Thông tin tài liệu
www.VNMATH.com ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM DƯƠNG THỊ HỒNG NGỌC MỘT SỐ KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU GẦN ĐÂY VỀ CÁC ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH TÁCH BIẾN CHUYÊN NGÀNH : TOÁN GIẢI TÍCH MÃ SỐ : 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN THỊ TUYẾT MAI Thái Nguyên- 2010 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM DƯƠNG THỊ HỒNG NGỌC MỘT SỐ KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU GẦN ĐÂY VỀ CÁC ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH TÁCH BIẾN ḶN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thái Nguyên- 2010 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com MỤC LỤC Trang Mở đầu .1 Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Miền xấp xỉ 1.2 Tập đa cực .9 1.3 Hàm cực trị tương đối 1.4 Độ đo đa điều hoà .10 1.5 Ánh xạ chỉnh hình tách .11 1.6 Tính chất thác triển Hartogs 14 1.7 Lý thuyết Poletsky đĩa định lý Rosay đĩa chỉnh hình 15 Chương Một số kết nghiên cứu gần ánh xạ chỉnh hình tách biến 17 2.1 Dạng tổng quát định lý Alehyane - Zeriehi trường hợp A D , B G 17 2.2 Bài toán trường hợp A D , B G .23 2.3 Bài toán trường hợp tổng quát 36 2.4 Bài toán 51 2.5 Một số áp dụng 55 Kết luận .58 Tài liệu tham khảo 59 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com MỞ ĐẦU Nghiên cứu ánh xạ chỉnh hình tách biến hướng nghiên cứu quan trọng giải tích phức Những kết lĩnh vực gắn liền với tên tuổi Riemann, Hartogs, Oka, Bernstein Ngày nay, nhiều nhà toán học giới tiếp tục quan tâm đến vấn đề cách tiếp cận khác nhằm giải tốn cụ thể đặt lĩnh vực Trong có hai tốn sau: Bài tốn 1: Cho X ,Y hai đa tạp phức, giả sử D ( tương ứng G ) tập mở X (tương ứng Y ), A (tương ứng B ) tập D (tương ứng G ) Z khơng gian giải tích phức Ta định nghĩa chữ thập sau: W : ((D È A ) B ) È (A (G È B )) Bao chỉnh hình chữ thậpW tập mở ''tối ưu'' đặc trưng tính chất sau: X Y ký hiệu W Với ánh xạ f :W Z thoả mãn f (a , ) Ỵ C(G È B , Z ) Ç O (G , Z ), a Ỵ A , f (,b) Ỵ C(D È A , Z ) Ç O (D , Z ), b Ỵ B , ,Z ) cho với (z,h ) Ỵ W , f (z , w ) dần tới tồn ánh xạ f Ỵ O (W dần tới (z, h ) f (z , h ) (z ,w ) Ỵ W Trước nói đến tốn thứ hai ta đưa vài thuật ngữ ký hiệu sau: Cho X ,Y , D ,G , A , B Z vàW toán 1.Giả sử M W , tập hợp M a : w Î G : (a ,w ) Î M ,a Î A , gọi thớ thẳng đứng M a (tương ứng M b : z Ỵ D : (z ,b) Ỵ M ,b Ỵ B , gọi thớ nằm ngang M b ) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com Ta nói M có tính chất thớ A (tương ứng B ) tất thớ thẳng đứng M a ,a Ỵ A , (tương ứng tất thớ nằm ngang M b ,b Ỵ B , ) có tính chất bao chỉnh hình W Bài tốn 2: Với giả thiết ký hiệu W đưa toán Với tập M W đa cực địa phương đóng tương đối(tương ứng mỏng) thớ A B (có thể M Æ) W đa cực địa phương đóng tồn tập"tối ưu" điểm kỳ dị M tương đối (tương ứng tập giải tích đóng tương đối) đặc trưng tính chất sau Với ánh xạ f :W Z thoả mãn f (a , ) Ỵ C((G È B ) \ M a ,Z ) Ç O (G \ M a ,Z ), a Ỵ A, f (,b) Ỵ C((D È A ) \ M b ,Z ) Ç O (D \ M b ,Z ), bỴ B, ,Z ) cho với (z,h) Ỵ W \ M , f (z , w ) dần \M tồn ánh xạ f Ỵ O (W dần tới (z, h ) \M tới f (z , h ) (z ,w ) Ỵ W Có nhiều nhà tốn học nghiên cứu giải hai toán số trường hợp cụ thể Kết chủ yếu chỉnh hình tách định lý thác triển Hartogs hàm chỉnh hình tách (xem [9]) giải toán trường hợp X n ,Y m , A D , B G , Z D G Sử dụng hàm cực trị tương đối, Siciak giải kết W toán trường hợp A D , B G , X Y , Z Các bước nghiên cứu bắt đầu Zahariuta vào năm 1976 sau Nguyễn Thanh Vân Zeriahi Shiffman người tổng quát hoá số kết Siciak ánh xạ chỉnh hình tách với giá trị khơng gian giải tích phức (xem [33]) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com Vào năm 2001 Alehyane Zeriahi giải toán trường hợp A D , B G X ,Y đa tạp Stein, Z không gian giải cho tích phức có tính chất thác triển Hartogs Bao chỉnh hình W : (z , w ) Ỵ D G ) : w (z , A , D ) w (w , B ,G ) < , W (, A , D ) w (, B ,G ) hàm độ đo đa điều hoà w Bài tốn bắt đầu với báo Oktem năm 1998 (xem [24, 26]) Trong cơng trình gần Henkin Shananin đưa vài áp dụng kết Bernstein lý thuyết chỉnh hình tách mà cụ thể tốn Đó kết chung hướng nghiên cứu Nguyễn Việt Anh tổng quát hoá kết nghiên cứu xung quanh hai toán toán trường hợp X ,Y đa tạp tuỳ ý Chủ yếu tác giả sử dụng lý thuyết Poletsky đĩa, định lý Rosay đĩa chỉnh hình định lý Alehyane - Zeriehi Ngoài ra, tác giả vận dụng kỹ thuật quan trọng khác sử dụng tập mức độ đo đa điều hoà dưới, định lý chữ thập hỗn hợp Mục đích luận văn nghiên cứu trình bày lại, chứng minh chi tiết số kết nghiên cứu gần ánh xạ chỉnh hình tách biến Nội dung luận văn gồm phần mở đầu, hai chương chính, kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chƣơng 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương chúng tơi trình bày khái niệm miền xấp xỉ, tập đa cực, hàm cực trị tương đối, độ đo đa điều hoà dưới, chữ thập ánh xạ chỉnh hình tách, khơng gian phức có tính chất thác triển Hartogs Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com Phần cuối chương, chúng tơi trình bày kết liên quan số vấn đề lý thuyết đa vị lý thuyết Poletsky đĩa định lý Rosay đĩa chỉnh hình Chƣơng 2: Một số kết nghiên cứu gần ánh xạ chỉnh hình tách biến Chúng tơi trình bày định lý trường hợp riêng trường hợp tổng quát tốn 1và tốn Luận văn hồn thành hướng dẫn tận tình giáo T.S Nguyễn Thị Tuyết Mai Nhân dịp em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc cô Em xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Toán trường Đại học sư phạm Thái Nguyên thầy giáo tận tình giảng dạy chúng em suốt khố học Tơi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu Trường THPT Phú Bình Tổ Toán quan tâm tạo điều kiện thuận lợi cho tơi suốt q trình học tập nghiên cứu Xin chân thành cảm ơn gia đình, đồng nghiệp bạn bè động viên khích lệ tơi suốt q trình hồn thành, bảo vệ luận văn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com CHƢƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong luận văn này, ta giả thiết tất đa tạp phức hữu hạn chiều đếm vô cực, tất khơng gian giải tích phức thu gọn, bất khả quy đếm vô cực Với tập S không gian tôpô M , ký hiệu S bao đóng S M Với hai khơng gian giải tích phức (tương ứng, hai khơng gian tôpô) D Z , O (D ,Z ) ( tương ứng C(D , Z ) ) ký hiệu tập tất ánh xạ chỉnh hình ( tương ứng, liên tục) từ D vào Z 1.1 Miền xấp xỉ 1.1.1 Định nghĩa Cho X đa tạp phức D X tập mở Một hệ miền xấp xỉ D tập hợp A= (Aa (z ))z D ,a I (I z với z z Î D ) tập mở D có tính chất sau: (i) Với z Ỵ D , hệ (Aa (z ))a I z tạo nên sở lân cận mở z (tức với lân cận mở U điểm z Î D tồn a Î I z cho z Ỵ Aa (z ) U ) (ii) Với z Ỵ D a Ỵ I z , z Î Aa (z ) Aa (z ) thường gọi miền xấp xỉ z Hơn A gọi tắc thoả mãn (i) tính chất sau (mạnh (ii)) (ii') Với điểm z Ỵ D tồn sở gồm lân cận mở (U a )a I z z X cho Aa (z ) U a ầ D , a ẻ I z Nhiều loại hệ miền xấp xỉ khác thường gặp giải tích phức mơ tả phần Các hệ miền xấp xỉ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com D sử dụng để giải vấn đề giới hạn điểm D ánh xạ xác định số tập mở D Hơn từ định nghĩa 1.1.1 suy vài trường hợp đặc biệt họ (Aa (z ))z D ,a I z không phụ thuộc vào việc chọn hệ miền xấp xỉ A Vì hai hệ tắc miền xấp xỉ tương đương, ta có quy ước sau: Với tập mở D X cố định hệ tắc miền xấp xỉ Khi muốn xác định hệ miền xấp xỉ A tập mở D X ta cần rõ họ (Aa (z ))z D ,a I z Nếu ta cố định tập mở D X hệ miền xấp xỉ A= (Aa (z ))z D ,a I D với hàm u : D , định nghĩa z (A limsup u )(z ) : sup limsup u (w ) , z Ỵ D a Iz ,wAa (z ), w z Từ định nghĩa 1.1.1(i), (A limsup u ) |D trùng với khái niệm hàm quy hố nửa liên tục thông thường u 1.1 Một số hệ miền xấp xỉ Có nhiều hệ miền xấp xỉ có ứng dụng giải tích phức Trong phần giới thiệu số hệ 1.1.2.1 Hệ tắc miền xấp xỉ Hệ tắc miền xấp xỉ đưa định nghĩa 1.1.1 (i)-(ii') 1.1.2.2 Hệ miền xấp xỉ góc với đĩa đơn vị mở Cho E đĩa đơn vị mở Đặt z t Aa (z ) : t Ỵ E : arg < a , z Ỵ E ,0 < a < , z Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com 48 G Â: w ẻ G : w(w , B ÇV ,G ) < 2 (2.50) Từ (2.49) (2.50) ta có f (z , w ) f (z , h0 ) ( 02 )1w (w ,B ÇV ,G ) , z ẻ A ầU , w Î G ' Vậy f f (z , h0 ) X (A ầU ,B ầV ;D Â ,G ¢ ) < 0 (2.51) Xét hàm g : X(A ÇU , B ÇV ;E ' ,G ' ) cho g(z ,w ) ƒ(z ,w ) ƒ(z , h0 ) (2.52) Áp dụng kết bước ta xây dựng hàm (A ÇU , B ÇV ; D ¢ ,G ¢ ), ) từ g giống cách xây dựng g Ỵ O (X hàm , ) từ f Hơn kết hợp (2.41) (2.52) ta có f Ỵ O (W (A ÇU , B ÇV ; D ' ,G ' ) g f f (z , h0 ) X (2.53) Mặt khác từ công thức (2.52) (2.51) ta thấy | g |X (A ÇU ,B ÇV ;D ' ,G ' ) 0 kết hợp với (2.53) (2.50) suy ( A limsup f (z , w ) f (z , h0 ) )(z , h0 ) Vậy A lim f f A B Bây ta xét (z , h0 ) Ỵ A G , sử dụng giới hạn cuối cách chứng minh bước ta thấy A lim f (z , h0 ) f (z , h0 ) Bƣớc 4: Chứng minh tính f Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com 49 , ) hàm bị chặn nhận A - giới Chứng minh bước 4: Giả sử g Ỵ O (W ta hạn f (z , h ) điểm (z , h ) Ỵ W Cố định điểm tuỳ ý (z , w ) Ỵ W thoả mãn f (z ,w ) g (z ,w ) Vì hai hàm f (z ,) cần g 0 0 g (z , ) bị chặn chỉnh hình tập - mức G tương ứng B : G ,B : w Ỵ G : w(w , B ,G ) < w(z , A , D ) Trong : w(z , A , D ) Mặt khác chúng nhận A - giới hạn f (z , h) điểm h B f (z , ) g (z , ) G ,B suy (z , w ) f (z , w ) g 0 Vậy f hàm Ta có điều phải chứng minh Chứng minh định lý 2.3.1: Theo giả thiết ¦ ta thấy ¦ thác triển tới ánh xạ (cũng ký hiệu bởi) ¦ xác định X(A È A , B È B ;D ,G ) cho ¦ chỉnh hình tách X0 (A È A , B È B ;D ,G ) f ½ bị chặn địa phương X ( A ,B ;D ,G ) Với P Ỵ (A ),U P song chỉnh hình tới tập mở dP Hơn ánh xạ f P : f ½X ( P ,B ;U P ,G ) thoả mãn giả thiết mệnh đề 2.3.4 (P , B ;U ,G ),Z ) thoả mãn Khi ta xác định ánh xạ f P Ỵ O (X P Ç B ;U ,G ) (A lim f P )(z , w ) f (z , w ), (z , w ) Ỵ X(P , B P Cho < (2.54) sử dụng (2.54) ta tập hợp họ ( f P ½ UP , G )P ( A) A để ánh xạ f Ỵ O (A G , Z ) (A ,Q ;D ,V ),Z ) thoả Tương tự với Q Ỵ (B ) có ánh xạ fQ Ỵ O (X Q mãn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com 50 (A lim fQ )(z , w ) f (z , w ), (z , w ) ẻ X(A ầ A ,Q ; D ,V Q ) (2.55) Hơn ta tập hợp họ ( fQ ½ để ánh xạ D V )Q (B ) Q, B f Ỵ O (D B , Z ) Tiếp theo Nguyễn Việt Anh chứng minh A B f f A B (2.56) Thực từ (2.54) (2.55) rõ ràng với P Ỵ (A ) Q Ỵ (B ) 0< ta có f P (z ,w ) fQ (z , w ), (z , w ) Î U P , VQ , Mặt khác từ (2.54) (2.55) (A lim f P )(z , w ) (A lim fQ )(z , w ) f (z , w ), (z , w ) Ỵ X(P ,Q ;U P ,V Q ) Vì U P (tương ứng V Q ) song chỉnh hình tới miền dP (tương ứng dQ ) nên áp dụng tính mệnh đề 2.3.4 ta có (P ,Q ;U ,V ) f P (z , w ) fQ (z ,w ), (z ,w ) X P Q suy (2.56) chứng minh Từ (2.56) định nghĩa ánh xạ f : X0 (A , B ; D ,G ) Z sau f A , A G , f : B f ,trên D B (2.57) Sử dụng công thức (2.57) ta kiểm tra f Ỵ Os (X0 (A , B ; D ,G ),Z ) Do A (tương ứng B ) tập mở D (tương ứng G ) nên ta áp dụng định lý 2.1 cho f với < Từ ta có ánh xạ (A , B ; D ,G ), Z ) cho f Ỵ O (X Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com 51 f f X0 (A , B ;D ,G ) (2.58) Từ (2.54)-(2.55) (2.57)-(2.58) ta có A lim f f X(A Ç A , B Ç B ;D ,G ) Với < (z ,w ) Î A B có P Î (A ) cho A z Ỵ U P ,0 ta xây dựng ánh xạ f (2.57) (2.58) sau f (z , w ) f P (z , w ) f 0 (z , w ) Suy f f 0 A B với < Khi f f 0 X(A , B ;D0 ,G0 ) , < Vậy f : lim f W k k 2.4 Bài toán Bài toán khái quát hoá toán trường hợp ta thêm tập điểm kỳ dị M chữ thập Jarnicki - Pflug giải toán trường hợp X ,Y miền Riemann-Stein, D X ,G Y miền Định lý 2.4.1(Jarnicki-Pflug) Cho X ,Y miền Riemann-Stein, D X ,G Y miền A D , B G tập không đa cực Giả sử O (D , Z ) ( tương ứng O (G , ) ) tách điểm D (tương ứng trongG ) Cho M W tập đóng tương đối mà đa cực (tương ứng mỏng) thớ A B Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com 52 Khi tồn tập đa cực đóng tương đối ( tương ứng tập giải W cho tích đóng tương đối ) M ÇW ÇW M (i) M (ii) Với hàm f giả thiết tốn với Z , ) cho f f (W ÇW )\M \M tồn hàm f Ỵ O (W Một hướng nghiên cứu định lý chữ thập với tập giải tích điểm kỳ dị đa cực chữ thập trường hợp A D , B G (xem ví dụ [14,15,16,18]) Câu hỏi nảy sinh cách tự nhiên liệu có tồn định lý chữ thập tổng quát với điểm kỳ dị không? Tức tồn dạng tổng quát định lý 2.4.1 tinh thần định lý 2.3.1 Một số kết gần cơng trình chung Nguyễn Việt Anh P.Pflug (xem [23, 24]) đưa lời giải hợp lý cho vấn đề Từ Nguyễn Việt Anh nảy sinh ý tưởng nghiên cứu trường hợp không kỳ dị Tức là, trước hết nghiên cứu trường hợp cụ thể mà chữ thập biên định nghĩa song đĩa, sau mở rộng trường hợp tới trường hợp tổng quát Bằng cách sử dụng ý tưởng Jarnicki Pflug [15, 17], áp dụng kỹ thuật ánh xạ bảo giác, kỹ thuật tập mức kết Chirka (xem [6]), Imomkulov- Khujamov( xem [10]) Imomkulov (xem [11]) Nguyễn Việt Anh chứng minh phiên "đo được" với điểm kỳ dị định lý 1.6.5 sau Định lý 2.4.2 Cho D G E A D , B G tập đếm cho mes(A ) > 0, mes(B ) > Giả sử D G trang bị với hệ miền xấp xỉ góc Xét chữ thập W : X(A , B ;D ,G ) , M tập đóng tương đối W thoả mãn: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com 53 • M a đối cực ( tương ứng rời rạc) G với a Ỵ A M b đối cực ( tương ứng rời rạc) D vi mi b ẻ B ã M ầ (A B ) Khi tồn tập đa cực đóng tương đối ( tuơng ứng tập giải W với hai tính chất sau: tích) M \M chứa ((A ' G ) È (D B ' )) \ M (i) Tập điểm cuối W A ' (tương ứng B ' ) ký hiệu tập điểm trù mật A ( tương ứng B ) (ii) Cho f : W \ M hàm bị chặn địa phương thoả mãn • Với mi a ẻ A , f (a , )ẵ G \ M a chỉnh hình nhận giới hạn góc f (a ,b ) điểm b Ỵ B ã Vi mi b ẻ B , f (,b)ẵ chỉnh hình nhận giới hạn góc f (a ,b) D \M b điểm a Ỵ A • f½ A B đo \M , ) cho f nhận giới hạn góc f có hàm f O (W điểm ((A '' G ) È (D B '' )) \ M , A '' (tương ứng B '' ) tập A ' (tươngứng B ' )với mes(A ' \ A '' ) (tươngứng mes(B ' \ B '' ) ) Hơn M M Hành trình từ định lý 2.4.2 tới dạng tổng quát khó nhiều trường hợp khơng có điểm kỳ dị Khó khăn xuất muốn f nhận A - giới hạn muốn có Trong trường hợp khơng có điểm kỳ dị ta chứng minh định lý tổng quát dựa định lý hai số trường hợp với điểm kỳ dị khơng Nguyễn Việt Anh tìm cách khắc phục khó khăn sử dụng số định lý chữ thập hỗn hợp đặc biệt với điểm kỳ dị (xem [24]) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com 54 Ta nhớ tập S đa tạp phức M gọi mỏng với x Ỵ M có lân cận liên thơng U U (x) M hàm chỉnh hình f U không đồng không cho U Ç S f 1 (0) Sau kết Nguyễn Việt Anh Định lý 2.4.3 Cho X ,Y hai đa tạp phức, cho D X ,G Y hai tập mở, A (tương ứng B ) tập D (tương ứngG ), D (tương ứngG ) trang bị hệ miền xấp xỉ Aa (z ) z D , a I (tương ứng Ab (h ) hG , b Ỵ I ) z h (, A , D ) < D w (, B ,G ) < trênG Giả sử A A B B w Cho Z không gian giải tích phức có tính chất thác triển Hartogs M tập đóng tương đối W với tính chất sau: • M mỏng thớ (tương ứng đa cực địa phương thớ) trờn A v trờn B ã M ầ ((A Ç D ) B ) M Ç ((A (B Ç G )) Khi tồn tập giải tích đóng tương đối (tương ứng tập đa cực địa phương đóng tương đố) W cho M ÇW M M ) với ánh xạ f : W \ M Z thoả mãn điều \ M End(W \M W kiện sau: (i) f Cs (W \ M ,Z ) Ç Os (W \ M ,Z ) (ii) f bị chặn địa phương dọc theo X(A Ç D , B Ç G ;D ,G ) \ M ; (iii) f ½ (A B )\ M liên tục tất điểm (A Ç D ) (B Ç G ) ,Z \M tồn ánh xạ f O W nhận A - giới hạn f (z , h) \M điểm (z , h ) W Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com 55 2.5 Một số ứng dụng Trong phần giới thiệu số áp dụng định lý 2.4.3 với hệ miền xấp xỉ nón Cho X đa tạp phức tuỳ ý D X tập mở + Ta nói tập A D chứa địa phương đa tạp tổng quát tồn tập ( đếm được) J , họ tập mở (U j ) jJ X họ đa tạp tổng quát (M j ) jJ cho A ÇU j M j , j Ỵ J A j Ỵ J U j Số chiều M j khác với jỴ J + Giả sử A D chứa đa tạp tổng quát Khi ta nói A có cỡ dương j J mesM j (A ÇU j ) > mesM j ký hiệu độ đo Lebesgue M j + Một điểm a Ỵ A gọi điểm trù mật tương A điểm trù mật tương A ÇU j M j với j Î J Ký hiệu A ' tập tất điểm trù mật tương A Giả sử A D có cỡ dương, ta trang bị cho D hệ miền xấp xỉ nón giá A Sử dụng kết nghiên cứu B Coupet B.Joricke (xem [7,19]) ta thấy A đa qui địa phương tất điểm trù mật tương A A ' A Do từ định nghĩa độ đo đa điều hồ ta có (z , A ,D ) w(z ,A ' ,D ), z D w ước lượng kết hợp với định lý 2.4.3 ta có hệ sau Hệ 2.5.1 Cho X ,Y hai đa tạp phức, cho D X ,G Y hai tập mở liên thông, A (tương ứng B ) tập D (tương ứng G ) D (tương Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com 56 ứngG ) trang bị hệ miền xấp xỉ nón Aa (z ) z D , a I (tương z ứng Ab (h ) hG , bI ) giá A (tương ứng B ) Giả sử A B có cỡ dương h Định nghĩa W ¢ : X(A ' , B ' ; D ,G ), ¢ : (z , w ) D G : w(z , A ' , D ) w(w , B ' ,G ) < 1 W A ¢ (tương ứng B ¢ ) tập điểm trù mật tương A (tương ứng B ) Cho M mộ tập đóng tương đối W với tính chất sau: M mỏng thớ (tương ứng đa cực địa phương thớ) A B M Ç (A B ) Khi tồn tập giải tích đóng tương đối (tương ứng tập đa ' cho với ánh xạ W cực địa phương đóng tương đối) M f :W \ M Z thoả mãn điều kiện sau: (i) f Cs (W \ M ,Z ) Ç Os (W \ M ,Z ) (ii) f bị chặn địa phương dọc theo X(A , B ;D ,G ) \ M ; (iii) f ½ (A B )\ M liên tục '\ M ,Z nhận A - giới hạn f (z , h ) tồn ánh xạ f O W điểm (z , h) (W ÇW ' ) \ M Áp dụng thứ hai định lý chữ thập hỗn hợp tổng quát sau Hệ 2.5.2: Cho X ,Y hai đa tạp phức, cho D X ,G Y tập mở liên thông, A tập D B tập G , D trang bị hệ miền xấp xỉ nón Aa (z ) z D , a I z giá A vàG trang Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com 57 bị hệ miền xấp xỉ nón Ab (h ) hG , b I h Giả sử A có cỡ dương B B Định nghĩa W ¢ : X(A ' , B ' ; D ,G ), ¢ : (z , w ) D G : w(z , A ' , D ) w(w , B ' ,G ) < W A ¢ tập điểm trù mật tương A Cho M tập đóng tương đối W với tính chất sau: M mỏng thớ ( tương ứng đa cực địa phương thớ) A B M Ç (A B ) Khi tồn tập giải tích đóng tương đối ( tương ứng tập đa cực địa phương đóng tương đối )M ' W cho ' \M ) với ánh xạ f :W \ M Z thoả mãn điều W ' \ M End(W kiện sau: (i) f Cs (W \ M ,Z ) Ç Os (W \ M ,Z ) (ii) f bị chặn địa phương dọc theo (A G ) \ M '\ M ,Z tồn ánh xạ f O W nhận A - giới hạn f (z , h) điểm (z , h)W ' \ M Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com 58 KẾT LUẬN Bài toán nghiên cứu ánh xạ chỉnh hình tách biến ln tốn mở với người nghiên cứu Với mục đích bước đầu tìm hiểu hướng nghiên cứu này, luận văn trình bày số kết nghiên cứu gần ánh xạ chỉnh hình tách biến mà cụ thể kết nghiên cứu gần NguyễnViệt Anh Với mục đích đó, luận văn đạt kết sau đây: + Hệ thống kiến thức liên quan đến vấn đề nghiên cứu + Trình bày lý thuyết Poletsky đĩa định lý Rosay đĩa chỉnh hình + Trình bày cách hệ thống chi tiết số kết nghiên cứu gần ánh xạ chỉnh hình tách biến Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com 59 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1 Nguyễn Văn Khuê - Lê Mậu Hải, Hàm biến phức, NXB ĐH Quốc gia Hà Nội 2 O Alehyane et J M Hecart (2004), Propriete de stabilite de la fonction extremale relative, Potential Anal., 21, no 363-373 3 O Alehyane et A Zeriahi (2001), Une nouvelle version du theoreme d'extension de Hartogs pour les applications separement holomorphes entre espaces analytiques, Ann Polon Math., 76, 245-278 4 E Bedford (1982), The operator (dd c )n on complex spaces, Semin P Lelong - H Skoda, Analyse,Annees 1980/81, Lect Notes Math., 47, 1-4 5 E Bedford, B A Taylor (1982), A new capacity for plurisubharmonic function, Acta Math., 149, 1-40 6 E M Chirka (1993), The extension of pluripolar singularity sets, Proc Steklov Inst Math 200, 369-373 7 B Coupet (1992), Construction de disques analytiques et regularite de fonctions holomorphes au bord, Math Z 209, no 2, 179-204 8 A A Gonchar (2000), On Bogolyubov's "edge-of-the-wedge" theorem, Proc Steklov Inst Math., 228,18-24 9 F Hartogs (1906), Zur Theorie der analytischen Funktionen mehrer unabhangiger Veranderlichen, insbesondere uber die Darstellung derselben durch Reihen, welche nach Potenzen einer Veranderlichen fortschreiten, Math Ann., 62, 1-88 10 S A Imomkulov, J U Khujamov (2005), On holomorphic continuation of functions along boundary sections, Math Bohem., 130, no 3, 309322 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com 60 11 S A Imomkulov (2005), On the holomorphic continuation of functions defined on a boundary pencil of complex lines, (Russian) Izv Ross Akad Nauk Ser Mat., 69, no 2, 125-144; translation in Izv Math 69, no 2, 345-363 12 S M Ivashkovich (1987), The Hartogs phenomenon for holomorphically convex Kahler manifold, Math USSR-Izv., 29, 225232 13 M Jarnicki and P Pflug (2000), Extention of Holomorphic Function, de Gruyter Expositions in Mathematics 34, Walter de Gruyter 14 M Jarnicki and P Pflug (2003), An extension theorem for separately holomorphic functions with analytic singularities, Ann Pol Math., 80, 143-161 15 M Jarnicki and P Pflug (2003), An extension theorem for separately holomorphic functions with pluripolar singularities, Trans Amer Math Soc., 355, No 3, 1251-1267 16 M Jarnicki and P Pflug (2003), An extension theorem for separately meromorphic functions with pluripolar singularities, Kyushu J Math., 57, No 2, 291-302 17 M Jarnicki and P Pflug (2006), A remark on separate holomorphy, Studia Math., 174 (3), 309-317 18 M Jarnicki and P Pflug (2007), A general cross theorem with singularities, Analysis (Munich), 27, no 2-3, 181-212 19 B Joricke (1982), The two - constants theorem for functions of several complex variables, (Russian), Math Nachr 107, 17-52 20 B Josefson (1978), On the equivalênc between polar and globally polar sets for plurisubharmonic functions on n , Ark Mat 16, 109-115 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com 61 21 N V Anh (2005), A general version of the Hartogs extension theorem for separately holomorphic mappings between complex analytic spaces, Ann Scuola Norm Sup Pisa Cl Sci., serie V, Vol IV(2), 219-254 22 N V Anh (2008), A unified approach to the theory of separately holomorphic mappings, Ann Scuola Norm Sup Pisa Cl Sci., serie V, Vol VII(2), 181-240 23 N V Anh and P Pflug, Boundary cross theorem in dimension with singularities, Indiana Univ Math J 24.N.V Anh and P Pflug, Cross theorems with singularities, arXiv:math.CV.0901 25 O Oktem (1998), Extension of separately analytic functions and applications to range characterization of exponential Radon transform, Ann Polon Math., 195-214 26 O Oktem (1999), Extension of separately analytic functions in nm with singularities, Extension of separately analytic functions and applications to mathematical tomography ( Thesis), Dep Math Stockholm Univ 27 P Pflug and V-A Nguyên (2004), A boundary cross theorem for separately holomorphic functions, Ann Polon Math., 84, 237-271 28 P Pflug and V-A Nguyên (2007), Boundary cross theorem in dimension 1, Ann Polon Math., 90(2),149-192 29 P Pflug and V-A Nguyên (2007), Generalization of a theorem of Gonchar, Ark Mat., 105-122 30 E A Poletsky (1991), Plurisubharmonic functions as solutions of variational problems, Several complex variables and complex geometry, Proc Summer Res Inst., Santa Cruz/CA (USA) 1998, Proc Symp Pure Math 52, Part 1, 163-171 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com 62 31 E A Poletsky (1993), Holomorphic currents, Indiana Univ Math J., 42, No.1, 85-144 32 J P Rosay (2003), Poletsky theory of disks on holomorphic manifolds, Indiana Univ Math J., 52, No.1, 157-169 33 B Shiffman (1971), Extension of holomorphic maps into Hermitian manifolds, Math Ann., 194, 249-258 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ... ĐẠI HỌC SƯ PHẠM DƯƠNG THỊ HỒNG NGỌC MỘT SỐ KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU GẦN ĐÂY VỀ CÁC ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH TÁCH BIẾN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên- 2010 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái... 1.5 Ánh xạ chỉnh hình tách .11 1.6 Tính chất thác triển Hartogs 14 1.7 Lý thuyết Poletsky đĩa định lý Rosay đĩa chỉnh hình 15 Chương Một số kết nghiên cứu gần ánh xạ chỉnh. .. tơi trình bày kết liên quan số vấn đề lý thuyết đa vị lý thuyết Poletsky đĩa định lý Rosay đĩa chỉnh hình Chƣơng 2: Một số kết nghiên cứu gần ánh xạ chỉnh hình tách biến Chúng tơi trình bày định
Ngày đăng: 18/05/2021, 23:09
Xem thêm:
