2.. Chøng minh BE. Chøng minh tam gi¸c ADI lµ tam gi¸c c©n. Chøng minh tø gi¸c ADPI lµ tø gi¸c néi tiÕp.. Kẻ dây MN vuông góc với AB tại I. Nối AC cắt MN tại E. a) Chứng minh tứ giác [r]
(1)I-Các kiến thức cần nhớ
2
( , 0)
( 0; 0)
1
0; ( ) ; ( )
A B A B A B
A A
A B
B B
A B A B
A
A B
B B
A A A A A A
A xxác định A 0
-Điều kiện phân thức xác định mẫu khác
- Khử mẫu biểu thức lấy trục thức mẫu - Bảy đẳng thức đáng nhớ
- Quy tắc rút gọn đổi dấu phân thức,quy tắc dấu ngoặc - Các phép toán cộng , trừ, nhân, ch ia phân thức
II-Mét sè ý giải toán biểu thức
1) Tìm ĐKXĐ ý : Trong 0 ,MÉu , biÓu thøc chia 0 2)Rót gän biĨu thøc
-§èi víi biểu thức thức th ờng tìm cách đ a thừa số dấu căn .Cụ thể :
+ Số phân tích thành tích số ph ơng
+Phần biến phân tích thành tích luỹ thừa với số mũ chẵn
-Nếu biểu thức chứa phép cộng trừ thức ta tìm cách biến đổi đồng dạng
- Nếu biểu thức tổng , hiệu phân thức mà mẫu chứa ta nên trục thức ở mẫu tr ớc,có thể khơng phải quy đồng mẫu nữa.
-Nếu biểu thức chứa phân thức ch a rút gọn ta nên rút gọn phân thức tr ớc -Nếu biểu thức có mẫu đối ta nên đổi dấu tr ớc khi
-Ngoài cần thực thứ tự phép tính ,chú ý dùng ngoặc ,dấu - , cỏch vit
căn
Chỳ ý : Một số toán nh : Chứng minh đẳng thức , chứng minh biểu thức không phụ
thc vµo biÕn… cịng quy vỊ Rót gän biĨu thức
3) Tính giá trị biểu thức
-Cần rút gọn biểu thức tr ớc.Nếu biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối nên thay giá trị biến vào rút gọn tiếp
-Nếu giá trị biến cịn phức tạp nghĩ đến việc rút gọn tr ớc thay vào tính 4) Tìm biến để biểu thức thoả mãn điều kiện đó
-CÇn rót gän biĨu thøc tr íc
-Sau tìm đ ợc giá trị biến phải đối chiếu với ĐKXĐ
(2)III-C¸c dạng tập
Dng 1: Bi rỳt gọn biểu thức chứa đơn giản
1) 2 2 149 76 457 384 2)
√2+1+
√3+√2+
√4+√3
3)
1 33 1
48 75 5 1
2 11 3
4) √9a −√16a+√49a Víi a ≥0
5)
a a b
ab
b b a
6) 5 9 80 7) 2√3+√48−√75−√243 8) √3+2√2−√6−4√2 9) √4+√8.√2+√2+√2 √2−√2+√2
8 2 2 2 2 10)
3 2 2 1 2
11) 11 11
Dạng : Bài tập rót gän biĨu thøc h÷u tØ
1 2
2x 2x x
A
x 3x x 4x 3 x 1
2.
x 2 4x
B
x 2 x 2 4 x
3.
1 x 1 2x x(1 x) C
3 x 3 x 9 x
4. 2
5 4 3x
D 3
2x 6x x 9
5. 2
3x 2 6 3x 2
E
x 2x 1 x 1 x 2x 1
6.
2
5 10 15
K
x 1 x (x 1) x 1
Dạng 3: Bài tập tổng hợp
Bài Cho biểu thøc A =
2
1 1
x x
x x x x x
:
√x −1 a Tìm điều kiện xác định
b Chøng minh A = x+x+1
c Tính giá trị A x = - 28 d Tìm max A
Bµi2 Cho biĨu thøc P = √n+3
√n −2−
√n−1
√n+2+
4√n −4
4−n ( víi n ; n ) a Rót gän P
b Tính giá trị P với n =
Bµi3 Cho biĨu thøc M =
2
( a b) ab a b b a
a b ab
( a , b > 0) a Rót gän biĨu thøc M
b Tìm a , b để M = √2006 Bài 4: Cho biểu thức : M = ( x
√x −1−√x):(
√x+1
√x − 1−√x+
(3)b) Tính giá trị M x = + √3 c) T×m x cho M =1/2
Bµi 5: Cho biĨu thøc : P = ( √x −4 x −2√x−
3 2−√x):(
√x+2
√x −
√x
√x −2) a) Rút gọn P
b) Tính giá trị P x = 3+√5 Bµi 6 Cho biĨu thøc : B = ( 2x+1
x√x −1+
1−√x):(1−
x −2 x+√x+1) a) Rót gän B
b) Tìm x để : 2.B <
c) Với giá trị x B x = 4/5 Bµi 7: Cho biĨu thøc : M = (x+2√x −7
x −9 +
√x −1 3−√x):(
1
√x+3−
√x −1) a) Rót gän M
b) Tìm số nguyên x để M số nguyên c) Tìm x cho : M >
Bµi 8: Cho biĨu thøc : A = : (x+2√x −2 x√x+1 −
√x −1 x −√x+1+
1
√x+1) a) Rót gän A
b) Tính giá trị A x = - 3 c) Tìm giá trị nhỏ nhÊt cđa A
Bµi 9: Cho biĨu thøc : P = (√x+1
√x −1−
√x −1
√x+1):(
√x+1−
√x 1−√x+
2 x −1) a) Rót gän P
b) TÝnh gi¸ trị P x = 743 c) Tìm x cho P = 1/2
Bµi 10: Cho biÓu thøc : A =
2 1
1
1
x x x x
x
x x x
x
a) Rút gọn A
b) Tính giá trị cđa A nÕu x = 2−√3 Bµi 11: Cho biÓu thøc : A = ( 2√x
x√x − x+√x −1−
√x −1):(1+
√x x+1) a) Rót gän A
b) Tìm x để A < Bài 12: Cho biểu thức : B = (
√x+1−
2
x√x+x+√x+1):(2−
(4)a) Rót gän B
b) Tính giá trị B x = + √5 c) Tìm x ngun để B ngun
Bµi 13: Cho biÓu thøc : A = (√x+2
√x+3− x+√x −6+
1 2−√x) a) Rót gän A
b) Tính giá trị A x = 2+√3 c) Tìm x ngun để A ngun
Bµi 14: Cho biÓu thøc : M = ( 2√x −9 x −5√x+6−
√x+3
√x −2−
2√x+1 3−√x ) a) Rót gän M
b) Tìm x để M <
c) Tìm số tự nhiên x để M nguyên Bài 15: Cho biểu thức : A = ( x+√x −4
x −2√x −3+
√x −1 3−√x):(1−
√x −3
√x −2) a) Rót gän A
b) Tìm x để A > Bài 16: Cho biểu thức : P = (2+√x
2−√x− 4x x −4−
2−√x 2+√x ):
x −3√x 2x −√x3 a) Rót gän P
b) Tìm số nguyên x để P chia hết cho Bài 17: Cho biểu thức : M = ( √x
√x −1+
3√x −1 1− x ):(√
x+1
√x −
4√x+1 x+√x ) a) Rót gän M
b) Tìm số tự nhiên x để M số nguyên c) Tìm x thoả mãn M <
Bµi 18: Cho biĨu thøc : P = ( 2x+1
√x3−1− √x x+√x+1):(
3
√x −1+
2√x+5 1− x ) a) Rót gän P
b) Tính giá trị P x = 3−√5 c) Tìm x nguyên để P số tự nhiên d) Tìm x để P < -1
Bµi 19: Cho biĨu thøc : B = ( √x
√x+2− 2−√x+
3√x −2 x −4 ):(
√x+3
√x −2+ 2√x 2√x − x) a) Rót gän B
(5)Bµi 20: Cho biĨu thøc : M = ( √x+1
√xy+1+
√xy+√x
√xy−1 −1):(
√x+1
√xy+1−
√xy+√x
√xy−1 +1) a) Rót gän M
b) Tính giá trị M x = - √3 vµ y = √3−1 1+√3 Bµi 21: Cho biÓu thøc : B = ( 2√x+3√y
√xy+2√x −3√y −6−
6−√xy
√xy+2√x+3√y+6) a) Rót gän B
b) Cho B= y+10
y −10(y ≠10) Chøng minh : x y=
9 10 Bài 22 : Cho biểu thức : P=( √x+2
x −5√x+6−
√x+3 2−√x+
√x+2
√x −3):(2−
√x
√x+1) a) Rót gän P
b) Tìm x để P≤−
5 B i 23à : Cho biÓu thøc : P= x
2
−√x x+√x+1−
2x+√x
√x +
2(x −1)
√x −1 a) Rót gän P
b) Tìm giá trị nhỏ P c) Tìm x để biểu thức Q=2√x
P nhËn gi¸ trị số nguyên Bi 24: Cho biu thc : P=(√x −1
√x+1 −
√x+1
√x −1)( 2√x−
√x )
2
a) Rút gọn P b) Tìm x để P
√x>2
Bài 25: Cho biểu thức : P=(
√x −2+
5√x −4 2√x − x):(
2+√x
√x −
√x
√x −2) a) Rót gän P
b)*Tìm m để có x thoả mãn : P=mx√x −2 mx+1 Bài26: Cho biểu thức A = (
√1− x+
√1+x)
2
x2−1
2 −√1− x
2
1 Tìm điều kiện x để biểu thức A có nghĩa Rút gọn biểu thức A
3 Giải ph ơng trình th eo x A = -
PhÇn thøhai
(6)A>kiÕnthøc cÇn nhí
-Hàm số bậc : y = ax + b đồng biến a > Khi Đths tạo với rrục hồnh ox góc nhọn Nghịch biến ng c li
-ĐK hai đ ờng thẳng song song lµ :
' ' a a b b
-ĐK hai đ ờng thẳng cắt : a a.Nếu có thêm b =b đt cắt điểm trục tung oy
-K hai ờng thẳng vng góc tích a.a’ = -1 -Đt hs y=ax( a 0) qua gốc toạ độ
-Đths y=ax+b (a 0,b 0)khơng qua gốc toạ độ.Nó tạo với ox,oy tam giác B> Bài tập
Bµi : Cho hµm sè y = (m + 5)x+ 2m – 10
a) Với giá trị m y hàm số bậc b) Với giá trị m hàm số đồng biến c) Tìm m để đồ thị hàm số điqua điểm A(2; 3)
d) Tìm m để đồ thị cắt trục tung điểm có tung độ e) Tìm m để đồ thị qua điểm 10 trụ c hồnh
f) Tìm m để đồ thị hàm số song song với đồ th ị hàm số y = 2x -1 g) Chứng minh đồ thị hàm số qua điểm cố định với mọ i m h) Tìm m để khoảng cách từ O tới đồ th ị hàm số lớn
Bài : Cho đờng thẳng y=2mx +3-m- x (d) Xác định m để: a) Đờng thẳng d qua gốc toạ độ
b) §êng thẳng d song song với đ ờng thẳng 2y- x =5 c) Đờng thẳng d tạo với Ox góc nhọn
d) Đờng thẳng d tạo với Ox gãc tï
e) Đờng thẳng d cắt Ox điểm có hồnh độ
f) Đờng thẳng d cắt đồ thị Hs y= 2x – mộ t điểm có hồnh độ g) Đờng thẳng d cắt đồ thị Hs y= -x +7 điểm có tung độ y =
h) §êng thẳng d qua giao điểm hai đ ờng thảng 2x -3y=-8 y= -x+1 Bài : Cho hµm sè y=( 2m-3).x+m-5
a) Vẽ đồ thị với m=6
b) Chứng minh họ đ ờng thẳng qua điểm cố định m th ay đổi c) Tìm m để đồ thị hàm số tạo với trục toạ độ tam giác vuông cân d) Tìm m để đồ thị hàm số tạo với trục hồnh mộ t góc 45o
e) Tìm m để đồ thị hàm số tạo với trục hoành mộ t góc 135o
f) Tìm m để đồ thị hàm số tạo với trục hồnh mộ t góc 30o , 60o
g) Tìm m để đồ thị hàm số cắt đ ờng thẳng y = 3x-4 điểm 0y h) Tìm m để đồ thị hàm số cắt đ ờng thẳng y = -x-3 điểm 0x
Bài4 (Đề thi vào lớp 10 tỉnh Hải D ơng năm 2000,2001) Cho hàm số y = (m -2)x + m + a)Tìm điều kiện m để hàm số luôn nghịch biến
b)Tìm điều kiện m để đồ th ị cắt trục hồnh điểm có hồnh độ
c)Tìm m để đồ thị hàm số y = -x + 2, y = 2x –1 y = (m - 2)x + m + đồng quy
(7)Bài (Đề thi vào lớp 10 tỉnh Hải D ơng năm 2004)
Trong h trc toạ độ Oxy, cho hàm số y = 2x + m (*) 1)Tìm m để đồ thị hàm số (*) qua điểm
a) A(-1 ; 3) ; b) B( √2 ; -5 √2 ) ; c) C(2 ; -1)
2) Xác định m để đồ thị hàm số (*) cắt đồ thị hàm số y = 3x – góc phần t thứ IV Bài :Cho (d1) y=4mx- ( m+5) ; (d2) y=( 3m2+1).x + m2-4
a) Tìm m để đồ thị (d1)đi qua M(2;3)
b) Cmkhi m thay đổi (d1)ln qua điểm A cố định, (d2) qua B cố định
c) TÝnh kho¶ng c¸ch AB
d)Tìm m để d1 song song với d2
e)Tìm m để d1 cắt d2 Tìm giao điểm m=2 Bài Cho hàm số y =f(x) =3x –
a)Tìm toạ độ giao điểm đths với hai trục toạ độ b) Tính f(2) ; f(-1/2); f( 7 24)
c) Các điểm sau có thuộc đths khơng? A(1;- 1) ;B(-1;1) ;C(2;10) ;D(-2;-10) d)Tìm m để đths qua điểm E(m;m2-4)
e)Tìm x để hàm số nhận giá tr ị : ; -3
g)Tính diện tích , chu vi tam giác mà đths tạo với hai trục toạ độ h)Tìm điểm thuộc đths có hồnh độ
k) Tìm điểm thuộc đths có tung độ -4
l) Tìm điểm thuộc đths có hồnh độ tung độ m) Tìm điểm thuộc đths cách hai trụ c toạ độ
PhÇn thø ba
A>kiếnthức cần nhớ
1)Các phơng pháp giải HPT
a) Phơng pháp : Thờng dùng giải HPT có phơng trình ẩn , có hệ số ẩn hệ chứa tham số
b) Phơng pháp cộng : Phải biến đổi tơng đơng HPT dạng sau xét hệ số ẩn phơng trình :- Nếu đối cộng Nếu trừ Nếu khỏc thỡ nhõn
Nếu kết phức tạp vòng
c) Phng phỏp t n ph : Dùng để “đa ” HPT phức tạp HPT bậc hai ẩn 2)Một số dạng toán quy giải HPT:
- Viết phơng trình đờng thẳng ( Xác định hàm số bậc nhất) - Ba điểm thẳng hàng
- Giao điểm hai đờng thẳng(Toạ độ giao điểm hai đờng thẳng nghiệm HPT) - Ba đờng thẳng đồng quy
- Xác định hệ số đa thức , phơng trình… 3)Giải phơng trỡnh bc nht n
B> Các dạng tËp
I-Dạng 1: Giải HPT không chứa tham số ( Chủ yếu dùng phơng pháp cộng đặt ẩn phụ ) Bài tập nhiều SGK,SBT tự
II-D¹ng : HƯ phơng trình chứa tham số
(8)1)Cho HPT : x my o
mx y m
a) Gi¶i HPT víi m = -2
b) Giải biện luận HPT theo tham số m
c) Tìm m để HPT có nghiệm (x ; y) thảo mãn 4x – 5y = d) Tìm m để HPT có nghiệm âm
e) Tìm m để HPT có nghiệm ngun
f) Tìm đẳng thức liên hệ x,y độc lập với m
Chú ý: Việc giải biện luận HPT theo tham số quan trọng Nó giúp ta tìm đợc điều kiện tham số đề HPt
cã nghiÖm ,VN,VSN
2) Cho hệ ph ơng trình: mx + y = 3
9x + my = 2m + 3 a Giải ph ơng trình với m = 2, m = -1, m = √5
b Tìm m để ph ơng trình có nghiệm, vơ nghiệm, vơ số nghiệm c Tìm m để 3x + 2y = , 2x + y >
d Tìm m để ph ơng trình có nghiệm d ơng e Tìm m để ph ơng trình có nghiệm ngun âm
3)Cho hệ ph ơng trình
(m1)x+y=m
x+(m−1)y=2
¿{
¿
; có nghiệm (x ; y) a) Tìm đẳng thức liên hệ x y không phụ thuộc vào m; b) Tìm giá trị m thoả mãn 2x2 - 7y = 1
c) Tìm giá trị m để biểu thức A = 2x −3y
x+y nhận giá trị nguyên
4)Cho hệ ph ơng tr×nh
¿
mx− y=1 x+my=2
¿{
a.Giải hệ ph ơng trình theo tham số m
b.Gọi nghiệm hệ ph ơng trình (x,y) Tìm giá trị m để x +y = c.Tìm đẳng thức liên hệ x y khơng phụ thuộc vào m
5)Cho hƯ ph ¬ng tr×nh :
( 1)
a x y
a x y a
a) Gi¶i hƯ víi a
b) Xác định giá trị a để hệ có nghiệm thoả mãn x + y > 6)Cho hệ ph ơng trình
2
3 5
mx y
x my
(9)7)Cho hÖ ph ơng trình :
2x+3y=3+a x+2y=a
¿{
¿
a)T×m a biÕt y=1
b)Tìm a để : x2+y2 =17
8)Cho hƯ ph ¬ng tr×nh
( 1)
2
m x my m
x y m
a) Giải hệ ph ơng trình với m =
b) Tìm m để hệ có nghiệm (x;y) mà S = x2+y2 đạt giá trị nhỏ nhất Dạng Một số toán quy HPT
1) Viết ph ơng trình đ ờng thẳng ®i qua ®iĨm A(2;5) vµ B(-5;7) 2) Cho hµm sè y = (3m- 1)x + 4n -2
Tìm m,n biết đồ th ị hàm số qua điểm (5 ;- 3) cắt trục hoành điểm có hồng độ -2 3)Tìm giao điểm hai đ ờng thẳng 4x-7y=19 6x + 5y =
4) Cho đ ờng thẳng: d1: y = mx + n
d2: (m - 1)x + 2ny =
a Xác định m,n biết d1 cắt d2 điểm (2;- 4)
b Xác định ph ơng trình đ ờng thẳng d1 biết d1 qua điểm (-1; 3) cắt ox
điểm có hồnh độ -
c Xác định ph ơng trình đ ờng thẳng d2 biết d2 qua điểm oy song
song với đ ờng thẳng y - 3x =
5) Giả sử đ ờng thẳng (d) có ph ¬ng tr×nh y = ax+ b
Xác định a, b để (d) qua hai điểm A (1;3) B (-3; 1) 6) Tìm giá trị m để đ ờng thẳng sau cắt điểm:
y = - 4x ; y = 3x+5
4 ; y = (m – 1)x + 2m 7)Trong hệ trục toạ độ Oxy, cho hàm số y = 2x + m (*)
a)Tìm m để đồ thị hàm số (*) qua điểm
A(- ; 3) ; B( √2 ; -5 √2 ) ; C(2 ; -1)
b) Xác định m để đồ thị hàm số (*) cắt đồ thị hàm số y = 3x – góc phần t thứ IV 8)Cho hàm số: y = (2m-3)x +n-4 (d) (
3 m
)
1 Tìm giá tr ị m n để đ ờng thẳng (d) : a) Đi qua A(1;2) ; B(3;4)
b) Cắt oytại điểm có tung độ y3 1 cắt ox điểm có hồnh độ x 1 2 Cho n = 0, tìm m để đ ờng thẳng (d ) cắt đ ờng thẳng (d/) có phơng trình x-y+2 = 0
điểm M (x;y) cho biểu thức P = y2-2x2 đạt giá tr ị lớn nhất.
9)Cho hµm sè y = (m -2)x + m +
a)Tìm điều kiện m để hàm số ln ln nghịch biến
b)Tìm điều kiện m để đồ th ị cắt trục hoành điểm có hồnh độ
c)Tìm giá trị m để đồ thị hàm số y = -x + 2, y = 2x –1 y = (m - 2)x + m + đồng quy
10) Chứng minh điểm A(1 ;3) , B( -2;-3) ,C( 3;7) thẳng hàng 11)Tìm m để ba điểm A(4;5) ,B( 2m ; m2) ,C(-3 ;-2) thẳng hàng.
12)Chøng minh đ ờng thẳng : 3x + 7y = 13 , 2x -5y = -1 vµ y = 4x- cắt điểm
Phần thứ t
(10)A.Phân loại ph ơng pháp gi¶i
Loại : Phơng trình bậc ẩn phơng trình đa đợc dạng ax = c Phơng pháp giải: Biến đổi tơng đơng phơng trình dạng: ax = c
-NÕu a kh¸c phơng trình có nghiệm: x = c/a
-Nếu a = phơng trình vô nghiệm c khác , vô số nghiệm c = 0 -NÕu a cha râ ta ph¶i xÐt tÊt c¶ trờng hợp (biện luận)
Chỳ ý : Trong trình biến đổi : -Nếu có ngoặc thờng phá ngoặc –Nếu có mẫu thờng quy đồng khử mẫu -Nếu mẫu lớn quy đồng tử – Chuyển vế hạngtử phải đổi dấu -Chỉ đợc cựng nhõn ,chia 1s khỏc
Loại 2; phơng tr×nh bËc 2:
Phơng pháp giải : Biến đổi tơng đơng Pt dạng ax2 + bx + c =
- D¹ng khuyÕt ax2 + bx = đa dạng phơng trình tích x(ax + b) = 0
- D¹ng khuyÕt ax2 + c = đa dạng x2 = m
- NÕu a+ b + c = th× x = ; x = c/a
- NÕu a – b + c = th× x =-1 ; x= -c/a
- Nếu b = 2b mà b đơn giản b dùng CTNTG’
- Còn lại dùng CTN
Loi : phơng trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối Dạng 1: PT Chứa dấu giá trị tuyệt đối
Phơng pháp giải : 1)Xét dấu biểu thức giá trị tuyệt đối chứa ẩn 2)Nếu ngồi khơng chứa ẩn đa PT dạng /f(x)/ = m
Chú ý : -Đối chiếu ĐK – dạng đặc biệt /f(x)/ = f(x) /f(x)/ =- f(x) Dạng 2: PT chứa dấu giá trị tuyệt đối
Phơng pháp giải: 1) Xét dấu biểu thức giá trị tuyệt đối 2) Lập bảng xét dấu xét khoảng giá trị ẩn
Chú ý : -Đối chiếu ĐK – Dạng đặc biệt /f(x)/ = /g(x)/ f(x;y)/ + /g(x;y)/ =0
Dạng 3: PT chứa dấu giá trị tuyệt đối trở lên : lập bảng xét dấu …hoặc đa HPT
Lo¹i : phơng trình chứa ẩn dấu (PT vô tỉ)
Giải PT vô tỉ trớc hết phải tìm ĐKXĐ
Dạng 1: = g (x) (1) Đây dạng đơn giản ph ơng trình vơ tỉ. Sơ đồ cách giải:
= g (x) g(x) 0 (2).
f(x) = [g(x)]2 (3).
Giải phơng trình (3) đối chiếu với điều kiện (2) chọn nghiệm thích hợp suy ra nghim ca phng trỡnh (1).
Dạng 2: Đa vÒ PT chøa dÊu // :
-Nếu viết đợc dứa dạng bình phơng đa phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
Dạng3 : Đặt ẩn phụ : -Nếu bên biến đổi đợc giống đặt ẩn phụ ( ĐK ẩn phụ không âm) Dạng : Dùng phơng pháp bình phơng vế :
Chú ý : Khi bình phơng vế phải lập thức đạt điều kiện vế không âm -Dạng A B A B m thờng bình phơng 2vế
Lo¹i : Phơng trình chứa ẩn mẫu
(11)Phơng pháp giải : 1) Thông thờng - Tìm ĐKXĐ -Quy đồng ,khử mẫu ,giải PT ,đối chiếu ,kết luận 2) Đặt ẩn phụ : -Nếu PT chứa phân thức giống nghịch đảo
3) Nhóm hợp lý ( việc QĐ khó khăn có phân thức trở lên)
Loại : Phơng trình bậc cao -Đa Pt tích -Đặt ẩn phơ
B.Bµi tËp
a 3x+5 = x-1 h (2x+3) 2-(4x-7)(x+5)=0 b
5 3
4
x x
i 7(x+4)-3(6-x)=0 c (2x - 3)2 - (x + 2)(4x - 1) = 0 k
√x+√2x −1 + √x −√2x −1 = d x2 - (
√3 + 1)x = - √3 l (x2 + x + 1) (x2 + x + 12) = 12
e x −x+22+ 2− x=
2x −22
x2−4 m (
x2−1
3x+2)
2
−5x2−5
3x+2 = 6 g x + √7x+2 = n x2- 3x + √x2−3x+1 = 1 p x2 (x2)2 4 q 4x2 – = 0
r x+3 x −2−
x+1 x+2=
x2−4x+24
x2−4 t √4x
2
−4x+1 = 20085 u) =
Phần thứ năm
A.Các dạng tập ph ơng pháp giải
Dạng 1: Điều kiện PHB2 có nghiệm ,vô nghiệm Có thể xảy tr ờng hợp
-Muốn chøng minh PTB2 lu«n cã nghiƯm , cã nghiƯm pb , vô nghiệm ta chứng minh Luôn không âm ,luôn d ơng , âm
-Mun tỡm iu kiện để PTB2 có nghiệm ,vơ nghiệm ta giải bất ph ơng trình … Dạng ; Tính giá trị biểu thức nghiệm
Phơng pháp giải : - Kiểm tra điều kiện có nghiệm Tính tổng ,tích nghiệm theo VIéT -Biến đổi biểu thức dạng tồn Tổng ,Tích nghiệm
Chú ý –Nếu gặp Hiệu ,Căn tính bình ph ơng suy -Nếu biểu thức không đối xứng th ì dùng
2
1
ax bx c ;
2
2
ax bx c -NÕu mò lớn nhẩm nghiệm
Ngoi khó cần khéo léo vận dụng linh hoạt Dạng : Viết hệ thức liên hệ nghiệm độc lập với tham số
B
íc : TÝnh tỉng vµ tÝch nghiƯm theo ViÐt B
íc : Rót tham sè tõ tỉng thay vào tích ng ợc lại
Chỳ ý : Nếu bậc tham số tổng tích trở lên ta phải khử bậc cao tr ớc bẳng cách nh phơng pháp cộng gii HPT
Dạng ; Tìm tham số biết hệ thức liên hệ nghiệm
(12)B
íc1 : Tìm ĐK có nghiệm Tính tổng tÝch nghiÖm theo ViÐt B
ớc : Biến đổi t ơng đơng hệ thức dạng tồn Tổng ,Tích nghiệm .Nếu khơng đ ợc giải hệ ( Hệ thức có bậc )
Chú ý : Phải đối chiếu với ĐK có nghiệm Nếu hệ thức chứa Hiệu ,căn bình ph -ơng ,chứa dấu giả trị tuyệt đối có th ể thành phần
Dạng : Lập ph ơng tr×nh bËc biÕt nghiƯm Khi lËp PT B2 cần biết nghiệm ẩn
- Muốn lËp PTB2 cã nghiƯm x x1, 2 ta lµm nh sau :
TÝnh x1x2 S x x, P Vậy PTB2 cần lập là : x2- Sx+ P =0 Dạng6 :Tìm số biết tổng tích :Dủng ph ơng pháp đ a PTB2 Dạng7 :Xét dấu nghiệm PT
Xét phơng trình bậc hai: ax2+bx+c=0 (a 0¿
Cã Δ=b2−4 ac P = x1x2=c
a S = x1+x2=−b
a
Trong nhiều tr ờng hợp ta cần so sánh nghiệm ph ơng trình bậc hai với số cho tr -ớc xét dấu nghiệm ph ơng trình bậc hai mà khơng cần giải ph ơng trình đó, ta ng dng nh lớ Viột
1 Phơng trình cã nghiƯm d ¬ng ⇔
¿
Δ≥0 P
¿S ¿
{{0|
¿
2 Phơng trình có nghiệm âm
0 P
¿0 ¿no
¿S ¿{{0|
¿
3 Phơng trình có nghiệm trái dấu: P
0
¿ ¿
Nhiều tốn địi hỏi tìm điều kiện để ph ơng trình bậc có nghiệm khơng âm Thờng có cách giải:
C¸ch : Cã P ¿¿ ¿
(13)Hc:
¿
P
¿Δ≥0
S
¿
{0|{
¿
Thì hai nghiệm d ơng
C¸ch 2:
Trớc hết phải có Δ≥0 ph ơng trình có nghiệm khơng âm : S
0 ( Trờng hợp tồn nghiệm d ơng)
Hoặc S = ( Tr ờng hợp tồn nghiệm không âm) Hoặc
0, P ≤0
¿S ¿
( Trờng hợp có nghiệm không âm nghiệm âm) Tuỳ theo đầu mà chọn cách xét biểu thøc P hay S
D¹ng 8: NghiƯm chung cđa ph ơng trình Dạng 9:Hai ph ơng trình t ơng đ ơng
Hc sinh hay nhầm lẫn vấn đề sau: Khi tìm hai ph ơng trình vơ nghiệm th ờng vội kết luận hai ph ơng trình khơng t ơng đơng với nhau:
VD3: Tìm m để hai ph ơng trình x2 – mx + 2m -3 = (1); x2 – (m2 + m - 4)x + 1=
0 (2) tơng đơng H
ớng dẫn : Hai phơng trình tr ên t ơng đơng hai tr ờng hợp
* Tr ờng hợp : PT(1) PT(2) v« nghiƯm ⇔ Δ1<0
Δ2<0
¿{
⇔ m2−8m+12<0 (m2+m−4)2−4<0
¿{
⇔ 2<m<6 3<m<−2
1<m<2
{ {
(không xảy
ra)
* Tr ờng hợp : PT(1) PT(2) có nghiệm x1; x2 theo định lý Vi-ét ta có :
¿
x1+x2=m=m2+m+4 x1.x2=2m−3=1
⇔
¿m2−4=0
2m−4=0 ⇔m=2
¿{
¿
Thử lại với m = hai ph ơng trình t ơng đơng có nghiệm x = Vậy m =
Với loại toán ta cần l u ý học sinh: Khi hai ph ơng trình vơ nghiệm hai ph ơng trình hai ph ơng trình t ơng đơng Cho nên với số toán ta phải xét hai tr ờng hợp, tr ờng hợp hai ph ơng trình vơ nghiệm tr ờng hợp hai ph ơng trình có mộ t tập hợp nghiệm
VD4 : Tìm m, n để ph ơng trình x2 – (m + n)x -3 = (1)
và phơng trình x2 – 2x + 3m – n – = (2) t ơng đơng. H
íng dÉn :
PT(1) có =(m+n)2+12>0m, n nên PT(1) có hai nghiƯm ph©n biƯt x1; x2
(14)¿
x1+x2=m+n=2
x1.x2=−3=3m−n −5
⇔
¿m+n=2
3m− n=2 ⇔
¿m=1
n=1
¿{
¿
VËy m =1 vµ n =1 giá trị cần tìm
Vi bi toỏn ta đ ợc ph ơng trình ln có hai nghiệm phân biệt, nên hai phơng trình t ơng đơng ph ơng trình cịn lại phải có hai nghiệm giống hai nghiệm phơng trình tr ên áp dụng định lý Vi- ét tổng tích hai nghiệm ta tìm đ ợc m, n
B bµi tËp
Bài :Cho phơng trình : x2 – (m + 5)x – m + = 0, với m tham số Tìm m để hai
nghiƯm x1 , x2 thoả mÃn : 2x1 + 3x2 = 13 Bài : Cho phơng trình : x2 - 2mx + m = 7
a Giải ph ơng trình với m = 7, m = - 4, m = √3
b Cm phơng trình có nghiệm phân biƯt víi m
c Viết hệ thức liên hệ x1, x2 độc lập với m Tính x1 theo x2
d TÝnh theo m: x1
3 +
1 x2
3 , 3x ❑1
2 - 2mx
1 + 2x ❑22 + m
e Tính m để ph ơng trình có nghiệm trái dấu, nghiệm d ơng
g Với điều kiện m |x1 x2| = ; 2x1 + x2 = ;
(x1 + 3x2)(x2 + 3x1) = ; x ❑22 - (2m + 1)x2 - x1 + m >
h Tìm giá trị lớn A = x, 1(x2 – x1) - x ❑22
Lập phơng trình bậc có nghiệm số đối nghiệm ph ơng trình Bài : Cho ph ơng trình : x2-(m+1)x + m = 0
a) giải phơng trình với m =
a) Tìm m để tổng bình ph ơng nghiệm 17
b) Lập hệ thức độc lập giữ a nghiệm không phụ thuộc vào m
c) Giải phơng trình tr ờng hợp tổng bình ph ơng nghiệm đạt giá trị nhỏ Bài : Cho ph ơng trình : x2- 2mx + 2m – = 0
a) Giải phơng trình với m=
a) Tỡm m để tổng bình ph ơng nghiệm 10
b) lập hệ thức độc lập nghiệm không phụ thuộc vào m c) Tìm m cho : 2(x12+x22)- 8x1x2 = 65
Bµi : Cho ph ơng trình : x2-(2k+1)x +k2 +2 = 0
a) Tìm k để ph ơng trình có nghiệm gấp đơi nghiệm a) Tìm k để ph ơng trình có x12+x22 nhỏ
Bµi6 : Cho ph ơng trình x2+mx+m-1=0
a) Giải phơng trình với m=3
(15)c) TÝnh tỉng vµ tÝch nghiệm ph ơng trình Bài : Cho ph ơng trình : x2+( 2m+1 ).x+m2 +m-2=0
a) Giải phơng trình với m=
b) Chứng minh ph ơng trình có nghiệm với m
c) Gọi x1,x2 nghiệm ph ơng trình Tính theo m: ( x1+1) ( x2+1)+ 7x1x2 Bµi : Cho x2-4x-( m2+2m)=0
a) Giải phơng trình với m=5
b) Chứng minh ph ơng trình có nghiệm với mäi m c) TÝnh x2
1+x22+8( x1x2+1) th eo m
d) Tìm m để x2
1+x22=5( x1+x2) Bài : Cho ph ơng trình 2x2+6x+m=0
a)Tìm m để ph ơng trình có nghiệm phân biệt
b) Xác định m để ph ơng trình có nghiệm thoả mãn x1
x2
+x2
x1
≥5
Bµi 10 : Cho x2-2( m-1)x +m-3=0
a) Chứng minh ph ơng trình ln có nghiệm với m b) Tìm hệ thức liên hệ nghiệm không phụ thuộc m c) Tìm m để x1-3x2=5
Bµi 11 :Cho phơng trình mx2+(2m- 1)x+(m-2)=0 2. Giải phơng trình với m =
3. Tìm m để ph ơng trình cho có hai nghiệm phân biệt x1,x2 thoả mãn x12+x22=2006 4. Tìm hệ thức liên hệ nghiệm khơng phụ thuộc vào m
Bµi 12 : Cho ph ơng trình (m-1)x2 + 2mx + m = 0.
a) Giải phơng trình m =
a) Tìm m để ph ơng trình có nghiệm phân biệt
b) Tìm m để ph ơng trình có nghiệm x = 16, tìm nghiệm lại Bài 13 : Gọi x1 ; x2 hai nghiệm ph ơng trình x2 – 2(m- 1)x – =0
( m tham số ) Tìm m để |x1| + |x2| = Bài 14 : Cho ph ơng trình:
x2 – 3x + = cã nghiÖm x
1, x2 TÝnh:
a x ❑12 + x ❑22 d x ❑15 + x ❑52 h
x1+1
x2
+ x2+1
x1
b x ❑13 + x ❑32 e |x1− x2| i) x1 √x2 + x2 √x1
c x ❑14 + x ❑24 g x1 √x1 + x2 √x2 k x1(2x1- 3) + x
❑2
Bµi 15 Cho phơng trình:
x2 - 2x + m - = 0
(16)b1 (x1 + 3x2)( x2 + 3x1) = b2 3x1 + 5x2 =
b3 x ❑12 + x ❑22 - x1x2 =
* Biết ph ơng trình có nghiệm x1 = Tìm m x2 Bài 16 Cho phơng trình x2 (m+4)x + 3m+3 = ( m lµ tham sè)
a Xác định m để ph ơng trình có nghiệm Tìm nghiệm cịn lại b Xác định m để ph ơng trình có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn x13 + x23 Bài 17 Cho phơng trình bậc x.
(m + 1)x2 - 2(m - 1)x + m - = (3)
a Chứng minh ph ơng trình (3) luôn có hai nghiệm phân biệt với giá trị củ m khác -
b- Tìm giá trị m để ph ơng trình có hai nghiệm dấu
c Tìm giá trị m để ph ơng trình có hai nghiệm dấu hai nghiệm có nghiệm gấp ụi nghim
Bài 18 Cho phơng trình : (m2 + 1)x2 + 2(m2 + 1)x – m = 0, với m tham số Tìm giá trị lớn
nhất giá trị nhỏ : A = x12 +x22 víi x1 , x2 nghiƯm cđa ph ơng trình
Xét hai ph ơng trình: x2+x+k+1 = (1) vµ x2- (k+2)x+2k+4 = (2)
a) Giải phơng trình (1) với k = - 1; k = -
b) Tìm k để ph ơng trình (2) có nghiệm ? c) Với giá trị k hai ph ơng trình tr ên t ơng đơng ?
Bµi 19 Xét hai ph ơng trình : x2+x+k+1 = (1) x2- (k+2)x+2k+4 = (2)
a)Giải ph ơng tr×nh (1) víi k = - 1; k = -
b)Tìm k để ph ơng trình (2) có nghiệm ? c)Với giá tr ị k hai ph ơng trình t ơng đơng ? Bài 21 : Cho hai ph ơng trình : x2 – (2m + n)x -3m = (1)
x2 – (m + 3n)x - = (2) Tìm m, n để 2pt t ơng đơng Bài 22: Cho hai ph ơng trình : x2 +(m + 1)x +1 = (3)
x2 + x + m+ = (4)
a) Tìm m để ph ơng trình (3) có tổng bình ph ơng hai nghiệm đạt giá trị nhỏ b) Tìm m hai ph ơng trình t ơng đơng
Bài 23: Tìm m để hai ph ơng trình : x2 + 2x - m = (5)
2x2 + m x + = (6) t ơng đơng Bài 24 : Cho ph ơng trình x2 - 2(m + 1)x + m - = 0
a) Chứng minh ph ơng trình ln có hai nghiệm phân biệt với mọ i m b) Tìm m để ph ơng trình có hai nghiệm trái dấu
c) Chøng minh r»ng biÓu thøc H = x1(1 - x2) + x2(1 - x1) không phụ thuộc vào m
d) Tìm giá trị biểu thức x1 - x2 ; x12 - x22 ; x13 - x23 Bµi 25 :
a) Định m để ph ơng trình mx2 - (12 - 5m)x - 4(1 + m) = có tổng bình ph ơng nghiệm 13.
b) Định m để pt mx2 + (2m - 1)x + (m - 2) = có tổng bình ph ơng nghiệm 2005. Bài 26 : Cho ph ơng trình x2 - 2(m + 1)x + m2 - 4m + = 0.
a) Định m để ph ơng trình có nghiệm
b) Định m để ph ơng trình có hai nghiệm phân biệt d ng
Phần thứ sáu
Lo
i I: Toán chuyển động
Bài 1: Hai xe ô tô khởi hành lúc từ Hà Nội vào Thanh Hoá .Xe thứ nhanh xe thứ hai 10km nên đến Thanh Hoá sớm xe thứ hai 30 phút.Tính vận tốc xe,biết quãng đ ờng Hà Nội –Thanh Hoá dài 150 km
(17)Bài 2: Một xe tải từ A đến B cách 120 km Nửa sau xe máy chạy từ A để đến B chạy chậm xe tải km/h nên đến B chậm 70 phút so với xe tải.Tính vận tốc xe ?
Bài 3: Hai bến sông AB cách 80km Hai ca nô khởi hành lúc chạy từ A đến B , ca nô thứ chạy chậm canô thứ hai 4km/h Trên đờng ca nô thứ hai dừng lại nghỉ 1giờ chạy tiếp đến B Tính vận tốc ca nơ , biết ca nô thứ đến B trớc ca nô thứ hai 20 phút
Bài 4: Một ca nô xi dịng 90km , ngợc dịng 36 km Biết thời gian xi dịng nhiều ngợc dịng vận tốc xi dịng lớn ngợc dịng 6km/h Tính thời gian ca nơ hết quóng ng AB
Bài 5: Một tàu thuỷ chạy khúc sông dài 54km Cả lẫn mÊt giê 15 TÝnh vËn tèc cđa dßng n-ớc , biết vận tốc riêng tàu nn-ớc yên lặng 21km/h
Bài 6: Hai ca nô khởi hành từ hai bến A B cách 60km ngợc chiều Sau 1giờ 20 phút gặp Tính vận tốc riêng ca nô , biết vận tốc ca nô xuôi lớn vận tốc ca nô ng ợc 9km/h vận tốc dòng nớc 3km/h
Bi 7:Mt ca nơ xi dịng từ A đến B cách 24km, lúc có bè trơi theo dòng n ớc từ A hớng B Sau ca nơ đến B quay trở lại gặp bè trơi đợc 8km Tính vận tốc riêng ca nô, biết vận tốc bè vận tốc dịng nớc 4km/h
Bài 8: Một tô dự định từ A đến B cách 120 km thời gian định.Khi đ ợc nửa quãng đờng xe bị chắn xe hoả phút Vì để đến B hạn xe phải tăng tốc 2km/h quãng đ ờng lại Tính vận tốc dự định
Bài 9:Một xe tải xe khởi hành từ C đến D Xe tải với vận tốc 30km/h, xe với vận tốc 45km/h Sau đợc 3/4 quãng đờng CD, xe tăng vận tốc thêm 5km/h qng đờng cịn lại đến D sớm xe tải 2giờ 20 phút.Tính quãng đờng CD
Bài 10: Một ngời xe đạp dự định hết quãng đờng AB dài 20km thời gian định Nhng thực tế , sau đợc với vận tốc dự định, ngời giảm vận tốc 2km/h quãng đờng lại Vì đến B chậm dự kiến 15 phút.Tính vận tốc dự định thời gian lăn bánh đờng
Bài 11:Một ô tô dự định hết quãng đờng AB dài 150 km thời gian định Sau đợc , ngời lái xe định tăng tốc thêm 2km/h qng đờng cịn lại Do đến B sớm dự kiến 30 phút Tính vận tốc tơ đoạn đờng đầu ?
Bài 12: Một ngời dự định xe đạp từ A đến B cách 36 km thời gian định.Sau đợc nửa quãng đờng , ngời dừng lại nghỉ 30 phút Vì quãng đờng lại tăng tốc thêm 2km/h song đến đến B chậm dự kiến 12phút Tính vận tốc ngời xe đạp đoạn đờng cuối đoạn AB
Bài 13: Một ô tô từ tỉnh A đến tỉnh B cách 120 km Cùng lúc có xe máy chạy từ B trở A gặp xe ô tô tỉnh C cách hai điểm khởi hành 75km Tính vận tốc xe ,biết vận tốc hai xe không đổi xe máy khởi hành trớc tơ 48 phút gặp quãng đờng
Bài 14: Một ô tô từ địa điểm A đến điểm B với vận tốc xác định Nếu vận tốc tăng 20km/h so với dự định thời gian đến B giảm 1giờ, nh ng vận tốc giảm 10km/h thời gian đến B tăng thêm Tính vận tốc thời gian dự định tô
Bài 15 : Một bè nứa trôi tự (với vận tốc vận tốc dòng nước) ca nô dời bến A để xuôi dịng sơng Ca nơ xi dịng 144 km quay trở bến A ngay, lẫn hết 21 Trên đường ca nô trở bến A, cịn cách bến A 36 km gặp bè nứa nói Tìm vận tốc riêng ca nơ vận tốc dịng nước
Bài 16 : Hai ôtô khởi hành lúc quãng đường từ A đến B dài 120 km Mỗi ôtô thứ chạy nhanh ôtô thứ hai 10 km nên đến B trước ôtô thứ hai 2/5 Tính vận tốc ôtô ?
Bài 17 : Một ca nô xuôi dịng từ bến sơng A đến bến sơng B cách 24 km ; lúc đó, từ A B bè nứa trơi với vận tốc dịng nước km/h Khi đến B ca nô quay lại gặp bè nứa địa điểm C cách A km Tính vận tốc thực ca ca nụ
Loại II: Toán Năng Suất
Bài 18: Theo dự kiến , công nhân dự định làm 70 sản phẩm thời gian định Nhng thực tế , áp dụng khoa học kỹ thuật nên tăng suất sản phẩm Do khơng hồn thành tr ớc thời hạn 40 phút mà vợt mức 10 sản phẩm Tính suất dự kiến
Bài 19: Một công nhân dự định làm 33 sản phẩm thời gian định Trớc làm việc xí nghiệp giao thêm cho 29 sản phẩm Do ngời làm tăng sản phẩm song hoàn thành chậm dự kiến 30 phút Tính suất dự kiến
(18)lớn 5m3 so với ban đầu. Do , so với qui định bể chứa đợc bơm đầy trớc 48 phút Tính thể tích
bĨ chøa
Bài 21: Một xí nghiệp giao cho công nhân làm 120 sản phẩm thời gian qui định Sau làm đợc , ngời cải tiến kỹ thuật nên tăng đợc 4sản phẩm/ so với dự kiến Vì thời gian qui định khơng hồn thành kế hoạch mà vợt mức 16 sản phẩm Tính suất làm lúc đầu
Bài 22: Một công nhân dự định làm 36 sản phẩm thời gian định.Sau đợc nửa số lợng đợc giao , ngời dừng lại nghỉ 30 phút Vì làm thêm sản phẩm với nửa số sản phẩm lại song hồn thành cơng việc chậm dự kiến 12phút Tính suất dự kiến
Bài 23 : Một công nhân đ ợc giao làm số sản phẩm số thời gian định Khi làm nốt 30 sản phẩm cuối ng ời thấy giữ ngun suất ch ậm 30 phút Nếu tăng suất thêm sản phẩm xong sớm so với dự định 30 phút Tính suất ng ời thợ lúc đầu
Bài 23 : Một phân x ởng đặt kế hoạch sản xuất 200 sản phẩn Trong ngày đầu phảI làm việc khác nên ngày phân x ởng sản xuất mức đề sản phẩm Trong ngày lại, x ởng sản xuất v ợt mức 10 sản phẩm ngày nên hoàn thành kế hoạch sớm ngày Hỏi theo kế hoạch, ngày phân x ởng cần sản xuất sản phảm ?
Lo¹i III: Lo¹i toán làm chung ,làm riêng
Bi 25:Hai vũi nc chảy vào bể chứa khơng có nớc sau 30 phút đầy bể Nếu mở vòi thứ chảy 15 phút khoá lại, mở tiếp vịi thứ hai chảy 20 phút đợc 20% bể Hỏi để vịi chảy sau bể đầy
Bài 26:Hai vòi nớc chảy vào bể chứa khơng có nớc sau 40 phút đầy bể Tính xem để vịi chảy vịi cần bao lâu, biết để chảy đầy bể vịi thứ cần nhiều vòi thứ hai Bài 27:Hai công nhân làm công việc sau ngày xong Biết làm xong việc ngời thứ làm nhanh ngời thứ hai ngày Tính thời gian ngời làm xong cơng việc
Bài 28 :Để hồn thành công việc, hai tổ phải làm chung Sau làm chung tổ hai điều làm việc khác, tổ hoàn thành cơng việc cịn lại 10 Hỏi tổ làm riêng sau làm xong cụng vic ú ?
Bài 28
Hai công nhân làm chung th ì 12 hoàn thành xong mộ t công việc Họ làm chung víi giê th× ng êi thø chuyển làm việc khác, ng ời thứ hai làm nốt công việc 10 Hỏi ng ời thứ hai làm mộ t hoàn thành song công việc Bài 30
Hai tổ sản xuất làm chung công việc th ì hoàn th µnh giê Hái nÕu lµm riªng mét th ì tổ phải hết thời gian hoàn thành công việc, biết làm riêng, tổ I hoàn thành sớm tổ II giê
Bµi31
Hai vịi n ớc chảy vào bể th ì sau 4/5 bể đầy Mỗi l ợng nớc vòi I chảy đợc 1/2 l ợng nớc chảy đ ợc vòi II .Hỏi vòi chảy riêng đầy bể ?
Bµi32
Hai ngời thợ làm cơng việc 16 xong .Nếu ng ời thứ làm ngời thứ hai làm 6giờ họ làm đ ợc 25% công việc .Hỏi ng ời làm cơng việc hồn thành cơng việc
Bài33 Hai đội xây dựng làm chung công việc dự định làm xong trong12 ngày Họ làm với đ ợc ngày đội đ ợc điều động làm việc khác , đội 2tiếp tục làm Do cải tiến kĩ thuật ,năng suất tăng gấp đôI nên đội làm xong phần cơng việc cịn lại ngày r ỡi Hỏi mỗ i đội làm sau ngày làm xong cơng việc nói (với suất bình th ng)?
Bài34
Nếu hai vòi n ớc chảy vào bể sau 1giờ 20 phút bể đầy Nếu mở vòi thứ chảy 10phút vòi thứ hai chảy 12phút đầy 2/15 bể.Hỏi vòi chảy phảI đầy bể ?
Loại IV: Loại toán tìm số
(19)Bài 37
Cho số có hai chữ số Tìm số , biết tổnh hai chữ số nhỏ số đo lần , thêm 25 vào tích hai chữ số đ ợc số viết theo thứ tự ng ợc lại với số cho Loại V: Loại tốn có nội dung hình học
Bài 38:Một khu vờn hình chữ nhật có chu vi 280m Ngời ta làm lối xung quanh vờn thuộc đất vờn rộng 2m , diện tích đất cịn lại để trồng trọt 4256m2 Tính kích thớc vờn
Bài 39:Trên miếng đất hình thang cân chiều cao 35m, hai đáy lần lợt 30m, 50m ngời ta làm hai đoạn đ-ờng có chiều rộng Các tim đđ-ờng lần lợt đđ-ờng trung bình hình thang đoạn thẳng nối hai trung điểm hai đáy.Tính chiều rộng đoạn đờng biết diện tích làm đờng chiếm 0,25 diện tích hình thang Bài 40 : Một khu vườn hỡnh chữ nhật cú chiều dài 7/4 chiều rộng cú diện tớch 1792m2 Tớnh chu vi khu vườn ấy.
Bµi41
Một tam giác có chiều cao 2/5 cạnh đáy Nếu chiều cao giảm đI 2dm cạnh đáy tăng thêm 3dm diện tích giảm đI 14dm Tính chiều cao cạnh đáy tam giác
Bµi 42
Một ruộng hình chữ nhật có chu vi 250m Tính diện tích ruộng biết chiều dài giảm lần chiều rộng tăng 2lần th ì chu vi ruộng không thay đổi
Bài 43 Một hình chữ nhật có đ ờng chéo 13m chiều dài lớn chiều rộng 7m, Tính diện tích hình chữ nhật
Loại VI: Loại toán phần trăm
Bi 44 : Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm Do áp dụng kĩ thuật nên tổ I vượt mức 18% tổ II vượt mức 21% Vì thời gian quy định họ hoàn thành vượt mức 120 sản phẩm Hỏi số sản phẩm giao tổ theo kế hoạch ?
Bài 45 Trong tháng ,hai tổ công nhân sản xuất đ ợc 800 chi tiết máy .Sang tháng ,tổ I sản xuất vợt mức 15% ,tổ II sản xuất đ ợc 120%,do cuối tháng hai tổ sản xuất đ ợc 945 chi tiết máy Hỏi tháng đầu , tổ công nhân sản xuất đ ợc ch i tit mỏy ?
Các Loại toán khác
Bi 47: Trong buổi liên hoan, lớp học sinh mời 15 khách tới dự Vì lớp có 40 học sinh nên phải kê thêm dãy ghế dãy ghế phải xếp thêm ngời đủ chỗ ngồi.Hỏi ban đầu lớp học có dãy ghế, biết dãy có số ngời ngồi nh không ngời
Bài 48:Trong trang sách thêm dòng dịng bớt 1chữ số chữ trang tăng thêm chữ Nhng bớt dòng dịng thêm chữ số chữ trang khơng thay đổi Tính số chữ , số dịng trang sách lúc đầu
Bài 49: Theo dự kiến, đội xe đự định điều động số lợng xe để chuyên chở 420 hàng Nhng thực tế đội điêù động thêm xe Do xe chuyên chở ban đầu so với dự kiến Tính số l ợng xe mà đội điều động chuyên chở
Bài 50 Một phịng họp có 360 ghế ngồi đ ợc xếp thành dãy số ghế dãy Nếu số dãy tăng thêm 1và số ghế mỗ i dãy tăng thêm phịng có 400 ghế Hỏi tronh phịng họp có dãy ghế dãy có ba o nhiêu ghế ?
Bài 51 Trong buổi liên hoan, lớp mời 23 khách đến dự Vì lớp có 40 học sinh nên phải kê thêm ghế mỗ i ghế phải ngồi thêm ng ời đủ chỗ ngồi Biết dãy ghế có số ng ời ngồi nh Hỏi ban đầu lớp có bao nhiờu gh ?
Phần thứ bảy
*Honh giao điểm Parabol(P) y=ax2 đờng thẳng(d) y = mx + n nghiệm ph ơng
tr×nh : ax2= mx + n (*)
(20)+ d cắt P điểm phân biệt Phơng trình (*) có nghiệm phân biệt
+ d tiếp xúc với P ⇔ Ph ơng trình (*) có nghiệm kép Nghiệm kép honh tip im
+ d không cắ t P Phơng trình (*) vô nghiệm
Bµi1- Cho hµm sè y =
2 x2 a Vẽ đồ thị hàm số b Tính giá trị hàm số x = √2 + √3 c Các điểm A(- 1; -
2 ), B(4;8) , C( √2 ;1) có thuộc đồ th ị hàm số không? d M, N điểm thuộc đồ th ị hàm số có hồnh độ l 2, -
Viết phơng trình đ êng th¼ng MN
e Tìm giao điểm đ ờng thẳng y = x + với đồ thị hàm số
g Viết ph ơng trình đ ờng thẳng qua điểm (3; 4) tiếp xúc với đồ th ị hàm số
h Chứng minh đ ờng thẳng y = mx + m + cắt đồ thị hàm số với m Gọi giao điểm A, B Tìm m để:
x ❑A2 + x ❑B2 - xAxB = - ; xA + xB =
k Tìm điểm thuộc đồ thị hàm số có tung độ gấp đơi hồnh độ Bài2 : Cho hàm số f(x) = x2 - x +2
a Tính giá trị hàm số x =
2 vµ x = -3 b Tìm giá tr ị x f(x) = vµ f(x) = 14
Bài 3 : (1,5 điểm) Vẽ parabol y = - x2/2 (P) : đường thẳng (D) : y = 3x hệ trục tọa độ Tìm tọa độ giao điểm (P) (D) phép tính
Bài :Cho y=(√m −5−2).x2 a)Vẽ đồ thị hàm số với m=6
b)Tìm m để hàm số đồng biến với x<0
c)Tìm m để đồ thị hàm số qua A( -2:12)
Bài Cho ( P): y=-x2 Đờng thẳng y =m cắt ( P) A; B Tìm m để tam giác AOB tính
diƯn tÝch tam gi¸c ABO
Bµi : Cho Parabol ( P) : y=1 4x
2
đờng thẳng(d) : y=−1 2x+2 a) Vẽ ( P) ( d) hệ trục toạ độ
b) Gäi A, B giao điểm ( P) ( d) Tìm M cung AB ( P) cho SM A B
lín nhÊt
c) T×m N trục hoành cho NA+NB nhỏ
Bi : Cho Parabol ( P): y=3x2 hệ trục toạ độ Oxy Tìm m để đ ờng thẳng y=x+m ct ( P)
tại hai điểm phân biệt A, B cho OA vuông góc với OB Bài : Cho Parabol y = −1
2x
2
điểm M(1, -2)
1 Chứng minh rằng: Ph ơng trình đ ờng thẳng qua M có hệ số góc k cắt Parabol điểm phân biệt A, B với k
b Gọi xA, xB lần lợt hoành độ A B, xác định k để xA2+x
B2−2xAxB(xA+xB) đạt giá trị lớn Tìm giá trị
(21)Bµi 10 : Cho hµm sè y = ax2 (1)
a) Xác định a biết đồ thị (1) qua điểm A ;2 2 b) Vẽ đồ thị hàm só (1) vi a va tỡm c
c) Tìm giá trị lớn hàm số x [ - ; ] ; x [ ; ] d) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số x [ - ; ] Bµi 11 : Cho hai hµm sè
2
1
y x vµ y 2x 2
a) Vẽ đồ thị hai hàm số mặt phẳng tọ a độ Oxy b) Tìm tọa độ giao điểm hai đồ thị
Bài 12** : Tam giác AOB nội tiếp mộ t parabol y = ax2 đỉnh O gốc tọa độ đáy AB
song song với trục Ox, A B nằm parab ol Hãy tính tung độ điểm B Bài 13 : Cho đờng thẳng (d): y = k(x - 1) parabol (P): y =
2
1 x
2 Với giá trị k (d): a) TiÕp xóc víi (P)
b) Cắt (P) điểm có tung độ hồnh độ d ơng Tìm tọa độ giao điểm (P) v (d)
KHI CHứNG MINH HìNH CầN KHAI THáC GIả THIếT
Và PHÂN TíCH ĐI LÊN Từ KếT LUậN A.Khai thác giả thiết
-Khi chng minh Hình cần khai thác điều có đ ợc từ đầu ,những điều chứng minh đợc.Đặc biệt cần ý điều sau:
I.NÕu cã điểm thuộc đ ờng tròn nghĩ tới 1, C¸c b¸n kÝnh b»ng
2, Tø gi¸c néi tiếp
3,Các góc với đ ờng tròn.Đặc biệt có đ ờng kính có góc vuông II Nếu có Tứ giác nội tiếp nghĩ tới
1,Các góc đối bù
2, cặp góc nội tiếp nhau(nếu nối đ ờng chéo) 3, Góc góc ngồi đỉnh đối( Phải chứng minh) 4, Điểm thuộc đ ờng tròn
5, Bài tốn “Phơng tích” ( Nếu có giao điểm đ ờng chéo cạnh đối)
III NÕu cã TiÕp tun th× nghÜ tíi
1,Các tính chất Vng góc , cách , phân giác 2, Góc tạo tia tiếp tuyến dây cung
IV Quan hệ Góc - Cung – Dây – Khoảng cách từ tâ m đến dây
V Nếu có tam giác cân, tam giác , hình bình hành , hình chữ nhật , hình thoi, hình vng…thì nghĩ ti
Tính chất hình
VI.Nếu có góc vuông , tam giác vuông nghĩ tíi
định lý Pi ta go hệ thứ c l ợng tam giác vuông VII.Nếu có đ ờng thẳng song song nghĩ ti
Định lý Ta Lét cặp góc So le , Đồng vị
VIII.Nếu có đ ờng phân giác , đ ờng trung tuyÕn , ® êng cao , trung trùc tam giác nghĩ tới tính chất chúng
B.phân tích lên từ kết luận (Dựa vào phép chứng minh)
I - C h ø n g m i n h c ¸ c y Õ u t è b » n g n h a u
1 Chøng minh hai gãc b»ng
C1 Thờng CM chúng hai góc t ơng ứng hai ta m giác đồng dạng C2/ Nếu hai góc ta m giác thờng CM chúng hai góc đáy tam giác cân. C3/ Nếu hai góc đối tứ giá c ta thờng CM tứ giác hình bình hành. C4/ Nếu là hai góc kề mộ t tứ giác thờng CM tứ giác hình thang cân.
C6/ Nếu hai góc So le trong đồng vị thờng chứng minh hai đờng thẳng song song. C7/ Nếu hai góc đ ờng trịn ta th ờng chuyển chứng minh cung , dây t ơng ứng bn
(22)C8/ Ngồi ta sử dụng: hai góc có số đo (tính cụ thể), tính chất tia phân giác, hai góc đối đỉnh, cặp góc có cạnh t ơng ứng vng góc hay song song,
*Chú ý: Nếu không cm đ ợc trùc tiÕp Ta nghÜ tí i viƯc sư dơng gãc thø lµm trung gian (CM chóng cïng b»ng ,cïng bï,cïng phơ víi 1gãc .Hay gãc cïng b»ng tỉng ,hiƯu cđa gãc b»ng nhau.)
2 Chøng minh hai đoạn thẳng
C1/ Thông th ờng gắn vào hai cạnh t ơng ứng hai ta m giác nhau. C2/ CM hai cạnh bên tam giác cân hình thang cân.
C3/ CM hai cạnh đối hình bình hành (HCN, Hình thoi, Hình vng)
C4/Sửdụngđịnh nghĩa:Trung điểm đ ờng trung tuyến, đ ờng trung trực,bán kính , tiếp tuyến C5/ Sử dụng định lí thuận đảo đờng trung bình tam giác, hình thang.
C6/ Nếu đờng chéo tứ giác th ờng CM tứ giác Hình thang cân, HCN, HV C7/ Nếu dây cung đ ờng trịn th ờng chuyển dây , góc , kc đến tâm t ơng ứng *Chú ý : Ngoài ta chứng minh cách:
+ Biến đổi đại số đoạn thẳng + Chứng minh hai đoạn th ẳng có số đo + Sử dụng tính chất bắc cầu hay CM phản chứng
I I - C h ø n g mi n h ® ê n g t h ¼ n g s o n g s o n g đ n g t h ẳ n g v u « n g gã c
1 Chứng minh hai đờng thẳng song song
C1/CM song song vng góc với đờng thẳng thứ ba C2/ CM cặp góc SLT đv bằng nhau , cặp TCP bù nhau.
C3/ Nếu cạnh tứ giác th ờng CM tứ giác Hình bình hành
C4/ Nu có đoạn thẳng tỉ lệ: ta sử dụng định lí đảo định lí Talét.
C5/ Nếu có nhiều trung điểm thờng dùng đờng trung bình tam giác , hình thang
2 Chøng minh hai ® ờng thẳng vuông góc
C1/ Cm chúng tia phân giá c 2 góc kề bù hay hai đ ờng thẳng cắt tạo góc 900.
C2/ Sử dụng tính chất đồng qui ba đờng cao tam giác Sử dụng tính chất đờng cao ứng với cạnh đáy tam giác cân đờng trung trực
C3/ Sử dụng tính chất góc nội tiếp chắn nửa đ ờng trịn Đờng kính đờng trịn qua trung điểm dây cung hay tính chất tiếp tuyến
C4/ Nếu có độ dài: Sử dụng định lí đảo định lí Pytago.
C5/ Nếu 2 đờng chéo tứ giác th ờng chứng minh tứ giác hình thoi
C6/ Chứng minh đ ờng thẳng vng góc với đờng thẳng song song với đờng song song với đờng thẳng vng góc với đờng
I I I - c h ø n g m i n h b a ® i ể m t h ẳ n g h ng , b a đ n g t h ẳ n g ® å n g qu i
1 Chứng minh ba điểm thẳng hàng: ( C ùn g t h u é c m é t ® ê ng t h ẳn g )
Cần chứng minh ba điểm: A, B, C thẳng hàng :
C1/ AB + BC = AC (hc AC + CB = AB, BA + AC = BC) C2/ Chøng minh gãc ABC = 1800.
C3/ CM: AB, AC cùng song song với đ ờng thẳng ( Sử dụng tiên đề Ơclit).Hoặc cùng vng góc với đ ờng thẳng
C4/ Dïng tÝnh chÊt : Trung ®iĨm ® ờng chéo đầu đ ờng chéo kia hình bình hành thẳng hàng Đờng kính qua tâ m.
2 Chứng minh ba đ ờng thẳng đồng qui
C1/ Chứng minh đ ờng thẳng thứ ba ®i qua giao ®iĨm cđa hai ® êng th¼ng
C2/ Sử dụng tính chất đ ờng thẳng đồng qui tam giác: đ ờng cao đồng qui, đờng trung tuyến đồng qui, đ ờng phân giác đồng qui, đ ờng trung trực đồng qui
C3/ Dùng tính chất : Các đ ờng kính đồng quy tâm Các đờng chéo hình bình hành có chung đ ờng chéo ng quy
C4/ Đa chứng minh ba điểm thẳng hàng
I V - c h ứ n g m in h c c h ì n h c b ả n
1 Chứng minh tam giác cân
C1/ CM tam giác có hai gãc b»ng nhau. C2/ CM tam gi¸c cã hai c¹nh b»ng nhau.
C3/ CM tam giác có một đờng qua đỉnh đồng thời đ ờng khác tam giác
2 Chứng minh tam giác u
C1/ CM tam giác có ba cạnh b»ng nhau.
C2/ CM tam gi¸c cã hai gãc b»ng 600.hc gãc b»ng nhau.
C3/ CM tam giác cân có góc 600.hoặc cạnh bên cnh ỏy.
3 Chứng minh tam giác vuông
C1/ Sử dụng định lí đảo định lí Pytago (nếu có độ dài) C2/ CM tam giác có góc 900.
C3/ CM tam giác có đờng trung tuyến 1/2 cạnh t ơng ứng
(23)Để chứng minh đ ờng thẳng là: Đ ờng cao, đ ờng phân giác, đ ờng trung tuyến, đ ờng trung trực, đ ờng trung bình, mét tam gi¸c Ta chøng minh:
C1/ Sử dụng tính chất đồng qui đ ờng tam giác C2/ Sử dụng tính chất đ ờng ấy:
Ví dụ : + Điểm cách hai cạnh góc thuộc tia phân giác góc
+ Điểm cách hai đầu mú t đoạn thẳng th ì thuộc đ ờng trung trực đoạn thẳng
I v - C h ø n g m in h t ø g i ¸ c n éi t i Õ p đ ờn g t r ò n
C1/ CM bốn đỉnh cách một điểm (gọi tâm đ ờng tròn) C2/ CM tứ giác có tổng hai góc đối 1800.
C3/ Từ hai đỉnh liên tiếp nhìn cạnh tạo hai đỉnh cịn lại d ới hai góc nhau. C4/ CM tứ giác có tổng góc đối nhau
C5/Cm góc góc ngồi đỉnh đối.
C6/CM tứ giác hình chữ nhật hình thang cân
C7/ Chứng minh 2 điểm thuộc đ ờng tròn đ ờng kính đoạn thẳng nối điểm lại
Chỳ ý : Nu CM điểm trở lên thuộc đ ờng tròn Ta chọn ba điểm cố định chon điểm thứ 4, sau CM điểm thuộ c đ ờng trịn Sau CM t ơng tự với điểm lại
V I - c h ø n g m i n h h Ö t h ø c , t Ø l Ö t h ø c
C1/ Gắn vào tam giác đồng dạng
C2/ Nếu có đ ờng thẳng song song th ờng dùng định lý Ta Lét
C3/NÕu cã gãc vu«ng thêng dïng hƯ thøc l ợng tam giác vuông C4/ Nếu có phân giác th ờng dùng tính chất đ ờng phân giác
Chú ý: Nếu không chứng minh đ ợc trực tiếp dùng tính chất bắc cầu
V I I - C h ø n g m i n h m é t ® ê n g t h ¼ n g l µ t i Õ p t u y Õ n c đ a ® ê n g t r ß n
C1/ Chứng minh đ ờng thẳng vng góc với bán kính đầu thuộc đ ờng tròn C2/ Chứng minh khoảng cách từ tâm đến đ ờng thẳng bán kính
VIII-các tr ờng hợ p đồng dạng tam giác.
A)B»ng : c c c ; c g.c ; g.c.g B)Đồng dạng : g g ; c.c c ; c.g.c
IX-Khi giải tập tính toán cần ghi nhớ
1.Công thức tính chu vi diện tích hình
2.Din tớch tam giỏc tam giác cân có góc 1200
3.Hệ thức l ợng tam giác vuông ( đl Pi-ta go) tỉ số l ợng giác góc nhọn
X-Khi giải toán quỹ tÝch (T h ê n g c h o d í i d ¹ n g K h i m é t ®i Ĩ m c h u y Ĩ n đ ộ n g t hì đ i ể m ? d i “
c h u y ể n t r ê n đ ng n µ o h o Ỉ c c h ø n g m i n h ® i Ĩ m ? d i c h u y Ó n t r ª n m é t ® ê n g t r ß n c u n g t r ß n h a y đ ng t h ẳ n g c ố đ ị n h )
cần xét xem điểm có tính chất sau: Nhìn đoạn thẳng cố định góc vng đ ờng trịn đ ờng kính Cách điểm cố định khoảng không đổi đ ờng trịn tâm Nhìn đoạn thẳng cố định góc khơng đổi cung chứa góc
4 Cách đờng thẳng cố định khoảng không đổi đ ờng thẳng song song ( vng góc)
5 Cách điểm cố định đ ờng trung trực đoạn thẳng Cách cạnh mộ t góc cố định tia phận giác cuả góc Chú ý : Quỹ tích ( cịn gọi tập hợp) phải gắn với yếu tố cố định
XI-Khi giải toán giá trị lớn ,nhỏ hình học cần ghi nhớ: 1.Trong tam giác vuông cạnh huyền lớn cạnh góc vuông
2.Trong hình th ang vuông cạnh xiên lớn cạnh vuông
C.Một số dạng hình bản
I,Từ mộ t điểm nằm nghoài (O) kẻ tiếp tuyến , cát tuyến II,Đa giác nội tiếp đ ờng tròn (Đ ờng tròn ngoại tiếp) III, Hai đ ờng tròn c¾t
IV,Hai đờng trịn tiếp xúc V, Nửa ng trũn
VI,Đờng tròn nội tiếp Đa giác VII,Không có đ ờng tròn
BàI tập
Dng : Từ điểm ngồi đ ờng trịn kẻ tiếp tt, cát tuyến đến đ ờng tròn Bài : Từ điểm M nằm (O) kẻ hai cát tuyến MAB,MCD
a) Chøng minh MA.MB = MC.MD
b) AD cắt BC N Chứng minh NA.ND = NB.NC
c) KỴ tiÕp tun MP Chøng minh MP2 = MA.MB = MC.MD Bµi ( Đề năm 02-03)
(24)a Gọi I trung điểm AB Chứng minh điểm P, Q, O, I nằm đ ờng tròn b PQ cắt AB E Chứng minh MP 2 = ME MI
c Qua A kẻ đ ờng thẳng song song với MP cắt PQ, PB lần l ợt H,K Chứng minh Tứ giác AHIQ nội tiếp vµ KB = HI
Bài ( Đề năm 06-07)Cho điểm A bên đ ờng tròn tâm O Kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với đờng tròn (B, C tiếp điểm) M điểm cung nhỏ BC (M B, M C ) Gọi D, E, F tơng ứng hình chiếu vng góc M đ ờng thẳng AB, AC, BC; H giao điểm MB DF; K giao điểm MC EF
Chøng minh : a) MECF ,MHFK tứ giác nội tiếp b) MF2 = MD.ME
b) MF vu«ng gãc víi HK
c) DF lµ tiÕp tun cđa đ ờng tròn đ ờng kính MC
Bài 4: Cho tam giác ABC cân A Đ ờng tròn (O) tiếp xúc với hai cạnh AB,AC lần l ợt B,C.Qua C kẻ đ ờng thẳng song song với AB cắt (O) D .AD cắt (O) t¹i E .Chøng minh: a) AE AD = OA2 – OD2
b)CE cắt AB G Chứng minh : GA2 = GE.GC
c) Chøng minh : GA= GB
Bài : Từ điểm M nằm ngoại (O) kẻ hai tiếp tuyến MA,MB cát tuyến MCD .Tia phân giác góc CAD cắt CD I Chøng minh a) MI = MA b) BI tia phân giác góc CBD
Bài : Từ điểm M nằm ngoại (O) kẻ cát tuyến MCD Tiếp tuyến với (O) C,D cắt A.Gọi H hình chiếu A OM Chứng minh:
a) điểm C,D,O,A,H thuộc đ ờng tròn b) MH.MO = MC.MD
c) Kẻ tiếp tuyến MB Chứng minh MH.MO = MB2 Từ H cố định.
d)* A,H,B thẳng hàng
e)* AH cắt (O) E Cm ME lµ tiÕp tun cđa (O) Bµi : cho (O) đ ờng thẳng d cắt (O)
Tại A,B M thuộ c đ ờng thẳng d nằm (O) Kẻ tiếp tuyến MC,MD Chøng minh:
a)Đờng tròn ngoại tiếp tam giác MCD qua điểm cố định b)Xác định vị trí M để tam giác MCD vng
Bài : Cho đường trịn (O) có bán kính R điểm S ngồi đường trịn (O) Từ S vẽ hai tiếp tuyến SA, SB với đường tròn (O) (A, B hai tiếp điểm) Vẽ đường thẳng a qua S cắt đường tròn (O) hai điểm M, N với M nằm hai điểm S N (đường thẳng a không qua tâm O)
a) Chứng minh SO vng góc với AB
b) Gọi H giao điểm SO AB, gọi I trung điểm MN Hai đường thẳng OI AB cắt điểm E Chứng minh IHSE tứ giác nội tiếp
c) Chứng minh OI.OE = R2 d) Cho biết SO = 2R MN = Tính diện tích tam giác ESM theo R
Dang2 : §a giác nội tiếp đ ờng tròn
Bi 9: ( 06-07) Tứ giác ABCD nội tiếp đ ờng tròn đ ờng kính AD Hai đ ờng chéo AC, BD cắt E Hình chiếu vng góc E AD F Đ ờng thẳng CF cắt đ ờng tròn điểm thứ hai M Giao điểm BD CF N Chứng minh
a) CEFD tứ giác nội tiếp
b) Tia FA tia phân giác góc BFM c) BE DN = EN BD
(25)a)Chứng minh OI vng góc với cạnh QR b)Chứng minh đẳng thức QI2 = PI.DI
c)Gäi H hình chiếu vuông góc P cạnh QR Cm Q ^P H = R ^P O d)Chøng minh gãc H ^P O = |Q - R|
Bµi11: Cho tam giác ABC vuông A nội tiếp đ ờng tròn tâm O, kẻ đ ờng kính AD a) Chứng minh tứ giác ABDC hình chữ nhật
b) Gäi M vµ N thø tù lµ hình chiếu vuông góc B, C AD; AH đ ờng cao tam giác (H cạnh BC) Chứng minh HM vuông góc với cạnh AC
c) Xác định tâm đ ờng tròn ngoại tiếp tam giỏc MHN
d) Gọi bán kính đt nội tiếp, ngoại tiếp tam giác vuông ABC r vµ R Cm: r + R
√AB AC
Bài 12 : Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O) Đ ờng cao AH Kẻ đ ờng kÝnh AD
Chøng minh : a) AB.AC = AH.AD b) DiƯn tÝch tam gi¸c ABC = ( AB.AC.BC):(4.OA)
Bài 13 Cho tam giác ABC cân A nội tiếp (O) .Tia phân giác góc B , C cắt E cắt (O) lần l ît t¹i F,D Chøng minh :
a) AD // BF
b) Tứ giác ADEF hình thoi
c) Qua E kẻ đ ờng thẳng song song với AC cắt AB G
Cm tứ giác BEGD nội tiếp DF cắt AC H Cm H thuộc đt ngoại tiếp tam giác CEF
Bài 14 : Cho ABC nhọn, nội tiếp đ ờng tròn tâm O Từ B, C kẻ tiếp tuyến với đ ờng tròn, chúng cắt D Từ D kẻ cá t t uyế n s ong s ong với AB cắt đ ờng tròn E, F cắt AC I
a) Chứng minh góc DOC b»ng gãc BAC
b) Chøng minh ®iĨm O, I, D, C nằm đ ờng tròn c) Chứng minh IE=IF
d) Chứng minh ID phân gi¸c gãc BIC
e) Cho B,C cố định,kh A chuyển động tr ên cung BC lớn th ì I di chuyển đ ờng ? Bài15 :Cho tam giác ABC nội tiếp đ ờng tròn(O) D,E điểm giữ a cung AB, AC DE cắt AB AC H,K
a) Chøng minh rằng: tam giácAHK cân
b) BE cắt CD I, Chøng minh r»ng AI vu«ng gãc víi DE c) Chøng minh r»ng:CEKI néi tiÕp
d) Chøng minh r»ng IK//AB
e) tam giác ABC có thêm điều kiện ? AI//EC
Bài 16 : Cho tứ giác ABCD nội tiếp đ ờng tròn P điểm cung AB( phần không chứa C,D) Hai PC, PD lần l ợt cắt dây AB E F Các dây AD, PC kéo dài cắt I Các dây BC,PD kéo dài cắt K Chứng minhrằng:
a) Gãc CID b»ng gãc CKD b) Tø gi¸c CDFE nội tiếp đ ợc c) PC.PE = PD.PF
d) IKCD néi tiÕp e) IK//AB
f) PA lµ tiÕp tuyến đ ờng tròn ngoại tiếp tam giác AFD
Bài 17 : Cho hình chữ nhật ABCD nội tiếp đ ờng tròn (O) Tiếp tuyến C với đ ờng tròn cắt AB,AD kéo dài lần l ợt E F
a) Chứng minh AB.AE=AD.AF hai ph ơng pháp
b) Gọi M trung điểm EF Chứng minh AM vuông góc với BD
c) Tiếp tuyến B D với đ ờng tròn (O) cắt EF lần l ợt I, J Chứng minh I J lần l ợt trung điểm CE CF
d) Tính diện tích phần hình tròn giới hạn dây AD vµ cung nhá AD, biÕt AB=6 vµ AD=6
√3
(26)a) Chøng minh DB vuông góc với EF( gọi chân đ ờng vuông góc lµ G) b) Chøng minh BCGF , ABGF néi tiÕp
c) Chøng minh :BA.BE=BC.BF=BD.BG
d) Chứng minh B tâm đ ờng tròn nội tiếp tam giác ACG e) Cho góc ABC 1350, tính độ dài AC theo BD.
Bài 19 :Cho tam giácABC cân A( góc A<900) nội tiếp đ ờng tròn (O) Một điểm M tuỳ ý trên
cung nhỏ AC Tia Bx vuông góc với AM cắt tia CM D Chøng minh r»ng: a) Gãc AMD b»ng gãc ABC
b) Tam giác BMD cân
c) Khi M di động cung nhỏ AC D chạy cung trịn cố định độ lớn góc BDC khơng đổi
D¹ng : Hai đ ờng tròn cắt nhau
Bài20( Đề 03-04)Cho hai đ ờng tròn (O1) (O2) cắt A B, tiếp tuyến chung với hai
đờng trịn (O1) (O2) phía nửa mặt phẳng bờ O1O2 chứa điểm B, có tiếp điểm thứ tự l E
và F Qua A kẻ cát tuyến song song với EF cắt đ ờng tròn O1, O2 thứ tự C, D Đ ờng th¼ng
CE đờng thẳng DF cắt I
1 Chøng minh IA vu«ng gãc víi CD
2 Chứng minh tứ giác IEBF tứ giác nội tiếp Chứng minh đ ờng thẳng AB qua trung điểm EF
Bài 21: Cho hai đ ờng tròn (O1) (O2) cắt A B.Qua B vẽ cát tuyến chung CBD
vuông gãc víi AB , vÏ c¸t Õn chung EBF bÊt kú ( C,E thuéc (O1) ,E thuéc cung BC )
a)Chứng minh A, O1, C thẳng hàng AD qua O2
b) Gọi K giao điểm đ ờng thẳng CE FD .Chứng minh tứ giác AEKF nội tiếp K thuộc đ ờng tròn ngoại tiếp tam giác ACD
c) Khi E di chuyển cung BC K di chuyển đ ờng
Bài 22 : Cho tam giác ABC vuông A Đ ờng tròn tâm I đ ờng kính AB cắt đ ờng tròn tâm K đ -ờng kính AC điểm thứ hai H Qua A kẻ cát tuyến EF ( E thuộc (I) .Gọi M trung điểm EF ,N trung điểm BC Chứng minh
a) B,H,C thẳng hàng
b) điểm A , I , H , N , K, M cïng thuéc ® êng tròn c) AB tiếp tuyến (K) AC lµ tiÕp tun cđa (I)
d) Khi EF quay quanh A th ì M di chuyển đ ờng trịn cố định e) Hỏi vị trí cát tuyến EF có độ dài lớn
Dạng : Hai đ ờng tròn tiếp xóc ngoµi
Bµi 23: Cho (O;R) vµ (I;r) tiÕp xúc A Gọi BC tiếp tuyến chung BC OI cắt (O) D cắt (I) E Chứng minh
a) A , B , C cïng thuéc mé t ® ờng
b) B thuộc đ ờng tròn nội tiếp tam giác CDE
c) OI tiếp tuyến đ ờng tròn đ ờng kính BC ng ợc l¹i
d) Cho R=6 cm ; r =2 cm tính diện tích hình giớ i hạn đoạn thẳng BC với cung AB, AC
Bi 24: Cho (O) (P) tiếp xúc A Đ ờng thẳng OP cắt (O) , (P) lần l ợt B,C Tiếp tuyến chung MN ( M thuộc (O) ) cắt tiếp tuyến chung A I .Chứng minh: a) I thuộc đ ờng tròn đờng kính OP
b) MN2 = OA.PN
c) BM vuông góc với CN
d) AM cắt (O) E AN cắt (P) F chứng minh : BC2 = ME2 + NF2
Bài 25 : Hai đờng tròn (O; R) (O’;r) tiếp xúc điểm A (R > r) Gọi BC tiếp tuyến chung
(B (O) ; C (O) M trung điểm OO, H hình chiÕu cđa M trªn BC a) TÝnh gãc OHO’
b) Chứng minh OH tia phân giác góc AOB
c) Chứng minh AH tiếp tuyến chung hai đ ờng tròn (O) (O’) d) Cho R = cm ; r = cm Tính độ dài BC ; AM
Bµi 26 : Cho hai đ ờng tròn (O1),(O2) tiếp xúc A Một đ ờng thẳng (d) tiếp xúc với
(O1),(O2) lần lợt B, C
a) Chứng minh tam giác ABC vuông
(27)d) Các tia BA, CA lần l ợt cắt (O1),(O2) giao điểm thứ hai D, E Chứng minh diƯn
tÝch tam gi¸cADE b»ng diƯn tÝch tam giác ABC Dạng : Nửa đ ờng tròn
Bài 27: Cho M thuộ c nửa đ ờng tròn tâm O đ ờng kính AB .Từ A B kẻ tiếp tuyến Ax By .Tiếp tuyến M cắt Ax , By lần l ợt C ,D .Các đ ờng thẳng AD, BC c¾t ë N .Chøng minh : a) CD - AC = BD b) Tam giác CDO vuông
c) MN // AC d) CD.MN = CM.DB e) Xác định vị trí M để Diện tích đ ờng trịn đ -ờng kính CD nh nht
g) MN cắt AB H Chøng minh : MN = NH
Bµi 28 : Cho C thc nưa ® êng tròn đ ờng kính AB I điểm cung AC .AI cắt BC M Chøng minh : a) MI.MA = MC.MB b) tam giác ABM cân
c) AC ct BI ti H ,MH cắt AB N .Chứng minh H tâm đ ờng tròn nội tiếp tam giác NIC d) Gọi K điểm đối xứng với H qua I .Chứng minh KA tiếp tuyến đ ờng tròn đ ng kớnh AB
Bài 29 :Cho nửa đ ờng tròn đ ờng kính AB Lấy điểm D tuỳ ý nửa đ ờng tròn
(D A D B) Dựng hình bình hành ABCD Từ D kẻ DM vuông góc với đ ờng thẳng AC M từ B kẻ BN vuông góc với đ ờng thẳng AC N
a Chứng minh bốn điểm D, M, B, C nằm mộ t ® êng trßn b Chøng minh AD ND = BN DC
c Tìm vị trí D tr ên nửa đ ờng tròn cho BN AC lín nhÊt
Bài 30 : Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB = 2R C trung điểm đoạn thẳng AO, đường thẳng Cx vuông góc với đường thẳng AB, Cx cắt nửa đường trịn I K điểm nằm đoạn thẳng CI (K khác C ; K khác I), tia AK cắt nửa đường tròn cho M Tiếp tuyến với nửa đường tròn tâm O điểm M cắt Cx N, tia BM cắt Cx D
1) Chứng minh bốn điểm A, C, M, D nằm đường tròn 2) Chứng minh ΔMNK cân
3) Tính diện tích ΔABD K trung điểm đoạn thẳng CI
4) Chứng minh : Khi K di động đoạn thẳng CI tâm đường trịn ngoại tiếp ΔAKD nằm đường thẳng cố định
Bài 31 : Cho nửa đ ờng tròn tâm O, đ ờng kính AB=2R điểm M nằm nửa đ ờng tròn (M khác A B) Đ ờng thẳng d tiếp xúc với nửa đ ờng tròn M cắt đ ờng trung trực đoạn AB I.Đt tâm I tiếp xúc với AB cắt đ ờng thẳng d C D (D n»m gãc BOM)
a) Chøng minh tia OC,OD tia phân giác gãc ACM vµ BOM b) Chøng minh CA vµ DB vu«ng gãc víi AB
c) Chøng minh AC.BD=R2
d) Tìm vị trí M nửa đt(O) để tổng AC+BD đạt min? Tìm giá trị theo R Các khác
Bài 32 : Cho đờng trịn (O) đ ờng kính AB, điểm M di động tr ên đ ờng tròn Gọi N điểm đối xứng với A qua M, P giao điểm thứ hai đ ờng thẳng BN với đ ờng tròn (O); Q.R giao điểm đ ờng thẳng BM lần l ợt với AP tiếp ến A đ ờng tròn (O)
a) Chứng minh điểm N luôn nằm đ ờng tròn cố định tiếp xúc với đ ờng tròn (O) Xác định tâm BK đ ờng tròn
b) Chøng minh RN lµ tiÕp tun cđa đ ờng tròn (B;AB) c) Tứ giác ARNQ hình ? Tại ?
Bi 33 : Cho đờng trịn (O) đ ờng kính AB Dây CD khơng qua O vng góc với AB H Dây CA cắt đờng trịn đ ờng kính AH E đ ờng trịn đ ờng kính BH cắt dây CB F Chứng minh :
a) CEHF lµ hình chữ nhật
b) EF tiếp tuyến chung đ ờng tròn đ ờng kính AH ® êng kÝnh BH c)
EF2= CA2+
1 CB2
Bài 34 Cho tam giác vuông ABC ( C^ = 900), O trung điểm AB D điểm tr ên cạnh
AB ( D kh«ng trïng víi A, O, B ) Gọi I J thứ tự tâm đ ờng ngoại tiếp tam giác ACD BCD
1 Chøng minh OI song song víi BC
(28)3 Chứng minh CD phân giác gãc ACB vµ chØ OI = OJ
Bài 35 : Cho tam giác vuông MNP ( ^M = 900), Đờng cao MH (H cạnh NP) §êng trßn
đờng kính MH cắt cạnh MN A cắt cạnh MP B
1) Chứng minh AB đ ờng kính đ ờng tròn đ ờng kính MH 2) Chứng minh tứ giác NABP tứ giác nội tiếp
3) Từ M kẻ đ ờng thẳng vuông góc với AB cắt cạnh NP t¹i I Chøng minh IN = IP
Bài36: Cho tam giác vuông ABC (AC > AB, ^A = 900) Gọi I tâm đ ờng tròn nội tiếp tam
giác ABC, tiếp điểm đ ờng tròn nội tiếp với cạnh AB , BC , CA lần l ợt M , N , P Chứng minh tứ giác AMIP hình vuông
2 Đờng thẳng AI cắt PN D Chøng minh ®iĨm M, B, N, D, I nằm đ ờng tròn 3* Đ ờng thẳng BI CI kéo dài cắt AC , AB lần l ợt E F
Chứng minh BE CF = BI CI
B i 37à :Cho đờng tròn tâm(O) AB dây cố định đ ờng trịn khơng qua tâm M mộ t điểm dây cung lớn AB cho tam giác MAB tam giác nhọn Gọi D C thứ tự điểm cung nhỏ MA, MB, đ ờng thẳng AC cắt đ ờng thẳng BD I, đ ờng thẳng CD cắt cạnh MA MB thứ tự P, Q
1 Chøng minh tam giác ADI tam giác cân Chứng minh tứ giác ADPI tứ giác nội tiếp Chøng minh PI = MQ
4 Đờng thẳng MI cắt đ ờng tròn N Khi M chuyển động cung lớn AB trung điểm MN chuyển động đ ờng
Bài 38 Cho điểm A, B , C thẳng hàng ( theo thứ tự ấy) Gọi (O) đ ờng tròn qua B C Từ A vẽ tiếp tuyến AE AF với đt (O) ( E F tiếp điểm ) Gọi I trung điểm BC
a) Chứng minh năm điểm A, E, O, I, F
b) Đờng thẳng FI cắt đ ờng tròn (O) G Chứng minh EG // AB c) Nối EF cắt AC K, Chøng minh AK AI = AB AC
B i39:à Cho đ ờng tròn(O;R) dây AC cố định không qua tâm B điểm đờng trịn (O;R) ( B khơng trùng với A C).Kẻ đ ờng kính BB ❑, Gọi H trực tâm của
tam gi¸c ABC
1) Chøng minh AH//BC
2) Chøng minh r»ng HB®i qua trung ®iĨm cđa AC
3) Khi điểm B chạy đ ờng tròn (0; R) (B không trùng vớiA C) Chứng minh điểm H nằm mộ t đ ờng trịn cố định
Bµi 40 : Cho đt tâm O, bán kính OA=R Vẽ dây BC vuông góc với OA trung điểm H OA
a) Tứ giác ABOC hình ?
b) Gọi K điểm đối xứng với O qua A Chứng minh rằng:KBOC tứ giác nội tiếp KB,KC tiếp ến (O)
c) Tam giác KBC tam giác gì?
d) Trc tâm tam giác ABC điểm hình vẽ ? e) Tính độ dài BC
f) TÝnh diƯn tích phần trung hình tròn(O;R) hình tròn ngoại tiếp tứ giác KBOC Bài 41 : Cho (O;R) dây AB<2R Trên tia AB lấy C cho AC>AB.Từ C kẻ hai tiếp tuyến với (o)tại P,K Gọi I trung điểm AB
a) Chứng minh r»ng Tø gi¸c CPOK néi tiÕp
b) Chøng minh rằng: C,P, I, O, K nằm đ êng trßn
c) Chứng minh tam giác ACP đồng dạng với tam giác PCB suy CP2=CB.CA
d) gọi H trực tâm tam giác CPK.Tính PH theo R
e) Giả sử PA//CK Chứng minh tia đối tia BK phân giác góc CBP
Bài 42 : Cho đờng tròn (O;R) đ ờng kính AB, kẻ tia tiếp ến Ax lấy điểm P cho AP>R, từ P kẻ tiếp tuyến tiếp xúc với đ ờng tròn M
a) Chøng minh APMO néi tiÕp b) Chøng minh r»ng BM//OP
(29)d) Chøng minh PNMO hình thang cân
e) Biết AN cắt OP K, PM cắt ON I, PN OM kéo dài cắt J Chứng minhI, J, K thẳng hàng
Bài 43 : Cho đoạn AB M nằm A.B Trên nửa mặt phẳng bờ AB dựng hình vuông AMCD, MBEF AF cắt BC N
a)Chứng minh rằng:AF vuông góc với BC,suy N nằm hai đt ngoại tiÕp AMCD, MBEF b) Chøng minh : D, N,E th¼ng hàng MN vuông góc với DE
c)Cho AB cố định M di động Chứng minh:MN qua điểm cố định,
Bài 44 :Cho đờng tròn (O) đ ờng kính AB=2R điểm M di động nửa đ ờng tròn Ngời ta vẽ mộ t đ ờng tròn tâm E tiếp xúc với nửa đ ờng tròn (O) M tiếp xúc với đ ờng kính AB N Đ ờng cắt MA, MB lần l ợt điểm thứ hai C, D
a) Chøng minh CD//AB
b) Chứng minh MN tia phân giác góc AMB đ ờng thẳng MN qua điểm K cố định
c) Chứng minh :tích KM.KN khơng đổi
d) Gọi giao điểm tia CN,DN với KB,KA lần l ợt C,,D,.Tìm vị tr í M để chu vi
tam giác NC,D, đạt giỏ tr nh nht.
Bài 45 :Cho tam giác ABC vuông A Đ ờng cao AH Đ ờng tròn đ ờng kính AH cắt cạnh AB, AC, lần l ợt E,F
a) Chứng minh tứ giác AEHF hình chữ nhật b) Chøng minh AE AB=AF AC
c) Chøng minh r»ng BEFC néi tiÕp
d) Đ ờng t hẳ ng qua Avng góc với EF cắt BC I, C hứng m i nh I trung điểm đoạn BC e) Chứng minh diện tích ABC gấp đơi diện tích hình chữ nhật AEHF tam
giác ABC vuông cân
Bi 46 :Cho ng trịn tâm (O;R), hai đ ờng kính AB,CD vng góc với Trong đoạn AB lấy mộ t điểm M( khác O) Đ ờng thẳng CM cắt đ ờng tròn (O) điểm thứ hai N Đ ờng thẳng vng góc với AB M cắt tiếp tuyến N với đ ờng tròn điểm P Chứng minh rng:
a) tứ giác OMNP nội tiếp đ ợc
b) Tứ giác CMPO hình bình hành c) Tø gi¸c OMNP néi tiÕp
d) TÝch CM.CN không phụ thuộc vào vị trí điểm M
e) Khi M di động đoạn AB P chạy đoạn thẳng cố định
Bài 47 : Cho ba điểm A, B, C tr ên đ ờng thẳng theo thứ tự đ ờng thẳng d vng góc với AC A Vè đ ờng trịn đ ờng kính BC lấy điểm M Tia CM cắt đ -ờng thẳng d D; Tia AM cắt đ -ờng tròn điểm thứ hai N; tia DB cắt đttại điểm thứ hai P
a) Chøng minh ABMD néi tiÕp
b) Chøng minh tÝch CM.CD không phụ thuộc vào vị trí điểm M c) Tứ giác APND hình ?tại ?
d) Chứng minh trọng tâm G tam giác MAC chạy đ ờng tròn cố định M di động Bài 48 : Cho tam giác vuông cân ABC (góc C=90),E điểm tuỳ ý cạnh BC Qua B kẻ tia v ơng góc với tia AE H cắt tia AC K Chứng minh rằng:
a) Tø gi¸c BHCA néi tiÕp b) KC KA=KH.KB
c) §é lín cđa gãc CHK không phụ thuộc vào vị trí điểm E
d) Khi E di chuyển cạnh BC BE.BC+ AE AH không đổi
(30)a) MA2 = MC.MD
b) MB.BD = BC.MD
c) §êng tròn ngoại tiếp BCD tiếp xúc với MB B
d) Tổng bán kính hai đtngoại tiếp BCD ACD không đổi C di động đoạn AB
Bài 50 : Cho ABC có góc A > 90o Đờng trịn (O), đ ờng kính AB cắt đ ờng trịn (O/) đờng kính
AC t¹i giao điểm thứ hai H Một đ ờng thẳng (d) quay quanh A cắt Đ ờng tròn (O), đ ờng tròn (O/) lần lợt M, N cho A nằm M N.
a) Chứng minh H thuộc cạnh BC tứ giác BCNM hình thang vuông b) Chứng minh tỷ số HM
HN không đổi
c) Gọi I trung điểm MN, K trung điểm BC Chứng minh bốn điểm A, H, K, I thuộc đ ờng tròn I di chuyển cung tròn cố định
d) Xác định vị trí đ ờng thẳng (d) để diện tích HMN lớn
Bài 51 :Cho đoạn thẳng AB điểm P nằm A B.Trên nửa mặt phẳng bờ AB kẻ tia Ax, By vuông góc với AB lần l ợt hai tia dó lấy hai điểm C vµ D cho : AC.BD=AP.PB (1)
a) Chứng minh tam giác ACP đồng dạng với tam giác BPD
b) Chứng minh góc CPD 900 Từ suy ta cách dựng hai điểm C;D thoả mãn (1)
c) Gọi M hình chiếu P trªn CD, chøng minh gãc AMB b»ng 900
d) Gọi AM cắt CP I, BM cắt PD K Chøng minh IK // AB
e) Chứng minh điểm M chạy nửa đ ờng tròn cố định C;D lần l ợt di động tr ên Ax, By nhng thoả mãn (1)
Bài 52 : Cho tam giác ABC vuông A điểm D nằm A B Đ ờng tròn đ ờng kính BD cắt BC E.Các đ ờng thẳngCD, AE lần l ợt cắt đờng tròn điểm thứ hai F, G Chứng minh :
a) tam giácABC đồng dạng với tam giácEBD b) Tứ giác ADEC AFBC nội tiếp đ ợc c) Chứng minh AD.AB = AG.AE
d) AC //FG
e) Các đờng thẳng AC, DE, BF đồng quy
Bài53 Cho đường trịn (O), đường kính AB cố định, điểm I nằm A O cho AI = 2/3AO Kẻ dây MN vng góc với AB I Gọi C điểm tùy ý thuộc cung lớn MN, cho C không trùng với M, N B Nối AC cắt MN E
a) Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp đường tròn b) Chứng minh ΔAME đồng dạng với ΔACM AM2 = AE.AC c) Chứng minh AE.AC - AI.IB = AI2
d) Hãy xác định vị trí điểm C cho khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CME nhỏ
Bài 54 : Cho tam giác ABC vuông A (AB > AC), đường cao AH Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa A vẽ nửa đường trịn đường kính BH cắt AB E nửa đường trịn đường kính CH cắt AC F Chứng minh : a) Tứ giác AEHF hình chữ nhật
b) EF tiếp tuyến chung hai đt đường kính BH CH c) Tứ giác BCFE nội tiếp Bài 55 Cho đường tròn tâm O bán kính R, hai điểm C D thuộc đường tròn, B trung điểm cung nhỏ CD Kẻ đường kính BA ; tia đối tia AB lấy điểm S, nối S với C cắt (O) M ; MD cắt AB K ; MB cắt AC H
(31)b) Chứng minh : HK // CD c) Chứng minh : OK.OS = R2
Bài 56 : Cho đường trịn (O) bán kính R, đường thẳng d khơng qua O cắt đường tròn hai điểm A, B Từ điểm C d (C nằm đường tròn), kẻ hai tiếp tuyến CM, CN với đường tròn (M, N thuộc (O)) Gọi H trung điểm AB, đường thẳng OH cắt tia CN K
a) Chứng minh bốn điểm C, O, H, N nằm đường tròn b) Chứng minh KN.KC = KH.KO
c) Đoạn thẳng CO cắt đường tròn (O) I, chứng minh I cách CM, CN MN
d) Một đường thẳng qua O song song với MN cắt tia CM, CN E F Xác định vị trí C d cho diện tích tam giác CEF nhỏ
Bµi :a Cho x, y > Chøng minh r»ng : x+
1 y≥
4 x+y
b Cho a,b >0 thoả mÃn a+ b =1 Tìm giá tr ị nhá nhÊt cña : A=
a2+b2+ ab Bài : Chứng minh bất đẳng thức:
a) √(a+c)2+(b+d)2≤√a2+b2+√c2+d2
b) √c.(a − c)+√c(b −c)≤√ab víi a c 0, b c c) √ab+√cd≤√(a+d).(b+c) víi a, b, c, d >
Bµi : Chøng minh r»ng : x
2
+y2 ≥(
x+y )
2
≥xy
Bài : Tìm giá tr ị nhỏ cđa: A= x+16
√x+3 víi x >0 Bµi :
a) Chứng minh bất đẳng thức : |ax+by|≤√a2+b2.√x2+y2 b) Tìm giá trị lớn : A=√x 2+4 x
c) Giải phơng trình : x 2+4 x=x26x
+11
d) Giải phơng trình : x −1+√y −1+√z −1=√2(xy+z −1) Bµi :
Chứng minh bất đẳng thức : a xy + yz + zx Ê x2 + y2 +z2
b (x+y+z
3 )
2
≤x
2
+y2+z2 Cho x + y + z =
a T×m giá trị nhỏ D = x2 + y2 +z2
b Tìm giá trị lớn T = xy + yz + zx
(32)Bài : Tìm giá tr ị nhỏ cđa biĨu thøc : A= x2 –4x + 3
B = 3x2 –6x -1
C = x2 +3x + 5
D =3 x2 –2x + 9
Bài : Tìm giá tr ị nhỏ cđa biĨu thøc : A = x2 –4xy + 5y2 + 10x –22y + 30
B = x2 + 26y2 – 10xy + 14x – 76y + 100
C = 5x2 – 12xy + 9y2 – 4x +4
D = x2 + y2 – xy –x –y +1
Bài : Tìm giá tr Þ lín nhÊt cđa biĨu thøc :
A= - 4x2 –4x + C= + 6y – 5y2 – 12xy – 9x2
B=5 - 8x- x2 D = 15 – 10x – 10x2 + 24xy 16y2 Bài 10 : Tìm giá tr ị lớn giá trị nhỏ biểu thức :
A= x
2
+1
x2− x+1 B=
8x+3
4x2+1 C=
2x+1 x2
+2 D=
27−2x x2
+9
Bµi 11 : Cho x, y, z tho¶ m·n :
¿
4x+y+2z=4 3x+6y −2z=6
{
Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức :T = 5x – 6y + 7z
Bµi 12 : Cho x, y, z N tho¶ m·n :
¿
x2− y2
+t2=21 x2+3y2+4z2=101
¿{
¿
Tìm giá trị nhỏ M = x2 + y2 + 2z2 + t2
Bµi 13 ✰ : Cho x2 + y2 + z2 £ 27 T×m giá trị lớn giá tr ị nhỏ cđa biĨu thøc:
F = x + y + z + xy + yz + zx Bµi 14 : Chøng minh r»ng :
a) k2<
1 k −1+
1
k víi k N vµ k b) 1+
22+
1
32+ .+
1 n2<2−
1
n víi n N vµ n c)
9+
25+ + (2n+1)2<
1
4 víi n N vµ n
Bµi 15 : Cho hai sè x, y tho¶ m·n x > y vµ x.y = Chøng minh : x
2
+y2
x − y −2√2≥0 Bài 16 : Cho a ,b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh :
ab + bc + ca £ a2 + b2 + c2 £ (ab + bc + ca)
Email:info@123doc.org
http://huynhvumt.violet.vn