[r]
(1)SỞ GDĐT HÀ NỘI
TRƯỜNG THPT CỔ LOA e&f
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 1 NĂM HỌC 2011 2012 MƠN TỐN
Thời gian: 180 phút (khơng kể thời gian giao đề) Ngày thi: 1132012
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2 điểm) Cho hàm số
1 2 + + =
x x
y (C)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
2. Gọi I là giao điểm các đường tiệm cận của đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến cắt các đường tiệm cận của đồ thị (C) lần lượt tại A và B sao cho chu vi tam giác IAB nhỏ nhất.
Câu II (2 điểm) 1.Giải phương trình
( )
0 1
sin 2
4 6 sin
4 2 sin 3 2
cos 2
= +
- ÷ ø ử ỗ
ố
ổ P
- -
+
x
x x
x
2. Giải hệ phương trình
( ) ï
ỵ ï í ì
= + - + +
= - + + - +
2 1
2
2 1
3 2 3
2
y x y x x
y x y x x
Câu III (1 điểm)Tính tích phân = ị +
e
dx x x x I
1
2 ln . 1 2
.
Câu IV (1 điểm) Chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân có hai đường chéo AC, BD vng góc với nhau, 2
, 2
2 a BC a
AD= = . Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vng góc với mặt đáy (ABCD). Góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) bằng 60 o . Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ M là trung điểm đoạn AB đến mặt phẳng (SCD).
Câu V (1 điểm) Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa mãn a2+b2 +c2 = 1 . Chứng minh rằng
5 5 3
2 2 2 2
2 2 2 2 3
3
a a a b b b c c c
b c c a a b
- + - + - +
+ + £
+ + +
II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần A. Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a (2 điểm)
1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A( - 3; - 8 ) , tâm đường trịn ngoại tiếp và trọng tâm của tam giác ABC lần lượt là I ( - 5; 1 ) , ÷
ø ư ỗ ố ổ
3 2 1
G . Tìm tọa độ hai điểm B và C.
2. Trong khơng gian toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A(1;1;1), B(1;2;0) và tiếp xúc với mặt cầu (S): x 2 + y 2 + z 2 - 6 x - 4 y - 4 z + 13 = 0
Câu VII.a (1 điểm) Giải phương trình ( 3+ 2 2 ) ( x - 2 2 + 1 )( 2 + 1 ) x + 2 2 + 1 = ( 2 - 1 )x B Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b (2 điểm)
1. Trong mặt phẳng tọa độOxy, cho elip
2 2
( ) : 1
16 9 x y
E + = và đường thẳng : 3d x+4y-12= Chứng minh rằng đường 0
thẳngd cắt elip (E) tại hai điểmA, B phân biệt. Tìm điểm CỴ ( )E sao cho ABCD có diện tích bằng 6.
2. Trong khơng gian toạ độ Oxyz, cho tam giác ABC có A( 0; 1 ; 0 ) , B( 1; - 1 ; 3 ) , C ( 3; -7 ; 9 ) . Tính độ dài đường phân giác trong kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC.
Câu VII.b (1 điểm) Giải phương trình 2 2 ( ) 3 ( )
2 3
5 5
log 1 log
log log .log 1
log 2 log 2
x x
x+ - x x+ = +
Hết
Cán bộ coi thi khơng giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh: Số báo danh
(2)ĐÁP ÁN & THANG ĐIỂM
Câu Đáp án Điểm
1) (1 điểm). Khảo sát hàm số
*) TXĐ: D=R\{ }-1 *) Sự biến thiên:
Chiều biến thiên:
( ) 2 <0," ¹ -x 1 -1
y' = x + 1
,
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng( -¥ -; 1 ) và( - +¥1; ) . Cực trị: Hàm số khơng có cực trị
0,25
Giới hạn và tiệm cận:
lim 1
x
y đƠ
= timcnngang(d1):y=1
( ) ( )1
lim , lim
x x
y y
- +
đ - đ -
= -Ơ = +Ơtimcn ng(d2):x= 1
0,25
Bảng biến thiên:
x ¥ 1 +¥
y’ +
y
1 +¥
1 ¥
0,25
* Đồ thị: *) Đồ thị:
Đồ thị hàm số đi qua các điểm ( 2; 0), (0; 2)
0,25
2) (1 điểm)
2. Giao điểm hai tiệm cận I(1;1)
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hồnh độ xo là:
( ) ( )
0 0 2
0 0
2 1
1 1
x
y x x
x x
+ -
= - +
+ +
(d) ( xo ạ- 1) Tiptuyndcttimcnngangd1tiim A( 2 +xo 11)
Tiptuyndcttimcnngd2tiim ữ ữ
ứ ử ỗ
ỗ ố ổ
+ + -
1 3 ; 1
o o
x x B
0,25
1 2 + = x o
IA ;
1 2
+ =
o x
IB ; IA. IB = 4 với mọi xo ¹ - 1
Tam giác IAB vuông tại I nên chu vi IA + IB + AB = IA + IB + IA 2 + IB 2 ³ 2 IA . IB + 2 IA . IB = 4 + 2 2
0,25
Chu vi tam giác IAB nhỏ nhất khi và chỉ khi IA= IB hay
ê ë é
- = = Û + = +
2 0 1
2 1 2
o o o
o
x x x
x 0,25
I (2điểm)
Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn là y = x - + 2và y = x - - 2 0,25
1) (1 điểm). II
(2điểm)
Điều kiện:
ï ï ỵ ï ï í ì
P + P ¹
P + P - ¹ Û - ¹
2 6 7
2 6 2
1 sin
k x
k x
x ( kỴ Z ) Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương với
0,25
2
y
x
(3)( ) 4 0 6 sin 4 2 sin 3 2
cos 2 ÷ - =
ứ ử ỗ
ố
æ P
- -
+ x x
x 0 6 3 2 cos 2 3 2 cos 4 0 4 3 2 cos 1 2 2 sin 2 3 2 cos 2 1 4 2 = - ÷ ứ ử ỗ ố
ổ P
- + ÷ ứ ử ỗ ố
ổ P
- Û = - ÷ ÷ ø ư ỗ ỗ ố ổ ữ ứ ử ỗ ố
ổ P
- - - ữ ữ ứ ử ỗ ỗ ố ổ +
x x x x x 0,25
* Û - P = P Û = P + P
ê ê ê ê ë é - = ữ ứ ử ỗ ố
æ P
- = ữ ứ ử ỗ ố
æ P
-
Û x k x k
x x 6 2 3 2 2 3 3 2 cos 1 3 2 cos
( kỴ Z ) 0,25
Kết hợp với điều kiên được nghiệm của phương trình là = P + 2 P
6 k
x ( kỴ Z ) 0,25
2) (1 điểm). ( ) ï ỵ ï í ì = + - + + = - + + - + 2 1 2 2 1 3 2 3 2 y x y x x y x y x x ) 2 ( ) 1 ( Điều kiện: ï ỵ ï í ì ³ + - ³ 0 3 1 2 y x x
( ) 2 Û x3 + 2 x 2 - x - 2 = - y ( x + 1 ) Û ( x + 1 )( x 2 + x - 2 ) = - y ( x + 1 ) Û x 2 + x - 2 = - y
(vì
3 1 - ³
x nên x + 1¹ 0 )
0,5
Thay vào (1) được 3 x + 1 - 2 - x + x 2 + 2 x - 4 = 0 (3) Điều kiện: 2
3 1
£ £ - x
Xét hàm số f ( x ) = 3 x + 1 - 2 - x + x 2 + 2 x - 4 trên đoạn
ú û ù ê ë é
- ; 2 3 1 ữ ứ ử ỗ ố ỉ - Ỵ " > + + - + +
= ; 2
3 1 0 ) 1 ( 2 2 2 1 1 3 2 3 ) (
' x x
x x
x
f nên f(x) đồng biến trên đoạn ú
û ù ê ë é
- ; 2 3 1 Mà f(1)=0 nên phương trình (3) có nghiệm duy nhất x = 1, 0,25 từ đó suy ra y = 0 Vậy, hệ đã cho có nghiệm duy nhất ỵ í ì = = 0 1 y x 0,25 ò ò + = e e dx x x dx x x I 1 2 1 ln ln 2 0,25 ị ị ÷ ø ư ỗ ố ổ - = e e x xd x xd 1 1 1 ln ) (ln ln
2 0,25
ò + - = e x dx e x x e x 1 2 2 1 ln 1 1
ln 0,25
III (1điểm) e e x e 2 2 1 1 1
1- - = - 0,25
+)Gọi ACÇ BD = I ,
( ) ( )
( ) ( )
( ABCD )
SI SI SBD SAC ABCD SBD ABCD SAC ^ Þ ï ỵ ï í ì = Ç ^ ^ ) ( ) (
Kẻ IH ^ CD ; có thêm SI ^ CD nên CD ^ ( SIH ) suy ra SH ^ CD
Góc giữa hai mặt (SCD) và (ABCD) bằng góc ÐSHI = 60o
0,25 IV
(1điểm)
IAD
D vuông cân tại I, cạnh AD= 2a 2 suy ra IA=ID=2a
IBC
(4)IDC
D vuông tại I, 1 2 1 2 1 2
ID IC
IH = + suy ra IH = 5
2a
5 3 2 60 tan
. a
IH
SI = o = ; ;
2 9 .
2
1 a 2
BD AC
S ABCD = =
Thể tích
5 15 3 .
. 3
1 3
.
a S
SI
V SABCD = ABCD = (đvtt)
+)Gọi ABÇ CD = J
( )
( )
; 4 3 )
( ,
) ( ,
= =
JA JM d
d
SCD A
SCD
M ( )
( )
3 )
( ,
) ( ,
= =
CI CA d
d
SCD I
SCD A
suy ra ( , ( ) ) ( , ( ) )
4 9
SCD I SCD
M d
d = 0,25
Kẻ IK ^ SH ; lại có IK ^ CD (vìCD ^ ( SIH ) ) Suy ra IK ^ (SCD )
Vậy ( ) ( )
20 15 9 2
3 . 5 2 . 4 9 60 sin . 4 9 4
9 4
9
) ( , )
( ,
a a
IH IK
d
d M SCD = I SCD = = o = =
0,25
Do a, b, c > 0 và a2+b2+c2 = 1 nên a b c, , Ỵ ( )0;1 . Ta có ( ) 2 2
5 2 3 1
3
2 2
1 a a
a a a
a a
b c a
-
- +
= = - +
+ -
0,25
Bất đẳng thức đã cho tương đương với: ( ) ( ) ( 3 ) 3 3
a a b b c c
- + + - + + - + £ 0,25
Xét hàm số f x( ) = -x3 +x x( Ỵ ( ) 0;1 ) . Ta có:
( ) 0;1 ( )
2 3 ax
9
M f x = 0,25
V (2điểm)
( ) ( ) ( )
3
f a f b f c
Þ + + £ Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1
3 0,25
1) (1 điểm)
Gọi M là trung điểm BC. Từ AM AG 2 3
= suy raM ( )3; 5
Đường thẳng BC đi qua M và có véc tơ pháp tuyến IM ( )8; 4 nên phương trình BC: 2x + y - 11 = 0 Đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm I và bán kính R=IA= 85
0,5
Tọa độ B, C là nghiệm hệ ( ) ( )
ỵ í ì
= - +
= - + +
0 11 2
85 1 5 2 2
y x
y x
suy ra B(2;7), C(4;3) hay B(4;3), C(2;7)
0,5
2) (1 điểm)
Mặt cầu (S) có tâm I ( 3; 2 ; 2 ) , bán kính R=2 0,25
Gọi phương trình mp(P): ax+ by + cz + d = 0 ( a2 +b2+ c2ạ 0) A,Bthucmp(P)nờn
ợ í ì
- - = = Û ỵ
í ì
= + +
= + + +
b a d
b c d
b a
d c b a
2 0
2
0
Þ (P): ax + by + bz - a - 2 = b 0
0,25
Mặt phẳng (P) tiếp xúc mặt cầu (S) ( ( ) ) 2 2
2 2
2 2 2
2 2
2 3
, a b a b
b b a
b a b b a R P I
d = Û + = +
+ +
- - + + Û = Û
ê ë é
= = Û = - Û
a b b b
ab
2 0 0
2 2
0,25 VIa
(1điểm)
Với b=0, chọn a=1, Phương trình (P): x1=0
Với b=2a, chọn a=1,b=2; Phương trình (P): x+2y+2z5=0 0,25
I
A D
B C
S
H K
(5)Phương trình đã cho tương đương với ( ) ( )( ) ( ) x x x 1 2 1 2 2 1 2 . 1 2 2 1
2 + - + + + + = - (1)
Ta có ( ) ( ) x
x x
" = - + 1 2 1 1 2
0,25
Đặt ( 2 +1 )x = t (t>0) ta có( )
t
x 1
1
2- = Phương trình (1) trở thành ( )
t t
t 2 - 2 2 + 1 . + 2 2 + 1 = 1 0,25
( ) ( ) ( )( ) ê ê ê ë é - = + = = Û = + - - Û = - + + + - Û 1 2 1 2 1 0 1 2 2 1 0 1 1 2 2 . 1 2
2 2 2
3 t t t t t t t t
t 0,25
VIIa (2điểm)
Từ đó suy ra phương trình (1) có tập nghiệm S = { 0; - 1 ; 1 } 0,25
1) (1 điểm)
Xét hệ PT
2 2
4, 0 1
(4; 0), (0; 3) 16 9
0, 3 12 0
x y x y A B x y x y ì = = é + = ï Û Û Þ í ê = = ë ï + - = ỵ
là các giao điểm củadvà (E). 0,25
Gọi
2 2
0 0
0 0
( ; ) ( ) 1
16 9
x y
C x y ẻ E ị + = (1).Tacú ( , ) 3 4 0 12
5
x y
d C AB = + - = h
0 0
0 0
3 4 12
1 1 1
. . .5. 3 4 12
2 2 5 2
ABC
x y
SD = AB h= + - = x + y -
Theo giả thiết suy ra 0 0 0
0 0
3 4 24 (2)
3 4 12 12
3 4 0 (3)
x y x y x y + = é + - = Û ê + = ë 0,5
Từ (1) và (2) ta được PT 2y02 -12y0 +27= 0 , PT này vô nghiệm
Từ (1 và (3) ta được PT 32 02 144 0 3 0 2 2
2
y = Û y = ± Þx =m
Vậy có hai điểm thỏa mãn u cầu bài tốn là: 2 2 3 2 C =ổỗ - ử ữ
è ø
và 2 2; 3 2 C= - ổỗ ử ữ
ố ứ
0,25
2) (1 điểm).
Gọi AD là phân giác trong của tam giác ABC
Ta có BD DC BD DC
AC AB DC BD = Þ = Þ =
= 3 3
14 3 14 0,25 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ữ ứ ỗ ố ổ Þ ï ỵ ï í ì - = - - + = - - = - Þ - - - - = - + -
= ; 1 ; 0
2 3 3 3 9 1 3 7 1 3 3 9 ; 7 ; 3 , 3 ; 1 ;
1 D
z z y y x x z y x DC z y x BD 0,5 VIb (1điểm) Vậy độ dài đường phân giác 2 3 =
AD 0,25
Phương trình ( ) ( ( ) )
( )
2 2
2 2 3
2 3
log log 5 log log log log 0
log log 1 x
x x x
x x
= - é
Û + - + = Û ê
= +
ë 0,25
* log2 log 5 2 1 5
x= - Ûx= 0,25
VIIb (1điểm)
* log2x=log3 ( x+ 1 ) . Đặt log2 x= Þt x= 2t
. Ta có pt 2 1 1
3 3
t t
t + = t Ûỉ +ỉ =
ỗ ữ ỗ ữ
ố ứ ố ø
(*)
Xét hàm số ( )
t t t f ữ ứ ử ỗ è ỉ + ÷ ø ử ỗ ố ổ = 3 1 3 2
trên R, f ( )t t
t t " < ÷ ø ư ỗ ố ổ + ữ ứ ử ỗ ố ổ
= 0
3 1 ln 3 1 3 2 ln 3 2 '
suy ra hàm f(t) nghịch biến trên R. Mà f(1)=1 nên phương trình (*) có nghiệm duy nhấtt = 1 từ đó khẳng định pt có nghiệm duy nhấtx= 2
KL:PTóchocútpnghim ỵ ý ỹ ợ ỡ =
5
1
S
(6) www.laisac.page.tl