-Bo-de-thi-HSG-va-Olympic-Toan-10-co-dap-an

www.thuvienhoclieu.com SỞ GD & ĐT NGHỆ AN TRƯỜNG THPT CON CUÔNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG KHỐI 10 NĂM HỌC 2017 – 2018 Mơn : TỐN Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian phát đề) ĐỀ CHÍNH THỨC Câu 1.(5,0 điểm) Cho phương trình bậc hai x − x + m = (1) với x ẩn số a) Giải phương trình (1) m = b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm dương x1, x2 thoả mãn x1 x + x x1 = Câu (3,0 điểm)  x + x y − xy + xy − y =  Giải hệ phương trình:  x + y − xy (2 x − 1) = Câu 3.(5,0 điểm) a) Cho góc α thỏa mãn tan α = Tính giá trị biểu thức P= 4sin α − cos α sin α + cos α uuur uuu r uuur uuur BD = BC; AE = AC b) Cho tam giác ABC Gọi D, E Điểm K đoạn AD thẳng AD cho điểm B, K, E thẳng hàng Tìm tỉ số AK Câu ( 5,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ 0xy cho tam giác ABC vuông B, AB = 2BC, D trung điểm  16  E  ;1÷ AB, E điểm thuộc đoạn AC cho AC = 3EC, có phương trình CD : x − y + = ,   a) Chứng minh BE phân giác góc B, Tìm tọa độ điểm I giao CD BE b) Tìm tọa độ đỉnh A, B, C, biết A có tung độ âm Câu (2,0 điểm) Cho a , b, c số thực dương thoả mãn a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P= 1 + 2 a +b +c abc www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com Hết -Họ tên thí sinh : Số báo danh : HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC (Hướng dẫn chấm gồm 04 trang) Câu Nội dung Điểm Phương trình x − x + m = 5,0 a) Giải phương trình (1) m = 1,5 Khi m = PT (1) có dạng: x − x + = 0,5 ' Ta có: ∆ = + = > 0,5 PT (1) có nghiệm phân biệt: x1 = x2 = 0,5 b) Tìm giá trị m thỏa mãn 3,5 Lập ∆ = 25 - 4m 0,5 25 Phương trình có nghiệm x1 , x2 ∆ ≥ hay m ≤ Áp dụng hệ thức Viet, ta có x1 + x2 = 5; x1 x2 = m 0,5 ìïï x1 + x > í ï x , x Hai nghiệm dương ïỵ x1x > hay m > Điều kiện để phương trình có nghiệm dương x1, x2 Ta có: Suy Ta có Hay ( x1 + x ) 25 < m ≤ (*) 0,5 = x1 + x + x1 x = + m x1 + x = + m x1 x + x x1 = ⇔ x1.x 0,5 A ( ) x1 + x = E K m + m = ⇔ 2m m + 5m − 36 = (1) www.thuvienhoclieu.comB Trang D C www.thuvienhoclieu.com Đặt t = m ≥ , (1) thành: ⇔ 2t3 + 5t2 - 36 = 0,5 ⇔ (t - 2)(2t2 + 9t + 18) = ⇔ t - = 2t2 + 9t + 18 = Với t - = => t = => m = (thoả mãn (*)) 0,5 Với 2t2 + 9t + 18 = : phương trình vơ nghiệm Vậy với m = phương trình cho có hai nghiệm dương x 1, x2 thoả mãn 0,5 x1 x + x x1 =  x + x y − xy + xy − y =  Giải hệ phương trình:  x + y − xy (2 x − 1) = 3,0 ( x − y ) + xy ( x − y ) + xy = ⇔ 2 ( x − y ) + xy = Hệ 1,0 a = x − y  Đặt b = xy Hệ trở thành: Hệ a + ab + b =  a + b = (*) a + a − 2a = a (a + a − 2) = (*) ⇔  ⇔ 2 b = − a b = − a Từ tìm 0,5 (a; b) ∈ { (0; 1); (1; 0); ( −2; − 3)}  x2 − y = ⇔ x = y =1  xy = ( a ; b ) = (0; 1) Với ta có hệ   x2 − y = ⇔ ( x; y ) = (0; −1);(1;0);( −1;0)  xy = ( a ; b ) = (1; 0)  Với ta có hệ Với 0,5 (a; b) = (−2; −3) ta có hệ 3    x − y = −2 y = − y = − ⇔ ⇔ ⇔ x = −1; y = x x  xy = −   x3 + x + = ( x + 1)( x − x + 3) =   www.thuvienhoclieu.com 0,5 0,5 Trang www.thuvienhoclieu.com 3    x − y = −2 y = − y = − ⇔ ⇔ ⇔ x = −1; y = x x  xy = −   x3 + x + = ( x + 1)( x − x + 3) =   Kết luận: Hệ có nghiệm ( x; y ) ∈ { (1; 1);(0; − 1);(1; 0);( −1; 0);( −1; 3)} 5,0 a) Cho góc α thỏa mãn tan α = Tính giá trị biểu thức P= sin α − cos α sin α + cos3 α 2,5 ( 4sin α − cos α ) ( sin α + cos α ) 4sin α − cos α P= = sin α + cos3 α sin α + cos3 α 1.0 4sin α − sin α cos α + 4sin α cos α − cos α = sin α + cos α 0,5 = tan α − tan α + tan α − tan α + 0,5 = 4.8 − + 4.2 − = 8+2 0,5 uuur uuu r uuur uuur BD = BC; AE = AC b) Cho tam giác ABC Gọi D, E Điểm K b) AD đoạn thẳng AD cho điểm B, K, E thẳng hàng Tìm tỉ số AK 2,5 uuur uuur uuu r uuur uuu r AE = AC ⇒ BE = BC + BA (1) 4 Vì 0,5 Giả sử uuur uuur uuur uuur uuu r AK = x AD ⇒ BK = xBD + ( − x ) BA (1) uuur uuu r uuur uuur uuur 2x uuur uuur BD = BC AK = x.AD ⇒ BK = BD + (1 − x)BA 3 Mà nên www.thuvienhoclieu.com 0,5 0,5 Trang www.thuvienhoclieu.com m 2x 3m uuu r uuur − = &1 − x − =0 Do BC; BA không phương nên 0.5 uuur uuur AD x = ;m = AK = AD ⇒ =3 Vậy AK Từ suy 0,5 Trong mặt phẳng tọa độ 0xy cho tam giác ABC vuông B, AB = 2BC, D trung điểm AB, E điểm thuộc đoạn AC cho AC = 3EC, có phương trình  16  E  ;1÷ CD : x − y + = ,   5,0 Chứng minh BE phân giác góc B, Tìm tọa độ điểm I giao 2,5 a) CD BE BA EA A = =2⇒ E BC EC Ta có chân đường phân giác 0,5 D I C B Do BD = BC ⇒ BE ⊥ CD ⇒ BE : 3x + y − 17 = 0,5 x − 3y +1 =  I = BE ∩ CD ⇒ tọa độ điiểm I nghiệm hệ 3 x + y − 17 = Giải hệ phương trình ⇒ I ( 5; ) Đặt 0,5 1,0 b) Tìm tọa độ đỉnh A, B, C, biết A có tung độ âm BC = a > ⇒ AB = 2a, AC = a 5, CE = E 2,5 a BC a · CBE = 450 ⇒ IB = IC = = 2 Do www.thuvienhoclieu.com 0,5 0,5 (1) Trang www.thuvienhoclieu.com Tam giác EIC vuông I uur ⇒ IE = EC − IC ⇒ IE = a (2) uur Từ (1) (2) ⇒ IB = −3IE ⇒ B(4;5) Gọi C (3c − 1; c) từ 0,5 c = BC = ⇔ c − 4c + = ⇔  c = 0,5 Với c = ⇒ C (2;1), A(12;1) (KTM) Với c = ⇒ C (8;3), A(0; −3) (TM) 0,5 Vậy A(0; −3), B(4;5), C (8;3) Cho a , b, c số thực dương thoả mãn a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P= 2,0 1 + 2 a +b +c abc Áp dụng BĐT AM- GM ta có ab + bc + ca ≥ 33 a b c 0,5 1= a + b + c ≥ 3 abc ⇒ abc ≤ ⇒P≥ ⇒P≥ ≥ 3 ⇒ ab + bc + ca ≥ abc abc ≥ 9abc + 2 a +b +c ab + bc + ca 0,5 1 + + + 2 a +b +c ab + bc + ca ab + bc + ca ab + bc + ca 0,5 + = 30 2 a + b + c + 2ab + 2bc + 2ca ( a + b + c ) Vậy giá trị nhỏ P 30 chẳng hạn `SỞ GD & ĐT QUẢNG NAM TRƯỜNG THPT NÔNG SƠN a =b=c= 0,5 ĐỀ THI OLYMPIC 24/3 QUẢNG NAM NĂM HỌC 2017-2018 Mơn thi: TỐN 10 (đề thi đề nghị) Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề Câu (5,0 điểm) www.thuvienhoclieu.com Trang a) Giải phương trình www.thuvienhoclieu.com 3x + = 1− x x + − 3x b) Giải hệ phương trình Câu (4,0 điểm) xy  2 x + y + x + y =   x + y = x2 − y  a) Tìm tập xác định hàm số : y = x − + x − − x + x ;x b) Gọi hai nghiệm phương trình x − mx + m − = A= x1 x + x + x 22 + 2(1 + x1 x ) Với giá trị m A đạt giá trị nhỏ Đặt Câu (3,0 điểm) Cho hai số thực dương x, y thỏa x + y =1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: Q= x 1− x + y 1− y Câu (4,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân A có BC = 18 ,các đường thẳng AB AC qua điểm M(1; ) N(0; ) Xác định tọa độ − đỉnh tam giác ABC, biết đường cao AH có phương trình x+y – 2=0 điểm B có hồnh độ dương Câu (4,0 điểm) a) Chứng minh tam giác ABC thoả mãn điều kiện = tam giác ABC tam giác cân b) Cho tam giác ABC Gọi M trung điểm cạnh AB, N điểm trênrcạnh AC cho uuur uuuur uuuu uuur NC = NA I trung điểm đoạn MN Chứng minh : BC + NM = BM + NC Hãy biểu uuur uur uuu r diễn vecto AI theo hai vecto AB AC -Hết www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com SỞ GD & ĐT QUẢNG NAM TRƯỜNG THPT NÔNG SƠN Câu Câu 5,0 a) Giải phương trình: ĐK: x ≥ 0; x ≠ Khi đó: (1) ⇔ HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 10 Nội dung x + − 3x Điểm 2,5 3x + − x (1) = 0,25 x + + 3x 3x + = 1− x 1− x 0.5 0.5 ⇔ x + + 3x = 3x + ⇔ x + 3x = − x 0.5 0.5 − + 21 10 − + 21 x= 10 Vậy (1) có nghiệm: xy  2 x + y + x + y =   x + y = x2 − y  ⇒x= 0.25 2,5 b) Giải hệ phương trình Điều kiện: x > − y ( x + y ) − + xy  − 1 = x+ y  ⇔ ( x + y − 1) x + y + x + y = PT thư tương đương: ⇒ x + y =  x =  x = −2 ∨  y =  y = Kết hợp với PT hai ta ( )  x =  x = −2 ∨  Vậy, hệ cho có nghiệm  y =  y = Câu Nội dung a) Tìm tập xác định hàm số : y = x − + x −1 − x + www.thuvienhoclieu.com 0.25 0.5 0.5 0.5 0.5 0.25 Điể m 1.5 Trang www.thuvienhoclieu.com x − ≥ x − ≥  x + ≥   x − + x −1 − x + ≥   x ≥ ⇔ 2 x − 3x + ≥ − x 4,0 b) Gọi 0.5 x1 ; x2 hai nghiệm phương trình x − mx + m − = A= Đặt 0.5 21 ≤x≤6 ⇔ ĐK: 0.5 x1 x + x + x 22 + 2(1 + x1 x ) Với giá trị m A đạt giá trị nhỏ 2 + PT có hai ngiệm ∆ ≥ ⇔ m − 4m + ≥ 0, ∀m + x1 + x2 = m; x1 x = m − A= 2.5 0.25 0.25 0.5 x1 x + ( x1 + x ) + 4m + m2 + ( m + 2) = − ≥ −1 m +2 A nhỏ m = −2 0.5 = 0.5 0.5 Câu Cho hai số thực dương x, y 3,0 biểu thức sau: thỏa x + y =1 Tìm giá trị nhỏ Q= x 1− x y + 1− y Q= Viết lại x −1+1 1− x 1− x + + y −1+1 1− y 1− y ≥ = 1− x + 1− y (1 − x )(1 − y ) Theo Cô si: ( Do x+y=1 ) Theo Bunhiacopski: 1− x + 1− y ≤ 1− x +1− y = ≥ − ( 1− x + 1− y) 1− x +1− y =2 (1) ( Do x+y=1 ) (2) www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com Trừ theo vế (1) (2) ta có : Q ≥ 1 − x = − y  ⇔x=y= x + y = Dấu đẳng thức xảy  Vậy minQ = Câu Phương trình đường thẳng ∆ qua N vng góc với AH 4,0 x − y = − 18 Tọa độ giao điểm I AH với ∆ nghiệm hệ PT 18  16 x − y = − ⇒ I (− ; )  7  x + y = N ( − : 2) Gọi N1 giao điểm ∆ AB, suy Đường thẳng AB qua hai điểm M N1 nên có PT 7x+3y = 7x + 3y = ⇒ A(−1 : 3)  x + y =  Tọa độ điểm A nghiệm hệ − 7b B (b; ) Giả sử d ( B, AH ) = BC = 2 Khi ⇒ 4b + b = ⇒ B (2;−4) =2 2⇒ b = −4(loai ) PT đường thẳng BC: x-y = x - y = ⇒ H (4 : −2) ⇒ C (6;0)  x + y =  Tọa độ điểm H nghiệm hệ Câu Nội dung Câu a) Chứng minh tam giác ABC thoả mãn điều kiện = tam 4,0 giác ABC tam giác cân + Viết cos C = sin A = a b ; sin B = 2R 2R a2 + b2 − c2 2ab + + Thay vào = 2, rút gọn ta b=c + Vậy tam giác ABC cân A www.thuvienhoclieu.com 0.5 0.25 0,5 0,5 0,25 0,25 0.25 0,5 0.5 0.5 0.25 0.5 Điể m 2,0 0.5 0.5 0.75 0.25 Trang 10