[r]
(1)SỞ GD & ĐT ĐỒNG THÁP ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2012 LẦN 1
THPT Chun Nguyễn Quang Diêu Mơn: TỐN; Khối: A + B
Thời gian làm bài: 180 phút, khơng kể thời gian phát đề PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0điểm)
Câu I (2,0điểm) Cho hàm số 2 2 y=x - x +
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
2. Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau và độ dài đoạn thẳng AB bằng 2 .
Câu II (2,0điểm)
1. Giải phương trình ( )
2 2
2
sin cos sin 2
sin sin 3
1 cot 4
x x x
x x
x
p p
+ - ỉ ỉ ỉ ư
= ỗ ỗ - ữ- ỗ - ữ ữ
+ è è ø è ø ø
.
2. Giải hệ phương trình
( )
3 2
2
7
2 2
4 x y
y x x
ì
- + =
ï ï í
ï + - + = -
ï ỵ
( x y, Ρ ) .
Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân ( )
3 2
1
1 ln 1 ln
e x x x
I dx
x x
+ + +
=
+
ò
Câu IV (1,0điểm)Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có AC =a BC, =2 ,a ACB· = 120 0 và đường thẳng '
A C tạo với mặt phẳng ( ABB A góc ' ' ) 30 Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách giữa hai 0 đường thẳng A B CC theo a. ' , '
Câu V (1,0điểm) Cho phương trình 4 6+ -x x2 -3x=m( x+2+2 3 - x) Tìm m để phương trình có nghiệm thực.
PHẦN RIÊNG (3,0điểm):Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B) A. Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a (2.0 điểm)
1. Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường tròn ( ) 2
: 18 65 0
C x +y - x- y+ = ( )C' : x2+y2 = 9 Từ điểm M thuộc đường trịn (C) kẻ hai tiếp tuyến với đường trịn (C’), gọi A, B là các tiếp điểm. Tìm tọa độ điểm M, biết độ dài đoạn AB bằng 4,8
2. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng ( ): 2 1 x t
d y t
z
= ì ï
= - + í
ï = î
và điểm A -( 1; 2; 3 ) . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) sao cho khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) bằng Câu VII.a (1.0điểm) Giải bất phương trình ( ) 2 ( 2 )
2 2
1
log log 0
2 x- - x - x ³ B. Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b (2.0điểm)
1.TrongmtphngOxy,chohỡnhthoiABCDcútõm I( )3 3vAC=2BD.im 24 Mổỗ ữ
ố ứthucng thng AB,im 313
3 Nổỗ ÷
è ø thuộc đường thẳng CD
. Viết phương trình đường chéo BD biết đỉnh B có hồnh độ nhỏ hơn 3.
2. Trong khơng gian Oxyz, cho hai đường thẳng ( ) d1 :x y z; d( )2 : x y z 1
1 2 1
+ + - - -
= = = = và mặt
phẳng ( )P : x +y-2z+ =5 Lập phương trình đường thẳng (d) song song với mặt phẳng (P) và cắt0
( ) ( )d , d 1 2 lần lượt tại A, B sao cho độ dài đoạn AB nhỏ nhất.
Câu VII.b (1.0 điểm) Giải phương trình ( 3 ) ( ) 2 ( )
3 9 3
1
log log log 1
2
x + = x- + x+
Hết
(2)SỞ GD & ĐT ĐỒNG THÁP ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
THPT Chun Nguyễn Quang Diêu ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2012 LẦN 1 Mơn: TỐN; Khối: A+B
(Đáp án – thang điểm gồm 06 trang) ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
Câu Đáp án Điểm
1. (1,0 điểm)
· Tập xác định: D = ¡ · Sự biến thiên:
ￚChiều biến thiên: 2 ' 6
y = x - x; 'y =0Ûx= hoặc 0 x = 2
0.25
Hàm số đồng biến trên các khoảng ( -¥; 0 ) và ( 2;+¥ ) ; nghịch biến trên khoảng
( 0; 2 )
ￚ Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại x = ; yCT 2 = -2 , đạt cực đại tại x = ; yCĐ 0 =
ￚ Giới hạn: lim ; lim
xđ-Ơy= -Ơ xđ+Ơ y= +Ơ
0.25
Bngbinthiờn: 0.25
· Đồ thị: 0.25
2.(1,0điểm)
Đặt A a a( ; 3-3a2+2 ;) ( B b b; 3-3b2 + 2 ) với a¹ b. Hệ số góc của tiếp tuyến với (C)
tại A, B là: ( ) ( ) 2
' ; ' 6
A A B B
k =y x = a - a k = y x = b - b. Tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau khi và chỉ khi
( )( )
2 2
3 6 2
A B
k =k Û a - a= b - bÛ a-b a+ -b = Ûb= - a
0.25 I
(2,0điểm)
(3)( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
2 3 3 2 2
2
2 2 2
2
2 2
3
3
4 3
AB a b a b a b
a b a b a ab b a b
a a a
é ù = - +ë - - - û é ù = - + - ë + + - + û é ù = - + - - - ë û ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
6 2
6 2
2
4 24 40 32 0
1 10 0
3 4
1
AB a a a
a a a
a a a = Û - - - + - - = Û - - - + - - = = é Û - = Û ê = - ë 0.25
· Với a= Þ3 b= - 1
· Với a= - Þ1 b= 3
Vậy A( 3; ,) ( B - -1; 2 ) hoặc A( - -1; , ) ( B 3; 2 ) .
0.25
1. (1,0 điểm)
Điều kiện: sinx ¹ 0 (*). Khi đó:
Phương trình đã cho tương đương với: ( s in2 cos ) .sin2 cos sin 4
x+ x x= ổỗp - xử ữ x
è ø
0.25
( )
cos sin cos sin cos 0
4 4
x p x x p x x p
ỉ ỉ ỉ
ỗ - ữ = ỗ - ữ - ỗ - ÷ =
è ø è ø è ø
0.25
· sin 2
2
x= x=p + k p ( kẻÂ),tha(*) 0.25
à cos 0 3
4 2
k
x p x p p
ỉ
- = = +
ỗ ữ
ố ứ ( kẻÂ),tha(*)
Vy,phngtrỡnhcúnghim: ( ) .
2 2
k
x=p +k p x= p + p kẻÂ
0.25
2.(1,0điểm)
Điều kiện: x³ -2;y³ -2
Đặt u= x+2;v= y+ với ,2 u v³ (*) . Hệ trở thành:0
( ) 2 2 7 (1) 2 1 (2)
4 u v
v u u
ì - = ï ï í ï + - = ï ỵ 0.25 Thế (1) vào (2) ta được phương trình: 2 3
4 2
7 1
2 8
2 4
2 12 0
u u u
u u u u
ổ - + - = ỗ ÷ è ø Û + - - + = 0.25
( u 1)( u 2)( u2 5u 6) 0
Û - - + + =
1 2
u u
Û = Ú = (vì u2 +5u+ >6 0," ³u )0
· Với u= thay vào (1) ta được 1 5 2
v = - , không thỏa (*)
· Với u = 2 thay vào (1) ta được 1 2
v = , thỏa (*)
0.25 II (2,0 điểm) Vậy, hệ phương trình có nghiệm: 2 7 4 x y = ì ï í = - ï ỵ 0.25 (1,0 điểm) III
(1,0 điểm) ( ) 2
2
1 1
1 ln 1 1 ln
2 ln ln
e x x x e e
x
I dx x dx dx
x x x x
+ + + +
= = +
+ +
ò ò ò
(4)3 3 2
1 1
1
3 3
e e
x e
x dx=éê ù ú = -
ë û
ò
0.25
( )
1
1 1
2 ln ln
ln ln
2 ln ln
e e
e
d x x
x
dx x x
x x x x
+ +
= = éë + ù û
+ +
ò ò ln( 2) ln ln 2
2 e
e +
= + - = 0.25
Vậy 3
1 2
ln
3 2
e e
I= - + + 0.25
(1,0 điểm)
Trong (ABC), kẻ CH ^ AB ( HỴ AB) , suy ra CH ^ ( ABB A' ' ) nên A’H là hình chiếu vng góc của A’C lên (ABB’A’). Do đó:
( )
· ( · · ) 0
' , ' ' ' , ' ' 30
A C ABB A = A C A H =CA H=
é ù
ë û
0.25
·
2 0
1 3
.s in120
2 2
ABC
a
SD = AC BC =
· AB2=AC2+BC2-2AC BC. .cos1200 =7a2 ÞAB= a 7
· 2. 21
7 ABC
S a
CH
AB
D
= =
Suy ra: ' 0 21 s in30 7
CH a
A C = =
0.25
Xét tam giác vuông AA’C ta được: ' ' 2 35 7 a AA = A C -AC = Suy ra:
3 105 '
14 ABC
a
V =SD AA =
0.25 IV
(1,0 điểm)
Do CC'/ /AA'Þ CC'/ /( ABB A' ' ) . Suy ra:
( ' , ') ( ',( ' ') ) ( ,( ' ' ) ) 21
7 a d A B CC =d CC ABB A =d C ABB A =CH =
0.25
(1,0 điểm) V
(1,0 điểm) Điều kiện: 2- £x£ Đặt 3 t= x+2+2 3 - vớix xỴ -[ 2, 3 ]
Ta có: ' 1 2
2 2 3
x x
t
x x x x
- - +
= - =
+ - + - ; 'y =0Û 3-x =2 x+2 Û x= -1
Bảng biến thiên:
Từ BBT suy ra: t éỴ ë 5,5 ù û
(5)Do 2
2 14
t= x+ + -x Û + -x x - x=t - nên phương trình trở thành: 2
2 14 t 14
t mt m
t
-
- = Û =
0.25
Xét hàm số ( )
2 14 t f t
t
-
= với t éỴ ë 5,5 ù û , ta có:
( ) ( )
2 2
14
' t 0, 5,5
f t t f t
t
+ é ù
= > " ẻở ỷị ngbintrờnộ 5,5ự
ở û
0.25
Phương trình có nghiệm thực Û ( ) 5 ( )5 11
5 5
f £m£ f Û - £m£ Vậy, phương trình có nghiệm thực khi 11
5 m 5
- £ £
0.25
1. (1,0 điểm)
Đường trịn (C’) có tâm O 0; 0 ( ) , bán kính R=OA= 3. Gọi H= ABI OM, do H là trung điểm của AB nên AH 12
5
= Suy ra: OH OA2 AH 2 9
= - = và
2 OA
OM 5
OH
= =
0.25
Đặt M( x y ; ) , ta có: ( )
2 2 2
M 18 65 0
OM 5 25
C x y x y
x y
ì Ỵ
ì + - - + =
ï ï
Û
í í
= + =
ï ï
ỵ ỵ
0.25
2 2
3 15 0 20 0
25 15 3
x y x x
x y y x
+ - =
ì ì - + =
Ûí Û í
+ = = -
ỵ ỵ
0.25
4 5
3 0
x x
y y
= =
ì ì
Ûí Ú í
= =
ỵ î
Vậy, trên (C) có hai điểm M thỏa đề bài là: M 4; 3 hoặc( ) M 5; 0 ( )
0.25
2.(1,0điểm)
Đường thẳng (d) đi qua điểm M( 0; 1;1 - ) và có VTCT ur = ( 1; 2;0 ) . Gọi nr = ( a b c, , ) là VTPT của (P) với a2+b2+c2 ¹ Do (P) chứa (d) nên: 0
2
u nr r = Ûa+ b= Ûa= - b (1) Phương trình (P) có dạng:
( 0) ( 1) ( 1) 0
a x- +b y+ +c z- = Ûax by+ +cz+ - =b c (2)
0.25
( ) 2
2 2 2
3 2
, ( ) 3 5
5
a b c b c
d A P b c b c
a b c b c
- + + +
= Û = Û = Û + = +
+ + +
0.25
( ) 2
2 2
4b 4bc c 2b c c 2 b
Û - + = Û - = Û = (3) 0.25
VI.a (2,0điểm)
Do b¹ 0 nên thay (1), (3) vào (2) ta được phương trình 2bx by 2bz b 2x y 2z 0
- + + - = Û - - + =
Vậy, phương trình (P) là: 2x- -y 2z+ =1 0
(6)(1,0 điểm)
Điều kiện: x< Ú0 x> 2
Bất phương trình đã cho tương đương với: ( 2 )
2 2
log 2x- ³1 log x - 2 x 2
2x x 2 x
Û - ³ -
0.25
Xét 2 trường hợp sau: 1) x< Ta được hệ: 0
2 2
0 0
1 0
1 2 1
x x
x
x x x x
< <
ì ì
Û Û - £ <
í í
- ³ - £
ỵ ỵ
0.25
2) x > Ta được hệ: 2 2 2 2
2 0
x x
x x x x x
> >
ì ì
Û
í í
- ³ - - + £
ỵ ỵ
2
2 3
2 3
x
x x
> ì ï
Ûí Û < £ +
- £ £ +
ï ỵ
0.25 VII.a
(1,0 điểm)
Vậy, nghiệm bất phương trình là 1- £x< Ú0 2<x£2+ 3 . 0.25 (1,0 điểm)
Tọa độ điểm N’ đối xứng với điểm N qua I là ' 35 N ổỗ ữ
ố ø
Đường thẳng AB đi qua M, N’ có phương trình: x-3y+ =2 0 Suy ra: ( , ) 2 4
10 10
IH =d I AB = - + =
0.25
Do AC = 2 BD nên IA= 2 IB. Đặt IB=x> 0 , ta có phương trình 2
2 2
1 5
2 2
4 8 x x
x + x = Û = Û =
0.25
Đặt B x y ( , ) . Do IB = 2 và BỴ AB nên tọa độ B là nghiệm của hệ:
( ) ( 2 ) 2 2
14
4 3
5 18 16 0
3 2 5
8 2
3 2 0
5 x
x
y y
x y
y x y
x y y
ì = ï
ì - + - = ì - + = ì = >
ï ï
Û Û Ú
í í í í
=
= -
- + = ỵ
ï ỵ ï
ỵ =
ï ỵ
0.25
DoBcúhonhnhhn3nờntachn 14 5 Bổỗ ÷
è ø
Vậy, phương trình đường chéo BD là: 7x- -y 18= 0
0.25
2.(1,0điểm) VI.b
(2,0điểm)
(7)( )
ABuuur = - +a 2b 3; 2a+ - + +b 3; a- + + b Do AB song song với (P) nên: ABuuur^nuur P =( 1;1; 2- ) Ûb= - a Suy ra: ABuuur =( a 5; a 1; 3- - - - )
0.25
Do đó: AB= ( a-5) ( 2+ - -a 1) ( ) 2+ -3 = 2a2 -8a+35= a( -2) 2 +27³ 3 Suy ra: AB 3 { a 2
b
=
= Û
= - , A ( 1; 2; 2 ) , AB = - - - ( 3; 3; 3 ) uuur
0.25
Vậy, phương trình đường thẳng (d) là: x y z 2
1 1
- - -
= = 0.25
(1,0 điểm)
Điều kiện: x > -1 và 1 2
x ¹ Khi đó: 0.25
Phương trình đã cho tương đương với : log3( x3 +1) =log3 éë2x-1( x+1 ) ù û
( )
3 2
1 1
1 1
x x x
x x x
Û + = - +
Û - + = -
0.25
· Với 1 2
x > thì ta được phương trình: 2 0 1
2 x x x
x
= é
- + = Û ê
= ë
0.25 VII.b
(1,0 điểm)
· Với 1 1 2 x
- < < thì ta được phương trình: x2 +x=0Ûx= 0 Vậy, phương trình có tập nghiệm: S = { 0;1; 2 }
0.25
http://boxmath.vn ới www.laisac.page.tl