Đang tải... (xem toàn văn)
Đây là 1 bài toán khá hay, độc đáo ở chỗ tách ghép các đại lượng ở vế trái bất đẳng thức cần chứng minh.. Sử dụng kĩ thuật tách.[r]
(1)CHUYÊN ĐỀ
MỘT SỐ
PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH
BẤT ĐẲNG THỨC
(2)Lời giới thiệu
Bất đẳng thức mảng tốn khó toán học sơ cấp lại giữ vai trị đặc biệt quan trọng; đơng đảo bạn học sinh u tốn quan tâm
Nó xem phần “hay nhất”, “đẹp nhất”, địi hỏi tính tư tính sáng tạo cao
(3)Lời giới thiệu
(4)1 Sử dụng kỹ thuật AM-GM ngược dấu
Đây kỹ thuật hay, khéo léo, mẻ ấn tượng bất đẳng thức AM-GM
(5)VD1:Cho a, b, c > thoả Chứng minh
•
+ +
(Trần Quốc Anh)
1 Sử dụng kỹ thuật AM-GM
(6)Lời giải:
•
(7)
Cộng vế (1), (2), (3) ta được:
•
(8)Đẳng thức xảy
•
(9)Qua ví dụ trên, ta thấy kỹ thuật AM-GM ngược dấu giúp chuyển bất đẳng thức hoán vị thành bất đẳng thức đối xứng sau vài bước thực đem lại hiệu cao
Nhận xét:
(10)VD2: Cho số thực không âm thoả
CMR:
•
� +1
�2 +1 +
� +1
� +1 +
� +1
�2 +1 ≥
(11)
Lời giải:
Sử dụng kĩ thuật AM–GM, ta có:
Tương tự, ta chứng minh được:
•
(12)Cộng vế (1), (2), (3)
•
(13)
•
(14)Bài tập tương tự CMR thỏa , ta có:
•
(15)Đây kĩ thuật khơng mẫu mực, địi hỏi tinh tế khéo léo Sự thành công kĩ thuật phụ thuộc vào việc phát đẳng thức đặc biệt hay bất đẳng thức phụ thích hợp
2 Sử dụngkĩ thuậttách ghép
(16)2 Sử dụng kĩ thuật tách
ghép Cauchy-Schwarz
VD1: Cho CMR:
(17)Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: Chứng minh tương tự, ta được:
•
2 Sử dụng kĩ thuật tách
(18)Cộng vế (1), (2), (3)
•
2 Sử dụng kĩ thuật tách
(19)Ở tốn địi hỏi phải quan sát thật kĩ mẫu số phân thức vế trái Ta tách ghép dùng tiếp Cauchy-Schwarz đến kết đẹp
2 Sử dụng kĩ thuật tách
(20)VD2: Cho thoả CMR:
•
2 Sử dụng kĩ thuật tách
(21)Ta có:
Do bất đẳng thức cho tương đương
•
2 Sử dụng kĩ thuật tách
(22)Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: Ta cần chứng minh:
(2)
•
2 Sử dụng kĩ thuật tách
(23)Thật vậy:
Vậy: Bất đẳng thức cho chứng minh
Đẳng thức xảy
•
2 Sử dụng kĩ thuật tách
(24)Đây toán hay, độc đáo chỗ tách ghép đại lượng vế trái bất đẳng thức cần chứng minh Ta đến kết mong muốn qua hàng loạt chặn sử dụng kĩ thuật tách ghép Cauchy-Schwarz ấn tượng
2 Sử dụng kĩ thuật tách
(25)Bài tập tương tự:
Cho số thực thỏa CMR
•
2 Sử dụng kĩ thuật tách
(26)3 THIẾT LẬP CHẶN
(27)Ở nhiều toán mà biểu thức vế phức tạp, việc chứng minh trực tiếp trở nên khó khăn, ta sử dụng phương pháp “thiết lập nút chặn” làm cho toán đơn giản hơn, tức :
Ta cần chứng minh BĐT:
Ta chứng minh:
} ⇒ A +B+C ≥ A′+B′+C′ ≥ X +Y +Z
Khi đó, việc chứng minh 𝐴′ + 𝐵′ + 𝐶′ ≥ 𝑋 + 𝑌 + 𝑍 trờ nên dễ dàng
3 THIẾT LẬP NÚT CHẶN
(28)VD1: Cho số thực dương CMR:
•
4
√�4+3 +√4 �4+3+ √4 �4+3 ≥ √4 108( �+ �+�)
(29)
Ta có bổ đề quan trọng
(Dạng BĐT Jensen)
Có nhiều cách chứng minh bổ đề này: Sử dụng AM–GM, Bernoulli, hàm lồi, hàm lõm đạo hàm,…
•
(30)Cách chứng minh sử dụng bất đẳng thức Bernoulli
Đặt )
•
(31)Áp dụng bổ đề với n = 4, m = ta có:
Tương tự:
•
(32)Cộng vế (1), (2), (3):
•
(33)Dấu “=“ xảy
Nhận xét: Đây toán khó cho việc thiết lập nút chặn (1), (2), (3) cách sử dụng bất đẳng thức Jensen cho thấy hiệu lớn bổ đề
•
(34)VD2: Cho số thực dương Chứng minh rằng:
•
(35)Áp dụng bổ đề ví dụ với m=3,n=2 ta có:
•
(36)Ta cần chứng minh:
•
(37)(1)
•
(38)Đặt , (1) trở thành:
Chứng minh tương tự (2)
•
(39)Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy
•
(40)Bài tập tương tự:
Cho số thực dương thay đổi CMR:
•
xyz
(1+ x )( z +6) ( x +8 y )( y+9 z ) ≤
1 74
(41)
Qua hai ví dụ cho thấy tính hiệu to lớn sử dụng phương pháp thiệt lập nút chặn, làm bất đẳng thức ban đầu trở nên “dễ trị” qua hàng loạt nút chặn thiết lập
(42)