Các tính ch ất của nguy ên hàm các b ạn có thể đọc trong sách giáo.. khoa8[r]
(1)Chuyên đề tích phân & ứng dụng ồ Văn Hoàng 1 Bảng nguyên hàm của hàm số.
2 Các phương pháp tính tích phân: a) Phương pháp đổi biến số:
* Loại 1:
Dạng: 2
a x dx ,
2
dx a x
đặt x = asint.
Dạng: 2 2
dx
x a đặt x = atant, 2
( )
ax bdx c đặt ax b ctant
* Loại 2: ( ( )) '( ) . b
a
f u x u x dxĐặt t = u(x).
+ Nhiều phải biến đổi xuất u’(x)dx.
+ Ta cũng biến đổi: ( ( )) '( ) ( ( )) ( ( ))
b b
a a
f u x u x dx f u x d u x b) Phương pháp tích phân phần:
Dạng: ( ) sin ,
b
a
P x xdx ( ) cos ,
b
a
P x xdx ( ) , b
x a
P x e dx Đặt u = P(x), dv = sinxdx (dv = cosxdx, dv = exdx).
Dạng: 2 , 2 ,
cos sin
b b
a a
x x
dx dx
x x
Đặt u = x, dv = 2
cos
dx
x hoặc dv =
sin
dx x.
3 Một số tích phân thường gặp:
a) Tích phân hữu tỉ: ( )
( )
b
a
P x dx
Q x P(x), Q(x) đa thức.
+ Nếu bậc P(x) bậc Q(x) chia P(x) cho Q(x).
+ Nếu bậc P(x) < bậc Q(x) dùng phương pháp đổi biến hoặc phương pháp hệ số bất định.
b) Tích phân chứa hàm số lượng giác.
+ Nắm vững công thức biến đổi.
c) Tích phân hồi quy: Dạng sin ,
b x a
e xdx cos . b
x a
e xdx
Đặt u = sinx (u = cosx), dv = exdx Tích phân từng phần lần.
Dạng: sin(ln ) , cos(ln )
b b
a a
x dx x dx
Đặt u = sin(lnx)(u=cos(lnx)), dv=dx Tích phân từng phần lần.
d) Tích phân hàm số chẵn, lẻ:
Nếu y = f(x) liên tục đoạn [-a; a] và:
+ y = f(x) chẵn thì
0
( ) 2 ( )
a a
a
f x dx f x dx
+ y = f(x) lẻ thì: ( ) 0
a
a
f x dx .
e) Tích phân dạng ( )
1
x
f x dx
a f(x) hàm số chẵn.
Cách giải: Tách thành tích phân :
0
0
( ) ( ) ( )
1 1 1
x x x
f x f x f x
dx dx dx
a a a
Xét tích phân
0
( ) 1
x
f x dx
a đổi biến số x =-t.
Kết ta được
0
( )
( ) 1
x
f x
dx f x dx
a .
f) Tích phân dạng:
0
( ) ( )
a a
f a x dx f x dx trong f(x) hàm
số liên tục trên [0; a].
Đổi biến x = a- t.
Bài 1: Tính tích phân
1
2
0 1
x
I dx
x .
HD:Đặt t = x2
+ hay x = tant ĐS I =1/2(1-ln2)
Bài 2: Tính tích phân
ln
3
0 ( 1)
xx
e
I dx
e HD:Đặt t = mẫu đưa dạng
b
a
u du ĐS I 2 1
Bài 3: Tính tích phân
0
2
1
( 1 )
x
I x e x dx
HD Tách thành tích phân ĐS I=3/4e-2
- 4/7
Bài 4: Tính tích phân
2
6
0
1 cos .sin cos
I x x dx
HD: t =61 cos 3x cos3
x = 1- t6
ĐS I =12/91
Bài 5: Tính tích phân
2
1
. 4
I dx
x x
HD: nhân tử mẫu với x đặtt x24 ĐS I=1/4.ln5/3
Bài 6: Tính tích phân
4
01 cos 2
x
I dx
x
HD:Đưa dạng tích phân phần ĐS I = /8-1/4.ln2
Bài 7: Tính tích phân
1
3
0
1
I x x dx ;
1
2
0
1
J x x dx
Bài 8: Tính tích phân
3
2
cos cos
tgx
I dx
x x
HD: Biến đổi dạng
3
2
4
tg
cos tg
x
I dx
x x Đặt
2
1 tg
t x
Bài :Tính tích phân :
2
11 1
x
I dx
x (Đại học khối A – 2004)
Đặtt x 1 t2 x 1 x t2 1 dx2tdt x 1 t 0;x 2 t 1
1
2
0 0
1
3
0
12 2 2 2
1 1
1 11
2 2 ln 2 ln ln
3 3
t t t
I tdt dt t t dt
t t t
t t t t
Bài 10:Tính tích phân :
2
sin 2 sin
1 3cos
x x
I dx
x (Đại học khối A – 2005)
2
2
2
0
2
1
Đặt 3cos 3cos 3sin
2
sin caän : 2;
3
1
2
2 cos sin 3
2sin cos sin
1 3cos 3cos
2 2
3 3
t x t x tdt xdx
tdt
xdx Đổi x t x t
t tdt
x xdx
x x x
I dx
t
x x
t t t
2
1
2 16 2 34
3 9 27
Bài 11 : Tính tích phân :
2
2
0
sin 2 cos 4sin
x
I dx
x x
(Đại học khối A – 2006)
2 2
2
2
1 1
Đặt cos 4sin 3sin 6sin cos
2
3sin2 sin2 Đổi cận : 1;
3
2
2 2
3
3 3 3
t x x t x tdt x xdx
tdt
xdx xdx x t x t
tdt
I dt t
t
(2)Chun đề tích phân & ứng dụng Hồ Văn Hồng
2 d P
DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG-THỂ TÍCH CỦA VẬT THỂ
TRÒN XOAY.
1) Miền (D) giới hạn đường : y = f(x); y = g(x);
x = a; x = b có diện tích: SD= ( ) ( )
b
a
f x g x dx
2) Miền (D) giới hạn đường: y=f(x);y=0;x=a;x=b khi
quay quanh trục Ox tạo vật trể trịn xoay có thể tích :
VOx=
2( )
b
a
f x dx
3) Miền (D) giới hạn đường: x=f(y);x=0;y=a;y=b khi
quay quanh trục Oy tạo vật trể trịn xoay có thể tích :
VOy=
2( )
b
a
f y dy
Vd : Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường :
x = 1, x = 2, trục Ox đường cong
1 1 y
x x
2
3
1
3
2 2
3
3
1 1
3
2 2
3
3
1 1
1
Ta coù : , 1;2 ,
1
1 1
1
1
1 '
1 1 ln 1ln 1
3 3
1
ln ln ln
3
S dx x
x x x x
x x
dx x
S dx dx
x x
x x x x
x
x dx dx x x
x x x x
4
ln ln
3
S đvdt
Ví dụ 2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn các
đường : x + y = và x2– 2x + y = 0
2
2
Diện tích cần tìm giới hạn đường : , Phương trình hồnh độ giao điểm đường :
2 0
y x y x x
x x x x x x x
3
2 2
0
2 0;3 ,
Vaäy S x x x dxx x dx x x x
3
2
0
3 27
neân
2 2
x x
S x x dx đvdt
Ví dụ 3:Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường :
y = (e + 1)x, y = (1 + ex)x (Đại học khối A – 2007)
1
0
1 Pt hoành độ giao điểm đường : 1
0
0
1
1 ;
0;1 , ta có 0, vaäy
x
x
x
x x
x x
x
e x e x
x x
x e e
x e e
S e x e x dx x e e dx
x x e e S x e e dx
u x du dx
Đặt
dv e e dx
1 1
0
0
1
2 2
x x
x x x
v e e dx ex e
ex e e
S x ex e ex e dx e e ñvdt
Ví dụ 4:Cho parabol (P) : y = 3x2 đường thẳng (d) qua
M(1;5) có hệ số góc là k.
Tìm kđể hình phẳng giới hạn (P)
và (d) có diện tích nhỏ nhất.
2
2
2
3
2 3
2
2
1 5
2
5
2
5
5
5
3
3 3.18
B B
A A
x x
x x
B A
B B A A
B A B A B A
B A B A A A B B
kx
S k x x dx k x x
kx kx
k x x k x x
k x x k x x x x
k
x x x x k x x x x
k k k k k
k
2 2
3
3 2
2
min
90 18 12 60
54
1 12 60 6 24 Vaäy S 6
54 54
k k k k k
k k k k
Ví dụ 5:Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường :
y = x2, trục Ox, tiếp tuyến điểm M có hồnh độ 3.
2
2 tiếp tuyến điểm M : '
9 2.3
0 tích cần tìm giới hạn đường : 9
6
6
pt tung độ giao điểm đường 36
M M M
pt y y y x x x
y x y x
y x x y x
Dieän y
y x x
y
y y y y
9
0
9
9
0 0
18 81
9
18 81 0;9 :
6
2
9 27 27
Vaäy : 18
6 12 4
y
y y
y y y S y dy y y
y
y y y
S y dy ñvdt
Ví dụ6: Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh bởi phép
quay xung quanh trục Ox hình phẳng giới hạn trục
Ox đường y xsin 0x x
2
2
0
0
Pt hoành độ giao điểm đường : x sin
sin
sin sin
Ox
x x
x
x x
V x x dx x xdx
2
0 0
1 cos2 cos2
2 2 4
x x
x dx xdx x xdx I I
0
1
cos2 sin2
2
1
sin2 sin2 cos2
2 Ox
du dx u x
Đặt
dv xdx v x
x
I x xdx x V ñvtt
Ví dụ 7:Cho hình phẳng H giới hạn đường : y = xlnx ,
y = , x = e Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành khi
quay hình H quanh trục Ox (Đại học khối B – 2007)
2 2 2
1
1
2
2
1
2 1
0 ( )
Pt hoành độ giao điểm đường : ln
ln
ln ln
2 ln
ln ln ln
3
3
e e
Ox
e e x loại x x
x x
Vaäy V x x dx x xdx I
x
du dx
u x x x e
Đặt I x x xdx
x dv x dx v x dx
3 2 3 I
3
2
3 3 3
2
1
1
3
3
' ln ' ; ' '
3
1
ln
3 3 9 9
5
2 2.
3 27
e e e
Ox
dx x
Đặt u x du dv x dx v x dx x
x e x e e e
I x x dx
e
e e
V ñvtt
2
2
coù pt ñt (d) : 5
hoành độ giao điểm (P) (d) :
3 5
6 12 60 0, ( ) cắt (P) A B
6
A
B
Ta y k x y kx k
Pt
x kx k x kx k
k x
k k k d
k x
quynguyen193 Edited by Foxit Reader
(3)Chuyên đề tích phân & ứng dụng Hồ Văn Hoàng 2005
Bài 1. ĐH, CĐ Khối A – 2005
2
sin 2 sin
1 3cos
x x
I dx
x KQ:
34 27
Bài 2. ĐH, CĐ Khối B – 2005
2
sin cos 1 cos
x x
I dx
x KQ: ln 1
Bài 3. ĐH, CĐ Khối D – 2005
2 sin
cos cos
x
I e x xdx KQ: 1
4
e
Bài Tham khảo 2005
7
2 1
x
I dx
x KQ:
141 10
Bài Tham khảo 2005
3
sin
I xtgxdx KQ: ln 2 3 8
Bài Tham khảo 2005
4
sin
.cos
x
I tgx e x dx KQ:
1
ln 2e 1
Bài Tham khảo 2005
2
ln
e
I x xdx KQ: 2 1
9e 9
Bài 8. CĐ Khối A, B – 2005
1
3
0
. 3
I x x dx KQ: 6 8
5
Bài 9. CĐ Xây Dựng Số – 2005
3
3
3 1 3
x
I dx
x x KQ: ln 8
Bài 10. CĐ GTVT – 2005
1
5
0
1
I x x dx KQ: 8
105
Bài 11. CĐ Kinh Tế Kỹ Thuật I – 2005
2
sin 5
x
I e xdx KQ:
3
3. 5
34
e
Bài 12. CĐ Tài Chính Kế Tốn IV – 2005
3
3
0
1.
I x x dx KQ: 848
105
Bài 13. CĐ Truyền Hình Khối A – 2005
2
0
1 2sin 1 sin 2
x
I dx
x KQ:
1 ln 2 2
Bài 14. CĐSP Tp.HCM – 2005
0
1 2 4
dx
I
x x KQ:
3 18
Bài 15. CĐ KT-KT Cần Thơ – 2005
2
ln
e x
I dx
x KQ:
2
1
e
Bài 16. CĐSP Vĩnh Long – 2005
7 3
1
3 1
x
I dx
x KQ:
46 15
Bài 17. CĐ Bến Tre – 2005
2
cos 3
sin 1
x
I dx
x KQ: 2 3ln 2
Bài 18. CĐSP Sóc Trăng Khối A – 2005
2
2
2
0
sin sin
;
sin cos
sin 2 cos cos
2
xdx x xdx
I J
x x x
x x
KQ:
ln 2 3
3 4
I J
Bài 19. CĐ Cộng Đồng Vĩnh Long – 2005
1
ln
e
I x xdx KQ:
2
1 4
e
Bài 20. CĐ Công Nghiệp Hà Nội – 2005
2
4
sin
I x xdx KQ:
2
4 2
Bài 21. CĐSP Hà Nội – 2005
2
2
2 4 9
4
x x x
I dx
x KQ: 6 8
Bài 22. CĐ Tài Chính– 2005
1
0 1
xdx
I x
KQ: 1
8
Bài 23. CĐSP Vĩnh Phúc – 2005
2
1 1 ln
e dx
I
x x
KQ:
6
Bài 24. CĐSP Hà Nội – 2005
2004
2004 2004
0
sin
sin cos
x
I dx
x x KQ: 4
Bài 25. CĐSP KonTum – 2005
3
4 sin 1 cos
x
I dx
x KQ: 2
2006
Bài 1. ĐH, CĐ Khối A – 2006
2
2
0
sin 2
cos 4 sin
x
I dx
x x
KQ: 2
3
Bài Tham khảo 2006
6
22 1 4 1
dx
I
x x KQ:
3 1
ln
212
Bài 3. ĐH, CĐ Khối D – 2006
1
2
2
x
I x e dx KQ:
2
5 3 2
e
Bài Tham khảo 2006
2
1 sin 2
I x x dx KQ: 1
4
Bài Tham khảo 2006
2
2 ln
I x x dx KQ: 5 ln 4
4
Bài 6. ĐH, CĐ Khối B – 2006
ln
ln 2 3
x x
dx I
e e KQ:
3 ln
2
Bài Tham khảo 2006
10
5 2 1
dx
I
x x KQ: ln 1
Bài Tham khảo 2006
1
3 ln 1 ln
e x
I dx
x x KQ:
10 11
2
(4)Chuyên đề tích phân & ứng dụng Hồ Văn Hồng
4
Bài 9. CĐ KTKT Công Nghiệp II – 2006
1
2
ln 1
I x x dx(Đổi biếnt 1 x2, phần)KQ:ln 2 1 2
Bài 10. CĐ Cơ Khí – Luyện Kim – 2006
2
ln 1
x
I dx
x KQ:
3
3ln 2 ln 3
2
Bài 11. CĐ NôngLâm– 2006
1
1
I x x dx KQ: 2 1
3
Bài 12. ĐH Hải Phòng– 2006
1 01
x
I dx
x KQ:
1 ln 2 2
Bài 13. CĐ Y Tế – 2006
2
4
sin cos
1 sin 2
x x
I dx
x KQ: ln 2
Bài 14. CĐ Tài Chính Kế Tốn – 2006
3
ln 5
I x x dx KQ: 114 ln14 ln 9
2
Bài 15. CĐ Sư Phạm Hải Dương – 2006
2
3
cos 2
sin cos 3
x
I dx
x x KQ:
1 32
Bài 16 Hệ CĐ – ĐH Hùng Vương – 2006
4
1 cos
I x x dx KQ: 2 1
8
Bài 17. CĐ KTKT Đông Du – 2006
4
cos 2 1 sin 2
x
I dx
x KQ:
1 ln 3 4
Bài 18. CĐ Sư Phạm Quảng Bình– 2006
ln 2
0 2
xx
e
I dx
e
KQ: 2 3 8
3
Bài 19. CĐ Sư Phạm Quảng Ngãi– 2006
3
4 sin 1 cos
x
I dx
x KQ: 2
Bài 20. CĐ Sư Phạm Trà Vinh– 2006
4 0cos
x
I dx
x KQ:
2 ln
4 2
Bài 21. CĐ Bán Công – Công Nghệ - Tp.HCM– 2006
3
3
3 1 3
x
I dx
x x KQ: 6 ln 8
Bài 22. CĐ Sư Phạm Tiền Giang – 2006
9
1
I x x dx KQ: 468
7
Bài 23. CĐ Bến Tre – 2006
3
1 ln
e x
I x dx
x KQ:
3
2 11
9 18
e
Bài 24.
1
2
0
2
I x x dx KQ: 23 3 2 2
9
Bài 25.
2
2
2 1 cos
I x xdx KQ:
2
1
1
2 4 2
Bài 26.
1
2
0
1
x
I x e x dx KQ:
2
1
4 14
e
Bài 27. CĐ KT-KT Công Nghiệp I – 2006
2
sin 3
2 cos 3 1
x
I dx
x KQ: Không tồn tại
Bài 28. CĐ KT-KT Công Nghiệp II – 2006
1
2
ln 1
I x x dx KQ: ln 2 1
2
Bài 29. CĐ Xây dựng số – 2006
2
1 5
x x
I dx
x KQ:
32 10 ln 3
3
Bài 30. CĐ Xây dựng số – 2006
1
3
cos sin
I x x x dx KQ: 5
4
Bài 31. CĐ GTVT III – 2006
2
cos 5 sin
x
I dx
x KQ:
1 5
ln
2 3
2
2 7 ln 1
J x x dx KQ: 24 ln 14
Bài 32. CĐ Kinh tế đối ngoại – 2006
4
1
I tg x dx KQ: 76
105
Bài 33.CĐSP Hưng Yên- Khối A– 2006
4
4 3
3 2
x
I dx
x x KQ:18 ln ln 3
Bài 34. CĐSP Hưng Yên- Khối B– 2006
3
0
sin 3 sin 3
1 cos 3
x x
I dx
x KQ:
1 1
ln 2
6 3
Bài 35. CĐSP Hưng Yên- Khối D1 , M– 2006
3
1
ln 2 ln
e
x x
I dx
x KQ:
2
3
3 3 2 2
8
Bài 36. CĐ Bán công Hoa Sen – Khối A – 2006
4
4
0
cos sin
I x x dx KQ: 1
2
Bài 37. CĐ Bán công Hoa Sen – Khối D – 2006
4
cos 2 1 sin 2
x
I dx
x KQ:
1 ln 3 4
Bài 38. CĐSP Trung Ương – 2006
2
sin sin 2
I x xdx KQ: 2
3
Bài 39. CĐSP Hà Nam – Khối A – 2006
1
0 3
x
I dx
x KQ :
4 1
ln
34
Bài 40. CĐSP Hà Nam – Khối M – 2006
2
cos
I x xdx KQ:
2
2 4
Bài 41. CĐSP Hà Nam – Khối A (DB) – 2006
1 1 ln
e dx
I
x x KQ: 4
Bài 42. CĐKT Y Tế I – 2006
2
4
sin cos
1 sin
x x
I dx
x
KQ: ln 2
quynguyen193
Edited by Foxit Reader
(5)Chuyên đề tích phân & ứng dụng Hồ Văn Hoàng
Bài 43. CĐ Tài Chính Hải Quan– 2006
3
4
ln sin 2
tgx
I dx
x KQ:
2
1 ln 3 16
Bài 44.CĐ Kĩ thuật Cao Thắng – 2006
2
3
sin 2 1 sin
I x x dx KQ: 15
4
Bài 45. CĐKT Tp.HCM Khóa II- 2006
0
ln
e
x
I dx
x KQ: 2 e
Bài 46. CĐCN Thực phẩm Tp.HCM – 2006
1
1
2 2
I dx
x x KQ: 4
Bài 47. CĐ Điện lực Tp.HCM – 2006
7 3
2
3 1
x
I dx
x KQ:
46 15
Bài 48. CĐ Kinh tế công nghệ Tp.HCM Khối A–2006
4 0cos
x
I dx
x KQ:
2 ln
4 2
Bài 49. CĐ Kinh tế công nghệ Tp.HCM Khối D1– 2006
2
4 1 ln
I x x dx KQ: ln 2
Bài 50. CĐSP Hà Nội Khối D1– 2006
3
6sin sin 3
dx
I
x x
KQ: 2 ln 2
3 .
2007
Bài 1. ĐH, CĐ khối A – 2007
Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường:
1 , 1
x
y e x y e x KQ: 1
2
e
Bài 2. ĐH, CĐ khối B – 2007
Cho hình phẳng H giới hạn đường yxlnx , 0 ,
y y e Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành khi
quay hình H quanh trục Ox. KQ:
3
5 2
27
e
Bài 3. ĐH, CĐ khối D – 2007
Tính tích phân
1
ln
e
I x x dx KQ:
5 1
32
e
Bài Tham khảo khối A – 2007
4
2 1
1 2 1
x dx
x KQ: ln 2
Bài Tham khảo khối B – 2007
Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường
2
1 0 à
1
x x y v y
x . KQ:
1 ln 1
4 2
Bài Tham khảo khối B – 2007
Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường
2
à 2
y x v y x KQ: 1
2 3
Bài Tham khảo khối D – 2007
1
1 4
x x dx
x KQ:
3
1 ln 2 ln 3
2
Bài Tham khảo khối D – 2007
2
cos
x x dx KQ:
2
2 4
Bài 9. CĐSPTW – 2007
Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường có phương
trình
2
y x ; yx; x 1; x0. KQ: 7
6
Bài 10. CĐ GTVT – 2007
3
4 cos 1 sin
x
dx
x KQ: 2
Bài 11. CĐDL Công nghệ thông tin Tp.HCM – 2007
7
2 1
x dx
x KQ:
231 10
Bài 12. CĐ Khối A – 2007
2007
2
1 1
1
dx
x
x KQ:
2008 2008
3 2
2008
Bài 13. CĐ Cơ khí luyệnkim– 2007
2
1
ln
e x x dx KQ: 1
5 2
27 e
Bài 14. CĐSP Vĩnh Phúc – 2007
4
2
sin
x x dx KQ:
3
1
384 32 4
Bài 15. CĐ Khối B – 2007
Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường
y x ,
cos
y x x , x0, x. KQ:
2
Bài 16. CĐ Khối D – 2007
0
1
x dx KQ: 1
Bài 17. CĐ Dệt may thời trang Tp.HCM – 2007
3
2
1 1
dx
x x KQ:
3 1
3 12
Bài 18. CĐ Hàng hải – 2007
3
1
x x dx KQ: 14 3
5
Bài 19. CĐ Kinh tế kĩ thuật Thái Bình– 2007
0
1
x
x e x dx KQ: 3 31
4 60
e
Bài 20. CĐ Công nghiệp Phúc Yên– 2007
1
x
xe dx KQ: 1
2008
Bài 1. ĐH, CĐ Khối A – 2008
4
0cos 2
tg x dx
x KQ:
1 10
ln 2 3
2 9 3
Bài 2. ĐH, CĐ Khối B – 2008
4
sin 4
sin 2 2 sin cos
x x xdx x KQ: 4 2
4
Bài 3.ĐH, CĐ Khối D – 2008
2
ln
x
dx
x KQ:
3 ln 2 16
Bài 4. CĐ Khối A, B, D – 2008
Tính diện tích hình phẳng giới hạn parabol
: 4
P y x x đường thẳng d y: x KQ: 9
2 (đvdt)
Edited by Foxit Reader
(6)Chuyên đề tích phân & ứng dụng Hồ Văn Hồng
6
Một số bí tìm ngun hàm tích phân
Dùng biến đổi vi phân tìm nguyên hàm
Các tính chất nguyên hàm bạn đọc sách giáo
khoa Chỉ lưuý tính chất đậm nét quan hệ nguyên hàm vi
phân:d F x ( )F x( )C
Từ đó, phép biến đổi vi phân, bạn dễ dàng tìmđược
nguyên hàm Xem lại bài tự luyện đáp án số để theo
dõi thí dụ (các biến đổi vi phân trung gian đã lược bớt để cho
gọn bài viết).
Thí dụ 1: Tìm ngun hàm
1. 7
2 1 5
x x x dx 2.
s inx.cos x.
dx 3. ln x dx x 1.2x1x2 x 7dxx2 x 7d x2 x 5=1 58
8 x x C
2.sinx.cos x.7 dx = ( os x).d(cosx)= d - os x7 - os x+C1
8
c c c
3 ln ln (ln ) 1ln2
2
x dx x d x x C
x
Thí dụ 2:Tìm ngun hàm
1. sin os2x.dxx c 2.
1
x xdx 3.
3
. 1
x dx x sin3 os2x.dx sin s nx
2
x c x i dx
= 1 os5x-cosx
2
d c
= os5x -1 osx + C
10c 2c
2
2
1 1
d x dx
x x x
d2 ln x 1 x2 ln x 1 xC
3
2 1
2
1
3 2 3
1
1 .
1
1 2 1
d x
x dx x d x
x x
3 123
4
d x
2
2
3 1
4 x C
Thí dụ 3:Tìm nguyên hàm 1. s inx
dx
2. 4
cos x
dx
2
2
sinx sin os os
2 2
x x
d d
dx
xc x tg cx x
=
2
ln ln
2
2
x d tg
x x
d tg tg C
x tg
2 4 2 2 2
cos x cos cos cos
d tgx
dx dx
x x x
= 1 ( )
3
tg x d tgx d tgx tg x
=
3
tgx tg x C
2 Dùng đổi biến đặc biệt để tính tích phân.
Nhiều bạn muốn tính tích phân ( ). b
a
f x dx mà khơng thể
tìm ngun hàm của f(x) Có nhiều đường xử lí, xin
gợi ý cách đổi biến đặc biệt, đặt t = a + b – x.
Thí dụ 1: Tính
1
1 2
ln .
1 2
x dx
x
Đặt t =-x x = -t dx = - dt.Đổi cận: x =-1 t = x = t = -1
1
1
1 2
ln ln ( )
1 2
x t
I dx dt
x t
1
1
1
1 2
ln ln
1 2
t dt t dt
t t
=
1
1
ln
1 2t dt I It
Thí dụ 2: Tính
2 2
.
2 1
x
x dx
Đặt t =-x x = -t dx = - dt.Đổicận x = -2 t = x = 2t = -2 Do đó:
2
2 2
2 2t 22t
t dt t dt
I
=
2
2 2
2
2 1
1 2
t t
t t
t dt t dt
=
2 2
2
2
2
3
2 1t
t dt
t dt t I
1 .32
2 3
I t
Thí dụ 3: Tính
2
s inx.
sinx osx
dxc
Đặt t =
2 x x t dx dt
.Đổicận: x =
2
t v x t
Do đó:
0 2
0
2
sin ( )
2 ost osx
ost sint osx sinx
sin os
2
t dt
c dt c dx
I J
c c
t c t
Vì I + J =
2
sinx
sinx osx
dx c
+
2
osx osx sinx
c dx c
=
2
1
2 2 4
0
dx x I J
Thí dụ 4: Tính
0
.s inx.sin3x.dx
x
Đặt t =− xx =− tdx =−dt.Đổi cận: x = 0t =, x = t =0 Do đó:
0
.sin sin3 ( )
I t t t dt
=
0
.sin sin3
t t t dt
=
0
sin sin3 t t dt t.sin sin3 t t dt
=
0
os2t-cos4t
2 c dt I
0
1
os2t-cos4t sin sin
4 4
I c dt t t
CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
Các bạn cần nắm phương pháp trình bày dưới đây.
1 Sử dụng định nghĩa (định lý Newton - Leibnitz)
Định lý : Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên [a ; b] F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì
( ) ( ) ( ) ( )
b b
a a
f x dx F x F b F a
Chú ý : Giả thiết y = f(x) liên tục [a ; b] điều kiện bắt
buộc phải có để sử dụng định lý Nhiều bạn tưởng có được F(x) tính tích phân Chẳng hạn, có bạn viết :
3
3
4
2
0
tan 1
cos
dx
I x
x (?). Lưuý :
1 ( )
cos
f x
x không
xác định tại 0;3
2 4
x nên I khơng tồn tại.
Thí dụ : Tính
7 3
( 1)
3 1
x dx
I
x (ĐH Ngoại ngữ HN-1999)
7
2
3
3
3
0
1 [(3x 1) 2]dx [(3x 1) 2(3 1) ]d(3x 1)
3
I x
x
7
5 3
3
0
1 3(3 1) 3(3 1) 46
9 x x 15
Thí dụ : Tính
1
2
0( 3 2)
dx
I
x x (ĐH Ngoại thương HN-1999)
quynguyen193
Edited by Foxit Reader
(7)Chuyên đề tích phân & ứng dụng Hồ Văn Hoàng
7
1 1
2
0 0
1 2 1
1 ( 1) ( 2)
dx dx
I dx dx
x x x x x x
1
1
0
1
( 1) ( 2) 2ln 2ln
2
x
x x
x
.
Chú ý : Khi gặp hàm số có chứa dấu trị tuyệt đối thì cần tách
cận tích phân để khử dấu trị tuyệt đối.
Thí dụ : Tính
3
2
I x x x dx
3
2 2
1
2
I x x x dx x x x dx x x x dx x x x dx
0
2 2
1
4 4
2
0
2 2 4
4 4
x x x dx x x x dx x x x dx
x x x x x x
2 Phương pháp biến đổi số :
Nếu t = u(x) đơn điệu trên [a ; b] thì
( ) b
( )
[u(x)].u'(x)dx ( )
u b
a u a
f f t dt
Thí dụ : Tính
4
7 9
dx
I
x x
(Học viện KTQS- 1999)
Đặtt x
x
t
dx
dt t
Đổi cận : x
7
t ; x = 4
4
t Do :
1
1
7
4 7
2
2
1
4
7
1 (3 ) 1ln (3 ) 3 1ln 7ln
3 3
9 (3 )
dt d t
I t t
t t
Thí dụ : Tính
1
11 2
x
x dx
I (Đề Học viện BCVT- 1999)
Đặt t =x x =t dx =dt
Đổi cận : x =1 t = ; x = 1 t =1 ta có :
1 4 1 1
4
4 1
1 1
( ) ( )
5
1 2
t
t t
t dt t dt t dt
I t dt t I I
5
I
Chú ý : - Để tính ( ) b
a
f x dx không nhất thiết phải tìm nguyên
hàm F(x) của f(x).
- Cách tích phân dạng ( )
1
x
g x dx
a với a > và g(x) hàm số
chẵn, làm trên.
Thí dụ : Tính
1
2 ln
2
x
dx x
Đặt t =- x dx = - dt Với x =-1 t = 1, với x = t = -1.Do :
-1
1 -1 1
-1 -1 -1 -1
2-x 2+t 2+t 2-t 2-t
I= ln dx= ln (-dt)= ln dt= ln dt=- ln dt=-I
2+x 2-t 2-t 2+t 2+t
I =
Chú ý : + Tích phân một miền đối xứng hàm số lẻ
luôn bằng 0.
+ Tích phân khơng phụ thuộc ký hiệu đối số :
( ) ( ) ( )
b b b
a a a
f x dx f u du f t dt =
Thí dụ 7 : Tính
01 s inx
x
dx
Đổi biến số u = x x u Ta có : x 0 u ;x u Mặt khác : dx =-du
0
0 0
1 ( )
1 sinx sin sinu sinu
x u
I dx u du du du
u
2
2
0
1
2
2
u os
sin os 2 4
2
u u
d I d I
u
u c c
Do : I =
2
u tg
Chú ý : Nếu gặp tíchphân ( ) b
a
f x dx mà tính khơngđược,
các bạn nên nghĩ đến phép đổi biến số u = a + b- x Các thí dụ
trên cũng chứng tỏ phép đổi biến này có tác dụng.
Thí dụ :Cminh rằng : Nếu f(x) là hàm số liên tục, tuần
hoàn với chu kỳ T thì với a ta có :
0
( ) ( )
a T T
a
f x dx f x dx
Ta có ( ) ( ) ( )
a T T a T
a a T
f x dx f x dx f x dx
(*) Xét ( )
a T
T J f x dx,
đặt u = x- T x = u + T dx = du.Đổi cận : x = T u = ; x = a + T u = a, :
0 0
( ) ( ) ( )
a a a
Jf u T du f u duf x dx.Thay vào (*) ta có đpcm Chú ý : Có thể áp dụng kết để tính tích phân của
hàm số tuần hoàn.
Thí dụ : Tính
2007
s inx
dx
Chứng minh dễ dàng hàm số y = sinx hàm số tuần hoàn với chu kỳ là Do :
2007 2007
0 2006
sinxdx sinxdx sinxdx sinxdx
0
2007 sinx 2007 sinx 2007 osx 5014
0
dx dx c
3 Sử dụng công thức tích phân phần :
Ta có : .
b b
b a
a a
udv u v vdu
Nguyên tắc chọn u, v bạn tương tự sử dụng phương
pháp nguyên hàm từng phần, lưuý thêm có bạn phải
kết hợp với phương pháp đổi biến :
Thí dụ 10 :Tính
0
sin
I xdx (Đề ĐH Đà Lạt- 1999) Đặtt x x t dx = 2tdt Đổi cận x = 0 t = ;x2 t = nên :
0
0 0
2 sin (cos ) cos cos
I t tdt t d t t t tdt
= sint0
Thí dụ 11 :Tính I =
1
.
x
x e dx
Giải : Xét
1
n x n
I x e dx Đặtu x ndu nu n1;dv e dx x v ex Theo công thức tích phân phần ta có :
1 1
1
1
0 0
1
0
n x n x n x
n n
I x e dx udv uv vdu x e n x e dx e nI
với n nguyên n >1.Ta có :
1
1
0
1
0
x x x x
I x e dx xe e dx e e
2
4
2 2; 3( 2) ;
4 4(6 ) 24; 5(9 24) 120 44
I e I e I e I e e e
I e I e e e I I e I e e e
Chú ý : Bài thay làm nhiều lần tích phân phần tương
tự nhau, ta làm một lần tổng quát áp dụng cho
n = 2;3;4;5.
Edited by Foxit Reader
(8)Chuyên đề tích phân & ứng dụng Hồ Văn Hồng
8
CÁC BÀI TỐN CHỌN LỌC
1. Tính tích phân :
2
5 4
dx
I
x x
(A– 2003)
2 2
2 4
2
2
3 3
5
4
4 4
3
3
4 2
Đổi cận : 3;
2
1
2 2
4
1 1 ln 2 ln 2 ln
4 2 4
1 ln1 ln1
4
Đặt t x t x tdt xdx tdt xdx
x t x t
t t
xdx tdt dt
I dt
t t t t
t t
x x
t
dt t t
t t t
1 5ln
2. Tính tích phân :
1
3
0
1
I x x dx (Dự bị 2A – 2003)
2 2 2
1
1
2 2
0 0
1 1 2
caän : 1;
1
1
3 5 15
Đặt t x t x x t xdx tdt xdx tdt
Đổi x t x t
t t I x x xdx t t tdt t t dt
3. Tính tích phân :
1
1 3ln ln
e x x
I dx
x
(B– 2004)
2 3 2
1 3ln 1 3ln 2
3 dx dx tdt
Đặt t x t x tdt
x x
1 1; 2
x t x e t
2 2
4
1 1
1 2 2 32 1 116
3 9 5 135
t tdt t t
I t t t dt
Tính tích phân :
ln
ln3 x 2 x 3
dx I
e e
( B– 2006)
ln5 5
2
ln3 3
5
5 5
3
3
ln3 3, ln 5
1
2 3 2
1 ln 2 ln 1 ln ln3 ln1 ln3
2 1 2
x x
x
x x
Đặt t e dt e dx x t x t
t t
e dx dt dt
I dt
e e t t t t t t
t
dt t t
t t t
4 Tính tích phân :
2
sin cos 1 cos
x x
I dx
x
(B– 2005)
2
2
0
2
1 2 2
2 1
2sin cos cos 2 sin cos
1 cos cos
cos sin ; caän : 2,
2
1 2 1 1
2 2 2 ln
2
2 ln 2
2
x x x x x
I dx dx
x x
Đặt t x dt xdx Đổi x t x t
t dt t t t
I dt t dt t t
t t t
2 ln
5 Tính tích phân :
2
0 1 2sin
1 s 2 x
I dx
in x
(B– 2003)
4
2 2
1
0
cos2 Đặt sin2 2cos2 .
1 sin2
4
1 1
Vaäy ln ln2
2 2
x t
x
I dx t x dt xdx
x x t
dt
I t
t
6 Tính tích phân :
3
dx I
x x
(Dự bị B – 2004)
3
2
2 2
1
4 4 4
2
2 2
4
1
Đặt
1
1
1 1 1 1 ln ln
2 2
1ln 1 ln3 ln1 3ln
2 2
x t
dx xdx
I t x dt xdx
x x x x x t
t t dt
I dt dt t t
t t
t t t t
t t
7. Tính tích phân :
2 sin
cos cos
x
I e x xdx
(D– 2005)
2
sin
0
cos cos
x
I e xdx xdx A B
2 sin
1 1
0
2 2
2
0 0
cos : Đặt sin cos
Đổi cận : 0, 1
2
1 cos2 sin2
cos
2 4
1
x
t t
Tính A e xdx t x dt xdx
x t x t A e dt e e
x x x
Tính B xdx dx
Vậy I A B e
8 Tính tích phân :
1
1 I x dx
2
gặp , ta đặt sin , ;
2
Khi a x x a t t
Đặt sin ; cos
2
x t t dx tdt
Đổi cận sin 0; sin
2
x t t x t t
2 2
2
0 0
2 2 2
0 0
1 sin cos cos cos cos cos
1 cos2 1
cos sin
2 4
I t tdt t tdt t tdt
t
tdt dt t t
9 Tính tích phân :
1 01
dx I
x
2
1
gaëp , ta ñaët , ;
2
Khi x atgt t
a x
2
2
4
2
0
;
2
0 0; 1
4
4 4
1 0
Đặt x tgt t dx tg t dt
x tgt t x tgt t
tg t dt
I dt t
tg t
10 Tính tích phân :
1
0 1
dx I
x x
1
2
2
3
3
2
6
6
1 3
Đặt ;
2 2 2
1
2
3 1 3
0 ;
2 2
3 2 3 2 3 2 3
2
3 3 3
4
dx
I x tgt t dx tg t dt
x
x tgt tgt t x tgt tgt t
tg t dt
I dt t
tg t
(9)Chuyên đề tích phân & ứng dụng Hồ Văn Hồng
11 Tính tích phân :
3 2
ln
I x x dx (D– 2004)
2
2
3 3 3 3
2
2
2 2
3
2
ln Đặt :
x 2x-1
I= udv= uv - vdu= xln x -x - dx =3ln6-2ln2- 2+ dx
x-1 x x-1
=3ln6-2ln2- 2x+ln x-1 =3ln6-2ln2- 6+ln2 -4 =-2+3ln6-3ln2=-2+3ln3
x
u x x du dx
x x
dv dx v x
12 Tính tích phân :
1
2
2 x
I x e dx (D– 2006)
2x 2x 2x
1
1 1 1
2x 2x 2x
0
0 0 0
du=dx u=x-2
Đặt : Þ 1
dv=e dx v= e dx= e
2
1 1 5-3e
I= udv= uv - vdu= e x-2 - e dx= -e +2 - e =
2 2 4
13 Tính tích phân :
4 01 cos2
x
I dx
x
(Dự bị – A2003)
4
1
2
0 2
4 4
4
1 0
0 0
4
1
1 1 :
2
2 cos cos
cos cos
cos '
4 cos
1 1
ln cos ln ln
4 2 2
u x du dx
x x
I xdx xdx I Đặt dv dx v dx tgx
x x
x
I udv uv vdu xtgx tgxdx dx
x
x I I
1 ln2 4
14 Tính tích phân :
1
x
Ix e dx (Dự bị D – 2003)
2
1 1
2
1
0 0
1
1
1
0
1
1
0
0
2 Đổi cận : 0, 1
1
2 2
1 1
2
x t t
t t
t t t
Đặt t x dt xdx x t x t
dt
I x e xdx te te dt I
u t du dt
Đặt I udv uv vdu
dv e dt v e
te e dt e e e e I
15 Tính tích phân :
2
0 sin
I x xdx (Dự bị 1D– 2004)
2
1
2
Đổi cận : 0; Vậy sin
Đặt t x x t dx tdt
x t x t I t tdt I
2
2
1 0
0
sin cos
sin
Vaäy cos cos
du tdt u t
Đặt
v tdt t
dv tdt
I t t t tdt I
2
0
2
1
' '
' cos sin
' cos
Vaäy I sin sin cos 1
4
du dt u t
Đặt
v tdt t
dv tdt
t t tdt t
I I
16 Tính tích phân :
2
Ix x dx (D– 2003)
Giải phương trình x2
– x = 0, ta đượcx = V x =
x -∞ +∞
x2
– x + – + +
1 2 3
2
0 1
- - -
-2 3
1 1- 8-2 - 1- 1
2 3
x x x x
Vaäy I x x dx x x dx
17 Tính tích phân :
2
1 4 x x
I dx
x
(Dự bị A – 2004)
2
2 2
2
2 2
0 0
2
2
x 17 x xdx dx 16
I= x -4- + dx= -4x - +17 =- -A+17B
3
x +4 x +4 x +4 x +4
A : ; 4,
B: Ñaët ; ;
2
0 0,
Tính Đặt t x dt xdx x t x t
Tính x tgt t dx tg t dt x
tgt t x tg
1
t t
8 8
4
1 ln ln8 ln 4 1ln ln 2
2 2
dt
A t
t
2
4 4
2
0 0
2 1 1 16 17
ln
2 8
4
tg t dt
B dt t Vaäy I
tg t
18 Chứng minh :
1
2 2
9 8 7
dx x
3
3
1
3
1
1 1
1;1 1 1
9
1 1 1 11 1 2
9
x thì x x x
x
dx dx ñpcm
x x
19 Chứng minh :
2
2
4
5 3 2sin
2 xdx 4
2 2
2
2
4
2
; , ta coù :
2 sin 1 sin 1 2sin 2 4 2sin 5
2
2 2sin 2sin
2 4
5 2sin
2
x
x x x x
x xdx
xdx ñpcm
20 Chứng minh :
1
0
4 5
1
2 2
x dx
2
2
1
0
0;1 1 4
4
2
2
4
1 (điều phải chứng minh)
2
x x x x
x x
x dx
21 Tính tích phân :
4
3
1 cos2
I xdx
p p p p
0
4 4
2
p p p 0 p
- - -
-3 3
p 0
4 p
0
-3
I= 2sin xdx= sinx dx= sinx dx+ sinx dx = sinxdx- sinxdx
1
= -cosx - -cosx = - +1- -1+ = -1
2
2
22 Tính tích phân :
2
5 1
6 x
I dx
x x
(10)Chuyên đề tích phân & ứng dụng Hồ Văn Hoàng
10
2
5 5
coù :
3
6 3
5
5
2
x x A B Ax A Bx B
Ta
x x
x x x x x x
A B A
x A B x A B
A B B
2
1
2 2 ln -3 3ln 2 3ln - ln 3ln3
-3
6 ln -2 ln -3ln3 ln -3ln3
dx x x
I x x
23. Xác định số A, B cho :
3 3 2
3 1 , 1
1 1 1
x A B x
x x x
Tìm: 3
3 1 1 x dx x
3 3
3 2
1
3
1
1 1 1
3 3
1
1 1
A B x B A
x A B Bx A B
A B B
x x x x x
x dx dx C
x
x x x x
24 Tính tích phân :
2
2
ln 1
1
x x x
I dx
x
2
2 2 2
2 2
2
2
2 2
2
1
2
0
1
ln 1 1
Đặt 1 1 1
1
1
Tính v : Đặt 1 2
1
1 ln ln
x x x
u x x du x dx x dx dx
x x x x x
xdx
dv xdx
x v
x
t x t x tdt xdx tdt xdx
tdt
v dt t x
t
I x x x dx x
1
0
2 ln
25 Tính :
2ln ln ln
e
e
x x
I dx
x
(CĐ KT A, D – 2005)
2
2 2
1 1
1 1
2
2
1 1
1
ln 1,
1
ln ln
2 2
ln
I : Đặt ln ln
3 ln 2 ln ln
2
dx
Đặt t x dt x e t x e t x
t
I t t dt tdt tdt I I I
dt
u t du
Tính t I t t dt t
dv dt v t I
1
1 ln
2
26 Tính tích phân :
3
2
cos sin
x
J dx
x
(Sở GĐ TP 2004−2005)
sin cos 1; 1
6 2
Đặt t x dt xdx x t x t
π
2
1
2
2 2
1
π 1
2
6 2
1-t dt
cos xcosxdx 1 1
J= = = -1 dt= - -t = -1-1 - -2- =
sin x t t t 2
27 Tính tích phân :
1
0 9
x dx I
x
1
3
2
1 1
2
0 0
1
0
0
0
Đặt
1
9
3
1 1 1
3 3 18 3 18 3
1 ln 3 ln 3 ln ln1 ln1 1ln1
18 18 18 18
x t
x dx
I t x dt x dx
x t
x
t t
dt dt
I dt dt
t t
t t t t t
t
t t
t
28 Cho
3
2
3 3
0
sin x ; J cos x sin x+cos x sin x+cos x
I dx dx
.
Tính I bằng cách đặt
2 t x
0 3
3 3
3 0
2
2 0
0
2 0
2 sin
2 cos cos
cos sin cos sin
sin cos
2
Ngoài :
2
x t
Đặt t x dt dx
x t
t
t x
I dt dt dx J
t t x x
t t
I J dx x I J
29 Tính tích phân :
3
4
4 sin cos
dx I
x x
2
3 2 2 2
4 5
4
4
3 3
4
4
4
1
tan 1;
4
cos
cos cos cos
sin cos sin cos
cos cos
4 4
p p p
p p p
dx
Đặt t x dt x t x t
x
dx dx dx
x x x
Vaäy I
x x x x tg x
x x
dt t dt t
t
30 Tính tích phân :
1
sin
I x dx
1
0
1 1
2
0
0
Đặt Vậy sin
1
2
1
sin sin cos
2 cos cos 2 sin
x t
t x x t dx tdt I t tdt
x t
du dt u t
Đặt
dv t dt v t dt t
I t t t dt t
31 Tính tích phân :
2
4
0
sin 2 sin 6sin 5
x
I dx
x x
2
2
2
0
2 2
1 1
2
1
1
sin Đặt sin 2sin cos sin 2
sin sin
0 1 4 1 1 1
4 4
4
2
1 ln ln 4 ln ln1 ln1 5ln
4 4
xdx
I t x dt x xdx xdx
x x
x t dt t t
I dt dt
t t
t t t t
x t
t
t t
t
32 Tính tích phân :
0 sin x
I xe dx
0
0
sin cos
sin cos
' cos ' sin
cos sin
' '
1
1
2
x x
x x
x x
x x
u x du dx
Đặt I e x e xdx J
dv e dx v e
u x du xdx
Đặt J e x e xdx e I
dv e dx v e e
I e I I e I
33 Giải phương trình :
2
sin cos 0 0
x
t tdt x
1 ln ln
4 t t
quynguyen193
Edited by Foxit Reader
(11)Chuyên đề tích phân & ứng dụng Hồ Văn Hoàng
2
2 2
2 cos
1 cos
2
0 2
3 3
2
2
u cos cos 2sin cos
2 sin 2; u cos
sin cos 2
3
1 cos cos
2
3 3
1 cos cos si
x
x x
Đặt t u t udu t tdt
udu tdt t u t x x
u
t tdt u du
x x
pt
x x
nx 0 x k k 34 Tính tích phân :
3
sin 1 sin
x
I dx
x
2
0
1 cos2
sin sin sin
1 sin 1 cos( )
2
x
I x x dx x dx
x x
2
0
1 cos2 sin 1
2
2cos
3 1sin2 cos 1 1 2 4
2 4 2
x x dx
x x
x x x tg
35 Tính tích phân :
3
cos 1 sin
x
I dx
x
2
2 2
0 0
2 2
0 0
2
1 sin cos sin sin cos
cos cos
1 sin sin sin
1
cos sin cos cos sin cos sin2
2
1 1
sin cos2
4 4
x xdx x x xdx
x xdx I
x x x
x x dx x x x dx x x dx
x x
36 Tính tích phân :
1
10
1 1
x
I dx
x
bằng cách đổi biến t = –x
7
1 1 7
10 10 10 10
1 1
1
Đặt
1
2 0
1 1
x t
t x dt dx
x t
t dt
x t x
I dx dt dx I I I
x t t x
37 Tính tích phân :
1
3 ln 1 ln
e x
I dx
x x
(Dự bịB–2006)
2
2
2
2
1
2
1
2
1 2ln 2ln
3
1 1, Vaäy
2 10 11
4 4
3 3
dx dx
Đặt t x t x tdt tdt
x x
t
x t x e t I tdt t dt
t t
t
38 Cho miền D giới hạn hai đường : x2 + y– = 0
; x+ y– = Tính thể tích khối tròn xoayđược tạo nên khi
quay miền D quanh trục hoành.
2 Hình phẳng D giới hạn đường
3
y x
y x
2
2 2
2
2
1
2
4
1
Pt hoành độ giao điểm đường :
5 2
5 25 10
11 16 1;2 , 11 16 0,
Ox
x x x x x x
V x x dx x x x x dx
x x x dx x x x x
2
4 2
1
11
11 16 16
5
Ox
x x
V x x x dx x x
32 88 44 11 13 153
5 5 ñvtt
39 Tính tích phân :
2 04 5sin
dx I
x
2
2
1 1
2
0 0
2
0
Đặt
2 2 cos
2
cos 2
2 2 2
4 10
4 10
4 10sin cos
2 2
cos
x t
x dx
t tg dt
x x t
dx x
dt dt dt
I
x x t t t t t t
x
1
1
0 0
1
0
2
1 1 1 ln ln 2
1
3 2 3
2
1
1 ln ln1 ln1 1ln 2
3
t t
dt dt t t
t t
t t
t t
40 Tính tích phân :
2
cos cos7
I x xdx
2 2
5 5
0 0
5
2
6
0
cos cos cos6 cos cos sin6 cos sin
6sin cos cos
Tính J : Đặt 1
cos6 cos6 sin6
6
1 sin6 cos sin6 cos sin
6
I x x x dx x x xdx x x xdx J K
du x xdx
u x
dv xdx v xdx x
J x x x x xdx K Vaäy I
J K 0
41 Tính tích phân :
1
12 1x
x
I dx
0 4
1
4
0 4
1 0
1
1 4 1
4
0 0 0
2 2
1 2
Đặt
0 2
2
5
2 2
x x x
t x
t t x
x x
x x x
x x x
I dx dx Xeùt J dx
t dt
x t t dt x dx
x t dx dt J
x t
x
x dx x x
Vaäy I dx dx x dx
15
42 Tính tích phân :
2
cos cos sin
n
n n
xdx I
x x
0 2
0
2
2
2
0
0 ;
2
0 cos
2 sin sin .
sin cos sin cos
cos sin
2
sin cos
2
2
sin cos
n
n n
n n n n
n n
n n
n n
x t
Đặt t x dt dx
x t
t dt
tdt xdx
I
t t x x
t t
x x
I dx dx x I
x x
(12)Chuyên đề tích phân & ứng dụng Hồ Văn Hồng
12
43 Tính tích phân :
4
4
4
sin cos 3 1x
x x
I dx
0 4 4 4
0
4
sin cos sin cos sin cos .
3 3
Đặt 4
0
x x x
x x x x x x
I dx dx Xeùt J dx
x t
x t dx dt
x t
4 4
0 4 4
0
4
4 4 4
4
0
4
4 4
4 2
0 0
2
3 sin cos sin cos
sin cos
3 3
3 sin cos sin cos
3
3 sin cos
sin cos 2sin xcos x
3 1
1 sin 2x
2
t x
t t x
x
x x
x x
t t x x
t t
J dt dt dx
x x x x
Vaäy I dx dx
x x
dx x x dx dx
4 4
0 0
4
1 cos4
1 cos4
2 4
3 1sin 4 .
4 16 16
x
dx dx x dx
x x I
44 Tính tích phân :
2
10 10 4
0
sin cos cos sin
I x x x x dx
10 10 4 2
10 10 4
6 4 4 4 6
2 2 2 2
2
coù : sin cos cos sin cos sin
sin cos cos sin cos sin
sin cos sin cos cos sin cos sin cos sin
cos sin cos sin cos sin cos cos sin sin
cos
Ta x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x
2 2 2
2
2
0
1 cos sin
1 cos sin cos sin cos
4
1 cos4 sin 1cos4 cos8 15 1cos4 1cos8
2 16 2 32 32 32
15 1 15 1 15
: cos4 cos8 sin sin8
32 32 32 256 64
x x
x x x x x x
x x x x x x
Vaäy I x x dx x x x
45 Tính tích phân :
1
0 1
x
I dx
x
1
2
6
0
1
3
2
0
2
0
Đặt Vậy
1 1
0 3
3
3
1 1
0 0
;
2
x t t tdt t dt
t x t x tdt dx I
x t t t
du
t u
Đặt u t du t dt I du
t u u u
u tgm m
Đặt u tgm m du tg m dm
u t
4 4
2
0 0
1
2 2
3 3
gm m
tg m dm
I dm m
tg m
46 Tính tích phân :
3
0 max 1;
4 x I dx
2
2
Ta lập hiệu số : Cho
4
x x
H H x x
x -2
H + –
3
2 2 2
0
0 2
x x x x 43
I= max 1; dx+ max 1; dx= dx+ dx= x + =2+ - =
4 4 12 12
47 Tính tích phân :
2
2 1 1 x
I dx
x x
2
2 2
2
2
2
1 1
1
2
Ta coù :
1
1
0
2
1 1 3
1 3 3ln 3ln 1 3ln
1
1 3ln2 1 3ln1
2
A x Bx x Cx
x A B C
x x
x x x x x
B C A
B C x A B x A
A B B
x x A C
x
I dx x x
x x x x x
x
1 3ln4
2
48 Tính tích phân :
2
2
max 1; ; F x x dx Gọi H = x – H = 0 x =
x
H –0 +
Gọi G = x2
– x G = 0 x = V x =
x
G – +
2
2
2
2 1
2
0
0 1
1
0 1: ; :
8 10
max 1; ;
3 3
x x
x x x x x x
x x x x
x
F x x dx dx x dx x
49 Tính tích phân :
1
2
0 1
x dx T
x x
3
1
3
2
0
1
1
3
0 0
2 2
2
1 2
2 2
0 1
1
1
1
1
5
0
1 2
1
1
5 2
5
x x x
T dx x x x dx
x x x x
x
x x dx x dx I I
x t
Đặt t x t x tdt xdx tdt xdx
x t
t t I x x xdx t t tdt t t dt
1 2 2. 2
5 15 15Vaäy T 15
50 Tính tích phân :
4
ln 1
B tgx dx
0 4
0
4
4 4
4
0 0
0 ;
4 0
4
1
ln ln ln
4 1
ln
ln ln ln ln
4
ln ln
2
4
x t
Đặt t x dt dx
x t
tgt
B tg t dt dt dt
tgt tgt
dt tgt dt t tgx dx I
I I
51 Chứng minh : Nếu f(x) liên tục trên và tuần
hồn với chu kỳ T thì :
0
a T T
a
f x dx f x dx
Áp dụng, tính tích phân :
2004
(13)Chuyên đề tích phân & ứng dụng Hồ Văn Hồng
0
3
0 0
0
coù :
I Đặt t
0 (2) vào (1) ta
T a a T T
a a T
T
a T
a a a
a
T a T
a
Ta f x dx f x dx f x dx f x dx x a T t a Xeùt f x dx x T dt dx
x T t I f t T dt f t T dt f t dt f x dx
Theá f x dx f x dx đpcm
Áp
2004 2004 2004
2
0 0
2 2004
0 2002
2 2004
0 2002
duïng : cos2 2sin sin
2 sin sin sin
Theo tính chất trên, ta có : sin sin sin 1002 s
I xdx xdx x dx
x dx x dx x dx
x dx x dx x dx
Neân I
2
0
2
in 1002 sin sin
1002 cos cos 4008
x dx xdx xdx
x x
52 Tính tích phân :
1 2004
sin
I x xdx
0
2004 2004
1
0 2004
1
0 1
2004 2004 2004
1
1 0
sin sin (1)
1
tích phân I sin Đặt
0
sin sin sin (2)
Thế (2) vào (1) ta :
I x xdx x xdx
x t
Xeùt x xdx x t dx dt
x t
I t t dt t tdt x xdx
I
53 Tính tích phân :
0
sin cos Dx x xdx
0
2
0
2 2
0 0
2
0
0
sin cos sin cos
sin cos sin cos sin cos sin cos
sin cos sin cos
cos sin
x t
Đặt t x dt dx
x t
D t t t dt t t tdt
t tdt t t tdt t tdt x x xdx
t tdt D D t tdt
Đặt u t du t
1
2 2
0 1
0
1 sin cos
3 3
t u
dt
t u
u
t tdt u du u du D
54 Tính tích phân :
3
sin sin sin3 cos5
I x x x xdx
3
3
3
2
3
0
sin sin2 sin3 cos5 sin sin2 sin3 cos5 (1)
3
sin sin2 sin3 cos5 Đặt 2
3
sin sin sin cos 15
sin sin2 sin3 cos5
I x x x xdx x x x xdx
x t
Xeùt J x x x xdx x t dx dt
x t
J t t t t dt
t t t t
3
2
0
sin sin2 sin3 cos5 (2) Thế (2) vào (1) ta
dt x x x xdx
I
55 Tính tích phân :
1
2
1 x 1 1
dx I
e x
0
2 2
1
0 1
2
2 2
1 0
2 Xeùt
1 1 1
0
1
1
1 1 1
;
2
x x x
t x
t t x
dx dx dx
I J
e x e x e x
x t
Đặt x t dx dt
x t
dt e dt e dx dx
J Vaäy I
x
e t e t e x
Đặt x tgu u dx tg u
4
4
2
0
0 0
1
4
4
x tgu u
du
x tgu u
tg u du
I du u
tg u
56 Giải phương trình theoẩn x :
1
1 ln 18
x
e
tdt t
1
2 ln
1 ln
0
1 0
1 ln Ñaët 1 ln
1 ln ln
2
x
e
x x
t u
t dt
Goïi I dt u t du e
t t t x u x
x u
I udu
2
2
7
1 ln ln ln
18 ln 36
2 ln ln
x e
x x x
pt x
x x x
e
57 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị (C) :
2 4 4
1
x x
y x
, tiệm cận xiên của (C) hai đường
thẳng x = 2, x = 5
2
5
2
5 5
2
4
số viết thành :
1
1
lim nên TCX (C)
1
1 1
3 Với 2;5
1 1
1 ln 1 ln ln1 ln
1
x
x x
Haøm y x
x x
Vì y x
x
Vậy S x x dx dx x
x x x
neân S dx x
x
2đvdt
58 Cho hình giới hạn elip :
2
2 1
4 x y
quay quanh trục
hồnh Tính thể tích khối tròn xoayđược tạo nên.
2 2
2 2
2
2
2
2
2 2
4
1
4 4
elip có a 2, 1 nên hình giới hạn elip có : 2
8 8
4 8
4 4 3
Ox
x x x
Elip y y y x
Vì a b b x
x
V y dx x dx x ñvtt
59 Tính thể tích khối trịn xoayđược tạo thành do
quay xung quanh trục Oy hình phẳng giới hạn đường
trịn tâm I (3;0), bán kính R = 2.
2
2 2
2 2
2 2 2
Oy
2 2
2 2
pt đường tròn tâm I 3;0 ,R x y
x y x y x y
Vì đường trịn có tâm I 3;0 ,R nên y
V y y dy 6.2 y dy 12 y dy
Goïi I y dy Ña
2 2 2 2 2
2
2 2
Oy
y sin u u ët y 2sin u u ; dy cos udu
2 y 2 sin u 1 u
2 I 4sin t2 cos udu cos u cos udu cos udu cos2u du u sin 2u
2
2 V
2
(14)Chuyên đề tích phân & ứng dụng Hồ Văn Hồng
14
60 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường :
2
4 vaø
4 4 2
x x
y y (Đại học khối B – 2002)
2 2 4 2
2
2 2 2
2
2 2 2
2
hoành độ giao điểm đường :
8 2
4 4
4 4 32 32 16 (vô lý)
4 Với 2;2 ,
4 4
neân 4
4 4
pt
x x x x x x x x
x
x x x x
S dx x
x x x
S dx dx
2 2 2
2 2
2 2 2
4 4
2
4 4
4
1 16 Đặt 4sin ; 4 cos
2 2
2
2 sin
2
2
2 sin
2
1 16 16sin cos 8 cos cos 8 cos 4 cos2
2
x dx A B
A x dx x t t dx tdt
x t t
x t t
A t tdt t tdt tdt t dt
4
4
4 2
2 2
2 2
1 1
4 sin2t 4
2 4
1 16 2 16 2
3
4 12 12
8
2
3
t
x x
B dx
Vậy S A B đvdt
Tính tích phân :
3
2
3
cot sin sin sin
gx x xdx
A
x
3 3
2
2
3
2
2
2
3
1
0 3
3 3
1 0
3
sin sin
cot cot 1 cot
sin
sin sin
1
cot cot . cot 3
sin sin
0
3
8 81 24
x x
gx gx g x
x
A dx dx
x x
x t
gx g xdx Đặt t gx dt dx
x x
x t
t A t t dt t dt
61 Tính tích phân :
2
1 ln
1
e
e
x
I dx
x
2
2
1 1
1
1 1
1 ln
1
1 1 1
1 ln
1
1 1 ln ln 1
1
1
1
ln ln ln ln
1
1 1
e e
e e
e e e e
e
e e e
e
e
dx
u x du
x dx
Đặt dv dx
v
x x x
dx
I x A
x x x
x x
dx
A dx dx x x
x x
x x x x
x e e e V
x e
e
0
ậy I
62 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường :
2 4 3 vaø 3
y x x y x (Đại học khối A – 2002)
2
2
2
hoành độ giao điểm đường : 3
3
3
4 3
0 5
4 3 0( )
pt x x x
x x
x x
x x x x x
x x x
x x x x x VN
x 0 5
2 4 3 3
x x x 0 – 0
5 5
2
0 0
5
0
2
0
3 3
55
2
4 Giải pt ta :
S x x x dx x dx x x dx
x x I I
I x x dx x x x x
x 0 1 3 5
2 4 3
x x + 0 – 0 +
1
2 2
0
1
3 3
2 2
0
coù : 4
4 20 28
2 3
3 3 3 3
55 28 109 ñvdt
2
Ta I x x dx x x dx x x dx
x x x x x x x x x
S
63 Cho hình phẳng D giới hạn đường :
; 2 ; 0
y x y x y Tính thể tích khối trịn xoay
tạo thành quay hình D xung quanh trục Oy.
2
2
1 2
2
2
0
1
4
0 Miền D giới hạn
2
1 nhaän
Pt tung độ giao điểm : y 2
2 loại
2
x 0;1 , 4
4
Oy
Oy
y x y x y
y x x y
y y y y
y
V y y dy y y dy
y y neân V y y y dy
y y
3
2
0
1 32
4
3 5 15
y y ñvtt
64 Cho hình phẳng H giới hạn đường : y = xlnx , y = , x = e Tính thể tích khối trịn xoay
tạo thành quay hình H quanh trục Ox (Đại học khối B – 2007)
2 2 2
1
1
2
2
1
2 1
Pt hoành độ giao điểm đường :
0 ( )
ln
ln
ln ln
2 ln
ln ln ln
3
3
e e
Ox
e e x loại
x x
x x
Vaäy V x x dx x xdx I
x
du dx
u x x x e
Đặt I x x xdx
x dv x dx v x dx
3 2 3 I
2
2
3 3 3
2
1
1
3
3
' ' ln
' '
3
1
ln
3 3 9 9
5
2 2.
3 27
e e e
Ox
dx du
u x x
Đặt
dv x dx v x dx x
x e x e e e
I x x dx
e
e e
V ñvtt