Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 42 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Cấu trúc
PHẦN NỘI DUNG
Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1. Đại lượng ngẫu nhiên
3. Một số đặc trưng của ĐLNN
4. Một số hàm đặc biệt
5. Phân phối liên tục tuyệt đối
6. Môment bậc k
7. Hội tụ theo xác suất – Luật số lớn
8. Khái niệm mẫu
9. Các số đặc trưng mẫu
10. Phân phối của một số đặc trưng mẫu
Chương 2: PHƯƠNG PHÁP ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM
Định nghĩa
2. Phân loại ước lượng điểm
2.4. Nhận xét
Phương pháp mômen
3.1. Giới thiệu
3.2. Phương pháp giải
3.3. Một số ví dụ
Phương pháp hợp lí cực đại
4.1. Giới thiệu
4.2. Phương pháp giải
4.3. Một số ví dụ
Suy ra:
Vậy là các ước lượng không chệch tiệm cận của .
KẾT LUẬN
Nội dung
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TOÁN ======== Đề tài: PHƯƠNG PHÁP ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM Giáo viên hướng dẫn Sinh viên thực Lớp : ThS Tôn Thất Tú : Trịnh Thị Thảo Hằng : 10CTT1 Đà Nẵng, tháng năm 2014 MỤC LỤC MỞ ĐẦU PHẦN NỘI DUNG Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Đại lượng ngẫu nhiên Hàm phân phối Một số đặc trưng ĐLNN Một số hàm đặc biệt Phân phối liên tục tuyệt đối Môment bậc k 12 Hội tụ theo xác suất – Luật số lớn .12 Khái niệm mẫu 13 Các số đặc trưng mẫu 16 10 Phân phối số đặc trưng mẫu 16 Chương 2: PHƯƠNG PHÁP ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM 20 Định nghĩa 20 Phân loại ước lượng điểm .20 Phương pháp mômen 25 3.1 Giới thiệu 25 3.2 Phương pháp giải 25 3.3 Một số ví dụ 25 Phương pháp hợp lí cực đại 33 4.1 Giới thiệu 33 4.2 Phương pháp giải 33 4.3 Một số ví dụ 34 KẾT LUẬN 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO 41 Trang Để hồn thành khóa luận này, tơi xin chân thành bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy Tơn Thất Tú, người hướng dẫn, giúp đỡ tơi tận tình, chu đáo suốt trình thực đề tài Tôi xin chân thành gởi lời cảm ơn chân thành đến q thầy khoa Tốn, thầy cô ban Quản lý Thư viện thuộc trường Đại Học Sư Phạm – Đại Học Đà Nẵng tạo điều kiện cho tơi thực khóa luận Nhân xin gởi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè quan tâm, động viên nhiệt tình giúp đỡ tơi q trình học tập hồn thành khóa luận Trong q trình làm luận văn, có cố gắng nỗ lực hết sức, khóa luận khơng tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận đóng góp q báu thầy giáo bạn sinh viên, để khóa luận tơi hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn! Đà nẵng, ngày 19 tháng năm 2014 Sinh viên thực Trịnh Thị Thảo Hằng Trang MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Lý thuyết xác suất ngành toán học đời vào khoảng kỷ XVII Dưới nghiên cứu nhiều nhà Toán học, ngành khoa học phát triển lý thuyết ứng dụng Nó ứng dụng rộng rãi hầu hết lĩnh vực khoa học tự nhiên, khoa học xã hội, khoa học giáo dục ngành kinh tế, kĩ thuật, y học, … Đối tượng nghiên cứu xác suất tượng ngẫu nhiên, quy luật ngẫu nhiên mà thường gặp thực tế Trong nhiều toán, ta thu mẫu liệu với phân phối biết phụ thuộc vào tham số chưa biết Do đó, vấn đề đặt dựa vào mẫu liệu quan sát phải rút thông tin giá trị tham số Có nhiều phương pháp để giải có phương pháp xây dựng giá trị xấp xỉ Người ta gọi phương pháp phương pháp ước lượng điểm Với vấn đề cần quan tâm vậy, hướng dẫn Thầy Th.S Tôn Thất Tú, đề tài Phương pháp ước lượng điểm chọn làm đề tài nghiên cứu cho khóa luận tốt nghiệp tơi Mục đích chọn đề tài Tìm hiểu, nghiên cứu phương pháp ước lượng điểm chủ yếu vận dụng lý thuyết ước lượng điểm để giải số toán ước lượng Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu phương pháp ước lượng điểm Ở dừng lại mức độ nghiên cứu vận dụng lý thuyết ước lượng điểm để xây dựng ước lượng tham số thống kê Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu tài liệu, phân tích, giải thích, chứng minh, nhận xét, tổng hợp Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Trình bày hai phương pháp giải phương pháp mômen hợp lý cực đại Trang số ví dụ minh họa cho hai phương pháp nhằm xây dựng tài liệu tham khảo cho nghiên cứu ước lượng mơn lý thuyết xác suất Tóm tắt nội dung khóa luận Nội dung khóa luận gồm hai chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị, bao gồm kiến thức liên quan đến đại lượng ngẫu nhiên, hàm phân phối, số đặc trưng đại lượng ngẫu nhiên, luật số lớn lý thuyết mẫu Chương 2: Phương pháp ước lượng điểm Đây nội dung khóa luận Trong chương trình bày số định nghĩa, định lý, phân loại ước lượng điểm, phương pháp ước lượng mômen, phương pháp hợp lý cực đại số ví dụ minh họa Trang PHẦN NỘI DUNG Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Đại lượng ngẫu nhiên 1.1 Định nghĩa Cho (, A, P ) không gian xác suất Ánh xạ X : gọi đại lượng ngẫu nhiên (ĐLNN) X hàm đo được, tức là: a ,{ : X ( ) a} A Để đơn giản ta kí hiệu [X B ] { : X ( ) B} 1.2 Tính chất (i) Nếu X, Y ĐLNN (, A, P ), a, b aX bY , X Y , X / Y (Y 0), max{X,Y}, min{X, Y} ĐLNN (, A, P ) (ii) Nếu X ĐLNN (, A, P ) , g hàm đo g(X) ĐLNN (, A, P ) 1.3 Đại lượng ngẫu nhiên độc lập 1.3.1 Một vài định nghĩa (i) Hai ĐLNN X1 , X2 gọi độc lập với số thực a1 , a2 ta có: P([ X1 a1 ] [ X2 a2 ]) P( X1 a1 ).P( X2 a2 ) (ii) Nhóm n ĐLNN X1 , X2 , , X n gọi độc lập với số thực a1 , a2 , , an ta có: n n P [ X k ak ] P( X k ak ) k 1 k 1 (iii) Dãy ĐLNN X n , n 1 gọi độc lập đôi hai ĐLNN dãy độc lập (iv) Dãy ĐLNN X n , n 1 gọi độc lập tập hữu hạn ĐLNN dãy độc lập Trang 1.3.2 Tính chất Nếu X1 , X2 , , X n ĐLNN độc lập g1 , g2 , , gn hàm Borel đo gi ( Xi ), i 1, n độc lập Hàm phân phối 2.1 Định nghĩa Trong không gian xác suất (, A, P ) cho ĐLNN X Ta gọi hàm thực F ( x ) xác định hệ thức: F ( x ) FX ( x ) P( X x ), x hàm phân phối X Rõ ràng X ĐLNN [ X x ] A nên hàm phân phối xác định x 2.2 Tính chất Hàm phân phối F ( x ) X (, A, P ) có tính chất: (i) F ( x ) 1, x (ii) Nếu x1 x2 F ( x1 ) F ( x2 ) (iii) lim F ( x ) 1, lim F ( x ) x x (iv) F ( x ) liên tục trái Một số đặc trưng ĐLNN 3.1 Kì vọng tốn học 3.1.1 Định nghĩa a) Kì vọng ĐLNN rời rạc Giả sử X ĐLNN rời rạc với miền giá trị {xi , i I} , nếu: | x iI i | P ( X xi ) hội tụ giá trị E (X) xi P( X xi ) iI gọi kì vọng tốn X b) Kì vọng ĐLNN lttđ Giả sử X ĐLNN lttđ với hàm mật độ f ( x ) , nếu: | x | f ( x )dx Trang giá trị E( X ) xf ( x )dx gọi kì vọng tốn X Kí hiệu: Trong hai trường hợp, người ta thường kí hiệu toán học E (X) hay EX Dựa định nghĩa ta thấy kì vọng tốn EX thực chất tích phân Lebesgue trừu tượng X theo độ đo P , tức là: EX X dp 3.1.2 Tính chất ý nghĩa kì vọng a) Tính chất Trong điều kiện tồn tại, kì vọng tốn có tính chất sau: (i) EC C ( C const ) (ii) | EX | E | X | (iii) Nếu X Y EX EY (iv) E (aX bY ) aEX bEY , trongđó X , Y ĐLNN a, b số thực (v) Ta có : inf X ( ) EX sup X ( ) (vi) E ( XY ) EX EY với X , Y độc lập b) Ý nghĩa kì vọng Kì vọng EX đại lượng đặc trưng cho giá trị trung bình giá trị ĐLNN X 3.2 Phương Sai 3.2.1 Định nghĩa Giả sử X đại lượng ngẫu nhiên có kỳ vọng E ( X ) Ta gọi phương sai đại lượng X số ký hiệu D( X ) xác định sau: D( X ) E [( X E ( X ))2 ] với điều kiện tồn kỳ vọng Như vậy: Nếu X đại lượng ngẫu nhiên rời rạc có bảng phân phối xác suất: Trang X x1 x2 … P p1 p2 … xn … pn … Khi đó: n D( X ) xi2 pi (E ( X ))2 i 1 Nếu X đại lượng ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ f ( x ) Khi đó: D( X ) x f ( x )dx ( E ( X ))2 3.2.2 Tính chất phương sai (i) DC 0( C const) (ii) D(CX ) C D( X )( C const) (iii) D( X ) E ( X ) ( E ( X ))2 (iv) X , Y độc lập: D( X Y ) D( X ) D(Y ) 3.2.3 Ý nghĩa Phương sai đại lượng đặc trưng cho mức độ tập trung quanh kỳ vọng EX giá trị ĐLNN X Phương sai DX nhỏ nhìn chung giá trị X gần với giá trị trung bình EX, phương sai lớn giá trị X phân tán xa EX Một số hàm đặc biệt 4.1 Hàm gamma 4.1.1 Định nghĩa Với p ta có tích phân: ( p) x p 1e x dx hội tụ, xác định hàm p, gọi hàm gamma hay tích phân Euler loại 4.1.2 Tính chất hàm gamma (i) (1) (ii) ( p 1) p( p) với p Trang (iii) (n 1) n! (iv) ( ) 4.2 Hàm Bêta 4.2.1 Định nghĩa Với p 0, q tích phân sau Euler chứng minh hội tụ gọi hàm Bêta hay tích phân Euler loại 1 (p,q) t p 1 (1 t )q1 dt 4.2.2 Tính chất hàm Bêta (i) (ii) (iii) (iv) ( p, q) B(q, p) p 1 B( p 1, q) p q 1 (n 1)!(m 1)! ( p, q) Với n, m N (m n 1)! ( p).(q) ( p, q) ( p q ) ( p, q) Phân phối liên tục tuyệt đối 5.1 Định nghĩa ĐLNN X gọi có phân phối liên tục tuyệt đối (lttđ) hàm phân phối X lttđ 5.2 Hàm mật độ phân phối liên tục tuyệt đối 5.2.1 Định nghĩa ĐLNN X có phân phối lttđ tồn hàm f ( x ) cho: F( x) x f (u)du x Khi ta gọi f ( x ) hàm mật độ X Cũng từ định nghĩa ta có: f (x) dF ( x ) (h.k n) dx 5.2.2 Tính chất Nếu X ĐLNN có phân phối lttđ với hàm mật độ f ( x ) thì: Trang x Trongđó : EX x e n X X n i 1 i Vậy ˆ ước lượng phương pháp mômen là: n n ˆ X i X i 1 Nhận xét: ˆ ước lượng không chệch, vững hiệu Ví dụ 3: Cho ( X1 , X2 , , X n ) có phân phối với hàm mật độ f (a, b) b a 0 neáu x (a, b) [a, b] neáu x (a, b) Tìm ước lượng a, b phương pháp mơmen Giải Vì X chứa hai tham số a, b nên ta thiết lập hệ phương trình n EX X m (a, b) m n i 1 i 1 n m2 (a, b) m2 EX X n i 1 i Trong đó: b ab b2 ab a 2 EX x dx ; EX x dx ba ba a a b a b n n Xi X a b X a X b i 1 2 n 2 2 b ab a X b (2 X b)b (2 X b) X b ab a X X n i 1 i a X b 2 b 2bX b X a X b 2 4bX b X b 2bX X a X X ( X )2 a X b 2 (b X ) X ( X ) b X ( X )2 X Trang 27 3X ˆ 2 a X X ( X ) X 3S ˆ b X ( X )2 X X 3S Vậy aˆ, bˆ ước lượng tương ứng a, b phương pháp mômen là: aˆ X 3S bˆ X 3S Ví dụ 4: Cho ( X1 , X2 , , X n ) có phân phối gamma với hàm mật độ: p p 1 x x e neáu x f ( x ) ( p ) 0 x Tìm ước lượng , p phương pháp mơmen Giải Vì X chứa hai tham số , p nên ta thiết lập hệ phương trình n EX X m (a, b) m n i 1 i 1 n m ( a , b ) m EX X 2 n i 1 i Trong đó: EX x p ( p ) EX x x p 1 e x dx p ( p ) p ( x ) p 1 e x d ( x ) ( p 2) p( p 1) ( p). ( p). 2 x p 1 e x dx Suy ra: p p p n X X n Xi X i 1 2 n p( p 1) X X p 1 X X X n i 1 i X X Trang 28 ( X )2 p p X X ( X )2 X 1 X X X X ( X )2 Vậy ˆ , pˆ ước lượng tương ứng p, phương pháp mômen là: X ˆ X ( X )2 pˆ ( X ) X ( X )2 Ví dụ 5: Cho mẫu ( X , X , X n ) từ phân phối mũ tổng quát E (a, b) có hàm mật độ: a( x b) f ( x ) ae 0 x b với a x b Tìm ước lượng mơmen cho a, b Giải Vì X có chứa tham số nên ta thiết lập hệ hai phương trình: n EX X m (a, b) m n i 1 i 1 n m2 (a, b) m2 EX X n i 1 i Trong đó: EX x.a.e - a ( x -b ) dx b u x du dx Đặt a( x b ) a( x b ) dx dv ae v e EX x.e a( x b ) b lim x x e a( x b ) e b a( x b ) dx lim x.e a( x b ) x b.e 1 1 b lim a ( x b ) b a x e a a Trang 29 a( bb ) 1 e a ( x b ) a b EX b a EX x a.e-a ( x -b ) dx b du xdx u x Đặt a( x b ) a( x b ) dx dv ae v e EX x e a ( x b ) lim x x2 e a( x b ) EX b2 b x.e a ( x b ) dx lim x e a ( x b ) b e a ( b b ) b2 ab a2 x b EX a a b2 ab a a2 b Ta có hệ phương trình: b X a EX b a X a ( X ) 1 ab 2 EX b 1 X a X2 X a2 a a 1 b X a b X a 2 X X 2 2 ( X ) X X S 2 2 2 X a a a a a a ˆ b X S b X a ˆ 1 S a S a Vậy aˆ, bˆ ước lượng tương ứng a, b phương pháp mômen là: aˆ S bˆ X S Ví dụ 6: Cho ( X1 , X2 , , X n ) mẫu ngẫu nhiên độc lập đặc tính X có phân phối nhị thức B(n, p) Tìm ước lượng mơmen cho n, p Giải Trang 30 Vì X chứa tham số nên ta thiết lập hệ phương trình: n EX X m (a, b) m n i 1 i 1 n m2 (a, b) m2 EX X n i 1 i Trong đó: X n np X EX np X p X2 2 X2 np (1 p) EX n p np(1- p) X X p X X X ˆ (X ) n n p X S 2 2 ( X )2 X X pˆ X S p X X Vậy nˆ , pˆ ước lượng tương ứng n, p phương pháp mômen là: ( X )2 nˆ X S 2 2 pˆ X S X Ví dụ 7: Cho X có phân phối Gamma G( ,1) Tìm ước lượng phương pháp mơmen Giải Ta có: EX k xk p x p-1 ( p ) e- x dx x k x p-1 p e- x ( x )k p1 e x d ( x ) ( p k ) dx ( p ) ( p). k ( p). k Vì X có phân phối Gamma G( ,1) nên p EX k (k 1) k (k ) k ! k k (1) k Do đó, với số tự nhiên k , ta có họ ước lượng mơmen : Trang 31 k ! k k! ˆ k X mk Ví dụ 8: Cho ( X1 , X2 , , X n ) mẫu ngẫu nhiên độc lập đặc tính X có phân phối bêta với tham số , hàm mật độ: f (x) ( ) a 1 x (1 x ) 1 ( )( ) Tìm ước lượng mơmen cho , Giải Vì X chứa tham số nên ta thiết lập hệ phương trình: n EX X m ( , ) m n i 1 i 1 n m2 ( , ) m2 EX X n i 1 i n EX X n i 1 i Trong đó: ˆ2 n 2 EX X X ( )2 ( 1) n i 1 i ( )2 ( 1) X X ˆ2 ˆ X X2 ( ).( 1) ( ) ( 1) X X (1- X ) (1- X ) ˆ X ˆ (1- X )2 X X X2 ( 1- X ) 1 (1- X ) (1- X ) ˆ ˆ X (1 X X ) X X ˆ2 (1 X ) (1 X ) X ˆ2 ˆ2 ˆ 2 ˆ (1 X ) ˆ (1 X ).(1 X X ) (1 X ) X X X X ˆ ˆ ( X ) X2 X2 Vậy ˆ , ˆ ước lượng tương ứng , phương pháp mômen là: Trang 32 X (1 X X ) ˆ X2 ˆ (1 X ).(1 X X ) X2 Phương pháp hợp lí cực đại 4.1 Giới thiệu Phương pháp K Gauss R Ficher đề nghị Nội dung sau: Giả sử ( X1 , X2 ,, X n ) mẫu ngẫu nhiên đặc tính X có phân phối phụ thuộc tham số 1 , , , r Đặt L( x1 , x2 , , xn ,1 , , , r ) f( x1 , x2 , , xn ,1 , , , r ) mật độ đồng thời mẫu ( X1 , X2 ,, X n ) n Vì mẫu độc lập nên: L( x1 , x2 , , xn ,1 , , , r ) f ( xi ,1 , , , r ) Để cho i 1 gọn, ta viết L( X , ) f( X , ) gọi hàm hợp lí Các giá trị ˆ1 ,ˆ2 , ,ˆr làm hàm hợp lí đạt cực đại gọi ước lượng hợp lí cực đại 1 , , , r Định nghĩa thể tương ứng mẫu quan sát ngẫu nhiên – kiện có khả xuất cao, với giá trị lớn hàm mật độ 4.2 Phương pháp giải Để tìm cực trị hàm hợp lý L( x1 , x2 , , xn ,1 , , , r ) theo 1 , , , r ta phải giải hệ phương trình hợp lí sau: L( X1 , X2 , , X n ,1 , , , r ) L(X,1 , , , r ) 0 0 j j j 1, r j 1, r Và kiểm tra điều kiện cực trị Nhận xét: Trong số trường hợp, giả sử L(x, ) khả vi hàm logarit đơn điệu nên Trang 33 ˆ (ˆ1 ,ˆ2 , ,ˆr ) nghiệm hệ phương trình hợp lí sau: lnL( X1 , X2 ,, X n ,1 , , , r ) lnL(X,1 , , , r ) 0 0 j j j 1, r j 1, r Khi ( X1 , X2 ,, X n ) mẫu độc lập, theo tính chất hàm logarit đạo hàm, hệ phương trình hợp lí có dạng: n ln f ( xi ,1 , , , r ) 0 j i 1 j 1, r 4.3 Một số ví dụ Ví dụ 1:Cho ( X1 , X2 , , X n ) mẫu quan sát độc lập đặc tính X có phân phối mũ với hàm mật độ là: x e x 0, f ( x , ) 0 x0 Tìm ước lượng hợp lí cực đại ˆ Giải Ta có: ln f ( xi , ) ln( e ln f ( xi , ) xi ) ln( ) ln(e xi ( ln ) ln ln(e xi xi ) ln (e )' xi e xi ) 1 xi 2 Phương trình hợp lí cực đại có dạng: n n n 1 xi ( xi ) xi i 1 i 1 i 1 i 1 n n n xi xi x n i 1 i 1 n Trang 34 ln xi n Vậy ˆ ước lượng phương pháp hợp lí cực đại là: ˆ xi x n i 1 Nhận xét: ˆ ước lượng khơng chệch, vững Ví dụ 2: Cho ( X1 , X2 , , X n ) mẫu ngẫu nhiên độc lập đặc tính X có phân phối chuẩn N (a, ) Tìm ước lượng hợp lí cực đại a, Giải Phân phối chuẩn N (a, ) có hàm mật độ là: f ( xi , a, ) ln f ( xi , a, ) ln( ln( 2 ) (e 2 ( xi a )2 e 2 ( xi a )2 2 2 )' e ( xi a )2 2 ) ln( 2 ) ln(e 2 ( xi a )2 2 2 e ( x a )2 2 ) ( xi a)2 ln(2 ) 2 Suy ra: ( x i a )2 ln f ( xi , a, ) ( ln(2 ) 2 ) 2( xi a) xi a (i 1, n) a a 2 2 ( xi a)2 ln f ( xi , a, ) ( ln(2 ) 2 ) ( x i a )2 2 2 Vậy hệ phương trình hợp lí có dạng n xi a n a x i 1 n i 1 i n n ( x a ) ( ( x x )2 i ) n i 1 i 2 2 i 1 Vậy aˆ ,ˆ ước lượng tương ứng a, phương pháp hợp lí cực đại là: n ˆ a xi n i 1 n ˆ ( x x ) i n i 1 Trang 35 Nhận xét: aˆ ước lượng không chệch, vững ˆ ước lượng chệch, vững Ví dụ 3: Cho ( X1 , X2 , , X n ) mẫu ngẫu nhiên độc lập đặc tính X có phân phối poisson với hàm mật độ là: f ( Xi , ) X e i Xi ! Tìm ước lượng hợp lí cực đại Giải Ta có: ln f ( Xi , ) ln( X e i Xi ! Xi Xi ) ln( e ) ln( Xi !) ln ln e ln( Xi !) Xi ln ln( Xi !) Suy ra: ln f ( Xi , ) ( Xi ln ln(Xi!)) Xi 1 Phương trình hợp lí có dạng: n n Xi n ( X ) X n X X i i n i 1 i i 1 i 1 i 1 n Vậy ˆ ước lượng phương pháp hợp lí cực đại là: X n X n i 1 i Nhận xét: ˆ ước lượng không chệch, vững, hiệu Ví dụ 4: Cho ( X1 , X2 , , X n ) mẫu ngẫu nhiên độc lập đặc tính X có phân phối xi xi nhị thức P( X xi , p) Cn p (1 p) n xi Tìm ước lượng hợp lí cực đại p Giải Ta có: xi xi ln[Cn p (1 p) n xi xi ]= lnCn xi ln p (n xi )ln(1 p) Trang 36 Suy ra: xi (ln Cn xi ln p (n xi )ln(1 p) xi (n xi ) p p (1 p) Phương trình hợp lí có dạng: n xi ( n xi ) [(1 p) xi p(n xi )] (1 p) i 1 p i 1 n n n ( xi pxi pn pxi ) xi pn p xi X n i 1 i 1 i 1 n Vậy pˆ ước lượng p phương pháp hợp lí cực đại là: pˆ n xi X n i 1 Nhận xét: pˆ ước lượng không chệch, vững Ví dụ 5: ( X1 , X2 , , X n ) có phân phối [a, b] Tìm ước lượng a,b phương pháp hợp lí cực đại Giải n n 1 I ( X ) I ( X( n ) ) I [a ,b ] ( X(1) ) [ a , b ] i (b a)n i 1 ( b a ) n [a , b ] b b a X( n ) X(1) L ( a, b ) f ( X i , a, b ) i 1 a X(1) X( n ) L ( a, b ) 1 Max L (a, b) đạt n ( X( n ) X(1) ) ( X( n ) X(1) )n b X( n ) a X(1) Vậy aˆ, bˆ ước lượng tương ứng a, b phương pháp hợp lí cực đại là: aˆ X (1) ˆ b X ( n ) Nhận xét: Vậy aˆ bˆ ước lượng không chệch tiệm cận a, b EX(1) Ta coù : P( X(1) x ) P(X1 x , X2 x , , X n x ) P(Xi x ) (1 p(Xi x ) x a b x 1 ba ba n Trang 37 n bx FX ( x ) P( X(1) x ) ba b x n n b x n 1 f X ( x ) FX ( x ) 1 b a b a b a (1) (1) (1) EX(1) x f X(1) ( x )dx n 1 b bx n n x x.(b x )n 1 dx dx n (b a) b a (b a) a a b b Đặt A x.(b x )n 1 dx a Đổi biến t b x dt dx A (b t )t n 1 ba EX(1) dt x a b t b-a ba bt n 1 dt ba tn ba t n 1 ba b(b a)n (b a)n 1 t dt b n n 1 n n 1 n 0 n b( b a ) n (b a)n 1 n n 1 ( b a )n ( b a)n b n n (n 1) b n(b a) nb b nb na b na (b a) n 1 n 1 n 1 n 1 Suy ra: EX(1) na b a n n 1 EX(n) Ta coù : P( X(n) x ) P( X1 x , X2 x , , X n x ) P(Xi x ) x a x a b a b a xa FX ( x ) P( X(n) x ) ba n n (n) x a n n x a n 1 f X ( x ) FX ( x ) b a b a b a (n) (n) Trang 38 EX(n) x f X(n) ( x )dx n 1 b xa n n n 1 a x (b a) b a dx (b a)n a x.( x a) dx b b A x.( x - a)n-1 dx a Đổi biến t x a dt dx A (t a)t n 1 ba EX( n ) x a b t b-a dt ba at n 1 dt ba tn ba t n 1 ba a(b a)n (b a)n 1 t dt a n n 1 n n 1 n 0 n a( b a ) n (b a)n 1 n n 1 ( b a )n ( b a )n n a n (n 1)a n(b a) na a nb na a nb (b a) n 1 n 1 n 1 n 1 Suy ra: EX(n) nb a b n n 1 Vậy X (1) , X ( n ) ước lượng không chệch tiệm cận a, b Trang 39 KẾT LUẬN Khóa luận trình bày số định lý, tính chất giới thiệu phương pháp ước lượng điểm Nội dung thể đầy đủ định nghĩa, phương pháp giải số ví dụ minh họa phương pháp ước lượng mômen ước lượng hợp lý cực đại Từ ví dụ hai phương pháp ta xây dựng giá trị xấp xỉ tham số toán mẫu liệu, tơi mong khóa luận nguồn tài liệu hữu ích cho bạn đọc nghiên cứu xác suất thống kê chương ước lượng tham số Vì thời gian hiểu biết hạn chế nên khóa luận khó tránh khỏi thiếu sót Tơi mong quý thầy cô bạn đọc đóng góp ý kiến để khóa luận tơi hoàn thiện Trang 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đinh Văn Gắng (2012), Lý thuyết xác suất thống kê, Nhà xuất giáo dục Việt Nam [2] Phạm Xuân Kiều (1998), Giáo trình xác suất thống kê, Nhà xuất giáo dục [3] Nguyễn Ngọc Siêng (2000), Lý thuyết xác suất thống kê toán, Nhà xuất giáo dục, Đà Nẵng [4] Statistics, Point Estimation, Derya Uysal HIS, Vienna, HIS, Fall Term 2012, http://media.wix.com/ugd/5f7ded_dbff16b76e744023a76ef93891822409.pdf Trang 41 ... nhiều phương pháp để giải có phương pháp xây dựng giá trị xấp xỉ Người ta gọi phương pháp phương pháp ước lượng điểm Với vấn đề cần quan tâm vậy, hướng dẫn Thầy Th.S Tôn Thất Tú, đề tài Phương pháp. .. toán ước lượng Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu phương pháp ước lượng điểm Ở dừng lại mức độ nghiên cứu vận dụng lý thuyết ước lượng điểm để xây dựng ước lượng tham số thống kê Phương. .. {X1 , X2 , , X n} gọi ước lượng tham số Phân loại ước lượng điểm 2.1 Định nghĩa a) Ước lượng không chệch (Ước lượng trúng): Ước lượng T ( X1 , X2 , , X n ) ( ) gọi ước lượng không chệch nếu: