De thi DH Khoi AB lan 2 THPT Vinh Chan

Viết phương trình chính tắc của elip (E) có tiêu điểm trùng với tiêu điểm của (H) và ngoại tiếp hình chữ nhật cơ sở của (H).. 2..[r]

Së GD & §T Phó Thä

Trờng THPT Vĩnh Chân Đề thi thử ĐH , CĐ môn Toán lần Năm 2012Thời gian : 180 phút Đề bài:

Phần chung cho tất thí sinh ( điểm ) Câu 1 (2 điểm): Cho hàm sè:

3

1

( 1)

3

y x  m x  mx

(1) 1) Khảo sát – vẽ đồ thị hàm số m =

2) Tìm giá trị tham số m để hàm số có cực đại A cực tiểu B cho xA  1 xB và đờng thẳng qua hai điểm cực trị tạo với trục Ox mt gúc 450.

Câu 2 (2 điểm) 1) Giải phơng trình lợng giác : sin 2xcos 2x1 (4 3)cosx3sinx2 2) Giải hệ phơng trình :

3 2

2

2 10

3

x y x y xy

x y x y

    

 

    

 

C©u 3 (1 điểm) Tính tích phân sau :

 

2

3

1

4ln ln

ln 3ln

e

x x dx

x x x

 

 



C©u 4 (1 ®iĨm) Cho khèi chãp S.ABC cã SA  (ABC); Tam giác ABC vuông B SA = BC = 3a; AB = 4a LÊy ®iĨm M  SB cho

SM

MB3 Mặt phẳng () chứa AM song song với BC, cắt SC t¹i P TÝnh thĨ tÝch khèi chãp A.MPCB

Câu 5 (1 điểm) Cho a; b; c sè thùc d¬ng CMR:

3 3

    

a b c

a b c bc ca ab

Phần riêng ( điểm) Thí sinh đợc chọn hai phần: Phần phần 2: Phần 1:(Theo chương trỡnh Chuẩn)

Câu 6a (2 điểm) 1.Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho cho hai đường thẳng d1 :2x y50

d2: 3x +6y – = Lập phương trình đường thẳng qua điểm P( 2; -1) cho đường thẳng cắt hai đường thẳng d1 d2 tạo tam giác cân có đỉnh giao điểm hai đường thẳng d1, d2

2 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho điểm A( 1; -1; 2), B( 1; 3; 2), C( 4; 3; 2),

D( 4; -1; 2) mặt phẳng (P) có phương trình:xyz 20 Gọi A’là hình chiêú A lên mặt phẳng Oxy Gọi ( S) mặt cầu qua điểm A’, B, C, D Xác định toạ độ tâm bán kính đường trịn (C) giao (P) (S)

Cõu 7a (1 điểm) Tìm quỹ tích điểm M biểu diễn số phức Z hệ toạ độ Oxy biết: mô đun số phức ( 1+ i)z

Phần 2: (Theo chương trình Nâng cao)

Câu 6b (2 điểm) 1.Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho Hypebol (H) có phương trình:

1 16

2

  y x

Viết phương trình tắc elip (E) có tiêu điểm trùng với tiêu điểm (H) ngoại tiếp hình chữ nhật sở (H)

2 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho  P :x2y z50 đường thẳng

1

3 : )

(d x y z

, điểm A( -2; 3; 4) Gọi  đường thẳng nằm (P) qua giao điểm ( d) (P) đồng thời vng góc với d Tìm  điểm M cho khoảng cách AM ngắn

Câu 7b (1 điểm):

Giải hệ phương trình    

   



  



1

3

2 2

2

3

1

x xy x

x y y

x

-

Đáp án Thang điểm

Câu Nội dung Điểm

1

1) Khi m = ta cã

3

1

3

y x  x 

TX§ : D = R Sù biÕn thiªn: cã y’ = x2 – 2x =  x =  x = 2

y’ >  x ( - ; 0)  (2 ; +) nên hàm số đồng biến  x ( - ; 0) (2 ; +) y’ <  x ( ; 2) nên hàm số nghịch biến  x ( ; 2)

Hàm số đạt cực đại

1

x y

   

 

 vµ cùc tiĨu t¹i

2

x y

  

 

Giíi h¹n vô cực: xLim y ; x Lim y Bảng biến thiên:

x - + y’ + - +

y +

1

- -

VÏ: cã y” = 2x - =  x =

1

y

Đồ thị hàm số nhËn ®iĨm

1 1;

3

I  

  làm tâm đối xứng

Cho x = -1  y = -1 vµ cho x =

1

y

 

( Học sinh vẽ đúng, xác, đầy đủ điểm biểu diễn )

0,25

0,25

0,25

0,25

1

2) Ta cã : y’ = x2 – 2(m+1)x + 4m =  x =  x = 2m V× xA < < xb  2m < 

1

m

Khi :

 

3

4 12

2 ; ; 2;

3

m m

A m     B m

  Ta cã :

3

2( 1); ( 1)

AB  m m 

 



Để đờng thẳng qua hai điểm cực trị tạo với trục Ox góc 450 thì:

2

2

1 ( 1)

3

AB AB y

hay m m

x



    





0,25 0,25

0,25

0,25

2

1) Đa đợc phơng trình dạng tích :

2cos 3  sin cos 2

2cos 6

;

3 sin cos 2

3

x x x

x k

x

k l Z

x x x l

  



   



  

  

    

  

  



0,5

0,5

2) Cộng tơng ứng hai vế hai phơng trình ta đợc:

(x 2y1)(x2y23) 0  x 2y 1 x2y2 3 Ta có đợc hệ sau :

2

2 (1)

3 (2)

x y

x y x y

  

 

    



Cách 2: Đặt

Câu Nội dung §iĨm

2

Tõ (1) ta thÕ x = 2y – vµo (2) :    

2 2

2y1 y 3 2y  6y 0

2

5

5

y y y y

       

Víi y = -1 ta cã x = -3 Víi

9

y

ta cã

13

x

VËy hƯ cã nghiƯm lµ

 

13

; ; 3; 5

 

 

 

0,25

0,25

3

Đặt ln

dx t x dt

x

  

ta có đợc :

I =

   

0

3 2

1

4

3 ( 1)( 2)

t t dt t t dt

t t t t

 

   



   

 

2

0

1

1 ( 2)

8

ln 3ln 2 ln

2

dx

t t t

t t

t





 

    

  

 

 

       



 



0,25 0,25 0,25

0,25

4

Ta cã SB SA2AB2 5a mµ:

2

3

SM

SM SB MB

Mặt khác ta cã :

2

||

3

SP

MP BC SP SC

PC

   

ThÓ tÝch khèi chãp S.ABC:

3

1

6

S ABC

V  AB AC SA a

S

A B

C M

P

V hỡnh ỳng

Mặt khác ta có:

3

4 24

25 25 25

S AMP

S AMP S ABC S ABC

V SM SP

V V a

V SB SC    

VËy :

3

126 25

S ABC

V  a

0,25

0,25

0,25

0,25

5 áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số không âm ta đợc:

3 3

3 3

  

  

   b

a c b ac

c

b a c ba

a

b c a bc

Céng t¬ng øng ta cã ®pcm

0,5

0,25 0,25

1)Cách 1: d1 có vectơ phương a1(2;1); d2 có vectơ phương a2(3;6) Ta có: a1.a2 2.3 1.60 nên d1d2 d

1 cắt d2 điểm I khác P Gọi d

đường thẳng qua P( 2; -1) có phương trình:

0 B A By Ax ) y ( B ) x ( A :

d         

0,25

6a d2) góc 45                  A B B A B AB A 45 cos ) ( B A B A

2 0 2 2

2

2

* Nếu A = 3B ta có đường thẳng d:3xy 50 0,25

* Nếu B = -3A ta có đường thẳng d:x 3y 50

Vậy qua P có hai đường thẳng thoả mãn yêu cầu toán d:3xy 50 y x :

d   

0,25

Cách 2: Gọi d đường thẳng cần tìm, d song song với đường phân giác đỉnh giao điểm d1, d2 tam giác cho

Các đường phân giác góc tạo d1, d2 có phương trình

                          ) ( y x ) ( 22 y x y x y x y x ) ( y x 2 2 2 0,25

+) Nếu d // 1 d có phương trình 3x 9yc0

Do Pd nên 69c0 c15 d:x 3y 50

0,25

+) Nếu d // 2 d có phương trình 9x3yc0

Do Pd nên 18 3c0 c15 d:3xy 50

0,25

Vậy qua P có hai đường thẳng thoả mãn yêu cầu toán d:3xy 50 y x :

d   

0,25

2) Dễ thấy A’ ( 1; -1; 0)

* Giả sử phương trình mặt cầu ( S) qua A’, B, C, D là:

0,25

a b c d 0

, d cz by ax z y

x2        2 2  

Vì A',B,C,D S nên ta có hệ: 

                                          d c b a 21 d c b a 29 d c b a 14 d c b a 2 d b a

Vậy mặt cầu ( S) có phương trình: x2 y2 z2  5x 2y 2z10

0,25

(S) có tâm      ; ; I

, bán kính 29

R

+) Gọi H hình chiếu I lên (P) H tâm đường tròn ( C) +) Gọi ( d) đường thẳng qua I vng góc với (P)

(d) có vectơ phương là: n1;1;1

Suy phương trình d:

                     t ; t ; t H t z t y t / x

Do H d (P) nên: 6

5 t t t t t                     ; ; H 0,25 36 75

IH 

, (C) có bán kính

186 31 36 75 29 IH R

r     

0,25

7a Ta cã Z = a + bi  (1+i)Z = (a - b) + (a + b)i

VËy  

2

1 i Z  2(a b ) 2

hay a2b2 9

Vậy quỹ tích điểm M  ( O;R) O(0;0) R =

6b

1) (H) có tiêu điểm F1 5;0;F25;0 Hình chữ nhật sở (H) có

đỉnh M( 4; 3),

0,25

Giả sử phương trình tắc (E) có dạng: b y a x 2 2  

( với a > b) (E) có hai tiêu điểm F1 5;0 ;F2 5;0 a2 b2 52  1

0,25

4;3  E 9a 16b a b  2

M     2

Từ (1) (2) ta có hệ: 

            15 b 40 a b a b 16 a b a 2 2 2 2 0,25

Vậy phương trình tắc (E) là: 15 y 40

x2

 

0,25

6b

2) Chuyển phương trình d dạng tham số ta được:           3 t z t y t x

Gọi I giao điểm (d) (P)  I2t 3;t 1;t3 Do I P  2t 32(t1) (t 3)50 t1 I1;0;4

0,25

* (d) có vectơ phương a(2;1;1), mp( P) có vectơ pháp tuyến n1;2;1

 a,n  3;3;3

 Gọi u vectơ phương   u 1;1;1

0,25             u z u y u x :

Vì M M 1 u;u;4u,  AM1 u;u 3;u

0,25

AM ngắn  AM  AMu AM.u0 1(1 u)1(u 3)1.u0

4 u 

Vậy 

     16 ; ; M 0,25 7b               ) ( x xy x ) ( 2 x y y x

Phương trình (2)

1

3 1

x

x xy x          

(3 1)

x x x y

                                     x y x x y x x x 1 0 0,25

* Với x = thay vào (1) 11

8 log 11 2 12

2 2

       

 y y y y y y 0,25

* Với       x y x 1

thay y = – 3x vào (1) ta được: 23 3.2

   

 x

x Đặt 23 1

 x

Vậy hệ phương trình cho có nghiệm   

 

11 log y

0 x

2

 

 

    

 



  

) ( log y

1 log x

2

0,25