Trong mét líp häc nÕu bè trÝ 4 em ngåi mét ghÕ th× cßn thiÕu mét ghÕ. TÝnh c¸c kÝch thíc cña s©n..[r]
(1)Là ngời thầy giáo
nờn đa học sinh tìm chân lý đa chân lý đến cho học sinh
-LuyÖn Thi vµo líp 10
(2)Chun đề 1:
Biến đổi đẳng thức - Phân tích đa thức thành nhân tử A biến đổi đẳng thức
I Các đẳng thức mở rộng
(a ± b)2 = a2± 2ab + b2 a2 - b2 = (a + b)(a - b)
(a ± b)3 = a3 ± 3a2b + 3ab2± b3 a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2) a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab +b2)
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc (a - b - c)2 = a2 + b2 + c2 - 2ab - 2ac + 2bc
an - bn = (a - b)(an-1 + an-2b + + abn-2 + bn-1), n số tự nhiên an + bn = (a + b)(an-1 - an-2b + - abn-2 + bn-1), n lẻ
II Bài tập Bài 1
So sánh hai số A B biết: A = 2004.2006 B = 20052 Giải
Ta cã A = (2005 - 1)(2005 + 1) = 20052 - < 20052 =B VËy A < B.
Bài 2
So sánh hai số A vµ B biÕt: A = (2 + 1)(22 +1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1) B = 232 Giải
Ta cã A = (2 - 1)(2 + 1)(22 +1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1) = 232 -1 < 232 = B VËy A < B.
Bài 3
So sánh hai số A B biÕt: A =(3 + 1)(32 +1)(34 + 1)(38 + 1)(316 +1) B =332 -1 Giải
Ta có 2A = (3 - 1)(3 + 1)(32 +1)(34 + 1)(38 + 1)(316 +1) = 332 - = B VËy A < B.
Bµi 4
Chøng minh r»ng: (m2 + m - 1)2 + 4m2 + 4m = (m2 + m + 1)2, víi mäi m. Gi¶i
VT: (m2 + m - 1)2 + 4m2 + 4m = m4 + m2 + + 2m3 - 2m2 - 2m + 4m2 + 4m = m4 + 2m3 + 3m2 + 4m +
VP: (m2 + m + 1)2 = m4 + m2 + +2m3 + 2m2 + 2m = m4 + 2m3 + 3m2 + 2m +1.
Bµi 5
Chøng minh r»ng: a3 + b3 + c3 -3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab -ac -bc). Gi¶i
Ta cã a3 + b3 = (a + b)3 - 3ab(a + b) thay vµo VT
VT = (a + b)3 - 3ab(a + b) + c3 -3abc = [(a + b)3 + c3] - 3ab(a + b +c) = (a + b +c)[(a + b)2 + c2 -c(a + b) -3ab] = (a + b +c)(a2 + b2 + c2 + 2ab - ac - bc - 3ab) = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 ab ac -bc) = VP
Bài 6
(3)Giải
(a3 + b3)(a2 + b2) - (a + b) = a5 + a3b2 + a2b3 + b5 - (a - b)= a5 + b5 +a2b2(a + b) - (a - b) = a5 + b5
Bµi 7
Cho a2 + b2 + c2 - ab - ac - bc = Chøng minh r»ng: a = b = c Hìng dÉn
Tõ: a2 + b2 + c2 - ab - ac - bc = Û 2a2 + 2b2 + 2c2 - 2ab - 2ac - 2bc = Û (a - b)2 +(a - c)2 + (b - c)2 = Û a = b = c.(đpcm)
Bài 8
Cho a, b, c đôi khác nhau, thoả mãn: ab + bc + ca = CMR
2 2
2 2
(a b) (b c) (c a) (1 a )(1 b )(1 c )
Hìng dÉn
Ta cã: + a2 = ab + bc + ca +a2 = b(a + c) + a(a + c) = (a + c)(a + b). T¬ng tù: + b2 = (b + a)(b + c)
+ c2 = (c +a)(c + b) Thay vào suy (đpcm).
Bài 9
Cho a > b > 0, thoả m·n: 3a2 + 3b2 =10ab Chøng minh r»ng:
a b
a b 2. Giải
Đặt P = a b
a+b P > nên P = P .
Ta cã P2 =
2 2
2 2
a b 2ab 3a 3b 6ab 10ab 6ab
a b 2ab 3a 3b 6ab 10ab 6ab 4 VËy P = 1/2.
Bµi 10
Cho a + b + c = vµ
1 1
0
a b c Chøng minh r»ng: a2 + b2 + c2 =1. Gi¶i
Tõ: a + b + c = Û a2 + b2 + c2 + 2(ab + ac + bc) = Û a2 + b2 + c2 = 1- 2(ab + ac + bc)
Mặt khác:
Û Û
1 1 ab ac bc
0 ab ac bc
a b c abc VËy: a2 + b2 + c2 =1.
Bµi 11
Cho
1 1
2
a b c (1) vµ a + b + c = abc Chøng minh r»ng:
2 2
1 1
2
a b c
Gi¶i
(1)Û
Û
2 2 2
1 1 1 1 1 a b c
2( ) 2( )
a b c ab ac bc a b c abc .
Thay a + b + c = abc vµo ta cã
Û
2 2 2
1 1 1
2
a b c a b c .
(4)Cho
x y z
1 a b c (1), vµ
a b c
x y z (2) CMR:
2 2
2 2
x y z
A
a b c
Gi¶i
Û
2 2
2 2
x y z xy xz yz xy xz yz cxy bxz ayz
2( ) A 2( ) 2( )
a b c ab ac bc ab ac bc abc
(2):
cxy bxz ayz
0
xyz VËy A = 1.
Bµi 13
Cho
1 1
0
a b c .(1) Chøng minh r»ng:
3 3
1 1
a b c abc.
Gi¶i
(1)Û
Û 3 3 3 Û 3 3 3
1 1 1 1 1 1 1
( ) ( ( ) [ ( )]
a b c a b c bc b c a b c bc a
VËy
3 3
1 1
a b c abc.
Bµi 14
Cho a + b + c = vµ a2 + b2 + c2 =14 Chøng minh r»ng: a4 + b4 + c4 = 98. Gi¶i
Tõ: a + b + c = Û a = -(b + c) Û a2 = (b + c)2Û a2 = b2 + c2 +2bc
Û a2 - b2 - c2 = 2bc Û (a2 - b2 - c2)2 = 4b2c2Û a4 + b4 + c4 - 2a2b2 - 2a2c2 + 2b2c2 = 4b2c2Û a4 + b4 + c4 = 2a2b2 + 2b2c2 + 2a2c2Û 2(a4 + b4 + c4) = a4 + b4 + c4 + 2a2b2 - 2b2c2 + 2a2c2Û2(a4 + b4 + c4 ) = (a2 + b2 + c2 )2 = 142 =196.
VËy a4 + b4 + c4 = 98.
Bµi 15
Cho xyz = 1, Chøng minh r»ng:
1 1
1 x xy y yz z zx
Gi¶i
Ta cã:
1 1 z x
1 x xy y yz z zx z xz xyz x yx xyz z zx
=
z x z x z xz
z xz x yx 1 z zx x xz x xy 1 x xz xz xyz z
z xz z xz
1
1 x xz xz z x xz
B Phân tích đa thức thành nhân tử
Bài 1
(5)Gi¶i
Cách 1: Tách hạng tử không đổi thành hai hạng tử đa đa thức dạng hiệu hai bình ph-ơng
x2 - 6x + =(x - 3)2 - = (x - - 1)(x - + 1) = (x - 4)(x - 2).
Cách 2: Tách hạng tử bậc thành hai hạng tử dùng phơng pháp nhóm hạng tử đặt nhân tử chung
x2 - 6x + = x2 - 2x - 4x + = x(x - 2) - 4(x - 2) = (x - 2)(x - 4).
Bài 2
Phân tích đa thức x3 + 3x2 - thành nhân tử. Giải
Nhẩm thấy x = nghiệm ị đa thức chứa nhân tử x - ị ta tách hạng tử đa thức làm xuất nhân tö x -
C1: x3+ 3x2- =x3-x2+4x2- 4=x2(x - 1)+4(x2-1)=(x-1)(x2 + 4x + 4)=(x-1)(x+2)2. C2: x3+3x2- =x3-1+3x2- = (x-1)(x2+x+1)+ 3(x-1)(x+1) = (x-1)(x2+ 4x + 4).
Bài 3
Phân tích đa thức (x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+15 thành nhân tử Giải
(x +1)(x +3)(x +5)(x +7) +15 = [(x +1)(x +7)][(x +3)(x +5)] +15 = (x2 +8x+7)(x2+8x +15) +15 Đặt: t = x2+8x+7 ị x2+8x+15 = t + Þ ta cã: t(t + 8) +15 = t2 + 8t +15 =(t + 4)2 - = (t + + 1)(t + - 1) = (t + 5)(t + 3)
VËy: (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15 = (x2 + 8x + 12)(x2 + 8x + 10) = (x2 + 6x + 2x + 12)(x2 + 8x +10) = (x + 6)(x + 2)(x2 + 8x + 10).
BTVN. Bµi 1
Cho x > y > vµ 2x2 + 2y2 = 5xy, TÝnh:
x y P
x y
(tơng tự 9)
Bµi 2
Cho x + y + z = 0, Chøng minh r»ng: x3 + y3 + z3 = 3xyz (tơng tự 13)
Bài 3
Cho a + b + c = 0, Chøng minh r»ng: a4 + b4 + c4 =
2 (a2 + b2 + c2 )2 (tơng tự 14)
Bài 4
Cho a, b, c khác không vµ a + b + c =
Chøng minh r»ng:
2 2 2 2 2
1 1
0
a b c b c a a c b
Tõ: a + b + c = Û a = - (b + c) Þ a2 = (b + c)2Û a2=b2 + c2 + 2bc Û b2 + c2 - a2 = - 2bc
Bài 5
Phân tích đa thức sau thành nhân tử a/ 4x2 - 3x - 1
(6)c/ (x-y)3 + (y-z)3 + (z-x)3
(7)Chuyên đề 2:
Bất đẳng thức - Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất A Bất đẳng thức
I Một số tính chất bất đẳng thức
1/ a > b b > c ị a > c (t/c bắc cầu)
2/ a > b a + c > b + c (t/c céng vµo hai vÕ cïng mét sè)
3/ a > b Û
ac bc nÕu c ac bc nÕu c
(t/c nhân hai bđt với số âm, dơng) 4/ a > b c > d Û a + c > b + d (t/c cộng hai bất đẳng thức chiều)
5/
Þ
a b
ac bd c d
(t/c nhân hai bất đẳng thức dơng chiều)
6/ a > b > Þ
n n
n n
a b
a b (n nguyªn d¬ng)
7/
a a
a, b, c R
a b a b c
8/
Û
a c a a c c
a, b, c, d R
b d b b d d
9/ NÕu a, b, c lµ cạnh tam giác ta có: */ a > 0, b > 0, c >
*/ ½b - c ½< a < b + c; ½a - c ½< b < a + c; ½a - b ½< c < a + b */ NÕu a > b > c th× A > B > C
II Bµi tËp
Bµi 1
Cho sè a, b, c, d, e bÊt kú CMR: a2 + b2 + c2 + d2 + e2 ³ a( b + c + d + e)(1). Gi¶i
(1)Û 4a2 + 4b2 + 4c2 + 4d2 + 4e2 - 4ab - 4ac - 4ad - 4ae ³ 0
Û (a - 2b)2 + (a - 2c)2 + (a - 2d)2 + (a - 2e)2³ (®pcm) Bµi 2
Cho a + b = 1,Chøng minh r»ng: a/ a2 + b2³ 1/2, b/ a3 + b3³ 1/4, c/ a4 + b4³ 1/8 Gi¶i
a/ Tõ (a - b)2³ Û a2 + b2³ 2ab Û 2(a2 + b2) ³ a2 + b2 + 2ab = (a + b)2 = 1. VËy a2 + b2³ 1/2.
b/ Ta cã a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2) = a2 - ab + b2Û
Û 2(a3 + b3) = 2a2 - 2ab + 2b2 = (a - b)2 + a2 + b2 a2 + b2 mà a2 + b2 1/2 ị 2(a3 + b3) ³ 1/2 Û a3 + b3³ 1/4 (®pcm)
c/ Tõ (a2 - b2)2³ Û a4 + b4³ 2a2b2Û 2(a4 + b4) ³ a4 + b4 + 2a2b2 = (a2 + b2)2
Þ a4 + b4
(8)Mặt khác: (a - b)2³ Û a2+ b2³ 2ab Û 2(a2 + b2) ³ a2 + b2 + 2ab = (a + b)2 = 1
Þ a2 + b2³ 1/2 Û (a2 + b2)2 ³ 1/4 thay vµo (1) ta cã a4 + b4³ 8. Bµi 3
Cho a,b > 0, vµ a + b = Chøng minh r»ng:
a/
1 1 ³ (1 )(1 )
a b ; b/ ³
1
a b
Gi¶i
a/
1 1 ³ Û a b ³ Û ab a b 1³ Û ³ Û
(1 )(1 ) ( )( ) 9
a b a b ab ab
Û1 ³ 4ab Û (a + b)2³ 4ab ị (đpcm).
b/
³
1
a b Û3(a + + b +1) ³ 4(a + 1)(b + 1) Û ³ 4(ab + a + b + 1)
Û ³ 4ab + Û ³ 4ab Û (a + b)2³ 4ab ị (đpcm) Bài 4
Cho a, b, c R+ Chøng minh r»ng:
a b c
1
a b b c c a
Gi¶i
a a
a b a b c
b b
b c a b c
c c
c a a b c Þ
a b c
1
a b b c c a .
Mặt khác:
Û
Û
Û
a c a a c
a b c a b a b c
b a b b a
b c a b c a b c
c b c b c
c a b c a a b c Þ
a b c
2
a b b c c a .
VËy:
a b c
1
a b b c c a
Bµi 5
Cho a, b, c, d R+ CMR:
a b c d
1
a b c b c d c d a d a b
(9)
a a a
a b c d a b c a c
c c c
1
a b c d c d a c a
b b b
a b c d b c d b d
d d d
a b c d d a b d b Þ
a b c d
1
a b c b c d c d a d a b
Bµi 6
Cho a,b,c cạnh tam giác, CMR: ab + bc + ca £ a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca) Gi¶i
*/ CM: ab + bc + ca £ a2 + b2 + c2 , nhân hai vế với ta có:
2ab + 2bc + 2ca Ê 2a2 + 2b2 + 2c2Û (a-b)2 + (a-c)2 + (b-c)2³ 0, ị (đpcm) */ CM: a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca), Do a, b, c ba cạnh tam giác nên ta có: a < b + c Û a2 < ab + ac
b < a + c Û b2 < ab + bc c < a + b Û c2 < ac + bc
Û a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca).
VËy: ab + bc + ca £ a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca). Bµi 7
Chøng minh r»ng:
£
4
2 ab
ab
a b víi a > 0, b > 0.
Gi¶i
³ Û ³ Û £ Û £
2
4 4
4
2 ab
a b a b ab ab
a b ab a b .
III/ Bất đẳng thức Cơsi(trung bình cộng lớn trung bình nhân)
*/ Víi sè thùc a, b kh«ng ©m ta cã:
³ a b
ab
2 , dÊu b»ng x¶y Û a = b. */ Víi sè thùc a, b, c kh«ng ©m ta cã:
³3
a b c
abc
3 , dÊu b»ng x¶y Û a = b = c. */ Víi n sè thực a1, a2, an không âm ta có:
³
1 n n
1 n
a a a
a a a
n , dÊu b»ng x¶y Û a1 = a2 = = an
IV/ Bất đẳng thức Bunhiacôpxki
(10)(ab + cd)2£ (a2 + c2)(b2 + d2), dÊu b»ng x¶y Û
a c
b d. */ Víi sè thùc a, b, c, d, e, f ta cã:
(ab + cd + ef)2£ (a2 + c2 + e2)(b2 + d2 + f2), dÊu b»ng x¶y Û
a c e
b d f . */ víi n cỈp sè thùc a1, a2, an, b1, b2, bn ta cã:
(a1b1 +a2b2 + + anbn)2£ (a12 + a22 + + ann)(b12 + b22 + + bnn).
DÊu b»ng x¶y Û
1 n
1 n
a a a
b b b .
Bài 8
Cho x, y, z sè d¬ng, Chøng minh r»ng: a/ (x + y)(y + z)(z + x) ³ 8xyz
b/
³
1
x y x y .
c/
³
1 1
x y z x y z.
Gi¶i
a/
³
³
³
x y xy y z yz z x xz
Þ (x + y)(y + z)(z + x) ³ 8xyz
b/
³ Û ³
1 1
(x y)( )
x y x y x y mµ
³
³
x y xy
1
x y xy
Þ
11 ³ (x y)( )
x y .
c/
³ Û ³
1 1 1
(x y z)( )
x y z x y z x y z (làm tơng tự)
B/ Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất Bài 1
Tìm giá trÞ lín nhÊt cđa: P =
2
2x 4x x 2x
Gi¶i Ta cã:
P =
2
2 2
2x 4x 2(x 2x 2) 1
2
(11)P lín nhÊt Û
2
(x 1) 1 lín nhÊt, mn vËy (x- 1)2 + ph¶i nhá nhÊt
mà (x- 1)2 + ³ ị (x- 1)2 + nhỏ Û x = Khi P = 3 Vậy Pmax = Û x =
Bµi 2
Cho x2 + y2 = 1, tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức: p = x + y Gi¶i
Tõ (x - y)2³ Û x2 + y2³ 2xy Û 2(x2 + y2) ³ x2 + 2xy + y2 = (x + y)2
VËy ³ (x + y)2Û 2£ x y£ 2Þ
Pmax= 2Û x = y =
2 ; Pmin= - 2Û x = y = -
2 Bµi 3
Cho x, y > vµ x + y = 1, Tìm giá trị nhỏ của: P =
12 12
(1 )(1 )
x y
Gi¶i
P =
2
2 2 2 2
1 (x 1)(y 1) (x 1)(x 1)(y 1)(y 1) xy(x 1)(y 1) (1 )(1 )
x y x y x y x y
=
2
xy(x 1)(y 1) (x 1)(y 1) x y xy
x y xy xy xy (thay x - = - y, y - = - x) Þ ta
cã P nhá nhÊt Û
xy nhá nhÊt Û xy lín nhÊt
Mµ xy = x(1 - x) = - x2 + x = -(x - 1/2)2 + 1/4 £ 1/4 Þ xy lín nhÊt = 1/4 x = 1/2 Þ y = 1/2
VËy Pmin =
1
1
2 khi x = y = 1/2. Bài 4
Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ của: P =
2
4
(x 1) x
Gi¶i
P =
2 2
4 4
(x 1) x 2x 2x
1
x x x
Do (x2 - 1)2³ Þ x4 + ³ 2x2Þ
£
2
2x
x Þ P £ Þ Pmax= Û x = ± 1.
Do 2x2³ 0, x4 + ³ Þ
³
2
2x
x Þ P ³ Þ Pmin = Û
2
2x
(12)Bµi 5
Cho a, b > Tìm giá trị nhỏ nhÊt cña; P =
(x a)(x b)
x , víi x > 0. Gi¶i
Ta cã:
P =
Þ ³
2
(x a)(x b) x ax bx ab ab
a b x P a b ab
x x x .
VËy Pmin = a b ab , dÊu b»n x¶y Û
ab Û
x x ab
x .
Bài 6
Tìm giá trị nhá nhÊt cña: P = 4x 4x2 4x2 12x9 Gi¶i
Ta cã:
P =
2
2
1 4x 4x 4x 12x 2x 2x 2x 2x
³½(1 + 2x) + (3 - 2x)ẵ =
áp dụng ½a½ + ½b½ = ½a + b½Û ab ³ VËy Pmin = Û (1 + 2x)(3 - 2x) ³ Û Û -1/2 £ x £ 3/2
BTVN Bài 1
a/ Tìm giá trị lớn cđa: P = - 8x - x2. b/ T×m giá tị nhỏ của: P = 4x2 - 4x + 11. c/ Tìm giá trị nhỏ của: P = ½x - 5½ + ½x- 10½ Hìng dÉn
Ta cã: P = ½x - 5½ + ½x - 10½ = ½x - 5½ + ½10 - x½³½(x - 5) + (10 - x)ẵ = áp dụng ẵaẵ + ½b½ = ½a + b½Û ab ³ VËy Pmin = Û (x - 5)(10 - x) ³ Û Û £ x £ 10
Bµi 2
Cho x, y R, Chøng minh r»ng: x2 + y2 + ³ xy + x + y.
Bµi 3
Cho a, b, c, d R+.
Ch÷ng minh r»ng :
a b b c c d d a
2
(13)Chuyên đề 3:
Biến đổi thức A/ Biến đổi thức
I/ KiÕn thức bản
*/
2 A nÕu A
A A
A nÕu A
*/ ab a b (a³0, b³0) / a a a1 n a1 a a2 n
*/
³
a a
(a 0, b 0)
b b
*/ ³
2
a b a b (b 0)
Trục thức mẫu
*/
a a b
b
b , (b > 0).
*/
m m( a b ) m m( a b )
,
a b a b
a b a b
II/ Bài tập
Bài 1
Tính giá trị c¸c biĨu thøc sau:
a/ A = 48 27 75 b/ B =
48 75 108 147
7 Gi¶i
a/ Ta cã: A = 48 27 75 6 16.3 9.3 25.3 24 20 3 2
b/ Ta cã: B =
48 75 108 147 2.5 3
7
Bµi 2
Trục thức mẫu:
a/ A =
1
5 b/ B =
3 2 c/ C = 3
2
2 2
Gi¶i
a/ A =
1 5 2
3 3
5
b/ B =
4 4(3 2 ) 2
(3 5) (2 5)
(14)
2
(3 5)(3 2 ) (3 5) (2 5)
4
c/ Đặt aị C =
3
3
4 2
3
2 a a a(a 1) a a
4
a a a a a a
2 2
Bµi 3
Rót gän biểu thức chứa căn: a/ A = 15 6 33 12 6
b/ B = 15 15
c/ C = 4 4
d/ D = 4 102 4 102
e/ E = 4920 6449 20
f/ F =
1 1
1 5 9 13 2001 2005
Gi¶i
a/ A = 15 6 33 12 6 9 66 12 6 24
(3 ) (3 ) 6 3
b/ B = 15 15 15 3 52 153
( 3) ( 3) ( 3)
c/ C =
7 1 7
4 7
2 2
2
( 1) ( 1) 7
2
2 2
d/ Do D > nªn D = D2
D2 =
2
4 10 10 (4 10 )(4 10 )
8 5 8 5 1 8 ( 1) 8 5 2 6
VËy: D =
2
(15)e/ Ta cã:
2 2
49 20 25 20 24 (5 6) [( 2) ] ( 2)
2 2
49 20 25 20 24 (5 ) [( ) ] ( ) VËy E = 3 2 3 2
f/ F =
5 13 2005 2001 2005
4 4 4 .
Bµi 4
Rót gän c¸c biĨu thøc sau:
a/ A = x4 x 4 x x
b/ B = x22 x2 1 x2 x2
c/ C = 2x x 2 x 2x x 2 x Gi¶i
a/ A = x x 4 x x 4 x 4 x 4 4 x 4 x 4 4
( x 4 2) ( x 4 2) x 4 2 x 4 2
NÕu x 4 ³ Û2 x 4 ³ Û4 x³8 th× A = x 42+ x 4 22 x 4
NÕu 0 x 4 Û2 0 x 4 Û4 0 x th× A = x 4 2- x 4
VËy: A =
³
2 x nÕu x
4 nÕu x
b/ B = x2 2 x2 1 x2 x2 1 x2 x 2 1
- x2 1 x21 1 -
2 2 2
( x 1) ( x 1) x 1 x 1
NÕu x2 1 ³ Û0 x2 ³ Û2 x³ 2 £x th× B =
NÕu x2 1 0Û x2 2Û x th× B =
2
x 1.
VËy: B =
³ £
2 nÕu x x
2 x nÕu x .
c/ C = 2x x 2 x 2x x 2 x = x x 2 x x x x xx
=
2
( x x ) ( x x ) x x x x x
(16)Tìm điều kiện để biểu thức sau có nghĩa rút gọn: a/
x x x x 1
(1 )
x x 4(x 1)
b/
3
1 x x
x x x x 1 x
c/
2
1 x
:
x x x x x x
d/
2 x x x
( ) :
x x x x x
e/
x x x
( ) :
2
x x x x 1 x
Giải a/ ĐK: Û Û
x x x
x
x 4x (x 2) .
A = 2 2
x x x x 1 ( x 1) ( x 1) x
(1 )
x x
x 4(x 1) (x 2)
2 x
x
(x 2) .
NÕu x > Þ A =
x
NÕu 1< x < Þ A =
x
VËy: A =
nÕu x x
2
nÕu x x b/ §K: Û ³ x x
x .
B =
3
1 x x x x x x x( x 1)
1
x x x x 1 x x
(17)c/ ³ Û x
x x x
x
x x x x
x .
Đặt x ịa xa2
ị C =
3 2
4
2
1 x 1 a a a a(a a 1)
:
a a a a(a 1)(a 1)
x x x x x x
= 2
a a 1
(a 1)(a a 1)(a 1) a x 1.
d/ §K: ³ ³ Û x x x
x x x
Đặt x ịa xa2
ị D =
2
2 x x x 2a a a a
( ) : ( )( )
a a a
x x x x x
= 2
a(a 2) (a a 1) a a a 1
(a 1)(a a 1) a (a 1)(a 2) a x .
e/ §K: ³ ³ Û x x x x
x
1 x
Đặt x ịa xa2ị
E =
x x x a a
( ) : ( )
2 a a a a a
x x x x 1 x
=
2 2
2 2
a a(a 1) (a a 1) a 2a 2
(a 1)(a a 1) a (a 1)(a a 1) a a a x x 1.
Bài 6
Chứng minh biểu thức sau số nguyên
a/ A = 4 35 48 10 7 4
(18)c/ C =
2 13 48
6
Gi¶i
a/ Ta cã: Þ Þ
2
7 (2 3) 10 10(2 3) 20 10
Þ
2
48 10 48 20 10 28 10 (5 3)
5 48 10 5(5 3) 25
VËy A = 5 3
b/ Ta cã: Þ
2
18 128 18 (4 )
Þ 2 12 18 128 2 12 4 4 3( 1) Þ
Þ 2 ( 1) 3 2( 1) 3 1
VËy: B = ( 31)( 3 1) 3 12
c/ Ta cã: Þ Þ
2
13 48 13 12 (2 1) 13 3
Þ 5 13 48 5 1 4 3( 1) Þ 5 13 48 1 Þ
Þ 3 5 13 48 3 1 2 3Þ 3 5 13 48
Þ
2 ( 2) C
BTVN Bµi 1
Rót gän biểu thức chứa
a/ A = 15 4 15 3 b/ B = 5 3 29 12 5
c/ C =
(5 )(49 20 )
9 11 d/ D =
1 1
2 3 1998 1999
Bµi 2
Trục thức mẫu
a/ A = 3
6
2 2 b/ B = 3
(19)Chuyờn 4
Phơng trình bậc - Đồ thị hàm số bậc - Hệ phơng trình bậc nhất
I/ Phơng trình bậc nhÊt
ĐN: Là phơng trình có dạng: ax + b = 0, a, b s thc, x l n
Cách giải:
Phơng trình ax = -b Nếu a ị x = -b/a NÕu a = Þ 0x = -b
Nếu b = ị PT vô số nghiệm Nếu b ị PT vô nghiệm
II/ Bài tập
Bài 1
Giải biện luận phơng trình sau:
a/ mx + 2(x - m) = (m + 1)2 + (1) b/ 3(m + 1)x + = 2x + 5(m + 1) (2)
c/ m2(x + 1) = x + m (3) d/
x m x
2
x x (4) Gi¶i
a/ (1) Û (m + 2)x = m2 + 4m + Û (m + 2)x = (m + 2)2
NÕu m + m -2 ị phơng trình có nghiệm: x = m +
NÕu m + = Û m = -2 Þ 0x = Þ phơng trình có vô số nghiệm x R b/ (2) Û (3m + 1)x = 5m +
NÕu 3m + Û m -1/3 ị phơng trình có nghiệm:
5m x
3m NÕu 3m + = m = -1/3 ị phơng trình có dạng: 0x = -2/3 ị PTVN c/ (3) (m2 - 1)x = m - m2Û (m2 - 1)x = m(1 - m).
NÕu m2 - ị phơng trình có nghiệm:
m x
m NÕu m2 - = Û m = ± 1.
NÕu m = Þ PT cã d¹ng: 0x = Þ PT cã VSN Nếu m = -1 ị PT có dạng: 0x = -2 ị PTVN d/ ĐK: x x
(4) Û x(x - m) + (x - 2)(x - 3) = 2x(x - 2) Û (m + 1)x = NÕu m + = m = -1 ị (4) có dạng: 0x = Þ PTVN
NÕu m + Û m -1 Þ (4) Û
x
m (Do ĐK m ị
2 m
m )
KÕt luËn: NÕu m -1 Ç m ị phơng trình có nghiệm:
x
(20)Bµi 2
Cho phơng trình: (m + 1)2x + - m = (7m - 5)x (1)
a/ Tìm m để phơng trình vơ nghiệm b/ Tìm m để phơng trình có nghiệm Giải
(1) Û ( m2 - 5m + 6)x = m - Û (m - 2)(m + 3)x = m - 1.
a/ Ph¬ng trình vô nghiệm
Û
(m 2)(m 3)
m m m
b/ phơng trình có nghiệm Û (m - 2)(m + 3) Û m ầ m -3
III/ Hệ phơng trình bậc nhất
Bài 3
Cho hệ phơng r×nh:
2x my (1) mx 2y (2)
a/ Gi¶i hƯ m =
b/ Giải biện luận hệ phơng trình
c/ Tìm số ngun m để hệ có nghiệm (x ; y) với x, y số nguyên d/ Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm (x ; y) với x, y số nguyên dơng Giải
a/ m = ta cã hÖ Û
Û Û Û
2x y 4x 2y 3x x
x 2y x 2y x 2y y
b/ Từ (1) (2) ị 2x + my = mx + 2y Û (m - 2)(x - y) = NÕu m = Þ hệ vô số nghiệm
Nếu m ị x = y thay vào phơng trình (1) ta có: (m + 2)x = NÕu m = -2 Þ hệ vô nghiệm
Nếu m -2 ị hệ cã nghiÖm nhÊt: x = y = 1/(m + 2)
c/ m vµ m -2 th× hƯ cã nghiƯm nhÊt: x = y = 1/(m + 2) Nghiệm số
nguyên 1/(m + 2) số nguyên
Û
m m
m m 3.
d/ / m vµ m -2 th× hƯ cã nghiƯm nhÊt: x = y = 1/(m + 2) Nghiệm số nguyên dơng 1/(m + 2) số nguyên dơng m + ớc số nguyên dơng m + = Û m = -1
Bµi 4
Cho hệ phơng rình:
(m 1)x my 3m (1)
2x y m (2)
a/ Tìm m để hệ có nghiệm (x ; y) mà S = x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất. b/ Tìm m để hệ có nghiệm (x ; y) mà P = xy đạt giá trị lớn Giải
(21)(m + 1)x = m2 + 2m + Û (m + 1)x = (m + 1)2.
Hệ có nghiệm Û m -1, đó: x = m + 1, y = m -
a/ S = x2 + y2 = (m+1)2 + (m-3)2 = 2m2 - 4m + 10 = 2(m - 1)2 + Þ Smin = Û m = 1. b/ P = xy = (m + 1)(m - 3) = m2 -2m -3 = (m - 1)2 - 4.Þ Pmin = -4 Û m = 1.
Bài 5
Giải hệ phơng trình:
x y 2x y
7 (1)
7 17
4x y y
15 (2)
5 19
Gi¶i
(1) Û 17(x - y) + 7(2x + y) = 7.7.17 Û 31x - 10y =833 (2) Û 19(4x + y) + 5(y - 7) = 19.5.15 Û 19x + 6y = 365
Vậy hệ phơng trình
Û Û
31x 10y 833 93x 30y 2499 x 23 19x 6y 365 95x 30y 1825 y 12
Bài 6
Giải hệ phơng trình:
x y z (1) x 2y 4z (2) x 3y 9z 27 (3)
Gi¶i
HÖ:
Û Û Û
x y z x y z x y z x
x 2y 4z y 3z y 3z y 11
x 3y 9z 27 y 5z 19 2z 12 z
IV/ Đồ thị hµm sè bËc nhÊt
Đồ thị hàm số y = ax + b (a 0) đờng thẳng qua hai điểm A(0;b) B(-b/a; 0) Bài 7
Vẽ đồ thị hàm số sau:
a/ y = 2x - b/ y = x 1 c/ y =2 x2 2x 1 d/ y = x 1 x 2 e/ x y
BTVN
Bài Giải biện luận phơng trình sau:
a/ m2x = 9x + m2 - 4m + b/
x m x
2
x x
Bài Cho hệ phơng trình:
x my mx 2y 1.
a/ Gi¶i hƯ m =
b/ Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm (x ; y) với x, y số nguyên c/ Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm (x ; y) mà x > y <
(22)Bài Giải hệ phơng trình:
x 2y 3z 11 2x 3y z 3x y 2z
Hìng dẫn Cộng phơng trình ta có: x + y + z = Þ x = -2, y = -1, z =
Bài Giải hệ phơng tr×nh:
3
z (1) 2x y
2y 3z (2)
2
y (3)
2x y
Hỡng dẫn Đặt t =
1
2x y thay vµo (1) vµ (3) ta cã:
3t z 2t y
2 Þ 2z + 3y = -1/2 (4).
(23)Chuyên đề 5
Phơng trình bậc 2, định lý viét - Phơng trình bậc cao
I/ Phơng trình bậc 2
N: Phng trỡnh bc phơng rình có dạng: ax2 + bx + c = (a 0) Trong đó: a, b, c l cỏc s thc, x l n
Cách giải:
TÝnh biÖt thøc D = b2 - 4ac
Nếu D < ị phơng trình vô nghiệm
Nếu D = ị phơng trình có nghiệm kÐp: x = -b/2a
NÕu D > Þ phơng trình có nghiệm phân biệt:
D D
1
b b
x ; x
4a 4a
Chó ý: NÕu b = 2b' th× cã thĨ tÝnh D' = b'2 - ac NÕu D' < ị phơng trình vô nghiệm.
Nếu D' = ị phơng trình có nghiệm kép: x = -b'/a.
Nếu D' > ị phơng trình có nghiƯm ph©n biƯt:
D D
' ' ' '
1
b b
x ; x
2a 2a
II/ Định lý Viét
Nếu phơng trình bậc có hai nghiệm phân biệt không th× ta cã: S = x1 + x2 = -b/a; P = x1x2 = c/a
Chó ý:
NÕu phơng trình bậc có a + b + c = th× x1 = 1; x2 = c/a NÕu phơng trình bậc có a - b + c = th× x1 =-1; x2 = -c/a
III/ Bài tập
Bài 1
Cho phơng trình: x2 - 4x + m + = 0. a/ Gi¶i phng tr×nh m =
b/ Tìm m để phơng trình có nghiệm
c/ Tìm m để phơng trình có nghiệm x1, x2 thoả mãn: x12 + x22 = 10 d/ Tìm m để phơng trình có nghiệm x1, x2 thoả mãn: x13 + x23 = 34 Giải
a/ Khi m = PT Û x2 - 4x + = a + b + c = Þ x1 = 1, x2 = 3. b/ D' = - m - = - m, phơng trình có nghiệm Û - m ³ Û m £ 3. c/ Để phơng trình có nghiệm phải có D³ Û m £
Khi đó: x12 + x22 = 10 Û (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 10 Û 16 - 2(m + 1) = 10 Û m = 2 d/ Để phơng trình có nghiệm phải có D³ Û m Ê
x13 + x23 = 34 Û (x1 + x2)[(x1 + x2)2 -3x1x2] =34 Û 4[16 -3(m + 1)] =34 Û m +1 =10 Û m = 9 Bµi 2
Cho phơng trình: x2 - 2(m - 1)x - - m = 0.
(24)c/ Tìm m để phơng trình có nghiệm x1 , x2 thoả mãn x12 + x22³ 10
d/ Tìm m để phơng trình có nghiệm x1 , x2 cho P = x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất Giải
a/ D' = m2 - 2m + + m + = m2 - m + = (m- 1/2)2 + 15/4 > Þ với m phơng trình có nghiệm
b/ x = thay vào phơng trình ta có: 5m = Û m = Khi phơng trình có dạng: x2 - = 0
Û x = x = -2
c/ x12 + x22³ 10 Û (x1 + x2)2 - 2x1x2 ³ 10 Û [2(m - 1)]2 + 2(m + 3) ³ 10 Û
Û 4m2 -8m + + 2m + ³ 10 Û 4m2 - 6m ³ Û m(2m - 3) ³ Û m ³ 3/2 m £ 0. d/ P = x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = [2(m - 1)]2 + 2(m + 3) = 4m2 - 6m + 10 =
(2m - 3/2)2 + 31/4 Þ Pmin = 31/4 m = 3/4. Bài 3
Cho phơng tr×nh: x2 - 2mx + 2m -1 = 0.
a/ Chứng minh phơng trình có nghiệm với mäi m
b/ Tìm m để phơng trình có nghiệm x1 , x2 thoả mãn 2x12 + 2x22 - 5x1x2 = 27. c/ Tìm m cho phơng trình có nghiệm hai nghiệm
d/ Tìm m để phơng trình có nghiệm x1 , x2 thoả mãn: x1 = x22 Giải
a/ D' = m2 - 2m + = (m + 1)2 ị với m phơng trình cã nghiÖm.
b/ 2x12 + 2x22 - 5x1x2 = 27 Û 2[(x1 + x2)2 - 2x1x2] - 5x1x2 = 27 Û 2(x1 + x2)2 - 9x1x2 = 27 Û 8m2 - 9(2m + 1) = 27 Û 8m2 - 18m - 18 = Û 4m2 - 9m - = 0
Û m = m = -3/4
c/ Giả sử phơng trình có nghiƯm: x1 = 2x2 Þ ta cã:
x1 + x2 = 3x2 =2m Û x2 =2m/3 (1) vµ x1x2 = 2x22 = 2m - 1Ûx22 = (2m - 1)/2 (2). Từ (1) (2) ị 4m2/9 = (2m - 1)/2 Û 8m2 - 18m + = Û m = 3/4 m = 3/2 d/ Ta cã: x = m + m + = 2m + x = m - m - = -1
NÕu x1 = 2m + 1, x2 = -1 th× ta cã: 2m + = Û m =
NÕu x1 = -1, x2 = 2m + th× ta cã: -1 = (2m + 1)2 vô lý. Vậy m = 0. Bài 4
Cho phơng trình: (m - 1)x2 + 2(m - 1)x - m = 0.
a/ Tìm m để phơng trình có nghiệm kép, tìm nghiệm kép b/ Tìm m để phơng trình có nghiệm phân biệt trái dấu c/ Tìm m để phơng trình có nghiệm phân biệt âm d/ Tìm m để phơng trình có nghiệm phân biệt dơng Giải
a/ Phơng rình có nghiệm kép m vµ D' = Û m2 - 2m + + m2 - m = 0
Û 2m2 - 3m + = Û (m - 1)(2m - 1) = Û m = m = 1/2 Vậy m = 1/2 phơng trình có nghiệm kÐp: x =
(25)
D Û Û Û
' m
m m
m / m
0 (m 1)(2m 1)
m
m
x x m
0 m 1
m .
c/ Phơng trình có nghiệm phân biệt âm Û
D Û Û Û ' 2 m
m (m 1)(2m 1) 0
m
0 m
0 m / m /
0
x x m 1
0 m 2(m 1)
x x
0
m .
d/ Phơng trình có nghiệm phân biệt dơng Û
D
Û Û Û ' 2
m m 1
m (m 1)(2m 1) 0
m /
0 m
0 m
x x m 1
2 2(m 1)
x x
0
m Lo¹i
Vậy khơng tồn m để phơng trình có nghiệm phân biệt dơng Bi 5
Cho phơng trình: x2 - (2m - 3)x + m2 - 3m = 0.
a/ Chứng minh phơng trình ln có nghiệm m thay đổi b/ Tìm m để phơng trình có nghiệm x1, x2 thoả mãn: < x1 < x2 < Giải
a/ D = 4m2 - 12m + - 4m2 + 12m = > ị phơng trình có nghiệm.
b/ x1 =
2m 3
m
2 ; x2 =
2m 3
m
Víi mäi m ta lu«n cã: m - < m Þ < m - < m < Û < m < Bµi 6
Cho phơng trình: 3x2 - mx + = Tìm m để pt có nghiệm thoả mãn: 3x1x2 = 2x2 - 2. Giải
§K:
D ³ ³ £ ³ £
Û Û
1 2 2
1 2
1 2
m 24 m m m m
3x x 2x 2 2x x
(26)Gäi a, b lµ nghiƯm phơng trình: x2 + px + = 0 c, d nghiệm phơgn trình: x2 + qx + = 0 a/ Chøng minh r»ng: (a - c)(a - d)(b - c)(b - d) = (p - q)2 b/ Chøng minh r»ng: (a - c)(b - c)(a + d)(b + d) = q2 - p2 Gi¶i
Theo định lý Viét ta có:
a b p c d q
ab cd .
a/ VT = (a - c)(a - d)(b - c)(b - d) = (a2 - ad - ac + cd)(b2 - bc - bd + cd) = [a2 - a(c + d) + cd][b2 - b(c + d) + cd] = (a2 + aq + 1)(b2 + bq + 1) = a2b2 + a2bq + a2 +ab2q + abq2 + aq + b2 + bq + =
1 + aq + bq + q(a + b) + [(a + b)2 - 2ab] + q2 + =
2 + q(a + b) - pq + p2 - + q2 + = p2 - 2pq + q2 = (p - q)2 = VP.
b/ VT = (a - c)(b - c)(a + d)(b + d) = [ab - c(a + b) + c2][ab + d(a + b) + d2] = (1 + cp + c2 )(1-dp + d2) = 1- dp + d2 + cp - cdp2 + cd2p + c2 - c2dp + c2d2 =
= 1- dp + d2 + cp - p2 + dp + c2 - cp + = (c + d)2 - 2cd - p2 + = q2 - p2 = VP.
IV/ Phơng trình bậc cao
Bài 8
Giải phơng trình sau: a/ x3 - 2x2 - x + = 0
b/ x4 - 3x3 + 6x2 + 3x + = 0 c/ x4 + 2x3 - 6x2 + 2x + = 0 d/ (x2 - 3x + 1)(x2 - 3x + 2) = 2 e/ (x + 9)(x + 10) (x + 11) - 8x = f/ (x + 2)2 + (x + 3)3 + (x + 4)4 = 2 Gi¶i
a/ NhÈm thấy x = nghiệm ị phân tích VT lµm xt hiƯn x -
x3- 2x2 - x + = Û x2(x- 2)- (x- 2) = Û (x- 2)(x2 - 1) = Û x = x = ±1. C¸ch kh¸c:
x3 - 2x2 - x + = Û x3 - - (2x2 - 8) - (x - 2) = Û (x - 2)(x2 + 2x + - 2x - - 1) Û (x - 2) (x2- 1) = Û x = x = ±1.
b/ Do x = kh«ng phải nghiệm ị chia hai vế cho x2 ta cã:
Û
2
2
3 1
x 3x x x
x x x x
Đặt:
ị 2 12 2
x t x t
(27)Víi : t = -1 Û
Þ Û
1
2
1
x
1 2
x x x
x 1 5
x
2 .
Víi : t = Û
Þ Û
1
2
x
1
x x 4x
x x 2 5
c/ Do x = kh«ng phải nghiệm ị chia hai vế cho x2 ta cã:
Û
2
2
2 1
x 2x x x
x x x x
Đặt:
ị
2
1
x t x t
x x , thay vào phơng trình ta có: t2 - 2t - = Û t 1 5 t 5 (không tìm đợc x) Cách khác:
x4 + 2x3 - 6x2 + 2x + = Û (x4 - 2x2 + 1) + (2x3- 4x2 + 2x) = Û
(x2 - 1)2 + 2x(x - 1)2 = Û (x - 1)2[(x + 1)2 + 2x] = Û
x
x 4x
e/ Đặt t = x2 - 3x + ị phơng trình có dạng: t(t + 1) = Û t2 + t - = Û t = t = -2. Víi: t = Û x2 - 3x = Û x = x = 3.
Víi: t = -2 Û x2 - 3x + = 0, VN
f/ Đặt: x+ 10 = t ị (t - 1) t (t + 1) - 8(t - 10) = Û t3 - 9t + 80 = Û
Û (t + 5)(t2 - 5t + 16) = Û t = -5 x = -15. g/ Đặt: x + = t Þ (t - 2)2 + (t - 1)3 + t4 = Û
(t2 - 4t + 4) + (t3 - 3t2 + 3t - 1) + t4 = Û (t2 -1)(t2 + t - = Û
t2−1=0
¿ t2
+t −1=0
¿ ¿ ¿ ¿
Bài 9
Cho phơng trình: x3 - 2x2 + (m + 1)x - m = 0.
a/ Chứng minh rằng: phơng trình ln có nghiệm x = với m b/ Tìm m để phơng trình cú ỳng nghim
c/ Giải biện luận phơng trình theo m Giải
a/ Thay x = vào phơng trình ta thấy ln ị x = nghiệm với m b/ Pt Û (x - 1)( x2 - x + m) = 0
(28)TH1: f(x) = cã nghiÖm kÐp x Û
¿ Δ=0 f(1)≠0
⇔ ¿1−4m=0
m ≠0 ⇔m=1
4
¿{
¿
TH2: f(x) = có nghiệm phân biệt nghiệm phải Û
D
Û Û Û
0 4m m /
m
f(1) m m VËy: m = m = 1/4.
c/ XÐt PT x2 - x + m ta cã: D =1 - 4m.
NÕu D < Û 1- 4m < Û m > 1/4 Þ PT cã mét nghiÖm x =
NÕu
D
Û Û
0 4m
m
f(1) m Þ PT cã hai nghiƯm x = 1 x = 1/2.
NÕu
D
Û Û Û
0 4m m /
m
f(1) m m Þ PT cã hai nghiƯm x= x = 0.
NÕu
D
Û Û
0 4m m /
f(1) m m Þ
PT cã nghiÖm x = 1
± 1 4m x
2 .
BTVN
Bµi Cho phơng trình: 3x2 - 5x + m = 0.
a/ Tìm m để phơng trình có nghiệm x1 , x2 thoả mãn: x12 - x22 = 5/9 b/ Tìm m để phơng trình có nghiệm x1 , x2 thoả mãn: x13 + x23 = 72
Bài Cho phơng trình: x2 - 2mx + m + = 0.
Xác định m để phơng trình có nghiệm khơng âm Khi tính giá trị biểu thức: P =
1
x x
theo m
Bài Giải phơng trình:
a/ x3 - 2x2 -11x +12 b/ (x + 1)(x + 3) (x + 5)(x + 7) + 15 = 0
c/ x4 + 5x3 - 12x2 + 5x + = d/ x4 + 6x3 + 7x2 - 6x + = e/ 2x4 - x3 - 5x2 + x + = 0 Hìng dÉn
Do x = nghiệm ị chia c¶ hai vÕ cho x2 ta cã:
Û
2
2
1 1
2x x x x
x x x x
Đặt:
ị 12
x t x t
(29)Víi : t = Û
Þ Û
1
2
1
x
1 2
x x x
x 1 5
x
2 .
Víi : t = -1/2 Û
Þ Û
1
2
1 17 x
1
x 2x x
x 1 17
x
(30)Chuyờn 6
Giải phơng trình, bất phơng trình chứa gttđ thức
I/ Giải phơng trình chứa GTTĐ
*/ Dạng
A= B Û
³
³
Û
±
2
B B
A B
A B
A= B Û A2 = B2Û A = B */ Dạng không
- Dựng định nghĩa: A=
³
A nÕu A
A nÕu A
- Dùng tính chất giá trị tuyệt đối:
a = a Û a ³
a = -a Û a £
a + b = a + b Û a.b ³
a + b = a + b Û a ³ vµ b ³ Bµi 1
Giải phơng trình sau: a/ x + 1= x(x + 1)
b/ 7 - 2x= 5 - 3x+ x + 2
c/ x2 - 1+ x2 - 4=3
d/ x2 - 5x + 5= -2x2 + 10x -11 Gi¶i
a/ x + 1 = x(x + 1)Û x + 1 = x x + 1Û x + 1( x - 1) = Û
Û Û ±
±
x x
x
x
x
C¸ch kh¸c:
x+1= x(x+ 1)Ûx + 1= x2 + x Û
Û Û ±
2
2
x
x x x
x
x x x x
b/ 7 - 2x= 5 - 3x+ x + 27Û5 - 3x+ x + 2= - 2x Û
5 - 3x+ x + 2= (5 - 3x) + (x + 2) , ¸p dơng: a + b = a + b Û ab ³
Þ (5 - 3x)(x + 2) ³ Û -2 £ x Ê 5/3 c/ Đặt: t = x2 - Þ x2 - = t - 3
Þ x2 - 1+ x2 - = Û t + t - =3 (*)
NÕu: t ³ Þ (*) Û 2t = Û t = Þ x2 = Û x = ±2
(31)Û £ x2 < Û
³
£
£ Û
£
x
1 x
x
2 x
2 x
NÕu: < t Þ (*) Û 2t = t = loại
Vậy phơng trình cã nghiÖm:
£ £
£ £
1 x 2 x 1.
d/ x2 - 5x + 5= -2x2 + 10x -11 Û / x2 - 5x + 5= -2(x2 - 5x + 5) -1
Đặt: t = x2 - 5x + Þ ta cã: t = -2t -1 Û
³ £
Û Û
2t t /
t t 2t t /
t 2t t
Û-1 = x2 - 5x + Û x2 - 5x + =0 Û x = x = 3.
II/ Giải phơng trình chứa thức
*/ Dạng b¶n
³ Û
B
A B
A B
³
Û
B
A B
A B
*/ Dạng không
- Nâng luỹ thõa hai vÕ (hai vÕ cïng dÊu, tèt nhÊt lµ không âm)
- a v hng ng thc v đa ngồi dùng tính chất GTTĐ - Đặt ẩn phụ đánh giá giá trị hai v
Bài 2
Giải phơng trình sau: a/ x 1 x
b/ x x 3
c/ x x 1
d/ x2 2x 1 x24x4 3
e/ x x 1 x x 1 5
f/
x
x x x x
2
(32)a/
³
³ ³
Û Û Û Û
2
x
x x
x x x x
x (x 1) x 3x
x
b/ §K:
³ £
Û Û £ £
³ ³
1 x x
4 x
4 x x
Û Û Û
1 x x (1 x)(4 x) (1 x)(4 x)
Û 2 Û
x 3x x x
c/ §K:
³ £
Û Û £ £
³ ³
1 x x
2 x
2 x x
Û Û Û
1 x x 1 x x x x 2 x
Û 2x (x 1)
Û
£
£ £
Û Û Û
2
x
1
x x x 1 5
x
2
2 x x 2x x x
1
x
2
d/ Û Û
2 2
x 2x x 4x (x 1) (x 2) x x
Û x x 2 Û3 x x 2 (1 x) (x 2)
áp dụng: a b a b a.b0ị ta cã: (1 - x)(x + 2) ³ Û -2 £ x £
e/ x x 1 x x 1 5 §K: x ³
Û
x x x x x x x x
Û Û
( x 2) ( x 3) x x
Û
x x x x ( x 2) (3 x 1)
¸p dơng: a b a b Û a.b³0 Þ ta cã:
³ Û £ £ Û £ £
( x 2)(3 x 1) x x 10.
f/
x
x x x x
(33) x 3Û x x x x x x x 1 x x 1
2
Û ( x 1) ( x 1) x 3Û x 1 x 1 x
2 (*)
NÕu:
³ Û ³ Þ Û x 3Û 2 Û
x 1 x (*) x 16x 16 x 6x
2
Û 2 Û Û
x 10x 25 (x 5) x
NÕu:
Û Þ Û x 3Û
x 1 x (*) x
2 g/ x 2x 5 x 2 2x 5 2 §K: x ³ 5/2
Û
x 2x x 2x 2
Û 2x 4 2x 5 2x 2x 5 4
Û
2x 2x 2x 2x
Û ( 2x 5 3)2 ( 2x 1) 4
Û 2x 5 3 2x 1 Û4 2x 5 3 2x 5 Û4
Û 2x 5 3 2x 5 ( 2x 5 3) (1 2x 5)
¸p dơng: a b a b Û a.b³0Þ ta cã:
³ Û ³ Û £ Û £
( 2x 3)(1 2x 5) 2x 2x x 3
VËy: 5/2 Ê x Ê Bài 3
Giải phơng tr×nh sau: a/ 3x2 2x2 x2x 1 x
b/
x x
(5 6) (5 ) 10 Gi¶i
a/ 3x2 2x2 x2x 1 x §K: x2 + x ³ Û x ³ x £ -1
PT Û 3x2 3x 1 2 x2x Û 3(x2x) 1 2 x2x
(34)t = Û
±
Û Û
2
x x x x x
2
b/ Do: (5 )(5 ) 1 ị đặt:
x
(5 ) t (t 0)Þ PT Û
t 10
t Û
Û
2 t
t 10t
t
Víi Û Û
x
t (5 ) x
Víi
Û x Û x 1Û
t (5 6) (5 6) (5 6) x
Vậy phơng trình có hai nghiệm: x = Bài 4
Giải phơng trình:
a/ 3x22x2 x2 x 1 x b/ x24x 5 2 2x 3
c/ x210x213 x 3 2 x 7
d/
2
3x 12x 16 y 4y 13
e/ 3x26x 7 5x210x 14 4 2x x2
f/
2 2
x 3x x 2x x 4x
2
g/ 2x 3 2x 3x2 12x 14 Gi¶i
a/ §K: x2 + x ³ Û x ³ x £ -1
Û
2 2
3x 2x x x x 3(x x) x x
Đặt ³
2
x x t (t 0)Þ PT Û 3t2 - 2t - = Û t = 1 t = -1/3 (lo¹i)
± Û 2 Û 2 Û
t x x x x x
(35) Û Û
2
x 4x 2x (x 2x 1) (2x 3) 2x
Û Û Û
2
2
2
(x 1)
(x 1) ( 2x 1) x
( 2x 1) .
c/ §K:
³
Û ³
³
x
x
x
Û
2
x 10x 21 x x (x 3)(x 7) x x
Û x 3 x 7 x 7 Û0 x 7 x 3 Û0
Û Û Û
x x
x x
x
d/ Do: 3x2 -12x + 16 = 3(x - 2)2 + ³ Þ 3x2 12x 16 ³2 y2 - 4y + 13 =(y - 2)2 + ³ Þ
Þ ³
2
3x 12x 16 y 4y 13 Þ PT Û
Û
2
3(x 2) x
y (y 2)
e/ 3x26x 7 5x2 10x 14 4 2x x2 Û
Û x 1 2 4 x 1 29 5 x 1
Mµ: ³
2
3 x x 9
- (x+1)2Ê 5 nên ta có: (x+1)2 = Û x = -1.
f/ Ta cã:
x2 - 2x + = (x- 1)2 + > 0 x2 - 4x + = (x- 2)2 + > 0
³
2
2 x 2x x 4x 2
x 3x x 2x x 4x
2
Þ PT Û x2- 2x + = x2 - 4x + Û x = 3/2. g/ §K: 3/2 £ x £ 5/2
VP = x2 - 12x + 14 = 3(x - 2)2 + ³ 2, dÊu b»ng x¶y Û x = 2.
VT2 = £ Û £
2 2
( 2x 2x ) (2x 2x)(1 ) ( 2x 2x )
Û 2x 3 2x £2, dÊu b»ng x¶y Û 2x - = - 2x Û x = 2.
(36)Giải bất phơng trình sau: a/ x - < x2 + x + 1
b/ x2 2x 1 ³1 Giải
a/ Nếu: x ị PT Û x - < x2 + x + x2 > - ị BPT có vô số nghiÖm x ³ 4(1)
NÕu: x < Þ PT Û - x < x2 + x + Û x2 + 2x - > Û x > 1 x < -3 Û x < -3 < x < (2)
Từ (1) (2) ị x < -3 x > 1.
b/
³ ³
³ Û ³ Û ³ Û Û
£ £
2 x 1 x
x 2x 1 (x 1) x 1
x 1 x
BTVN
Bài Giải phơng trình: a/ x2 + 2x - x + 1= b/ x - 1 - x - = 1
Bài 2Giải phơng trình sau:
a/ x 3x 5 b/ 2x x
c/ x 3 x 2x 8 (x = 5, x = 6) d/ x x 1 x x 1 1
e/ 3 x x 1 2 x x 1 f/
x x
(7 48) (7 48) 14
g/ x 94 96 x x2190x 9027 h/ x x 2 x2 6x 13 Hìng dÉn §K: -2 £ x £
VP = x2 - 6x + 13 = (x - 3)2 + ³ dÊu b»ng x¶y Û x = 3.
VT2 = £ Û £
2 2
( x x ) (6 x x 2)(1 ) ( x x ) 16
£
( x x ) 4 DÊu b»ng x¶y Û x x 2 Û x4.
(37)Chuyờn 7
Giải toán cách lập phơng trình, hệ phơng trình
I/ Cỏc bớc để giải toán cách lập phơng trỡnh, H phng trỡnh
B1: Lập phơng trình
- Chọn ẩn xác định điều kiện cho ẩn - Biểu thị số liệu cha biết qua ẩn
- Tìm mối liên hệ số liệu để lập phơng trình hệ phơng trình B2: Giải phơng trình giải hệ phơng trình
B3: Chän kết thích hợp trả lời Chú ý:
- Quảng đờng = vận tốc x thời gian (toán chuyển động) - Sản lợng = suất x thời gian (tốn suất)
- Ngồi cách chọn ẩn trực tiếp ta cần chọn ẩn gián tiếp để đợc phơng trình đơn giản
II/ Bµi tËp.
*/ Tốn chuyển động
Bµi 1
Một ca nơ xi dịng từ A đến B với vận tốc trung bình 30 km/h, sau lại ngợc từ B đến A thời gian xi thời gian ngợc 40 phút Tính độ dài khúc sơng AB biết vận tốc dịng nớc km/h vận tốc ca nơ khơng đổi
Gi¶i
Gọi độ dài khúc sông AB s (km)
thời gian ca nô xuôi dòng là: s/30 (giờ) thời gian ca nô ngợc dòng là: s/(30 - 6) (giờ) Theo ta có phơng trình:
Û Û Û Û
s s s s s s
2 2s 160 s 80 (km)
30 30 24 30 10
Bµi 2
Một ca nơ dự định từ A đến B thời gian định Nếu vận tốc ca nơ tăng km/h đến nơi sớm Nếu vận tốc ca nô giảm km/h đến nơi chậm Tính chiều dài khúc sơng
Gi¶i
Gọi vận tốc dự định ca nô v (km/h) (v > 3), thời gian dự định t (giờ) (t > 2), chiều dài khúc sơng AB v.t (km)
Nếu vận tốc ca nơ tăng km/h đến nơi sớm ị ta có: (v + 3)(y - 2) = v.t Nếu vận tốc ca nô giảm km/h đến nơi chậm ị ta có: (v-3)(y+3) = v.t Vậy ta có hệ phơng trình:
Û Û Û
(v 3)(t 2) vt vt 2v 3t vt 2v 3t v 15 (v 3)(t 3) vt vt 3v 3t vt 3v 3t t 12
(38)Mét ca n« xu«i khúc sông dài 40 km ngợc khúc sông hÕt giê rìi BiÕt thêi gian ca n« xu«i km thời gian ca nô ngợc km Tính vận tốc dòng nớc
Giải
Gọi vận tốc dòng nớc x (km.h) vận tố ca nô y (km/h),(x >y >0)
Do ca nô xuôi khúc sông dài 40 km ngợc khúc sông hết rỡi ị ta cã:
40 40
(1) x y x y
Do thêi gian ca n« xu«i km b»ng thêi gian ca nô ngợc km ị ta có:
x+y= x − y(2)
Tõ (1) vµ (2) ta cã hƯ ph¬ng trinh:
Û Û Û
40 40 40 40 90
x y x y x y x y x y
5 50 40
0 0
x y x y x y x y x y x y
Û Û
x y 20 x 18
x y 16 y VËy: vận tốc dòng nớc y = km/h.
Bài 4
Một ca nô xuôi dòng 45 km ngợc dòng 18 km Biết thời gian xuôi lâu thời gian ngợc vận tốc xuôi lớn vận tốc ngợc km/h tính vận tốc ca nô lúc ngợc dòng
Giải
Gọi v (km/h) vận tốc ca nô lúc ngợc dòng (v > 0) thời gian xuôi dòng 45 km 45/ (v+6) thời gian ngợc dòng 18 km 18/v Theo ta có phơng trình:
Û Û Û
2 v 12
45 18
1 45v 18v 108 v 6v v 21v 108
v v v .
Vậy vận tốc ca nô lúc ngợc dòng là: v = 12 v = Bài 5*
Một bè nứa trôi tự ca nơ rời bến A để xi dịng sơng Ca nơ xi dịng đợc 96 km trở A, lẫn 14 đờng cịn cách A 24 km ca nơ gặp bè nứa trơi Tìm vận tốc riêng ca nơ vận tốc dịng nớc
Gi¶i
Gọi vận tốc ca nô x (km/h) vận tốc dòng nớc y (km/h) (x>y>0)
Do Ca nơ xi dịng đợc 96 km trở A, lẫn 14 nên ta có:
96 96
14 (1) x y x y
(39)
96 72 24
(2)
x y x y y
Từ (1) (2) ta có hệ phơng trình:
96 96
14 (1) x y x y
96 72 24
(2)
x y x y y
Tõ (2) Þ
Û Û
96 72 24
x y x y y x y x y y
Û 4xy 4y 23y23xyx2 y2 Û x7y (2 )'
Tõ (1) Þ
Û Û
2 '
96 96 48 48
14 96x 7(x y ) (1 )
x y x y x y x y
Thay (2') vào (1') ta đợc: 96y = 48y2Û y = ị x = 14
Vậy vân tốc riêng ca nô x = 14 vận tốc dòng nớc y = Bµi 6*
Một tàu thuỷ xi từ bến A đến bến B hết ngợc từ bến B bến A hết Hỏi bè đợc thả trơi theo dịng nớc từ bến A đến bến B hết bao lâu? Biết lợt nh lợt về, tàu thuỷ không dừng lại chỗ giữ nguyên vận tốc riêng (vận tốc riêng vận tốc nớc yên lặng)
Giải
Gọi khoảng cách AB s ị
Vận tốc tàu thuỷ xuôi dòng là: vx = s/5 Vận tốc tàu thuỷ ngợc dòng là: = s/7 Ta cã:
vx= vtàu + vnớc, = vtàu - vnớc ị vx- = 2vnớc Û s/5 - s/7 = 2vnớc ị vnớc = s/35 Vậy: Một bè trôi từ A đến B hết 35
Bµi 7
Quảng đờng AB gồm đoạn lên dốc dài km đoạn xuống dốc dài km Một ngời xe đạp từ A đến B hết 40 phút từ B A hết 41 phút (vận tốc lên dốc lúc nh nhau, vận tốc xuống dốc lúc nh nhau) Tính vận tốc lúc lên dốc lúc xuống dốc Giải
Gäi vận tốc lúc lên dốc x (km/h), vận tốc lóc xng dèc lµ y (km/h) Theo bµi ta có hệ phơng trình:
Û Û Û
4 40 20 25 200 36
x y 60 x y 60 y 60 y 15
5 41 20 16 164 41 x 12
x y 60 x y 60 x y 60
(40)
Bµi 8
Một ngời xe đạp từ A đến B gồm đoạn lên dốc AC đoạn xuống dốc CB Thời gian AB giờ, thời gian BA 45 phút Tính chiều dài quảng đờng AB? Biết lên dốc ngời với vận tốc 10 km/h xuống dốc ngời với vận tốc 15 km/h
Gi¶i
Gọi quảng đờng AB s (km) ị ta có:
Û Û Û
AC CB
AC BC CB CA 15 s s 15
10 15
BC CA 10 15 10 15
10 15
Û 6s 4s 225Û s22, km Bµi 9
Một ngời xe đạp từ A đến B đờng dài 78 km Sau ngời thứ hai từ B đến A hai ngời gặp C cách B 36 km Tính thời gian ngời từ lúc khởi hành đến lúc gặp biết vận tốc ngời thứ hai lớn vận tốc ngời thứ km/h
Gi¶i
Gäi vËn tèc ngêi thø nhÊt lµ v (km/h), (v > 0) vận tốc ngời thứ hai v + Thời gian ngời thứ là: 42/ v
Thời gian ngời thứ hai là: 36/(v+4) Theo ta có phơng trình:
Û Û Û
2
42 36
1 6v 168 v 4v v 2v 168 v 14
v v
VËy: Thêi gian ngêi thø là: 42/ 14 = Thời gian ngời thứ hai là: 36/ 18 = giê Bµi 10
Hai đơn vị đội hai địa điểm A B cách 39,5 km Lúc đơnvị A phía B với vận tốc km/h Sau đơn vị B phía A với vận tốc km/h Hỏi hai đơn vị gặp lúc
Gi¶i
Gọi quảng đờng đơn vị thứ đợc gặp s1 Gọi quảng đờng đơn vị thứ hai đợc gặp s2 Thời gian đơn vị thứ đợc gặp s1/6 Thời gian đơn vị thứ hai đợc gặp s2/5 Theo ta có phơng trình:
Û Û Û
1
1 1
1 2
1
s s
5s 6s 60 11s 297 s 27
2
6s 6s 237 6s 6s 237 s 12,5 s s 39,
(41)
Bµi 11*
Một ô tô tải từ A đến B với vận tốc 30 km/h Sau thời gian, xe xuất phát từ A với vận tốc 40km/h khơng có thay đổi đuổi kịp ôtô tải B Nh ng sau đợc nửa quảng đờng AB xe tăng vận tốc lên thành 45 km/h nên sau đuổi kịp tơ tải Tính quảng đờng AB
Gi¶i
Gọi quảng đờng AB s (km)
Thời gian ôtô tải bình thờng s/30 thời gian xe bình thờng s/40
Xe xuất phát sau ô tô tải thêi gian lµ:
s s s
30 40 120.
Quảng đờng mà xe sau kể từ lúc tăng tốc gặp xe tải 45 km
Nh thời gian mà ôtô tải từ A gặp xe là:
s 45
2.30 30
Thời gian thời gian xe là:
s s
1 2.40 120 . VËy ta cã ph¬ng tr×nh:
Û Û
s s s 45 3s 2s 4s 120
1 s 120
2.40 120 2.30 30 240 240 240 240
Vậy: Quảng đờng AB = 120 km Bài 12*
Hai đơn vị đội lúc từ hai địa điểm A B để gặp Đơn vị từ A đợc km Đơn vị từ B đợc km Một ngời liên lạc xe đạp với vân tốc 12 km/h lên đờng lúc với đơn vị đội, A để gặp đơn vị từ B Khi gặp đơn vị rồi, ngời liên lạc quay găpkj đơn vị từ A gặp đơn vị lại lập tứcquay để gặp đơn vị từ B cứnh hai đơn vị gặp Biết rầngB dài 27 km Tính quảng đờng ngời liên lạc
Gi¶i
Ta có thời gian mà ngời liên lạc chạy chạy lại thời gian mà hai đơn vị đội gặp Gọi thời gian t (giờ)
Quảng đờng mà đơnvị từ A đợc là: 4t Quảng đờng mà đơnvị từ B đợc là: 5t Theo ta có: 4t + 5t = 27 Û t =
Vậy: Quảng đờng mà ngời liên lạc là: 12.3 = 36 km
*/ Toán vòi nớc, toán suất
Bài 13
Ngời ta mở đồng thời hai vòi nớc chảy vào bể cạn Sau bể đầy nớc Hỏi chảy mình, để đầy bể vòi cần thời gian? Biết lợng nớc chảy vòi thứ 20 phút lợng nớc chảy vòi thứ hai 45 phút
Gi¶i
(42)Gọi t2 thời gian vịi hai chảy đầy bể ị 1giờ vòiâhi chảy đợc 1/t2 bể
ị ta có: 4/t1 + 4/t2 = (1) Mặt kh¸c:
Trong 20 phút = 7/3 vòi chảy đợc 7/3t1 bể Trong 45 phút = 7/4 vòi hai chảy đợc 7/4t2 bể
Þ ta cã: 7/3t1 = 7/4t2 (2)
Tõ (1) (2) ta có hệ phơng trình:
Û Û Û
1 2 1
2 2
1
4
t t 4t 4t t t 7t t t t 28 /
7 4t 3t 4t 3t t
3t 4t
Vậy: Vòi chảy đầy bể phải 28/3 Vòi hai chảy đầy bể phải Bài 14*
Ngời ta đặt vòi nớc chảy vào bể nớc vòi nớc chảy lng chừng bể Khi bể cạn, mở hai vịi sau 42 phút bể đầy nớc Còn đóng vịi chảy ra, mở vịi chảy vào sau 1giờ 30 phút đầy bể Biết vòi chảy vào mạnh gấp lần vịi chảy
a/ Tính thời gian nớc chảy vào từ lúc bể cạn đến lúc nớc ngang chỗ đặt vòi chảy b/ Nếu chiều cao bể 2m khoảng cách từ chỗ đặt vòi chảy đến đáy bể Giải
a/ Gọi t (giờ) thời gian vòi nớc chảy vào từ bể cạn mức nớc ngang chỗ đặt vòi chảy
Trong vòi chảy vào chảy đợc 1/1,5 = 2/3 bể Trong vòi chảy chảy đợc 2/3 : = 1/3 bể
NÕu më c¶ hai vòi lợng nớc chảy vào bể lµ: 2/3 - 1/3 = 1/3
Nhng t đầu có vòi chảy vào làm việc nên lợng nớc chảy vào bể 2t/3 bể
Thời gian hai vòi làm việc 42 - t giê = (27/10 - t) giê lỵng nớc chảy vào bể (27/10 - t)/3 bể
ị ta có phơng trình:
Û Û
27 t
2t 10 20t 27 10t 30
1 t
3 30 30 30 10.
Vậy: thời gian nớc chảy vào từ lúc bể cạn đến lúc nớc ngang chỗ đặt vòi chảy 0,3 b/ Nếu chiều cao bể 2m riêng vịi chảy vào làm việc 1,5 mực nớc cao m ị
riêng vòi chảy vào làm việc 0,3 mực nớc cao 2.0,3/1,5 = 0,4 m Vậy: khoảng cách từ chỗ đặt vòichảy đến đáy bể 0,4 m
Bµi 15
Mét phßng häp cã mét sè d·y ghÕ, tỉng cộng 40 chỗ Do phải xếp 55 chỗ nên ngời ta kê thêm dÃy ghế dÃy xếp thêm chỗ Hỏi lúc đầu có dÃy ghế phòng?
Giải
(43)Lúc sau có x + 1dÃy dÃy có 40/x + ghế ị ta có phơng trình:
40 Û 2 Û
(x 1)( 1) 55 x 14x 40 x x 10
x
vậy lúc đầu phòng có dÃy, dÃy 10 chỗ có 10 dÃy dÃy chỗ Bài 16
Mt xớ nghiệp dự định điều số xe để chuyển 120 tạ hàng Nếu xe chở thêm tạ so với dự định số xe giảm Tính số xe dự định điều động
Gi¶i
Gọi số xe dự định điều động x ( x nguyên dơng) ị xe chở 120/x tạ Theo ta có phơng trình:
Û Û
2
120 120
1 x 4x 480 x 24
x x
Vậy số xe dự định điều động 24 xe Bài 17
Có hai đội công nhân, đội phải sửa 10 km đờng Thời gian đôi làm nhiều đội ngày Trong ngày, đội làm đợc km biết hai đội làm đợc 4,5 km ngày
Gi¶i
Gọi quảng đờng đội làm ngày x (km), (0<x<4,5) quảng đờng đội làm ngày 4,5 - x
Theo bµi ta có phơng trình:
Û
2
10 10
1 x 24,5x 45 x x 22,5
x 4, x (lo¹i)
Vậy: Trong ngày đội làmđợc km, đội làm đợc 2,5 km Bài 18
Hai máy cày làm việc cánh đồng Nếu hai máy 10 ngày xong cơng việc Nhng thực tế hai máy làm việc ngày đầu, sau máy thứ cày nơi khác, máy thứ hai làm tiếp ngày xong Hỏi máy làm việc cày xong cánh đồng
Gi¶i
Gọi x số ngày máy cày xong cánh đồng y số ngày máy cày mỡnh xong c cỏnh ng
Do hai máy cày 10 ngày xong việc nên ta có: 10/x + 10/y = (1)
Nhng thực tế hai máy làm việc ngày đầu, sau máy thứ hai làm tiếp ngày xong nên ta có: 7/x + 7/y + 9/y = (2)
Tõ (1) vµ (2) ta cã: x = 15, y = 30. Bµi 19
(44)Cứ bán nh hết số trứng ngày bán nh Hỏi số trứng có tát bao nhiêu?
Gi¶i
Gi¶ sư số trứng có tất x ( x > 0)
Ngày thứ bán:
1 150 (x 150)
9 (1)
Ngµy thø hai b¸n:
1
200 x 200 150 (x 150)
9 (2)
Do số trứng bán ngày nh nên ta cã:
Û
1 1
150 (x 150) 200 x 200 150 (x 150)
9 9
Û Û
x 150 450 x 200 150 (x 150) x 150 250.9 x 2400
Vây: Số trứngcó tất 2400 ngày bán đợc 400
BTVN Bµi 1
Một ngời xe máy từ A đến B vận tốc 40 km/h Đi đợc 15 phút ngời gặp ơtơ từ B đến với vận tốc 50 km/h Ơtơ đến A nghỉ 15 phút trở B gặp ngời xe máy cách B 20 km Tính quảng đờng AB
Hìng dÉn
Gọi C, D nơi mà ơtơ gặp ngời xe máy thứ lần thứ Quảng đờng CD s (km)
ị ta có quảng đờng AC dài 40.1/4 = 10 (km) thời gian ngời xe máy từ C đến D s/40 Trong thời gian ơtơ từ C đến A nghỉ 15 phút đoạn AD với tổng thời gian (10+10+s)/50 + 1/4
Vậy ta có phơng trình:
Û Û
s 10 10 s 5s 80 4s 50
s 130
40 50 200 200 200
Vậy: Quảng đờng AB dài: 10 + 130 + 20 = 160
Bµi 2
Hai vịi nớc chảy vào bể bể sễ đầy 20 phút Ngời ta cho vòi thứ chảy giờ, vòithứ hai chảy hai vịi chảy đợc 4/5 bể Tính thời gian vịi chảy đầy bể
Hìng dÉn
Gọi t1 thời gian vịi chảy đầy bể ị 1giờ vòi chảy đợc 1/t1 bể Gọi t2 thời gian vịi hai chảy đầy bể ị 1giờ vịiâhi chảy đợc 1/t2 bể
Þ ta cã: 10/3t1 + 10/3t2 = (1) Mặt khác:
Trong vòi chảy đợc 3/t1 bể Trong vịi hai chảy đợc 2/t2 bể
Þ ta cã: 3/t1 + 2/t2 = 4/5 (2)
(45)Bµi 3
Trong mét líp häc nÕu bè trÝ em ngồi ghế thiếu ghế Nếu bố trí em ngồi ghế thõa ghÕ TÝnh sØ sè líp vµ sè ghÕ ®ang cã líp
Hìng dÉn
Gäi sØ số lớp s ị s/4 + s/3 - Û s/3 - s/4 = Û s = 36 ị số ghế = 10
Bài 4
Một vờn hình chữ nhật có chu vi 450 m Nếu giảm chiều dài 1/5 chiều dài cũ, tăng chiều rộng thêm 1/4 chiều rộng cũ chu vi hình chữ nhật khơng đổi Tính chiều dài chiều rộng vờng
Bµi 5
(46)Chuyờn 8
Hệ thức lợng tam giác
I/ Lý thuyết
1/ Định lý Talét tam giác: DE // BC ị
AD AE DE
AB AC BC
Định lý Talét tổng quát: AA1 // BB1 // CC1 ị
1 1 1
AB BC AC
A B B C A C
2/ Tính chất đờng phân giác tam giác:
D ABC có AD đờng phân giác Û
DB AB
DC AC
3/ Tam giác đồng giạng:
D ABC ~D A1B1C1 Û
1 A A B B C C hc
1 1 1
AB AC BC
A B A C B C hc
1 1
A A
AB AC
A B A C
NÕu: D ABC ~D A1B1C1 mµ
1 AB k A B 1 AH k A H D D
1 1 ABC A B C
S
k S
4/ HÖ thức lợng tam giác vuông: -/ a2 = b2 + c2
-/ c2 = ac,, b2 = ab, -/ h2 = b,c,
-/ ah = bc
-/
2 2
1 1
h b c
II/ Bµi tËp
Bµi 1
Cho tam giác ABC, đờng thẳng d// BC cắt AB M, cắt AC N Gọi I, J lần lợt trung điểm MN BC
a/ Chøng minh r»ng: A, I, J thẳng hàng
b/ Gọi P, Q, H lần lợt hình chiếu M, N, A lên BC, O = MP ầ NQ, R trung điểm AH Chứng minh rằng: J, O, R thẳng hàng
Giải
a/ áp dụng định lý Talét cho tam giác ABC ta có:
Û Û
MN AN MN / AN IN AN
BC AC BC / AC JC AC Þ
A B D C A B C C1 B1 A1 A C H B c b a c, b, h A B E
B J C
N
I
M
P H Q
O R
S
(47)A, I, J thẳng hàng
b/ Gọi S trung điểm PQ ị I, O, S thẳng hàng
và O trung điểm IS, AH // IS ị theo câu a ta có J, O, R thẳng hàng Bài 2
Cho tam giác ABC vuông A, phân giác AD, phân giác AE Cho biết AB < AC Chứng minh hÖ thøc sau:
a/
1
AB AC AD b/
1
AB AC AE
Giải
Vẽ DH ^ AB, DK ^ AC ị DH = DK =
AD
a/ áp dụng định lý Talét cho DABC ta có:
Û Û
DK CD AD 1
AB CB 2AB AB 2AD
Û Û
HD CD AD 1
AC CB 2AC AC 2AD Þ
1 2
AB AC 2AD AD.
C¸ch kh¸c: Chó ý: SABC =
2 AB.ADsinÐ(AB;AC)
a/ Ta cã: SABC =
1
2AB.AC = SABD + SACD = 1
2 AB.ADsin450 +
1
2AC.ADsin450Þ
AB.AC = (AB+AC)AD
2 Þ
Û Û
AB.AC 2AD AB AC
AB AC AB.AC AD Û
1
AB AC AD
b/ Ta cã: SABC =
1
2 AB.AC = SAEC - SABE = 1
2 AE.ACsin1350 -
1
2 AB.AEsin450 Þ Þ AB.AC =
AE
2 (AC - AB) Þ
Û Û
AB.AC AE AC AB
AC AB AB.AC AE
Û
AB AC AE.
Bµi 3
Cho tam giác ABC vng A, đờngcao AH, trung tuyến AM Chứng minh hệ thức sau:
a/
2
MH BM
2
BH AB b/
2
2 2 BC
AB AC 2AM
2
Gi¶i
a/ Do tam giác ABC vuông A nên ta có:
A B
A
C E
(48)
2
AB AB
BH
BC 2BM
2 2
AB 2BM AB
MH MB BH BM
2BM 2BM
Þ
2
2 2
2
MH 2BM AB 2BM 2BM AB BM
BH 2BM AB AB AB .
b/ Ta cã: AB2 = AH2 + HB2, AC2 = AH2 + HC2
Þ AB2+ AC2 = 2AH2+ HB2+ HC2 = 2AH2+ (BM - HM)2+ (MC + HM)2 = 2AH2 + BM2+ MC2+2HM2- 2BM.HM + 2MC.HM = 2(AH2+ HM2) + (BC/2)2+ (BC/2)2 = 2AM2 + BC2/2. Bµi 4
Cho tam giác ABC, O trung điểm BC, góc xOy = 600 có cạnh Ox, Oy ln cắt AB, AC M N
a/ Chøng minh r»ng OB2 = BM.CN
b/ Chøng minh r»ng tia MO, NO lu«n phân giác góc BMN CMN
c/ Chứng minh đờng thẳng MN tiếp xúc với đờng trịn cố định góc xOy quay quanh O nhng hai cạnh Ox, Oy cắt hai cạnh AB AC tam giác ABC
Gi¶i
a/ Ta cã: ÐB = ÐC = 600
ÐO1 + ÐO2 = 1200; ÐO1 + ÐM1 = 1200
ÞÐM1= ÐO2 ÞÐN1 = ÐO1 ÞDBOM ~DCNO Þ
BO/CN = BM/CO Û BO.CO = BM.CN Û BO2 = BM.CN
b/ Tõ (a) ta cã:
Û Û
OM BM OM ON OM ON
NO CO BM CO BM OB
Mặt khác: ÐMBO = ÐMON = 600 Û DBOM ~ DONM Û éM1 = éM2 ị OM tia phân giác ÐBMN
c/ Do O giao điểm hai tia phân giác éBMN éMNC ị O cách AB, MN AC
Gäi H lµ hình chiếu O lên AB ị OH = OB.sinB =
a a
2 ị MN tiếp xúc với
đ-ờng trịn cố định có tâm O bán kính a
4 . Bµi 5
Cho tam giác ABC, cạnh BC, AB, AC lấy ba điểm O, M, N cho O khác B, C éMON = 600.
Chøng minh r»ng: BM.CN £ BC2/4 DÊu b»ng x¶y nào? Giải
Ta có: éBOM =1800 - éB - ÐBMO = 1200 - ÐBMO Mµ: ÐBOM = 1800 - ÐMON - ÐCON = 1200 - ÐCON
B H M C
A
B C
N
M
O H
A
M
(49)ÞÐBMO = Ð CON ÞDBOM ~DCNO Þ
BM/CO = BO/CN Û BM.CN = BO.CO £
2 2
BO CO BC
2
Bài 6
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Gọi H trực tâm tam giác ABC, K chân đ ờng cao
vẽ tõ A cña DABC Chøng minh r»ng:
£
2
BC KH.KA
4 .
Gi¶i
XÐt DAKB vµ DCKH cã: ÐAKB = ÐCKH = 900
éBAK = éHCK (hai góc nhọn cạnh tơng ứng vuông góc)
ịDAKB ~DCKH ị
KA KC
KB KHÞ
Þ
£
2 2
KB KC BC
KA.KH KB.KC
2
Þ
£
2
BC KH.KA
4
Bài 7
Cho tam giác ABC vuông A Chứng minh rằng: é
ABC AC
tg
2 AB BC
Giải
a/ Xét DABD có éA = 900ị
Ð
Ð ADÛ ABC AD
tg ABD tg
AB AB
Vẽ đờng phân giác BD ta có:
Û
DA BA DA DC DA DC AC
DC BC BA BC AB BC AB BC
Þ
Ð
ABC AC
tg
2 AB BC .
Bµi 8
Cho hình thoi ABCD Gọi R1, R2 lần lợt bán kính đờng trịn ngoại tiếp DABD DABC Gọi a độ dài cạnh hình thoi
a/ Chøng minh r»ng:
2 2
1
1
R R a .
b/ TÝnh diƯn tÝch h×nh thoi theo R1 R2 Giải
a/ Gi s trung trc cạnh AB cắt AC O1 cắt BD O2 ị O1 O2 tâm đờng tròn ngoại tiếp DABD DABC ị O1A = R1 O2B = R2
B A
C O
D E
A
B C
K H
B C
(50)DO1AK ~DABO Þ
Þ
1
O A AK R a
AB AO a 2AO (1)
DO2BK ~DABO Þ
Þ
2
O A BK R a
AB BO a 2BO (2)
Từ (1) (2)ị
4 2 2 a a
4AO , 4BO
R R
Þ
Û Û
2 4
2 2 2 2
1 2
1 1 1
4 AO BO a 4a a
R R R R R R a
b/ Ta cã: SABCD = 2OA.OB
DAOB ~DAKO2 Þ
Þ
2
2
OA AB AB
OA
AK AO 2R
DAOB ~DO1KB Þ
Þ
2
1
OB AB AB
OB
KB O B 2R Þ
4
AB OA.OB
4R R
XÐt DAOB ta cã: AB2 = OA2 + OB2
Û
4
2
2 2
2 1
AB AB 1
AB AB
4R 4R 4R 4R
Þ Û
2 2
2 2
2 2
1 2
(R R ) 4R R
1 AB AB
4R R R R .
VËy:
Þ
4 3
1 2
ABCD
2 2 2
1 2
16R R 8R R
1
OA.OB S
4R R (R R ) (R R ) .
Bµi 9
Chøng minh r»ng mét tam gi¸c bÊt kú ta cã:
a
b c a b c
m
2
Gi¶i
XÐt DABC cã: AM > AB - BM XÐt DACM cã: AM > AC - MC
Céng tõng vÕ ta cã: 2AM > AB + AC - BC Û
a
b c a
m
2
Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho MA = MD ị AB = CD
XÐt DACD cã: AD < AC + CD = AC + AB Þ 2AM < AC + AB Þ
a b c m 2 Bµi 10
CMR tứ giác lồi ABCD ta có bất đẳng thức: AB + CD < AC + BD Giải
Gọi O giao điểm hai đờng chéo ị ta có:
(51)AC + BD = (AO + OC) + (BO + OD) =
= (OA + OB) + (OC + OD)Þ AC + BD > AB + CD
BTVN Bµi 1
Cho tam giác ABC, kẻ đờng cao AH, gọi C1 điểm đối xứng H qua AB, B1 điểm đối xứng H qua AC Gọi giao điểm B1C1 với AC AB I K Chứng minh đờng BI, CK đờng cao tam giác ABC
Bµi 2
Cho tam giác ABC cân A H trung điểm cạnh BC Gọi I hình chiếu vng góc H lên cạnh AC O trung điểm HI Chứng minh hai tam giác BIC AOH đồng dạng với AO vng góc với BI
D
C
(52)Chuyên đề 9
Hệ thức lợng đờng tròn
I/ Lý ThuyÕt
1/ Định nghĩa xác định đờng tròn
*/ ĐN Tập hợp điểm cách điểm O cho trớc khoảng không đổi R > gọi đờng rịn tâm O bán kính R, ký hiu: (O; R)
*/ Cho (O; R) điểm M Đặt d = OM ị ta có: d < R Û M ë bªn (O; R)
d = R Û M thuéc (O; R) d > R M bên (O; R)
*/ Hình trịn tạp hợp điểm bên đờng trịn điểmcủa đờng trịn ú
M yhuộc hình tròn (O; R) d £ R
*/ Cung tròn phần đờng tròn đợc giới hạn hai điểm gọi mút cung - Đoạn thẳng nối hai mút cung gọi dây trơng cung
- Dây qua tâm gọi đờng kính
- Đờng kính dây cung lớn đờng trịn
*/ Quỹ tích điểm M nhìn đoạn AB cho trớc dới góc vng đờng trịn tâm I bán kính AB/2, ký hiệu (I; AB/2)
2/ Vị trí tơng đối đờng thẳng đờng trịn.
Cho đờng tròn (O; R) đờng thẳng D, gọi H hình chiếu O lên đờng thẳng Dị ta có: OH > R ÛD khơng cắt đờng trịn (O; R)
OH = R ÛD cắt đờng tròn (O; R) điểm H, D gọi tiếp tuyến, H gọi tiếp điểm OH < R ÛD cắt đờng tròn (O; R) điểm
3/ Vị trí tơng đối hai đờng trịn. Cho hai đờng tròn (O; R) (O'; R') OO' > R + R' Û Hai đờng trịn ngồi OO' = R + R' Û Hai đờng trịn tiếp xúc ngồi
ẵR - R'ẵ< OO' < R + R' Û Hai đờng tròn cắt
ẵR - R'ẵ= OO' Û Hai đờng tròn tiếp xúc
ẵR - R'ẵ> OO' Û Hai đờng tròn đựng
4/ Tiếp tuyến đờng tròn, dây cung đờng tròn
*/ Qua điểm nằm đờng trịn có tiếp tuyến với đờng trịn đờng thẳng vng góc với đờng thẳng nói tâm với tiếp điểm
*/ Qua điểm nằm đờng trịn có hai tiếp tuyến với đờng trịn đó, khoảng cách từ điểm tới tiếp điểm
*/ Trong đờng tròn hai dây cung Û cách tâm
*/ Trong đờng tròn hai dây cung khác nhau, dây lớn Û gần tâm
II/ Bµi tËp
Bµi 1
(53)CE lần lợt lấy điểm I, K cho D trung điểm BI, E trung điểm CK a/ Chứng minh bốn điểm A, D, M, E thuộc đờng trịn
b/ Với vị trí M đáy BC điểm B, I, K ,C thuộc đờng tròn Giải
a/ Ta có D E nhìnđoạn AM dới góc vuông nên bốn điểm A, D, M, E thuộc đờng trịn đờng kính AM
b/ MD trung trực BI nên MB = MI ME trung trực CK nên MC = MK Để điểm B, I, K ,C thuộc đờng
tròn phải có MB = MI = MK = MC ị M trung điểm BC Bài 2
Cho hình vng ABCD, gọi O giao điểm hai đờng chéo AC BD, M trung điểm đoạ OA, N trung điểm cạnh BC Chứng minh bốn điểm C, M, N, D thuộc đ -ờng tròn DN > MC
Giải
Gọi H trung điểm OC ị ta cã NH ^OC
NH đờng trung bình DOBC ị NH =
1 2OB
vµ NH = OM =
1
2OA (v× OA = OB)
VËy DOMD = DHNM (v× MH = OD =
1 2AC
éO = éH = 900, NH = OM) ịéHMN = éODM ị éDMN = 900 ị C, M nhìn DN dới một góc vuông ị bốn điểm C, M, N, D thuộc đờng trịn đờng kính DN
DN > MC DN đờng kính cịn MC dây cung đờng tròn qua bốn điểm C, M, N, D
Bµi 3
Cho đờng trịn tâm O đờng kính AB, điểm P di động đờng trịn cho PA < PB Dựng hình vng APQR phía đờng tròn, tia PR cắt đờng tròn C
a/ Chøng minh r»ng cung AC = cung CB
b/ Chứng minh C tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác AQB
c/ Gọi O' tâm đờng tròn nội tiếp tam giác APB Chứng minh O' thuộc đờng tròn qua A, Q, B
Gi¶i
a/ Ta cã: ÐABC = ÐAPC = 450 ( chắn cung AC )
ịDACB vuông C có éB = 450ịDACB cân C
ị CA = CB Þ cung AC = cung CB
b/ Ta có: PC đờng trung trực AQ ị CA = CQ kết hợp với câu (a) ị CA = CQ = CB ị C tâm đờng tròn ngoại tiếp DAQB
A
B C
M
E K
I D
A
D C
N B
M
H O
A P
R
C
B Q
(54)c/ O' tâm đờng tròn nội tiếp DAPB ị O' thuộc đờng phân giác PC, vẽ đờng phân giác BO' ị
ta có: éBO'C = éO'BP + éO'PB (góc ngồi D tổng hai góc khơng kề với nó) mà éO'BP = éO'BA, éO'PB = éABC = 450ị éBO'C = éO'BA + éABC = éO'BC ịDO'CB tam giác cân ị CB = CO' ị O' thuộc đờng tròn qua A, Q, B
Bµi 4
Cho nửa đờng trịn đờng kính AB Trên nửa mặt phẳng có bờ đờng thẳng AB chứa nửa đờng tròn ngời ta kẻ tiếp tuyến Ax dây AC bất kỳ, tia phân giác góc CAx cắt nửa đờng trịn D Các tia AD BC cắt E
a/ Chứng minh DABE cân B
b/ Các dây AC BD cắt K Chứng minh r»ng EK ^ AB c/ Tia BD c¾t tia Ax F Chứng minh tứ giác AKEF h×nh thoi d/ Cho ÐBAC = 300 Chøng minh r»ng AK = 2KC
Gi¶i
a/ Ta cã: DABE cân B từ éA1 =éA2
ị cung AD = cung DC ịéB1 = éB2
ịDABE cân E
b/ DABC có hai đờng cao AC BD cắt K ị K trực tâm ị EK ^ AB c/ Ta có:
FK ^ AE, DAFK cân A ị AF = AC FB đờng trung trực AE ị
AK = KE, EF = FA ị AKEF hình thoi
d/ éBAC = 300ịéABC = 600ịDABE ị K trọng tâm ị AK = 2KC.
C2: DABC có BK đờng phân giác ị
Ð Þ
KC BC
sin BAC AK 2KC
KA BA
Bµi 5
Từ điểm ngồi đờng trịn (O; R) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC cát tuyến AMN đờng trịn đó, gọi I trung điểm MN
a/ Chứng minh điểm A, B, I, O, C thuộc đờng tròn b/ Nếu AB = OB tứ giác ABOC hình gì? Tính cạnh BC
c/ Tính diện tích hình trịn độ dài đờng tròn ngoại tiếp tứ giác ABOC theo R Giải
a/ ta có: B, I, C nhìn AO dới góc vng ị điểm A, B, I, O,C thuộc đờng tròn b/ Nếu AB = OB AB = AC = OB = OC ị tứ giỏc ABOC l hỡnh thoi
Mặt khác: éABO = 900ị ABOC hình
vuông ị BC = OB 2=R 2
c/
2
2 2
1 R
S BC R
2 2
;
2
1
C BC R
2 .
Bµi 6
E
F
A B
C
K D
1
2
1
A
B
O
N C
I
(55)Cho tam giác ABC vuông A, gọi I trung điểm BC Vẽ hai đờng tròn (O) (O1) qua A cho chúng tiếp xúc BC B C
a/ Chứng minh IA tiếp tuyến chung hai đờng tròn hai đờng tròn tiếp xúc với
b/ CMR: éOIO1 = 900 đờng tròn ngoại tiếp DOIO1 tiếp xúc với cạnh BC. Giải
a/ DIAO = DICO (v× OA = OC, IO chung, IA = IC = BC/2) Do: IA = IC = BC/2 mµ IC lµ tiÕp tuyÕn
ị IA tiếp tuyến (O) Tơng tự: IA cịng lµ tiÕp tun cđa (O1)
ị IA tiếp tuyến chung hai đờng tròn hai đờng tròn tiếp xúc với
b/ Ta có: OA = OC, IA = IC ị O thuộc đờng trung trực AC ị IO ^ AC O1A = O1B, IA = IB ị O1 thuộc đờng trung trực AB ị IO1 ^ AB mà éBAC = 900ịéOIO1 = 900
Bµi 7
Cho nửa đờng trịn (O) đờng kính CD = 2R Dựng Cx Dy vng góc với CD từ điểm E nửa đờng tròn dựng tiếp tuyến với đờng tròn cắt Cx P cắt Dy Q
a/ Chøng minh r»ng DPOQ vu«ng, DPOQ ~DCED, tÝnh tÝch CP.PQ theo R b/ Khi PC = R/2 h·y chøng minh tØ sè diƯn tÝch cđa DPOQ/DCED = 25/16 Gi¶i
a/ Ta có: QE = QD, OE = OD ị QO đờng trung trực DE ị QO ^ DE ị PE = PC, OE = OC ị PO đờng trung trực CE ị PO ^ CE mà éCED = 900 ị éPOQ = 900 ị DPOQ vuông
Ta cã: ÐODE = ÐOED = ÐEQO Þ ÐECD = ÐOPQ ÞDPOQ ~DCED Þ
CP.DQ = PE.QE = OE2 = R2.
b/ Khi
Þ
2
R R
PC DQ 2R
2 R /
Þ POR Þ QOR 5Þ PQ5R
2 Do DPOQ ~ DCED ị tỉ số diện tích bình
ph-ơng tỉ số đồng dạng
D D
Þ
2
POQ CED
S PQ 5R / 25
S CD 2R 16
Bµi 8
Cho tam giác ABC nội tiếp đờng trịn (O) có éA = 450, BC = a Vẽ đờng cao BB1 CC1, gọi O1 điểm đối xứng với O qua đờng thẳng B1C1
a/ Chứng minh tứ giác AB1O1C1 nội tiếp đờng trịn b/ Tính B1C1 theo a
A
B I C
O O1
Q
P
C O D
E
y
x
(56)Gi¶i
a/ Ta cã: ÐBOC = 2ÐBAC = 900 ÞÐBC1C = éBOC = éBB1C = 900 ị điểm B, C1, O, B1, C
đờng trịn
ÞÐC1OB1 = 1800 - ÐC1CB1 = 1800 - 450 = 1350
ịéC1O1B1 = éC1OB1 = 135
ị Tứ giác AB1O1C1 cã ÐC1O1B1 + ÐB1AC1 = 1800
ị Tứ giác AB1O1C1 nội tiếp đờng trịn
b/ DABB1 vng cân B1 ị B1A = B1B mà OB = OA ị OB1 đờng trung trực AB ị OB1
^ AB ị OB1 // CC1 ị tứ giác CC1OB1 hình thang mà nội tiếp đợc đờng trịn ị tứ giác CC1OB1 hình thang cân ị B1C1 = OC
Xét DBOC vuông cân O Þ BC 2 = OB2 + OC 2Þ OC =
Þ 1 1
a a
B C
2 2 .
Bµi 9
Cho tam giác ABC vng A có đờng cao AH Gọi I, J, K lần lợt tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ABC, AHB, AHC
a/ Chøng minh r»ng AI ^ JK
b/ Chứng minh tứ giác BJKC nội tiếp đờng tròn Giải
a/ XÐt DAEC, gãc ngoµi ÐAEB = ÐEAC + ÐACB
Ta cã: ÐBAE = ÐBAH + ÐEAH Mµ ÐEAC = ÐEAH, ÐACB = ÐBAH ÞÐAEB = ÐBAE Þ DABE cân B có BJ tia phân giác Þ BJ ^ AE
T¬ng tù ta cã: CI ^ AD
XÐt DAJK ta cã I lµ trùc tâm ị AI ^JK
b/ Cộng góc ịéIKJ = éCBI ịéCBJ + éJKC = 1800ị tứ giác BJKC nội tiÕp. Bµi 10
Cho đờng trịn (O1; R1) đờng trịn (O2; R2) tiếp xúc ngồi D, từ điểm A thuộc (O1; R1) kẻ tiếp tuyến với (O1; R1) cắt đờng tròn (O2; R2) B C Chứng minh A cách đờng thẳng BD CD
Gi¶i
Giả sử tiếp tuyến D hai đờng tròn cắt AB F
ịéBCD = éBDF (cùng chắn cung BD) Mặt khác: FA = FD ịéFDA = éFAD
ịéBDA = ÐBDF + ÐFDA = ÐBDF + + ÐBAD = ÐBCD + ÐBAD = ÐADE
ị DA tia phân giác éBDE ị A cách BD CD
A
B
C B1 C1
O
O1
A
B D H E C
K I J
D
E
C
O2
O1 A
F B
(57)