Trên hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ AC, vẽ các tia Ax và By cùng vuông góc với AB.. Chứng minh rằng O là trung điểm của MN.[r]
(1)ĐẠI SỐ
1 Tìm giá trị x để biểu thức sau có giá trị dương a) A = x2 + 4x ;
b) B = (x - 3) (x + 7) ; c) C = (12− x) (1
3− x)
2 Tìm giá trị x để biểu thức sau có giá trị âm: a) D = x2 -
5 x ; b) E = x -
x - ; c) F =
x2 -
x2
3 Chứng minh không tồn hai số hữu tỉ x y trái dấu, không đối thoả mãn đẳng thức:
1
x + y =
1
x +
1
y
4 Tìm hai số hữu tỉ x y (y ≠ 0) biết rằng: x - y = xy = x : y
5 Cho 100 số hữu tỉ tích ba số số âm Chứng minh rằng:
a) Tích 100 số số dương b) Tất 100 số số âm Lũy thừa
1 Tìm x, y biết rằng:
x + (−31
12)
2
= (−49
12 )
2
- x = y2
2 Tìm x biết:
a) 5x (53)2 = 625 b) (1225)
2
= (53)−2 - (−3
5)
4
c) (34)3x −1 = 25681 Tìm x biết:
a) (5x + 1)2 = 36
49 b) (x − 9)
3
= (2
3)
6
c) (8x - 1)2n+1 = 52n+ 1 (n N)
4 Tìm x, y biết: a) x2 +
(y −
10)
4
= b) (12x −5)
20
+ (y2−1
4)
10
≤ Tìm x Z biết: (x - 7)x+1 - (x - 7)x + 11 =
6 a) Tìm GTNN biểu thức A = (2x+1
3)
4
- b) Tìm GTLN biểu thức B = −(4
9x − 15)
6
(2)Tỉ lệ thức
1 Cho a a - 5+ = b b - 6+ (a ≠ 5; b ≠ 6) Chứng minh ab = 56 Chứng minh ab = cd a2+ b2
c2+ d2 =
ab cd
3 Tìm số x, y, z biết:
a) 4x = 3y = 9z x - 3y + 4z = 62;
b) xy = 79 ; yz = 73 x - y + z = -15 c) xy = 207 ; yz = 58 2x + 5y - 2z = 100
4 Ba kho có tất 710 thóc Sau chuyển 15 số thóc kho I, 61 số thóc kho II 111 số thóc kho III số thóc lại ba kho Hỏi lúc đầu kho có thóc ?
5 Một khu vườn hình chữ nhật có diện tích 300m2, hai cạnh tỉ lệ với Tính
chiều dài, chiều rộng khu vườn
6 Tìm x, y, z biết: 12x = 9y = 5z xyz = 20
7 Tìm x, y, z biết: x5 = 7y = 3z x2 + y2 - z2 = 585
8 Tìm hai phân số tối giản biết hiệu chúng 1963 , tử tỉ lệ với 5; mẫu tương ứng tỉ lệ với
9 Tìm x, y, z biết 12x - 15y7 = 20z - 12x9 = 15y - 20z11 x + y + z = 48
10 Cho dãy tỉ số nhau:
2a + b + c + d
c =
a + 2b + c + d
b =
a + b + 2c + d
c =
a + b + c + 2d d
Tìm giá trị biểu thức M, biết M = a c + b
+ d +
b + c d+a +
c+d a+b +
d+a b+c
11 Cho ab = cd ≠ ± c ≠ Chứng minh rằng: a) (a c −− b d)2 = abcd b) (a c + b
+ d)
= a3 - b3
c3 - d3
12 Cho b2 = ac ; c2 = bd Với b, c, d ≠ ; b + c ≠ d ; b3 + c3 ≠ d3
Chứng minh rằng: a3+ b3 - c3
b3+ c3 - d3 = (
a + b-c b+ c-d)
3
13 Cho b2 = ac Chứng minh a2+ b2
b2
(3)14 Cho a2+ b2
c2
+ d2 =
ab
cd với a, b, c, d ≠ 0; c ≠ ± d Chứng minh
a b = c
d a b =
d c
15 Cho 3x - 2y4 = 2z −34x = 4y −23z Chứng minh x2=y
3=
z
4
Số vô tỉ- Căn bậc hai-Số thực
1 Khơng dùng bảng số máy tính, so sánh:
a) √26 + √17 với b) √8 - √5 với ; c) √63-27 với √63 - √27
2 Hãy so sánh A với B biết: A = √225 -
√5 - ; B = √196 -
√6
3 Cho P = 12 + √x ; Q = - √x - Hãy tìm:
a) GTNN P b) GTLN Q
4 Cho M = √x - 12 Tìm x Z x < 50 M có giá trị nguyên
5 Cho N =
√x −5 Tìm x Z để N có giá trị nguyên
6 Xét xem số x y số vô tỉ không biết: a) x + y x - y số hữu tỉ
b) x + y xy số hữu tỉ Đại lượng tỉ lệ thuận
1 Một số M chia làm phần cho phần thứ phần thứ hai tỉ lệ (thuận) với 6; phần thứ hai phần thứ ba tỉ lệ (thuận) với Biết phần thứ ba phần thứ hai 150 Tìm số M
2 Một đội thuỷ lợi có 10 người làm ngày đào đắp 200m3 đất Một đội
khác có 12 người làm ngày đào đắp mét khối đất ? (Giả thiết suất người nhau)
3 Vận tốc riêng ca nô 21km/h, vận tốc dịng sơng 3km/h Hỏi với thời gian để ca nơ chạy ngược dịng 30km ca nơ chạy xi dịng kilơmét ?
(4)của AB Hỏi sau khởi hành tơ cách M khoảng 12 khoảng cách từ xe máy đến M
5 Tìm phân số tối giản biết tổng chúng 607 , tử chúng tỉ lệ với 2, 3, mẫu tỉ lệ với 5, 4,
Đại lượng tỉ lệ nghịch
1 Hai cạnh tam giác dài 25cm 36cm Tổng độ dài hai đường cao tương ứng 48,8cm Tính độ dài đường cao nói
2 Một xe ô tô chạy từ A đến B gồm chặng đường dài chất lượng mặt đường tốt xấu khác Vận tốc chặng 72km/h; 60km/h; 40km/h Biết tổng thời gian xe chạy từ A đến B Tính quãng đường AB
3 Một ô tô dự định chạy từ A đến B thời gian định Nếu xe chạy với vận tốc 64km/h đến nơi sớm Nếu xe chạy với vận tốc 63km/h đến nơi sớm Tính quãng đường AB thời gian dự định
HÌNH HỌC
Hai đường thẳng vng góc
1 Cho góc bẹt AOB Trên nửa mặt phẳng bờ AB ta vẽ ba tia OM, ON OC cho AOM❑ = BON❑ < 90o tia OC tia phân giác góc MON
Chứng tỏ OC AB
2 Cho hai tia Ox, Oy vng góc với Trong góc xOy ta vẽ hai tia OA, OB cho AOx❑ = BOy❑ = 30o Vẽ tia OC cho tia Oy tia phân giác góc
AOC Chứng tỏ rằng:
a Tia OA tia phân giác góc BOx b OB OC
3 Cho góc MON có số đo 120o Vẽ tia OA, OB góc cho OA
OM; OB ON
a Chứng tỏ AON❑ = BOM❑
b Vẽ tia Ox tia Oy thứ tự tia phân giác góc AON BOM Chứng tỏ Ox Oy
c Kể tên cặp góc có cạnh tương ứng vng góc
Đường thẳng song song
1 Xem hình cho biết góc có cạnh tương ứng song song với góc xOy biết
O❑1 = 70o, A❑1 = 110o; B❑2 = 110o
B E
50o
b y
B
A a
x O
1
1
(5)2 Trong hình bên biết AB AC; DAC❑ =
140o;
B❑ = 50o ; C❑ = 40o Chứng tỏ rằng: a) AD // CF
b) AD // BE
Tiên đề Ơ-clit
1 Trong hình bên, góc MON có số đo ao (0 <
a < 180) Lấy A OM, B ON Vẽ tia Ax
và By góc MON cho MAx❑ = mo;
NBy❑ = no m + n = a Chứng tỏ Ax // By
2 Qua điểm A đường thẳng a vẽ 11 đường thẳng phân biệt Chứng tỏ có 10 đường thẳng cắt a
3 Trong hình bên, cho biết Ax // By ; A❑ = mo
O❑ = mo + no (0 < m, n < 90) Tính góc B
Quan hệ tính vng góc tính song song
1 Trong hình bên, cho biết A❑1 =
5
7 A
❑
2 : B❑1 nhỏ B❑2 30o; C❑1 = C❑2 Chứng
tỏ a c
2 Cho tam giác ABC, A❑
= 90o Trên nửa mặt phẳng bờ BC có chứa A vẽ tia
Bx Cy vuông góc với BC Tính ABx❑ + ACy❑
Ơn tập
1 Cho hai đường thẳng a b cắt điểm O phạm vi tờ giấy Giả sử tia Ot tia phân giác góc nhọn tạo hai đường thẳng (trên tờ giấy khơng có tia này) Từ điểm A a vẽ đường thẳng:
a) Song song với Ot ; b) Vng góc với Ot
2 Cho tam giác ABC có A❑ = 90o Tia Bx tia đối tia BA Vẽ tia phân giác By góc CBx Vẽ CH By CK CB (H, K thuộc tia By) Chứng minh
rằng HCA = HCK
3 Cho A❑ ADB❑ hai góc có cạnh tương ứng vng góc Biết A❑ - B❑ =
40o, tính số đo góc A B Tổng góc tam giác
1 Cho tam giác vuông A, C❑
= 40o Vẽ đường phân giác AD, đường cao AH.
Tính số đo góc HAD
2 Cho tam giác ABC, O điểm nằm tam giác D
F C
A
140o 40o
N
B
O A M
y
x no
mo
B
A x
y O
mo + no mo
?
d c
A
a
C B
b 2
(6)a) Chứng minh BOC
❑
= A
❑
+ ABO
❑
+
ACO
b) Biết ABO❑
+ ACO❑
= 90o - A ❑
2 tia BO tia phân giác góc B,
chứng minh tia CO tia phân giác góc C Tam giác ABC có góc B❑ > C❑ Vẽ phân giác AD
a) Chứng minh ADC❑
- ADB❑
= B❑
- C❑
b) Đường thẳng chứa tia phân giác góc ngồi đỉnh A tam giác ABC cắt đường thẳng BC E Chứng minh AEB❑
= B
❑
−C❑
2
4 Tam giác ABC có A❑
= 180o - 3
C❑
a Chứng minh B❑
= C❑
b Từ điểm D cạnh AB vẽ DE // BC (E AC) Hãy xác định vị trí D
để cho tia ED tia phân giác góc AEB
Trường hợp c-c-c
1 Cho hai đường trịn tâm I K có bán kính 1,5cm, chúng cắt A B Vẽ dây AC đường tròn tâm I cho AC = AB Chứng minh IAC❑ =
IAB❑ = KAB❑
2 Cho ABC, đường cao AH Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa B, vẽ ACD
sao cho AD = BC; CD = AB Chứng minh AB // CD AH AD
Trường hợp c-g-c
1 Cho tam giác ABC, phân giác BD CE cắt O Chứng minh rằng: a) BD AC CE AB
b) OA = OB = OC c) AOB❑
= BOC❑
= COA❑
từ suy số đo góc
2 Cho O trung điểm AB Trên hai nửa mặt phẳng đối bờ AC, vẽ tia Ax By vng góc với AB Lấy điểm M tia Ax, điểm N tia By cho AM = BN Chứng minh O trung điểm MN
3 Cho ABC vng A có C❑ = 45o Vẽ phân giác AD Trên tia đối tia AD lấy điểm E cho AE = BC Trên tia đối tia CA lấy điểm F cho CF=AB Chứng minh BE = BF BE BF
1 Cho ABC Các điểm D M di động cạnh AB cho AD = BM Qua D
M vẽ đường thẳng song song với BC cắt cạnh AC E N Chứng minh tổng DE + MN không đổi
2 Cho ABC, A = 120o, phân giác BD CE cắt O Trên cạnh BC lấy hai
điểm I K cho BOI❑
= COK❑
= 30o Chứng minh rằng:
a) OI OK b) BE + CD < BC
3 Cho ABC Vẽ phía ngồi tam giác tam giác vuông cân A
ABE ACF Vẽ AH BC Đường thẳng AH cắt EF O Chứng minh O
(7)Tổng hợp
1 Cho ABC, A❑ nhọn Vẽ đường cao BD CE Trên tia đối tia BD lấy
điểm I, tia đối tia CE lấy điểm K cho BI = AC CK = AB Chứng minh AIK vng cân
2 Cho góc vng xOy, điểm A tia Ox, điểm B tia Oy Lấy điểm E tia đối tia Ox, điểm F tia Oy cho OE = OB; OF = OA
a) Chứng minh AB = EF AB EF
b) Gọi M N trung điểm AB EF Chứng minh OMN
vuông cân
3 Cho ABC Qua A vẽ đường thẳng xy // BC Từ điểm M cạnh BC vẽ
đường thẳng song song với AB, AC chúng cắt xy theo thứ tự D E Chứng minh rằng:
a) ABC = MDE
b) Ba đường thẳng AM, BD, CE qua điểm
Tam giác cân
1 Cho tam giác nhọn ABC, A❑ = 60o, đường cao BD Gọi M, N trung
điểm AB, AC
a Xác định dạng tam giác BMD, AMD
b Trên tia AB lấy điểm E cho AE = AN Chứng minh CE AB
2 Cho ABC vuông cân A Vẽ ngồi ABC tam giác cân BCM có đáy BC
góc đáy 15o Vẽ tam giác ABN (N thuộc nửa mặt phẳng bờ AB có chứa C).
Chứng minh ba điểm B, M, N thẳng hàng
3 Cho ABC vuông A Trên cạnh BC lấy hai điểm M N cho BM = BA;
CN = CA Tính MAN❑
4 Cho tam giác ABC vuông A (AB < AC), phân giác AD Từ D vẽ đường thẳng vng góc với BC cắt AC M Tính MBD❑
5 Tam giác ABC có B❑ = 75o; C❑ = 60o Kéo dài BC đoạn thẳng CD cho