Cắt một hình trụ bởi một mặt phẳng qua trục của nó, ta được thiết diện là một hình vuông cạnh 2 a... Biết rằng sau 3 phút thì số lượng vi khuẩn X là 20 nghìn con..[r]
(1)SỞ GD-ĐT VĨNH PHÚC CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN
ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT 2020 MƠN TỐN
Thời gian: 90 phút
Câu Cho cấp số cộng(un) cóu4 =−12và u14= 18, Tìm công sai d cấp số cộng cho
A d= B d=−2 C d =−3 D d=
Lời giải
Ta có: (
u4 =−12
u14 = 18
⇔ (
u1+ 3d=−12
u1+ 13d= 18
⇔ (
u1 =−21
d=
Chọn đáp án D
D
Câu Số cách chọn đồng thời ra3 người từ nhóm có12 người
A A312 B C123 C D P3
Lời giải
Chọn 3người từ 12 người có: C312 (cách)
Chọn đáp án B
B
Câu Cho hàm sốy=f(x) liên tục đoạn[−1; 5] có đồ thị hình vẽ bên
xy(6)−0.1328∗x(5) + 0.35∗x(4) + 0.7262∗x(3)−2.7344∗x(2) + 0.0332∗x+ 1;2
4 −1
−2
5
Gọi M m giá trị lớn nhỏ hàm số cho [−1; 5] Giá trị M +m
A B C D
Lời giải
Dựa vào đồ thị, ta thấy (
M =
m=−2 ⇒M +m=
Chọn đáp án C
C
Câu Cho hình lập phương ABCD.A0B0C0D0 Tính góc đường thẳng AB0 mặt phẳng
(BDD0B0)
A 30◦ B 90◦ C 45◦ D 60◦
(2)Do ABCD.A0B0C0D0 hình lập phương nên O0O ⊥
(ABCD)⇒O0O⊥AO
Lại có AO ⊥ BD ⇒ AO ⊥ (BDD0B0) ⇒ OB0
hình chiếu đường thẳng AB0 xuống mặt phẳng
(BDD0B0)
Vậy (AB0,\(BDD0B0)) =(AB\0, OB0) =AB\0O.
Tam giácAB0C nên AB\0O =
2AB\
0C = 30◦
A B
C D
A0
B0
C0 D0
O
O0
Chọn đáp án A
A
Câu Thể tích khối hộp chữ nhật có kích thước 3; 4;
A 30 B 60 C 10 D 20
Lời giải
Theo cơng thức tính thể tích khối hộp chữ nhật biết ba kích thướcV =a.b.c= 3.4.5 = 60
Chọn đáp án B
B
Câu Tính diện tích S hình phẳng giới hạn đườngy =x2, y = 2x2−2x A S =
3 B S =
4
3 C S = D S =
Lời giải
Giải phương trình hồnh độ giao điểmx2 = 2x2−2x⇔ "
x=
x= cận tích phân làx=a=
x=b =
Khi diện tích hình phẳng cần tìm là: S=
2
Z
0
x2− 2x2−2xdx=
2
Z
0
−x2+ 2x dx
=
3 (đvdt)
Chọn đáp án B
B
Câu Đường cong hình vẽ bên đồ thị hàm số đây?
x y
−1
−1
(3)A y=−x3−3x2−1.
B y=x3 −3x−1 C y=x3−3x+ D y=−x3 + 3x2+ 1.
Lời giải
Dựa vào đồ thị ta có a >0 Suy hai phương án A, D loại
Dựa vào giao điểm đồ thị trục Oy ta có d >0 Suy loại B
Chọn đáp án C
C
Câu Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d:
x=t y= 1−t z = +t
Đường thẳng d qua điểm điểm sau đây?
A E(1; 1; 2) B F(0; 1; 2) C H(1; 2; 0) D K(1;−1; 1)
Lời giải
Thế E(1; 1; 2)vào d:
x=t y= 1−t z = =t
ta có
1 =t
1 = 1−t
2 = +t ⇒
t=
t=
t=
⇒E /∈d
Thế F(0; 1; 2)vào d:
x=t y= 1−t z = =t
ta có
0 =t
1 = 1−t
2 = +t ⇒
t=
t=
t=
⇒E ∈d
Chọn đáp án B
B
Câu Cho hàm sốy=f(x) xác định, liên tục R có bảng biến hình bên x
y0
y
−∞ −1 +∞
+ − + −
−∞ −∞
3
−1
−1
3
−∞ −∞ Đường thẳng y=−2020 cắt đồ thị hàm sốy=f(x) điểm?
A B C D
Lời giải
Đường thẳng y=−2020 cắt đồ thị hàm sốy=f(x) điểm
Chọn đáp án B
B
Câu 10 Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng(P) :−2x+z+ = Một vectơ pháp tuyến
(P)
A n#»1 = (0; 1;−2) B n#»2 = (1;−2; 3) C n#»3 = (2; 0;−1) D n#»4 = (−2; 0; 3)
Lời giải
(4)Chọn đáp án C C
Câu 11 Trong khơng gianOxyz, hình chiếu vng góc điểmM(2; −2; 1)trên mặt phẳng(Oyz)
có tọa độ
A (2; 0; 1) B (2; −2; 0) C (0; −2; 1) D (0; 0; 1)
Lời giải
Hình chiếu vng góc điểmM(2; −2; 1) mặt phẳng(Oyz) có tọa độ (0; −2; 1)
Chọn đáp án C
C
Câu 12 Giả sử F(x) nguyên hàm hàm số f(x) =
3x+ khoảng
−∞;−1
3
Mệnh đề sau đúng?
A F (x) = ln (−3x−1) +C B F (x) =
3ln (3x+ 1) +C
C F (x) =
3ln (−3x−1) +C D F (x) = ln|3x+ 1|+C
Lời giải
Z
f(x) dx=
Z 1
3x+ 1dx=
3ln|3x+ 1|+C=
3ln (−3x−1)+Cvìx∈
−∞;−1
3
⇒3x+1<0
Chọn đáp án C
C
Câu 13 Tập xác định hàm sốy= 9x2−25−2+ log2(2x+ 1) A R\
±5
3
B
−1
2; +∞
C
5 3; +∞
D
−1
2; +∞
\
5
Lời giải
Điều kiện xác định hàm số là: (
9x2 −256= 2x + >0 ⇔
x6=±5
3
x >−1
2
Vậy tập xác định hàm sốy = 9x2−25−2+ log2(2x + 1)
−1
2; +∞
\
5
Chọn đáp án D
D
Câu 14 Cho số phức z = + 2i Tìm số phức w=iz−z
A w= 5−5i B w =−5−5i C w=−5 + 5i D w= + 5i
Lời giải
Ta có: w=iz−z =i(3 + 2i)−(3−2i) = 3i−2−3 + 2i=−5 + 5i
Chọn đáp án C
C
Câu 15 Gọi z1, z2 hai nghiệm phương trìnhz2−6z+ 34 = GọiM, N điểm
biểu diễn z1, z2 mặt phẳng phức Tính độ dài đoạn thẳng M N
A 10 B
√
2 C 2√5 D
(5)Lời giải
Ta có: z2−6z+ 34 = 0⇔ "
z = + 5i
z = 3−5i suy ra: M(3 ; 5) N(3 ; −5) Suy M N# »= (0 ; −10)⇒M N = 10
Chọn đáp án A
A
Câu 16 Trong không gianOxyz, cho mặt cầu (S) : (x−1)2+ (y−2)2+ (z+ 3)2 = Tâm của(S)
có tọa độ
A (−1; 2; −3) B (1; 2; 3) C (−1; −2;−3) D (1; 2; −3)
Lời giải
(S) : (x−1)2 + (y−2)2+ (z+ 3)2 = suy tâm I(1; 2; −3)
Chọn đáp án A
A
Câu 17 Phần ảo số phức liên hợp số phức z = 4i−7
A B −7 C D −4
Lời giải
Ta có: z = 4i−7 = −7 + 4i⇒z =−7−4i Vậy phần ảo củaz −4
Chọn đáp án D
D
Câu 18 Cho hình nón có góc đỉnh bằng60◦, diện tích xung quanh bằng6πa2 Tính thể tích khối nón cho
A V = 3πa 3√2
4 B V =
πa3√2
4 C V = 3πa
3.
D V =πa3
Lời giải
Giả sử 4SAB thiết diện qua trục hình nón l =
SB, h=SO, r=OB
Theo giả thiết ta có: (
r =l.sin 30◦
πrl = 6πa2 ⇔
r= l
l2
2 = 6πa
⇒ l= 2√3a, r=√3a, h =√l2−r2 = 3a.
Ta có: V = 3πr
2
h= 3πa3
A B
O S
l
r h
60◦
Chọn đáp án C
C
Câu 19 Cho hàm sốy=f(x) liên tục có bảng xét dấu đạo hàm hình vẽ x
f0(x)
−∞ −1 +∞
(6)Hàm số cho có điểm cực trị?
A B C D
Lời giải
Ta có bảng xét dấu đạo hàm x
f0(x)
−∞ −1 +∞
+ − + − +
Đạo hàm hàm số đổi dấu bốn lần nên suy hàm số có bốn điểm cực trị
Chọn đáp án D
D
Câu 20 Thể tích khối chóp tứ giác có tất cạnh a A a
3√2
6 B
a3√2
3 C a
3
D a
3√2
2
Lời giải
A
B D
S
C
O
a √ a√2
2
a
a
Ta có diện tích đáy S=a2
Do hình chópS.ABCD hình chóp tứ giác nên đường cao hình chóp SO với O tâm đáy
Xét tam giác SAC BAC hai tam giác (do BA = BC = SA = SC = a, cạnh AC chung)
Suy đường cao hai tam giác tương ứng nhau: SO=BO
Vậy đường cao hình chópSO =BO= BD
2 =
a√2
Vậy thể tích khối chópV = 3a
2.a
√
2
2 =
a3√2
6
Chọn đáp án A
A
Câu 21 Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d qua điểm A(1; 2; 1) vuông góc với mặt phẳng(P) :x−2y+z−1 = có phương trình
A x−1
1 =
y−2
2 =
z−1
1 B
x−2
2 =
y −4 =
z−2
2
C x+
1 =
y+
−2 =
z+
2 D
x+
1 =
y −2 =
z+
(7)Lời giải
Phương trình đường thẳng d qua điểm M(1; 2; 1) nhận véc tơ n# »(P) = u#»d = (1;−2; 1) có dạng:
d: x−1
1 =
y−2
−2 =
z−1
1
Chọn đáp án B
B
Câu 22 Cho hình nón có đường sinhl = 5, bán kính đáy r= Diện tích tồn phần hình nón
A Stp = 15π B Stp= 24π C Stp = 20π D Stp = 22π
Lời giải
Diện tích tồn phần hình nón:Stp =Sxq+Sđáy=πrl+πr
2 =π3.5 +π.32 = 24π.
Chọn đáp án B
B
Câu 23 Phương trình5x+2−1 = có tập nghiệm
A S ={−2} B S ={3} C S ={2} D S ={0}
Lời giải
Ta có 5x+2−1 = 0⇔5x+2 = 1⇔x+ = 0⇔x=−2 Phương trình5x+2−1 = có tập nghiệm là: S={−2}
Chọn đáp án A
A
Câu 24 Hàm số y= 3x
3
+x2 −3x+ đạt cực tiểu điểm
A x=−3 B x= C x= D x=−1
Lời giải
Tập xác định D=R y=
3x
3+x2−3x+ 1 ⇒y0
=x2+ 2x−3 y0 = ⇔x2 + 2x−3 = 0⇔
"
x=−3
x=
Bảng biến thiên hàm số x f0(x)
f(x)
−∞ −3 +∞
+ − +
−∞ −∞
10 10
−2
3
−2
3
+∞
+∞
Căn vào bảng biến thiên ta có hàm số đạt cực tiểu x=
Chọn đáp án B
B
Câu 25 Hàm số y=x4+ 2x2−1 đồng biến khoảng khoảng sau đây?
A (−∞; 0) B (−1; +∞) C (−∞;−1) D (0; +∞)
(8)Lời giải
Ta có: y0 = 4x3 + 4x
y0 = 0⇔4x3+ 4x= ⇔x= Bảng xét dấu đạo hàm
x f0(x)
−∞ +∞
− +
Suy hàm số đồng biến khoảng(0; +∞)
Chọn đáp án D
D
Câu 26 Gọi tập nghiệm bất phương trình log0,2[log2(x−1)]>0 là(a;b) Tính a+b A a+b= B a+b = C a+b= D a+b=
Lời giải
Vì số0,2∈(0; 1) nên ta có: log0,2[log2(x−1)]>0⇔0<log2(x−1)<1 Vì số > nên ta có < log2(x−1) < ⇔
(
log2(x−1)>0 log2(x−1)<1 ⇔
(
x−1>1
0< x−1<2 ⇔ <
x <3
Vậy tập nghiệm bất phương trình khoảng(2; 3) Suy a= 2, b = 3⇒a+b=
Chọn đáp án C
C
Câu 27 Cắt hình trụ mặt phẳng qua trục nó, ta thiết diện hình vng cạnh2a Diện tích xung quanh hình trụ
A 8πa2 B 2πa2 C 16πa2 D 4πa2
Lời giải
Gọi thiết diện hình vngABCD cạnh 2a
Chiều cao hình trụ là: h = OO0 = AD = 2a, bán kính đáy là: R=
2AB=a
Diện tích xung quanh khối trụ là:Sxq = 2πrl = 2π.a.2a= 4πa2
A B
D C
O O0
Chọn đáp án D
D
Câu 28 Cho a, b số thực dương, a > 1, a =6 b thỏa mãn logab = Khi loga b
√ ab
bằng A −3
2 B −6 C
3
2 D
(9)Ta cóloga b
√
ab= loga
√ ab
logaa
b
=
2(logaa+ logab) logaa−logab =
1 + logab
2 (1−logab)
Thay logab= 2, ta cóloga b
√
ab= +
2 (1−2) =−
Hoặc: Giả thiết suy rab =a2, đóloga b
√
ab= log a a2
√
a·a2 = log 1
a a
3
2 =−3
2
Chọn đáp án A
A
Câu 29 Cho hàm sốy =f(x)xác định R\ {0}, liên tục khoảng xác định có bảng biến thiên sau
x f0(x)
f(x)
−∞ +∞
+ + −
−∞ −∞
+∞
1
3
−∞ −∞
Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình f(x) = m có ba nghiệm thực phân biệt
A m∈(1; 3) B m∈(1; 3] C m ∈[1; 3] D m∈[1; 3)
Lời giải
Phương trìnhf(x) =m có ba nghiệm thực phân biệt 1< m <3⇔m ∈(1; 3)
Chọn đáp án A
A
Câu 30 Phương trình đường tiệm cận ngang đồ thị hàm sốy= 3−2x
x+
A y=−2 B y= C x=−2 D x=−1
Lời giải
Ta có lim x→+∞
3−2x
x+ = limx→+∞
3
x −2
1 +
x
=−2, lim x→−∞
3−2x
x+ = limx→−∞
3
x−2
1 +
x
=−2 Vậy đồ thị hàm số y= 3−2x
x+ có đường tiệm cận ngang lày=−2
Chọn đáp án A
A
Câu 31 Cho
1
Z
−1
f(x) dx=−2;
Z
1
f(x) dx= Tính
3
Z
−1
2f(x) dx
A 12 B −14 C 14 D
Lời giải
3
Z
−1
2f(x) dx=
Z
−1
f(x) dx=
1
Z
−1
f(x) dx+
Z
1
f(x)dx
= (−2 + 5) =
Chọn đáp án D
(10)Câu 32 Biết
11
Z
−1
f(x) dx= 18 Tính I =
Z
0
x
2 +f 3x2−1 dx
A I = 10 B I = C I = D I =
Lời giải
Ta có: x
2 +f 3x2−1
= 2x+x.f 3x2−1 I =
2
Z
0
2x+x.f 3x2 −2 dx=
Z
0
2xdx
| {z }
I1
+
Z
0
x.f 3x2−1dx
| {z }
I2
I1 =
Z
0
2xdx= x2
2 =
I2 =
Z
0
x.f 3x2−1dx Đặt t= 3x2−1⇒dt = 6xdx Với x= ⇒ −1 ;x= 2⇒t = 11
Suy :I2 =
11
Z
−1
f(t)dt=
11
Z
−1
f(x)dx= Vậy I =I1+I2 = + =
Chọn đáp án C
C
Câu 33 Cho số phức z = −2 + 3i Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, điểm M biểu diễn số phức z điểm điểm sau
A M(−2 ; 3) B M(2 ; 3) C M(3 ; −2) D M(2 ; −3)
Lời giải
Ta có z =−2 + 3i⇒a =−2, b=
Vậy điểm biểu diễn cho số phức z mặt phẳngOxy có tọa độ M(−2 ; 3)
Chọn đáp án A
A
Câu 34 Tập nghiệm S bất phương trình 4x+
2 −5.2x+ 2≤0
A S ={−1 ; 1} B S = (−1 ; 1)
C S = [−1 ; 1] D S = (−∞; −1]∪[1 ; +∞)
Lời giải
Ta có 4x+
2 −5.2x+ 2≤0⇔2.4x−5.2x+ 2≤0⇔2.(2x)2−52x+ 2≤0 (1) Đặtt = 2x(t >0) Từ (1) trở thành 2t2−5t+ ≤0⇔
2 ≤t≤2 (2) (2) giao với điều kiện t >0⇒
2 ≤t≤2⇔ <2
x ≤2⇔log
1
2 ≤x≤log22⇔ −1≤x≤1
Vậy tập nghiệm bất phương trình là:S = [−1 ; 1]
Chọn đáp án C
C
Câu 35 Xét số phức z thỏa mãn|z−2−4i|=|z−2i| Tìm giá trị nhỏ |z|
(11)Lời giải
Gọi z =x+yi, ta có: |z−2−4i|=|z−2i| ⇔ |x−2 + (y−4)i|=|x+ (y−2)i| ⇔(x−2)2+ (y−4)2 =x2+ (y−2)2
⇔x+y=
Mặt khác: √2|z|=p2 (x2+y2) = p(12 + 12) (x2+y2)≥
q
(x+y)2 =
√
42 = 4
⇔ |z| ≥2√2
Vậy |z|min = 2√2⇔x=y =
Chọn đáp án B
B
Câu 36 Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) : x −2y + z + = mặt cầu (S) :
x2+y2+z2−2x+ 4z−10 = Gọi (Q) mặt phẳng song song với mặt phẳng (P)và cắt mặt cầu
(S) theo giao tuyến đường tròn có chu vi bằng6π Hỏi (Q)đi qua điểm số điểm sau?
A (−2 ;−1 ; 5) B (4 ; −1 ; −2) C (6 ; ; 1) D (−3 ; ; 4)
Lời giải
Mặt cầu (S) có tâmI(1; 0;−2), bán kính R=
q
12+ 02+ (−2)2−(−10) =√15.
Đường trịn giao tuyến có chu vi bằng6π, suy ra: 2πr= 6π⇔r =
Vì (Q) //(P) nên mặt phẳng (Q) có phương trình: (Q) :x−2y+z+α=
Khoảng cách từ tâmI(1; 0;−2) đến mặt phẳng (Q) |1−2.0−2 +α|
q
12+ (−2)2+ 12
=√R2−r2 ⇔ |α√−1|
6 =
√
15−9⇔ |α−1|= ⇔ "
α=
α=−5
Vì (Q) //(P) nên α= khơng thỏa mãn
Khi ta có mặt phẳng: (Q) :x−2y+z−5 =
Thay tọa độ điểm từ phương án vào phương trình mặt phẳng(Q)ta phương án Athỏa mãn
Chọn đáp án A
A
Câu 37 Thể tích khối cầu nội tiếp hình lập phương có cạnh a√2là A πa
3
6 B
π√2a3
3 C
π√2a3
6 D
πa3
(12)A
B
D
C
A0
B0
D0
C0
Bán kính mặt cầu nội tiếp hình lập phương cạnha√2 làR = a
√
2
Thể tích khối cầu làV = 3π
a√2
!3
= πa 3√2
3
Chọn đáp án B
B
Câu 38 Với a số thực dương khác tùy ý, loga2a3 A
2 B C
2
3 D
Lời giải
Ta có: loga2a3 =
3
2logaa=
Chọn đáp án A
A
Câu 39 Số lượng loại vi khuẩn X phịng thí nghiệm tính theo cơng thức s(t) =s(0) 3t, s(0) số lượng vi khuẩn lúc ban đầu, s(t) số lượng vi khuẩn X có sau t phút Biết sau phút số lượng vi khuẩn X 20 nghìn Hỏi sau bao lâu, kể từ lúc ban đầu, số lượng vi khuẩn X 540 nghìn con?
A 12 phút B phút C 81 phút D phút
Lời giải
Theo giả thiết ta có:s(3) =s(0) 33 = 20.000 ⇒s(0) = 20000 27
Vậy ta có s(t) = 20000 27
t
Ta tìm t để số lượng vi khuẩn X 540 nghìn Giải phương trìnhs(t) = 20000
27
t= 540000 ⇒3t = 272 ⇒t= 6.
Vậy sau phút số lượng vi khuẩnX 540 nghìn
Chọn đáp án B
B
Câu 40 Cho hàm số f(x) có đồ thị y=f0(x)như hình
xy(7)−0.0062∗x(6)−0.0265∗x(5) + 0.0238∗x(4) + 0.2761∗x(3) + 0.2159∗x(2)−0.8758∗x+ 1.14;3
(13)Trên [−4; 3] hàm số g(x) = 2f(x) + (1−x)2 đạt giá trị nhỏ điểm điểm sau đây?
A x0 =−4 B x0 =−1 C x0 = D x0 =−3
Lời giải
Ta có: g(x) = 2f(x) + (1−x)2 ⇒g0(x) = 2.f0(x) = 2.f0(x)−2(1−x) = [f0(x)−(1−x)]ta có Ta vẽ đồ thị hàm sốf0(x) y= 1−x hệ trục tọa độ
xy(7)−0.0062∗x(6)−0.0265∗x(5) + 0.0238∗x(4) + 0.2761∗x(3) + 0.2159∗x(2)−0.8758∗x+ 1.14; [linewidth= 0.4pt, domain=−4.63 : 3.4, samples= 200,]−x+ 1;3
−1 −3 −4532 Bảng biến thiên hàm số g(x) = 2f(x) + (1−x)2
x g0(x)
g(x)
−∞ −4 −1 +∞
+ − + −
Quan sát bảng biến thiên hàm sốg(x) đoạn [−4; 3] ta thấy hàm số đạt giá trị nhỏ x0 =
Chọn đáp án B
B
Câu 41 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc đỉnh S lên mặt phẳng (ABC) điểm H cạnh AB cho HA = 2HB Góc SC mặt phẳng
(ABC) bằng600 Tính khoảng cách hai đường thẳng SA BC theo a A a
√
42
8 B
a√42
3 C
a√6
8 D
a√6
Lời giải
Ta có: SCH[ =(SC\; (ABC)) = 600 Kẻ Ax//BC
GọiN vàK hình chiếu H Ax SN
Ta có: BC//(SAN) BA = 2AH
nên d(SA;BC) = d(B; (SAN)) =
2d(H; (SAN))
Ta có Ax ⊥ (SHN) ⇒ Ax ⊥
HK
AH = 2a
3 ; HN = AH.sin 60
0 =
a√3
3 ⇒ HK =
SH.HN √
SH2+HN2 =
a√42 12
Vậy d(SA;BC) = a
√
42
8
A
B
C S
K
N
H x
Chọn đáp án A
(14)Câu 42 Cho hình chópS.ABCcó mặt đáy tam giác cạnh bằng2và hình chiếu củaS lên mặt phẳng(ABC)là điểmH nằm tam giácABC cho \AHB = 1500; BHC\ = 1200; \CHA= 900
Biết tổng diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chópS.HAB; S.HBC; S.HCAlà 124
3 π Tính thể
tích khối chópS.ABC A VS.ABC =
9
2 B VS.ABC =
3 C VS.ABC = D VS.ABC =
Lời giải
Gọi R1; R2;R3 bán kính đường trịn ngoại
tiếp tam giác AHB;BHC;CHA
Theo định lí sin ta có : AB = 2R1sinAHB\ ⇒ R1 =
AB
2 sin\AHB
= Tương tự R2 =
BC
2 sinBHC\ =
√
3
R3 =
CA
2 sin\CHA
=
Gọir1;r2;r3 bán kính mặt cầu ngoại tiếp
tứ diệnSAHB;SBHC;SCHA Ta chứng minh đượcr21 =R12+
SH
2
2
và hai đẳng thức tương tự, suy r21+r22+r23 =R21+R22+R32+3SH
2
4
A
B
C H
S
Theo đầu ta có: 4π r12+r22+r32
= 124π
3 ⇒ r
2 +r
2 +r
2
= 31
Suy :SH2 = r
2 +r
2 +r
2
3−R
2
1 −R
2
2−R
2
= 16
3 ⇒SH =
4√3
Vậy :VS.ABCD =
3SH.SABC =
4√3
22.√3
4 =
4
Chọn đáp án B
B
Câu 43 Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà tứ giác lồi góc tạo bới mặt phẳng(SAB),
(SBC), (SCD), (SDA)với mặt đáy 900, 600, 600, 600 Biết tam giác SAB vuông cân tạiS, AB=a chu vi tứ giácABCD 9a Tính thể tíchV khối chóp S.ABCD
A
B
(15)A V = a
3 3
4 B V =a
3√3.
C V = 2a
3 3
9 D V =
a3 3
9
Lời giải
Kẻ SH ⊥ AB, ta có SH ⊥(ABCD) Vì tam giác SAB vuông cân tạiS nên SH = a
2
Vì góc (SBC),(SCD),(SDA) tạo với mặt đáy góc
60◦ nên khoảng cách từ H đến đường thẳng BC, CD, DA
Đặt d(H, CD) = d, ta có tan 60◦ = SH
HK ⇒ d = HK = SH
tan 60◦ =
a√3
Từ VS.ABCD =
1
3SH.SABCD =
1
3SH.(SHBC +SHCD+SHDA) =
3
a
2
1
2.d.BC+
2.d.CD+ 2.d.DA
= ad
12(BC+CD+DA) = ad
12(9a−a) = 2a2d
3 =
a3√3
9
A
B
C D S
K H
Chọn đáp án D
D
Câu 44 Cho hàm sốf(x)liên tục trên, đồng thời thỏa mãn π
4
Z
0
tanx.f cos2xdx= 2và
e2 Z
e
f ln2x xlnx dx=
2 Tính
2
Z
1
f(2x)
x dx
A B C D
Lời giải
XétI =
π
4
Z
0
tanx.f cos2xdx, đặt t= cos2x⇒dt=−2 sinxcosxdx
Đổi cận: x= 0⇒t= 1;x= π
4 ⇒t=
Khi đóI =
π
4
Z
0
tanx.f cos2xdx=
π
4
Z
0 sinx
cosx.f cos
2x−2 sinxcosx −2 sinxcosxdx=
1
1
Z
1
1
t.f(t) dt
Từ I = ⇒
1
Z
1
f(t)
(16)XétJ = e2 Z
e
f ln2x
xlnx dx, đặt u= ln
2
x⇒du= lnx
x dx Đổi cận:x=e⇒u= 1;x=e2 ⇒u=
Khi đóJ = e2 Z
e
f ln2x
2 ln2x
2 lnx x dx=
1
4
Z
1
f(u)
u du
Từ J = ⇒
4
Z
1
f(u)
u du= Từ suy
2
Z
1
f(2x)
x dx=
2
Z
1
f(2x)
2x d(2x) =
4
Z
1
f(v)
v dv =
1
Z
1
f(v)
v dv+
4
Z
1
f(v)
v dv =I+J =
Chọn đáp án D
D
Câu 45 Cho số thực a, b, ckhông âm thỏa mãn2a+ 4b+ 8c= Gọi M, mlần lượt giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thứcS =a+ 2b+ 3c Giá trị biểu thức 2M + log4m
A 11
6 B
91
27 C
64
27 D
4
Lời giải
Đặtx= 2a, y = 4b, z = 8c Do a, b, c≥0⇒x, y, z ≥1 x+y+z = Khi đó:S =a+ 2b+ 3c= log2xyz ≤log2
x+y+z
3
3
= log2
4
3
= log2
4
Suy ra:M = log2
4
Do x, y, z≥1 nên: (x−1) (y−1) (z−1)≥0 ⇔xyz−xy−yz−zx+x+y+z−1≥0
⇔xyz ≥xy+yz+zx−3
⇔xyz ≥x(4−x) +yz −3≥ −x2+ 4x−2 =−(x−2)2+ ≥2 Hayxyz ≥2 dấu xảy x= 2;y=z =
Suy S≥log22 = hay m = Vậy 2M + log4m=
4
3
+ log41 = 64 27
Chọn đáp án C
C
Câu 46 Cho hàm số y=x3−3mx2+ m2−1x−m3 với m làm tham số Gọi (C)là đồ thị hàm số cho Biết m thay đổi, điểm cực tiểu đồ thị (C) nằm đường thẳngd cố định Tìm hệ số góc k đường thẳngd
A k =−1
3 B k = C k =
1
3 D k =−3
Lời giải
Ta có: y0 = 3x2 −6mx+ m2−1
Cho y0 = 0⇔ "
x=m−1
x=m+
(17)x y0
y
−∞ m−1 m+ +∞
+ − +
−∞ −∞
−3m+
−3m+
−3m−2
−3m−2
+∞
+∞
Từ bảng biến thiên suy điểm cực tiểu đồ thị(C) làM(m+ 1;−3m−2) ⇒
(
xM =m+
yM =−3m−2
⇒yM =−3xM +
Vậy điểm cực tiểu đồ thị (C) nằm đường thẳngd :y=−3x+ cố định có hệ số góc k =−3
Chọn đáp án D
D
Câu 47 Cho hàm sốy=f(x) có bảng biến thiên sau x
f0(x)
f(x)
−∞ −1 +∞
+ − + −
∞ ∞
2
0
2
−∞ −∞ Sô nghiệm thuộc đoạn
0;9π
của phương trìnhf(f(cosx)) =
A 10 B C D
Lời giải
Đặt t= cosx Ta có bảng biến thiên x
t
0 π
2 π
3π
2 2π
5π
2 3π
7π
2 4π
9π
2
1
−1
−1
1
−1
−1
1
0
0 0
f(f(cosx)) = 2⇔ "
f(cosx) =
f(cosx) = −1
f(cosx) = 1⇔
cosx=a <−1 cosx=b∈(−1; 0) cosx=c∈(0; 1) cosx=d >1
f(cosx) =−1⇔ "
cosx=e <−1 cosx=f >1
Dựa vào bảng biến hàm sốt= cosx, ta có phương trìnhcosx=b ∈(−1; 0)có nghiệm, phương trình cosx=c∈(0; 1) có nghiệm
(18)Chọn đáp án D D
Câu 48 Cho số thực a, b thỏa mãn log2 2020−2b2−2b2 = log2 a2+b2 + 1009+a2
Giá trị lớn biểu thứcP =a3+a2b+ 2ab2+ 2b3+ thuộc khoảng khoảng sau đây?
A (0; 1) B (1; 2) C (2; 3) D (3; 4)
Lời giải
Ta có log2 2020−2b2−2b2 = log2 a2 +b2+ 1009+a2 ⇔log2 1010−b2−2b2+ = log2 a2+b2+ 1009+a2
⇔log2 1010−b2−b2 = log2 a2+b2+ 1010−1+a2+b2−1
Xét hàm số y= log2(t+ 1010) +t với t >−1010
Có y0 =
(t+ 1010) ln + 1>0, ∀t >−1010
Do đó: log2 1010−b2 −b2 = log2 a2+b2+ 1010−1+a2 +b2 −1 ⇒ −b2 = a2 +b2 −1 hay a2+ 2b2 =
Mặt khác ta cóP =a3+a2b+ 2ab2+ 2b3+
=a2(a+b) + 2b2(a+b) + =a2(a+b) + 2b2(a+b) + = a2+ 2b2(a+b) + =a+b+
Áp dụng bất đẳng thức Bunhia copski ta có
(a+b)2 = 1.a+
√
2
√
2b
!2
≤ 12+
1
√
2
2!
a2+b2=
2 ⇒a+b≤
√
6
Vậy a+b+ 1≤1 +
√
6
2 ∈(2; 3)
Chọn đáp án C
C
Câu 49 Có giá trị nguyên tham số m thuộc đoạn [−10; 10] để hàm số y = 3x
3 −
(m+ 1)x2+m(m+ 2)x+ đồng biến khoảng (4; 9)
A 15 B 13 C 14 D 12
Lời giải
Ta có y0 =x2−2 (m+ 1)x+m2+ 2m
y0 = 0⇔x2−2 (m+ 1)x+m2+ 2m+ = ⇔(x−m−1)2 = ⇔ "
x=m+
x=m Ta có bảng biến thiên
x y0
y
−∞ m m+ +∞
+ − +
Để hàm số cho đồng biến khoảng(4; 9) "
m ≥9
m+ 2≤4 ⇔
"
m≥9
m≤2
(19)Chọn đáp án A A
Câu 50 Đề kiểm tra 15 phút có 10 câu trắc nghiệm Biết câu có bốn phương án trả lời, có phương án Mỗi câu trả lời 1,0 điểm Một thí sinh làm 10 câu, câu chọn phương án Tính xác suất để thí sinh đạt từ 8,0 điểm trở lên
A 436
410 B
463
410 C
436
104 D
463 104
Lời giải
Mỗi câu có lựa chọn, đó, số phần tử không gian gian mẫu làn(Ω) = 410 Gọi A biến cố “thí sinh đạt từ 8,0 điểm trở lên”
TH1: câu, sai câu cóC8101.32 cách TH2: câu, sai câu cóC910.1.3 cách TH3: 10 câu có C1010.1 cách
Suy n(A) = C8101.32+ C910.1.3 + C1010= 436 Vậy P (A) = n(A)
n(Ω) = 436
410
Chọn đáp án A