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc d, I cách (P)
khoảng (P) cắt (S) theo đường trịn (C) có bán kính
· Giả sử I t t( ;2 1;- - t+ Ỵ2) d, R bán kính (S), r bán kính (C) Ta có: d I P( ,( )) 2= Û - - =6 6t Û t
t
11
é = ê ê ê = -ë
R2=(d I P( ,( ))2+r2 =13
+ Với t
= Þ I 13; ; 6
ổ
-
-ỗ ữ
ố ứ Þ (S): x y z
2 2
1 13 13
6
ỉ ỉ ỉ
+ + + + - =
ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ
è ø è ø è ø
+ Với t 11
6
= - Þ I 11 14 1; ;
6
ỉ
-ỗ ữ
ố ứ ị (S): x y z
2 2
11 14 13
6
ỉ æ ö æ ö
- + + + - =
ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ
ố ø è ø è ø
Câu 12 Trong không gian với hệ toạ độOxyz, cho điểm A(0; 0; 4), B(2; 0; 0) mặt phẳng (P): 2x y z+ - + =5 Lập phương trình mặt cầu (S) qua O, A, B có khoảng cách từ
tâm I mặt cầu đến mặt phẳng (P)
(40)· Giả sử (S): x2+y2+z2-2ax-2by-2cz d+ =0 + Từ O, A, B Î (S) suy ra:
a c d
1
ì = ï = í ï = ợ
ị I b(1; ;2) + d I P( ,( ))
6
= Û b 5
6
+
= Û b
b 010
é = ê = -ë
Vậy (S): x2+y2+z2-2x-4z=0 (S): x2+y2+z2-2x+20y-4z=0
Câu 13 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1;3;4), (1;2; 3), (6; 1;1)B - C - mặt phẳng ( ) :a x+2y+2 0z- = Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm mặt phẳng ( )a qua ba điểm A B C, , Tính diện tích hình chiếu tam giác ABCtrên mặt phẳng ( )a
· Goi I a b c( ; ; ) tâm mật cầu ta có :
a b c a b c
IA IB
IA IC a b c a b c
I a b c
2 2 2
2 2 2
(1 ) (3 ) (4 ) (1 ) (2 ) ( )
(1 ) (3 ) (4 ) (6 ) ( ) (1 )
( 2
ì - + - + - = - + - +
-ì = ï
ï = Ûí - + - + - = - + - - +
-ớ
ù
ù ẻ ợ + + - =
ỵ a)
b c a
a b c b I
a b c c
7
5 (1; 1;1)
2 1
ì + = ì =
ï ï
Ûí - - = Ûí = - Þ
-ï + + - = ù =
ợ ợ
ị R2=IA2 =25
Þ Phương trình ( ) : (S x-1)2+ +(y 1)2+ -( 1)z =25 Tam giác ABC đều cạnh 5 2 nên SABC 25
2
=
AB=(0; 1; 7),- - AC=(5; 4; 3)- - Þ =p ëéAB AC, ùû= -( 25; 35;5)
-uuur uuur r uuur uuur
( )
ABC n p 17
cos(( ),( )) cos ,
15 a = r ra =
Gọi S' diện tích hình chiếu tam giác ABClên mặt phẳng ( )a
Ta có S' SABC.cos(( ),(ABC)) 50 17 85 15 3 a
= = = (đvdt)
Câu 14 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d: x y z
3- = 1+ =1 mặt
phẳng (P): 2x y+ -2z+ =2 Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm đường thẳng
d có bán kính nhỏ tiếp xúc với (P) qua điểm A(1; –1; 1)
· Gọi I tâm ca (S) I ẻ d ị I(1 ; ; )+ t - +t t Bán kính R = IA = 11t2- +2 1t Mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S) nên: d I P( ,( )) 3t R
3
+
= =
Û 37t2-24t =0 Û t R
t R
0
24 77
37 37
é = Þ =
ê
= Þ =
ê ë
(41)
Câu 15 Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: x y z
1 1
- = + =
mặt phẳng (P): x y z
2 + –2 + =2 Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm d, tiếp xúc với mặt phẳng (P) qua điểm A(2; –1; 0)
· Gọi I tâm (S) Þ I(1 ; –2;+t t t) Ta có d(I, (P)) = AI Û t 1; t 13
= =
Vậy: ( ) : ( –2)S x 2+ +(y 1)2+( –1)z 2=1 hoặc S x y z
2 2
20 19 121
( ) : – –
13 13 13 169
ỉ ỉ ỉ
+ + + =
ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ
ố ø è ø è ø
Câu 16 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm I(1;2; 2)- , đường thẳng D:
x y z
2 - = + =2 mặt phẳng (P): 2x+2y z+ + =5 Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I cho mặt phẳng (P) cắt khối cầu theo thiết diện hình trịn có chu vi 8p Từ lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa D tiếp xúc với (S)
· Ta có: d d I P= ( ,( )) 3= Gọi r bán kính hình trịn thiết diện Ta có: 2pr=8p Þ =r
Suy bán kính mặt cầu: R2 =r2+d2 =25 Þ ( ) : (S x-1)2+ -(y 2)2+ +(z 2)2=25
Nhận thấy mặt cầu (S) tiếp xúc với ( )D điểm M 5 4; ;
3 3
ổ
-ỗ ữ
ố ø
Do đó: (Q) chứa ( )D tiếp xúc với (S) qua M 5 4; ;
3 3
ỉ
-ỗ ữ
ố ứ v cú VTPT MI
2 11 10; ;
3 3
ổ
-ỗ ữ
ố ø
uuur
Þ PT mặt phẳng (Q): 6x-33y+30 105 0z- =
Câu 17 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d x t y:{ = ; = -1; z= -t mặt phẳng (P): x+2y+2z+ =3 (Q): x+2y+2z+ =7 Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc đường thẳng (d) tiếp xúc với hai mặt phẳng (P) (Q)
· Giả sử: I t( ; 1; )- - Ỵt d Vì (S) tiếp xúc với (P) (Q) nên d I P( ,( ))=d I Q( ,( ))=R
Û t t
3
-
-= Û t=3 Suy ra: R , (3; 1; 3)I
3
= - -
Vậy phương trình mặt cầu (S): (x 3) (2 y 1) (2 z 3)2
- + + + + =
Câu hỏi tương tự:
a) d x:{ = +2 ;t y= +1 ;t z= -1 t, ( ) :P x+2y-2z+ =5 0, ( ) :Q x+2y-2 13 0z- =
ĐS: S x y z
2 2
16 11
( ) :
7 7
ỉ ỉ ỉ
- + - + - =
ỗ ữ ỗ ữ ç ÷
è ø è ø è ø
Câu 18 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x-2y-2 10 0z+ = , hai
đường thẳng (D1): x y z
1 1
- = =
, (D2):
x y z
1
- = = +
Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc (D1), tiếp xúc với (D2) mặt phẳng (P)
· xy t t z t
1
2 :
1 D ì = +ïí =
ï = -ỵ
(42)Ta có: uurAI =( ; ;4 )t t -t Þ ëéuur rAI u, 2ù =û (5 4;4 ;0)t- - t Þ d I AI u t u
2
2
, 5 4
( , )
3 D = éë ùû =
-uur r r
d I P( ,( )) t 2(1 ) 10t t t 10
3 4
+ - - - + +
= =
+ +
(S) tiếp xúc với D2 (P) Û d I( , )D2 =d I P( ,( )) Û 4t- = +t 10 Û t t
7
é = ê ê = -ë
· Với t
2
= Þ I 11 5; ; 2
ổ
-ỗ ữ
ố ø, R
9
= Þ PT mặt cầu (S): x y z
2 2
11 81
2 2
ỉ ỉ ỉ
- + - + + =
ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ
ố ứ ố ứ ố ứ
· Với t= -1 Þ I(1; 1;2),- R=3 Þ PT mặt cầu (S): (x-1)2+ +(y 1)2+ -(z 2)2 =9
Dạng 2: Viết phương trình mặt cầu cách xác định hệ số phương trình
Câu 19 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(3;1;1), B(0;1;4), C(–1;–3;1) Lập phương trình mặt cầu (S) qua A, B, C có tâm nằm mặt phẳng (P): x + y – 2z + =
· PT mặt cầu (S) có dạng: x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = (S) qua A: 6a + 2b + 2c – d – 11 =
(S) qua B: 2b + 8c – d – 17 = (S) qua C: 2a + 6b – 2c + d + 11 = Tâm I Î (P): a + b – 2c + =
Giải ta được: a = 1, b = –1, c = 2, d = –3 Vậy (S): x2 + y2 + z2 – 2x + 2y – 4z – =
Câu 20 Trong khơng gian với hệ tọa độOxyz, cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có tam giác
ABC vng A, đỉnh A trùng với gốc tọa độ O, B(1; 2; 0) tam giác ABC có diện tích Gọi M trung điểm CC’ Biết điểm A¢(0; 0; 2) điểm C có tung độ
dương Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AB¢C¢M
· Ta có: AB= 5 SDABC =5 nên AC=2 5 Vì AA’ ^ (ABC) A, B Ỵ (Oxy) nên C Ỵ (Oxy) Gọi C x y( ; ;0) uuurAB=(1;2;0),ACuuur=( ; ;0)x y
Ta có: AB AC x y x x
y y
AC x2 y2
2 4
2
2 20
ì
ì ^ Û + = Ûì = - Úì =
í = í + = í = í =
-ỵ ỵ
ỵ ỵ Vì yC >0 nên C(–4; 2; 0)
(43)PT mặt cầu (S) qua A, B’, C’ M có dạng: ( ) :S x2+y2+z2+2x+2by+2cz d+ =0
A S
B S a b c d
C S
M S
(0;0;0) ( )
3 3
'(1;2;2) ( ) ; ; ; 0
'( 4;2;2) ( ) 2
( 4;2;1) ( )
ì Î
ïï Î Û = = - = - =
í - Ỵ
ï
- Ỵ
ïỵ
(thoả a2+b2+c2- >d 0)
Vậy phương trình mặt cầu (S) là: ( ) :S x2+y2+z2+3x-3y-3z=0
Câu 21 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(2; 1; 0), B(1; 1; 3), C(2;–1; 3), D(1;–1; 0) Tìm tọa độ tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD
· Ta tính AB CD= = 10,AC BD= = 13,AD BC= = 5 Vậy tứ diện ABCD có cặp cạnh đối đơi Từ đó ABCD tứ diện gần Do tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện trọng tâm G tứ diện
Vậy mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có tâm G 3;0;3
2
ổ
ỗ ữ
ố ứ, bỏn kớnh R GA
14
= =
Cách khác: Ta xác định toạđộ tâm I mặt cầu thoảđiều kiện: IA = IB = IC = ID
Câu 22 Trong không gian với hệ trục toạđộ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x+2y+2z- =6 0, gọi A, B, C giao điểm (P) với trục tọa độ Ox, Oy, Oz Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện OABC, tìm tọa độ tâm bán kính đường trịn (C) giao tuyến (P) (S)
· Ta có: A(6;0;0), B(0;3;0), C(0;0;3)
PT mặt cầu (S) có dạng: x2+y2+z2+2Ax+2By+2Cz D+ =0 (A2+B2+C2- >D 0) A, B, C, O Ỵ (S) Û
D
A A B C D
B C
3
36 12 3; ; ; 0
9 2
9
ì =
ï ì
ï + = Û = - = - = - =
í + = í
ỵ ï
+ =
ïỵ
Vậy (S): x2+y2+z2-6x-3y-3z=0 có tâm I 3; ;3
2
ổ
ỗ ữ
ố ø, bán kính R
3
=
Gọi H hình chiếu vng góc I (P) Þ H tâm (C) Tìm H 5; ;
3 6
ổ
ỗ ữ
ố ứ
Þ Bán kính (C): r R2 IH2 27
2
= - = - =
Câu 23 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’có cạnh Gọi M trung điểm đoạn AD, N tâm hình vng CC’D’D Tính bán kính mặt cầu qua điểm B, C’, M, N
· Chọn hệ trục toạđộ Oxyz cho: D º O(0; 0; 0), A(2; 0; 0), D¢(0; 2; 0), C(0; 0; 2) Suy ra: M(1; 0; 0), N(0; 1; 1), B(2; 0; 2), C¢(0; 2; 2)
PT mặt cầu (S) qua điểm M, N, B, Cđ cụ dạng: x2+y2+z2+2Ax+2By+2Cz D+ =0 M, N, B, Cđẽ (S) í
A D
B C D A B C D
A C D B C D
1
5
2 2 ; ; ; 4
8 4 2
8 4
ì + + =
ï ì
ï + + + = Û = - = - = - =
í + + + = í
ỵ ï
+ + + =
ïỵ
(44)Dạng 3: Các toán liên quan đến mặt cầu
Câu 24 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x – 2y – z – = mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 2x – 4y – 6z – 11 = Chứng minh mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn Xác định tọa độ tâm tính bán kính đường trịn
· I (1; 2; 3); R = 11 5+ + + = ; d (I; (P)) = 2(1) 2(2)
4
-
-=
+ + < R =
Vậy (P) cắt (S) theo đường trịn (C)
Phương trình d qua I, vng góc với (P) :
x t
y t
z t 2
ì = + ï = -í ï = -ỵ
Gọi J tâm, r bán kính ng trũn (C) J ẻ d ị J (1 + 2t; – 2t; – t) J Ỵ (P) Þ 2(1 + 2t) – 2(2 – 2t) – + t – = Þ t =
Vậy tâm đường tròn J (3; 0; 2) , bán kính r = R2-IJ2 =4
Câu 25 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho A(2; 0; 0), B(0; 2; 0), C(0; 0; 2) Tính bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện OABC
· Gọi I , r tâm bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện OABC
OABC IOAB IOBC OCA ABC
V =V +V +V +V =1 .r SOAB .r SOBC .r SOCA .r SABC
3 +3 +3 +3 =1 r STP
Mặt khác: VOABC .OA OB OC
6
= = = (đvtt); SOAB SOBC SOCA OA OB
2
= = = =
ABC
S AB2
4
= = = (đvdt) Þ STP = +6 3 (đvdt) Do đó: OABC
TP
V r
S
3
6
= =
+ (đv độ dài)
Câu 26 Trong không gian với hệ toạ độOxyz, cho hai điểm S(0;0;1), A(1;1;0) Hai điểm M(m; 0; 0), N(0; n; 0) thay đổi cho m n+ =1và m > 0, n > Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SMN) Từđó suy mặt phẳng (SMN) tiếp xúc với mặt cầu cốđịnh
· Ta có: SMuuur=( ;0; 1),m - SNuuur=(0; ; 1)n - Þ VTPT (SMN) nr=( ; ;n m mn)
Phương trình mặt phẳng (SMN): nx my mnz mn+ + - =0
Ta có: d(A,(SMN)) n m mn
n2 m2 m n2
+ -=
+ +
m n mn
mn mn m n
1 1
1
2 2
-
-= = =
+
Suy (SMN) tiếp xúc mặt cầu tâm A bán kính R=1 cốđịnh
Câu 27 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng có phương trình x t
d y z t
1:
2
ì = ï = í ï = -ỵ
,
x d y t
z t
2
0 :
2
ì = ï = í ï = -ỵ
Viết phương trình mặt cầu (S) bán kính R= 6, có tâm nằm đường phân giác góc nhỏ tạo d d1, 2 tiếp xúc với d d1, 2
· Phương trình mp(P) chứa d d1, 2là ( ) :P x y z+ + - =2
Phương trình mp(Q) chứa d1 vng góc với (P ( ) :Q x-2y z+ - =2
(45)Phương trình hai mặt phân giác hai mặt (Q) (R):
( )PG1 :x y- =0, (PG2):x y+ -2z+ =4
Phương trình hai đường phân giác d1, d2:
x t x t
a y t b y t
z t z
: :
2 2
ì = ì =
-ï = ï =
í í
ï = - ï =
ỵ ỵ
Vì cos( , ) cos( , )a d1 > b d1 nên đường thẳng a phân giác d1, d2 thỏa mãn điều kiện
Do có hai tâm mặt cầu thỏa mãn I1(2;2; 2), I ( 2; 2;6)- 2
(46)TĐKG 04: TÌM ĐIỂM THOẢĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC Dạng 1: Xác định điểm thuộc mặt phẳng
Câu 1. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2;3) B(3;4;1) Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt phẳng (P): x y z- + - =1 đểDMAB tam giác
· Gọi (Q) mặt phẳng trung trực đoạn AB Þ (Q): x y z+ - - =3
d giao tuyến (P) (Q) Þ d: {x =2;y t= +1;z t=
M ẻ d ị M t(2; 1; )+ t ÞAM = 2t2- +8 11t Vì AB = 12 nên DMAB MA = MB = AB
t2 t t 18
2
2
±
Û - - = Û = M 2;6 18 4; 18
2
ỉ ± ±
ị ỗ ữ
ố ứ
Cõu hi tương tự:
a) Với A(4;0;0) , (0;0; 4)B , (P): 2x y- +2z- =4 0 ĐS:
Câu 2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(0; 0;–3) B(2; 0;–1) Tìm toạ độđiểm M thuộc mặt phẳng (P): 3x y z- - + =1 đểDMAB tam giác
· Giả sử M x y z( ; ; ) ( )ẻ P ị 3x y z- - + =1 0 (1)
D MAB Û
MA MB
MA AB
M P
2 2
( )
ì =
ù
ớ =
ù ẻ ợ
zx z
x y z
4
6
3
ì + =
-ï = -í
ï = -ỵ
Û x y z
2 10
3
ì = ï ïï
= í ï ù = -ùợ
ị M 10 1; ;
3
ỉ
-ỗ ữ
ố ứ
Cõu hi tng t:
a) Với A(1;1; 3), (3;1; 1),( ) : 3- B - P x-8y+7z+ =4 0 ĐS: C 2 6;1 6; 2
3 3
ỉ
+ -
-ỗ ữ
ố ứ hoc C
2 6
2 ;1 ;
3 3
ỉ
- + - +
ỗ ữ
ố ứ
b) Vi A(1;2;3), ( 1;4;2),( ) :B - P x y z- + + =1 0 ĐS: C 11 3; ;
4
ổ - -
ỗ ữ
è ø C
1 11 3; ;
4
æ + +
ỗ ữ
ố ứ
Cõu 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A(3;5;4) , (3;1;4)B Tìm tọa độ điểm C thuộc mặt phẳng( ) :P x y z- - - =1 cho tam giác ABC cân C có diện tích 17
· Giả sử: C x y x y( ; ; - - Ỵ1) ( )P AB=4
AC BC= Þ (x-3)2+ -(y 5)2+(x y- -5)2 = (x-3)2+ -(y 1)2+(x y- -5)2 Þ =y
Gọi I trung điểm AB ÞI(3;3;4)
IAB
S =2 17ÞCI AB =4 17ÞCI = 17Û (3-x)2+ -(8 x)2 = 17 Û ê =é =xx 47
ë
+ Với x= Þ4 C(4;3;0) + x= Þ7 C(7;3;3)
(47)sao cho MA = MB = MC
· Ta có uuurAB=(2; 3; 1),- - uuurAC= - - - Þ =( 2; 1; 1) nr éëuuur uuurAB AC, ùû=(2;4; 8)- VTPT (ABC) Suy phương trình (ABC): x+2y-4z+ =6 0 Giả sử M(x; y; z)
Ta có: ìí ỴMA MB MCM =( )P =
ỵ Û
x y z
2
ì = ù
= ù = -ợ
ị M(2;3; 7)
-Câu 5. Trong không gian với hệ toạđộ Oxyz, cho hai điểm (0; 2;1), (2;0;3)A - B mặt phẳng ( ) : 2P x y z- - + =4 Tìm điểm M thuộc (P) cho MA =MB (ABM)^( )P
· Gọi (Q) mặt phẳng trung trực AB (1;1;1)
ÞnrQ = uuuvAB= VTPT (Q)
I(1; 1;2)- trung điểm AB Þ Phương trình ( ) :Q x y z+ + - =2
Gọi (R) mặt phẳng qua A, B vng góc với (P) nrR =ëén nr rP; Qùû=(0;3; 3)- VTPT (R) Þ Phương trình ( ) :R y z- + =3
Toạđộ M nghịêm cuả hệ:
x y z
x y z M
y z
2 2 17
2 ; ;
3 6
ì - - + = ỉ ư
ï + + - = ị - -ỗ ữ
ớ ố ø
ï - + = ỵ
Câu 6. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(2;0;0), C(0;4;0), S(0; 0; 4).Tìm tọa độ điểm B mp(Oxy) cho tứ giác OABC hình chữ nhật Viết phương trình mặt cầu qua bốn điểm O, B, C, S
· OABC hình chữ nhật Þ B(2; 4; 0) Þ Tọa độ trung điểm H OB H(1; 2; 0), H chính tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác vng OCB
+ Đường thẳng vng góc với mp(OCB) H cắt mặt phẳng trung trực đoạn OS (mp có phương trình z = ) I Þ I tâm mặt cầu qua điểm O, B, C, S
+ Tâm I(1; 2; 2) R = OI = 2+ 2+22 =3 Þ (S): (x-1)2+ -(y 2)2+ -(z 2)2 =9
Câu 7. Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(–1;3;–2), (–3;7;–18) B mặt phẳng (P):
x y z
2 – + + =1 Tìm tọa độđiểm M Ỵ (P) cho MA + MB nhỏ
· A, B nằm phía (P) Gọi A¢ điểm đối xứng với A qua (P) Þ A'(3;1;0)
Để M Ỵ (P) có MA + MB nhỏ M giao điểm (P) vi AÂB ị M(2;2; 3)- Cõu hi tng tự:
a) Với A(0; 1;2), ( 1;1;3)- B - , ( ) (P º Oxy) ĐS: M 1; ;0
5
ỉ
-
-ỗ ữ
ố ứ
b) Vi A(1;0;0), B(1;2;0), ( ) :P x y z+ + - =4 ĐS:
c) Với A(1;2; 1), (3;1; 2),( ) :- B - P x y- +2z=0 ĐS: M 13;1;
5
ỉ
-ỗ ữ
ố ứ
Câu 8. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;5;0), B(3;3;6) đường thẳng
D có phương trình tham số {x= - +1 ;t y= -1 ;t z=2t Một điểm M thay đổi đường thẳng D, xác định vị trí điểm M để chu vi tam giác MAB đạt giá trị nhỏ
· Gọi P chu vi tam giác MAB P = AB + AM + BM Vì AB khơng đổi nên P nhỏ AM + BM nhỏ
(48)Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ta xét hai vectơ ur =(3 ;2 5t ) vr= - +( 6;2 5t ) Ta có ur = (3 )t 2+(2 5) ;2 vr = (3 6)t- 2+(2 5)2
Þ AM BM u+ =| | | |r + vr r ru v+ =(6;4 5) |Þ + =u vr r| 29
Mặt khác, ta ln có | | | | |ur + vr r r³ +u v| Như AM BM+ ³2 29
Đẳng thức xảy u vr r, hướng t t
t
3 1
3
Û = Û =
- +
M(1;0;2)
Þ min(AM BM+ ) 29= Vậy M(1;0;2) minP = 2( 11+ 29)
Câu 9. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ) :P x-3y+3 11 0z- = hai điểm A(3; 4;5)- , B(3;3; 3)- Tìm điểm MỴ( )P cho MA MB- lớn
· Xét tương tự câu 6)
+ Nếu A, B phía so với (P) MA MB AB- £
+ Nếu A, B khác phía so với (P), ta lấy điểm A¢ đối xứng với A qua (P) Khi ú MA MAÂ= ị MA MB- = MA MB A B¢- £ ¢
ĐS: M 31 31; ;
7 7
ỉ
-
-ỗ ữ
ố ứ
Cõu hi tng tự:
a) ( ) :P x y z+ + - =4 0, A(1;2;1), B(0;1;2). ĐS:
b) ( ) :P x y- +2z=0, (1;2; 1), (1; 2;1)A - C - ĐS: M 11; ;1
2
ổ
ỗ ữ
è ø
Câu 10. Trong không gian với hệ toạđộ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x-2y+2z+8=0
điểm A(–1;2;3), (3;0;–1) B Tìm điểm MỴ (P) cho MA2 +MB2 nhỏ nhất
· Gọi I trung điểm AB Þ I(1; 1; 1) Ta có: MA2 MB2 2MI2 AB2
2
+ = +
Do đó: MA2+MB2 nhỏ ÛIM2nhỏ Û M hình chiếu vng góc I (P)
Û IM n phươngP M , ( )P
ỡ
ẻ ợ
uuur r
Û
x t t
y t x
z t y
x y z z
1
1
1
2
ì = + ì =
-ï ï
ï = - ï =
Ûí = + Ûí =
ï ï
- + + = =
-ï ï
ỵ ỵ
Vậy M(0; 3; –1) Câu hỏi tương tự:
a) Với (P): x y z+ + =0, A(–3; 5;–5); B(5;–3; 7) ĐS: M º O(0; 0; 0) b) Với (P): x+5y-7z- =5 0, A(4;9; 9), ( 10;13;1)- B - ĐS: M 50 192 75; ;
17 17 17
ổ
-
-ỗ ữ
è ø
Câu 11. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ) :P x y z+ + - =4
điểm A(1;2;1), B(0;1;2) Tìm điểm MỴ( )P cho MA2+2MB2 nhỏ
· Giả sử I điểm thoả mãn: uurIA+2IBuur r= Û0 IAuur= -2IBuur Þ I 5; ; 3
æ
ỗ ữ
ố ứ
Ta cú: MA2+2MB2 =3MI2+IA2+2IB2 Do I cốđịnh nên IA IB2, 2 không đổi
(49)trên (P) Û M 14 17; ;
9 9
æ
ỗ ữ
ố ứ
Cõu 12. Trong không gian với hệ trục tọa độOxyz, cho tam giác ABC với A(1; 2; 5), B(1; 4; 3), C(5; 2; 1) mặt phẳng (P): x y z– – –3 0= Gọi M điểm thay đổi mặt phẳng (P) Tìm giá trị nhỏ biểu thức F MA= 2+MB2+MC2 Khi tìm toạđộ M
· Gọi G trọng tâm DABC Þ G 8; ;3 3
ỉ
ỗ ữ
ố ứ; GA GB GC
2 2 56 32 104 64
9 9
+ + = + + =
Ta có F MA= 2+MB2+MC2 =(MG GAuuuur uuur+ ) (2+ uuuur uuurMG GB+ ) (2+ uuuur uuurMG GC+ )2
MG2 GA2 GB2 GC2 MG GA GB GC MG2 GA2 GB2 GC2
3 ( )
= + + + + uuuur uuur uuur uuuur+ + = + + +
F nhỏ Û MG2 nhỏ Û M hình chiếu G lên (P)
Û MG d G P
7 3
3 19
( ,( ))
1 1 3
-= = =
+ +
Vậy F nhỏ
2
19 64 553
3
3
3
ổ
+ =
ỗ ữ
ố ø M hình chiếu G lên (P)
Câu hỏi tương tự:
a) A(1; –3; 5), B(1; 4; 3), C(4; 2; 1), (P): x y z- - - =3 0
ĐS: minF=65, M 11 4; ;
3 3
ổ -
ỗ ữ
ố ứ
b) A(1; 1; 0), B(0; 1; 1) C(2; 2; 1), (P): x+3 –y z+ =2 0 ĐS: M 22 61 17; ;
3 3
ổ
-ỗ ữ
ố ứ
c) A(–1; 2; 3), B(3; 0; –1), C(1; 4; 7), (P): x-2y+2z+6=0 ĐS: M (0; 4; 1) Câu 13. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A( 1;0;1)- , B(2; 1;0)- ,
C(2;4;2) mặt phẳng (P): x y+ +2z+ =2 Tìm toạ độ điểm M thuộc (P) cho biểu thức T MA= 2+MB2+MC2 đạt giá trị nhỏ
· Giả sử M x y z( ; ; ) ( )ẻ P ị x y+ +2z+ =2 0Û (x- + - +1) (y 1) 2( 1) 0z- + = (1) Ta có: T =3(x2+y2+z2-2x-2y-2 ) 31 (z + = ëé x-1)2+ -(y 1)2+ -( 1)z 2ùû+22 (2) Từ (1), áp dụng BĐT Bunhiacốpxki cho số: (1;1;2) (x-1;y-1;z-1), ta được:
x y z x y z
2 2
( 6)- =éë1( - +1) 1( - +1) 2( 1)- ûù £ + +(1 4) (éë -1) + -( 1) + -( 1) ùû
Þ T 3.62 22 40
6
³ + = Dấu "=" xảy Û x y z xy z x y z
0
1 1
0
1
1
2
ì =
ì - - - ï
ï = = Ûí =
í
ï
ï + + + = ỵ =
-ợ
ị M(0;0; 1)-
Cõu 14. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ) :P x y z+ + - =4
điểm A(1;2;1), B(0;1;2), C(0;0;3) Tìm điểm MỴ( )P cho MA2+3MB2+2MC2 nhỏ
nhất
· Giải tương tự Câu 10
(50)điểm A(1;2; 1)- , B(1;0; 1)- , C(2;1; 2)- Tìm điểm MỴ( )P cho MA2+MB2-MC2
nhỏ
· Giải tương tự Câu 10 ĐS: M 2; ;
3 3
ổ
ỗ ữ
ố ø
Câu 16. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ) :P x y- +2z=0
điểm A(1;2; 1)- , B(3;1; 2)- , C(1; 2;1)- Tìm điểm MỴ( )P cho MA2-MB2-MC2
nhỏ
· Giải tương tự Câu 10 ĐS: M(2; 2; 2- - )
Câu 17. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(3; 1; 1), B(7; 3; 9), C(2; 2; 2) mặt phẳng (P) có phương trình: x y z+ + - =3 Tìm (P) điểm M cho
MA+2MB+3MC uuur uuur uuur
nhỏ
· Gọi I điểm thoả: IAuur+2IBuur uur r+3IC=0 Þ I 23 13 25; ; 6
ổ
ỗ ữ
è ø
Ta có: T = MAuuur+2uuur uuurMB+3MC = (MI IAuuur uur+ ) (+2 MI IBuuur uur+ )+3(uuur uurMI IC+ ) = 6uuurMI =6MIuuur
Do đó: T nhỏ Û MIuuur nhỏ Û M hình chiếu I (P) Ta tìm được:
M 13 16; ;
9 9
ổ -
ỗ ữ
ố ø Khi T
43
3
=
Cách 2: Giả sử M x y z( ; ; ) ( )Ỵ P Þ x y z+ + - =3 (1) Khi đó: MI x y z
2 2 23 13 25
6 6
ỉ ổ ổ
=ỗ - ữ +ỗ - ữ +ỗ - ữ
ố ứ ố ứ ố ø
Áp dụng BĐT Bunhiacốpxki cho (1), ta được:
x y z x y z
2
2 2
43 1. 23 1. 13 1. 25 3 23 13 25
6 6 6 6
é ù
é ù
ỉ ỉ ỉ ỉ êỉ ỉ ỉ ú
- = - + - + - £ - + - +
-ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữỳ ờỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỳ
ố ứ ë è ø è ø è øû ëè ø è ø è ø û
Þ MI
2 3 43
18
ổ
ỗ ÷
è ø Û MI
43 18
³
Dấu "=" xảy Û x y z
x y z
23 13 25
6 6
1 1
3
ì - -
-ï
= =
í ï
+ + - = î
Û x y z
13
2 16
9
ì = ï ïï
= -í ï ï = ïỵ
Û M 13 16; ;
9 9
æ
-ỗ ữ
ố ứ
Vậy minT 43
3
= M 13 16; ;
9 9
ổ
-ỗ ữ
ố ứ
Câu 18. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ) :P x y z+ + - =4
điểm A(1;2;1), B(0;1;2), C(0;0;3) Tìm điểmMỴ( )P cho uuur uuurMA+3MB+4uuurMC nhỏ
nhất
· Giải tương tự Câu 16
(51)điểm A(2;1;3), (0; 6;2), (1; 1;4)B - C - Tìm tọa độ điểm M mặt phẳng ( )P cho
MA MB MC+ +
uuur uuur uuur
đạt giá trị bé
· Dễ thấy A B C, , không thẳng hàng Gọi G trọng tâm tam giác ABC, G(1; 2;3)- Khi với MỴ( )P ta có MA MB MCuuur uuur uuur+ + =3MGuuuur, MA MB MCuuur uuur uuur+ + đạt giá trị
bé ÛuuuurMG đạt giá trị bé ÛM hình chiếu vng góc G ( )P (P) có VTPT nr =(1;1;1) Giả sử M x y z( ; ; ) ( )0 0 Ỵ P Þx0+y0+z0- =1 0 (1)
M hình chiếu G ( )P ÛGMuuur=(x0-1;y0+2;z0-3) phương với nr
x0 y0 z0 (x0 1) (y0 2) (z0 3)
1 1 1
- + - - + + +
-Û = = =
+ +
x0 y0 z0
( 1) 1
3
+ + - -
-= =
Û x0 2,y0 7,z0
3 3
-= = = Vậy M 8; ;
3 3
ổ -
ỗ ÷
è ø
Câu hỏi tương tự:
a) ( ) :P x y- +2z=0, (1;2; 1), (3;1; 2), (1; 2;1)A - B - C - ĐS: M 2; ; 3
ổ -
ỗ ữ
è ø
Câu 20. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 3x-3y+2z+37 0= điểm A(4;1;5), (3;0;1), ( 1;2;0)B C - Tìm toạđộ điểm M thuộc (P) cho biểu thức sau
đạt giá trị nhỏ nhất: S = MA MB MB MC MC MAuuur uuur uuur uuur uuuuruuur + +
· Giả sử M x y z( ; ; ) ( )ẻ P ị 3x-3y+2z+37 0= (1) Khi S=3 (éë x-2)2+ -(y 1)2+ -(z 2)2-5ùû Áp dụng BĐT Bunhiacốpxki cho (1) ta được:
x y z x y z
2 2
( 44)- =éë3( - -2) 3( - +1) 2( -2)ùû £(9 4) (+ + éë -2) + -( 1) + -( 2) ùû
Þ (x 2)2 (y 1)2 (z 2)2 442 88 22
- + - + - ³ =
Dấu "=" xảy Û x-32 = y-31= z-22
- Û
x y z
4
2
ì = -ï
= í ï = -ỵ
Û M(4;7; 2)- Vậy minS=3.88 259- = M(4;7; 2)-
Câu 21. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(0;1;2), ( 1;1;0)B - mặt phẳng (P): x y z- + =0 Tìm toạđộđiểm M thuộc (P) cho DMAB vuông cân B
· Giả sử M x y z( ; ; ) ( )Ỵ P uurBA=(1;0;2),MBuuur=(x+1;y-1; )z
Ta có:
M P
BA BM BA BM
( )
ì Ỵ ï
í =
ï =
ỵ
uur uuur
Û xx y zz
x y z2
1
0
( 1) ( 1)
ì + + =
ï - + = í
ï + + - + =
ỵ
Û
x x
y y
z z
1 10 10
3
4 10 10
6
2 10 10
6
ì - - ì - +
= =
ï ï
ï ï
ï - + ï - +
í = Ú í =
ï ï
ï = - - ï = - +
ï ï
ỵ ỵ
Câu 22. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm B( 1; 3; 0)- , C(1; 3; 0),
(52)· VBCMN VMOBC VNOBC a a 3
ổ = + = ỗ + ÷
è ø đạt nhỏ Û a a
= Û a= 3
Dạng 2: Xác định điểm thuộc đường thẳng
Câu 23. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
x t
d y t
z t
2 :
1
ì = -ï
= í
ï = -ỵ
mặt phẳng (P): x y z+ - + =1 Gọi d ¢ hình chiếu d mặt phẳng (P) Tìm toạ độ điểm H thuộc d¢ cho H cách điểm K(1;1;4) khoảng
· Gọi A = d Ç (P) Þ A(4; 2;3)- PT hình chiếu d¢ d (P):
x t
y t
z t
4 2
ì = + ï = -í
ï = + ỵ
Giả sử H(4 ; 2 ;3 )+ t - - t + t ẻd KH2=25 t 11 238
39
- ±
= Þ H
Câu 24. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 4; 2),B(–1; 2; 4) đường thẳng D:x y z
1
- = + =
- Tìm toạđộđiểm M D cho:MA MB
2+ 2=28
· PTTS
x t
y t
z t
1
:
2
ì = -ï
D í = - + ù = ợ
Mẻ ịD M(1 ; ;2 )- - +t t t
Ta có: MA2+MB2 =28Û12t2-48 48 0t+ = Û =t Þ M( 1;0;4)
-Câu 25. Trong không gian toạ độ Oxyz, cho điểm A(0;1;0), (2;2;2), ( 2;3;1)B C - đường thẳng d: x y z
2
- = + =
Tìm điểm M d để thể tích tứ diện MABC
· d yx tt
z t
1
:
3
ì = + ï = -í
ï = + ỵ
Giả sử M(1 ; ; )+ t - -t + t Îd n AB AC; (1; 2; 2)
3é ù
= - ëuuur uuurû=
-r
Þ SABC
2
= PT mặt phẳng (ABC): x+2y-2z- =2 0 h d M ABC( ,( ) 11t
-= =
MABC t
V 11 t
3
+
= = Û = - t 17
4
= -
Þ M 3; 1;
2
æ- -
ỗ ữ
ố ứ hoc M
15 11; ;
æ-
ỗ ữ
(53)Cõu 26. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(2; 1; 2) đường thẳng d:
x y z
1 1
- = =
- Tìm d hai điểm A, B cho tam giác ABM
· Gọi H hình chiếu M d Ta có: MH = d M d( , )= 2
Tam giác ABM đều, nhận MH làm đường cao nên: MA = MB = AB = 2MH
3
3 =
Do đó, toạđộ A, B nghiệm hệ:
x y z
x y z
2
1 1
8
( 2) ( 1) ( 2)
3
ì - = =
-ï í
ï - + - + - =
ỵ
Giải hệ ta tìm được: A 2; 2;3 ,B 2; 2;3
3 3 3
ỉ ỉ
+ + - -
-ỗ ữ ỗ ữ
ố ứ ố ứ
Câu hỏi tương tự: a) Với M(1;0; 1)- ,
x t d y t
z
:
1
ì = ï
= í ï = ỵ
ĐS: A 76 10 76; ;1 ,B 76 2 76; ;1
15 15 15 15
ổ + + ổ - -
ỗ ữ ỗ ữ
ố ứ ố ứ
hoc A 76 10 76; ;1 ,B 76 2 76; ;1
15 15 15 15
ổ - - ổ + +
ỗ ữ ỗ ữ
ố ứ ố ứ
Cõu 27. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(0; 1; 3) đường thẳng d:
x t
y t
z 2
ì = -ï = + í ï = ỵ
Tìm d hai điểm B, C cho tam giác ABC
· d có VTCP urd = -( 1;2;0) Gọi H hình chiếu vng góc A d Giả sử H(1 ; 2 ;3-t + t ) Þ uuuurAH= -(1 ;1 ;0t + t )
Mà AH ^ d nên uuur rAH u^ dÞ -1(1-t)+2(1 2+ t)=0Û t
5
= - ị Hổỗ6 85 5; ;3ửữ
ố ứ
ị AH = 3
5 Mà DABC nên BC =
AH
2 15
5
3 = hay BH = 15
Giả sử B(1 ;2 ;3)-s + s s s
2
1 2 15
5 25
æ- - +ổ + =
ỗ ữ ỗ ÷
è ø è ø
Û 25s2+10 0s- = Û s
5
- ± =
Vậy: B 3; ;3
5
æ - +
ỗ ữ
ố ứv C
6 3; ;3
5
æ + -
ỗ ữ
ố ứ
hoặc B 3; ;3
5
ổ + -
ỗ ữ
è ø C
6 3; ;3
5
ỉ - +
ỗ ữ
ố ứ
Cõu 28. Trong khụng gian với hệ toạ Oxyz, tìm Ox điểm A cách đường thẳng (d) :
1
1 2
- = = +
x y z
(54)· Gọi A(a; 0; 0) ẻOx ị d A P a a
2 2
2
( ; ( ))
3
2
= =
+ + ;
a a
d A d( ; ) 24 36
- +
=
d(A; (P)) = d(A; d) 2a 8a2 24a 36 4a2 24a 36
3
- +
Û = Û - + =
a a
4( 3)
Û - = Û = Vậy có điểm A(3; 0; 0)
Câu 29. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x–2y+2 –1 0z = hai
đường thẳng D1 : x y z
1
+ +
= = ; D2 : x y z
2
- - +
= =
- Xác định tọa độ điểm M
thuộc đường thẳng D1 cho khoảng cách từ M đến đường thẳng D2 khoảng cách từ M
đến mặt phẳng (P)
· M (–1 + t; t; –9 + 6t) ỴD1; D2 qua A (1; 3; –1) có véctơ phương ar= (2; 1; –2)
AM uuur
= (t – 2; t – 3; 6t – 8) Þ éëuuur rAM a; ùû = (14 – 8t; 14t – 20; – t) Ta có : d (M, D2) = d (M, (P)) Û 261t2-792 612 11 20t+ = t
-Û 35t2 – 88t + 53 = Û t = hay t = 53
35 Vậy M (0; 1; –3) hay M
18 53 3; ; 35 35 35
ổ
ỗ ữ
ố ứ
Câu hỏi tương tự:
a) Với (P): 2x y+ +2 0z- = , 1:x y z
1 1
D - = - = - ,
x y z
2: 41 21 13
D - = - =
-ĐS: M(2;4;1), M( 1;1;4)
-Câu 30. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng 1: x y z
2 1
D - = = +
-
x y z
2: 11 71 13
D + = - =
Đường vng góc chung D1 D2 cắt D1 A, cắt D2 B
Tình diện tích DOAB
· D1 có VTCP ur1=(2; 1;1)- , D2 có VTCP ur2=(1;7; 1)
-Giả sử A(1 ; ; 2+ t t1 - - +1 t1)ỴD1, B( 1- +t2;1 ;3+ t2 -t2)ỴD2 Ta có: AB u t A
t B
AB u12 12
0 (1;0; 2)
0 ( 1;1;3)
ì = ì = Þ
-ï Û
í í = Þ
-= ỵ
ïỵ
uuur r
uuur r Þ SOAB OA OB,
2 é ù
= ëuuur uuurû =
2
Câu 31. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x-2y+2z- =1
đường thẳng d1:x y z; d2:x y z
2
- - - +
= = = =
- - Tìm điểm M d N dỴ 1, Ỵ 2 cho MN // (P) cách (P) khoảng
· PTTS d1 là:
x t
y t
z t
1 3
ì = + ï = -í ï = ỵ
M Ỵ d1 nên tọa độ M (1 ;3 ;2+ t - t t)
Theo đề: d M P t t t t tt
2 2
1 2(3 ) 12
( ;( )) 2 0
3
1 ( 2)
+ - - + - - é =
= = Û = Û ê =
ë
+ - +
(55)·Ứng với M1, điểm N1Ỵd2 cần tìm phải giao d2 với mp qua M1 // (P), gọi mp
là (Q1) PT (Q1) là: (x- -3) 2y+2(z-2) 0= Û -x 2y+2z- =7 (1)
PTTS d2 là:
x t
y t
z t
5
5
ì = + ï = í
ï = -ỵ
(2)
Thay (2) vào (1), ta được: t = –1 Điểm N1 cần tìm N1(–1;–4;0)
·Ứng với M2, tương tự tìm N2(5;0;–5)
Câu 32. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x y- +2z- =1
đường thẳng d1: x y z
2
- -= =
- ,
x y z d2: 5
3
- +
= = Tìm điểm A d B dỴ 1, Ỵ 2 cho AB // (P) AB cách (P) khoảng
· Giả sử: A t(21+1,t1+ -3, )t1 Ỵd1, B t(32+5,4 ,2t2 t2- Ỵ5) d2
AB=(3t2-2t1+4,4t2- -t1 3,2t2+2t1-5)
uuur P
AB n = Û0 2(3t2-2t1+ -4) 4t2+ + +t1 2(2t2+2t1- =5)
uuur r t t
2
6
Û + + =
t t t t
AB ( )P d AB P( ,( )) d A P( ,( )) 41 41 1
3
+ - - - - +
Þ = = = =
P t1t
1
5
é =
-Û ê =
ë
· Với t1 t2 A( 9; 2;10),B 7; ;8 11
3 3
ỉ -
= - ị = ị - - ỗ ữ
è ø
· Với t1 t2 A(3;4; 2),B 4; 17;
3 3
æ
-
-= ị -= ị - ỗ ÷
è ø
Câu 33. Trong khơng gian với hệ toạđộ Oxyz, cho ba điểm A(1; 5; 4), B(0; 1; 1), C(1; 2; 1) Tìm tọa độđiểm D thuộc đường thẳng AB cho độ dài đoạn thẳng CD nhỏ
· Ta có uuurAB= - - -( 1; 4; 3) Phương trình đường thẳng AB:
x t
y t
z t
1 4
ì = ï = -í ï = -ỵ
Gọi D(1-a;5 ;4 )- a - a ẻAB ịDCuuur=( ;4a a-3;3a-3)
Độ dài đoạn CD ngắn Û D hình chiếu vng góc C cạnh AB Û uuur uuurAB DC^
Û - -a 16a+12 9- a+ =9 Û a 21
26
= Vậy: D 49 41; ;
26 26 26
ổ
ỗ ữ
ố ứ
Câu 34. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: x y z
2 1
+ = =
x y z d2:
1 2= = Tìm điểm M thuộc d1, N thuộc d2 cho đường thẳng MN song song
với mặt phẳng (P): x y z- + +2012 0= độ dài đoạn MN
· Lấy M d N dỴ 1, Ỵ 2 Ta có MN P MN nP
MN MN
( )
2 2
ì
ì Ûï =
í = í
=
ỵ ïỵ
uuuur r
P Û M(0;0;0),N 5; ;
7 7
ỉ
-
-ỗ ữ
ố ứ
Câu 35. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d: x y z
1 1
+
-= =
(56)điểm A(1;0;0), (0;1;1), (0;0;2)B C Tìm điểm M thuộc dsao cho góc hai mặt phẳng (MAB) (CAB) a =300
·ĐS: M(0; 2;1)-
Câu 36. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng có phương trình:
x t
y t
z
1
1
( ) :
2
ì = + ï
D í =
-ï = î
( ) :2 x y z
1
D - = - =
- Xác định điểm A D1 điểm B D2
cho đoạn AB có độ dài nhỏ
· Giả sử A(t+1; t 1; 2)ẻD1, B( t'+3; 2t' +1; t')ẻD2 ị AB= - - +( 't t 2;2 't t+ +2; ' 2)t
-uuur
Vì đoạn AB có độ dài nhỏ Û AB đoạn vng góc chung (D1) (D2)
Þ AB u AB u tt tt t t
AB u AB u
1 2
' ' 0
3 '
ì ì
ï ^ Ûï = Ûì + = Û = =
í í í + =
^ = î
ï ï
î î
uuur r uuur r
uuur r uuur r Þ A( 1; –1; 2), B(3; 1; 0)
Câu 37. Trong không gian với hệ toạđộOxyz, cho hai điểm A(1; –1; 2), B(3; – 4; –2) đường thẳng
x t
d y t
z t
2
:
1
ì = + ï
= -í
ï = -ỵ
Tìm điểm I đường thẳng d cho IA + IB đạt giá trị nhỏ
· uuurAB=(2; 3; 4)- - Þ AB // d Gọi A1 điểm đối xứng A qua d
Ta có: IA + IB = IA1 + IB ³ A1B Do IA + IB đạt giá trị nhỏ A1B Khi A1,
I, B thẳng hàng Þ I giao điểm A1B d Vì AB // d nên I trung điểm A1B
Gọi H hình chiếu A lên d Tìm H 36 33 15; ;
29 29 29
ỉ
ỗ ữ
ố ứ A i xng vi A qua H nên
A’ 43 95 28; ;
29 29 29
ỉ
-ỗ ữ
ố ứ I l trung im A’B suy I
65 21 43; ; 29 58 29
ổ - -
ỗ ÷
è ø
Câu hỏi tương tự:
a) Với A(1; 1;2), (3; 4; 2)- B - - , d: x y z
4
- = = +
- - ĐS: I
64; ; 45 29 29 29
ỉ
-
-ỗ ữ
ố ứ
b) Vi A(1;2;1), (7;–2;3) B , d: x y z
3 2
- = =
ĐS: I(2;0;4)
Câu 38. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 5; 0), B(3; 3; 6) đường thẳng D: x y z
2
+ = - =
- Tìm toạđộđiểm M D cho DMAB có diện tích nhỏ
· PTTS D:
x t
y t
z t
1 2
ì = - + ï
= -í ï = ỵ
Gọi M( ;1 ;2 )- + t -t t ỴD
Diện tích DMAB S AM AB, 18t2 36 216t
2 é ù
= ëuuur uuurû = - + = 18( 1) 198t- 2+ ≥ 198
Vậy Min S = 198 t=1 hay M(1; 0; 2) Câu hỏi tương tự:
a) Với A(0;1;0), (2;2;2)B , : x y z
2
D - = + =
ĐS: M( 3;0;1)- , S
3
2
(57)b) Với A(2; 1;1), (0;1; 2), :B x y z
1
D - +
- - = =
- ĐS: M S
34 ( 5;8; 11),min
2
- - =
c) Với A(0;1; 2), (2; 1;1), :B x y z
1
D - -
- = =
- ĐS: M( 2;5; 5),min- - S= 22
d) Với A(2; 1;1), (1; 1;0), :- B - D ì + - - =í2x y zx y 1 01
- - =
ỵ ĐS: M
1 3; ;
ỉ
-ỗ ữ
ố ứ
e) Vi A(1;4;2), ( 1;2;4), :B x y z
1
D -
= =
- ĐS: M
12 38; ; 7
ổ-
ỗ ÷
è ø
Câu 39. Trong không gian với hệ toạđộ Oxyz, cho ba điểm A(5;8; 11)- , B(3;5; 4)- , C(2;1; 6)
-và đường thẳng d: x y z
2 1
- = - =
- Xác định toạ độ điểm M thuộc đường thẳng d cho MA MB MCuuur uuur uuur- - đạt giá trị nhỏ
· Giả sử M t(2 1;2 2; 1)+ t+ t+ ẻdị MA MB MCuuur uuur uuur- - = - - - - -( 1; 4; )t t t MA MB MC-
-uuur -uuur -uuur
= t t t t
2
2 2 10 53 53
(2 1) (2 4)
9
ỉ
+ + + + = ỗ + ữ +
è ø
Dấu "=" xảy Û t 10
9
= - Þ M 11 1; ;
9 9
ỉ
- -
-ỗ ữ
ố ứ
Câu 40. Trong không gian với hệ trục toạđộOxyz, cho ( ) :P x+2y z- + =5 điểm A( –2; 3; 4) đường thẳng ( ) :d x y z
2
+
= + = - Gọi D đường thẳng nằm (P) qua giao
điểm (d) (P) đồng thời vng góc với d Tìm Dđiểm M cho khoảng cách AM ngắn
· PTTS d:
x t y t z t
2 3
ì = ï = -í ï = + ỵ
Gọi I giao điểm (d) (P) Þ I( 1;0;4)
-(d) có VTCP ar=(2;1;1), (P) có VTPT nr=(1;2; 1)- Þ[ ]a nr r, = -( 3;3;3) Gọi ur vectơ phương D Þ = -ur ( 1;1;1) y ux u
z u
1 :
4
D ì = -ï
Þ í =
ï = + ợ
Vỡ Mẻ ịD M( ; ;4- -u u +u), ÞuuurAM= -(1 ;u u-3; )u
AM ngắn ÛAM^D Ûuuur rAM u = Û -0 1(1- +u) 1(u- +3) 1.u=0 u
3
Û =
Vậy M 16; ; 3
ổ-
ỗ ữ
è ø
Câu 41. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(–1; –1; 2), B(–2; –2; 1) mặt phẳng (P) có phương trình x+3y z- + =2 Viết phương trình mặt phẳng (Q) mặt phẳng trung trực đoạn AB Gọi D giao tuyến (P) (Q) Tìm điểm M thuộc D cho độ dài đoạn thẳng OM nhỏ
· Gọi I trung điểm AB I 3 3; ; ; AB ( 1; 1; 1)
2 2
ỉ- -
Þ ỗ ữ =
-ố ứ
uuur
(58)Þ PT (Q): x y z
2
+ + + =
D giao tuyến (P) (Q) Þ PTTS D: x ;t y t z; t
4
ì
= - + = - =
-í
ỵ
Giả sử M ; ;t t t ; OM 6t2 15t 25
4
ỉ
- + - - Ỵ D = - +
ỗ ữ
ố ứ
OM nhỏ t M 3; ;
8 8
ỉ
= ị ỗ- - - ữ
ố ứ
Câu 42. Trong không gian với hệ toạđộOxyz, cho hai đường thẳng (d1): x y z
1
- = = +
- , (d2):
x y z
1
- = + =
- Một đường thẳng (D) qua điểm A(1; 2; 3), cắt đường thẳng (d1)
điểm B cắt đường thẳng (d2) điểm C Chứng minh điểm B trung điểm đoạn
thẳng AC
· Lấy B Ỵ (d1), C Ỵ (d2) Từ : AB k AC=
uuur uuur
Þ k
2
= Þ B trung điểm đoạn thẳng AC Ta tính B(2; –1; 1), C(3; –4; –1)
Câu 43. Trong không gian với hệ tọa độOxyz, cho hai điểm E(2;1;5), ( ; ; ) F 9 Gọi D giao tuyến hai mặt phẳng ( )P : 2x y z + - + = ( ) :Q x y- +2z-7 = Tìm điểm I thuộc Dsao cho: IE IF- lớn
· PTTS D:
x t
y t
z t
1 3
ì = + ï = -í ï = -ỵ
PTTS EF:
x t
y t
z t
2
¢ ì = + ï = + ¢
ù = + Â
ợ
Xét hệ:
t t t
t t t
t t
1 0
5 1
3
¢ ì + = +
ï- = + ¢ ỡ =
ớ ớ Â =
-ợ
ù - = + Â
ợ
ị EF cắt D A(1;0;3)
Trong mp(D,EF) điểm I Ỵ Dta có IE IF EF- £ (hiệu cạnh tam giác nhỏ cạnh thứ 3) Dấu "=" xảy Û I, E, F thẳng hàng, từđó suy I trùng A
Vậy điểm I(1;0;3)
Câu 44. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: x y z
1 1= = hai điểm
A(0;0;3), B(0;3;3) Tìm điểm M Ỵd cho:
a) MA MB+ nhỏ b) MA2+2MB2 nhỏ c) MAuuur uuur-3MB nhỏ
·a) PTTS d:
x t y t z t
ì = ï = í ï = ỵ
Gọi M t t t( ; ; )Ỵd Ta có: P= ( 1)( t- 2+ +2 ( 2)t- 2+2)
Xét hàm số f t( )= ( 1)t- 2+ +2 ( 2)t- 2+2 Þ f t t t
t t
1
( )
( 1) ( 2)
-
-¢ = +
- + - +
t t
f t
t t
1
( )
( 1) ( 2)
-
-¢ = Û =
+ - + [ ]
t t
t t
1 ( 2)
( 1) ( 2) 2
-
-Û =
(59)Xét hàm số g u u u2
( )
2
=
+ Ta có
u
g u u u
u
u u
2
2
2
1
( )
2
2 ( 2)
ổ
 =ỗ + - ữ = >
ỗ + ữ + +
è ø
nên hàm số g đồng biến ¡
Do từ (*), ta có g t( 1) g[ ( 2)t ] t t t
2
- = - - Û - = - + Û =
Dựa vào BBT hàm số f ta suy min ( )f t f 3
2
ổ = ỗ ữ=
ố ứ
Vậy min(MA MB+ ) 3= đạt t
2
= , tức M 3 3; ;
2 2
ổ
ỗ ữ
ố ứ
b) Tương tự câu 1), ta tính Q MA= 2+2MB2=9t2-30 45 (3 5)t+ = t- 2+20
Þ minQ=20 t
3
= , tức M 5 5; ;
2 2
ổ
ỗ ữ
ố ứ
c) Theo câu 1) , ta có MAuuur= - -( ; ;3 )t t -t , uuurMB= -( ;3 ;3 )t -t -t
Suy uuurMA-2uuurMB=( ;t t-6;t-3) Þ MAuuur-2uuurMB = 3t2-18 45t+ = 3( 3)t- 2+18 2³
(60)Dạng 3: Xác định điểm thuộc mặt cầu
Câu 45. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x2+y2+z2+4 –6x y m+ =0 đường thẳng (d) giao tuyến mặt phẳng (P): –2 –x y z+ =1 0, (Q):
x+2 –2 – 0y z = Tìm mđể (S) cắt (d) điểm M, N cho độ dài MN =
· (S) tâm I(–2;3;0), bán kính R= 13-m IM m= ( <13) Gọi H trung điểm MN
Þ MH= Þ IH = d(I; d) = - -m
(d) qua A(0;1;-1), VTCP ur=(2;1;2)Þ d(I; d) = u AI
u
; 3
é ù
ër uurû =
r Vậy : - -m 3=3 Û m = –12
Câu 46. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x y z+ - + =3 mặt cầu (S): x2+y2+z2-6x-8y-2z+23 0= Tìm (S) điểm M cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) lớn Khi viết phương trình mặt cầu (T) có tâm M cắt (P) theo đường trịn có bán kính
· Mặt cầu (S) có tâm I(3;4;1), bán kính R =
Gọi d đường thẳng qua I vuông góc với (P) Þ PTTS d:
x t
y t
z t
3
ì = + ï = + í ï = -ỵ
Khi M giao điểm d với (S) Þ Tọa độđiểm M nghiệm hệ:
x t t t
y t x x
z t y y
z z
x2 y2 z2 x y z
3 1
4
1
0
6 23
ì = + ì = ì =
-ï = + ï ï
ï Ûï = Èï =
í = - í = í =
ï ï ï
= =
ï ï
+ + - - - + =
ï ỵ ỵ
ợ
ị M1(4;5;0),M2(2;3;2)
Ta thy d M P( ,( )) 31 = > d M P( 2,( )) 3= Vậy M(4;5;0) điểm cần tìm
Mặt cầu (T) có R'= MH2+HE2 = (4 3)2+42 =8 Þ( ) :(T x-4)2+ -(y 5)2+z2 =64
Câu 47. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) mặt phẳng (P) có phương trình ( ) :S x2+y2+z2-4x+2y-6z+ =5 0, ( ) : 2P x+2y z- +16 0= Điểm M di động (S) điểm N di động (P) Tính độ dài ngắn đoạn thẳng MN Xác định vị
trí M, N tương ứng
· Mặt cầu (S) tâm I(2;–1;3) có bán kính R =
Khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P): d d I P( ,( )) 2.2 2.( 1) 16 d R
3
+ - - +
= = = Þ >
Do (P) (S) khơng có điểm chung Do vậy, MN = d –R = –3 =
Trong trường hợp này, M vị trí M0 N vị trí N0 Dễ thấy N0 hình chiếu vng góc
của I mặt phẳng (P) M0 giao điểm đoạn thẳng IN0 với mặt cầu (S)
Gọi D đường thẳng qua I vng góc với (P), N0 giao điểm D (P)
Đường thẳng D có VTCP nrP =(2;2; 1- ) qua I nên có phương trình
x t
y t
z t
2 2
ì = + ï = - + í
ï = -ỵ
(61)2(2 ) 2( ) (3 ) 16 0t t t 15 0t t 15
9
+ + - + - - + = Û + = Û = - =
-Suy N0 13 14; ;
3 3
ổ
-
-ỗ ữ
ố ø Ta có IM0 IN0
3 .
5
=
uuuur uuur
Suy M0(0;–3;4)
Câu hỏi tương tự:
a) ( ) :S x2+y2+z2-4x-4y+2z=0; ( ) : 2P x y+ -2z+ =4 0
ĐS: M(2 2;2- - 2; 2)- + , N 5; ;
3 3
ổ- -
ỗ ÷
è ø
Câu 48. Trong không gian tọa độ Oxyz , cho điểm A(0;1;1), (1;0; 3), ( 1; 2; 3)B - C - - - mặt cầu (S) có phương trình: x2+y2+z2-2x+2z- =2 Tìm tọa độđiểm D mặt cầu (S) cho tứ diện ABCD tích lớn
·(S) có tâm I(1; 0; –1), bán kính R=2 PT mp(ABC): 2x-2y z+ + =1
Ta có VABCD ( ;(d D ABC S)) ABC
= nên VABCDlớn Û d D ABC( ;( )) lớn
Gọi D D1 2 đường kính (S) vng góc với mp(ABC) Ta thấy với D điểm bất kỳ
thuộc (S) d D ABC( ;( )) max ( ;(£ {d D ABC1 )); ( ;(d D ABC2 ))} Dấu “=” xảy D trùng với D1 D2
D D1 2 đi qua I(1;0;–1), có VTCP nrABC =(2; 2;1)-
Þ D D1 2: {x = +1 ;t y= -2 ;t z= - +1 t
Tọa độ D1 D2 thỏa:
x t
t
y t
z t
t x y2 z
1 2
2 3
1 2
3
( 1) ( 1)
ì = + é
ï = - ê =
ï Þ ê
í = - + ê
-ï =
ê
ï - + + + = ë
ỵ
D1 1; ; ;D2 5; ;
3 3 3
ỉ - - ỉ- -
ị ỗ ữ ỗ ữ
ố ứ ố ø
Ta thấy: d D ABC( ;(1 ))>d D ABC( ;(2 )) Vậy điểm D 1; ;
3 3
ỉ
-
-ỗ ữ
(62)Dng 4: Xỏc nh điểm không gian
Câu 49. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (a): 3x+2 –y z+ =4 hai
điểm A(4;0;0) , B(0;4;0) Gọi I trung điểm đoạn thẳng AB Xác định tọa độ điểm K cho KI vng góc với mặt phẳng (a), đồng thời K cách gốc tọa độ O (a)
· I(2;2;0) PT đường thẳng KI: x y z
3
- = - =
-
Gọi H hình chiếu I (a): H(–1;0;1) Giả sử K(xo;yo;zo)
Ta có: KH = KO Û
x y z
x y z x y z
0 0
2 2 2 0 0 0
2
3
( 1) ( 1)
ì -
-= =
ï
-í
ï + + + - = + +
ợ
ị K 1 3; ; 4
ỉ
-ỗ ữ
ố ứ
Cõu 50. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(2;4;–1), B(1;4;–1), C(2;4;3), D(2;2;–1) Tìm tọa độđiểm M để MA2+ MB2+ MC2+ MD2 đạt giá trị nhỏ
· Gọi G trọng tâm ABCD ta có: G 14; ;0
3
ỉ
ỗ ữ
ố ứ
Ta có: MA2+MB2+MC2+MD2 =4MG2+GA2+GB2+GC2+GD2
³ GA2+GB2+GC2+GD2 Dấu xảy M º G 14; ;0 3
ổ
ỗ ữ
ố ứ
Câu 51. Trong không gian với hệ toạđộOxyz, cho mặt phẳng (P): x y z+ + + =3 điểm A(0; 1; 2) Tìm toạđộđiểm A¢đối xứng với A qua mặt phẳng (P)
· (P) có VTPT nr=(1;1;1) Giả sử A¢(x; y; z) Gọi I l trung im ca AAÂị I x y; 1;z
2 2
ỉ + +
ỗ ữ
ố ứ
AÂi xng vi A qua (P) Û AA n phương
I (P),
ỡù Â
ẻ ùợ
uuur r
Û
x y z
x y z
1
1 1
1 2 0
2 2
ì = - =
-ï
í + +
ï + + + =
ỵ
Û xy z
4
ì = -ï
= -ớ ù = -ợ
Vy: AÂ(4; 3; 2)
Câu 52. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1;0;0), (0;1;0), (0;3;2)B C mặt phẳng ( ) :a x+2y+ =2 Tìm toạ độ điểm M biết M cách điểm
A B C, , mặt phẳng ( ).a · Giả sử M x y z( ; ; )0 0
Ta có:
MA MB MB MC MA d M( ,( ))
ì =
ï = í
ï =
ỵ a
x y z x y z
x y z x y z
x y
x y z
2 2 2 0 0 0 2 2 2 0 0 0
2 2 0 0
( 1) ( 1) (1)
( 1) ( 3) ( 2) (2)
( 2)
( 1) (3)
5
ì - + + = + - +
ï ï
Ûí + - + = + - +
-+ +
ï
- + + =
ïỵ
Û xx0 y0y z0 z
0
1, 1,
23, 23, 14
3 3
é = = =
ê
ê = = =
-ë
Þ M(1; 1; 2) M 23 23; ; 14
3 3
ỉ -
ỗ ữ
ố ứ
(63)A(3;0;0), (0;3;0), (0;0;3) B C Tìm toạđộđỉnh S biết thể tích khối chóp S.ABC 36
· Phương trình (ABC x y z) : + + - =3 0
DABC có trọng tâm G(1;1;1)và AB= BC= CA= 3 2Þ SABC
2
=
Do hình chóp S.ABC nên đường thẳng SG qua G vng góc với (ABC) Phương trình
x t
SG y t
z t
1
:
1
ì = + ï = + í ï = + ỵ
Giả sử S(1 ;1 ;1 )+t +t +t
Ta có : VS.ABC=36=1SG
3 SABC Û =t 8,t= -8 Vậy: S(9;9;9) hoặc S( 7; 7; 7)- - -
Dạng 5: Xác định điểm đa giác
Câu 54. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(1;0;0), B(0;2;0), C(0;0;3) Tìm toạđộ trực tâm tam giác ABC
· Lập phương trình mp(ABC); (P) qua A (P) ^ BC; (Q) qua B (Q) ^ AC Giải hệ gồm ba phương trình ba mặt phẳng ta trực tâm H 36 18 12; ;
49 49 49
æ
ỗ ữ
ố ứ
Cõu hi tương tự:
a) Với A(3;0;0), B(0;1;4), C(1;2;2) ĐS:
Câu 55. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A( 1;3;5)- , B( 4;3;2)- , C(0;2;1) Tìm tọa độ tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC
· Ta có: AB BC CA= = =3 Þ DABC đều Do tâm I đường tròn ngoại tiếp
ABC
D cũng trọng tâm Kết luận: I 8; ;
3 3
ổ
-ỗ ữ
ố ứ
Câu 56. Trong không gian với hệ toạđộ Oxyz, cho điểm A(–1; 0; 1), B(1; 2; –1), C(–1; 2; 3) Tìm tọa độ tâm bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
· Ta có: uuurAB=(2; 2; 2),- uuurAC=(0; 2;2). Suy phương trình mặt phẳng trung trực AB, AC là: x y z+ - - =1 0,y z+ - =3
VTPT mp(ABC) nr=éëuuur uuurAB AC, ùû=(8; 4;4).- Suy (ABC): 2x y z- + + =1 0 Giải hệ:
x y z x
y z y
x y z z
1 0
3
2 1
ì + - - = ì =
ï + - = Þï =
í í
ï - + + = ï =
ỵ ỵ
Suy tâm đường trịn I(0; 2;1)
Bán kính R IA= = ( 0)- - 2+ -(0 2)2+ -(1 1)2 =
Câu 57. Trong không gian với hệ trục tọa độOxyz, cho ba điểm A(2;3;1), B( 1;2;0)- ,C(1;1; 2)- Tìm tọa độ trực tâm H tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC
(64)BH AC
CH AB x y z
AB AC AH
2 29
; ;
15 15
,
ì =
ï ì
Ûí = Ûí = = =
-ỵ
ïéë ùû =
ỵ
uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur Þ H 15 152 29; ; 13
ổ -
ỗ ữ
ố ứ
I x y z( ; ; ) tâm đường tròn ngoại tiếp DABC ÛAI BI CI I= = , Ỵ(ABC)
AI BI CI BI
AB AC AI
2 2
,
ì =
ï
Ûí =
ïéë ùû =
ỵ
uuur uuur uur x 1514;y 3061;z 13 I 14 61 115 30 3; ;
ì ổ
ớ = = = - ị ỗ - ữ
ợ ố ứ
Cõu 58. Trong không gian với hệ tọa độOxyz, cho ba điểmA( 1;0;1), (1;2; 1), ( 1;2;3)- B - C - I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm Ivà tiếp xúc với mặt phẳng (Oxz)
· Phương trình (ABC) : 2x y z- + + =1 0 Gọi I x y z( ; ; )
IA IB IC= = Þ + - - =x y z 0,y z+ - =3 (1); Iẻ(ABC)ị2x y z- + + =1 (2)
Từ (1) (2)ÞI(0; 2;1) Bán kính mặt cầu R d I Oxz= ( ,( )) 2=
Þ (S):x2+ -(y 2)2+ -( 1)z 2=4
Câu 59. Trong không gian với hệ tọa độOxyz, cho tam giác ABC có A(3;1;0), B nằm mặt phẳng (Oxy) C nằm trục Oz Tìm toạđộ điểm B, C cho điểm H(2;1;1) trực tâm tam giác ABC
· Giả sử B x y( ; ;0) (Ỵ Oxy C), (0;0; )z OzỴ
H trực tâm DABC Û
AH BC CH AB
AB AC AH đồng phẳng, ,
ì ^
ï
í ^
ï ỵ
uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur Û
AH BC CH AB
AB AH AC
,
ì =
ï
= í
ïéë ùû =
ỵ
uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur Û x zx y
x y yz z
0
2
3
ì + =
ï + - =
í
ï - + - = ỵ
Û x y z
x y z
3 177; 17 177; 177
4
3 177; 17 177; 177
4
é - - + +
= = =
ê ê
- + -
-ê = = =
êë
Þ B 177 17; 177;0 ,C 0;0;3 177
4
ỉ- - + ỉ +
ỗ ữ ỗ ữ
ố ứ ố ø
hoặc B 177 17; 177;0 ,C 0;0;3 177
4
ỉ- + - ổ -
ỗ ữ ỗ ữ
ố ø è ø
Câu 60. Trong không gian Oxyz, cho điểm A(3; 2; 3) hai đường thẳng có phương trình
x y z
d1: 3
1
- = - =
x y z
d2:
1
- = - =
Chứng minh đường thẳng d1, d2
điểm A nằm mặt phẳng Xác định toạđộ đỉnh B C tam giác ABC biết d1 chứa đường cao BH d2 chứa đường trung tuyến CM tam giác ABC
· d1 qua M1(2; 3; 3), có VTCP ar=(1;1; 2)- ; d2 qua M2(1; 4; 3) có VTCP br=(1; 2;1)
Ta có éëa burr, ûù¹0 , , r r r uuuuuuréëa b M Mûù 1 2 =0 Þ d d1 2, cắt
Phương trình mặt phẳng chứa d d1 2, : x y z+ + –8 0= A mp d dỴ ( , )1 2 Giả sử B(2 ;3 ;3 ) +t +t - t dẻ 1 ị trung điểm AB M t 5;t 5;3 t
2
ỉ + + -
ỗ ữ
(65)M dẻ 2 ị t= - Þ1 M(2;2;4)Þ B(1;2;5)
Giả sử C(1 ;4 ;3 )+t - t + Ỵt d2 uuur rAC a^ Þ t = Þ C(1;4;2)
Câu 61. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho cho tam giác ABC có A(3;2;3), đường cao CH, đường phân giác BM góc B có phương trình
x y z
d1: 3
1
- = - =
,
x y z
d2:
1
- = - =
Tính độ dài cạnh tam giác
tam giác ABC
· Gọi (P) mặt phẳng qua A vng góc với d1 Þ (P): x y+ –2 0z+ = B giao
điểm d2 với (P) Þ B(1;4;3)
Gọi (Q) mặt phẳng qua A vuông góc với d2 Þ (Q): x-2y z+ - =2 0 Gọi K giao điểm d2 với (Q) Þ (2;2;4)K Gọi E điểm đối xứng A qua K Þ E(1;2;5) Phương trình đường thẳng BE
x
y t
z t
1
ì = ï
= -í ï = + ỵ
C giao điểm BE CH Þ C(1;2;5)
Ta có AB = AC = BC = 2 Þ Tam giác ABC
Câu 62. Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình thang cân ABCD với A(3; 1; 2- - ),
( )
B 1;5;1 , C(2;3;3), AB đáy lớn, CD đáy nhỏ Tìm toạđộđiểm D
· Do ABCD hình thang cân nên AD = BC =
Gọi D đường thẳng qua C song song với AB, (S) mặt cầu tâm A bán kính R =
Điểm D cần tìm giao điểm D (S)
Đường thẳng D có vectơ phương uuurAB= -( 2;6;3) nên có phương trình:
x t
y t
z t
2 3
ì = -ï = + í ï = + ỵ
Phương trình mặt cầu ( ) : (S x-3)2+ +(y 1)2+ +(z 2)2 =9
Toạđộđiểm D thoả Hệ PT:
( ) ( ) ( )
x t
t
y t
t t
z t t
x y z
2 2
2
1
49 82 33 33
3
49
3
ì =
-é
ï = + =
-ï Þ + + = Ûê
í = + ê =
-ï ë
- + + + + =
ïỵ
· Với t = – 1, D(4; – 3; 0) : khơng thoả AB = CD =
· Với t 33 D 164; 51 48;
49 49 49 49
ỉ
= - ị ỗ - ữ
ố ứ (nhận)
Câu 63. Trong không gian với hệ toạ độOxyz, cho hình thoi ABCD với A( 1;2;1)- , B(2;3;2) Tìm tọa độ đỉnh C, D viết phương trình mặt phẳng chứa hình thoi biết tâm I hình thoi thuộc đường thẳng d:x y z
1 1
+ = =
- điểm D có hồnh độ âm
(66)+ Với t= - Þ1 I(0;1;1)ÞC(1;0;1), ( 2; 1;0)D - - + Với t= - Þ2 I(1;2;0)ÞC(3;2; 1), (0;1; 2)- D
-Do D có hồnh độ âm nên ta chọn nghiệm C(1;0;1), ( 2; 1;0)D
-+ Gọi (P) mặt phẳng chứa hình thoi ABCD, giả sử (P) có VTPT nr Ta có n IA
n IB ( 1;1;0) (2;2;1) ìï ^ = -í ^ = ùợ uur r uur
r ị cú thể chọn nr=éëIA IBuur uur, ùû=(1;1; 4)
-Suy phương trình mặt phẳng ( ) :P x y+ – 4z+ =3 0
Câu 64. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng, A(1;0;0), C( 1;2;0)- , D( 1;0;0)- , S(0;0; 3) Gọi M, N trung điểm
đoạn SB CD Chứng minh hai đường thẳng AM BN vng góc với xác
định tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ONB
· uuur uuurAB DC= Þ B(1; 2; 0) M trung điểm SB, N trung điểm CD
ÞM 1;1;
2
ổ
ỗ ữ
ỗ ữ
ố ứ, N(1; 1; 0) ị AM ^ BN Vì DONB nằm mp(Oxy) nên tâm I
đường tròn ngoại tiếp DONB thuộc mp(Oxy) Gọi I x y( ; ;0) Ta có: IO IN
IO IB
ì =
ớ =
ợ ị I
1 7; ;0 6
ổ
ỗ ữ
ố ø
Câu 65. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình vng MNPQ có M(5;3; 1)- ,
P(2;3; 4)- Tìm toạ độ đỉnh Q biết đỉnh N nằm mặt phẳng
R x y z
( ) : + - - =6
· Gọi I tâm hình vng Þ I 7;3;
2
ỉ
-ỗ ữ
ố ứ Gi N a b c( ; ; ) ( )Ỵ R MP= -( 3;0; 3)
-uuur
IN a 7;b 3;c
2
æ
=ỗ - - + ữ
ố ứ
uur
; MP=3 Þ IN
2 = Ta có: N R IN MP IN ( ) 2 ì Ỵ ïï ^ í ï = ïỵ uur uuur Û
a b c
a c
a b c
2 2
6
7
3
2
7 ( 3)
2 2
ì + - - = ù ổ ổ ù- ỗ - ữ- ỗ + ữ= ố ứ ố ứ ùổ ổ ù -ỗ ữ + - +ỗ + ữ = ố ứ ố ứ ợ
ê =é =aa 2,3,bb==1,3,cc= -= -21
ë
· Nếu N(2;3 1)- Q(5;3; 4).- · Nếu N(3;1; 2)- Q(4;5; 3)
-Câu 66. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình vuông ABCD, biết B(3;0;8),
D( 5; 4;0)- - đỉnh A thuộc mặt phẳng (Oxy) Tìm tọa độđiểm C
· Ta có trung điểm BD I(–1;–2; 4), BD = 12 điểm A thuộc mp(Oxy) nên A(a; b; 0) ABCD hình vng Þ
AB AD AI BD 2 2 ỡ = ù ổ ử = ù ỗ ữ è ø ỵ
a b a b
a b
2 2 2 2
( 3) ( 5) ( 4)
( 1) ( 2) 36
ìï - + + = + + +
Û í
+ + + + =
ïỵ
b a
a a
4
( 1) (6 ) 20
ì =
-Û í + + - =
ỵ
a b 12
ì =
Û í =ỵ a
b 17 14 ì = ï í -ù = ợ
ị A(1; 2; 0) hoc A 17 14; ;0
5
æ -
ỗ ữ
(67)Ã Vi A(1; 2; 0) Þ C(–3;–6; 8) · Với A 17 14; ;0
5
ỉ -
ỗ ữ
ố ứ ị C
27 6; ;8
5
ỉ- -
ỗ ữ
ố ứ
Cõu 67. Trong khơng gian với hệ tọa độOxyz, cho hình vng ABCD, biết A(1;2;0), (2;3; 4)C - đỉnh B nằm mặt phẳng (Q): x+2y z+ - =3 Tìm toạđộ đỉnh D, biết toạđộ B số nguyên
· AC=3 Þ AB=3 Gọi B x y z( ; ; )
Ta có:
B Q AB CB AB
( )
ì Ỵ ï
= í
ï =
ỵ
Û
x y z
x y z x y x
x y z
2 2 2 2 2
2 (1)
( 1) ( 2) ( 2) ( 3) ( 4) (2)
( 1) ( 2) (3)
ì + + =
ï - + - + = - + - + + í
ï - + - + =
ỵ