Tài liệu Đề thi HSG tỉnh 2013 Quảng Bình lớp 11 môn toán doc

SỞ GD&ĐT KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 11 THPT QUẢNG BÌNH NĂM HỌC 2012- 2013 Môn thi: Toán ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Khóa ngày 27 tháng 3 năm 2013) SỐ BÁO DANH:…………… Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1:(3.0 điểm) a) Giải hệ phương trình: 2 2 2 10 1 2 12 x x y y x x y              b) Giải phương trình:   2 cos2 cos4 6 2sin3 x x x    Câu 2:(2.5 điểm) a) Tính giới hạn dãy số:   4 2 63 lim 1 1 n n n     b) Cho dãy số   n u xác định như sau: 1 1 1 2013 1 ( 1) 2013 n n n n n u u u n            Tìm công thức số hạng tổng quát và giới hạn dãy số   n u ? Câu 3:(2.5 điểm) Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình thang cân (AD//BC) và BC=2a, AB=AD=DC=a (a>0). Mặt bên SBC là tam giác đều. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Biết SD vuông góc với AC. a) Tính SD. Trang: 1 - Đáp án Toán 11 b) Mặt phẳng (  ) qua điểm M thuộc đoạn OD (M khác O, D) và song song với hai đường thẳng SD và AC. Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng (  ). Biết MD = x. Tìm x để diện tích thiết diện lớn nhất. Câu 4:(2.0 điểm) Cho phương trình: 4 3 2 0 x ax bx cx d      a) Với 2013 d   , chứng minh rằng phương trình có ít nhất hai nghiệm phân biệt. b) Với 1 d  , giả sử phương trình có nghiệm, chứng minh 2 2 2 4 3 a b c    HẾT SỞ GD&ĐT KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 11 THPT QUẢNG BÌNH NĂM HỌC 2012 - 2013 Môn thi: Toán (Khóa ngày 27 tháng 3 năm 2013) HƯỚNG DẪN CHẤM (Đáp án, hướng dẫn này có 4 trang) yªu cÇu chung * Đáp án chỉ trình bày một lời giải cho mỗi bài. Trong bài làm của học sinh yêu cầu phải lập luận lô gic chặt chẽ, đầy đủ, chi tiết và rõ ràng. * Trong mỗi bài, nếu học sinh giải sai ở bước giải trước thì cho điểm 0 đối với những bước giải sau có liên quan. Ở câu 3 nếu học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai thì cho điểm 0. * Điểm thành phần của mỗi bài nói chung phân chia đến 0,25 điểm. Đối với điểm thành phần là 0,5 điểm thì tuỳ tổ giám khảo thống nhất để chiết thành từng 0,25 điểm. * Học sinh có lời giải khác đáp án (nếu đúng) vẫn cho điểm tối đa tuỳ theo mức điểm của từng bài. * Điểm của toàn bài là tổng (không làm tròn số) của điểm tất cả các bài. Câu Nội dung Điểm Trang: 2 - Đáp án Toán 11 1 a) ĐK: 0 y  . Đặt 1 1;a x b y    Ta có hệ phương trình trở thành 2 2 11 5 7 2 3 ( ) 6 18 3 2 13 a b ab a b a b a a VN ab ab b b a b                                    TH1: 2 1 ( ; ) 1; 3 3 a x y b              TH2: 3 1 ( ; ) 2; 2 2 a x y b              1,5 điểm 0,25 0,75 0,25 0,25 b)   2 cos2 cos4 6 2sin3 x x x    2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4sin sin 3 6 2sin3 4(1 sin sin 3 ) 2(1 sin3 ) 0 4 sin (1 sin 3 ) cos 2(1 sin3 ) 0 4(sin cos 3 cos ) 2(1 sin3 ) 0 sin3 1 sin3 1 sin cos 3 0 2 ( ) 2 cos 0 cos 0 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x k k Z x x                                               1,5 điểm 0,5 0,5 0,5 2 a)     4 2 6 4 2 2 6 23 3 lim 1 1 lim 1 ( 1 ) n n n n n n n n            Ta có:   2 2 4 2 2 4 2 2 2 4 1 1 1 1 lim 1 lim lim 2 1 1 1 1 1 n n n n n n n n n n                                 6 23 6 2 2 6 4 3 3 1 lim( 1 ) lim 0 ( 1) ( 1) n n n n n n         Do đó   4 2 6 3 1 lim 1 1 2 n n n      1,0 điểm 0,25 0,25 0,25 0,25 b) * 0, n u n N    1 1 1 1 1 1 2013 2013 n n n n n n n n n n u u u u          Do đó: 2 1 2 1 1 1 2013 u u  3 2 3 2 2 1 2013 u u  1,5 điểm 0,25 Trang: 3 - Đáp án Toán 11 1 1 1 1 2013 n n n n n u u      Suy ra: 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2013 2013 2013 2013 2012 n n n n u u                1 1 1 2013 2013 2012 n n n u           1 1 1 1 1 1 2014 2013 2013 1 2013 2014 1 2012 n n n n u n n                    (Cô si) Mặt khác 2013 lim 1 1 n         . Vậy lim 1 n u  0,5 0,25 0,25 0,25 3 O B C A D S T M N P K Q J 2,5 điểm 0,25 Trang: 4 - Đáp án Toán 11 a) Dễ thấy đáy ABCD là nữa hình lục giác đều cạnh a. Kẻ DT//AC (T thuộc BC). Suy ra CT=AD=a và DT vuông góc SD. Ta có: DT=AC= 3 a . Xét tam giác SCT có SC=2a, CT=a, 0 120 SCT  7 ST a   Xét tam giác vuông SDT có DT= 3 a , 7 2 ST a SD a    b) Qua M kẻ đường thẳng song song với AC cắt AD, DC lần lượt tại N,P. Qua M, N, P kẻ các đường thẳng song song với SD cắt SB, SA, SC lần lượt tại K, J, Q. Thiết diện là ngũ giác NPQKJ. Ta có: NJ, MK, PQ cùng vuông góc với NP. dt(NPQKJ)=dt(NMKJ)+dt(MPQK)= 1 1 ( ) ( ) 2 2 NJ MK MN MK PQ MP    1 ( ). 2 NJ MK NP   (do NJ=PQ). Ta có: . . 3 3 3 NP MD AC MD x a NP x a AC OD OD      2 . . 3 2( 3) 3 a a x NJ AN OM SD OM NJ a x a SD AD OD OD                 2 . 3 . 2 ( 3 ) 3 3 a a x KM BM SD BM KM a x SD BD BD a        Suy ra: dt(NPQKJ)= 1 2 2( 3) ( 3 ) 3 2(3 2 3 ) 2 3 a x a x x a x x            2 2 1 1 3 3 (3 2 3 )2 3 (3 2 3 ) 2 3 4 3 4 3 a x x a x x a           Diện tích NPQKJ lớn nhất bằng 2 3 3 4 a khi 3 4 x a  0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 4 a) d= -2013 Đặt 4 3 2 ( ) 2013 f x x ax bx cx     liên tục trên R. Ta có:   0 2013 0 f    Mặt khác lim ( ) x f x    , nên tồn tại 2 số 0; 0     sao cho ( ) 0; ( ) 0 f f     . Do đó (0). ( ) 0; (0). ( ) 0 f f f f     . Vậy phương trình có ít nhất hai nghiệm phân biệt thuộc hai khoảng ( ,0)  và (0, )  1.0 điểm 0,25 0,5 0,25 Trang: 5 - Đáp án Toán 11 b) d=1: Gọi 0 x là nghiệm của phương trình ( 0 0 x  ) 4 3 2 2 0 0 0 0 0 0 2 0 0 1 1 1 0 x ax bx cx b x ax c x x             Ta có:   2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 2 2 2 0 0 0 0 1 1 1 1 ( 1) ( 1) a b c x a c x ax c x x x x x                             2 2 2 2 0 0 0 0 2 2 0 0 0 0 1 1 1 1 ax c x ax c x x x x x                      Suy ra:   2 2 0 2 2 0 2 2 2 2 0 2 0 1 1 1 1 x x t a b c t x x               với 2 0 2 0 1 2 t x x    Mặt khác: 2 2 4 3 4 4 0 ( 2)(3 2) 0 1 3 t t t t t t           (đúng do 2 t  ). Vậy 2 2 2 4 3 a b c    . Dấu bằng xảy ra khi 2 3 a b c     (ứng với 0 1 x  ) 2 2 , 3 3 a c b     (ứng với 0 1 x   ) 1.0 điểm 0,25 0,25 0,25 0,25 . GD&ĐT KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 11 THPT QUẢNG BÌNH NĂM HỌC 2012- 2013 Môn thi: Toán ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Khóa ngày 27 tháng 3 năm 2013) SỐ. SỞ GD&ĐT KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 11 THPT QUẢNG BÌNH NĂM HỌC 2012 - 2013 Môn thi: Toán (Khóa ngày 27 tháng 3 năm 2013) HƯỚNG DẪN