Đang tải... (xem toàn văn)
ThÕ vµo biÓu thøc vÕ tr¸i råi biÕn ®æi.... T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc.[r]
(1)(2)II giải vấn đề 1 Các kiến thức cần nắm
1.1 C¸c hệ thức bản
+ cos2+sin2=1 + + tg2 = 1 cos2α (α ≠
π 2+kπ) + tg cotg = ( kπ
2 ) + + cotg2 = 1
sin2α (α ≠ kπ) 1.2 C«ng thøc céng gãc
+ cos() = cos cos ∓ sin sin + sin() = sin cos cos sin + tg () = tgα ±tgβ
1∓tgαtgβ(α ; β ≠ π 2+kπ) + cotg() = tgα ±tgβ
1±tgαtgβ(α ± β ≠ π
2+kπ) (α ; k) 1.3 Công thức nhân
+ sin2 = sin cos
+ cos2 = cos2 - sin2 = 2cos2 - = - 2sin2 + tg2 = 2 tgα
1−tg2α(α ≠ π 4+k
π 2) + cotg2 = cotg
2 α −1 2 cotgα (α ≠
kπ 2 ) + sin3 = 3sin - 4sin3
+ cos3 = 4cos3 - 3cos
+ tg3 =
α ≠π 6+k
π 3 3 tgα −tg3α
1−3 tg3α ¿ )
1.4 Công thức hạ bậc + cos2 = 1+cos 2α
2 + sin2 =
1−cos 2α 2 + tg2 = 1−cos 2α
1+cos 2α (α ≠
π 2+kπ) 1.5 Công thức biến đổi tổng thành tích: + cos + cos = 2cos α+β
2 cos α − β
2 + cos - cos = - 2sin α+β
2 sin α − β
2 + sin + sin = 2sin α+β
2 cos α − β
2 + sin - sin = = - 2cos α+β
2 sin α − β
2 + tg tg = sin(α ± β)
cosα cosβ (α ; β ≠ π 2+kπ) 1.6 Cơng thức biến đổi tích thành tổng:
+ cos.cos = 1
2[cos(α+β)+cos(α − β)] + sin.sin = 1
2[cos(α − β)+cos(α+β)] + sin.cos = 1
2[cos(α+β)+cos(α − β)] 2 Néi dung cđa s¸ng kiÕn
(3)Trong dạng tập đa phơng pháp chọn cách đặt để học sinh nhanh chóng chuyển vế bất đẳng thức đại số phải chứng minh biểu thức lợng giác sau biến đổi để đánh giá bất đẳng thức lợng giác bất đẳng thức lợng giác đơn giản nh:
2
| sin | 1;| cos | 1; sin n 1; cos n 1 (n N*)
* Để học sinh nắm kiến thức cách hệ thống lập bảng số dấu hiệu nhận biết sau:( Giả sử hàm số lợng giác sau có nghĩa)
Biểu thức đại số Biểu thức lợng giáctơng tự Công thức lợng giác
1 + x2 1 + tg2t 1+tg2t = 1
cos2t 4x3 - 3x 4cos3t - 3cost 4cos3t - 3cost = cos3t
2x2 - 1 2cos2t - 1 2cos2t - = cos2t 2x
1− x2
2 tgt 1−tg2t
2 tgt
1−tg2t = tg2t 2x
1− x2
2 tgt 1−tg2t
2 tgt
1+tg2t = sin2t
x+y
1−xy
tgα+tgβ
1−tgαtgβ
tgα+tgβ
1−tgαtgβ = tg(+)
x2 - 1 1
cos2α −1
1
cos2α −1 = tg 2
một số phơng pháp lợng giác để chứng minh bất đẳng thức đại số
I D¹ng 1: Sư dơng hƯ thøc sin2 + cos2 = 1 1) Ph ơng pháp:
a) Nu thấy x2 + y2 = đặt ¿ x=sinα
y=cosα
¿{
¿
víi [0, 2]
b) Nếu thấy x2 + y2 = a2 (a > 0) đặt
¿ x=asinα
y=acosα
¿{
¿
víi [0, 2]
2 Các ví dụ minh hoạ:
VD1: Cho sè a, b, c, d tho¶ m·n: a2 + b2 = c2 + d2 = 1 Chøng minh r»ng: −√2≤ S = a(c+d) + b(c-d) 2
Giải:
Đặt a=sinu
b=cosu
¿{
¿
vµ ¿ c=sinv
d=cosv
¿{
¿
S = sinu(sinv+cosv) + cosu(sinv-cosv)
S = (sinucosv+cosusinv) - (cosucosv - sinusinv) = sin(u+v) - cos(u+v)
S=√2 sin[(u+v)−π
4]∈[−√2,√2]⇒−√2≤ S=a(c+d)+b(c − d)≤√2 (®pcm) VD2: Cho a2 + b2 = Chøng minh r»ng:
(a2+ 1
a2)
+(b2+ 1
b2)
≥25 2 Gi¶i:
(4)(a2
+ 1
a2)
+(b2+ 1
b2)
=(cos2α+ 1
cos2α )
+(sin2α+ 1
sin2α )
= cos4 + sin4 + 1 cos4α +
1
sin4α +4=cos
α+sin4α+cos
4α
+sin4α
cos4α sin4α +4 = (cos4α+sin4α)(1+ 1
cos4α sin4α )+4 = [(cos2α+sin2α)−2 cos2αsin2α](1+
cos4α sin4α )+4 = (1−1
2sin
2α)(1+16
sin42α )+4≥(1− 1
2)(1+16)+4= 17
2 +4= 25
2 (đpcm) Bây ta đẩy toán lên mức độ cao bớc để xuất a2+b2=1 VD3: Cho a2 + b2 - 2a - 4b + = Chứng minh rằng:
A = |a2−b2+2√3 ab−2(1+2√3)a+(4−2√3)b+4√3−3|≤2 Giải: Biến đổi điều kiện: a2 + b2 - 2a - 4b + = 0 (a-1)2 + (b-2)2 = 1
Đặt
a 1=sin
b −2=cosα
⇒ ¿a=1+sinα
b=2+cosα
⇒A=|sin2α −cos2α+2√3 sinαcosα|
¿{
¿ A ¿|√3 sin 2α −cos 2α|=2|√3
2 sin 2α − 1
2cos 2α|=2|sin(2α − π
6)|≤2 (®pcm) VD4: Cho a, b tho¶ m·n : |5a + 12b + 7| = 13
Chøng minh r»ng: a2 + b2 + 2(b-a) - 1
Giải: Biến đổi bất đẳng thức: a2 + b2 + 2(b-a) - (a-1)2 + (b + 1)2 1
Đặt
a −1=Rsinα
b+1=Rcosα
¿{
¿
víi R
a=Rsinα+1
b=Rcosα −1
b+1¿2=R2
¿ ¿ ¿{
a−1¿2+¿ ⇔¿
Ta cã: |5a+12b+7|=13⇔|5(Rsinα+1)+12(Rcosα −1)+7|=13
|5Rsinα+12Rcosα|=13⇔1=R|5
13 sinα+ 12
13 cosα|=R|sin(α+arccos 5 13)|≤ R Từ (a-1)2 + (b+1)2 = R2 a2 + b2 + 2(b - a) - (đpcm)
II D¹ng 2: Sử dụng tập giá trị sin1;cos1
(5)a) Nếu thấy |x| đặt
sin ;
2 2
cos 0;
x khi
x khi
b) Nếu thấy |x| m ( m0) đặt
sin ;
2 2
cos 0;
x m khi
x m khi
2 Các ví dụ minh hoạ:
VD1: Chøng minh r»ng: (1+x)p + (1-x)p 2p |x| ; P 1. Gi¶i:
Đặt x = cos với [0, ], (1 + x)p + (1 - x)p = (1+cos)p + (1-cos)p
= (2 cos2α 2)
p
+(2 sin2α
2) p
=2p(cos2pα
2+sin 2pα
2)≤2 p
(cos2α 2+sin
2α 2)=2
p
(®pcm) VD2: Chøng minh r»ng: √3−2≤ A=2√3a2+2a√1− a2≤√3+2
Giải: Từ đk - a2 |a| nªn
Đặt a = cos với √1− a2 = sin Khi ta có:
A= 2√3a2+2a√1− a2=2√3 cos2α+2cosαsinα=√3(1+cos 2α)+sin2α = 2[√3
2 cos 2α+ 1
2sin 2α]+√3=2 sin(2α+ π
3)+√3 ⇒√3−2≤ A ≤√3+2 (®pcm)
VD3: Chøng minh r»ng:
1+a¿3 ¿ 1− a¿3
¿≤2√2+√2−2a2(1)
¿ √¿
1+1 a2
Giải: Từ đk |a| nên
Đặt a=cos với [0,] 1 a=2 sin
2;√1+a=√2cos α
2;√1− a
=sinα
(1) √1+2sinα
2cos α
2.2√2[cos 3α
2−sin 3α
2]≤2√2+2√2sin α 2cos
α 2 (sinα
2+cos α 2)(cos
α 2−sin
α 2)(cos
2α 2+sin
α 2cos
α 2+sin
2 α
2)≤1+sin α 2cos
α 2 (sinα
2+cos α 2)(cos
α 2−sin
α 2)=cos
2α 2−sin
2α
2=cosα ≤1 (đpcm)
VD4: Chøng minh r»ng: S =
1− a2 ¿3 ¿
(− a3¿)+3(a −√1− a2)
√¿ ¿ 4¿
¿
(6)Tõ ®k |a| nªn:
Đặt a = cos với [0, ] √1− a2 = sin Khi biến đổi S ta có:
S= |4(sin3α −cos3α)+3(cosα −sinα)|=|(3 sinα −4 sin3α)+(4 cos3α −3 cosα)| = |sin 3α+cos3α|=√2|sin(3α+π
4)|≤√2 (®pcm)
VD5: Chøng minh r»ng A = |a√1− b2+b√1− a2+√3(ab−√(1− a2)(1− b2))|≤2 Gi¶i:
Tõ ®iỊu kiƯn: - a2 ; - b2 |a| ; |b| nªn
Đặt a = sin, b = sin víi , [−π 2 ;
π 2]
Khi A = |sinαcosβ+cosαsinβ −√3 cos(α+β)| = = |sin(α+β)−√3 cos(α+β)|=2|1
2sin(α+β)−√ 3
2 cos(α+β)|=2|sin[(α+β)− π
3]|≤2
(®pcm) VD6: Chøng minh r»ng: A = |4a3 - 24a2 + 45a - 26| a [1; 3]
Gi¶i:
Do a [1, 3] nên |a-2| nên ta đặt a - = cos a = + cos Ta có:
A =
2+cosα¿2+45(2+cosα)−26
2+cosα¿3−24¿=|4 cos3α −3 cosα|=|cos 3α|≤1 4¿
¿
(®pcm)
VD7: Chøng minh r»ng: A =
2
2a a 3a 3 2 a [0, 2]
Gi¶i:
Do a [0, 2] nên |a-1| nên ta đặt a - = cos với [0, ] Ta có:
A =
1−cosα¿2 ¿
2(1+cosα)−¿=|√1−cos2α −√3 cosα|
√¿ ¿ = |sinα −√3 cosα|=|2(1
2sinα −
√3
2 cosα)|=2|sin(α+
π
3)|≤2 (®pcm)
III Dạng 3: Sử dụng công thức: 1+tg2= 1
cos2 ⇔tg 2α
= 1
cos2α −1 (α ≠ 2+k) 1) Ph ơng pháp:
a) Nu |x| tốn có chứa biểu thức √x2−1 đặt x = 1
cosα víi ¿∪¿
b) Nếu |x| m toán có chứa biểu thức √x2−m2 đặt x = m
cosα víi ¿∪¿ 2 C¸c vÝ dơ minh ho¹:
VD1: Chøng minh r»ng A =
2 1 3
2 1
a
a a
(7)Gi¶i: Do |a| nên :
Đặt a = 1
cosα với ¿∪¿ √a2−1=√tg2α=tgα Khi đó: A = |√a
2−1
+√3
a |=|(tgα+√3)cosα|=|sinα+√3 cosα|=2|sin(α+ π
3)|≤2 (®pcm) VD2: Chøng minh r»ng: - A = 5−12√a
2 −1
a2
1
a
Giải: Do |a| nên:
Đặt a = 1
cosα với ¿∪¿ √a2−1=√tg2α=tgα Khi đó: A = 5−12√a
2−1
a2 = (5-12tg)cos
2 = 5cos2-12sincos= 5(1+cos 2α)
2 −6 sin 2α = 5
2+ 13
2 ( 5
13cos 2α − 12
13 sin 2α)= 5 2+
13
2 cos(2α+arccos 5 13) - = 5
2+ 13
2 (−1)≤ A= 5 2+
13
2 cos(2α+arccos 5 13)≤
5 2+
13
2 1=9 (®pcm)
VD3: Chøng minh r»ng: A = |√a
−1+√b2−1
ab |
; 1
a b
Gi¶i:
Do |a| 1; |b| nªn
Đặt a = 1
cos ; b = 1
cosβ với ¿∪¿ Khi ta có:
A = |(tgα+tgβ)cosαcosβ|=|sinαcosβ+sinβcosα|=|sin(α+β)|≤1 (®pcm) VD4: Chøng minh r»ng: a + a
√a2−1≥2√2
1
a
Giải: Do |a| > nên:
Đặt a = 1
cos với (0; 2)⇒
a
√a2−1= 1 cosα .
1
√tg2α= 1
sinα Khi đó:
a+ a
√a2−1= 1 cosα+
1
sinα ≥2.√ 1 cosα .
1 sinα=
2√2
√sin 2α ≥2√2 (®pcm)
VD5: Chøng minh r»ng y√x
−1+4√y2−1+3≤xy√26 x y; 1 Gi¶i:
Bất đẳng thức √x 2−1 x +
1 x(
4√y2−1 y +
3
y)≤√26(1) Do |x|; |y| nên Đặt x = 1
cos ; y= 1
(8)Ta cã: S sin + cos √(42+32)(sin2β+cos2β)=sinα+5 cosα
2 2
(1 5 )(sin cos ) 26
(đpcm)
IV Dạng 4: Sử dụng công thøc 1+ tg2 = 1 cos2α 1 Ph ¬ng ph¸p:
a) Nếu x R tốn chứa (1+x2) đặt x = tg với
(−π 2,
π 2) b) Nếu x R tốn chứa (x2+m2) đặt x = mtg với
(−π 2,
π 2) 2 C¸c vÝ dơ minh ho¹:
VD1: Chøng minh r»ng: S =
1+x2¿3 ¿ ¿≤1
√¿ 3x
1+x2
4x3
Giải: Đặt x = tg víi (−π
2, π
2) √1+x
= 1
cosα , biến đổi S ta có: S = |3tg.cos - 4tg3.cos3| = |3sin - 4sin3| = |sin3| (đpcm)
VD2: Tìm giá trị lớn nhỏ cđa biĨu thøc A =
1+2a2¿2 ¿ 3+8a2+12a4
Giải:
Đặt a 2 = tg với [−π 2,
π
2] th× ta cã: A =
1+tg2α¿2 ¿
3+4 tg2α+3 tg4α
¿
=
cos2α+sin2α¿2 ¿
sin2α+cos2α¿2−2 sin2αcos2α ¿
3 cos4α+4 sin2αcos2α+3 sin4α
¿ = - sin
2 2α
2 ⇒
5 2=3−
1
2≤ A=3−
sin22α 2 ≤2−
0 2=3 Víi α = a = th× MaxA = ; Víi α = π
4 a = 1 2
❑
th× MinA = 5 2
VD3: Chøng minh r»ng: |(a+b)(1−ab)
(1+a2)(1+b2)|≤
1
2 a, b R Giải: Đặt a = tg, b = tg Khi |(a+b)(1−ab)
(1+a2)(1+b2)|=|
(tgα+tgβ)(1−tgαtgβ) (1+tg2α)(1+tg2β) |
= |cos2αcos2β.sin(α+β) cosα cosβ .
(9)= |sin(α+β)cos(α+β)|=1
2|sin[2(α+β)]|≤ 1
2 (®pcm)
VD4: Chøng minh r»ng:
¿c − a∨ ¿
√(1+c2)(1+a2)∀a , b , c
¿b − c∨ ¿
√(1+b2)(1+c2)
≥¿ ¿a− b∨ ¿
√(1+a2)(1+b2) +¿ ¿
Giải: Đặt a = tg, b = tg, c = tg Khi bất đẳng thức
¿tgγ −tgα∨ ¿
√(1+tg2γ)(1+tg2α)
¿tgβ −tgγ∨ ¿
√(1+tg2β)(1+tg2γ)
≥¿
¿tgα −tgβ∨ ¿
√(1+tg2α)(1+tg2β) +¿ ¿
|cosαcosβ.sin(α − β)
cosα.cosβ|+|cosβcosγ.
sin(β − γ)
cosβ cosγ|≥|cosγcosα.
sin(γ −α)
cosγ.cosα| |sin(-)|+|sin(-)||sin(-)| Biến đổi biểu thức vế phải ta có:
|sin(-)|= |sin[(-)+(-)]| = |sin(-)cos(-)+sin(-)cos(-)|
|sin(-)cos(-)|+|sin(-)cos(-)|=|sin(-)||cos(-)|+|sin(-)||cos(-)| |sin(-)|.1 + |sin(-)|.1 = |sin(-)| + |sin(-)| (®pcm)
VD5: Chøng minh r»ng: √ab+√cd≤√(a+c)(b+d)(1)∀a , b , c , d>0
Gi¶i:
(1) √ab
(a+c)(b+d)+√
cd
(a+c)(b+d)≤1⇔
1
√(1+c
a)(1+ b d)
+ √
cd ab
√(1+c
a)(1+ b d)
1
Đặt tg2= c
a , tg2= d
b víi , (0, π
2) Biến đổi bất đẳng thức
1
√(1+tg2α)(1+tg2β)
+ √tg
2
α tg2β
√(1+tg2α)(1+tg2β)
=√cos2αcos2β+√sin2αsin2β ≤1
cos cos + sin sin = cos(-) (đpcm)
DÊu b»ng x¶y cos(-) = = c a=
d b
VD6: Tìm giá trị lớn vµ nhá nhÊt cđa biĨu thøc A = 6a+4∨a 2−1
∨ ¿
a2+1
¿ Gi¶i:
Đặt a = tg
2 Khi ú A = 6 tg α
2+4∨tg 2α
2−1∨tg2α¿ 2+1
=3
2 tg α 2 1+tg2α
2
+4 |
tg2α 2−1 tg2α
2+1| ¿
(10)A2 = (3sin + |cos|)2 (32 + 42)(sin2 + cos2) = 25 A 5
Víi sin = a = th× MinA = - ; víi
¿cosα∨¿
4 sinα
3 =¿
th× MaxA =
V Dạng 5: Đổi biến số đa bất đẳng thức tam giác 1) Ph ơng pháp:
a) NÕu
¿ x ; y ; z>0
x2
+y2+z2+2 xyz=1
¿{
¿
th×
∃ΔABC : A ; B;C∈(0;π
2) x=cosA ; y=cosB ; z=cosC
¿{
b) NÕu
¿ x ; y ; z>0
x+y+z=xyz
¿{
¿
th×
∃ΔABC : A ; B;C∈(0;π
2) x=tgA; y=tgB; z=tgC
¿{
c) NÕu
¿ x ; y , z>0
xy+yz+zx=1
¿{
¿
th×
∃ΔABC: ¿A ; B ;C∈(0;π
2)
x=cot gA; y=cot gB; z=cot gC
¿ ¿ ¿
A ; B ;C∈(0;π)
¿ ¿ x=tgA
2; y=tg B 2; z=tg
C 2 ¿
¿ ¿ 2 Các ví dụ minh hoạ:
VD1: Cho x, y, z > vµ zy + yz + zx = Tìm giá trị nhỏ biểu thức. S = 1
x+ 1 y+
1
z−3(x+y+z)
Giải: Từ < x, y, z < nên đặt x = tg α
2 ; y = tg β
2 ; z = tg γ
2 víi , , (0, π 2) Do xy + yz + zx = nªn tg α
2 tg β 2 + tg
β 2 tg
γ 2 + tg
γ 2 tg
α 2 =
tg α
2 (tg β 2+tg
γ
2) = - tg β 2 tg
γ 2
tg β 2+tg
γ 2 1−tgβ
2 tg γ 2 = 1 tgα 2
⇔tg(β 2+
γ
2)=cotg α 2
tg(β 2+
γ 2)=tg(
π 2+
α 2)⇔
β 2+ γ 2= π 2− α 2⇔ α+β+γ 2 = π
2⇔α+β+γ=π S = 1
x+ 1 y+
1
z−3(x+y+z) = cotg α
2 + cotg β
2 + cotg γ
2 -3 (tg α 2+tg
β 2+tg
γ 2) S = (cotgα
2−tg α
2)+(cotg β 2−tg
β
2)+(cotg γ 2−tg
γ
2)−2(tg α 2+tg
β 2+tg
(11)S = 2(cotg+cotg+cotg) - 2(tgα 2+tg
β 2+tg
γ 2) S = (cotg+cotg-2tg γ
2 ) + (cotg+cotg-2tg α
2 ) +(cotg+cotg-2tg β 2 ) §Ĩ ý r»ng: cotg + cotg = sin(α+β)
sinα sinβ=
2sinγ 2sinα.sinβ=
2sinγ
cos(α − β)−cos(α+β)
2sinγ 1−cos(α+β)=
2sinγ 1+cosγ=
4 sinγ 2cos
γ 2 2cos2γ
2
=2 tgγ
2⇒cotgα+cotgβ −2 tg γ 2≥0
T suy S Với x = y = z = 1
√3 th× MinS = VD2: Cho < x, y, z < vµ x
1− x2+ y
1− y2+ z
1− z2=
4 xyz
(1 x2)(1 y2)(1 z2)
Tìm giá trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc S = x2 + y2 + z2
Giải: Do < x, y, z < nên đặt x = tg α
2 ; y = tg β
2 ; z = tg γ
2 với , , (0, π 2) Khi tg = 2x
1− x2 ; tg = 2x
1− x2 ; tg = 2x
1− x2 đẳng thức giả thiết 2x
1− x2 + 2x 1− x2 +
2x 1− x2 =
8 xyz
(1− x2)(1− y2)(1− z2) tg+tg+tg = tg.tg.tg
tg + tg = - tg(1-tg.tg) tgα+tgβ
1−tgα tgβ = - tg tg(+) = tg(-) Do , , (0,π
2) nên + = - + + = Khi ta có: tg α
2 tg β 2 + tg
β 2 tg
γ 2 + tg
γ 2 tg
α
2 = xy + yz + zx = Mặt khác:
(x2 + y2 + z2) - (xy + yz + zx) = 1 2
z − x¿2 y − z¿2+¿≥0
x − y¿2+¿ ¿ ¿
S = x2 + y2 + z2 xy + yz + zx = Víi x = y = z = 1
√3 th× MinS =
VD3: Cho
¿ x , y , z>0
x+y+z=1
¿{
¿
Chøng minh r»ng: S = x x+yz+
y y+zx+
z z+xy
9 4
Giải: Đặt yz
x =tg α 2 ; √
xz y =tg
β 2 ; √
xy z =tg
γ
(12)Do √yz x .√
zx y +√
zx y .√
xy z +.√
xy z .√
yz
x = x + y + z = nªn tg α
2 tg β 2 + tg
β 2 tg
γ 2 + tg
γ 2 tg
α 2 = tg (β
2+ γ
2) = cotg α
2 tg ( β 2+
γ
2) = tg ( π 2−
α 2)
β 2 +
γ 2 =
π 2
-α 2 α+β+γ
2 =
π
2 ⇔α+β+γ=π S = x
x+yz+
y y+zx+
z z+xy=
1 2[(
2x
x+yz−1)+(
2y
y+zx−1)+(
2z
z+xy−1)]+
3 2
= 1 2(
x −yz x −yz+
y −zx y+zx+
z −xy z+xy)+
3 2=
1 2(❑❑)
= 1
2 (cos + cos + cos) + 3 2 =
1
2[(cosα+cosβ) 1−(cosαcosβ −sinα+sinβ)]+ 3 2
cosα+cosβ
(¿)
¿
(¿2+1¿+1 2 (sin
2
α+sin2β)−cosαcosβ]+3
2= 3 4+
3 2=
9 4 1
2 1 2
(đpcm)
3 Các toán đ a trắc nghiệm
Trc dạy thử nghiệm nội dung sáng kiến cho học sinh lớp 11A1 11A2 trờng tôi, nhà cho em, cho em chuẩn bị trớc thời gian tuần Với tập sau:
Bµi 1: Cho a2 + b2 = CMR: | 20a3 - 15a + 36b - 48b3| 13. Bµi 2: Cho (a-2)2 + (b-1)2 = CMR: 2a + b 10.
Bµi 3: Cho ¿ a ;b ≥0 a+b=2
¿{
¿
CMR: a4 + b4 a3 + b3
Bµi 4: Cho a; b ; c CMR: (a −1 b)(b −
1 c)(c −
1
a)≥(a − 1 a)(b −
1 b)(c −
1 c)
Bµi 5: Cho
¿ x ; y ; z>0
x2
+y2+z2+2 xyz=1
¿{
¿
CMR:
a) xyz 1 8
b) xy + yz + zx 3 4 c) x2 + y2 + z2 3
(13)d) xy + yz + zx 2xyz + 1 2 e) √1− x
1+x+√
1− y 1+y +√
1− z 1+z ≥√3
Bµi 6: CMR:
√1+a2
+
√1+b2≤
2
√1+ab a, b (0, 1]
Bµi 7: CMR: (a2 + 2)(b2 + 2)(c2 + 2) (ab + bc + ca) a, b, c > 0
Bµi 8: Cho
¿ x , y , z>0
xy+yz+zx=1
CMR : x 1− x2+
y 1− y2+
z 1− z2≥
3√3 2 ¿{
¿
Bµi 9: Cho
¿ x , y , z>0
x+y+z=xyz
CMR : x
√1+x2+
y
√1+y2+
z
√1+z2≤
3 2 ¿{
¿
Bµi 10: Cho
¿ x , y , z>0
xy+yz+zx=1
CMR : 1
√1+x2+
1
√1+y2+
1
√1+z2≥
2x
√1+x2+
2y
√1+y2+
2z
√1+z2
¿{