Mối quan hệ giữa s ảnh và ảnh đếm được của không gian metric qua các ánh xạ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐÀ NẴNG KHOA TOÁN −−− −−− HUỲNH THỊ KIM MỐI QUAN HỆ GIỮA S - ẢNH VÀ ẢNH ĐẾM ĐƯỢC CỦA KHÔNG GIAN METRIC QUA CÁC ÁNH XẠ Chuyên ngành: Cử nhân Toán - Tin KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Người hướng dẫn khoa học: TS LƯƠNG QUỐC TUYỂN Đà Nẵng, 05/2013 Mục lục LỜI CẢM ƠN! LỜI MỞ ĐẦU Cơ sở lý thuyết Mối quan hệ s-ảnh ảnh đếm không gian metric qua ánh xạ 13 KẾT LUẬN 37 TÀI LIỆU THAM KHẢO 38 Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH: Huỳnh Thị Kim LỜI CẢM ƠN ! Thời gian trôi qua thật nhanh, chớp mắt mà em hoàn thành năm đại học Nhớ ngày bắt đầu nhập học với bỡ ngỡ lo lắng mà em trải qua năm học, năm với khó khăn, vất vả tưởng chừng khơng thể vượt qua Nhưng với mong muốn làm luận văn tốt nghiệp thúc đẩy em phấn đấu nhiều học tập Cuối cùng, với kết đạt năm đầu, em Khoa phân công làm luận văn hướng dẫn thầy Lương Quốc Tuyển Được làm luận văn niềm vui, niềm vinh hạnh em Nhưng bên cạnh có khơng nỗi lo lắng gặp nhiều khó khăn, khan tài liệu, kiến thức tương đối khó Nhưng với kiến thức mà em thầy cô trường trang bị năm qua với hướng dẫn nhiệt tình thầy Lương Quốc Tuyển động viên giúp đỡ bạn bè gia đình cuối luận văn em hoàn thành Em xin gởi lời cảm ơn chân thành đến Thầy hướng dẫn, thầy Khoa gia đình bạn bè giúp đỡ em thời gian vừa qua, em xin chân thành cảm ơn ! Mặc dù có nhiều cố gắng viết khơng thể tránh khỏi thiếu sót nội dung lẫn hình thức Vì vậy, em mong nhận lời bảo quý báu thầy cô giáo góp ý bạn đọc Đà Nẵng, ngày tháng năm 2013 Người viết Sinh viên: Huỳnh Thị Kim Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH: Huỳnh Thị Kim LỜI MỞ ĐẦU Bài toán mối quan hệ ánh xạ mối quan hệ ảnh khơng gian metric tốn trọng tâm tôpô đại cương nhiều nhà toán học giới quan tâm nghiên cứu như: L Foged, Y Tanaka, Y Ge, S Lin, C Liu X.Ge Từ đó, tác giả thu nhiều kết đẹp hai toán Đặt biệt, năm 2007, S Lin C Liu đặt toán mở sau: Bài toán Nếu X s-ảnh thương khơng gian metric, X có s-ảnh đếm khơng gian metric hay khơng? Sau đó, X Ge thu câu trả lời riêng cho toán (Xem [1]) Với lý nêu với định hướng gợi ý thầy giáo Lương Quốc Tuyển, định chọn đề tài: "Mối quan hệ s-ảnh ảnh đếm không gian mêtric qua ánh xạ" làm đề tài nghiên cứu cho khóa luận Đề tài nghiên cứu nhằm tìm hiểu làm rõ vấn đề sau: (1) Mối quan hệ ánh xạ như: 1-phủ-dãy, ánh xạ yếu-mở, hầu mở, giả-mở, thương (2) Mối quan hệ s-ảnh ảnh đếm không gian metric qua ánh xạ Với mục đích nghiên cứu trên, luận văn chia làm chương với nội dung sau: Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH: Huỳnh Thị Kim Chương Cơ sở lý thuyết Trình bày lại số khái niệm định nghĩa tôpô đại cương để phục vụ cho việc nghiên cứu chứng minh định lý , mệnh đề, chương sau Chương Mối quan hệ s-ảnh ảnh đếm không gian mêtric qua ánh xạ Trong chương này, tìm mối quan hệ ánh xạ s-ảnh, ảnh đếm không gian metric với với số ánh xạ khác không gian tôpô Chứng minh chi tiết số mối quan hệ ánh xạ ảnh không gian metric qua ánh xạ Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH: Huỳnh Thị Kim Chương Cơ sở lý thuyết 1.1 Không gian mêtric 1.1.1 Định nghĩa Giả sử X tập hợp khác rỗng ρ : X × X → R hàm số xác định X × X thỏa mãn điều kện sau: (a) ρ(x, y) ≥ với ∀x, y ∈ X ρ(x, y) = ⇔ x = y (b) ρ(x, y) = ρ(x, y) với ∀x, y ∈ X (c) ρ(x, z) ≤ ρ(x, y) + ρ(y, z) với ∀x, y, z ∈ X Khi đó, − Cặp (X, ρ) gọi không gian metric − Mỗi phần tử X gọi điểm X − Số ρ(x, y) gọi khoảng cách hai điểm x, y − Điều (a) gọi tiên đề đồng nhất, (b) gọi tiên đề đối xứng, (c) gọi tiên đề tam giác 1.1.2 Các ví dụ Ví dụ Với E = Rn hàm ρ định nghĩa sau: ρ(x, y) = ||a − b|| = Khóa Luận Tốt Nghiệp (b − a)2 + + (bn − an )2 SVTH: Huỳnh Thị Kim Khi đó, ρ metric X (X, ρ) không gian metric Ví dụ Với E = Rn hàm ρ định nghĩa sau: ρ(x, y) = |b1 − a1 | + + |bn − an | Khi đó, ρ metric X (X, ρ) khơng gian metric Ví dụ Với E = Rn hàm ρ định nghĩa sau: ρ(x, y) = max |bi − | với i = 1, 2, , n Khi đó, ρ metric X (X, ρ) không gian metric 1.2 Không gian tôpô 1.2.1 Định nghĩa không gian tôpô Giả sử T họ gồm tập X thỏa mãn điều kiện sau: (1) ∅ ∈ T , X ∈ T (2) Nếu {Ut }t∈T ⊂ T , Ut ∈ T t∈T (3) Nếu U1 ,U2 ∈ T U1 U2 ∈ T Khi đó, − T gọi tôpô X − Cặp (X, T ) gọi không gian tôpô − Mỗi phần tử X gọi điểm X − Mỗi phần tử T gọi tập hợp mở Như vậy, (1) Tập hợp rỗng tồn khơng gian tập hợp mở (2) Giao tập hợp mở tập hợp mở Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH: Huỳnh Thị Kim (3) Hợp họ tùy ý tập hợp mở tập hợp mở 1.2.2 Định nghĩa sở không gian tôpô a Định nghĩa Giả sử B họ gồm tập mở khơng gian (X, T ), nghĩa B ⊂ T Ta nói rằng, B sở không gian tôpô (X, T ) ( sở tôpô T ) tập hợp mở X tập hợp họ tập hợp thuộc B b Nhận xét − Mỗi tập hợp thuộc B tập hợp mở điều ngược lại không − Dễ thấy rằng, B ⊂ T B sở không gian tôpô (X, T ) với tập hợp mở A X điểm x A, tồn lân cận Ux điểm x thuộc X cho Ux ⊂ A 1.2.3 Định nghĩa sở lân cận không gian tôpô Giả sử x điểm không gian tôpô X Họ Bx lân cận x gọi sở lân cận x không gian tôpô (X, T ) lân cận V x, tồn B ∈ Bx cho x ∈ B ⊂ V 1.3 Tôpô sinh metric a Định nghĩa − Giả sử (X, ρ) khơng gian mêtric Khi đó, họ T gồm tập mở X tơpơ X Ta nói rằng, T gọi tôpô sinh mêtric ρ − Không gian tôpô X gọi không gian khả metric X tồn metric ρ cho tôpô sinh metric trùng với tôpô X b Nhận xét − Mỗi không gian metric không gian khả metric − Mỗi khơng gian metric khơng gian tơpơ Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH: Huỳnh Thị Kim 1.4 Không gian thỏa mãn tiên đề đếm thứ Không gian X gọi thỏa mãn tiên đề đếm thứ với điểm x ∈ X có sở lân cận đếm 1.5 Một số định nghĩa không gian metric suy rộng 1.5.1 Định nghĩa Giả sử P họ gồm tập khơng gian X Khi đó, (1) P gọi đếm theo điểm x ∈ X thuộc nhiều đếm phần tử P (2) P gọi hữu hạn theo điểm x ∈ X thuộc nhiều hữu hạn phần tử P (3) P gọi compact-hữu hạn với tập compact K ⊂ X K giao với nhiều hữu hạn phần tử P (4) P gọi mạng x X x ∈ P với P ∈ P với lân cận U x, tồn P ∈ P cho x ∈ P ⊂ U 1.5.2 Định nghĩa Cho không gian tôpô X , P ⊂ X Khi đó, (1) Dãy {xn } gọi từ lúc nằm P tồn m cho: {x} {xn : n ≥ m} ⊂ P (2) Dãy {xn } gọi thường xuyên gặp P tồn dãy {xnk } cho: Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH: Huỳnh Thị Kim 10 {x} {xnk : k ∈ N} ⊂ P (3) P gọi lân cận dãy x X với dãy {xn } hội tụ đến x từ lúc nằm P (4) P gọi tập mở theo dãy X P lân cận dãy x X với x ∈ P (5) Không gian X gọi không gian F r´ echet với A ⊂ X x ∈ A tồn dãy {xn } ⊂ A hội tụ đến x (6) Giả sử P phủ X Ta nói X xác định P P xác định X U ⊂ X mở (tương ứng đóng) X U P mở (tương ứng đóng) P với P ∈ P (7) Không gian X gọi không gian dãy tập A ⊂ X đóng X khơng có dãy A hội tụ đến điểm nằm A, tương đương: X xác định phủ gồm tập compact khả mêtric X 1.5.3 Chú ý (1) Giao họ gồm hữu hạn lân cận dãy x X lân cận dãy x X (2) Một tập đếm không gian tơpơ khơng gian F r´ echet không gian dãy 1.6 Mệnh đề Đối với không gian X , khẳng định sau (1) Mọi không gian metric không gian thỏa mãn tiên đề đếm thứ Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH: Huỳnh Thị Kim 24 D= {Dx ∪ {ax } : x ∈ X} g = f |D : D → X , nghĩa g ánh xạ thu hẹp f D Bởi g −1 (x) = Dx ∪ ax với x ∈ X nên g ánh xạ đếm từ không gian metric D lên X Do vậy, để hoàn thành chứng minh ta cần chứng tỏ g ánh xạ 1-phủ-dãy Thật vậy, giả sử x ∈ X , ax ∈ D Hơn nữa, với dãy {xn } hội tụ đến x X , tồn dãy {an } hội tụ đến ax M thỏa mãn an ∈ f −1 (xn ) với n ∈ N Với n ∈ N, Dxn tập hợp f −1 (xn ) an ∈ f −1 (xn ) nên chọn bn ∈ Dxn cho ρ(an , bn ) < Khi đó, {bn } dãy hội tụ D thỏa mãn bn ∈ g −1 (xn ) n với n ∈ N Bây giờ, ta chứng minh {bn } dãy hội tụ đến ax D Thật vậy, với > 0, tồn k1 ∈ N cho : < k1 Bởi dãy {an } hội tụ đến ax M nên tồn k2 ∈ N cho : ρ(an , ax ) < Đặt k = max{k1 , k2 }, với n > k , ta có : ρ(bn , ax ) ≤ ρ(bn , an ) + ρ(an , ax ) < 1 + < + < + = n k1 2 Điều chứng tỏ dãy {bn } hội tụ đến ax D Từ chứng minh trên, ta suy g ánh xạ 1-phủ-dãy Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH: Huỳnh Thị Kim 25 2.9 Định lí Giả sử f : X → Y ánh xạ Khi đó, X khơng gian thỏa mãn tiên đề đếm thứ nhất, khẳng định sau tương đương: (1) f ánh xạ mở-yếu (2) f ánh xạ thương, sn−mở (3) f ánh xạ 1-phủ-dãy Chứng minh (1) Giả sử X không gian thỏa mãn tiên đề đếm thứ nên với x ∈ X có sở lân cận Bx đếm Bây giờ, với y ∈ Y , ta đặt : Py = {f (B) : xy ∈ B ∈ B}và P = {Py : y ∈ Y } đếm với y ∈ Y nên Py đếm với y ∈ Y Hơn nữa, (a) Py mạng y với y ∈ Y (b) Giả sử P1 , P2 ∈ Py Khi đó, tồn B1 , B2 ∈ Bxy cho : f (B1 ) = P1 , f (B2 ) = P2 Mặt khác, Bxy sở lân cận xy nên tồn B ∈ Bxy cho xy ∈ B ⊂ B1 ∩ B2 Bởi thế, f (B) ∈ Py f (B) ⊂ f (B1 ∩ B2 ) ⊂ P1 ∩ P2 (c) Giả sử G tập mở Y Khi đó, Bxy sở lân cận mở xy f −1 (G) lân cận xy X Mặt khác, B sở nên tồn B ∈ B cho xy ∈ B ⊂ f −1 (G) Do vậy, f (B) ∈ Py f (B) ⊂ G Ngược lại, giả sử G tập Y cho với y ∈ G, tồn F ∈ Py thỏa mãn F ⊂ G Ta cần chứng minh G tập mở Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH: Huỳnh Thị Kim 26 Y Thật vậy, giả sử ngược lại G không tập mở Y , kéo theo Y − G khơng tập đóng Y Khi đó, tồn B ∈ B cho xy ∈ B f (B) ⊂ G Từ khẳng định (a), (b) (c) ta suy P sở yếu Y Bây ta chứng tỏ f ánh xạ mở-yếu Thật vậy, giả sử y ∈ Y U lân cận xy X Khi đó, tồn B ∈ B cho xy ∈ B ⊂ U , kéo theo f (B) ⊂ f (U ) Hơn nữa, xy ∈ B ∈ B nên f (B) ∈ Py Do vậy, f ánh xạ mở-yếu (điều phải chứng minh) (2) Vì f ánh xạ mở-yếu, nên tồn sở yếu P= {Py : y ∈ Y } Y cho với y ∈ Y , tồn x ∈ f −1 (y) thỏa mãn điều kiện : Với lân cận mở U x X , tồn P ∈ Py , cho P ⊂ f (U ) Giả sử tồn sn−mạng : P= {Py : y ∈ Y } Y với y ∈ Y , tồn x ∈ f −1 (y) thỏa mãn điều kiện : Với lân cận mở U x X , tồn P ∈ Py , cho P ⊂ f (U ) Để chứng minh P sn−mạng, ta cần chứng minh phần tử Py lân cận dãy y Thật vậy, giả sử ngược lại tồn y ∈ Y Py ∈ Py cho Py không lân cận dãy y Suy ra, tồn dãy S hội tụ đến y Y cho tồn dãy L S thỏa mãn L∩Py = ∅ Bây giờ, ta chứng tỏ L tập đóng Y Giả sử x ∈ X − L, x = y Py ⊂ X − L, x = y {x} ∪ L tập hợp Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH: Huỳnh Thị Kim 27 đóng P sở yếu nên tồn Px ∈ Px cho x ∈ Px ⊂ X − (L ∪ {x}) ⊂ X − L Do vậy, với x ∈ X − L, tồn F ∈ Px , cho x ∈ F ⊂ X − L Bởi P sở yếu nên X − L tập hợp mở Y , kéo theo L tập đóng Y Điều mâu thuẫn với y ∈ / L Suy tồn sn−mạng: P= {Py : y ∈ Y } Y với y ∈ Y , tồn x ∈ f −1 (y) thỏa mãn điều kiện : Với lân cận mở U x X , tồn P ∈ Py , cho P ⊂ f (U ) Do đó, f sn−mở (3) Giả sử f ánh xạ sn−mở, X không gian thỏa mãn tiên đề đếm thứ Khi đó, tồn sn−mạng: P= {Py : y ∈ Y } Y với y ∈ Y , tồn x ∈ f −1 (y) thỏa mãn điều kiện : Với lân cận mở U x X , tồn P ∈ Py , cho P ⊂ f (U ) Bây giờ, ta cần chứng minh f ánh xạ 1-phủ-dãy Thật vậy, giả sử {yn } dãy hội tụ đến y Y Bởi X khơng gian thỏa mãn tiên đề đếm thứ nên x tồn dãy sở lân cận giảm đếm {Bn } X Khi đó, với n, tồn Pn ∈ Py cho Pn ⊂ f (Bn ) Hơn nữa, Pn lân cận dãy y Y nên {yn } từ lúc nằm Pn , kéo theo {yn } từ lúc nằm f (Bn ) Do vậy, áp dụng Bổ đề 2.4 ta suy {yn } ảnh dãy hội tụ đến x Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH: Huỳnh Thị Kim 28 X Do vậy, f ánh xạ 1-phủ-dãy 2.10 Định lí Giả sử f : X → Y ánh xạ Khi đó, X khơng gian thỏa mãn tiên đề đếm thứ Y khơng gian dãy, khẳng định sau tương đương: (1) f ánh xạ mở-yếu (2) f ánh xạ sn−mở (3) f ánh xạ 1-phủ-dãy Chứng minh (1) Giả sử X không gian thỏa mãn tiên đề đếm thứ nên với x ∈ X có sở lân cận Bx đếm được, Y không gian dãy B sở X , nên với y ∈ Y , ta đặt : Py = {f (B) : xy ∈ B ∈ B} đặt P = {Py : y ∈ Y } Khi đó, (a) Py mạng y với y ∈ Y (b) Giả sử P1 , P2 ∈ Py Khi đó, tồn B1 , B2 ∈ B cho: xy = B1 ∩ B2 và: f (B1 ) = P1 , f (B2 ) = P2 Mặt khác, B1 , B2 ∈ B nên tồn B ∈ B cho xy ∈ B ⊂ B1 ∩ B2 Bởi thế, f (B) ∈ Py f (B) ⊂ f (B1 ∩ B2 ) ⊂ P1 ∩ P2 (c) Giả sử G tập mở Y Khi đó, f −1 (G) lân cận mở xy X Mặt khác, B sở nên tồn B ∈ B cho : xy ∈ B ⊂ f −1 (G) Do vậy, f (B) ∈ Py f (B) ⊂ G Ngược lại, giả sử G tập Y cho với y ∈ G, tồn Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH: Huỳnh Thị Kim 29 F ∈ Py thỏa mãn F ⊂ G Ta cần chứng minh G tập mở Y Thật vậy, giả sử ngược lại G không tập mở Y , kéo theo Y − G khơng tập đóng Y Vì Y không gian dãy nên theo nhận xét : Không gian dãy ⇔ tập mở theo dãy X mở ⇔ tập A ⊂ X đóng khơng có dãy A hội tụ đến điểm nằm A, nên tồn dãy {yn } ⊂ X − G hội tụ đến y ∈ / Y − G Khi đó, tồn B ∈ B cho xy ∈ B f (B) ⊂ G Hơn nữa, xy ∈ B B tập mở nên tồn dãy {xn } từ lúc nằm B , suy {yn } nằm f (B) ⊂ G Điều dẫn đến mâu thuẫn yn ∈ / G với n ∈ N Từ khẳng định (a), (b) (c) ta suy P sở yếu Y Bây ta chứng tỏ f ánh xạ mở-yếu Thật vậy, giả sử y ∈ Y U lân cận xy X Khi đó, tồn B ∈ B cho xy ∈ B ⊂ U , kéo theo f (B) ⊂ f (U ) Hơn nữa, xy ∈ B ∈ B nên f (B) ∈ Py Do vậy, f ánh xạ mở-yếu (điều phải chứng minh) (2) Vì f ánh xạ mở - yếu, nên tồn sở yếu P= {Py : y ∈ Y } Y cho với y ∈ Y , tồn x ∈ f −1 (y) thỏa mãn điều kiện : Với lân cận mở U x X , tồn P ∈ Py , cho P ⊂ f (U ) Giả sử tồn sn−mạng : P= {Py : y ∈ Y } Y với y ∈ Y , tồn x ∈ f −1 (y) thỏa mãn điều kiện : Với lân cận mở U x X , tồn P ∈ Py , cho P ⊂ f (U ) Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH: Huỳnh Thị Kim 30 Để chứng minh P sn−mạng, ta cần chứng minh phần tử Py lân cận dãy y Thật vậy, giả sử ngược lại tồn y ∈ Y Py ∈ Py cho Py không lân cận dãy y Mặc khác, Y khơng gian dãy suy ra, tồn dãy S hội tụ đến y Y cho tồn dãy L S thỏa mãn L ∩ Py = ∅ Bây giờ, ta chứng tỏ L tập đóng Y Giả sử x ∈ X − L, x = y Py ⊂ X − L, x = y {x} ∪ L tập hợp đóng P sở yếu nên tồn Px ∈ Px cho x ∈ Px ⊂ X − (L ∪ {x}) ⊂ X − L Do vậy, với x ∈ X − L, tồn F ∈ Px , cho x ∈ F ⊂ X − L Bởi P sở yếu nên X − L tập hợp mở Y , kéo theo L tập đóng Y Điều mâu thuẫn với y ∈ / L Suy tồn sn−mạng: P= {Py : y ∈ Y } Y với y ∈ Y , tồn x ∈ f −1 (y) thỏa mãn điều kiện : Với lân cận mở U x X , tồn P ∈ Py , cho P ⊂ f (U ) Do đó, f sn−mở (3) Giả sử f ánh xạ sn−mở, X không gian thỏa mãn tiên đề đếm thứ Khi đó, tồn sn−mạng (cơ sở yếu): P= {Py : y ∈ Y } Y với y ∈ Y , tồn x ∈ f −1 (y) thỏa mãn điều kiện : Với lân cận mở U x X , tồn P ∈ Py , cho P ⊂ f (U ) Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH: Huỳnh Thị Kim 31 Bây giờ, ta cần chứng minh f ánh xạ 1-phủ-dãy Thật vậy, giả sử {yn } dãy hội tụ đến y Y Bởi X không gian thỏa mãn tiên đề đếm thứ nên x tồn dãy sở lân cận giảm đếm {Bn } X Khi đó, với n, tồn Pn ∈ Py cho Pn ⊂ f (Bn ) Hơn nữa, Y khơng gian dãy, Pn lân cận dãy y Y nên {yn } từ lúc nằm Pn , kéo theo {yn } từ lúc nằm f (Bn ) Do vậy, áp dụng Nhận xét Trong không gian dãy : Cơ sở yếu ⇔ sn−mạng chứng minh Bổ đề 2.4, ta suy {yn } ảnh dãy hội tụ đến x X Do vậy, f ánh xạ 1-phủ-dãy 2.11 Hệ Các khẳng định sau tương đương không gian X (1) X ảnh đếm yếu - mở không gian metric (2) X s - ảnh mở-yếu không gian metric Chứng minh (1) ⇒ (2) Bởi tập hợp đếm không gian topo tập hợp khả li nên (1) ⇒ (2) (2) ⇒ (1) Giả sử X s - ảnh mở - yếu không gian metric Khi đó, nhờ định lí 2.9, ta suy X s−ảnh thương, 1-phủ-dãy không gian metric Mặt khác, X ảnh thương khơng gian metric, không gian metric không gian dãy ánh xạ thương bảo tồn không gian dãy nên X khơng gian dãy Do vậy, nhờ định lí 2.8 ta suy X ảnh đếm 1-phủ-dãy không gian metric Cuối cùng, nhờ định lí 2.10 ta suy X ảnh đếm mở-yếu không gian metric Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH: Huỳnh Thị Kim 32 2.12 Định lí Giả sử f : X → Y ánh xạ Khi đó, X tập đếm sở sau tương đương: (1) f ánh xạ hầu mở (2) f ánh xạ mở-yếu, ánh xạ giả-mở (3) f ánh xạ sn-mở, ánh xạ giả-mở (4) f ánh xạ 1-phủ-dãy, ánh xạ giả-mở Chứng minh (1) Giả sử X tập đếm Đầu tiên ta cần chứng tỏ với y ∈ Y , tồn x ∈ f −1 (y) cho lân cận U x X ta có f (U ) lân cận y Y Vì X đếm được, tồn P = {Py : y ∈ Y } sn−mạng Y cho Py họ đếm Ta giả sử rằng, với Py khép kín với phép giao hữu hạn Thật vậy, giả sử ngược lại tồn y ∈ Y cho với xy ∈ f −1 (y), tồn lân cận Ux xy thỏa mãn P ⊂ f (Ux ) với P ∈ Py Khi đó, giả sử B sở đếm X với x ∈ X , tồn B ∈ B cho x ∈ B ⊂ U Điều chứng tỏ P ⊂ f (B) với P ∈ Py với x ∈ f −1 (y) Mặt khác, B sở đếm theo điểm f −1 (y) tập khả li X nên {Bx : x ∈ f −1 (y)} họ đếm Bây giờ, giả sử U lân cận y Khi đó, tồn P ∈ Py cho P ⊂ f (U ), suy P lân cận y , kéo theo f (U ) lân cận y Do vậy, f ánh xạ hầu mở (2) Vì f ánh xạ hầu mở nên suy tồn x ∈ f −1 (y) với y ∈ Y cho lân cận U x X ta có f (U ) lân cận y Y Giả sử với y ∈ Y , U lân cận x X Ta đặt : Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH: Huỳnh Thị Kim 33 P = {Py : y ∈ Y } sở yếu Y Py = {f (B) : x ∈ B ∈ B} Khi đó, (a) Py mạng y với y ∈ Y (b) Giả sử P1 , P2 ∈ Py Khi đó, tồn P ∈ Py , cho P ⊂ P1 ∩ P2 , suy f (P ) ⊂ P1 ∩ P2 (c) Giả sử G tập mở Y Khi đó, Bx sở lân cận x f −1 (G) lân cận x X nên tồn B ∈ Bx cho x ∈ B ⊂ f −1 (G) Do đó, f (B) ∈ Py f (B) ⊂ G Bây giờ, giả sử ngược lại G ⊂ Y cho với y ∈ G tồn F ∈ Py thỏa mãn F ⊂ G Khi đó, với y ∈ G, tồn Bx ∈ Bx cho x ∈ Bx f (Bx ) ⊂ G với Bx lân cận x với y ∈ Y , tồn x ∈ f −1 (y) cho với lân cận U x X ta có f (U ) lân cận y Y Suy G tập mở Y Thật vậy, giả sử y ∈ Y U lân cận x X , suy tồn B ∈ B cho x ∈ B ⊂ U ⇒ f (B) ⊂ f (U ) x ∈ B ∈ B nên f (B) ∈ Py Do vậy, f mở-yếu Theo ý 2.3.3 ta suy f giả-mở (3) Giả sử f mở-yếu, đó, tồn sở yếu: P= {Py : y ∈ Y } Y cho với y ∈ Y , tồn xy ∈ f −1 (y) thỏa mãn điều kiện : Với lân cận mở U xy X , tồn Py ∈ Py , cho Py ⊂ f (U ) Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH: Huỳnh Thị Kim 34 Chứng minh tương tự định lí 2.10(2) ta suy f sn−mở (4) Dựa vào chứng minh định lí 2.9(3), ta suy f 1-phủ-dãy 2.13 Định lí Giả sử f : X → Y ánh xạ Khi đó, X tập đếm Y khơng gian F r´ echet, sở sau tương đương: (1) f ánh xạ hầu mở (2) f ánh xạ mở-yếu (3) f ánh xạ sn-mở (4) f ánh xạ 1-phủ-dãy Chứng minh (1) Vì X tập đếm Y không gian F r´ echet Giả sử, tồn : P= {Py : y ∈ Y } sn−mạng Y , cho Py họ đếm với y ∈ Y , U lân cận y , P ∈ Py cho : P ∈ f (U ) Do Y không gian F r´ echet, theo bổ đề 2.6 ta có P lân cận y , từ kéo theo f (U ) lân cận y Suy f ánh xạ hầu mở (2) Theo ý 2.3(1) : Một ánh xạ hầu mở ⇒ ánh xạ mở - yếu ta suy f ánh xạ mở-yếu Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH: Huỳnh Thị Kim 35 (3) Cũng từ ý 2.3(1): Một ánh xạ hầu mở ⇒ ánh xạ mở-yếu ⇒ ánh xạ sn-mở Vậy ta suy f ánh xạ sn−mở (4) Giả sử f ánh xạ sn−mở Y không gian F r´ echet Khi đó, tồn sn−mạng: P= {Py : y ∈ Y } Y cho với y ∈ Y tồn x ∈ f −1 (y) thỏa mãn điều kiện : Với lân cận mở U x X , tồn P ∈ Py , cho P ⊂ f (U ) Bây giờ, ta chứng minh f 1-phủ-dãy Thật vậy, giả sử {yn } dãy hội tụ đến y Y Vì X tập đếm nên tồn dãy sở lân cận giảm đếm {Bn } X Khi đó, với n tồn Pn ∈ Py cho Pn ⊂ f (Bn ) Hơn nữa, Pn lân cận dãy y Y nên {yn } từ lúc nằm Pn , kéo theo {yn } từ lúc nằm f (Bn ) Do vậy, áp dụng bổ đề 2.4 ta suy {yn } ảnh dãy hội tụ đến x X Từ đó, f ánh xạ 1-phủ-dãy 2.14 Hệ Các khẳng định sau tương đương không gian X (1) X ảnh đếm hầu mở không gian metric (2) X s-ảnh hầu mở không gian metric Chứng minh (1) ⇒ (2) Bởi tập hợp đếm không gian topo tập hợp khả li nên (1) ⇒ (2) Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH: Huỳnh Thị Kim 36 (2) ⇒ (1) Giả sử X s-ảnh hầu mở khơng gian metric Khi đó, theo Định lí 2.12 ta suy X s-ảnh giả-mở 1-phủ-dãy khơng gian metric Mặt khác, không gian metric không gian F r´ echet ánh xạ giả - mở bảo tồn không gian F r´ echet nên ta suy X không gian F r´ echet Nhờ Định lí 2.8 ta suy X ảnh đếm 1-phủ-dãy không gian metric Do vậy, nhờ định lí 2.13 ta suy X ảnh đếm hầu mở không gian metric Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH: Huỳnh Thị Kim 37 KẾT LUẬN Sau thời gian tìm hiểu nghiên cứu đề tài này, tác giả tìm hiểu vấn đề sau (1) Tìm hiểu số khái niệm : mạng, sở yếu, sn−mạng, ánh xạ 1-phủ-dãy, mở-yếu, hầu mở (2) Chứng minh chi tiết số mối quan hệ ánh xạ ảnh không gian metric qua ánh xạ Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH: Huỳnh Thị Kim 38 Tài liệu tham khảo [1] Xun Ge (2007), On countable - to - one images of metric spaces, Topology Proccedings, 31 (1), 115 - 123 [2] Nguyễn Xuân Liêm (1994), Tơpơ đại cương - Độ đo tích phân, Sách nhà xuất giáo dục Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH: Huỳnh Thị Kim ... tìm mối quan hệ ánh xạ s- ảnh, ảnh đếm không gian metric với với s? ?? ánh xạ khác không gian tôpô Chứng minh chi tiết s? ?? mối quan hệ ánh xạ ảnh khơng gian metric qua ánh xạ Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH:... "Mối quan hệ s- ảnh ảnh đếm không gian mêtric qua ánh xạ" làm đề tài nghiên cứu cho khóa luận Đề tài nghiên cứu nhằm tìm hiểu làm rõ vấn đề sau: (1) Mối quan hệ ánh xạ như: 1-phủ-dãy, ánh xạ yếu-mở,... khác, X ảnh thương không gian metric, không gian metric không gian dãy ánh xạ thương bảo tồn không gian dãy nên X không gian dãy Do vậy, nhờ định lí 2.8 ta suy X ảnh đếm 1-phủ-dãy không gian metric