Đường đối trung

ĐƯỜNG ĐỐI TRUNG A MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Các tốn hình học phẳng ln xuất kì thi tuyển chọn học sinh giỏi cấp Điều cho thấy phương pháp tư hình h ọc trọng việc rèn luyện phát triển tư sáng tạo bồi dưỡng học sinh giỏi Vì để góp phần vào việc bồi dưỡng học sinh giỏi phân mơn hình học, cần phải trạng bị cho học sinh kiến thức để có đủ sở cho việc tìm tịi lời giải tốn hình học hay khó kì thi phát triển khiếu hình học Trong tốn học nhiều vấn đề hình học tưởng chừng khác biệt thực lại có chất có mối liên hệ với Sau xin giới thiệu vấn đề liên quan đến “đường đối trung” yếu tố có nhiều tính chất đẹp tam giác số khái niệm liên quan tới nó, có nhiều ứng dụng vào giải tốn hình học phẳng, sáng tạo Mục đích nghiên cứu Trong viết tơi nhằm mục đích giới thiệu đường đối trung có nhiều ứng dụng việc chứng minh quan hệ hình học đường thẳng đồng quy, điểm thẳng hàng; chứng minh điểm thuộc đường thẳng cố định, đường thẳng qua điểm cố định chứng minh quan hệ hình học khác (đồng dạng, nhau, tính tỉ số,…), đồng thời phương pháp để sáng tạo toán Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Sáng kiến kinh nghiệm học sinh u thích mơn hình học, nhằm trang bị thêm kiến thức luận khoa học để tiếp cận giải tốn hình học phẳng, thơng qua tính chất đường đối trung Đồng thời đưa cách xây dựng tập hay khó từ tính chất đường đối trung phương pháp khác tạo đường đối trung Phương pháp nghiên cứu Đề tài nghiên cứu phương pháp phân tích, tổng hợp, khái quát hóa tương tự hóa Những điểm sáng kiến kinh nghiệm Đường đối trung tính chất tam giác có nhiều mối liên hệ tới vấn đề khác hình học như: đường đối song, tứ giác điều hòa, tam giác đồng dạng, giao điểm hai tiếp tuyến, Từ cách khác xác định đường đối trung có cách sáng tạo tốn khác B NỘI DUNG SÁNG KI ẾN KINH NGHI ỆM I Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm Đường đối trung Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AM, đường phân giác AL Điểm S thuộc cạnh BC Đoạn thẳng AS gọi đoạn đối trung tam giác ABC đường thẳng AS đối xứng với đường thẳng AM qua đường thẳng AL (ta gọi đường thẳng AS đường đối trung tam giác ABC) Một số tính chất đường đối trung 2.1 Dấu hiệu nhận biết đường đối trung theo tỉ số đoạn thẳng Trong tam giác ABC, đặt AB = c, AC = b; d ( X , l ) khoảng cách từ điểm X đến đường thẳng l Mệnh đề Điểm S thuộc cạnh BC tam giác ABC Khi mệnh đề sau tương đương: i) AS đường đối trung ii) d ( S , AB ) c = ; d ( S , AC ) b S ABS c = ; iii) SACS b d ( B, AS ) c = ; iv) d (C , AS ) b 2 BS c = v) CS b Chứng minh Đặt d c , db khoảng cách từ M đến AB, AC; d 'c , d 'b khoảng cách từ S đến AB, AC M trung điểm cạnh BC Ta có S ABM = S ACM ⇔ c.d c = b.db ⇔ db c = dc b Từ tỉ số sin tam giác vng ta có AS đường đối trung d' AS d 'c d' d c d' d · · = ⇔ c = b = , i ) ⇔ ii ) ⇔ b= c ⇔ b= SAC = MAB d c AM db d 'b d c b AS AM Hơn tam giác ABS tam giác ACS có chung đường cao hạ từ đỉnh A BS S ABS c.d 'c c = = = , iii) v) chứng minh CS S ACS b.d 'b b Hai tam giác ABS tam giác ACS có chung cạnh đáy AS, d ( B,AS) S ABS c.d 'c c = = = , iv) chứng minh d (C ,AS) S ACS b.d 'b b Ngược lại có v) suy có ii) dễ thấy điều kiện từ ii) đến v) xác định điểm S thuộc đoạn BC, điều kiện ii), iii), iv), v) tương đương Hệ Trong tam giác ba đường đối trung đồng quy điểm 2.2 Đường đối trung coi điểm quỹ tích điểm Đường thẳng qua đỉnh A tam giác ABC cắt cạnh BC R S điểm thuộc đường thẳng AR ( S ≠ A), ta có S ABS S ABR d ( B,AS) = = SACS S ACR d (C ,AS) · Mệnh đề Điểm S nằm BAC góc đối · đỉnh với BAC ( S ≠ A) Ta có khẳng định sau tương đương: i) Đường thẳng AS đường đối trung; ii) d ( S , AB ) c = ; d ( S , AC ) b iii) S ABS c = ; SACS b d ( B, AS ) c = iv) d (C , AS ) b Một số khái niệm liên quan đến đường đối trung 3.1 Mối liên hệ đường đối trung đường đối song 3.1.1 Đường đối song Các điểm B1 , C1 thuộc đường thẳng AB, AC Đường thẳng (đoạn thẳng) B1C1 gọi đối song với đường thẳng (đoạn thẳng) BC cặp đường thẳng AB AC (hay góc BAC), ·AC1 B1 = ·ABC (hình vẽ) (gọi tắt B1C1 đối song với BC) 3.1.2 Một số cách xác định đường đối song Cho tam giác ABC, điểm B1 ∈ AB, C1 ∈ AC ( B1 , C1 ≠ A) a) Đường thẳng B1C1 đối song với đường thẳng BC tam giác ABC tam giác AC1 B1 đồng dạng b) Các điểm B1 , C1 , B, C phân biệt Chứng minh đường thẳng BC đối song với đường thẳng B1C1 điểm B1 , C1 , B, C thuộc đường trịn Trường hợp: C1 ≡ C , đường trịn ( BB1C ) tiếp xúc với AC B1 ≡ C1 ≡ A, tiếp tuyến đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC A đường đối song với đường thẳng BC c) Với BB1 , CC1 đường cao tam giác ABC, B1C1 đối song với BC d) Các điểm B ' ∈ AB, C ' ∈ AC , cho B ' C '// BC Khi B1C1 đối song với BC B1C1 đối song với B ' C ' Nhận xét Đường thẳng B1C1 đối song với đường thẳng BC cặp đường thẳng AB, AC B1C1 song song với đường thẳng đối xứng với đường thẳng BC qua phân giác góc tạo hai đường thẳng AB AC Mệnh đề Trong tam giác ABC, B1 ∈ AB, C1 ∈ AC Đường thẳng B1C1 đối song với đường thẳng BC · đường đối trung BAC AS tam giác ABC chia đôi đoạn B1C1 Chứng minh Gọi AM đường trung tuyến tam giác ABC Gọi đoạn B2C2 · đối xứng với đoạn B1C1 qua phân giác BAC Thế B2C2 // BC Gọi K trung điểm B2C2 K ∈ AM Gọi K1 điểm đối xứng với K qua phân giác · BAC , K1 trung điểm B1C1 · AK = C · AK ⇔ ·AC K = ·ABC ⇔ B C đối Ta có K1 thuộc AS C 1 2 1 1 song với BC Nhận xét Trung tuyến AM tam giác ABC đường đối trung tam giác AB1C1 3.2 Đường đối trung với tam giác đồng dạng · Mệnh đề Điểm X nằm BAC cho · · BAX = ·ACX , CAX = ·ABX , X thuộc đường đối trung qua đỉnh A Chứng minh Ta có d ( X , AB ) c = (đpcm) d ( X , AC ) b Nhận xét Với điểm X thỏa mãn mệnh đề thì: ∆ABX : ∆CAX ( g − g ) ⇒ · AX chứa đường phân giác BXC Điểm X thuộc đường tròn ngoại tam giác BOC (O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC) 3.3 Đường đối trung với tứ giác điều hòa 3.3.1 Tứ giác điều hòa Một tứ giác nội tiếp gọi tứ giác điều hòa có tích cặp cạnh đối diện Mệnh đề Tứ giác nội tiếp ABCD tứ giác điều hòa AD đường đối trung tam giác ABC Chứng minh Theo tính chất iii) mệnh đề ta có AD đường đối trung tam giác ABC AB S ABD AB BA.BD.sin ·ABD AB BD = ⇔ = ⇔ = 2 AC S ACD AC AC CD CA.CD.sin ·ACD ⇔ AB.CD = AD.BC 3.3.2 Một số tính chất tứ giác điều hịa Điểm D nằm cung BC khơng chứa A đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh điều kiện sau tương đương: a) ABDC tứ giác điều hòa; b) · · Phân giác góc BAC cắt điểm thuộc đoạn BC; , BDC b’) Phân giác góc ·ABD, ·ACD cắt điểm thuộc đoạn AD; c) Điểm D nằm đường tròn Apollonius dựng đoạn BC qua điểm A; d) Đường chéo AD đường đối trung tam giác ABC (hoặc tam giác BDC); d’) Đường chéo BC đường đối trung tam giác ABD (hoặc tam giác ACD); e) Tam giác BDC đồng dạng với tam giác BKA (hoặc tam giác AKC) K trung điểm AD f) Đường đối trung AS tam giác cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC S Chứng minh điểm X xác định mệnh đề thuộc AD HD Sử dụng điều kiện e) Mệnh đề Tam giác ABC có đường trung tuyến AM, điểm D thuộc đường tròn ngoại tiếp Đường thẳng AD đường đối trung tam giác ABC ·AMB = BMD · Chứng minh Áp dụng điều kiện e) 3.4 Đường đối trung với tiếp tuyến Mệnh đề Các tiếp tuyến B, C đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt P Chứng minh AP đường đối trung tam giác ABC Chứng minh Cách Ta có · S ABP BA.BP.sin ABP = S ACP CA.CP.sin ·ACP = BA.BP.sin ·ACB AB = CA.CP.sin ·ABC AC theo tính chất iii) mệnh đề 2, suy AP đường đối trung tam giác ABC Cách Gọi D, E giao điểm AB, AC với đường trịn tâm P bán kính PB Theo mệnh đề 3, ta cần chứng minh AP trung tuyến tam giác ADE Thật ta có ( ) · · · · DBE = DAE + ·AEB = BOC + BPC = 900 , nên DE đường kính P trung điểm DE II Một số toán xác định đường đối trung Trong tam giác ABC vuông C, đường cao CH đường đường đối trung · HD: ·ACH = ·ABC = BAM SCAH CA2 = Cách khác: ∆ACH : ∆CBH ⇒ SCBH CB AA1 , CC1 đường cao tam giác ABC cắt H B0 trung điểm cạnh AC Chứng minh đường thẳng đối xứng với BB0 , HB0 qua đường phân giác góc ·ABC , ·AHC cắt điểm thuộc AC 1 BB0 đường Chứng minh Ta có AC 1 đối song với AC, nên theo mệnh đề 3, BB0 đối xứng với đường đối trung tam giác BAC 1 Suy đường thẳng thẳng BM qua phân giác ·ABC (trong M trung điểm AC 1 ) Cũng từ AC 1 đối song với AC, nên theo mệnh đề 3, đường đối trung qua đỉnh H tam giác AHC qua trung điểm M AC 1 Từ suy điều phải chứng minh Cho tam giác ABC, đường tròn ω1 qua A, B tiếp xúc với AC; đường tròn ω2 qua A, C tiếp xúc với AB Chứng minh đường thẳng qua giao điểm ω1 ω2 đường đối trung tam giác ABC HD: Áp dụng mệnh đề 4, cho ∆ADB : ∆CAD Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ω , Tiếp tuyến B đường tròn ω cắt đường thẳng AC K KD tiếp tuyến thứ hai đường tròn ω Chứng minh BD đường đối trung tam giác ABC HD: ABCD tứ giác điều hòa Các đường phân giác đỉnh A tam giác ABC cắt cạnh BC D, E tương ứng Đường trịn đường kính DE cắt đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC A, X Chứng minh AX đường đối trung tam giác ABC Lời giải: Cách Gọi P giao điểm tiếp tuyến A đường trịn (ABC) với BC Khi P tâm đường tròn (ADE) (đường tròn A- Apollonius tam giác ABC qua đỉnh A dựng đoạn BC) Do AB XB = , suy tứ giác ABXC tứ giác điều hòa nên AX đường đối AC XC trung tam giác ABC Nhận xét AX trục đẳng phương đường tròn A- Apollonius đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Cách Gọi T giao điểm AX BC, suy TB XB sin ·AXB AB sin ·AXB = = Nhưng ·AXB = ·ACB ·AXC = ·ABC Do · · TC XC sin AXC AC sin AXC TB AB = suy điều phải chứng minh TC AC (ARMO 2010) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O AO cắt BC D Gọi H1 , H trực tâm tam giác ABD, ACD S tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DH1 H Chứng minh AS đường đối trung tam giác ABC Lời giải: Không tổng quát giả sử AB < AC Xét hai tam giác ABC tam giác DH1 H , chúng có cạnh tương ứng vng góc, suy ∆ABC : ∆DH1 H Tiếp tuyến đường tròn (O) A cắt BC E, suy E tâm đường tròn Apollonius qua đỉnh A tam giác ABC dựng đoạn BC (A- Apollonius) · · ta có ·ADH1 = EAB = ·ACB = DH A ⇒ AD tiếp tuyến đường tròn ( DH1 H ) Suy ∆EAO : ∆ADS , mà A, O, D thẳng hàng nên EO ⊥ AS Do AS trục đẳng phương đường tròn (O) đường tròn A- Apollonius tam giác ABC, nên theo suy AS đường đối trung tam giác ABC 10 HD: AH, AO đẳng giác ·ACB, AM đối trung tam giác CHF Suy CH MH R = = ⇒ CH = R 2, OM = ⇒ ·AOB = 900 ⇒ ·ACB = 450 CF MF 2 19 Một đường thẳng d qua đỉnh A tam giác ABC song song với BC Đường đối trung qua đỉnh B tam giác ABC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC D Đường thẳng CD cắt đường thẳng d X Chứng minh ·ABC = ·AMX (M trung điểm cạnh AC) HD: Gọi E = XM ∩ BC ⇒ AECX hình bình hành, suy ABEM nội tiếp, · ·ABC = EMC = ·AMX 20 Cho tam giác ABC Gọi ω1 đường tron qua A, C tiếp xúc với AB, ω2 đường tròn qua A, B tiếp xúc với AC ω1 , ω2 cắt A, P Chứng minh AP đường đối trung tam giác ABC AP cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Q P trung điểm AQ 36 HD: ∆ PBA : ∆ PAC ( g − g ) ⇒ AP đường đối trung (mệnh đề 4), suy ABQC · · tứ giác điều BPQ = QPC ⇒ P trung điểm AQ 21 (Balkan 2017) Cho tam giác nhọn ABC với AB < AC có ω đường trịn ngoại tiếp Gọi L giao điểm giao điểm tiếp tuyến t B tC B C đường tròn ω Đường thẳng qua B song song với AC cắt tC D Đường thẳng qua C song song với AB cắt t B E Đường tròn ngoại tiếp tam giác BDC cắt lại AC T; T nằm A C Đường tròn ngoại tiếp tam giác BEC cắt lại AB S; B nằm S A Chứng minh ST , AL, BC đồng quy Lời giải Điểm L giao điểm tiếp tuyến B, C đường tròn ω , nên AL đường đối trung tam giác ABC (1) 37 · Ta có CE / / AB ⇒ BEC = 180° − ·ABE = ·ACB , suy AC tiếp tuyến · đường tròn (BEC), nên SC đối song với BC BAC (2) · Chứng minh tương tự ta có BT đối song với BC BAC (3) Từ (1), (2) (3) suy AL qua trung điểm BT, SC (4) Từ (2) (3) ta có SC, BT đối song với BC, suy BT // SC, SBTC hình thang (5) Từ (4) (5) theo bổ đề hình thang, ta có ST , AL, BC đồng quy 22 Cho tam giác ABC điểm P không nằm đường thẳng chứa cạnh tam giác Các đường thẳng AP, BP, CP cắt lại đường thẳng BC, CA, AB tương ứng A’, B’, C’ Gọi Q giao điểm thứ hai đường tròn ngoại tiếp tam giác PBC’, PCB’ giả sử Q nằm góc BPC góc đối đỉnh với góc BPC Chứng minh PQ đường đối trung tam giác BPC A’ trung điểm BC HD Ta áp dụng bổ đề sau Bổ đề Cho hai đường tròn (O1 ), (O2 ) cắt hai điểm phân biệt A, B Với điểm M thuộc (O1 ), N thuộc (O2 ) Khi điều kiện sau tương đương : i) M , B, N thẳng hàng uuuu r uuuur uuuu r uuur ii) AO1 , AO2 ≡ AM , AN (mod 2π ) ( ) ( ) 38 iii) Các tam giác AMN AO1O2 đồng dạng hướng Trở lại toán Do B, P, B’ thẳng hàng C, P, C’ thẳng hàng, nên theo bổ đề suy ∆QBB ' : ∆QC ' C Bởi gọi X, Y hình chiếu Q đường thẳng BB’, CC’ PQ đường đối trung tam giác BPC QX PB BB ' PB = Điều tương đương = QY PC CC ' PC (vì ∆QBB ' : ∆QC ' C ) tương đương với B ' C '// BC Mặt khác áp dụng định lý ceva cho tam giác ABC, với ba đường thẳng đồng quy AA’, BB’, CC’ ta A’ trung điểm BC 23 (Olympic hình học Nga, 2014) Cho đường tròn ω dây cung AB cố định W trung điểm cung nhỏ AB Điểm C tùy ý cung lớn AB Tiếp tuyến đường tròn ω C cắt tiếp tuyến A, B đường tròn ω X, Y WX, WY cắt AB N, M Chứng minh độ dài đoạn MN không phụ thuộc vào vị trí điểm C · Lời giải Gọi T giao điểm WC với AB Từ WAT = ·ACW ⇒ AT đường đối song góc AWC XA, XC tiếp tuyến dường tròn ω , nên WX đường đối trung tam giác AWC, Do N trung điểm AT Chứng minh tương tự ta có M trung điểm BT, MN = 39 AB Cách Xét đường tròn ϖ , tiếp xúc với ω C tiếp xúc với AB T Ta có ∆WAT ∼ ∆WCA ( g − g ) ⇒ WA2 = WT WC XA = XC suy WX trục đẳng phương đường tròn điểm A đường trịn ϖ Do WX qua trung điểm N đoạn AT Chứng minh tương tự ta có WY qua trung diểm M đoạn BT Vậy MN = AB IV SÁNG TẠO BÀI TỐN Áp dụng tính chất đường đối trung cách xác định đường đối trung tốn mục II sáng tạo bày tốn hay khó Chẳng hạn từ từ mệnh đề 7, ta có tốn sau Bài 1.1 Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn (O), đỉnh A cố định hai đỉnh B, C thay đổi cho BC không đường kính BC ln song song với đường thẳng cố định Các tiếp tiếp đường tròn (O) B, C cắt K Gọi M trung diểm BC, N giao điểm thứ hai AM với (O) Chứng minh đường thẳng KN qua điểm cố định 40 HD: Từ giả thiết suy MK trung trực dây cung BC đường thẳng MK cố định Gọi P điểm đối xứng với N qua MK P thuộc đường tròn (O), suy · · · BAP = NAC = MAC ⇒ AP đường đối trung tam giác ABC, mà AK đường đối trung tam giác ABC, suy A, P, K thẳng hàng Do hai đường thẳng KA, KD đối xứng qua MK, suy A D đối xứng qua MK, suy AD song song với BC Do điểm D cố định, nên đường thẳng KN qua điểm D cố định Bài 1.2 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ω Các tiếp tuyến B, C đường tròn ω cắt P AP cắt BC D, đường thẳng qua D song song với AB, AC cắt AC, AB E, F Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp đường trịn HD: Ta có · · AF sin CAD AC sin BAM = , = AD đường đối trung tam · · AE sin BAD AB sin CAM · · · · giác ABC, suy CAD = BAM , BAD = CAM Từ AF AC = ⇒ AF AB = AE AC , suy tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn AE AB Bài 2.1 Cho tam giác ABC điểm D nằm cạnh BC Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD cắt lại AC E đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD cắt lại AB F Chứng minh DE = DF AD đường đối trung tam giác ABC Lời giải 41 A F E B D C · · Do tứ giác AFDC nội tiếp nên FDB suy tam giác BDF đồng dạng với = BAC tam giác BAC nên ta được: DF DB DF AB = ⇒ DB = (1) AC AB AC · Tương tự ta tứ giác ABDE nội tiếp nên DEC = ·ABC suy tam giác CED đồng dạng với tam giác CBA nên ta được: DE DC DE AC = ⇒ DC = (2) AB AC AB DB  AB  DF = Do từ (1) (2) ta có ÷ DC  AC  DE DB Từ (3) ta có DE = DF ⇔ DC (3)  AB  = ÷ ⇔ AD đường đối trung tam giác ABC  AC  Nhận xét Nếu AD đường đối trung DE = DF EF // BC Thật vậy, từ tam giác BDF đồng dạng với tam giác BAC tam giác CED đồng dạng với tam giác CBA ta được: EC DE BF DF EC AC EC BF = , = ⇒ = ⇒ = ⇒ EF // BC BC AB BC AC BF AB AC AB Từ EF // BC , suy BFEC hình thang, kết hợp với bổ đề hình thang ta có tập sau: Bài 2.2 Cho tam giác ABC AD đường đối trung tam giác ABC (D nằm cạnh BC) Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD cắt lại AC E đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD cắt lại AB F Chứng minh đường thẳng EF song song với đường thẳng BC Bài 2.3 Cho tam giác ABC AD đường đối trung tam giác ABC (D nằm cạnh BC) Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD cắt lại AC E đường 42 tròn ngoại tiếp tam giác ACD cắt lại AB F Gọi P giao điểm đường thẳng BE đường thẳng CF Chứng minh AP qua trung điểm BC Bài 2.4 Cho tam giác ABC điểm D nằm cạnh BC Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD cắt lại AC E đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD cắt lại AB F Gọi P giao diểm BE CF Chứng minh EF song song với · · BC BAD = CAP Từ 11, mục II, ta có tốn sau Bài 3.1 Cho tam giác ABC, điểm M N di chuyển đường thẳng AB AC ( M , N ≠ A), cho MN song song với BC Gọi P giao điểm BN CM Đường tròn ngoại tiếp tam giác BMP CNP cắt hai điểm phân biệt P Q Khi điểm Q di chuyển đường thẳng cố định Lời giải Do B, Q, P, M nằm đường tròn C , Q, P, N nằm đường tròn, nên ( BQ ; BM ) ≡ ( PQ ; PM ) ≡ ( PQ ; PC ) ≡ ( NQ ; NC ) ( MQ ; MB ) ≡ ( PQ ; PB) ≡ ( PQ ; PN ) ≡ (CQ ; CN ) ( mod π ) ( mod π ) Từ suy ∆BQM ~ ∆NQC (2) Gọi I J theo thứ tự hình chiếu Q đường thẳng BM CN Khi đó, (2) nên QI MB AB = = QJ NC AC (do MN // BC ) Từ đó, theo tính chất đường đối trung, Q nằm đường đối trung kẻ từ A tam giác ABC 43 Nhận xét Đường thẳng IJ vng góc với trung tuyến AL tam giác ABC Thật vậy, tứ giác AIQJ nội tiếp nên ·AQI = ·AJI , kết hợp với AQ đường đối · · · · = LAJ trung nên QAI Do LAJ + ·AJI = QAJ + ·AQI = 900 ⇒ IJ ⊥ AL Nếu ta gọi B', C' điểm đối xứng Q qua đường thẳng AC, AB IJ đường trung bình tam giác QB'C' nên AL vng góc với B'C' Mặt khác AB ' = AQ = AC ', nên AL đường trung trực B'C' Từ nhận xét ta thu toán sau: Bài 3.2 Cho tam giác ABC, điểm M N di chuyển đường thẳng AB AC cho MN // BC Gọi P giao điểm BN CM Đường tròn ngoại tiếp tam giác BMP CNP cắt hai điểm phân biệt P Q Gọi I, J hình chiếu vng góc Q lên đường thẳng AB, AC Khi đường thẳng IJ vng góc với đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A tam giác ABC Bài 3.3 Cho tam giác ABC, điểm M N di chuyển đường thẳng AB AC cho MN // BC Gọi P giao điểm BN CM Đường tròn ngoại tiếp tam giác BMP CNP cắt hai điểm phân biệt P Q Gọi A', B', C' điểm đối xứng Q qua đường thẳng BC, CA, AB Khi tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác AB'C' nằm đường thẳng cố định 44 HD: Tam giác AB’C’ cân A, nhận AQ trung trực, nên tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AB'C' nằm đường thẳng AQ (là đường đối trung tam giác ABC) Sáng tạo toán vế đường thẳng qua điểm cố định, ba diểm thẳng hàng Vì đường đối trung ln qua giao điểm hai tiếp tuyến (tại hai đỉnh) đường tròn ngoại tiếp tam giác, nên từ cách xác định đường đối trung mục III, sáng tạo toán đường thẳng qua điểm cố định chứng minh ba điểm thẳng hàng Sau số ví dụ Từ 19, mục II, ta có tốn sau Bài 4.1 (Từ 14, mục II) Cho đường tròn (O), dây cung BC cố định khơng đường kính Điểm A thay đổi cung lớn BC cho tam giác ABC nhọn, BE, CF đường cao M trung điểm cạnh BC, AM cắt EF P X hình chiếu P BC Chứng minh AX qua điểm cố định Tiếp tục ý tưởng tạo toán đường thẳng qua điểm cố định Bài 4.2 (Từ 24, mục II) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), với hai đỉnh B, C cố định BC khơng đường kính Đỉnh A thay đổi (O); BE, CF hai đường cao tam giác ABC Gọi Y, Z trung điểm CE, BF P điểm tùy ý đường trung trực BC Các đường vng góc kẻ từ B, C đến PZ, PY tương ứng cắt Q Chứng minh AQ qua điểm cố định HD: Điểm cố định giao điểm hai tiếp tuyến B, C đường tròn (O) 45 Bài 4.3 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) với hai đỉnh B, C cố định, đỉnh A thay đổi cho tam giác ABC nhọn thỏa mãn · AB ≠ AC BAC > 450 Dựng phía ngồi tam giác ABC hình vng ABKL, ACMN Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ALN Chứng minh đường thẳng AO qua điểm cố định Lời giải: Gọi S giao điểm hai tiếp tuyến B, C đường tròn (O), suy S cố định AS đường đối trung tam giác ABC O thuộc đường trung trực đoạn AL, AN Suy d ( S , AB ) AB AL d (O, AB ) = = = d ( S , AC ) AC AN d (O, AC ) Do A, O, S thẳng hàng Vậy AO qua điểm S cố định Từ ba đường đối trung tam giác đồng quy, sáng tạo toán chứng minh đồng quy từ đường đối trung Chẳng hạn từ 5, mục II, ta có tốn sau Bài 5.1 Các đường phân giác đỉnh A tam giác ABC cắt cạnh BC A1 , A2 tương ứng Đường trịn đường kính A1 A2 cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC A, A3 Các điểm B3 , C3 xác định tương tự Chứng minh đường thẳng AA3 , BB3 , CC3 đồng quy Cũng từ Chẳng hạn từ 6, mục II, ta có tốn sau Bài 5.2 Cho tam giác nhọn ABC, nội tiếp đường tròn tâm O AO cắt BC A0 Gọi A1 , A2 trực tâm tam giác ABA0 , ACA0 A3 tâm đường tròn 46 ngoại tiếp tam giác A0 A1 A2 Các điểm B3 , C3 xác định tương tự Chứng minh đường thảng AA3 , BB3 , CC3 AS đồng quy Bài 5.3 Cho tam giác ABC Đường tròn (Oab ) qua B, tiếp xúc với AC A Đường tròn (Oac ) qua C tiếp xúc với AB A Hai đường tròn (Oab ), (Oac ) cắt điểm thứ hai A’ Các điểm B’, C’ xác định tương tự Chứng minh đường thẳng AA’, BB’, CC’ đồng quy Lời giải Gọi D, E tương ứng hình chiếu vng góc A’ AB, AC Từ giả thiết suy · BAA ' = ·A ' CA, ·A ' BA = ·A ' AC Suy ∆A ' AB : ∆ACA ' Từ A ' D AB = ⇒ A ' thuộc đường đối trung qua đỉnh A tam giác ABC A ' E AC Chứng minh tương tự ta có BB’, CC’ đường đối trung tam giác ABC, AA’, BB’, CC’ đồng quy Cũng từ 5, mục II, ta có tốn sau Bài 5.4 Các đường phân giác đỉnh A tam giác ABC cắt cạnh BC D, E tương ứng Đường trịn đường kính DE cắt đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC A, F 47 AF cắt BC A’, đường tròn ngoại tiếp tam giác ACA’ cắt lại AB N, đường tròn ngoại tiếp tam giác ABA’ cắt lại AC M Gọi P, Q trung điểm AM, AN Chứng minh đường thẳng AA’, BQ, CP đồng quy HD: Theo 5, AA’ đường đối trung tam giác ABC Theo giả thiết A’N, A’M đường đối song với AC, AB, mà Q, P trung điểm A’N, A’M Do BQ, CP đường đối trung tam giác ABC Vậy AA’, BQ, CP đồng quy C KẾT QUẢ KIỂM NGHIỆM Sáng kiến kinh nghiệm dược áp dụng vào giảng dạy cho em học sinh chun Tốn niên khóa 2020 - 2023, với thời gian ba buổi học Các em học sinh vào học lớp 10 chuyên Toán thường bị động với tốn hình học có yếu tố đường đối trung 12, mục III tài liệu này, kiểm tra có 1/3 (trong tổng số 70 HS) em giải tốn cịn lại em khơng giải chọn vẹn toán chưa định hướng cách tiếp cận để giải tốn Sau em học tính chất đường đối trung sáng kiến nhiều tốn hình học có nội dung liên quan tới đường đối trung (mức độ bậc THCS) em có hướng để giải quết tốt toán 90% em giải qua kiểm tra 17, 18, 21, mục III tài liệu (có 70% HS giải chọn vẹn tập này) Sau em học sinh học đường đối trung khái niệm liên quan, em nói thân thấy tự tin thích thú học mơn hình học Đối với em học sinh chun tốn khơng phải mục đích giải nhiều toán tương tự, mà Toán em giải phải suy luận kiến thức sở nào? Chính nội dung sáng kiến kinh nghiệm nhằm trang bị cho em kiến thức đường đối trung để nâng cao thêm vốn kiến thức, làm sở cho phương pháp tìm tịi lời giải tốn có kiến thức liên quan 48 D KẾT LUẬN Hằng năm vào đầu năm học em học sinh thi đậu vào lớp 10 trường THPT chuyên Lam Sơn, tổ chức ôn tập để bổ sung thêm kiến thức cần thiết, chuẩn bị tốt cho việc học môn chuyên với kiến thức chuyên sâu học sinh THPT không chuyên Nội dung viết nhằm trang bị cho em số tính chất ứng dụng đường đối trung kiến thức THCS Do viết giới thiệu cho học sinh cuối cấp bậc học THCS Qua số toán nêu liên quan đến đường đối trung, thấy với cách tạo đường đối trung với cấu hình khác có tốn khác hay đẹp Tơi mong trao đổi với đồng nghiệp nội dung viết để giới thiệu đến em học sinh đam mê mơn hình học từ cấp học THCS TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Tạp chí KBAHT [2] Art of Problem Sloving / http://www.artofproblemsolving.com/community [3] The Triangles Web / http://www.xtec.cat/qcastell/ttw/ttweng/protada.html [4] Geometrikon / http://www.math.uoc.rg/pamfilos/eGallery/Gallery.html [5] Đoàn Quỳnh (chủ biên), Tài liệu giáo khoa chuyên Toán, Nhà xuất Giáo dục, 2010 [6] Tạp chí hình học Sharyghin 49 XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 15 tháng năm 2021 Tơi cam đoan SKKN không chép nội dung người khác Nguyễn Văn Nhiệm 50 ... quan đến đường đối trung 3.1 Mối liên hệ đường đối trung đường đối song 3.1.1 Đường đối song Các điểm B1 , C1 thuộc đường thẳng AB, AC Đường thẳng (đoạn thẳng) B1C1 gọi đối song với đường thẳng... thẳng AS gọi đoạn đối trung tam giác ABC đường thẳng AS đối xứng với đường thẳng AM qua đường thẳng AL (ta gọi đường thẳng AS đường đối trung tam giác ABC) Một số tính chất đường đối trung 2.1 Dấu... kính đường trịn ω giao điểm P tiếp tuyến kẻ từ M, K đường tròn ω thuộc đường đối trung tam giác AMK, nên đường đối trung AP tam giác AKM qua trung điểm BC Do tiếp tuyến M, K đường tròn ω trung