Chủ nhà muốn trang trí bằng cách xếp đặt 4 bức tranh khác nhau vào một chỗ, 3 tấm ảnh khác nhau vào chỗ thứ hai và 2 pho tượng khác nhau vào chỗ còn lại?. Hỏi có bao nhiêu cách trang t[r]
(1)A PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
I. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI sinx VÀ cosx.
1 √3 cosx −sinx=√2 2 cosx −√3 sinx=−1 3 sin 3x −√3 cos9x=1+4 sin33x , 4 sin4x+cos4
(x+π 4)=
1 4
5 cos7x −sin 5x=√3(cos 5x −sin7x) 6 tanx 3cotx4(sinx 3 cos )x 7
3(1 cos ) cos 2sin
x
x x
8
2 1
sin 2 sin
2
x x
II. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC.
1 2cos2x +5sinx – = , 2 2cos2x – 8cosx +5 = 3 *
2cosx.cos2x = 1+cos2x + cos3x 4 2(sin4x + cos4x) = 2sin2x – 1 5 sin42x + cos42x = – 2sin4x
6 * cos4x 3 =cos
2 x S : x = k3
Đ , x= π4 +k3 , x = 54π +k3
7
2
3 3 tan cosx x
8 5tan x -2cotx - = 9 6sin 32 xcos12x4 10 4sin4x12cos2x7 11 cos 2x + 3cosx +2 = 0 12 2+ cos 2x = - 5sinx 13 6 – 4cos2x – 9sinx = 0 14 2cos 2x + cosx =
15 2tg2x + = 3 cosx III.PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP THEO sinx VÀ cosx.
1 2sin2x – 5sinx.cosx – cos2 x = - 2 3sin2x + 8sinxcosx + ( 8
√3 - 9)cos2x = 0 3 4sin2x +3
√3 sin2x – 2cos2x = 4 4 * 6sinx – 2cos3x = 5sin2x.cosx. 5
2 1
sin sin 2 2cos
2
x x x 6 2(cosx + sinx) = 4sinxcosx +1
7 sin2x – 12( sinx + cosx )+12 = 0 8 cosx –sinx – 2sin2x – = 0 9 sin2 x + 2sin 2x –3 +7cos2x = 10 cos3x – sin3x = cosx + sinx. 11 sinxsin2x + sin3x = 6cos3x 12 sin3x + cos3x = 2( sin5x + cos5x )
S : x=
Đ π4 + kπ2 13 * sin3(x - π
4 ) = √2 sinx S : x =Đ π
4 +k
14 3cos4x – sin2 2x + sin4x = S :x =
Đ π3 + k v x= π4 + kπ2 15 3sin4x +5cos4x – = 16 * 6sinx – 2cos3x = 5sin 2x cosx
IV. PHƯƠNG TRÌNH DẠNG: a( cosx sinx ) + b sinxcosx + c =
(2)5 cos3x + sin3x = sin 2x + sinx + cosx 6 2cos3x + cos 2x +sinx = 7 1 + sin3x + cos3x = 3
2 sin2x 8 6( cos x – sinx ) + sinxcosx + = 0
9 sin3x – cos3x = + sinxcosx 10 * tanx + tan2x + tan3x + cotx+cot2x +cot3x = 6 11 * 2
sin2x + 2tan
2x + 5tanx + 5cotx + = 0
12 1 + cos3x – sin3x = sin 2x 13 cos3x – sin3x = - 1 14 * 2cos 2x +sin2x cosx + cos2x sinx = 2(sinx +
cosx ).
V. PHƯƠNG TRÌNH TÍCH VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÁC
1 4(sin3x – cos 2x ) = 5(sinx – 1) 2 1+ sin x
2 sinx - cos x
2 sin2x = 2cos2 ( π
4− x
2 ) S: sinx =1 v sinĐ x 2 = 3 1+ 3tanx = 2sin 2x S : x = - Đ π4 + k
4 2cos 2x – 8cosx + = cos1x S : x = k2
Đ , x = π3 +k2 5 sin2x(cotx +tanx ) = 4cos2x
S : cosx = , cos 2x =
Đ 12
6 2cos2 2x +cos 2x = 4sin22xcos2x 7 4sinx + 2cos x =2 + 3tanx 8 sin2x+ 2tanx = 3
9 sin2x + sin23x = 3cos22x
10 tan3( x - π
4 ) = tanx - S:x = kĐ v x = π
4 + k
11 sin 2x – cos 2x = 3sinx + cosx 12 sin2x + cos 2x + tanx = S : x = Đ π 4 + k
13 sin 2x +2cos2x = + sinx –4cosx 14 sin 2x – cos 2x = 3sinx +cosx – 15 sin2x + sin23x – 3cos22x =
16 cos3x cos3x – sin3xsin3x = cos34x + 1
4 17 sin4 x
2 + cos4 x
2 = – 2sinx 18 sin
6x + cos6x = sin4x + cos4x 19 3sin3x - √3 cos 9x = + 4sin3x
20 cos1−x+cossinxx=sinx 21 sin2 (x
2− π
4) tan2x – cos2 x
2 = 22 cotx – tanx + 4sinx = 1
sinx 23 sinxcosx + cosx = - 2sin2x - sinx + 1 24 sin 3x = cosxcos 2x ( tan2x + tan2x ) 25 5(sinx+cos 3x+sin 3x
1+2sin 2x )=cos 2x+3 26 sin
23x – cos24x = sin25x – cos26x 27 cos3x – 4cos2x +3cosx – =
28
2
4
(2 sin )sin 3
tan 1
cos
x x
x
x
(3)29 tanx +cosx – cos2x = sinx (1+tanx.tan x 2 )
30 cotx – =
2
cos 2 1
sin sin 2
1 tan 2
x
x x
x
B QUY TẮC ĐẾM – HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP
1 Mười người muốn chụp ảnh chung Họ muốn chụp nhiều ảnh khác cách đổi chỗ đứng lẫn Cho lần đổi chỗ chụp ảnh phút, hỏi cần để chụp tất ảnh khác nhau?
2 Một phòng khách có chỗ đặt tranh, ảnh tượng Chủ nhà muốn trang trí cách xếp đặt tranh khác vào chỗ, ảnh khác vào chỗ thứ hai tượng khác vào chỗ cịn lại Hỏi có cách trang trí phịng khách?
3 Ta muốn mời người ngồi vào dãy ghế Có cách xếp chỗ ngồi nếu: a) Có người bọn họ muốn ngồi kề nhau?
b) Có người bọn họ khơng muốn ngồi kề nhau?
c) Có người bọn họ không muốn ngồi kề đôi một?
4 Một bàn dài có 12 ghế, bên ghế Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 12 người khách gồm nam nữ Hỏi có cách xếp chỗ ngồi nếu:
a họ ngồi chỗ ? b nam ngồi bên, nữ ngồi bên ? c nam nữ ngồi đối diện ? d.nam nữ ngồi xen kẽ đối diện ?
5 Cho số 0,1,2,3,4,5,6 Lập số gồm chữ số khác lấy từ số cho, cho: a Số chẵn b Số chia hết cho c Ln có mặt chữ số
6 Cho số: 0,1,2,3,4,5,6,7 Có thể lập số gồm chữ số khác lấy từ chữ số cho cho số lẻ đứng liền
7 Cho số : 0,1,2,3,4,5,6
a Có thể lập số gồm chữ số lấy từ số cho cho số có mặt lần, số khác có mặt lần
b Có thể lập số có chữ số lấy từ số cho cho số có mặt lần, số khác có mặt vài lần
8 Cho số: 0,1,2,3,4,5,6 Có thể lập số có chữ số lấy từ số cho cho: a) Số đầu số cuối giống nhau, số khác
b) chữ số đầu chữ số cuối giống
9 Cho số: 0,1,2,3,4,5,6,7
a.Có thể lập số gồm 10 chữ số cho số có mặt lần, số có mặt lần Các số khác có mặt lần b Có thể lập số gồm chữ số cho số có mặt lần, số khác có mặt vài lần
10 Một đề thi có 15 câu hỏi Mỗi thí sinh phải rút câu (4 câu rút “ đề thi ” thí sinh này) a Có đề thi khác nhau? ( Hai đề thi coi khác có câu khác ) b Tham gia kỳ thi có 2736 thí sinh Chứng tỏ có thí sinh gặp đề thi
11 Một bình đựng viên bi xanh, viên bi đỏ, chúng khác màu Lấy hai viên a Có kết khác nhau?
b Có cách lấy viên bi xanh?, hai viên bi đỏ? Hai viên bi khác màu?
12 Giáo viên hướng dẫn lao động muốn chia học sinh làm nhóm gồm 4, 3, học sinh Có cách chia?
13 Cho đa giác lồi có n đỉnh ( n4). a Tính số đường chéo đa giác này;
b Biết ba đường chéo không qua đỉnh khơng đồng quy, tính số giao điểm (không phải đỉnh) đường chéo
14 Tính số đường chéo đa giác lồi có n cạnh Tìm đa giác có số cạnh số đường chéo
15 Từ số: 1,2,3,4,5,6,7 lập số tự nhiên gồm năm chữ số cho: a, Chữ số hàng mười nghìn số
b, Chữ số hàng đơn vị khác c, Các chữ số khác
16 Từ số: 1,2,3,4,5 lập số tự nhiên gồm năm chữ số khác cho: a, Số tạo thành đêu bắt đầu chữ số
b, Số tạo thành không bắt đầu chữ số c, Số tạo thành đêu bắt đầu số 23 d, Số tạo thành không bắt đầu số 345
17 Có số tự nhiên gồm bốn chữ số cho khơng có chữ số lặp lại hai lần
(4)a, 2Ax
2
+50=A2x
2
b, P2.x
− P3.x=8 c, Cx
1
+C2x+C3x=7x 2 d, Cx
1
+6C2x+6C3x=9x2−14x e, C18n −2>C18n f, C13n <C13n+2 g, C7x+C7x+2=2C7x+1 h, Px.Ax2+72=6(Ax2+2Px) i 4 1 3
3 1
14 1
P A
C
n n n
19 Giải phương trình bất phương trình sau a b c d e f
g h i
C NHỊ THỨC NEWTON
1 Tìm số hạng khơng chứa x khai triển (x+2 x)
20
với x ≠0
2 Tìm hệ số số hạng chứa x4 khai triển
(2−3x)7
3 Tìm số hạng chứa x2 khai triển
(23x+x) 10
với x ≠0
4 Tìm số hạng khơng chứa x khai triển (x2+2 x)
15
với x ≠0
5 * Tìm số hạng thứ khai triển (√x+3
√2)15 với x>0
6 * Tìm số hạng khơng chứa x khai triển nhị thức Newton của: với x >
7 Tìm hệ số số hạng chứa x 35
khai
25
x x
với x ≠0 .
8 Tìm hệ số số hạng chứa x7 khai
(x+1 x)
15
với x ≠0
9 Tìm hệ số số hang chứa x20 khai triển
(x − x3)10
10 Tìm hệ số số hạng chứa x6 khai triển
(x − 2 x2)
30
với x ≠0
11 * Tìm số âm dãy số x1, x2, …, xn, … với: xn = n n
n
P P
A
4 143
2 4
4
12 Tìm hệ số x25
y10 khai triển (x3
+xy)15
13 Chứng minh:
1
1 .
k k k k k
k k k k m k m
C C C C C
14 Cho mkn Chứng minh: C Cm0 nk C C1m nk C Cm2 nk C Cmm nk m Cm nk .
15 Chứng minh rằng:
0
1 k k 1 n n 0.
n n n n n
(5)16 a) Chứng minh:
2
2.1 3.2 n n
n n n
C C n n C n n
b) Chứng minh:
2 2
0
2
n n .
n n n n
C C C C
17 * Trong khai triển
17
1
.
x x
Tìm số hạng không chứa x khai triển.
18 Tìm số hạng khơng chứa x khai triển nhị thức Newton
7
4
1
x x
với x > 0.
19 Khi khai triển rút gọn đơn thức đồng dạng từ biểu thức:
5 11
1x 1x 1x 1x .
Ta đa thức:
2 11
( )x 11
P A A x A x A x
Tính A7=?.
20 Khi khai triển rút gọn đơn thức đồng dạng từ biểu thức
1x x
Ta đa thức:
2
0
x
P A A x A x Tính A7.
21 Tìm hệ số x8 khai triển biểu thức:
1 x 1 x .
22 * Tìm số hạng thứ khai triển nhị thức: ;
23 Tìm hệ số x3 khai triển biểu thức:
2
1 1
x
P x x x x
24 * Trong khai triển:
7
2
1
x x
.Tìm số hạng chứa x2của khai triển đó.
25 * Trong khai triển:
21
3
a b
b a
Tìm số hạng có số mũ a b nhau.
26 * Tìm giá trị lớn giá trị:
0
, , , , n.
n n n n
C C C C
27 Tìm hệ số có giá trị lớn khai triển: n
a b
, biết tổng hệ số 4096
28 Chứng minh rằng: C1n3n1 2.C2n3n2 3.C3n3n3 n.Cnn n.4n1
29 Khai triển rút gọn đơn thức đồng dạng từ biểu thức:
1x9 1x10 1x14 ta đa thức:P(x) = A
0 + A1x + A2x2 + … + A14x14 Hãy xác định hệ số A9
30 Chứng minh rằng: 2.1.Cn2 3.2.C4n nn 1Cnn nn 1.2n2
31 Tính tổng S = C1n 2.Cn2 3.C3n 4.Cn4 1n1nCnn (n 2)
32 * Chứng minh rằng: 316C160 315C116 314C162 C1616 216
33 Tìm hệ số x5 khai triển biểu thức sau thành đa thức: f(x) = 2x14 2x15 2x16 2x17
34 Trong khai triển
10
3 2 3 1
x
(6)P(x) = a0 a1x a9x9 a10x10 Hãy tìm hệ số ak lớn (0 k 10) 35 Tìm số nguyên dương n cho: C0n 2C1n 4Cn2 2nCnn 243
36 CMR: C02001 32C20012 34C42001 32000C20012000 2200022001 1
37 Với n số tự nhiên, tính tổng:
a
n n n n n n C n C C C 1 1 1 3 1 2
1 1 2
0 b n n n n n n n C n C . C . C C 2 1 1 2 4 1 2 3 1 2 2
1 1 2 2 3 3
0
38 Cho đa thức P(x) = (3x - 2)10
i Tìm hệ số x2 khai triển P(x)
ii Tính tổng hệ số khai triển P(x)
39 * Trong khai triển nhị thức:
n x x x 15 28 3
tìm số hạng khơng phụ thuộc vào x biết rằng: 79
2 1
nn nn
n
n C C
C
40 Chứng minh: 2n1C1n 2n1Cn2 3.2n3Cn3 4.2n4C4n nCnn n.3n1
41 * Tìm số hạng khơng chứa x khai triển biểu thức:
17 4 3 2 1 x
x x
42 * Khai triển nhị thức:
n x n n n x x n n x n x n n x n n x x C C C C 3 1 3 2 1 1 3 1 2 1 1 2 1 0 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2
43 Biết khai triển Cn3 5C1n số hạng thứ tư 20n, tìm n x
44 * Trong khai triển:
21 3 3 a b b a
Tìm số hạng chứa a, b có số mũ
45 Tìm số nguyên dương n cho:
46 Cho : Sau khai triên rút gọn biểu thức A gồm số hạng?
47 Tìm hệ số số hạng chứa x8 khai triển nhị thức Newton
48 , biết rằng:
49 Khai triển biểu thức (1 - 2x)n ta đa thức có dạng: . 50 Tìm hệ số , biết ao+a1+a2 = 71
51 Tìm hệ số x5 khai triển đa thức:
52 Tìm số hạng khơng chứa x khai triển nhị thức