toán khó
PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO ĐỨC THỌ ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2013-2014 MÔN TOÁN 9 Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1: Rút gọn các biểu thức sau: a) A 4 10 2 5 4 10 2 5 5= + + + − + − b) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 x y x x y y x y B xy x x y y x y − − = + − − − với xy > 0; x ≠ y Bài 2: Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn 2 y 2xy 7x 12 0+ − − = Bài 3: Giải các phương trình a) 5 x 5 x x x 6 x 1 x 1 − − + = ÷ ÷ + + b) ( ) ( ) 10 14 x 2013 x 2014 1− + − = Bài 4: Cho ∆ABC vuông tại A (AC > AB), đường cao AH (H ∈ BC). Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA. Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E. a) Chứng minh rằng ∆BEC ∼ ∆ADC. Tính BE theo m = AB b) Gọi M là trung điểm của BE. Chứng minh rằng ∆BHM ∼ ∆BEC. Tính · AHM c) Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh rằng GB HD BC AH HC = + Bài 5: a) Cho ( ) ( ) 3 3 2 2 x y 3 x y 4 x y 4 0+ + + + + + = và xy > 0 Tìm GTLN của 1 1 M x y = + b) Với a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng 5 5 5 3 3 3 2 2 2 2 2 2 a b c a b c a ab b b bc c c ca a 3 + + + + ≥ + + + + + + Bài giải của Nguyễn Ngọc Hùng – THCS Hoàng Xuân Hãn Bài 1: a) Đặt ( ) = + + + − + ⇒ = + − = + − = + 2 x 4 10 2 5 4 10 2 5 x 8 2 6 2 5 8 2 5 1 6 2 5 x 5 1⇒ = + . Do đó A = 1 b) ( ) ( ) ( ) ( ) − − = + − − − x y x x y y B 1 x x y y x y Xét các trường hợp x < y < 0; y < x < 0; x > y > 0 và y > x > 0 ta đều được =B 1 Bài 2: Cách 1: ( ) ( ) ( ) + − − = ⇔ + = + + 2 2 y 2xy 7x 12 0 x y x 3 x 4 (x + 3)(x + 4) là tích của 2 số nguyên liên tiếp nên không thể là 1 số chính phương Dó đó x 3 0 x 3 x 4 0 x 4 + = = − ⇔ + = = − Từ đó ta tìm được (x; y) ∈ {(-3; 3); (-4; 4)} Cách 2: ( ) + − − = ⇔ + − − = ⇔ − + − = − 2 2 2 y 2xy 7x 12 0 4y 8xy 28x 48 0 4y 49 4x 2y 7 1 ( ) ( ) 2y 7 2y 7 4x 1⇔ − + + = − ta có 2y 7 1 x 4 2y 7 4x 1 y 4 − = = − ⇔ + + = − = 2y 7 1 x 3 2y 7 4x 1 y 3 − = − = − ⇔ + + = = Bài 3: a) Cách 1: ĐKXĐ: x ≠ -1. Đặt − = ÷ + 5 x x a x 1 và − + = + 5 x x b x 1 . Ta có − − − + + + − + = + + = = ÷ ÷ + + + 2 2 5 x 5 x 5x x x x 5 x a b x x 5 x 1 x 1 x 1 Do đó a 2 b 3 ab 6 a b 5 a 3 b 2 = = = ⇔ + = = = . Với 2 2 2 5 x x 2 a 2 x 3x 2 0 x 1 x 3x 2 0 b 3 x 3x 2 0 5 x x 3 x 1 − = ÷ = − + = + ⇒ ⇔ ⇒ − + = = − + = − + = + ( ) ( ) x 1 x 1 x 2 0 x 2 = ⇔ − − = ⇔ = Với ( ) 2 2 2 2 5 x x 3 a 3 x 2x 3 0 x 1 x 2x 3 0 x 1 2 0 b 2 x 2x 3 0 5 x x 2 x 1 − = ÷ = − + = + ⇒ ⇔ ⇒ − + = ⇔ − + = = − + = − + = + , vô nghiệm Vậy phương trình có tập nghiệm S = {1; 2} Cách 2: ( ) ( ) ( ) − − + = ⇔ − + = + ⇔ − + − + = ÷ ÷ + + 2 2 2 4 3 2 5 x 5 x x x 6 5x x x 5 6 x 1 x 5x 11x 13x 6 0 x 1 x 1 ( ) ( ) ⇔ − + − + = ⇔ − + − + = 4 3 2 2 2 x 5x 11x 13x 6 0 x 3x 2 x 2x 3 0 Từ đó ta tìm được tập nghiệm S = {1; 2} b) ( ) ( ) − + − = ⇔ − + − = 10 14 5 7 x 2013 x 2014 1 x 2013 x 2014 1 Ta có x = 2013, x = 2014 là 2 nghiệm của phương trình. Ta chứng minh 2 nghiệm này là duy nhất Xét x < 2013 ⇒ − < − ⇒ − > ⇒ − > ⇒ − + − > 7 5 7 x 2014 1 x 2014 1 x 2014 1 x 2013 x 2014 1 Xét 2013 < x < 2014 5 7 0 x 2013 1 x 2013 x 2013 0 x 2013 1 1 x 2014 0 0 x 2014 1 x 2014 x 2014 < − < − < − < − < ⇒ ⇔ ⇔ − < − < < − < − < − 5 7 x 2013 x 2014 x 2013 x 2014 x 2013 2014 x 1⇔ − + − < − + − = − + − = Xét x > 2014 ⇒ − < − ⇒ − > ⇒ − > ⇒ − + − > 5 5 7 x 2014 1 x 2013 1 x 2013 1 x 2013 x 2014 1 Vậy phương trình có nghiệm x = 2013, x = 2014 Bài 4: a) Xét ∆EDC và ∆BAC có · · µ 0 EDC BAC 90 (gt) C chung = = ⇒ ∆EDC ∼ ∆BAC (g – g) EC BC DC AC ⇒ = Xét ∆BEC và ∆ADC có A B C H D E M G m µ EC BC DC AC C chung = ⇒ ∆BEC ∼ ∆ADC (c – g - c) ⇒ · · BEC ADC= . Mặt khác AH = HD (gt) nên · · · · 0 0 0 0 ADH 45 ADC 135 BEC 135 AEB 45⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ ∆AEB vuông cân tại A. Do đó BE m 2= b) Xét ∆AHB và ∆CAB có · · µ 0 AHB CAB 90 (gt) B chung = = ⇒ ∆AHB ∼ ∆CAB (g – g) 2 2 2 AB BH BE BH BM BH AB BH.BC 2AB 2BH.BC BE 2BH.BC BC AB 2BC BE BC BE ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = (Vì BE = 2BM). Xét ∆BHM và ∆BEC có · BM BH BC BE MBH chung = ⇒ ∆BHM ∼ ∆BEC (c – g - c) · · · 0 0 BHM BEC 135 AHM 45⇒ = = ⇒ = c) Xét ∆AHC và ∆BAC có · · µ 0 AHC BAC 90 (gt) C chung = = ⇒ ∆AHC ∼ ∆BAC (g – g) AH AB HC AC ⇒ = (1) Mặt khác ∆AEB vuông cân tại A có AM là trung tuyến thì AM cũng là phân giác hay AG là đường phân giác của ∆ABC. Suy ra GB AB GC AC = (2). Từ (1) và (2) ta có: ( ) GB AH GB.HC AH.GC GB.HC AH. BC GB GB.HC AH.BC AH.GB GC HC = ⇒ = ⇒ = − ⇒ = − AH.GB GB.HC HD.BC⇒ + = (Vì HD = AH) ( ) GB. AH HC HD.BC⇒ + = GB HD BC AH HC ⇒ = + Bài 5: a) ( ) ( ) 3 3 2 2 x y 3 x y 4 x y 4 0+ + + + + + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 x y x xy y 2 x xy y x 2xy y 4 x y 4 0⇔ + − + + − + + + + + + + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 x xy y x y 2 x y 2 0 x y 2 2x 2xy 2y 2x 2y 4 0 2 ⇔ − + + + + + + = ⇔ + + − + + + + = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 x y 2 x y x 1 y 1 2 0 x y 2 0 x y 2 2 ⇔ + + − + + + + + = ⇔ + + = ⇔ + = − Mà xy > 0 do đó x, y < 0 Áp dụng BĐT CauChy ta có ( ) ( ) ( ) ( ) x y x y 1 2 − + − − − ≤ = nên xy ≤ 1, do đó 2 2 xy − ≤ − Vậy 1 1 x y M 2 x y xy + = + = ≤ − , GTLN của M là -2. Đạt được khi x = y = -1 b) Cách 1: Ta có: ( ) ( ) ( ) 3 3 2 2 3 3 2 2 a 2a b 3a 2a b a ab b a b ab a b a ab b 3 − ≥ ⇔ ≥ − + + ⇔ + ≥ + + + ( ) 2 2 2 a ab b ab a b 0⇔ − + ≥ ⇔ − ≥ luôn đúng. Do đó 3 5 3 2 2 2 2 2 a 2a b a 2a a b a ab b 3 a ab b 3 − − ≥ ⇔ ≥ + + + + . Chứng minh tương tự ta được 5 5 5 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c a b c a b c a b b c c a a ab b b bc c c ca a 3 3 + + + + − − − + + ≥ + + + + + + + Mặt khác: Vai trò a, b, c như nhau nên giả sử a b c 0 ≥ ≥ > ( ) ( ) ( ) 3 3 3 2 2 2 2 2 2 a b c a b b c c a a a b b b c c c a+ + − − − = − + − + − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 a a b b b a a c c c a a b a b a c b c b c 0= − + − + − + − = − + + − − + ≥ Từ đó suy ra 5 5 5 3 3 3 2 2 2 2 2 2 a b c a b c a ab b b bc c c ca a 3 + + + + ≥ + + + + + + . Dấu “=” xảy ra khi a = b = c Cách 2: Áp dụng BĐT Bunhia mở rộng ta có 5 5 5 6 6 6 2 2 2 2 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 a b c a b c a ab b b bc c c ca a a a b ab b b c bc c c a ca + + = + + + + + + + + + + + + + + ( ) 2 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 a b c a b c a b ab b c bc c a ca + + ≥ + + + + + + + + Mặt khác ( ) ( ) 2 2 2 3 3 a b 0 a ab b ab a b ab a b− ≥ ⇔ − + ≥ ⇔ + ≥ + tương tự ( ) 3 3 b c bc b c+ ≥ + ( ) 3 3 c a ca c a+ ≥ + . Suy ra ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 2 a b c ab a b bc b c ca c a+ + ≥ + + + + + ⇔ ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 3 3 3 a b c a b c ab a b bc b c ca c a+ + ≥ + + + + + + + + ( ) 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 a b c a b c a b c a b ab b c bc c a ca 3 + + + + ⇒ ≥ + + + + + + + + Dự đoán: Mỗi câu 1 đ theo thang điểm 10 và mỗi câu 2 đ theo thang điểm 20