De thi HSG

[r]

ubnd hun nam s¸ch

phịng giáo dục & đào tạo

k× thi chän häc sinh giỏi cấp huyện

môn thi: toán

Thời gian làm 150 phút

-Câu (2,0 ®iĨm) Cho



  

 2  

x

A

x x x x

a Rót gän biĨu thøc A

b TÝnh gi¸ trÞ cđa A biÕt

2 x

2

Câu (2,0 điểm)

Cho hệ phơng trình

(a 1) x y a x y a

   

 

  



a Giải hệ phơng trình a

b Xác định giá trị a để hệ có nghiệm thỏa mãn x + y > Câu (2,0 điểm)

a Cho

2

x  6x 13  x  6x10 1 H·y tính giá trị

2

A x 6x 13  x  6x10

b T×m nghiệm nguyên dơng phơng trình (x + 2y)(3x + 4y) = 96 Câu (3,0 điểm)

Cho ABCnhn (AB < AC) nội tiếp đờng tròn tâm O Đờng phân giác góc A cắt cạnh BC D; cắt đờng tròn tâm O M

a Chøng minh r»ng BMC ABC  ACB b MB MC MD MA

c Kẻ đờng cao AH H BC  Chứng minh OAH ABC  ACB Câu (1,0 điểm)

Cho P x  xy 3y  x Tìm giá trị nhỏ P

-Họ tên: SBD… ……… …

Ch÷ kÝ GT 1:……… ……

Đáp án - Môn Toán

(HS cã thĨ chøng minh c¸ch kh¸c)

Câu Nội dung Điểm

x A

x (x 2)(x 3) x



  

    0.25

(x 2)(x 2) (x 3) A

(x 2)(x 3)

    



  0.25

x A x    0.25 b

V× x > 0; ta cã

2

x

2

  

 0.25

x   0.25

Thay vµo biĨu thøc

3

A

3 3

  

 

   0.25

( 5)( 3) A

3 ( 3)( 3)

  

 

  0.25

2

a

Thay a  ta đợc hệ

(1 ) x y (1)

2 x y (2)

             0.25

(1 2 ) x

2 x y

              0.25 x

1 2 2 y

1 2

            

 KÕt luËn

0.5

b (a 1) x y 3 (1) (2a 1) x a 3

a x y a (2) a x y a

                     0.25

2

2          a a x a a a y a 0.25 Ta cã 2

3

2 2

   

   

  

a a a a a

x y

a a a

Ta cã a2 - a + > nªn x + y > 2a + >

Hay

1

 

a

(Tháa m·n) KÕt luËn

3

a

Đặt x2 6x13 a ; x2  6x10 b 0.25

-> a2 - b2 = 0.25

-> (a - b)(a + b) = 3; Ta cã a - b = -> 1.(a + b) = 0.25 VËy

2

x  6x 13  x  6x 10 = 3 0.25

b

Ta cã (x + 2y)(3x + 4y) = 96; x + 2y + 3x + 4y = 4x + 6y Nªn (x + 2y) (3x + 4y) chẵn;

Mặt khác < x + 2y < 3x + 4y V× vËy ta xÐt 96 = 4.24 = 6.16 = 8.12

0.25

Xét trờng hợp:

  

 



 

  

 

x 2y x 16

(Lo¹i)

3x 4y 24 y

  

 



 

  

 

x 2y x

(Tháa m·n)

3x 4y 16 y

  

 



 

  

 

x 2y x

(Lo¹i)

3x 4y 12 y

0.5

KÕt luËn 0.25

4

VÏ h×nh

0.25

a

Ta cã ABC AMC (gãc néi tiÕp ch¾n AC ) 0.25

 

ACB AMB (gãc néi tiÕp ch¾n AB ) 0.25

Céng vÕ víi vÕ - KÕt luËn 0.25

E

O

D H

M

C B

b

Ta cã BAM CAM (gt)  MB MC  MB MC (1) 0.25

XÐt



 

 

  

 

AMB chung MBD vµ MAB cã

MBD MAB 

MBD MAB (gg) 

MB MA

MD MB

 MB.MB = MA.MD (2) 0.5 Tõ (1) vµ (2)  MB MC MD MA 0.25

c

Kẻ đờng thẳng BE  AO, E(O)

   

AB AE ACB ABE

    (1) (Hai gãc néi tiÕp ch¾n cung nhau)

0.25

Mặt khác OAH CBE (2) (Hai góc có cạnh tơng ứng vuông góc) 0.25

Ta lại có ABE CBE ABC (3) (vì tia BE nằm tia BA vµ BC) 0.25

Tõ (1); (2); vµ (3)  ACB  OAH ABC Hay OAH ABC  ACB 0.25

5

§K x; y 0

P x  xy  y 1 x 2 y  y  2y

0.25

2

P ( x  y ) 1 2( x  y ) y 2y 0.25

2

P ( x y 1) (2 y 1)

2

      0.25

1

P y ; x

2 4

   

KÕt luËn 0.25