Ki thuat su dung BDT CauchyTuan AnhNga Dien

Vì thời gian rất gấp nên tài liệu chắc chắn có nhiều chỗ không chính xác vì vậy các em lưu hành nội bộ không nên phổ biến rộng.. Có gì thắc mắc các em liên hệ qua YM : pkl_py.![r]

KĨ THUẬT SỬ DỤNG CAUCHY I Bất đẳng thức Cauchy

, , x y z

  ta có : x y

xy

  Đẳng thức xảy x y

3 x y z

xyz

   Đẳng thức xảy khix y z

+ Chú ý:trong thực tế ta thường dùng dạng x y 2 xy ;x y z  33 xyz II Các kĩ thuật sử dụng

1.Kĩ thuật đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân Sử dụng dạng :

2 x y

xy

  x y 2 xy

3 x y z

xyz

   hoặcx y z  33 xyz

Ví dụ 1: Cho , ,a b c độ dài cạnh tam giác Chứng minh a b b c c a        8abc

Giải

Ta có a b 2 ab Đẳng thức xảy a b

2

b c  bc Đẳng thức xảy b c

2

c a  ca Đẳng thức xảy c a Suy ra:a b b c c a        ab bc ca 8abc Đẳng thức xảy a b c  hay tan giác Ví dụ 2: Chox0 Tìm GTNN hàm số y x

x

 

Giải Ta có  x x x.1

x x

   Đẳng thức xảy x x2 1 x

    x x0

Vậy Minx0y2 x1

Ví dụ 3: Tìm GTNN hàm số 3x x

y   

Giải x

 3 ,3x1 2x dương nên theo bất đẳng thức Cauchy ta có

1 2

3x x 3x x y        

Đẳng thức xảy 3 32 1 2

x  x      x x x

Vậy Miny6 x

Ví dụ 4: Tìm GTNN hàm số y 2x 12 x

  với x0 Giải

Ta có

2

1

3

y x x x x

x x

     Đẳng thức xảy

2

1

x x x

x

Vậy Minx0y3 x1

Ví dụ 5: Cho o b a  Chứng minh aa b b1  3 Giải

Ta cóa   a b b   33a b b  

a b b a b b a b b

       

  

Đẳng thức xảy a b b  a b b1  

 

2

2

1

1

a b

a b a

b b b

a b b



  

 

  

     





 



Đọc xong Ví dụ 4, Ví dụ bạn có suy nghĩ có rút kinh nghiệm khơng? + Lưu ý : kĩ thuật áp dung trường hợp:

1 Chứng minh BĐT dạng  Trong tốn tìm GTNN

3 Tách thành số hạng cho sau sử dung BĐT biểu thức khử lại số

BÀI TẬP

1 x y z, , 0 Chứng minh 1 x y x y

1 1

x  y z x y z 

2 Chứng minh

2

2 a

a  Đẳng thức xảy nào?

3 Cho , ,a b c0 a b c  1.Chứng minh 1 1 1

a b c

        

   

     

4 Cho , ,a b c0 a b c abc   Chứng minh a b c  3 cho ,x y thỏa mãn 3y x  2 log 34 Tìm GTNN T 4x y 13.42y1 Tìm GTNN hàm số sin2 os2

4 x 4c x

y 

7 Cho ,a b0 a b 1 Chứng minh 1 1

a b

      

  

   

8 Chứng minh 1a 1b 1  c 1 3abc3 a b c, , 0 Đẳng thức xảy nào?. Cho , ,a b c0 Chứng minh 2a b c a    2b c a b    2c 8 a b b c c a        10 Cho , ,a b c0 a b c  1.Chứng minh 1a 1b 1 c 8 1a 1b 1c 11 Chứng minh 1a 1  b 1 ab2 a b, 0

12 Cho , ,x y z0 thỏa mãn xyz1 n số nguyên dương Chứng minh

1 1

3

2 2

n n n

x y z

  

      

     

     

Sử dụng dạng

2 x y xy   ;

3 x y z xyz  

Ví dụ 1:Cho , ,x y z0.Chứng minh xy yz  zx  x y z Giải

Ta có

2 2

x y y z z x

xy yz  zx        x y z

Đẳng thức xảy x y z

Ví dụ Cho , ,a b c0 Chứng mnh 13abc  31a 1b 1c  * Giải

Ta có              

3

1

*

1 1 1

abc

a b c a b c

  

     

      3

1 1 1 1

1 1 1

1 a b c a b c a b c

 

     

       

  

Đẳng thức xảy 1

1a 1b 1c  a b c      

3

3

1

1 1 1

1 1

abc a b c a b c

a b c a b c

a b c

 

     

       

  

Đẳng thức xảy a b c 

Do

           

3

1 1 1

1

3 1 1 1

1 1 1

abc a b c

a b c a b c

a b c a b c

 

        

     

 

     

Đẳng thức xảy a b c  Vậy 13 abc 31a 1b 1c

Ví dụ 3: Tìm GTLN hàm số

3

y x  x với x

 

Giải

Ta có  

2

2 3

3

3

x x x

y x  x x x  x      

 

( Chú ý : ta có

3

3

x y z x y z

xyz   xyz    

  )

Đẳng thức xảy x x  3 2x x Vậy

0;

1

Maxy

     



x1

Ví dụ 4: Tìm GTLN hàm số y2x2x3

với 0 x Giải

Ta có    

3 2 2 3 32

2

x x x

y x  x x x  x       

 

Đẳng thức xảy 4

x x   x x

Vậy

 0;2 32 Max

3

( Tại ta lại phân tích 22  2 

x  x x x  x ?) Tóm lược: Thường sử dụng kĩ thuật

Chứng minh bất đẳng thức dạng  Tìm GTLN

BÀI TẬP

1 Chứng minh c a c   c b c   ab   a c 0,b c 0 Cho , ,a b c0 a b c  1 Chứng minh 16abc a b 

3.Cho , ,a b c o a b c  1 Chứng minh rằng:       729 abc a b b c c a    Cho a, b, c số thực dương chứng minh :

i)

           

bc ca ab

a b a c   b c b a   c a c b  

ii) a b a c a     b c b a b     c a c b c    23 Kỹ thuật ghép đối xứng:

Để ý : 2x y z        x y y z z x

2 2

x y y z z x x y z       

      2

x y z  xy yz zx

, , xyz xy yz zx x y z

Ví dụ 1: Trong ABC chứng minh       p a p b p c    abc Giải

Trong tam giác p a p b p c ,  ,  0 nên ta có :

 p a p b      p a p b  2  2c Đẳng thức xảy p a    p b a b  p b p c     a2 Đẳng thức xảy b c

 p c p a     2b Đẳng thức xảy c a Suy      

8

p a p b p c    abc Đẳng thức xảy a b c  hay tam giác ABC Ví dụ 2: Chứng minh a b c 2 a b c, ,  *

a b b c c a

 

       

  

 

Giải

Ta có  * 2a b c 1 a b b c c a

 

      

  

 

a b b c c a 1 a b b c c a

 

          

  

 

Ví dụ 3: Chứng minh bc ca ab a b c a b c, ,

a  b  c     

Giải Ta có bc ca 2c

a  b  Đẳng thức xảy a b

ca ab a

b  c  Đẳng thức xảy b c

ab bc b

c  a  Đẳng thức xảy c a Suy bc ca ab 2a b c

a b c

      

 

 

bc ca ab

a b c a b c

      Đẳng thức xảy a b c 

BÀI TẬP

1 Chứng minh a b c 1 a b c, , bc ca ab    a b c   Chứng minh

2 2

2 2 , ,

a b c a c b

a b c

b c a   c b a  

3 Chứng minh 12 12 12 a b c a b c, ,

a b c abc

 

    

4 Kỹ thuật đổi biến:

Ví dụ mở đầu : Chứng minh a b b c c a a b c, ,

c a b

       

Giải

Ta có a b b c c a a b b c c a a c c b b a 2

c a b c c a a b b c a b c a b

                       

     

     

Đẳng thức xảy a b c 

Nhận xét: Ví dụ ta sử dụng tính chất a b a b c c c

   ngược lại bất đẳng thức

cần chứng minh có dạng c

a b liệu có cịn sử dụng tính chất nêu khơng?

Ví dụ 1: Chứng minh , ,

a b c

a b c b c c a a b       

Giải

Để vận dụng tính chất nêu ta phải gói gọn mẫu thành biểu thức (1 chữ cái) tử tổng hiệu biểu thức tính theo mẫu Để làm việc ta cần đặt sau

Đặt

b c x c a y a b z

 



  



  



ta tính , ,a b c theo , ,x y z Dễ thấy x y z  2a b c  

Khi  

2 2

x y z x y z y z x

a     b c    x   Tương tự ta tính

2 z x y b   ,

2 x y z

c   Như bất đẳng thức cho viết lại

1 1

2 2

y z x z x y x y z y z z x x y

x y z x x y y z z

                  

y z z x x y x x y y z z

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC Chứng minh

2 2

a b c

a b c b c a c a b a b c           Giải

Đặt

2 ,

,

2 ,

2 y z a

b c a x x

z x

c a b y y z y z a b c b

a b c z z x y

c

  



   

 



            

 

     

   



Bất đẳng thức cho viết lại :

  2  2 2

4 4

y z z x x y

x y z

x y z

  

    

 

2 2 2 2 2 2

y z z x x y yz zx xy

x y z

x x y y z z x y z

            Đến khơng khó để chứng minh

 

2 2

2 xy yz zx

x y z z  x  y   

2 2 2 2 2 2

y z z x x y yz zx xy

x  x  y  y  z  z  x  y  z Từ suy điều phải chứng minh Đẳng thức xảy x    y z a b c

Ngồi cách phân tích ta chứng minh sau:  

   

     

2 2

2

4 4

4

y z yz

x x

z x zx y z z x x y yz zx xy

x y z

y y x y z x y z

x y xy

z z





 





    

          





 





Ví dụ 3: Chứng minh a b c, , 0 abc1 ta có 2  2  2 

1 1

2 a b c b c a c a b 

Giải

Trong Ví dụ với cách đặt ví dụ có lẽ khơng cịn phù hợp Tuy nhiên để ý số

2 ta có liên hệ với bất đẳng thức Ví dụ khơng ? Trong Ví dụ cách đặt a 1,b 1,c

x y z

   quy đồng biến đổi rút gọn ta : x x y yz   y z x zx  z x y xy  23 bất đẳng thức với , ,x y z0 nên ta ràng buộc thêm xyz1 để phát biểu thành toán 2  2  2 

3

xyz yzx zxy

x x y  y z x z x y  hay

     

2 2

1 1

2 x x y  y z x z x y 

Vậy để giải tốn Ví dụ ta đổi biến a 1,b 1,c

x y z

   , ,x y z0 Khi

     

2 2

2 2

1 1 3

2 2

x yz y zx z xy x y z

a b c b c a c a b   y z  z x  x y   y z  z x  x y  xyz1 Cách

chứng minh bất đẳng thức cuối có Ví dụ

1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức 3a 4b 5c

b c c a a b     với , ,a b c0

2 Chứng minh với số dương a, b, c, d ta có

a b c d

b c d  c d a d a b a b c        

3 Chứng minh với số dương a, b, c ta có

2 2

2

a b c a b c

b c c a a b

 

  

  

4 Cho , ,a b c0 thỏa mãn điều kiện abc1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức

     

3 3

1 1

P

a b c b c a c a b

  

  

5 Cho tam giác ABC chứng minh : a b c b c a c a b a b c        

6 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P 4a 9b 16c b c a c a b a b c

  

      a, b, c độ dài cạnh

của tam giác

7 Chứng minh tam giác ta có: ab bc ca 4p

p c  p a  p b  p nửa chu vi

5 Kỹ thuật cân hệ số:

Ví dụ 1: Cho , ,a b c0 thỏa mãn a b c  1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức 1

P a b c

a b c

     

Giải Ta có a 2,b 2, c

a b c

      Suy P6 Vậy Min P6

Trong cách giải ta mắc sai lầm chỗ đẳng thức xảy a b c  1 a b c  3 mâu thuẫn với giả thiết a b c  1

Cách giải : Ta có 9a

a

  Đẳng thức xảy 1

a a

a

  

1 9b

b

  Đẳng thức xảy 1

b b

b

  

1 9c

c

  Đẳng thức xảy 1

c c

c

  

Suy 9a b c 1 18 a b c 1 18 8a b c 10

a b c a b c

                 Đẳng thức

xảy

a b c   Vậy Min P10 a b c  

Đến ta có thắc mắc làm tìm số áp dụng trên? Để trả lời câu hỏi ta có nhận xét: Vai trò , ,a b c toán nên dự đoán MinP xảy

giờ ta tiếp tục tìm hệ số cách sử dụng ma m a

  m số dương cho đẳng thức

xảy

1

9

3 ma

a m a

 

  



 



Ví dụ 2: Cho , ,a b c0 ,a b c  3 Chứng minh 4a 1 4b 1 4c 1 Giải

Phân tích ta sử dụng dạng:

2 x y

xy   Như 1 4 1

a m

a a m

m m

 

    Vấn

đề m phù hợp? Dự đoán đẳng thức xảy a b c  1 Do ta tìm m cho

4a 1 m a1, dễ thấy m5 giá trị cần tìm Ta giải tốn sau: Ta có 1 4 5

2

5 5

a a

a  a      Đẳng thức xảy a1

2

5 b

b   Đẳng thức xảy b1

2

5 c

c   Đẳng thức xảy c1

Suy 4 3 3

5 5

a b c

a  b  c        Đẳng thức xảy a b c  1

Ví dụ 3: Chứng minh xy yz zx  5 3x23y2 z2 10 Giải

Phân tích: 2

x y xy

    Đẳng thức xảy xy 2 2

x z xz

    Đẳng thức xảy x2 z2 2 2

y z yz

    Đẳng thức xảy y2 z2 Bây ta cần chọn , ,   thỏa mãn

3

  

 

  







 



Giải hệ ta 1; 2;

      Ta trình bày lại cách giải : Ta có: 2

2

x y  xy Đẳng thức xảy xy 2

2

2

x  z  xz Đẳng thức xảy 2 2 x  z 2

2

2

y  z  yz Đẳng thức xảy 2 2 y  z

Suy 3x23y2 z2 2xy xz yz   10 Đẳng thức xảy x y 1;z2 Ví dụ 4: Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn 47

12

x y z   Tìm giá trị nhỏ biểu thức P3x24y25z2

Giải

Phân tích : Để sử dụng giả thiết ta ghép 3x2 m 2 3mx m0 Tương tự

4y  n 4n y; 5z2 p 2 5pz

Suy 3x24y25z2 2 3mx2 4n y2 5pzm n p  

Đến ta cần tìm , ,m n p cho

3m  4n  5pvà để ý đẳng thức xảy

2

2

2

5

47 12 m x n y p z x y z

 







 



   



Như ta tìm , ,m n p cách giải hệ:

2

2

2

5

3 ; ; 5

5

3

3 1; ;

5

4 ;

25 25

3

; ;

5 47 3 4

47 12

12

m n p m p n p p z

m x z y x

n y x z y z

m n p

p z

x y z x y z



  

   



  



    

     

  

      



     

 

  



Khi 3 4 5 2 3.25 2 4.25 2 5.5 25 25 5 10  235 235

3 4 12 12

x  y  z  x y z    x y z   

 

Việc trình bày lại lời giải dành cho bạn !!!

BÀI TẬP

1 Cho , ,x y z0 ,x y z  1 Tìm giá trị nhỏ P 2x y z 1 x y z

 

       

 

2 Tìm giá trị lớn y 2x 3 2 x

3 Cho , ,x y z0, xy yz zx  1 Chứng minh 10x210y2 z2 4 Cho a1,b1 Chứng minh a b 1 b a 1 ab

5 Cho , ,a b c0, a b c  1 Chứng minh a b  b c  c a  6 Kỹ thuật ghép nhóm:

Trong phần bạn phải nắm vững số bất đẳng thức thường gặp phải sử dụng kỹ thuật cân hệ số

Ví dụ 1: Cho , ,a b c0 Chứng minh

2 2 a b c

a b c

b  c  a   

Giải Ta có

2

2 a

b a

b   Đẳng thức xảy a b

2 b

c b

c   Đẳng thức xảy b c

2 c

a c

a   Đẳng thức xảy c a Suy

2 2 2

2 2

a b c a b c

a b c a b c a b c

b  c  a        b  c  a    Đẳng thức xảy a b c 

Ví dụ 2: Cho , ,a b c0 Chứng minh  

3 3

2 2

2 2

a b c

a b c a b b  c c  a   

Giải

Ta có  

3

2

1

2

a

a a b a

 

2

1

2

b

b b c b b c  

 

2

1

2

2

c

c c a c c a  

Suy    

3 3

2 2 2

2

2 2

2 2

a b c

a b c a b c ab bc ca

a b b  c c  a          

 2 2  2 

1

3 a b c a b c ab bc ca

        

Đến khơng khó để chứng tỏ a2  b2 c2 ab bc ca  Do ta có điều cần chứng minh. Đẳng thức xảy a b c 

Ví dụ 3: Cho , ,a b c0 Chứng minh        

3 3 1

2

a b c

a b c b c a c a b a b c    Giải

Ta có    

3

3 a

mb n c a mna

b c a     Đẳng thức xảy    

3 a

mb n c a

b c a    mà ta

dự đoán toán đẳng thức xảy a b c  nên

   

3

1 m a

ma n a a a a a

n

 



    

  



Do    

3 1 1 3

2

a

b c a a

b c a    

   

3 1 1 3

2

b

c a b b

c a b    

   

3 1 1 3

2

c

a b c c

a b c    

Suy              

3 3 3 1 1 1

2 2

2

a b c

a b c a b c a b c a b c

b c a c a b a b c            

Đẳng thức xảy a b c 

BÀI TẬP Cho , ,a b c0 Chứng minh

5 5

3 3 a b c

a b c bc ca ab     Cho , ,a b c0 Chứng minh

3 3

2 2 a b c

a b c b  c  a    Cho , ,a b c0 Chứng minh

3 3 a b c

ab bc ca b  c  a    Cho , ,a b c0 Chứng minh

5 5 3 3 3

a b c a b c

b c a  b  c  a Cho , ,a b c0 Chứng minh

       

3 3

2 2

1

a b c

a b c b c  c a  a b   

6 Cho , ,a b c0.Chứng minh              

3 3 1

4

a b c

7 Cho , ,a b c0 Chứng minh

3 3 2 a b c

a b c

c a b   

8 Cho , ,a b c0 Chứng minh

2 2

2

a b c a b c

b c c a a b

 

  

  

BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIAKOVSKI Dạng 1: ax by 2a2b2 x2y2 Đẳng thức xảy ay bx

 2  2 2  2 2

ax by cz   a  b c x y z Đẳng thức xảy a b c x  y z Ví dụ 1: Cho , ,a b c0 Chứng minh

2 2

2 a b c

a b c

b c c a a b

 

      

  

 

Giải

Ta có a c c a b c b c a c b c

b c c a a b

       

  

Do    

2 2

2 2

a b c

a b c a b c

b c c a a b

 

       

  

 

2 2

2 a b c

a b c

b c c a a b

 

       

  

  Đẳng thức xảy a b c 

Dạng rìm thấy nhiều sách tham khảo Dạng 2:  

2 2 a b a b

x y x y



 

 với ,x y0 a, b tùy ý Đẳng thức xảy

a b x  y Ví dụ 1: chứng minh  

2 2 a b c a b c

x y z x y z

 

  

  với , ,x y z0

Giải

Ta có    

2

2 2 a b a b c

a b c c

x y z x y z x y z

  

    

   Đẳng thức xảy

a b c x  y z Ví dụ 2: Chứng minh với số dương a, b, c ta có

2 2

2

a b c a b c

b c c a a b

 

  

  

Giải

Ta có  

 

2

2 2

2

a b c

a b c a b c

b c c a a b a b c

   

   

     Đẳng thức xảy a b c 

Ví dụ 3: Chứng minh 1

x  y z x y z  x y z, , 0

Giải

Ta có  

2 2 1 1

1 1 1

x y z x y z x y z x y z

 

      

    Đẳng thức xảy a b c 

Ví dụ 4: Chứng minh , ,

a b c

a b c b c c a a b       

Ta có  

 

2

2 2

2

a b c

a b c a b c

b c c a a b ab ca bc ab ca bc ab bc ca

 

     

       

Mặt khác a b c  2 3ab bc ca   Từ suy điều phải chứng minh Ví dụ 5: Cho , ,a b c0 chứng minh 1 1

2 3

a b b  a  a b Giải

Ta có  

2 2 2 2 1

1 1 1 1

2 9

a b a b b a b b a b

     

        

      

 2 2 2 2 1

1 1 1 1

2 9

b a a b b b a a b a

     

        

      

Công bất đẳng thức lại ta điều cần chứng minh BÀI TẬP

1 Cho , ,a b c0 Chứng minh

2 2 a b c

a b c

b  c  a   

2 Cho , ,a b c0 Chứng minh

3 3

2 2 a b c

a b c b  c  a    Cho , ,a b c0 Chứng minh

3 3 2

2

a b c a b c

b c c a a b

 

  

  

4 Cho , ,a b c0 Chứng minh 1 1 1

2 3 6

a b c b  c a c  a b a b c

Trên kỹ thuật thường gặp toán đơn giản hy vọng thời gian ngắn em làm quen áp dụng vào toán ( Chú ý điều đẳng thức xảy ? )

Chúc em có kỳ thi ý !!!