Trên nửa mặt phẳng không chứa B , bờ là AC , kẻ tia Ax vuông góc với AC ; trên Ax lấy điểm M sao cho AM=AC.. Trên nửa mặt phẳng không chứa C , bờ là AB , kẻ tia Ay vuông góc với AB và l[r]
(1)Đề 1:
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN :TỐN LỚP 7
Thời gian: 90 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1: (1,5 điểm): So sánh hợp lý:
a) (161 )
200
và (12)1000 b) (-32)27 (-18)39 Bài 2: (1,5 điểm): Tìm x biết: a) (2x-1)4 = 16 b) (2x+1)4 = (2x+1)6 c) ||x+3|−8|=20
Bài 3: (1,5 điểm): Tìm số x, y, z biết : a) (3x - 5)2006 +(y2 - 1)2008 + (x - z) 2100 = 0 b) x2=y
3=
z
4 x2 + y2 + z2 = 116 Bài 4: (1,5 điểm):
Cho đa thức A = 11x4y3z2 + 20x2yz - (4xy2z - 10x2yz + 3x4y3z2) - (2008xyz2 + 8x4y3z2)
a/ Xác định bậc A
b/ Tính giá trị A 15x - 2y = 1004z Bài 5: (1 điểm): Cho x, y, z, t N❑ .
Chứng minh rằng: M= x
x+y+z+
y x+y+t+
z y+z+t+
t
x+z+t có giá trị khơng phải
là số tự nhiên
Bài 6: (3 điểm): Cho tam giác ABC vuông cân A, M trung điểm BC Lấy điểm D
thuộc cạnh BC H I thứ tự hình chiếu B C xuống đường thẳng AD Đường
thẳng AM cắt CI N Chứng minh rằng: a) BH = AI
b) BH2 + CI2 có giá trị khơng đổi.
(2)Đáp án Toán 7 Bài 1: (1,5 điểm):
a) Cách 1: (161 )200 = (12)4 200=(1
2)
800
> (12)1000
Cách 2: (161 )200 > (321 )200 = (12)5 200=(1
2)
1000
(0,75điểm)
b) 3227 = 25¿27
¿ =
135 < 2156 = 24.39 = 1639 < 1839 (0,5điểm)
⇒ -3227 > -1839 ⇒ (-32)27 > (-18)39 (0,25điểm)
Bài 2: (1,5 điểm):
a) (2x-1)4 = 16 .Tìm x =1,5 ; x = -0,5 (0,25điểm)
b) (2x+1)4 = (2x+1)6 Tìm x = -0,5 ; x = 0; x = -15 (0,5điểm)
c) ||x+3|−8|=20
||x+3|−8|=20 ⇒ |x+3|−8=20 ; |x+3|−8=−20
(0,25điểm)
|x+3|−8=20 ⇒ |x+3|=28 ⇒ x = 25; x = - 31 (0,25điểm)
|x+3|−8=−20 ⇒ |x+3|=−12 : vô nghiệm
(0,25điểm)
Bài 3: (1,5 điểm):
a) (3x - 5)2006 +(y2 - 1)2008 + (x - z) 2100 = 0
⇒ (3x - 5)2006 = 0; (y2 - 1)2008 = 0; (x - z) 2100 = 0
⇒ 3x - = 0; y2 - = ; x - z = 0 (0,25điểm)
⇒ x = z = 53 ;y = -1;y = (0,25điểm)
b) x2=y
3=
z
4 x2 + y2 + z2 = 116
Từ giả thiết ⇒ x2
4=
y2
9=
z2
16=
x2+y2+z2
4+9+16 =
116 29 =4 (0,5điểm)
Tìm đúng: (x = 4; y = 6; z = ); (x = - 4; y = - 6; z = - ) (0,5điểm)
Bài 4: (1,5 điểm):
a/ A = 30x2yz - 4xy2z - 2008xyz2 (0,5điểm)
⇒ A có bậc (0,25điểm)
(3)⇒ A = 15x - 2y = 1004z (0,5điểm)
Bài 5: (1 điểm):
Ta có: x x
+y+z+t<
x x+y+z<
x x+y
(0,25điểm)
x+yy+z+t< y
x+y+t<
y x+y
x z
+y+z+t<
z y+z+t<
z z+t
(0,25điểm)
x+yt+z+t< t
x+z+t<
t z+t
⇒ x+y+z+t
x+y+z+t<M<¿ (
x x+y+
y x+y)+(
z z+t+
t z+t)
(0,25điểm)
hay: < M < Vậy M có giá trị khơng phải số tự nhiên (0,25điểm)
Bài 6: (3 điểm):
a AIC = BHA BH = AI
(0,5điểm)
b BH2 + CI2 = BH2 + AH2 = AB2
(0,75điểm)
c AM, CI đường cao cắt N N trực tâm DN AC
(0,75điểm)
d BHM = AIM HM = MI BMH = IMA
(0,25điểm)
mà : IMA + BMI = 900 BMH + BMI = 900
(0,25điểm)
HMI vuông cân HIM = 450
(0,25điểm)
mà : HIC = 900 HIM =MIC= 450 IM phân giác HIC
(0,25điểm)
Đề khảo sát học sinh khiếu - Mơn: tốn - lớp 7
(Thời gian 90 phút không kể thời gian giao đề)
Đề 2:
H
I
M B
A C
D
(4)Câu 1(2 điểm) A, Tính nhanh : A=
5−5
3+
9− 27 8−8
3+ 9−
8 27 B, Rút gọn biểu thức : B=1+5+52+53+ +52008+52009
Câu (2 điểm) a, Sắp xếp số hữu tỷ a, b, c theo thứ tự từ nhỏ tới lớn: a=2100 ; b=375 ; c=550
b, Chứng minh rằng: 165
+215 , chia hết cho 66
Câu 3(2 điểm) Tìm số hữu tỷ x biết
a, 2009x −2009+x −2009
2008 +
x −2009 2007 =
x −2009 2006 +
x −2009
2005 b, |2x −3|=5
Câu ( điểm) a, Tìm số x, y, z biết rằng: 3x=2y ,7y=5z x − y+z=32 b, xy=2
3,yz= 5,zx=
2
Câu (2 điểm) Tìm số hữu tỷ a b, cho : a + b = a.b = a:b HD:
Câu 1: Trên tử đặt làm TSC, mẫu đặt làm TSC suy KQ: A = 58 B = 5+52+53+ +52008+52009+52010
Vậy B = (52010- 1) : 4
Câu 2: a Đưa số mũ 25 so sánh b Đưa số 2, đặt TSC KL Câu 3:
a.Chuyển vế đặt x - 2009 làm TSC sau suy x = 2009 b xét hai trường hợp đẳng thức chứa dấu GTTĐ
Câu 4:
a. Dựa vào t/c dãy tỉ số
b. Nhân vế ba đẳng thức suy KQ Câu 5:
Đề 3:
Câu 1(2 điểm) Thực phép tính( Rút gọn biểu thức ) A= 9− 7− 11 9− 7− 11 +
0,6−
25 − 125− 625
5−0,16− 125−
4 625
; B=
5
94−2 69 210 38+68 20
Câu (2,5 điểm)
So sánh : a, A=32008−32007+32006−32005+ +32−3+1 với 14 b, B=1
3+ 32+
1
33+ +
32009 với
Câu 3(2 điểm)
a, Chứng minh rằng: 76
+75−492 , chia hết cho 55 b, Tìm x biết: 2004x+5+ x+4
2005=
x+3
2006+
x+2
(5)Câu ( 2,5 điểm)
a, Tìm x , y , z∈Q , biết y (x+y+z) = 18 ; x (x+y+z ) = - 12 ; z ( x+y+z) = 30 b, Tìm số khác biết : Tổng , hiệu, tích chúng tỉ lệ với : ; ;
Câu 5(1 diểm) Tìm Giá tri nhỏ biểu thức:
A=|x −2012|+|x −3|
Đề 4
Câu : (3đ) Tìm số hữu tỉ x, biết : a) (x −1)5 = - 243
b) 11x+2+x+2
12 +
x+2
13 =
x+2
14 +
x+2
15 c) x - √x = (x ) Câu : (3đ)
a, Tìm số nguyên x y biết : 5x+y
4=
b, Tìm số ngun x để A có giá trị số nguyên biết : A = √x+1
√x −3 (x )
Câu : (1đ) Tìm x biết : |5x −3| - 2x = 14 Câu : (3đ)
a, Cho Δ ABC có góc A, B , C tỉ lệ với 7; 5; Các góc ngồi tương ứng tỉ lệ với số
b, Cho Δ ABC cân A Â < 900 Kẻ BD vng góc với AC Trên cạnh AB lấy điểm E cho : AE = AD Chứng minh :
1) DE // BC
2) CE vuông góc với AB
Đáp án
Câu : điểm Mỗi câu điểm
a) (x-1) ❑5 = (-3) ❑5 ⇒ x-1 = -3 ⇔ x = -3+1 ⇔ x = -2
b) (x+2)( 111 +
12+ 13 −
1 14−
1
(6)1 11+ 12+ 13 − 14−
15 ⇒ x+2 = ⇔ x =
c) x - √x = ⇔ ( √x ) ❑2 - √x = ⇔ √x ( √x - 2) = ⇒ √x
= ⇒ x =
hoặc √x - = ⇔ √x = ⇔ x = Câu : điểm Mỗi câu 1,5 điểm
a) 5x+y
4= , x+ 2y = ,
5
x=
1−2y
8
x(1 - 2y) = 40 ⇒ 1-2y ớc lẻ 40 Ước lẻ 40 : ± ; ±
Đáp số : x = 40 ; y =
x = -40 ; y = x = ; y = -2 x = -8 ; y =
b) Tìm x z để A Z A= √x+1
√x −3=1+
√x −3 A nguyên
√x −3 nguyên ⇒ √x −3 Ư(4) = {-4 ; -2 ;-1; 1; 2; 4} Các giá trị x : ; 4; 16 ; 25 ; 49
Câu : điểm
2 |5x −3| - 2x = 14 ⇔ |5x −3| = x + (1) ĐK: x -7 (0,25 đ)
5
5
x x x x
… (0,25 đ)
Vậy có hai giá trị x thỏa mãn điều kiện đầu x1 = 5/2 ; x2= - 2/3 (0,25đ) Câu4 (1.5 điểm)
Các góc A, B , C tỉ lệ với 7, 5,
A = B 5= C 3=
A+B+C
15 =
1800 15 =12
⇒ A= 840 ⇒ góc ngồi đỉnh A 960 B = 600 ⇒ góc ngồi đỉnh B 1200 C = 360 ⇒ góc ngồi đỉnh C 1440
⇒ Các góc ngồi tơng ứng tỉ lệ với ; ; b)
1) AE = AD ⇒ Δ ADE cân
⇒ E D E 1 EDA
E = 180 A
(1) Δ ABC cân ⇒ B C
1 AB C=
(7)Từ (1) (2) ⇒ E1 ABC
⇒ ED // BC
a) Xét Δ EBC Δ DCB có BC chung (3)
EBC DCB (4)
BE = CD (5)
Từ (3), (4), (5) ⇒ Δ EBC = Δ DCB (c.g.c) ⇒ BEC CDB = 900 ⇒ CE
AB
Đề 5:
Câu 1 : (2 điểm) Tính : a) A=
1 6−
1 39+
1 51
8− 52+
1 68
b) B= 512- 5122 −512
22 − 512
23 − .-512
(8)a) Tìm x,y nguyên biết : xy+3x-y=6 b) Tìm x,y,z biết : z+xy+1= y
x+z+1=
z
x+y −2=x+y+z (x,y,z 0)
Câu 3 : (2 điểm)
a) Chứng minh : Với n nguyên dương ta có S=3n+2-2n+2+3n-2n chia hết cho 10
b) Tìm số tự nhiên x,y biết : 7(x-2004)2 = 23-y2
Câu 4 : (3 điểm) Cho tam giác ABC , AK trung tuyến Trên nửa mặt phẳng không chứa B , bờ AC , kẻ tia Ax vng góc với AC ; Ax lấy điểm M cho AM=AC Trên nửa mặt phẳng không chứa C , bờ AB , kẻ tia Ay vuông góc với AB lấy điểm N thuộc Ay cho AN=AB Lấy điểm P tia AK cho AK=KP Chứng minh : a) AC//BP b) AK vng góc với MN
Câu 5 : (1 điểm) a , b , c số đo cạnh tam giác vuông với c cạnh huyền Chứng minh : a2n + b2n c2n ; n số tự nhiên lớn 0.
Đáp án đề - môn thi : toán lớp 7 Câu 1 : (2 đ)
a) (1đ) A= 3(
1 2−
1 13+
1 17)
4( 2−
1 13+
1 17)
=
1
=4
(9)b)(1đ) B=512(1- 12−
22− 23 −
1
210 ) 0,25
B=512 [(1−1
2)−( 2−
1 22)−(
1 22−
1
23)− −(
1 29−
1
210)] 0,5
B=512 [(1−1
2− 2+
1 22−
1 22+
1
23− .− 29+
1 210)] B=512
210 =512 1024=
1
2 0,25
Câu 2 : (2 đ) a) (1đ)
xy+3x-y=6
(xy+3x)-(y+3)=3 0,25
x(y+3)-(y+3) =3
(x-1)(y+3)=3=3.1=-3.(-1) 0,25 Có trường hợp xảy :
¿ x −1=3
y+3=1
¿{
¿
; ¿ x −1=1
y+3=3
¿{
¿
;
¿ x −1=−3
y+3=−1
¿{
¿
;
¿ x −1=−1
y+3=−3
¿{
¿ Từ ta tìm cặp số x;y thoả mãn :
(x=4;y=-2) ; (x=2;y=0) ; (x=-2;y=-4) ; (x=0; y=-6) 0,5 b : (1đ)
Từ z x
+y+1=
y x+z+1=
z
x+y −2 , suy
x z+y+1=
y x+z+1=
z
x+y −2 =
= 2x+y+z
(x+y+z)=
1
2 , suy x+y+z=
2 0,5 Từ ta có x+y= 12− z ; x+z=
2 -y ; y+z=
2 -x 0,25 Thay vào ta tìm x= 12 ; y= 12 ; z=- 12 0,25 Câu 3 : (2đ)
a) (1đ)
S=(3n+2 + 3n )-(2n+2 + 2n) =3n (32 + 1) - 2n-1(23 + 2) 0,5 S=3n.10 - 2n-1.10=10(3n - 2n-1) chia hết cho 10 0,5 b) (1đ) 7(x-2004)2 = 23-y2
7(x-2004)2 + y2 =23 (*) Vì y2 0 nên (x-2004)2 23
(10)hoặc (x-2004)2=1 0,5 Với (x-2004)2 =0 thay vào (*) ta có y2=23 (loại) Với (x-2004)2 =1 thay vào (*) ta có y2=16 0,25 Từ ta tìm (x=2005;y=4) ; (x=2003; y=4) 0,25
Câu 4 : (3 đ) a) (1đ)
Chứng minh ΔAKC=ΔPKB (c.g.c)
(0,5đ)
Suy ^A
3= ^P1 , từ suy
AC//BP (0,5đ)
b) (2đ)
Chứng minh góc ABP=góc NAM (cùng bù góc BAC) (0,5đ) Chứng minh ΔABP=ΔNAM (c.g.c) (0,5đ)
Suy ^A
1= ^N1
Gọi H giao điểm AK MN Chứng minh ^A
2+ ^A1=90
0 (0,5đ)
Suy ^A
2+ ^N1 =900 Do AK NM H (0,5đ) Câu 5 : (1đ)
Với n=1 , theo định lí Pythagore ta có : a2 + b2 = c2 (Đúng) 0,25 Giả sử với n=k , ta có a2k + b2k c2k
Với n= k+1 , ta có a2(k+1) + b2(k+1) = =(a2k + b2k)(a2 + b2) - a2b2k - b2a2k c2kc2=c2(k+1) 0,5
Vậy bất đẳng thức với n=k +
Do ta có a2n + b2n c2n ; n số tự nhiên lớn 0,25 Đề 6
Thời gian: 120 phút
Bài 1: Chứng minh a)222333+333222 chia hết cho 13 b)7.52n+12.6nchia hết cho 19
1
2
1
x
y
M
N H
P
K C
(11)c)33n+5.23n+1 chia hết 19 Với n thuộc số nguyên dương Bài 2: a) Chứng minh tìm số có dạng :
200320032003…200300…0(2003 số 2003) mà số chia hết cho 2004 b)Tìm số hữu tỉ x,y với x,y khác 0: x+y = x.y = x:y
Bài 3:Tìm x biết a)| 2x -3| +|x + 4| = b)| 3x – 1| - |2x + 5| = 4
Bài 4: Cho hình vẽ sau chứng minh rằng: AB+BC+CD+DE+EA <AC+CE+EB+BD+DA
A
B E
C D
Bài 5**: Cho Tam giác ABC Dựng phía ngồi tam giác tam giác BCA1 ABC1 Gọi M,N,P trung điểm AC,BC1,BA1.Chứng minh :tam giác MNP
Hướng dẫn giải
Baøi 1:
a) 222333+333222 =111333.2333+111222.3222
=111222[(111.23)111+(32)111]=111222(888111+9111)
Vì 888111+9111=(888+9).(888110-888109.9+…-888.9109+9110)
=13.69.( 888110-888109.9+…-888.9109+9110)là số chia hết cho 13 Vậy 222333+333222 chia hết cho 13
b) 7.52n+12.6n=7.25n+19.6n-7.6n =19.6n+7.(25n- 6n)
=19.6n+7.(25-6)(25n-1+25n-2.6+…+25.6n-2+6n-1)
Cả hai chia hết cho 19 nên tổng chia hết cho 19 c) 33n+5.23n+1=9.27n+10.8n=9.(27n-8n)+19.8n
Vì 19.8nchia hết cho 19
Vì 9.(27n-8n)chia hết cho 19 ,từ suy điều phải chứng minh
Bài 2:
a) Xét 2004 số có dạng sau:
2003;20032003;…20032003…2003(2004 số 2003)
Khơng có số số chia hết cho 2004 Vì chia số cho 2004 ta 2003 số dư số từ đến 2003,do phải có hai số chia cho 2004 có số dư,nên hiệu chúng chia hết cho 2004 số thoả mãn đề
(12)x+y=x-1 y=-1 x = y.(x - 1) x = (-1)(x -1) x = -x+1 2x= x=1/2
Bài 4,3:Dễ tự chứng minh
Baøi 5:
B P
N A1
C1
H I
A M C
Gọi I,H thứ tự trung điểm AB BC Khi đó: MI=BH=BP(tính chất đường trung bình tam giác) C/m tương tự ta có: NI=NB=MH
Mặt khác: góc MIB=góc MHB (vì bù với góc ABC) Do đó: góc MIN=Góc MIB+600=góc MHB +600=góc MHP Suy ra:MIN=PHM(c.g.c)MN=MP (1)
Lại có góc PBN =360o-(1200-góc ABC)=2400-góc ABC
=600+góc MIB = góc MIN Do MIN = PBN(c.g.c) MN=NP (2)
Từ (1),(2) suy MNP
Đề 6
Câu : (3đ) Tìm số hữu tỉ x, biết : a) (x −1)5 = - 243
b) 11x+2+x+2
12 +
x+2
13 =
x+2
14 +
x+2
(13)a, Tìm số nguyên x y biết : 5x+y
4=
b, Tìm số ngun x để A có giá trị số nguyên biết : A = √x+1
√x −3 (x )
Câu : (1đ) Tìm x biết : |5x −3| - 2x = 14 Câu : (3đ)
a, Cho Δ ABC có góc A, B , C tỉ lệ với 7; 5; Các góc ngồi tương ứng tỉ lệ với số
b, Cho Δ ABC cân A Â < 900 Kẻ BD vng góc với AC Trên cạnh AB lấy điểm E cho : AE = AD Chứng minh :
1) DE // BC
2) CE vuông góc với AB
Đáp án đề 6
Câu : điểm Mỗi câu điểm
d) (x-1) ❑5 = (-3) ❑5 ⇒ x-1 = -3 ⇔ x = -3+1 ⇔ x = -2
e) (x+2)( 111 +
12+ 13 −
1 14−
1
15 ) =
11+ 12+
1 13 −
1 14−
1
15 ⇒ x+2 = ⇔ x =
f) x - √x = ⇔ ( √x ) ❑2 - √x = ⇔ √x ( √x - 2) = ⇒ √x
(14)hoặc √x - = ⇔ √x = ⇔ x = Câu : điểm Mỗi câu 1,5 điểm
a) 5x+y
4= ,
5
x+
2y
8 = ,
5
x=
1−2y
8
x(1 - 2y) = 40 ⇒ 1-2y ớc lẻ 40 Ước lẻ 40 : ± ; ±
Đáp số : x = 40 ; y =
x = -40 ; y = x = ; y = -2 x = -8 ; y =
b) Tìm x z để A Z A= √x+1
√x −3=1+
√x −3 A nguyên
√x −3 nguyên ⇒ √x −3 Ư(4) = {-4 ; -2 ;-1; 1; 2; 4} Các giá trị x : ; 4; 16 ; 25 ; 49
Câu : điểm
2 |5x −3| - 2x = 14 ⇔ |5x −3| = x + (1) ĐK: x -7 (0,25 đ)
5
5
x x
x x
… (0,25 đ)
Vậy có hai giá trị x thỏa mãn điều kiện đầu x1 = 5/2 ; x2= - 2/3 (0,25đ) Câu4 (1.5 điểm)
Các góc A, B , C tỉ lệ với 7, 5,
A
7 =
B
5=
C
3=
A+B+C
15 =
1800
15 =12
⇒ A= 840 ⇒ góc ngồi đỉnh A 960 B = 600 ⇒ góc đỉnh B 1200 C = 360 ⇒ góc ngồi đỉnh C 1440
⇒ Các góc ngồi tơng ứng tỉ lệ với ; ; b)
1) AE = AD ⇒ Δ ADE cân
⇒ E D E 1 EDA
1 E =
0 180
2
A
(1) Δ ABC cân ⇒ B C
1 AB C=
0 180
2
A
(2)
Từ (1) (2) ⇒ E1 ABC ⇒ ED // BC
(15)
EBC DCB (4)
BE = CD (5)
Từ (3), (4), (5) ⇒ Δ EBC = Δ DCB (c.g.c)
⇒ BEC CDB = 900 ⇒ CE AB Đề 7:
(Thời gian làm 120 phút)
Bài 1. Tìm giá trị n nguyên dương: a)
1
.16
n n
; b) 27 < 3n < 243 Bài 2. Thực phép tính:
1 1 1 49
( )
4.9 9.14 14.19 44.49 89
Bài 3. a) Tìm x biết: |2x+3|=x+2
b) Tìm giá trị nhỏ A = |x −2006|+|2007− x| Khi x thay đổi
Bài 4. Hiện hai kim đồng hồ 10 Sau kim đồng hồ nằm đối diện đường thẳng
Bài 5. Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v), đường cao AH, trung tuyến AM Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho DM = MA Trên tia đối tia CD lấy điểm I cho CI = CA, qua I vẽ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng AH E Chứng minh: AE = BC
Đáp án đề 7
Bài 1. Tìm giá trị n nguyên dương: (4 điểm câu điểm)
a)
.16
n n
; => 24n-3 = 2n => 4n – = n => n = 1 b) 27 < 3n < 243 => 33 < 3n < 35 => n = 4
Bài 2. Thực phép tính: (4 điểm)
1 1 1 49
( )
4.9 9.14 14.19 44.49 89
(16)=
1 1 1 1 1 (1 49)
( )
5 9 14 14 19 44 49 12
=
1 1 (12.50 25) 5.9.7.89 ( )
5 49 89 5.4.7.7.89 28
Bài 3. (4 điểm câu điểm) a) Tìm x biết: |2x+3|=x+2 Ta có: x + => x -
+ Nếu x - 32 |2x+3|=x+2 => 2x + = x + => x = - (Thoả mãn) + Nếu - x < - 32 Thì |2x+3|=x+2 => - 2x - = x + => x = -
3 (Thoả mãn)
+ Nếu - > x Khơng có giá trị x thoả mãn
b) Tìm giá trị nhỏ A = |x −2006|+|2007− x| Khi x thay đổi + Nếu x < 2006 thì: A = - x + 2006 + 2007 – x = - 2x + 4013
Khi đó: - x > -2006 => - 2x + 4013 > – 4012 + 4013 = => A > + Nếu 2006 x 2007 thì: A = x – 2006 + 2007 – x =
+ Nếu x > 2007 A = x - 2006 - 2007 + x = 2x – 4013 Do x > 2007 => 2x – 4013 > 4014 – 4013 = => A > Vậy A đạt giá trị nhỏ 2006 x 2007
Bài 4. Hiện hai kim đồng hồ 10 Sau kim đồng hồ nằm đối diện đường thẳng (4 điểm mỗi)
Gọi x, y số vòng quay kim phút kim 10giờ đến lúc kim đối đường thẳng, ta có:
x – y = 13 (ứng với từ số 12 đến số đông hồ) x : y = 12 (Do kim phút quay nhanh gấp 12 lần kim giờ) Do đó: xy=12
1 =>
x
12=
y
1=
x − y
11 = 3:11=
1 33 => x = 1233(vòng)=>x=
(17)Vậy thời gian để kim đồng hồ từ 10 đến lúc nằm đối diện đường thẳng 114
Bài 5.Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v), đường cao AH, trung tuyến AM Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho DM = MA Trên tia đối tia CD lấy điểm I cho CI = CA,
qua I vẽ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng AH E Chứng minh: AE =
BC (4 điểm mỗi)
Đường thẳng AB cắt EI F Δ ABM = Δ DCM vì:
AM = DM (gt), MB = MC (gt),
AMB = DMC (đđ) => BAM = CDM
=>FB // ID => ID AC
Và FAI = CIA (so le trong) (1) IE // AC (gt) => FIA = CAI (so le trong) (2) Từ (1) (2) => Δ CAI = Δ FIA (AI chung)
=> IC = AC = AF (3) E FA = 1v (4) Mặt khác EAF = BAH (đđ),
BAH = ACB ( phụ ABC)
=> EAF = ACB (5) Từ (3), (4) (5) => Δ AFE = Δ CAB =>AE = BC
Đề 8 (Thời gian làm 120 phút)
Bài 1:(4 điểm)a) Thực phép tính:
12 10
6 9 3
2
2 25 49
A
125.7 14
b) Chứng minh : Với số nguyên dương n : 3n2 2n23n 2nchia hết cho 10
Bài 2:(4 điểm)Tìm x biết:a
1
3,
3 5
x
b
1 11
7 x x
x x
Bài 3: (4 điểm) a.Số A chia thành số tỉ lệ theo
2 : :
5 6 Biết tổng bình
phương ba số 24309 Tìm số A
D B
A
H
I F
E
(18)b.Cho
a c
c b Chứng minh rằng:
2
2
a c a
b c b
Bài 4: (4 điểm)Cho tam giác ABC, M trung điểm BC Trên tia đối của tia MA lấy điểm E cho ME = MA Chứng minh rằng:
a) AC = EB AC // BE
b) Gọi I điểm AC ; K điểm EB cho AI = EK Chứng minh ba điểm I , M , K thẳng hàng
c) Từ E kẻ EH BC HBC Biết HBE = 50o ; MEB =25o
Tính HEM BME
Bài 5: (4 điểm)Cho tam giác ABC cân A có A 20 0, vẽ tam giác DBC (D nằm trong
tam giác ABC) Tia phân giác góc ABD cắt AC M Chứng minh: a) Tia AD phân giác góc BAC
b) AM = BC……… Hết ………
Đáp án đề 8 Bài 1:(4 điểm): a) (2 điểm)
10
12 10 12 12 10
6 9 3 12 12 9 3
2
12 10
12 3
10 12
12
2 25 49 3 7
2 3 7 125.7 14
2
2
5
2
1 10
6
A
b) (2 điểm)
3n2 2n2 3n 2n
= 3n23n 2n2 2n =3 (3n 1) (2 n 21)
=3 10 10 2n n n n1 10
= 10( 3n -2n) Vậy 3n2 2n2 3n 2n
10 với n số nguyên dương Bài 2:(4 điểm)
(19)K H M B A C I 2 3 3
1 4 16
3,
3 5 5
1 14
3 5
1 x x x x x x x
x
b) (2 điểm)
1 11
1 10
7
7
x x x x x x x
1 10
1
10
7
1 ( 7)
7
( 7)
7
10 x x x x x x x x
x x
Bài 3: (4 điểm) a) (2,5 điểm)
Gọi a, b, c ba số chia từ số A Theo đề ta có: a : b : c =
2 : :
5 6 (1) a2 +b2 +c2 = 24309 (2)
Từ (1)
2
5
a b c
= k
2
; ;
5
k a k b k c
Do (2)
2
( ) 24309
25 16 36
k
k = 180 k =180 + Với k =180, ta được: a = 72; b = 135; c = 30 Khi ta có số A = a + b + c = 237
+ Với k =180, ta được: a = 72; b =135; c =30 Khi ta có só A =72+( 135) + (30) = 237 b) (1,5 điểm)Từ
a c
c b suy c2 a b.
2 2
2 2
a c a a b
b c b a b
=
( ) ( )
a a b a b a b b
(20)Bài 4: (4 điểm)
a/ (1điểm) Xét AMC EMB có :
AM = EM (gt )
AMC = EMB (đối đỉnh )
BM = MC (gt )
Nên : AMC = EMB (c.g.c ) 0,5 điểm
AC = EB
Vì AMC = EMB MAC = MEB
(2 góc có vị trí so le tạo đường thẳng AC EB cắt đường thẳng AE )
Suy AC // BE 0,5 điểm
b/ (1 điểm )
Xét AMI EMK có : AM = EM (gt )
MAI = MEK ( AMCEMB ) AI = EK (gt )Nên AMI EMK ( c.g.c )
Suy AMI = EMK Mà AMI + IME = 180o ( tính chất hai góc kề bù )
EMK + IME = 180o Ba điểm I;M;K thẳng hàng
c/ (1,5 điểm )Trong tam giác vng BHE ( H = 90o ) có HBE = 50o
HBE
= 90o - HBE = 90o - 50o =40o
HEM
= HEB - MEB = 40o - 25o = 15o
BME góc ngồi đỉnh M HEM
Nên BME = HEM + MHE = 15o + 90o = 105o ( định lý góc ngồi tam giác )
Bài 5: (4 điểm)
a) Chứng minh ADB = ADC (c.c.c)
suy DAB DAC
Do DAB20 : 100
b) ABC cân A, mà A200(gt) nên ABC (1800 20 ) : 800
ABC nên DBC600
200
M A
B C
(21)Tia BD nằm hai tia BA BC suy ABD800 600 200 Tia BM phân giác của góc ABD nên ABM 100
Xét tam giác ABM BAD có: AB cạnh chung ; 20 ;0 100
BAM ABD ABM DAB Vậy: ABM = BAD (g.c.g) suy AM = BD, mà BD = BC (gt) nên AM = BC
Đề 9
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
MƠN TỐN LỚP 7 (Thời gian làm 120 phút) Câu 1: Tìm tất số nguyên a biết a 4 Câu 2: Tìm phân số có tử biết lớn
9 10
nhỏ
9 11
Câu Cho đa thức
P (x) = x ❑2 + 2mx + m
❑2
Q (x) = x ❑2 + (2m+1)x + m ❑2
Tìm m biết P (1) = Q (-1) Câu 4: Tìm cặp số (x; y) biết:
x y
a / ; xy=84
3
1+3y 1+5y 1+7y
b/
12 5x 4x
Câu 5: Tìm giá trị nhỏ lớn biểu thức sau : A = |x+1| +5
B = x2+15
x2+3
Câu 6: Cho tam giác ABC có Â < 900 Vẽ phía ngồi tam giác hai đoạn thẳng AD vng góc AB; AE vng góc AC
a Chứng minh: DC = BE DC BE
b Gọi N trung điểm DE Trên tia đối tia NA lấy M cho NA = NM Chứng minh: AB = ME ABC = EMA
(22)ĐÁP ÁN ĐỀ
Câu 1: Tìm tất số nguyên a biết a 4 0 a 4
=>a = 0; 1; 2; ; * a = => a =
* a = => a = a = - * a = => a = a = - * a = => a = a = - * a = => a = a = -
Câu 2: Tìm phân số có tử biết lớn
9 10
nhỏ
9 11
Gọi mẫu phân số cần tìm x Ta có:
9 10 x 11
=>
63 63 63 709x 77
=> -77 < 9x < -70 Vì 9x 9 => 9x = -72
=> x =
Vậy phân số cần tìm
Câu Cho đa thức
P (x) = x ❑2 + 2mx + m
❑2
Q (x) = x ❑2 + (2m+1)x + m ❑2
Tìm m biết P (1) = Q (-1) P(1) = 12 + 2m.1 + m2 = m2 + 2m + 1 Q(-1) = – 2m – +m2 = m2 – 2m
(23)
x y
a / ; xy=84
3 =>
2 84
4 49 3.7 21
x y xy
=> x2 = 4.49 = 196 => x = 14 => y2 = 4.4 = 16 => x = 4 Do x,y dấu nên:
x = 6; y = 14 x = -6; y = -14
1+3y 1+5y 1+7y
b/
12 5x 4x
áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có:
1+3y 1+5y 1+7y 7y 5y 2y 5y 3y 2y
12 5x 4x 4x 5x x 5x 12 5x 12
=>
2 12
y y
x x
=> -x = 5x -12
=> x = Thay x = vào ta được:
12
y y
y
=>1+ 3y = -12y => = -15y => y =
1 15
Vậy x = 2, y = 15
thoả mãn đề
Câu 5: Tìm giá trị nhỏ lớn biểu thức sau :
A = |x+1| +5
Ta có : |x+1| Dấu = xảy ⇔ x= -1 ⇒ A
Dấu = xảy ⇔ x= -1 Vậy: Min A = ⇔ x= -1
B = x
+15
x2+3 =
(x2
+3)+12
x2
+3 = +
12
x2
+3
(24)⇒ x ❑2 + 3 ( vế dương ) ⇒ 12
x2+3
12
3 ⇒
12
x2+3 ⇒ 1+
12
x2+3 1+
⇒ B
Dấu = xảy ⇔ x =
Vậy : Max B = ⇔ x = Câu 6:
a/
Xét ADC BAF ta có: DA = BA(gt)
AE = AC (gt)
DAC = BAE ( 900 + BAC ) => DAC = BAE(c.g.c )
=> DC = BE
Xét AIE TIC I1 = I2 ( đđ)
E1 = C1( DAC = BAE) => EAI = CTI
=> CTI = 900 => DC BE
b/ Ta có: MNE = AND (c.g.c) => D1 = MEN, AD = ME
mà AD = AB ( gt) => AB = ME (đpcm) (1)
Vì D1 = MEN => DA//ME => DAE + AEM = 1800 ( phía ) mà BAC + DAE = 1800
(25)Ta lại có: AC = AE (gt) ( 3) Từ (1),(2) (3) => ABC = EMA ( đpcm) c/ Kéo dài MA cắt BC H Từ E hạ EP MH
Xét AHC EPA có:
CAH = AEP ( phụ với gPAE ) AE = CA ( gt)
PAE = HCA ( ABC = EMA câu b) => AHC = EPA
=> EPA = AHC => AHC = 900
=> MA BC (đpcm)
ĐỀ 10
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI (Thời gian làm 120 phút)
Câu ( điểm) Thực phép tính : a- [6.(−1
3)
2
−3 (−1
3)+1]:(−
3−1) b-
(23)
3
.(−3
4)
2
.(−1)2003
(25)
2
.(−
12)
3
Câu ( điểm)
a- Tìm số nguyên a để a2+a+3
a+1 số nguyên
(26)a- Chứng minh a+c=2b 2bd = c (b+d) ab=c
d với b,d khác
0
b- Cần số hạng tổng S = 1+2+3+… để số có ba chữ số giống
Câu ( điểm)
Cho tam giác ABC có góc B 450 , góc C 1200 Trên tia đối tia CB lấy điểm D cho CD=2CB Tính góc ADE
Câu ( 1điểm)
Tìm số nguyên tố thoả mãn : x2-2y2=1 ĐÁP ÁN ĐỀ 10
CÂU HƯỚNG DẪN CHẤM ĐIỂM
1.a Thực theo bước kết -2 cho điểm tối đa 1Điểm 1.b Thực theo bước kết 14,4 cho điểm tối đa 1Điểm 2.a Ta có : a2+a+3
a+1 =
a(a+1)+3
a+1 =a+
3
a+1
a số nguyên nên a2+a+3
a+1 số nguyên
3
a+1 số
nguyên hay a+1 ước ta có bảng sau :
a+1 -3 -1
a -4 -2
Vậy với a {−4,−2,0,2} a
+a+3
a+1 số nguyên
0,25
0,25 0,25 0,25
2.b Từ : x-2xy+y=0 Hay (1-2y)(2x-1) = -1
Vì x,y số nguyên nên (1-2y)và (2x-1) số nguyên ta có trường hợp sau :
¿ 1−2y=1
2x −1=−1
⇒ ¿x=0
y=0
¿{
¿
0,25
(27)Hoặc
¿ 1−2y=−1
2x −1=1
⇒ ¿x=1
y=1
¿{
¿
Vậy có cặp số x, y thoả mãn điều kiện đầu 3.a Vì a+c=2b nên từ 2bd = c (b+d) Ta có: (a+c)d=c(b+d)
Hay ad=bc Suy ab=c
d ( ĐPCM)
0,5 0,5 3.b Giả sử số có chữ số aaa =111.a ( a chữ số khác 0)
Gọi số số hạng tổng n , ta có :
n(n+1)
2 =111a=3 37 a Hay n(n+1) =2.3.37.a
Vậy n(n+1) chia hết cho 37 , mà 37 số nguyên tố n+1<74 ( Nếu n = 74 khơng thoả mãn )
Do n=37 n+1 = 37
Nếu n=37 n+1 = 38 lúc n(n+1)
2 =703 khơng thoả mãn Nếu n+1=37 n = 36 lúc n(n+1)
2 =666 thoả mãn Vậy số số hạng tổng 36
0,25 0,25
0,5
B C D
H
A
Kẻ DH Vuông góc với AC ACD =600 CDH = 300 Nên CH = CD2 ⇒ CH = BC
Tam giác BCH cân C ⇒ CBH = 300 ⇒ ABH = 150 Mà BAH = 150 nên tam giác AHB cân H
Do tam giác AHD vng cân H Vậy ADB = 450+300=750
0,5
0,5 1,0 1,0 Từ : x2-2y2=1suy x2-1=2y2
Nếu x chia hết cho x ngun tố nên x=3 lúc y= nguyên tố thoả mãn
(28)Nếu x khơng chia hết cho x2-1 chia hết cho 2y2 chia hết cho Mà(2;3)=1 nên y chia hết cho x2=19 không thoả mãn
Vậy cặp số (x,y) tìm thoả mãn điều kiện đầu (2;3)
0,25 0,25
Đề 11 Thời gian làm bài: 150 phút Câu 1:(3đ) Thực phép tính cách hợp lí:
a) (−1
2)− 5+(−
1 9)+
1 27+(−
7 18)+
4 35+
2 b) 901 −
72 − 56 −
1 42−
1 30−
1 20 −
1 12 −
1 6−
1 Câu 2: (2đ) Tìm x biết:
4- |x −1
5|=−
Câu 3: (2đ) Tìm số a,b,c biết: a=b
2−
c
3 4a - 3b + 2c = 36
Câu 4: (2đ) Chứng minh rằng: 3n+2 + 3n – 2n+2 -2n chia hết cho 10 Câu 5: (2đ) Tìm giá trị x để biểu thức A = 3x −x
+2 có giá trị
Câu 6: (4đ) Trong tứ giác ABCD, có đường chéo AC BD vng góc với Chứng minh rằng: AD2 + BC2 =AD2 +CD2
Câu 7: (5đ) Cho tam giác ABC, có A❑=¿ 600, đường phân giác BD CE cắt
(29)a) Tính số đo góc BIC EIB b) Chứng minh rằng: ID = IE
ĐÁP ÁN ĐỀ 11 Câu 1:
a) = [(−1
2)+(− 9)+(−
7
18)] + ( 5+
4 35+
2 7)+
1 127 = 18−9−2−7+21+4+10
35 + 127 =-1+1+ 127= 127 b) = 901 −(
9 8+ 7+
1 6+
1 5+
1 4+
1 3+
1 1) = 901 −(1
8− 9+ 7−
8+ .+1) = 90+
1
9−1 = − 79 90 HS làm câu (1,5đ)
Câu 2: 4−|x −1
5|=− |x −1
5|=4+ 2=
9 x −1
5=
2 x − 5=−
9 x=47
10 x=− 43 10 HS làm (2đ) Câu 3: Từ a=b
2= c ⇒ 4a = 3b = 2c
Áp dụng t/c dãy tỉ số nhau: 44a=3b
6 = 2c
6 =
4a −3b+2c
4−6+6 =
36 =9 Suy ra: a=9
b=18 c=27 HS làm (2đ)
(30)Vì hiệu hai số tận 0, chia hết cho 10 HS làm (2đ)
Câu 5: Để A = 3x −x+22 = x-2 = 3x +2 ≠ Suy x =2 x ≠ - 32
HS làm (2đ)
Câu 6: Trong tam giác vuông O: AOB, BOC, COD, DOA Áp dụng Định lý Pitago ta có:
AB2 = OA2 + OB2 BC2 = OC2 + OB2 AD2 = OA2 + OD2 DC2 = OD2 + OC2
Suy ra: AD2 + BC2 = OA2 +OD2 + OB2 + OC2 AB2 + CD2 = OA2 +OB2 + OC2 +OD2 Vậy: AD2 + BC2 = AB2 + CD2
HS làm (4đ)
Câu 7: HS vẽ hình ghi GT, KL (1đ) a) Ta có: A❑=60
⇒B❑+C
❑
=120
⇒C❑2+B ❑
2 = 60
0 Do đó: BIC❑
=120
Vì EIB❑ BIC❑ góc kề bù nên suy EIB❑ =60 (2đ) b)Kẻ tia phân giác IK góc BIC❑
Ta có ΔEBI=ΔIBK (g-c-g) ⇒IE=IK (1)
ΔCDI=ΔCKI (g-c-g) ⇒IK=ID (2)
Từ (1) và(2) suy ra: IE = ID (2đ)
-HẾT -Đề 12
Bài 1: (1 điểm) Tìm số xyz biết: x2 =
y2
9=
z2
25 , x – y + z = Bài 2: (1 điểm) Biết a2+ ab + b2
3 = 25 ; c
2
+b
2
3 = ; a
2 + ac + c2 = 16 a ≠ 0; c ≠ 0; a ≠ -c Chứng minh rằng: 2ac=b+c
a+c
Bài 3: (2,5 điểm0
a/ Tìm giá trị m để đa thức sau đa thức bậc theo biến x: f (x) = (m2 - 25) x4 + (20 + 4m) x3 + x2 - 9
(31)Bài 4: (2 điểm) Tìm số chia số dư biết số bị chia 112 thương 5. Bài 5: (3 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB < AC < BC Các tia phân giác góc A góc C cắt O Gọi F hình chiếu O BC; H hình chiếu O AC Lấy điểm I đoạn FC cho FI = AH Gọi K giao điểm FH AI
a/ Chứng minh tam giác FCH cân AK = KI b/ Chứng minh ba điểm B, O, K thẳng hàng
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM ĐỀ 12 Bài 1: (1điểm)
x2
4=
y2
9 =
z2
25 x, y, z N, x ≠
x
2=
y
3=
z
5
x
2=
y
3=
z
5=
x − y+z
2−3+5=
4 4=1
x = 2; y = 3; z = Vậy xyz = 235
0,5đ 0,25đ 0,25đ
Bài 2: (1,5 điểm) Ta có: c2
+b
2
3 + a
2 + ac + c2 = a2+ ab + b2
3 (vì + 16 = 25) Suy ra: 2c2 = a(b – c)
2c a =
b −c
c (vì a ≠ 0; c ≠ 0) 2c
a = b −c
c =
2c+b− c
a+c =
b+c
a+c (vì a ≠ -c nên a + c ≠ 0)
0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ
Bài 3: (2,5điểm)
a/ (1 điểm) f(x) = (m2 - 25) x4 + (20 + 4m) x3 + x2 - đa thức bậc 3 biến x khi: m2 - 25 = 20 + 4m ≠ 0
m = ± m ≠ -5
Vậy m = f(x) đa thức bậc biến x
0,5đ 0,25đ 0,25đ
b/ (1,5 điểm) g(x) = 16 x4 - 72 x2 + 90 = (4x2)2 - 2.4x2.9 + 92 + 9 g(x) =(4x2 - 9)2 +
Với giá trị x ta có: (4x2 - 9)2 ≥ g(x) =(4x2 - 9)2 + ≥ 9. Giá trị nhỏ g(x)
Khi (4x2 - 9)2 = 0
4x2 - = 4x2 = x2 = 94⇒x=±3
2
(32)Bài 4: (2 điểm)
Gọi số chia a số dư r (a, r N*; a > r) Ta có: * 112 = 5a + r
5a < 112 a 22 (1)
*a > r 5a + r < 5a + a
112 < 6a a > 112 : a ≥ 19 (2) Từ (1) (2) a = 19; 20; 21; 22
lập bảng số:
0,5đ
0,5đ
0,5đ Bài 5: (3 điểm)
a/ (1,5 điểm) - Chứng minh CHO = CFO (cạnh huyền – góc nhọn)
suy ra: CH = CF Kết luận FCH cân C
-Vẽ IG //AC (G FH) Chứng minh FIG cân I
- Suy ra: AH = IG, IGK = AHK - Chứng minh AHK = IGK (g-c-g)
- Suy AK = KI
0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ b/ (1,5 điểm)
Vẽ OE AB E Tương tự câu a ta có: AEH, BEF thứ tự cân A, B
Suy ra: BE = BF AE = AH
BA = BE + EA = BF + AH = BF + FI = BI Suy ra: ABI cân B
Mà BO phân giác góc B, BK đường trung tuyến ABI nên: B,
O, K ba điểm thẳng hàng
0,5đ 0,5đ 0,5đ A
G
C I
E
B
H
O K
F
a 19 20 21 22
(33)Đề 13
Bài 1(4 điểm)
Thực phép tính: a)
3
3 :
1 -1
A -
-3 3
b)
: 5,1
1 1
-
-39 51 B
1 1
-8 52 68
Bài (5 điểm)
Cho hai đa thức: A(x) = x5 - 2x3 + 3x4 - 9x2 + 11x - 6 B(x) = 3x4 + x5 - 2(x3 + 4) - 10x2 + 9x
a) Tính C(x) = A(x) - B(x) b) Tìm x để C(x) = 2x +
c) Chứng tỏ C(x) nhận giá trị 2012 với xZ Bài (4 điểm)
1) Cho
a c b
c b d Chứng minh rằng:
3 3
3 3
+ + -
a c - b a
d c b d
2) Tìm số nguyên x, y, biÕt: 42 - 3y - 3= 4(2012 - x)4
Bµi (5 ®iĨm)
Cho ABC có ba góc nhọn, trung tuyến AM Trên nửa mặt phẳng chứa điểm C bờ đ-ờng thẳng AB vẽ đoạn thẳng AE vng góc với AB AE = AB Trên nửa mặt phẳng chứa điểm B bờ đờng thẳng AC vẽ đoạn thẳng AD vng góc với AC AD = AC a) Chứng minh BD = CE
b) Trên tia đối tia MA lấy N cho MN = MA Chứng minh ADE = CAN
c) Gọi I giao điểm DE vµ AM Chøng minh
2
2
AD IE
DI AE
Bài (2 điểm)
(34)Họ tên thí sinh: SBD:
Đáp án
Bài 1(4 điểm) Thực phép tính:
a)
3
3 :
1 -1
A -
-3 3
b)
: 5,1
1 1
-
-39 51 B
1 1
-8 52 68
Đáp án Điểm
a (2đ)
3
3 :
1 -1
A -
-3 3
= : 3 = 4 : 3 = -1 b (2đ) : 5,1
1 1
-
-39 51 B
1 1
-8 52 68
:
1 1
+
1
3 13 17
1 1
-4 13 17
3 :
3
8 31
1
1 Bài (5 điểm)
Cho hai đa thức: A(x) = x5 - 2x3 + 3x4 - 9x2 + 11x - 6 B(x) = 3x4 + x5 - 2(x3 + 4) - 10x2 + 9x
a) Tính C(x) = A(x) - B(x) b) Tìm x để C(x) = 2x +
c) Chứng tỏ C(x) khụng thể nhận giá trị 2012 với xZ
Đáp án Điểm
a (2đ)
Ta cú: A(x) = x5 + 3x4 - 2x3 – 9x2 + 11x - 6 B(x) = x5 + 3x4 - 2x3 - 10x2 + 9x - 8
C(x) = A(x) - B(x) = x2 + 2x + 2 Vậy: C(x) = x2 + 2x + 2
1 b
(1,5đ)
C(x) = 2x + x2 + 2x + = 2x + 2 x2 + 2x + - 2x - = 0 x2 = x = 0
Vậy để C(x) = 2x + thỡ x =
0,5 0,5 0,5
c
(1.5®) Giả sử C(x) = 2012
x2 + 2x + = 2012 x2 + 2x = 2010 x(x + 2) = 2010 Với xZ, 2010 số chẵn nên x(x + 2) số chẵn
x x + số chẵn
(35)Mà x x + đơn vị nên chúng số chẵn x(x + 2)4
Nhưng 2010 không chia hết cho 4 C(x) 2012
Vậy C(x) nhận giá trị 2012 với xZ
0.5 0.5
Bài (4 điểm) a) Cho
a c b
c b d Chứng minh rằng:
3 3
3 3
+
+
-a c - b a
d c b d
b) Tìm số nguyên x, y, biÕt: 42 - 3y - 3= 4(2012 - x)4
Đáp án Điểm
a (2đ)
Từ
a c b
c b d
3 3
3 3
a c b a
d
c b d
áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có:
3 3 3
3 3 3
a c b a a c b
d
c b d c b d
Vậy
3 3
3 3
+
+
-a c - b a
d
c b d
1 0,5 0,
b (2đ)
42 - 3y -3= 4(2012 - x)4
42 = 3y -3 + 4(2012 - x)4
Do 3y -30 với giá trị y nên 4(2012 - x)4 42 (2012 - x)4 <11< 24 2012 - x = 2012 - x = 1
(vì 2012 - x số nguyên (do x nguyên))
* Nếu 2012 - x = 1 x = 2012 x = 2013 38 = 3y -3
y -3= 38/3 (khơng có giá trị y thoả mãn y nguyên)
* 2012 - x = x = 2012 42 = 3y -3 y -3= 14 y = 17 y = -11
Vậy cặp số (x,y) = (2012; 17); (2012; -11)
0,5 0,5 0,5
0,5 Bài (5 điểm)
Cho ABC có ba góc nhọn, trung tuyến AM Trên nửa mặt phẳng chứa điểm C bờ
đường thẳng AB vẽ đoạn thẳng AE vng góc với AB AE = AB Trên nửa mặt phẳng chứa điểm B bờ đường thẳng AC vẽ đoạn thẳng AD vng góc với AC AD = AC
a) Chứng minh BD = CE
b) Trên tia đối tia MA lấy N cho MN = MA Chứng minh ADE =CAN
c) Gọi I giao điểm DE AM Chứng minh
2
2
AD IE
DI AE
Đáp án Điểm
Năm học 2011 - 2012 A
(36)Một số đề ôn HSG lớp 7
0,5 a
(2đ)
+Chứng minh ABD = AEC ( c g.c) BD = EC ( cạnh tương ứng)
1,0 0,5
b (2đ)
+Chứng minh CMN = BMA ( c g.c) CN = AB ABC NCM
Có DAE DAC BAE BAC 900900 BAC 1800 BAC (1)
ACN ACM MCN ACB ABC 1800 BAC (2)
Từ (1) (2) DAE ACN
+Chứng minh ADE = CAN ( c g.c)
0,5 0,5 0,5 0,5
c (1đ)
ADE = CAN ( cmt) ADE CAN (2 góc tương ứng) Mà DAN CAN 900DAN ADE 900
hay DAI ADI 900 AI DE
áp dụng định lí Py- ta-go cho AID (AID 900) AIE (
900
AIE ) có: AD2 - DI2 = AE2 - EI2 (=AI2)
AD2 + EI2 = AE2 + DI2
2
2
AD IE
DI AE
0,5
0,5 Bài (2 điểm)
Cho tam giỏc ABC cú độ dài ba cạnh BC = a, AC = b, AB = c thoả món: a2 + b2 > 5c2 Chứng minh C 600
Đáp án Điểm
Giar sử c a > c2 a2 Mà a2 + b2 > 5c2 a2 + b2 > 5a2 b2 > 4a2 b > 2a (1) Vỡ c2 a2 c2 + b2 a2 + b2 > 5c2 b2 > 4c2 b > 2c (2) Từ (1) (2) suy 2b > 2a + 2c b > a + c, vụ lớ Vậy c < a
Lập luận tương tự ta c < b Từ đú suy c độ dài cạnh nhỏ
C gúc nhỏ C < A ; C < B
3C < A + B + C = 1800 C 600 Vy: C 600
(37)Bài1 :(5điểm):
1/ T×m x,y , z biÕt r»ng x
2=
y
3,
x
5=
z
7 x+2y+3z = 144
2/ tìm x biÕt : a) 3x+1+2x.3x -18x-27 = Bµi (5®iĨm):
1/ Giả sử a b số nguyên để : (16a+17b)(17a+16b) ⋮ 11.chứng minh
tÝch (16a+17b)(17a+16b) ⋮ 121
2/ Chøng minh r»ng: nÕu đa thức f(x)=ax2+bx+c nhận giá trị nguyên biến số x nhận
giá trị nguyên với x 2a,a+b,c Z ngợc lại Bài (2 điểm) :
tam giác biết cộng lần lợt độ dài cặp hai cạnh tam giác ta đợc tỷ lệ kết 7: : Tam giỏc cho tam giỏc gỡ
Bài (6 điểm)
Cho tam giỏc ABC , vẽ phía ngồi tam giác tam giác vuông cân đỉnh A BAE CAF
1) Nếu I trung điểm BC AI vuông góc với EF ngợc lại I thuộc BC AI vuông góc với EF I trung điểm BC
2) chứng tỏ AI = EF/ ( với I trung điểm BC )
3) Giả sử H trung ®iĨm cđa EF ,h·y xÐt quan hƯ cđa AH vµ BC Bài 5( điểm):
Tỡm x nguyờn dng để M = 2001− x
2002− x đạt giá trị dơng bé Tìm giá trị
Cán coi thi không giải thích thêm
H
íng dÉn chÊm bµi thi
Bài 1: 1/Đa về: 10 15 14
x y z
cho 0,5® suy
2 3 144 10 20 42 72 72
x y z x y z
cho 1điểm từ tìm đợc: (x,y,z)=(20, 30, 28) cho điểm
2/ Biến đổi thành : (3x-9) (2x+3) =0 cho1 điểm
hc 3x -9 = suy x=2 cho 0,5 ®iĨm
hc 2x +3 =0 suy x=-1,5 cho 0,5 ®iĨm
vËy x 2; -1,5
Bµi2:1/(16a+17b)(17a+16b) ⋮ 11 mµ 11 lµ sè nguyªn tè nªn cã Ýt nhÊt mét
trong hai thõa sè 16a +17b hc 17a +16b chia hÕt cho 11 ( cho 0,5 điểm )
mà (16a +17b) + (17a +16b) = 33 (a+b)11 (cho ®iĨm )
bc 16a +17b11 vµ 17a +16b 11 (cho 0,5 ®iĨm )
suy (16a+17b)(17a+16b) ⋮ 11 ( cho 0,5 ®iĨm)
2/ Ta cã f(0) Z nªn c Z ( cho 0,5 ®iĨm)
(38)f(-1) Z nªn a-b+c Z suy a-b Z ( cho 0,5 ®iĨm)
VËy : (a+b) +(a-b) =2a Z ( cho 0,5 ®iĨm)
Vậy đa thức f(x)=ax2+bx+c nhận giá trị nguyên x Z 2a; a+b; c số nguyên
Bài 3: gọi độ dài cạnh tam giác là: a; b; c thiết lập :
12
a b b c c a a b c
=k (k>0) ( cho 0,5 điểm) từ ta có : a+b+c=12k (1) a+b=7k ( 2)
b+c=8k (3) c+a= 9k (4 ) ( cho 0,5 điểm)
từ (1); (2); (3) (4) tính a=4k ; b=3k ; c=5k ( cho 0,5 điểm) ta có : a2+b2 = 16k2 +9k2 =25 k2 = (5k)2 =c2
a2+b2 =c2 nên tam giác tam giác vuông (cho 0,5 điểm)
Bài 4:Kéo dài AI lấy IK=AI
chứng minh: AIB= KIC (c.g.c) (0,5 đ) suy :KC= AE(1) (0,5 đ)
và AB//KC từ chứng minh: ACK= EAF(2)(cùng bù với góc A) (0,5 đ)
lại có AE= Ac nên EAF= KCA (cgc)
suy EAF= CAK (0,5 đ) CAK+ FAD =900
nên DFA + DAF= 900 hay AIEF (0,5 đ)
Kẻ AMEF M DM( qua A kẻ đường thẳng vng góc với EF)
AM căt BC I trung điểm BC
Vậy I thuộc BC AI EF I trung điểm
của BC (0,5 đ) 2/Theo câu 1/ ta có EAF= CAK
suy EF= AK (0,5 đ) mà AI= ½ AK nên AI= ½ EF(0,5 đ)
3/
kéo dài AH lấy N cho AH=AN gọi PANBCchứng minh tương tự ý ta có
AHBC (0,5 đ) câu 5:M=
1
2012 x
để M đạt giá trị dương bé
1
2012 xlớn
nhỏ (0,75đ)
suy 2012 –x nhận giá trị nguyên dương bé lớn 2012-x =2 (0,75đ) x =2010
khi M=1/2 (0,5 đ)
A
I
B C
E
F D
(39)Đề 16
Mơn: Tốn (Thời gian: 120 phút).
Bài 1: (1,5 điểm) Tính:
5
10 8
19 32 12 46 31 2.6
) )
27 37 37 19 27 19 20
a b
c) 12 + 22 + 32 + + 992 + 1002
Bài 2: (1 điểm)
a) Tìm hai số x, y biết: 4x = 7y x2 + y2 = 260 ;
b) Đồ thị hàm số y = ax qua điểm A( - ; 3) Xác định hệ số a Biết điểm B(x0 ; y0) điểm thuộc đồ thị hàm số Tính
0
2
x y
.
Bài 3: (1,5 điểm) Ba lớp 7A, 7B, 7C trồng 152 xung quanh trường Biết
3 số lớp 7A trồng
5 số lớp 7B trồng
7 số lớp 7C trồng Hỏi lớp trồng cây?
Bài 4: (1,0 điểm)
a) Tính giá trị biểu thức: A = 3x2 – 3xy + 2y2 với x 1 ; y 3. b) Xác định hệ số tự c để đa thức f(x) = 2x2 – 3x + c có nghiệm - 2. Bài 5: (2 điểm)
a) Có đường thẳng khác cắt O Có góc bé 1800 tạo thành, số có cặp góc đối đỉnh?
b) Cho tam giác ABC Vẽ AH BC (H thuộc BC) Gọi D, E, F
điểm nằm A H, nằm B H, nằm C H Chúng minh chu vi tam giác DEF nhỏ chu vi tam giác ABC Với vị trí điểm D, E, F chu vi tam giác DEF
1
2 chu vi tam giác ABC. Bài 6: (2,5 điểm)
Cho tam giác ABC cân A, đường cao AD
a) Chứng minh AD tia phân giác góc BAC D trung điểm BC; b) Gọi H hình chiếu điểm D AB Tính độ dài DH, biết AD = cm BC = cm ;
c) Kẻ BE tia phân giác góc ABC (E AC), biết BE = 2AD Hãy tính góc tam giác ABC
Bài 7: (0,5 điểm)
Nhân kỉ niệm 110 năm ngày sinh Lê – nin 90 năm ngày sinh Bác Hồ, có học sinh viết:
80 80
9 9
1 1
70 90
8 8
1 1
4 5
22 19
(40)(41)Đáp án biểu điểm: Bài 1:(1,5 điểm) Tính:
a)
19 32 12 46 31
27 37 37 19 27 19
(0,25 đ)
19 46 32 12 31
27 27 37 37 19 19
1 17 17
; (0,25 đ)
b)
10
10 9
10 8 10
2 3
2 2.2 2 3 5
; (0,5 đ)
c) = 1+ 2(1+1)+ 3(2+1) + + 99(98+ 1)+ 100(99+ 1)
= 1+ 1.2+ 2+ 2.3+ 3+ + 98.99 + 99 + 99.100 + 100 (0,25 đ)
= (1.2+ 2.3+ 3.4+ + 99.100) + (1+ 2+ 3+ + 99+ 100) = 333300 + 5050
= 338050 (0,25 đ)
Bài 2: (1,0 điểm)
Vì 4x = 7y nên
x y
(0,25 đ)
Đặt
x y
= k, suy x = 7k, y = 4k (0,25 đ)
x2 + y2 = 49k2 + 16k2 = 65k2 = 260, suy k2 = 4, k = k = - (0,25 đ)
Với k = x = 14; y =
Với k = - x = - 14 ; y = - (0,25 đ)
Bài 3: (1,5 điểm)
Gọi số trồng lớp 7A, 7B, 7C theo thứ tự x, y, z (x, y, z nguyên dương),
ta có: (0,25 đ)
2
3x5 y7z (1) x + y + z = 152 (2) (0,5 đ)
Biến đổi (1), ta có:
2
3.6 5.6 7.6 15 14
x y z x y z
hay
(0,25 đ)
Theo tính chất dãy tỉ số nhau, ta có:
152 15 14 15 14 38
x y z x y z
(0,25 đ)
Vậy x = = 36; y = 15 = 60; z = 14 = 56 (0,25 đ)
Trả lời: Lớp 7A, 7B, 7C trồng 36 cây, 60 cây, 56
Bài 4:(1,0 điểm)
a) Vì x 1 nên x = x = - 1; y 3 nên y = y = - (0,25 đ)
Xét trường hợp sau:
Nếu x = - 1, y = - A = = 12 ; Nếu x = - 1, y = A = = 30 ; Nếu x = 1, y = - A = = 30 ;
Nếu x = 1, y = A = = 12 (0,25 đ)
b) Vì x = - nghiệm đa thức f(x) nên f(- 2) = 0, đó:
2 (- 2)2 – (- 2) + c = 0 (0,25 đ)
Hay + + c = 0, c = - 14
(42)Bài 5:(2 điểm)
a) đường thẳng phân biệt có chung điểm O tạo thánh tia gốc O Cứ tia gốc O sễ tạo với tia lại thành góc Do đó, tia tạo thành = 56 góc Nhưng tính ta đếm góc lần Vậy có thảy 28 góc Mặt khác, đường thẳng tạo thành góc bẹt Như thế, có 24 góc bé 1800 tạo thành, số có 12 cặp góc đối đỉnh.
được 0,75 điểm
b) Nối C với D
+ Vì F nằm H C nên HF < HC, suy DF < DC (đường xiên có hình chiếu lớn lớn hơn) (1) Tương tự có CD < CA (2)
Từ (1) (2) suy DF < AC (3)
Chứng minh tương tự, ta có: DE < AC (4) (0,25 đ)
Mặt khác, ta có HE < HB, HF < HC,
HE + HF < BH + HC hay EF < BC (5) (0,25 đ)
Từ (3), (4) (5) ta có:
DE + DF + EF < AB + AC + BC,
Hay chu vi tam giác DEF nhỏ chu vi tam giác ABC
(0,25 đ)
+ Nếu D, E, F trung điểm AH, BH, CH xét tam giác ABH, ACH, ta có DE =
1
2AB, DF =
2AC. (0,25 đ)
Mặt khác EF = EH + EF =
1
2BH +
2HC = 2BC.
Do DE + DF + EF =
1
2(AB + AC + BC).
Vậy chu vi tam giác DEF
1
2 chu vi tam giác ABC. (0,25 đ) Bài 6:(2,5 điểm)
Vẽ hình xác cho câu a) được 0,25 điểm
a) C/m ABD = ACD (c.huyền – c.góc vng)
suy ra: BD = CD , D trung điểm BC; (0,25 đ)
A1 = A2 , AD phân giác góc BAC (0,25 đ)
b) + Tính BD = CD = BC/ = cm;
và AB = cm (0,25 đ)
+ Ta có HD AB = AD BD (đều diện tích ABD)
Suy
AD BD DH
AB
= 2,4 cm (0,25 đ)
c) Vẽ hình xác cho câu c) được 0,25 điểm.
Lấy I trung điểm EC Khi tam giác BEC có D trung điểm BC (c/m trên) I trung điểm EC nên DI =
1
2BE DI // BE, AD =
2BE (theo gt),
Do DI = DA => tam giác ADI cân D, suy I1 = A2 =
1
2A (0,25 đ)
B
A
C D
E H F
E
1 1
2
2
I H
B
D C
(43)Lại có DI // BE (theo trên) nên D1 = B1 (hai góc đồng vị), suy D1 =
1
2B (0,25 đ)
Góc I1 góc ngồi đỉnh I tam giác DIC nên I1 = D1 + C =
1
2B + C,
Suy
1
2 BAC =
2B + C hay BAC = B + 2C = 3C (vì B = C). (0,25 đ)
Mặt khác A + B + C = 1800 nên 5C = 1800 , suy C = 360
Từ tính B = 360 , A = 1080 (0,25 đ)
Bài 7: (0,5 điểm) Tuy luỹ thừa tầng, có luỹ thừa bậc Vậy trước hết ta làm đơn giản luỹ thừa cho
Luỹ thừa bậc n nên ta có:
80 70
1
4 4 4
22 22 22 22.22.22.22
có chữ số tận (được 0,25 điểm)
Và
80 90
1
5 5 5
19 19 19 19.19.19.19.19
có chữ số tận