Đang tải... (xem toàn văn)
Tính thể tích khối chóp S ABCD.[r]
(1)Phần chung cho tất thí sinh (7,0 điểm)
C©u I (2,0 điểm) Cho hàm số: y x 3 3x2mx 1 (1)
1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m 0 .
2 Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu đường thẳng qua hai điểm cực đại, cực tiểu cắt đường trịn (C): (x1)2(y3)2 8 theo dây cung có độ dài
Câu II (2,0 ®iĨm)
1 Giải phương trình
2
tan tan
sin
tan
x x
x x
.
2 Giải bất phương trình 17x53 x 5 4x12
Câu III (1,0 điểm) Tinh tich phõn
5
5
0 I
1
dx
x x
Câu IV (1,0 điểm)Cho hỡnh chúp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB=a BC=2a, mặt phẳng
(SAB) vng góc với đáy, mặt phẳng (SBC) (SCD) tạo với đáy góc Biết khoảng
cách hai đường thẳng SA BD
2
a
Tính thể tích khối chóp S.ABCD tính cơsin góc hai đường thẳng SA BD
Câu V (1,0 điểm)
Tỡm tt c cỏc cặp số thực (x; y) thỏa mãn hệ
( 1)ln ln( 1)
2( 2) - 2 10
y x x y
x x x x y
PHẦN RIÊNG(3,0 điểm) Thí sinh làm hai phần (phần A phần B) A Theo chương trình chuẩn
Câu VI.a (2, điểm)
1.Trong mt phng Oxy hóy lập phương trình chính tắc elip (E) biết điểm M(-2; 3) thuộc (E) bình
phương độ dài trục lớn 16 lần tiêu cự (E)
2 Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABCvới C 3;2;3 đường cao
x-2 y-3 z-3 AH: = =
1 -2 , phân giác
trong
x-1 y-4 z-3 BM: = =
1 -2 Viết phương trình trung tuyến CNcủa tam giác ABC.
Câu VII.a (1,0 điểm) Tìm tất số phức z thỏa mãn đẳng thức z4 6z316z2 21z12 0
Câu VI.b (2,0 điểm)
Trong mt phẳng Oxy lập phương trình chính tắc elip (E) biết điểm M(2; -3) thuộc (E)
khoảng cách từ O đến đường chuẩn (E)
2 Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P): x+y-2z+4=0 mặt cầu (S):
2 2
x y z 2x 4y 2z 0 Viết phương trình tham số đường thẳng (d) tiếp xúc với (S) A(3;-1;1) và
song song với mặt phẳng (P)
Câu VII.b (1,0 điểm) Chứng minh
2 2 2
0 2011 2012 1006
2012 2012 2012 2012 2012 2012 2012
C C C C C C C
(2)
-HÕt -Hướng dẫn chấm toán khối A lần năm 2011-2012
Câu Ý Nội dung Điểm
I
1 Cho hàm số: y x3 3x2 1
(1) 2,0
1
Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y x 3 3x21 1,0
* Tập xác định: R
* Sự biến thiên:
+ Giới hạn:
3
xlim y xlim x 3x 1 ,lim yx .
0,25 + Bảng biến thiên:
2 x
y 3x 6x 3x(x 2), y
x
Bảng biến thiên:
x − ∞ +∞
y + - + y +∞
− ∞ -3 0,25
+ Hàm số đồng biến khoảng ;0 2; + Hàm số nghịch biến khoảng 0;2
+ Hàm số đạt cực đại x 0, y CÐ y(0) 1
đạt cực tiểu x 2, y CT y(2)3 0,25
* Đồ thị:
Đồ thị cắt trục tung điểm (0;1), cắt trục hồnh hai điểm phân biệt Ta có y6x 6; y 0 x 1
y'' đổi dấu x qua x =
Đồ thị nhận điểm uốn I (1;-1) làm tâm đối xứng
(3)f(x)=x^3-3x^2+1
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
-8 -6 -4 -2
x y
I
2 Tìm m để hàm số có cực đại,cực tiểu 1,0
2
Ta có y 3x2 6x m
Hàm số có cực đại, cực tiểu phương trình y 0 có hai nghiệm phân biệt
Tức cần có: 3m 0 m 3. 0,25
Chia đa thức y cho y, ta được:
x 2m m
y y x
3 3
.
Giả sử hàm số có cực đại, cực tiểu điểm x ; y , x ; y1 1 2 .
Vì y (x ) 0; y (x ) 0 nên phương trình đường thẳng qua hai điểm cực đại, cực tiểu
là:
2m m
y x
3
hay (2m 6)x 3y m 3
0,25 (C) có tâm I(1;-3) bán kính R = 2 Giả sử cắt (C) theo dây cung MN h
khoảng cách từ I đến
Ta có h = 2
(2 6) 3
(2 6) 24 45
m m m
m m m
0,25
LạicóMN2=4(R2–h2)
2
2
2
9 36 36 36 36
4 132 144
4 24 45 24 45
66 93 66 93
7
m m m m
m m
m m m m
m m
(4)Kết hợp với m<3 ta
66 93 m
giá trị cần tìm
II
1
Giải phương trình
2
tan tan
sin
tan
x x
x x
(1) 1,0
Điều kiện: cosx x k
(*)
Phương trình cho tương đương với: 2cos (tan2 x xtan ) sinx xcosx
0,25
2
2sin 2sin cos sin cos 2sin (sin cos ) sin cos
(sin cos )(2sin 1)
x x x x x x x x x x
x x x
0,25
+ Với sinx cosx tanx x k
+ Với
1
2sin sin ;
2 6
x x x k x k
0,25 Đối chiếu điều kiện (*), suy nghiệm phương trình cho là:
5
; ; ( )
4 6
x k x k x k k 0,25
2
Giải bất phương trình 17x53 x 5 4x 12
1,0
Điều kiện:
53 17 x
Bất phương trình trở thành:
17 53 5 12 (4 12) 12
17 53
4
( 3) (1)
17 53
x
x x x x
x x
x
x x
0,25
+ Nếu
53
3
17 x
x + 3< Khi (1)
2
1 17 53 18 58 (17 53)( 5) 16
17 53
21
9 21 11
(17 53)( 5) 21 11
4
64 240 176
4
x x x x x
x x
x x
x x x x
x
x x
x
Vậy
53
3
17 x
0,25
+ Nếu x > -3
(5)2
1 17 53 18 58 (17 53)( 5) 16
17 53
7
9 21
11 11
(17 53)( 5) 21 64 240 176
4
9 21 7
3
x x x x x
x x
x x
x x x x x x x
x x Vậy 11 x
Đáp số:
53 11
3
17 x x
0,25
III
Tính tích phân
1 5 I 1 dx x x 1,0
5
5
2 2
2
5
tan tan
2 os
Khi x = t=0 Khi x = t =
4
x t x dx dt x t
c t
0,25
Khi ta :
3
1
3
5 5
5 2
5
5
0
4
5
3
0 5 5
3
1
2 os
I
5
1 1 1 tan tan tan
2 cos
5 sin 1 sin
os os
dx x dx c t
dt
x x x x x t t t
t
dt dt
t t
c t c t
0,25 4 5 0
2 (sin ) sin (sin )
5 sin
d t t d t
t
0,25
5 51 sin t 0,25
Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB a BC2a,
mặt phẳng (SAB) vng góc với đáy, mặt phẳng (SBC) (SCD) tạo với đáy góc Biết khoảng cách hai đường thẳng SA BD
2
a
Tính thể tích khối chóp S ABCD tính cơsin góc hai đường thẳng SA BD.
(6)IV
Gọi H hình chiếu S (ABCD), suy HAB (do (SAB) ( ABCD)). CBHB, suy góc hai mặt phẳng (SBC) (ABCD) SBH
Hạ HECD E CD( ), suy góc hai mặt phẳng (SCD) (ABCD) SEH
0,25 Do SBH SEH HB HE 2a.
Ta BD AE// BD//(SAE) d(SA BD, ) d( ,( B SAE)) d( ,( H SAE)) (do A trung điểm HB)
2
d( ,( ))
6 a H SAE
0,25
Nhận xét HA HE HS, , đôi vng góc, suy ra:
2 2
1 1
d ( ,(H SAE)) HA HE HS 2 2
3 1
2a a 4a HS
2
SH a
.
Thể tích:
3
( ) ( )
1
3
S ABCD ABCD
a
V S SH
0,25
//
BD AE, suy góc hai đường thẳng SA BD SAE .
Áp dụng định lý hàm số côsin cho tam giác SAE, với AE SA SH2HA2 a 5 và 2
SE SH a, ta có:
2
cos( , ) cos
2
SA AE SE
SA BD SAE
SA AE
0,25
2
( 1) ln ln( 1)
2( 2) - 2 10
y x x y
x x x x y
1,0
Điều kiện
5
2 x y
Xét f(x) =
5
2( 2) 2 ( 2)(5 ) voi x 2;
2 x x x x
Ta có
5 2( 2) 2(9 )
1 2(9 )
'( )
2( 2) 2( 2)(5 ) 2( 2)(5 )
x x x
x f x
x x x x x x
0,25
S
A B
C
D
(7)V
'( ) 2( 2) 2(9 ) 2( 2) 2(9 )
9
1
9 2(9 )
1 4
5 2( 2) 2
5 2( 2)
f x x x x x x x
x
x x x
x x
x x
Ta có:
5
(2) ( ) 1; ( )
2
f f f
0,25
Vậy
5
( ) 1, 2;
2 f x x
, suy y 1 y3
Ta có (1)
ln ln( 1) ln ln
Xét h( ) ( 0) Ta có : '( ) ; '( )
x y t t
t t h t h t t e
x y t t
Vậy h(t) nghịch biến với t>e đồng biến với 0< t < e Suy
+ Với
5 ln ln
2;
2
ln( 1) ln
( 1)
x x
x y y
y
Từ đến hệ có nghiệm (2; 3)
Lưu ý: Vì miền giá trị hai biến x y+1 không giống”hệt” nên lập luận để x = y +1 ngộ nhận, khơng cho điểm.
0,5
VIa
- Gọi phơng trình (E):x
2
a2+ y2
b2=1(a>b>0) Độ dài trục lớn AA’=2a; Tiêu cự
F1F2 = 2c
1,0
Gi¶ thiÕt
⇔
4
a2+
9
b2=1(1)
a2
c=8(2)
¿{
Ta cã (2)⇔a2=8c⇒b2=a2−c2=8c − c2=c(8−c).
0,25
Thay vào (1) ta đợc 8c+
9
c(8−c)=1
⇔2c2−17c+26=0⇔
c=2
¿
c=13
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
0,25
* NÕu c=2 th× a2=16, b2=12⇒(E): x
2
16+
y2
(8)* NÕu
c=13
th×
2
2 52, 39 ( ) : 1.
39
4 52
4
x y
a b E
0,25
Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC với C 3;2;3đường cao
2 3
:
1
x y z
AH
, phân giác
1
:
1
x y z
BM
Viết
phương trình trung tuyến CN tam giác ABC .
1.,0
AH có vecto phương u
(1;1;-2) qua điểm P(2;3;3) BM có vecto phương m (1;-2;1) qua điểm Q(1;4;3)
0,25 Gọi (D) mặt phẳng qua C vng góc AH (D): (x-3) + (y-2) – 2(z-3) =
Hay x +y -2z +1 = Vậy tọa độ điểm B nghiệm hệ
2 1
2
2 10
x y z x
x y y
y z z
Vậy B(1;4;3).
0,25
Gọi (E) mặt phẳng qua C vng góc BM, ta có (E): 1.(x-3)-2(y-2)+1.(z-3)=0 hay x-2y+z-2=0 Gọi I giao điểm (E) BM tọa độ I nghiệm hệ
2 2
2 (2; 2; 4)
2 10
x y z x
x y y I
y z z
Gọi J giao điểm (E) với AH JC nhận I
làm trung điểm, suy J(1; 2; 5)
0,25
Vậy AB:
1 x
y t
z t
, A giao điểm AH AB nên A(1;2;5) , suy N(1; 3; 4).
Vậy trung tuyến CN:
1
2 1
x y z
0,25
VII.a
Tìm tất số phức z thỏa mãn đẳng thức z4 6z316z2 21z12 0 1,0
4 2
2 2
6 16 21 12 7( ) 12
( ) 7( ) 12
z z z z z z z z z
z z z z
0,25
2
2
2
3
3
3 3 7
2
z
z z
z z
z
(9)2 2
2
2
3 3
2 4
3 7
2 4
z z i
z z i
0,25
3
2
3
2
3
2
3
2
z i
z i
z i
z i
0,25
VIb
1 Trong mặt phẳng Oxy lập phương trình chính tắc elip (E) biết điểm M(2; -3) thuộc (E) khoảng cách từ O đến đường chuẩn (E)
1,0
- Gọi phơng trình (E):x
2
a2+ y2
b2=1(a>b>0) 0,25
Gi¶ thiÕt
⇔
4
a2+
9
b2=1(1)
a2
c=8(2)
¿{
Ta cã (2)⇔a2=8c⇒b2=a2−c2=8c − c2=c(8−c).
0,25
Thay vào (1) ta đợc 8c+
9
c(8−c)=1
⇔2c2−17c
+26=0⇔
c=2
¿
c=13
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
0,25
* NÕu c=2 th× a2=16, b2=12⇒(E): x
2
16+
y2
12=1
* NÕu
c=13
th×
2
2 52, 39 ( ) : 1.
39
4 52
4
x y
a b E
0,25
2 1,0
Mp(P) có vtpt nP
(10)0,25
IA = (2;1;2) Gọi vtcp đường thẳng u
tiếp xúc với (S) A u
IA
0,25 Vì // (P) u
nP
Chọn u0
= [IA
,nP
] = (-4;6;1)
0,25
Phương trình tham số đường thẳng :
x 4t
y 6t
z t
0,25
VIIb
Chứng minh
2 2 2
0 2011 2012 1006
2012 2012 2012 2012 2012 2012 2012
C C C C C C C
1,0
Xét đẳng thức
2012
2012 2012 2
1 x 1x 1 x 0,25
+) Ta có
2012 2012
2
2012
1 k k
k
x C x
suy hệ số số hạng chứa x2012 C20121006
0,25
+) Ta có
2012 2012
2012 2012
2012 2012
0
1 k k k k
k k
x x C x C x
0,25
suy hệ số số hạng chứa x2012
2012 2011 2010 2009 2012 2012 2012 2012 2012 2012 2012 2012 2012 2012 2012 2012
o
C C C C C C C C C C
2 2 2 2 2011 2 20122
2012 2012 2012 2012 2012 2012
C C C C C C
Từ suy đẳng thức cần chứng minh
(11)