Đang tải... (xem toàn văn)
Trang 4 Chú ý: - Trên đây chỉ trình bày tóm tắt một cách giải, nếu thí sinh làm theo cách khác mà đúng thì cho điểm tối đa ứng với điểm của câu đó trong biểu điểm.. - T hí sinh làm đ[r]
(1)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HẢI PHÒNG KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN Năm học 2020 – 2021 ĐỀ THI MƠN TỐN
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Lưu ý: Đề thi gồm 01 trang, thí sinh làm vào tờ giấy thi Bài (2,0 điểm)
a) Cho biểu thức :
1
1
x x
P
x
x x x x x
Rút gọn P Tìm tất giá trị x để
P
b) Cho phương trình ẩn x x2px q 0 1 (với p q; số nguyên tố) Tìm tất giá trị p q biết phương trình 1 có nghiệm số nguyên dương
Bài 2.(2,0 điểm)
a) Giải phương trình x 1 x2 2x 6 3 2x. b) Giải hệ phương trình
2 2
3 2
x y xy
x y
Bài (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông A (AB < AC), M trung điểm cạnh BC P điểm di động đoạn AM (P khác A M) Đường tròn qua P, tiếp xúc với đường thẳng AB A, cắt đường thẳng BP K (K khác P) Đường tròn qua P, tiếp xúc với đường thẳng AC A, cắt đường thẳng CP L (L khác P)
a) Chứng minh BP BK. CP CL. BC2.
b) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác PKC qua hai điểm cố định c) Gọi J tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác PKC E giao điểm thứ hai đường tròn với đường thẳng AC Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác PLB F giao điểm thứ hai đường tròn với đường thẳng AB Chứng minh EF // IJ
Bài 4.(1,0 điểm)
Cho ba số dương x y z, , thỏa mãn xyyz zx 5 Chứng minh
2 2
3
3
5
x y z
x y z
Đẳng thức xảy nào? Bài 5.(2,0 điểm)
a) Giải phương trình nghiệm nguyên x y xy2 2x2 5x 4.
b) Giả sử A tập hợp tập hợp 1; 2; 3; ; 1023 cho A không chứa hai số mà số gấp đơi số Hỏi A có nhiều phần tử?
- Hết -
Họ tên thí sinh:……….……… Số báo danh: ………… Cán coi thi 1:……….……… … Cán coi thi 2: ……… …… ……
(2)Trang SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN HẢI PHÒNG Năm học 2020 – 2021
HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN
Bài Đáp án Điểm
1 (2,0 điểm)
a) (1,0 điểm) ( )( )
2 :
1
1
x x x
P x x x x + + = − + − − +
ĐK: x≥0,x≠1 0,25
( 1)( 11) 1
x x x P x x x x − − + ⇔ = ⋅ + + + − 1 x P x x − ⇔ =
+ + 0,25
( )
1 1 7 7 1 1 0 0
7
6
x
P x x x do x x x
x x
x x
−
≤ − ⇔ ≤ − ⇔ − ≤ − − − + + > ∀ ≥ + +
⇔ − + ≤
0,25
( x 2)( x 4) x 4 x 16
⇔ − − ≤ ⇔ ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ 0,25 b) (1,0 điểm)
Điều kiện để phương trình ( )1 có nghiệm ∆ = p2−4q≥0 *( )
Áp dụng định lý Vi-et ta có 2
x x p
x x q
+ =
=
với x x1;
+
∈ 0,25
Vì q số nguyên tố nên x1=1 x2 =1 0,25
Nếu x1=1 1+x2 = p x2 số nguyên tố liên tiếp, suy x2 số nguyên tố chẵn
nên x2 = =q 2;p=3 Tương tự, x2 =1thì x q1= =2;p=3 0,25
Ta thấy q=2;p=3 thỏa mãn điều kiện ( )* giá trị cần tìm 0,25
2 (2,0 điểm)
a) (1,0 điểm)
Đặt a x= +1;b= − +x2 2x+6;b≥0
Ta ( )2
2
3 1
1
ab x b a
b a
b x a b
a = + = − ⇒ = ⇒ = + + = + − 0,5
Nếu b a= −1, thay vào ta được:
2
3
x
x x x
x x ≥ − + + = ⇔ − − = 13 x +
⇔ = 0,25
Nếu b a= +1 thay vào ta được:
2
2
1
x
x x x
x x ≥ − − + + = + ⇔ + − = 5 x x − + = ⇔ − − =
Vậy nghiệm phương trình 1; 1; 13
2 2
x∈ − + − − +
0,25
b) (1,0 điểm)
Với điều kiện x y, ≠0 hệ phương trình trở thành 22 22
3
x y xy xy y xy
+ =
+ =
2 2 0
x xy y
⇒ − − =
0,25
Hướng dẫn gồm 04 trang
(3)Trang
( )( )
2 2 2 0 2 0
x xy xy y x y x y
⇒ + − − = ⇔ + − =
2
x y
x y
= − ⇔ =
0,25
Nếu 2 2 3
1
2
x y x y x
x y
x y
x x x
= − = − =
= − ⇒ ⇔ ⇔
= = −
+ =
x y, ≠0 0,25
Nếu 2 2 3
5
2 2
2 5
5
4
4 4
x y x
x y
x y
y
y y y y
= =
=
= ⇒ ⇔ ⇔
=
+ =
=
x y, ≠0
Vậy hệ phương trình cóhai nghiệm ( ) (; 1; ,) 5;
x y ∈ −
0,25
3 (3,0
điểm) Đáp án cho trường hợp hình vẽ trên, trường hợp khác chứng minh tương tự.a) (1,0 điểm) BAlà tiếp tuyến đường tròn (APK) nên BA2 =BP BK. ( )1
CAlà tiếp tuyến đường tròn (APL) nên CA2 =CP CL. ( )2 0,5
Từ (1) (2) suy BP BK CP CL BA CA. + . = + =BC2 0,5
b) (1,0 điểm)
Gọi AH đường cao tam giác ABC ⇒BA2 =BH BC. ( )3
0,5
Từ (1) (3) ⇒BP BK BH BC = Suy tứ giác HPKC nội tiếp nên đường tròn
ngoại tiếp tam giác PKCđi qua hai điểm cố định C và H 0,5
c) (1,0 điểm)
Theo câu b) đường tròn (J) qua H Chứng minh tương tự (I) qua H
(I) (J) cắt H, Pnên IJ HP⊥ ( )4 0,25
( )5
HPEC nt⇒AEP PHC=
( )6
HPFB nt⇒ AFP PHC=
Từ (5) (6) suy tứ giác APEFnội tiếp nên
900
EPF EAF PE PF
⇒ = = ⇒ ⊥
0,25 G
F
E K
L
I
J
H M
A
B C
(4)Trang
Gọi Glà giao điểm HPvà EF Do tứ giác HPECvà APEFnội tiếp nên
900 ( )7
GPE HCE MCA MAC PAE PFE
GPE GEP PFE GEP PG EF hay HP EF
= = = = =
⇒ + = + = ⇒ ⊥ ⊥
Từ (4), (7) suy IJ // EF
0,5
4 (1,0 điểm)
( )( ) ( )( ) 6( 3)( )
x y z
P
x y x z y z y x z x z y
= + +
+ + + + + + 0,25
( )
2 3 1
6 6
1 3 3 2 3
3
2 6
x y z
x y x z y z y x z x z y
x x y y z z
x y x z y z y x z x z y
= ⋅ + ⋅ + ⋅
+ + + + + +
≤ + + + + + = + + =
+ + + + + +
0,5
Đẳng thức xảy 3 22 2 2
5 5
z x y
x y y z z x z x y
x xy yz zx
= = = =
+ + + ⇔ ⇔ = = =
= + + =
0,25
5 (2,0 điểm)
a) (1,0 điểm)
Phương trình ban đầu tương đương với xy x( − =1 2) x2−5x+4 ( 1) 2x2 5x ( 0)
y x x do x
x x
− +
⇒ − = = − + ≠ 0,25
Vì x y, ∈ nên x∈ ± ± ±{ 1; 2; 4} 0,25
Lập bảng giá trị
x −1 −2 −4
y 11
2 y
11
3
14
4
Mà x y, ∈nên nghiệm phương trình ( ) ( )x y; = 2;1
0,5 b) (1,0 điểm)
Chia số từ 1đến 1023 thành tập A0 ={ }1 ,A1={ }2;3 ,A2 ={4;5;6;7 ,}
{ } { } { }
3 8;9; ;15 , 16;17; ;31 , 32;33; ;63 ,
A = A = A =
{ } { } { }
6 64;65; ;127 , 128;129; ;255 , 256;257; ;511
A = A = A =
{ }
9 512;513; ;1023
A =
Dễ thấy số phần tử tập Ak ,k k =0,1, ,9
Nhận thấy n A∈ k ⇔2n A∈ k+1
0,25
Xét A A= 9∪A7∪A5∪A3∪A1⇒ A =512 128 32 682+ + + + = , rõ ràng A không
chứa số gấp đôi số khác 0,25
Ta chọn tập có nhiều 682 số thỏa mãn
Thật vậy: Giả sử tập A thỏa mãn yêu cầu toán chứa ak phần tử thuộcAk, 0,1, ,9
k =
Xét tập hợp Akvà Ak+1 Với m A∈ k tùy ý, ta có 2m A∈ k+1 Số cặp (m m,2 )
như 2k và cặp nhưvậy có nhiều số thuộcA.
0,25
Ngoài tập Ak+1 cịn chứa 2k số lẻ, tức có nhiều 2k + k =2k+1 số thuộc A
được lấy từ Akvà Ak+1
Suy
0 , , , ,
a a+ ≤ a +a ≤ a +a ≤ a a+ ≤ a a+ ≤ Cộng bất đẳng
thức ta a a a0+ + + +1 a9 ≤682 Vậy số phần tử lớn nhấtcủa A 682
(5)Trang Chú ý: - Trên trình bày tóm tắt cách giải, thí sinh làm theo cách khác mà cho điểm tối đa ứng với điểm câu biểu điểm
- Thí sinh làm đến đâu cho điểm đến theo biểu điểm.
- Trong câu, thí sinh làm phần sai, khơng chấm điểm.
- Bài hình học, thí sinh vẽ hình sai khơng chấm điểm Thí sinh khơng vẽ hình mà làm làm cho nửa số điểm câu làm được.
- Bài có nhiều ý liên quan tới nhau, thí sinh cơng nhận ý trênđể làm ý mà thí sinh làm chấm điểm ý đó.