Sang Kien Kinh nghiem

Gäi I lµ giao ®iÓm cña BH vµ CK... Gäi M lµ trung ®iÓm cña BC..[r]

Chủ đề

“ Khai th¸c s¸ng tạo, linh hoạt toán sách giáo khoa Hình học

-Phần I: Mở đầu

I. Lý chn ti.

Trong bối cảnh ngành Giáo dục Đào tạo nỗ lực đổi phơng pháp dạy học theo hờng phát huy tính tích cực chủ động học sinh hoạt động học tập, để dáp ứng đợc đòi hỏi đợc đặt cho bùng nổ kiến thức sáng tạo kiến thức mới, cần phải phát triển lực t duy, lực giải vấn đề tính sáng tạo

Hớng giải tích cực hố hoạt động học tập học sinh, khơi dậy phát triển lực tự học nhằm hình thành cho học sinh t tích cực, độc lập sáng tạo, nâng cao lực phát giải vấn đề, rèn luyện kỹ vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm tin, hứng thú học tập cho học sinh

Dạy toán thực chất dạy hoạt động toán, học sinh cần phải đớc hút vào hoạt động học tập giáo viên tổ chức đạo, thơng qua học sinh tự lực khám phá điều cha biết khơng phải thụ động tiếp thu tri thức đặt sẵn

Theo tinh thần này, tiết lên lớp tổ chức đạo học sinh tiến hành hoạt động học tập: Củng cố kiến thức cũ, tìm tịi phát kiến thức mới, luyện tập vận dụng kiến thức vào tình khác Không thế, suy nghĩ làm để học sinh tự đọc hiểu đợc tào liệu, tự làm tập, nắm vững hiểu sâu kiến thức bản, đồng thời phát huy tiềm sáng tạo thân

Do vậy, tơi tìm tịi, học hỏi đồng nghiệp, tham khảo tài liệu để viết đề tài nhằm hớng dẫn học sinh biết khai thác sáng tạo toàn đơn giản sách giáo khoa thành toán đa dạng, có đơn giản, có phức tạp, giúp học sinh tự phân tích, tổng hợp, đặc biệt hố, khái quát hoá, tơng tự, quy lạ quen, quy khó dễ, để từ giúp học sinh hứng thú học tốn

II. Mục đích nghiên cứu :

- Khai thác sáng tạo, linh hoạt từ tốn hình học sách giáo khoa toán thành toán khác phù hợp với đối tợng học sinh

- Phát huy t tích cực, độc lập sáng tạo, nâng cao lực phát giải vấn đề, rèn luyện kỹ vận dụng kiến thức vào thực tiễn học sinh

III. NhiƯm vơ nghiªn cøu :

- Nghiên cứu tình hình dạy học vấn đề trờng

- Đa đợc số toán phù hợp với đối tợng học sinh hớng giải

IV. Ph¹m vi nghiên cứu : Đối tợng nghiên cứu:

- Các tài liệu

- Giáo viên, học sinh lớp trờng THCS Viên Thành

2 Phạm vi nghiªn cøu:

Các tốn hình học phù hợp với đối tợng học sinh lớp 7, phơng pháp gii cỏc bi toỏn ú

V. ph ơng pháp nghiên cứu: - Phơng pháp nghiên cứu tài liệu

- Phơng pháp điều tra khảo sát - Phơng pháp thể nghiệm

- Phơng pháp tổng kết kinh nghiệm

Phần II: Nội dung

Từ toán sách giáo khoa toán 7:

( Bài 65 – trang 137 – SGK – To¸n – TËp NXB giáo dục 2003)

Bài toán I : Cho ABC cân A ( Â < 900 ), VÏ BH AC ( H  AC ), CK 

AB ( K AB ).

a Chøng minh r»ng AH = AK.

b Gäi I giao điểm BH CK Chứng minh AI tia phân giác của góc A.

Phân tích toán I:

- chứng minh hai đoạn thẳng hay hai góc nhau, thông thờng ta phải chứng minh hai tam giác chứa hai đoạn thẳng hai góc ( Tuy nhiên nhiều cách khác) Vậy để chứng minh AH = AK ta phải chứng minh tam giác nhau?

- Hai tam giác theo trờng hợp nào? Giả thiết cho ta đợc rồi? Có thể chứng minh hai đoạn thẳng trực tiếp khơng? Hay phải thơng qua yếu tố trung gian nào?

Bằng câu hỏi gợi mở, giáo viên để học sinh thảo luận đa phơng án chứng minh riêng học sinh

Giáo viên hớng đẫn cho học sinh theo sơ đồ sau:

Sơ đồ Sơ đồ

AH = AK

 ABH  ACK

 

AH = AK



BK = CK ( V× AB = AC)

2

1

2

H×nh

I

C B

A



AB = AC ( ABC c©n);

KAH chung



KCB HBC

 



BC chung; KCB



= HCB



( ABC c©n)

- Tơng tự nh giáo viên nêu hệ thống câu hỏi gợi mở giúp học sinh tìm đợc lời giải câu b theo sơ đồ sau:

Sơ đồ Sơ

AI phân giác góc A



¢1= ¢2



AKI  AHI

 



AK = AH ( c/m câu a); AI chung

AI phân giác góc A

Â1= Â2



ABI  ACI

 



+B1= B2 (KBC HCB

+AB = AC ( ABC cân A)

+ AI c¹nh chung

ở tốn A ( hình 1), ta chứng minh đợc AK = AH AKH là tam giác cân

A; học sinh tính đợc

  1800 

2

BAC AKH AHK  

(1) Và giả thiết cho ABC cân A nên học sinh chứng minh đợc:

  1800 

2

BAC BACABC 

(2)

Từ (1) (2) suy ra: AKH ABC, mà góc vị trí đồng vị,điều giúp học sinh chứng minh đợc: KH // BC

Vậy ta có toán sau:

Bài toán 1: Cho ABC cân A ( Â < 900), Vẽ BH AC ( H  AC ), K  AB

( K AB ) Chøng minh r»ng: KH // BC.

toán A ( hình 2), ABC c©n ë A 

AB = AC, học sinh chứng minh đợc Â1 = Â2, cú thờm

AN cạnh chung nên suy ra: ABN  ACN

  (c.g.c)  

1

N N

  mµ N1N 2 1800 ( kỊ bï)

  0

1

180 90

N N

   

AN BC

  hay AI BC

Từ giúp học sinh chứng minh đợc toán sau:

Bài toán 2: Cho ABC cân A ( Â < 900), có đờng cao hạ từ đỉnh B đỉnh

C c¾t t¹i I Chøng minh r»ng: AI BC.

Vì học sinh chứng minh đợc KH // BC ( nh toán 1), mà toán lại chứng minh đợc AI BC, nên ta chứng minh đợc AI  KH.

Từ giúp học sinh dễ dàng chứng minh đợc toán sau:

Bài toán 3: Cho ABC cân A ( Â < 900), có đờng cao hạ từ đỉnh B đỉnh

C cắt I Chứng minh rằng: AI KH.

Nh chứng minh toán (hình 2): ABN ACN (c.g.c)

BN CN

 N trung điểm BC.

2

1

2

H×nh

I

C B

A

Từ giúp học sinh tìm đợc lời giải cho toán sau:

Bài toán 4: Cho ABC cân A ( Â < 900), có đờng cao hạ từ đỉnh B đỉnh

C cắt I Chứng minh rằng:AI qua trung điểm BC.

Bài toán khác tơng tự:

Bài toán 5: Cho ABC cân A ( Â < 900), có đờng cao BH, CK ( H AC, K

AB ) cắt I

Chøng minh r»ng:AI ®i qua trung ®iĨm cđa KH.

Tổng hợp tốn ( hình 3), học sinh chứng minh đợc toán tơng tự sau:

Bài toán 6: Cho ABC cân A ( Â < 900), có đờng

cao hạ từ đỉnh B đỉnh C cắt I Chứng minh rằng: AI vừa đờng phân giác, vừa đờng cao, vừa đờng trung tuyến, vừa đờng trung trực của tam giác ABC.(Có thể khơng cần gới thiệu bài này định lý)

Bài toán 7: Cho ABC cân A ( Â < 900), có đờng

cao BH, CK ( H AC, K  AB ) c¾t t¹i I.

Chứng minh rằng:AI vừa đờng phân giác, vừa đờng cao, vừa đờng trung tuyến, vừa đờng trung trực tam giác ABC .(Có thể khơng cần gới thiệu định lý)

Với giả thiết tốn A ( hình 4), học sinh chứng minh đợc AI  KH ( giả sử D – Bài tốn 3); Lúc đó:

 

2

A H ( cïng phơ víi AHD), mà Â

1 = Â2 ( theo

chứng minh toán A)



1

A H

  hay BAI KHB

Đến học sinh xác định đợc cần phải vẽ thêm đờng phụ nh bắt gặp toán sau:

Bài toán 8: Cho ABC cân A ( Â < 900), có đờng cao BH, CK ( H AC, K

AB ) cắt I

Chøng minh r»ng: BAI KHB.

Nếu toán chứng minh đợc BAI KHB ta lại có: KHB HBC (so le trong)  

BAI HBC

  , giúp học sinh giải đợc toán khác tơng tự.

Bài toán 9: Cho ABC cân A ( Â < 900), có đờng cao BH, CK ( H

AC, K  AB ) cắt I

Chứng minh rằng: BAI HBC .

ở tốn A ( hình 4) ta chứng minh đợc AI tia phân giác Â

  

1

1

A A BAC

  

ở toán chứng minh đợc BAI HBC tức là:

1

H×nh

2

1

D

I

B C

A

H K

2

H×nh

I

C B

A

   

1

1

A HBC HBC BAC

Từ giúp học sinh biết vẽ thêm đờng phụ để chứng minh đợc toán sau:

Bài toán 10: Cho ABC cân A ( Â < 900), có đờng cao BH ( H AC)

Chøng minh r»ng:

 1

2

HBC BAC

.

Bài tốn 10 tốn khó học sinh lớp 7, lại cịn khó ta cha h-ớng dẫn cho học sinh toán Tuy nhiên tốn

này có nhiều cách khác nhau, có đơn giản nhng để

chứng minh đợc học sinh cần phải linh động vẽ thêm hình Vậy ta đảo lại số kiện giả thiết tốn A có thêm bi toỏn khỏc na

Ta xét toán sau:

Bài toán 11: Cho ABC cân A ( Â < 900), có đờng

cao BH ( H AC) Trên cạnh AB lấy điểm K cho

AK = AH.

Chøng minh r»ng: a KH // BC b CK AB

( Bµi 40 Trang 68 Sách nâng cao phát triển toán – NXB Gi¸o dơc 2003)

Câu a: Học sinh dễ dàng chứng minh đợc tơng tự nh tốn Câu b Học sinh dễ dàng nhìn thấy AHBAKC có:

+ AH = AK ( gi¶ thiÕt) + ¢ chung

+ AB = AC ( ABC cân A)

AKC AHB

  mµ AHB900  900

AKC CK AB

    (đpcm).

Bài toán 12: Cho ABC cân A ( Â < 900), Một điểm I

nằm tam gi¸c cho IB = IC Chøng minh r»ng: AI tia phân giác BAC

Khi đọc đề toán học sinh nghĩ IB = IC

 I thuộc đờng trung trực BC (1),

mà ABC cân A nên AB = AC

 A đờng trung trực BC (2).

Từ (1) (2)  AI đờng trung trực BC, mà BC đáy tam giác ABC cân nên tơng tự ta có AI đồng thời đờng phân giác góc BAC

Đến ta quay lại xem xét toán Nếu thay giả thiết  < 900

tốn có chứng minh đợc hay khơng? Sự thay đổi có cần phải phân chia trờng hợp phân chia tốn hay khơng?

Xét toán A, Nếu thay giả thiết  < 900 giả thiết  900 toán

hon ton chng minh c

toán 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, nÕu thay gi¶ thiÕt ¢ <900 b»ng gi¶ thiÕt

¢  900 toán chứng minh nh trờng hợp  < 900, phân

chia thành hai trờng hợp ( Â < 900 Â > 900).

Cịn tốn kết luận thay đổi bởi: Nếu  < 900 BAI HCB, song  > 900 (hình

7) BAI HBC hai góc bù nhau; để giúp học sinh chứng minh triệt để trờng hợp giáo viên nên định hớng để học sinh chuyển thành tốn sau:

H×nh

I

B C

A

H K

2

2

1

1

H×nh

B C

A

I

H×nh

A

B

C I

K H

Bài toán 13: Cho ABC cân A ( Â  900), có đờng cao BH, CK ( H AC,

K AB ) cắt I H·y cho biÕt mèi quan hƯ gi÷a hai gãc BAI HBC.

ở toán 11, thay giả thiết Â< 900 bằng

giả thiết  900 kết luận xẩy hai trờng hợp:

* Nếu  < 900 kết luận toán 11 lµ: KH // BC;

CK AB.

* Nếu  > 900 ( hình 8) KH BC, song CK không

còn vuông góc với AB Vậy ta có toán sau:

Bi toỏn 14: Cho ABC cân A ( Â  900), đờng

cao BH ( H AC), cạnh AB lấy ®iĨm K sao

cho AH = AK Tìm vị trí tơng đối KH với BC.

Híng dÉn:

+ Nếu  < 900 nh chứng minh 11, ta có: KH // BC (1).

+ Nếu  > 900, giả sử AN đờng cao ABCcân A cắt đờng cao BH I

AN đồng thời tia phân giác

  

1

1

A A BAC

  

(hình 8) (2)

Mặt khác : AH = AK ( giả thiết ), suy AKH cân ë A AHK AKH

Mµ BAC AHK AKH ( theo tính chất góc tam giác) 2 2  1

2

BAC AHK AKH AKH BAC

    

(3)

Từ (2) (3) suy Â2 = AHK, mà hai góc vị trí đồng vị

//

KH AI

 , mµ AI BC (ë trªn)  KH BC (4)

Tõ (1) (4) suy ra: KH BC// KH BC

* tốn 12 hồn tồn bỏ đợc giả thiết  < 900 ta phát triển bi toỏn

thành toán sau:

Bài toán 15: Cho ABC cân A, Lấy điểm I kh¸c A n»m tam gi¸c cho IB = IC Chứng minh rằng: AI tia phân giác cña BAC

( chứng minh hoàn toàn tơng tự nh 12) Quay lại tốn 12 ( Hình 9), học sinh chứng minh đợc AI tia phân giác góc A, mà ABC cân ở

A nên AI đồng thời đờng cao  AI BC ( giả sử điểm N) ta có:A1ABC900 ( vng N).

Nếu cho thêm điều kiện A1ICN thì

 900

ICN ABC   BCK cã:

 1800 (  ) 1800 900 900

BKC   ICN ABC   

CK AB

  ë K hay CI AB.

Từ giúp HS chứng minh đợc tốn sau:

Bài toán 16: Cho ABC cân A ( Â < 900), Lấy điểm I khác A nằm tam

giác cho IB = IC IAB IBC  Chøng minh r»ng: CI AB.

Để toán có tính phức tạp hơn, kích thích sáng tạo cho hoc sinh giáo viên ( hình 9):

; 

2

IAB BAC IBC ICB

( IBC cân I), mà tốn 16 có:

A

1

H×nh

C I

B H

N K

1

H×nh

I

B

C A

H K

   

2

IAB IBC  IBC ICB

, để đề toán cho hc sinh khỏ gii nh sau:

Bài toán 17: Cho ABC cân A ( Â < 900), Lấy ®iĨm I kh¸c A n»m tam

gi¸c cho IB = IC vµ

 1

2

ICB A

Chøng minh r»ng: CI AB vµ BI AC.

Đến cịn nhiều toán khác hấp dẫn hơn, thú vị hơn, em học sinh tự khám phá Vậy đảo hoàn toàn đề tốn A việc chứng minh có khó khăn khơng? Có liên quan đến bi toỏn ó lm quen?

Ta xét toán sau?

Bài tốn 18: Cho tam giác có hai đờng cao xuất phát từ hai đỉnh Chứng minh tam giác cân.

Phân tích: Để chứng minh tam giác cân trớc hết giáo viên nên hớng dẫn cho học sinh dự đoán tam giác cân đâu, từ cần phải chứng minh điều kiện để tam giác cân

ở (hình 10), giả sử tam giác ABC có hai đờng cao BH CK nhau, ta dự đoán đợc tam giác ABC cân A

VËy ta cần chứng minh AB = AC



ABCAKC.

ThËt vËy, AHBvµ AKC cã:

¢1 chung

   

1 90 1

K H   B C ( phụ với Â) BK = BH ( gi¶ thiÕt)

( )

AHB AKC g c g AB AC

   

ABC

  c©n ë A (đpcm).

Cách khác: vuongBKCvuongCHB( cạnh huyền cạnh góc vuông) (Vì cạnh huyền BC chung; cạnh góc vuông BH CK nhau)

KBC HCB ABC

    c©n ë A (®pcm).

Theo tính chất ba đờng cao tam giác đồng quy điểm nên AI đờng cao thứ 3, AI đồng thời ta phân giác BAC ABCcân A, từ học sinh chừng minh đợc tốn sau:

Bài toán 19: Cho tam giác ABC Nếu hai đờng cao hạ từ đỉnh B C cắt ở I cho AI tia phân giác BAC tam giác ABC cân.

Tơng tự AI đờng cao đồng thời đờng trung tuyến trung trực học sinh chứng minh đợc tam giác ABC cân A, nên ta yêu cầu học sinh chừng minh toán khác tợng tự sau:

Bài toán 20: Cho tam giác ABC Nếu hai đờng cao hạ từ đỉnh B C cắt ở I cho AI đờng trung trực (hoặc đờng trung tuyến) tam giác ABC cân.

Vậy tam giác ABC (hình 11) có đờng cao BH ( H

AC) CK K( AB) cắt I cho I cách 2

đỉnh B, C tam giác ABC co cân khơng? Câu hỏi giúp học sinh phải suy nghĩ ngay: I cách B, C

IB IC

 

Mà I1 I2 (đối đỉnh)

vuongBKI vuongCHI

  ( c¹nh hun – gãc nhän)  

2

B C

 

(1)

1

1

H×nh 10

B

C A

H K

2

2

1

1

H×nh 11

I

B

C A

Mµ IB = IC  IBC c©n ë I  B1C1 (2)

Từ (1) (2) ABCACB ABC cân A Đó lời giải toán sau:

Bài toán 22: Chứng minh rằng, tam giác có trực tâm cách hai cạnh tm giác tam giác cân.

Mở rộng toán 21 hoắc toan 22, học sinh dễ dàng chứng minh đợc toán sau:

Bài toán 23: Chứng minh rằng, tam giác có trực tâm cách đỉnh ( cách cạnh tam giác tam giác đều.

Quay lại toán A ta nhận thấy BHC vuông H; BKC vuông K cú chung cnh huyn BC

Giả sử M trung điểm BC ( hình 12) ta chứng minh:

1

KM HM BM CM  BC

Nên giúp học sinh chứng minh đợc toỏn sau:

Bài toán 24: Cho ABC cân A ( Â 900), có các

ng cao BH, CK ( H AC, K  AB ) Gọi M trung điểm BC

Chøng minh rằng: Tam giác KMH cân.

Bi toỏn 25: Cho ABC cân A( Â  900), có đờng cao BH, CK ( H

AC, K  AB ) Chứng minh rằng: B, K, H, C cách điểm.

Bài toán 26: Cho ABC cân A( Â  900), có đờng cao BH, CK ( H AC,

K  AB ) Chứng minh rằng: B, K, H, C thuộc đờng tròn.

Nếu cho A  900 ( hình 13) ta tính đợc

  1800

2

ABCACB 

  

0

180 180

180 (1)

2

KMB HNC ABC

 

   



  

Mà theo toán ta chứng minh đợc KH//BC

 

KHM HMC

  ( so le trong) (2)

MỈt khác: KHM HKM (3) (vì KHM cân M – theo

chøng minh ë bµi 24) KÕt hỵp (1), (2), (3) ta cã:

   1800 2

KHM HKM   KMH  

Ngợc lại  = > 900 ( hình 14) hoàn

ton tng t ta tính đợc:

  1800

HKM KHM  - 

 

0 0

180

180 2(180 ) 180

HKM HKM

 

 

Đến ta có toán sau:

Hình 12

M I

B

C A

H K



H×nh 13

M I

B

C A

H K



H×nh 14

M A

B

C I

Bài toán 27: Cho ABC cân A ( Â  900), có đờng cao BH, CK ( H

AC, K  AB ) Gäi M trung điểm BC Tính số đo gãc cđa tam gi¸c

KHM, biÕt A

Bài toán 28: Cho ABC cân A ( Â  900), có đờng cao BH, CK (

H AC, K  AB ) Gọi M trung điểm BC Tìm điều kiện  để:

a Tam giác KHM đều; b Tam giác KHM vng;

c Tam gi¸c KHM cã mét gãc . toán 27:

* Nu  < 900 ( hình 15) ta chứng minh đợc

  

MHC MCH KHA

 

KHB MHB

  ( cïng phơ víi hai gãc b»ng nhau)  HB phân giác KHM

Tơng tự KC phân giác HKM , mà HB cắt KC ë I

 I điểm cách cạnh KHM .

* NÕu ¢ > 900 ( hình 16) ta chứng minh tơng tù

đợc I giao điểm hai đờng phân giác phân giác HKM .

 I cách đờng thẳng chứa cạnh HKM. Từ giúp học sinh giải c bi toỏn mi sau:

Bài toán 29: Cho ABC cân A ( Â 900), có

các đờng cao BH, CK ( H AC, K  AB ) Gọi M

là trung điểm BC Chứng minh rằng: I cách ba cạnh tam giác MHK.

Trên số toán đợc khai thác phù hợp với học sinh lớp 7, song sang lớp 8, lớp toán cịn nhiều điều lý thú

Giáo viên thay đổi số giả thiết toán I ban đầu để phát triển t cho học sinh, nhằm giúp em hăng say sáng tạo, tìm tịi lời giải, cách đề gặp toán

Tơng tự nh qua tốn giải, giáo viên cho học sinh tự khai thác tốn thành nhiều dạng khác nhau, từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp để lớp thảo luận, giáo viên làm trọng tài, yêu cầu học sinh tự chứng minh tốn Cứ nh giáo viên tạo cho học sinh thói quen quan sát, t duy, lật lật lại vấn đề để tìm lời giải cho tốn

VII ,thùc tr¹ng học sinh trớc sau tiếp thu phơng pháp 1, Bài kiểm tra trớc học phơng pháp nµy (kiĨm tra 45 phót)

Kết thu đợc : Có khoảng 7% học sinh đạt điểm trở lên ,và có tới 93% đạt điểm trở xuống

2, Bài kiểm tra sau học phơng pháp (kiểm tra 45 phút)

Kt qu thu đợc : Có khoảng 15% học sinh đạt điểm trở lên ,và có tới 61% học sinh đạt điểm trung bình ,đạt điểm dới trung bình 24%

KÕt luËn

H×nh 15

M I A

C B

H K

H×nh 16

M A I

C B

Trên số trăn trở suy nghĩ việc làm thực đợc trình giảng dạy,phơng pháp phơng pháp mà thấy giáo viên nh học sinh đờng xây dựng toàn diện nó, tơi nghĩ điều mà cần quan tâm ,cần tìm tịi trích luỹ chocác giáo viên để học sinh đạt chất lợng đại trà,cũng nh học sinh mủi nhọn ngày đợc nâng cao

Tôi xin chân thành cảm ơn ban giám hiệu ban chuyên môn ,tổ khoa học tự nhiên ,và đồng nghiệp tôi,và thành viên khơng thể thiếu học sinh thân u ,đã tạo điều kiện cho viết lên đợc điều mà ấp ủ nung nấu thực trình giảng dạy

Rất mong đợc thầy ,và đồng nghiệp góp ý cho chuyên đề ,để lại tếp tục vững bớc đờng trồng ngời

Ngêi viÕt S¸ng kiÕn : Ngun ThÕ Trung