Tìm tất cả các ñiểm M thuộc (C) sao cho khoảng cách từ M ñến giao ñiểm của hai ñường tiệm cận của (C) ngắn nhất. Tìm m ñể tiệm cận xiên của (Cm) tạo với hai trục tọa ñộ một tam giác[r]
(1)1
CHUYÊN ðỀ: HÀM PHÂN THỨCCHỦ ðỀ 1: BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN VỚI HÀM PHÂN THỨC A Lý thuyết:
1 Tiếp tuyến với ðTHS y=f(x) ñiểm M x y( ;0 0) có phương trình y−y0= f x'( )(0 x−x0) ðiều kiện tiếp xúc: ðồ thị hai hàm số y=f(x) y=g(x) tiếp xúc điểm có hồnh ñộ x0 ⇔x0 nghiệm hệ phương trình ( ) ( )
'( ) '( ) f x g x f x g x
=
=
B Các toán bản:
Loại 1: Tiếp tuyến với ñường cong ñiểm cho trước ñường cong
Bài : Cho hàm số 2( ) x
y C
x + =
− Lập phương trình tiếp tuyến (C) giao điểm với trục Ox Oy
Bài : (TK 03) Cho hàm số ( ) x
y C
x − =
− Gọi I giao ñiểm hai tiệm cận ðTHS Tìm M thuộc (C ) cho tiếp tuyến (C) M vng góc với đường IM
Bài 1: (KD -07) Cho h/s x y
x =
+ Tìm tọa độ điểm M thuộc (C) biết tiếp tuyến M cắt trục tọa ñộ ñiểm A, B △OAB có diện tích 1
4 Bài 4: Cho ñường cong
2 x y
x + =
+ (C) Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết tiếp tuyến tạo với ñường thẳng d: y=2x+1 góc 45o ( sử dụng công thức
1 tan
1 k k
k k
ϕ = − + ) Bài 5: Cho ñường cong
3 x y
x + =
− (C) M điểm thuộc (C) Gọi I giao ñiểm hai tiệm cận Tiếp tuyến M cắt hai tiệm cận A B
a) Chứng minh M trung ñiểm AB b) Chứng minh tiếp tuyến M không qua I Bài (TK KD 07) Cho hàm số
1 x y
x =
− Lập phương trình tiếp tuyến d (C) cho d và hai tiệm cận (C) cắt tạo thành tam giác cân
Bài (DB KD 08) Cho hàm số 1 x y
x + =
+ Tính diện tích tam giác tạo trục tọa ñộ tiếp tuyến với ñồ thị hàm số (1) ñiểm M(-2;5)
Bài (KA 09) Cho hàm số
2
x y
x + =
+ (1) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến cắt trục hồnh, trục tung hai ñiểm phân biệt A,B tam giác OAB cân gốc O Bài (TK 06) Cho hàm số
1 x y
x + =
− Cho ñiểm Mo(xo;yo)thuộc ñồ thị (C) Tiếp tuyến (C) o
M cắt ñường tiệm cận ñiểm A,B Chứng minh Molà trung ñiểm ñoạn AB
Bài: (KB-06) Cho hàm số
2 1
2 x x y
x + − =
(2)2
Bài: (DB KB 03) Cho hàm số (1)1 x y
x − =
− Gọi I giao ñiểm hai ñường tiệm cận (C) Tìm ñiểm M thuộc (C) cho tiếp tuyến (C) M vng góc với đường IM
Bài: Cho đường cong
1 x x y
x + + =
− (C) Tìm điểm M thuộc (C) ñể tiếp tuyến M cắt Ox, Oy tương ứng A, B cho tam giác OAB tam giác vng cân
Loại 2: Phương trình tiếp tuyến với ñường cong ñi qua ñiểm cho trước
Bài : Cho hàm số 2( ) x
y C
x + =
− Lập phương trình tiếp tuyến (C) ñi qua A(-6;5) Bài (TK KD 07) Cho hàm số
2 x y
x − + =
+ Lập phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến qua giao điểm tiệm cận ñứng trục Ox
Bài: Cho hàm số 1( ) x
y C
x + =
− Tìm điểm Oy mà từ điểm kẻ tiếp tuyến với ñồ thị hàm số
Bài: (KD 02) Cho hàm số
2
(2 1)x y
x m− −m =
− (1) Tìm m để đồ thị h/s (1) tiếp xúc với ñường thẳng y = x
Bài : Cho ñường cong x y
x + =
− (C) Tìm điểm M đường thẳng y=2x+1, cho từ M vẽ ñược tiếp tuyến với (C)
Bài : Cho ñường cong
2 2 1
2
x x
y x
− +
=
− (C) điểm A(6;4) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến ñi qua A
Bài : Cho ñường cong
2
2
1 x x y
x + + =
+ (C) Tìm trục Oy điểm kẻ đến (C) hai tiếp tuyến vng góc với
CHỦ ðỀ 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM PHÂN THỨC (CTNC) A Lý thuyết
a) Hai quy tắc tìm cực trị
b) Hàm số
2
' '
ax bx c y
a x b + + =
+ có hai cực trị phương trình y’=0 có hai nghiệm khác –b’/a’ c) Giả sử ( )
( ) p x y
q x
= có cực trị x0 kho ta có 0
0
( ) '( ) ( )
( ) '( ) p x p x y x
q x q x
= =
B Bài tập
Bài 1: (KA-07) Cho hàm số
2 2( 1) 4
2
x m x m m
y
x
+ + + +
=
+ Tìm m để HS có Cð, CT đồng thời điểm cực trị ñồ thị với gốc O tạo thành tam giác vng O
Bài 2: (KB-05) Gọi (Cm)là đồ thị HS
2 ( 1) 1
1
x m x m
y
x
+ + + +
=
+ CM: ∀m (Cm)ln có Cð, CT
(3)3
Bài 3: (KA-05) Cho hàm số y mxx
= + Tìm m để hàm số có cực trị khoảng cách từ điểm cực tiểu ñồ thị ñến tiệm cận xiên
2
Bài 4: Cho hàm số
( )
1 m
x mx
y C
x + =
− Tìm m để hàm số có Cð, CT khoảng cách chúng 10 Bài 5: Cho hàm số
2 ( 1) 1
( m)
x m x m
y C
x m
+ + − +
=
− Tìm m để (Cm) có cực đại, cực tiểu nằm phía trục Ox
Bài 6: Tìm m ñể ñường cong
2
2
( m)
x x m
y C
x m − + =
− có cực ñại, cực tiểu x1, x2 cho
2
( ) ( ) 16 y x −y x >
CHỦ ðỀ 3: BÀI TOÁN VỀ SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HÀM PHÂN THỨC
Nội dung tốn có dạng chung sau: Cho đồ thị hàm số y=f(x), y=g(x) thường chứa tham số Tìm điều kiện để chúng cắt giao điểm thỏa mãn điều kiện
Ta có phương trình hồnh độ giao điểm f(x)=g(x) (1) Số giao ñiểm hai ñường cong số nghiệm của (1) ngược lại số nghiệm phương trình (1) số giao điểm hai đồ thị
Bài (Cð 08) Cho hàm số
1 x y
x =
− Tìm m ñể ñường thẳng d: y=-x+m cắt (C) ñiểm phân biệt Bài (KB 2010) Cho hàm số
2
x y
x + =
+ (1) Tìm m để đường thẳng d: y=-2x+m cắt (C) ñiểm phân biệt A,B cho tam giác OAB có diện tích
Bài (CðKTKT I 05) Cho hàm số x y
x + =
+ (1) CMR ñường
y= x m− cắt (C) hai ñiểm phân biệt A,B Xác ñịnh m cho ñoạn AB nhỏ
Bài (CðSPHCM 05) Cho hàm số 1 x y
x + =
− (1) Xác ñịnh m ñể ñường thẳng d: y=2x+m cắt (C) hai ñiểm phân biệt A,B cho tiếp tuyến (C) hai ñiểm A, B song song với
Bài (KA-2011) Cho hàm số
x y
x − + =
− Chứng minh với m ñường thẳng y = x + m ln cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A B Gọi k1, k2 hệ số góc tiếp tuyến với (C) A B Tìm m để tổng k1 + k2 đạt giá trị lớn
Bài (KA 08) Cho hàm số ( ) x
y C
x =
− Tìm m để đường thẳng ( ) :d y= − +x mcắt (C) hai ñiểm phân biệt
Bài : (KA-04) Cho h/s
2
x 3x y
2(x 1)
− + −
=
− (1) Tìm m ñể ñường thẳng d : y = m cắt ñồ thị h/s (1) ñiểm A, B cho AB =
Bài : (KA-03) Cho h/s
2
x x
y
x m + +m =
− (1) Tìm m ñể ñồ thị h/s (1) cắt Ox ñiểm phân biệt có hồnh độ dương
Bài : (KD-09- NC) Tìm m để đường thẳng y=-2x+m cắt đường cong
1 ( ) x x
y C
x + −
(4)4
Bài : Cho ñường cong2
2
( )
x x
y C
x − =
− ñường thẳng dm:y=2mx m− Tìm m để (C) dm cắt
tại hai ñiểm phân biệt thuộc hai nhánh khác (C)
Bài : Tìm m ñể ñường thẳng dm: y= 2x+m cắt ñồ thị (C) 3 y x
x = − + +
− hai ñiểm phân biệt A, B cho AB có độ dài nhỏ
CHỦ ðỀ 4: TIỆM CẬN VỚI HÀM PHÂN THỨC A Lý thuyết bản:
1 ðịnh nghĩa cách xác ñịnh: 1 ðịnh nghĩa:
• ðường thẳng x=x0 đgl đường tiệm cận đứng ñồ thị hàm số y= f x( ) ñiều kiện sau ñược thoả mãn:
0
lim ( )
x x
f x
+
→ = +∞;
lim ( )
x x
f x
+
→ = −∞;
lim ( )
x x
f x
−
→ = +∞;
lim ( )
x x
f x
−
→ = −∞
• ðường thẳng y=y0 đgl đường tiệm cận ngang ñồ thị hàm số y= f x( ) điều kiện sau ñược thoả mãn:
0 lim ( )
x→+∞f x =y ; xlim ( )→−∞f x =y0
• ðường thẳng y=ax b a+ , ≠0 ñgl ñường tiệm cận xiên ñồ thị hàm số y= f x( ) điều kiện sau ñược thoả mãn:
[
]
lim ( ) ( )
x→+∞ f x − ax b+ = ; xlim→−∞
[
f x( ) (− ax b+ )]
=0 2 Chú ý:a) Nếu ( ) ( )
( )
P x
y f x
Q x
= = hàm số phân thức hữu tỷ
• Nếu Q(x) = có nghiệm x0 đồ thị có tiệm cận đứng x=x0 • Nếu bậc(P(x)) ≤ bậc(Q(x)) đồ thị có tiệm cận ngang • Nếu bậc(P(x)) = bậc(Q(x)) + ñồ thị có tiệm cận xiên
b) ðể xác ñịnh hệ số a, b phương trình tiệm cận xiên, ta áp dụng cơng thức sau:
[
]
( )
lim ; lim ( )
x x
f x
a b f x ax
x
→+∞ →+∞
= = −
hoặc lim ( ); lim
[
( )]
x x
f x
a b f x ax
x
→−∞ →−∞
= = −
2 Nếu hàm số khơng có tham số việc tìm đường tiệm cận ðTHS ñơn giản Nếu hàm
phân thức có tham số, ví dụ: y 2x x m − =
−
2
2 mx x y
x
+ − =
− trước hết xem chúng có thỏa mãn điều
kiện tử số mẫu số có nhân tử chung hay khơng Rồi sau xem ứng với giá trị phân thức có dạng gì, từ xác định tiệm cận theo qui tắc
B Bài tập
Bài (TK 06) Cho hàm số ( ) x
y C
x + =
− Cho M x( 0;y0)∈( )C Tiếp tuyến (C) M cắt ñường
(5)5
Bài (CðSP HCM 05) Cho hàm số ( )1 x
y C
x + =
− Tìm tất điểm M thuộc (C) cho khoảng cách từ M ñến giao ñiểm hai tiệm cận ngắn
Bài: (Cð TDTT ð Nẵng 06) Cho hàm số ( ) x
y C
x − =
+ CMR tích khoảng cách từ M thuộc (C) đến hai tiệm cận ln số
CðSPHCM 05 Cho hàm số 1 x y
x + =
− (1) Tìm tất điểm M thuộc (C) cho khoảng cách từ M ñến giao ñiểm hai ñường tiệm cận (C) ngắn
Bài : (KA-08) Cho hàm số
2 (3 2) 2
3
mx m x
y
x m
+ − −
=
+ Tìm giá trị m để góc hai ñường tiệm
cận ðTHS 45o Bài : Cho ñường cong
2
2
( m)
x x m
y C
x m
− + =
− Tìm tiệm cận (Cm) m thay ñổi
Bài : Cho
2
2
( )
1 m
x mx
y C
x
+ − =
− Tìm m ñể tiệm cận xiên (Cm) tạo với hai trục tọa độ tam giác
có diện tích
Bai : Cho ñường cong
2 2 2
( )
x x
y C
x
+ − =
− Tìm M thuộc (C) cho khoảng cách từ M ñến giao ñiểm
hai ñường tiệm cận nhỏ
BÀI TẬP TỰ GIẢI Bài 1: Cho
2 2
( ) x x
y C
x
+ + =
− Tìm M thuộc (C) cho tiếp tuyến M vng góc với đường thẳng qua
M tâm ñối xứng (C)
ðS: M M1, 2∈( )C ứng với hồnh độ
4
1 8,
x = + x = − Bài 2: Cho ñường cong ( )
2 x
y C
x − + =
− điểm A(0;1) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến ñi qua A
ðS: y=-2x+1, y=-18x+1 Bài 3: Cho
2
2
( )
x x
y C
x
− + =
−
a) Chứng minh y=7 tiếp tuyến (C)
b) CMR đường thẳng y=7 có điểm cho từ điểm đó, kẻ ñến (C) hai tiếp tuyến lập với góc 45o
Bài 4: Cho
( )
1 m
x x m
y C
x
+ + =
+ Tìm m để hàm số có hai cực trị nằm hai phía trục Oy
ðS: m>1 Bài 5: Cho
2
2
( )
1 m
x mx
y C
x
+ +
=
+ Tìm m để (Cm) có cực trị khoảng cách từ hai ñiểm cực trị ñến
ñường thẳng x+y+2=0
Bài 6: (KB-09) Tìm m để ñường thẳng y=-x+m ñường cong
1 x y
x
−
= cắt hai ñiểm phân biệt A, B cho AB=4
(6)6
Bài 7: Cho hàm số2 2 4
2
x x
y x
− +
=
− (C) Tìm m để đường thẳng y=mx+ −2 2m cắt ñồ thị (C) hai ñiểm phân biệt
Bài 8: Tìm m để đường thẳng dm: y=mx+2-m cắt ñồ thị (C):
2 4 1
2
x x
y x
+ +
=
+ hai ñiểm phân biệt thuộc nhánh (C)
ðS: 3, m< m≠ Bài 9: Cho
2 2 1
( )
2 m
mx mx
y C
x + − =
− Tìm m để (Cm) có tiệm cận xiên khoảng cách từ A( 4;− m) đến
nó lớn