Người ta gọi “số gốc” của một số là chỉ con số thu được khi cộng dần các chữ số có trong con số, khi tổng số là sốlớn hơn 9 thì thì lại tính tổng các chữ số của kết quả đó, cứ tiếp tục n[r]
(1)Tản mạn số phương
Việt Long
1 Sự tuần hoàn số phương
Quan sát chữ số cuối bình phương số từ đến ta thấy xuất dãy số 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4, Bình phương 10 100, có chữ số cuối Các bình phương số có chữ số cuối lập thành dãy số 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4, tất bình phương số tự nhiên có chữ số cuối lặp lặp lại vòng tuần hòan này, tượng lặp lặp lại vơ số lần Vịng lặp lặp lại có số làm ranh giới Người ta phát “số gốc” bình phương 1, 4, 7, mà chữ số khác Người ta gọi “số gốc” số số thu cộng dần chữ số có số, tổng số sốlớn thì lại tính tổng chữ số kết đó, tiếp tục đến kết số có chữ số, chữ số cịn lại gọi “số gốc” số xét (hiểu theo cách khác lấy tổng chữ số số đem chia cho 9, ta lấy số dư phép chia đó) Như “số gốc” kết phép tính cộng dồn chữ số có số, lấy số làm điểm dừng
Ví dụ “số gốc” 135 9, “số gốc” 246 là 3…
Ứng dụng tính chất vừa nêu ta phán đốn số có phải số phương hay khơng
Ví dụ Xét xem số A=98765432123456789 có phải số phương hay khơng ?
Để tìm số gốc số trên, ta tính sau :
Cách
9+8+7+6+5+4+3+2+1+2+3+4+5+6+7+8+9 = 9+9+(8+1)+2(7+2)+2(6+3)+2(5+4)+8 = 9M + 8, suy số cho có số gốc 8.
Cách
9+8+7+6+5+4+3+2+1+2+3+4+5+6+7+8+9 = 89; + = 17; + = suy số cho có số gốc (Hay 89 : = dư 8, suy số cho có số gốc 8) Số gốc khác 1,4,7,9 nên số A khơng số phương.
Số gốc số phương cịn lập thành một dãy số tuần hoàn 1, 4, 9, 7, 7, 9, 4, Ở chữ số ranh giới chữ số chữ số 0 như tính chất trên.
Ví dụ
100 ( bình phương 10) có số gốc 1 121 ( bình phương 11) có số gốc 4 144 ( bình phương 12) có số gốc 9 169 ( bình phương 13) có số gốc 7 196 ( bình phương 14) có số gốc 7 225 ( bình phương 15) có số gốc 9 256 ( bình phương 16) có số gốc 4 289 ( bình phương 17) có số gốc 1
324 ( bình phương 18) có số gốc (ranh giới chu kỳ).
361 ( bình phương 13) có số gốc (ranh giới lặp lại.)
2 Sự kì lạ số lẻ
Ta có
1 + = = 22
1 + + = = 32
1 + + + = 16 = 42
1 + + + + = 25 = 52
1 + + + + + 11 = 36 = 62
1 + + + + +11 + 13 = 49 = 72
………
(2)1 + + + … + (2n + 1) = n2.
3 Lại thêm điều thú vị
Bạn nghĩ câu nói: “Tổng lập phương số tự nhiên liên tiếp từ số phương”? Ta dễ dàng kiểm tra máy tính sau:
13 +23 = = 32
13 +23 + 33 = 36 = 62
13 +23 + 33 + 43 = 100 = 102
13 +23 + 33 + 43 + 53 = 225 = 152
13 +23 + 33 + 43 + 53 + 63 = 441 = 212
13 +23 + 33 + 43 + 53 + 63 +73 = 784 = 282
…………
Nếu ta ta để ý ta nhận rằng: + =
1 + + = + + + = 10 + + + + = 15 + + + + + = 21 + + + + + + = 28 ………
Đến ta dự đoán quy luật
13 +23 +…+ n3 = (1 + +…+ n)2.
Hai quy luật nêu mục mục chứng minh phương pháp quy nạp tốn học
4 Bạn tin khơng ?
Ta có 49 số phương Nếu ta xen số 48 vào xẽ số 4489, tiếp tục xen 48 vào đựoc số 444889, làm tiếp q trình ta số 44…4488…889 Ta xét dãy số
u1 = 48
u2 = 4489
u3 = 444889
…
un = 44…4488…889 (un có n chữ số n – chữ
số 8)
Bạn nghĩ dãy số này?
Điều thú vị số hạng dãy số nói số phương Thật vậy, ta xét số hạng tổng quát
un = 4.102n+1+4.102n+…+4.10n+1+8.10n+8.10n-1+…
+8.102+8.10+9=(1+4+4)+(4+4)(10+102+…+10n) +
4.(10n+1+…+102n+1)=1+4.(1+10+…+10n)+4.(1+10+
… +102n+1) = 1+4.(10n+1-1):9+4.(102n+2-1):9 = B2,
với B = (2.10n+1+1):3 Dễ thấy 2.10n+1+1 có tổng
các chữ số nên chia hết cho 3, tức B số nguyên dương Vậy un số
(3)