[r]
(1)Bài 1: Cho a số nguyên tè lín h¬n Chøng minh r»ng a2 – chia hết cho
24 Giải:
Vì a2 số nguyên tố lớn nên a lẻ a2 số phơng lẻ
a2 chia cho d 1
a2 – chia hết cho (1)
Mặt khác a số nguyên tố lớn a không chia hết cho a2 số phơng không chia hÕt cho 3 a2 chia cho d 1
a2 – chia hÕt cho (2)
Mµ (3,8) = (3)
Tõ (1), (2), (3) a2 – chia hÕt cho 24
Bài 2: Chứng minh tích số tự nhiên liên tiếp cộng ln số phương
Gọi số tự nhiên, liên tiêp n, n + 1, n+ 2, n + (n N) Ta có n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + = n.(n + 3(n + 1)(n + 2) +
= (n2 + 3n)( n2 + 3n + 2) + (*)
Đặt n2 + 3n = t (t N) (*) = t( t + ) + = t2 + 2t + = ( t + )2 = (n2 + 3n + 1)2
Vì n N nên n2 + 3n + N Vậy n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + số chính phương
Ví dụ 14 Phân tích đa thức x5 + x - thành nhân tư Lời giải
Cách
x5 + x - = x5 - x4 + x3 + x4 - x3 + x2 - x2 + x - 1 = x3(x2 - x + 1) - x2(x2 - x + 1) - (x2 - x + 1) = (x2 - x + 1)(x3 - x2 - 1).
Ví dụ 16 Phân tích đa thức sau thành nhân tư : x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128
(2)x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 = (x2 + 10x)(x2 + 10x + 24) + 128 Đặt x2 + 10x + 12 = y, đa thức đã cho có dạng :
(y - 12)(y + 12) + 128 = y2 - 16 = (y + 4)(y - 4) = (x2 + 10x + 16)(x2 + 10x + 8)
= (x + 2)(x + 8)(x2 + 10x + 8)
VÝ dụ 4.4 Cho a, b, c > Chứng minh rằng:
1 a3
+b3+abc+
1 b3
+c3+abc+
1 c3
+a3+abc≤
1 abc
Gi ả i Ta cã: a2
+b2≥2 ab⇒(a+b)(a
2
+b2)
2 ≥ab(a+b)⇔a
3
+b3≥ab(a+b)
⇒abc
a3
+b3+abc≤
abc
ab(a+b)+abc=
c a+b+c VÝ dụ Cho x, y, z > Chứng minh: x
3
yz + y3
zx+ z3
xy≥ x+y+z
Gi ả i
Áp dụng bất đ¼ng thức C« - Si ta cã:
x3
yz+y+z ≥3x y3
zx+z+x ≥3y z3
xy+x+y ≥3z
} } ⇒
(x3
yz+
y3
zx+
z3
xy )+2(x+y+z)≥3(x+y+z)⇒ x3 yz+
y3 zx +
z3
xy ≥ x+y+z
(®pcm)
VÝ dụ 3.2
T×m cặp số (x, y) với y nhỏ thỏa m·n ®iỊu kiƯn: x2 + 5y2 + 2y – 4xy –
3 = (*) Gi
ả i
Ta cã (*)
y+1¿2≤4⇒(y+3)(y −1)≤0⇒−3≤ y ≤1
y+1¿2=4⇒¿ x −2y¿2+¿
⇔¿
(3)Vậy GTNN y = –3 Đạt đợc x = – Vậy cặp số (x, y) = (–6; – 3)
VÝ dụ 3.3 Cho x, y liªn hệ với hệ thức: x2 + 2xy + 7(x + y) + 7y2
+ 10 = (**)
H·y t×m GTLN, GTNN biĨu thøc: S = x + y + Gi
ả i
Ta cã (**) ⇔4x2
+8 xy+28x+28y+4y2+40=0
2x+2y+7¿2+4 y2=9
⇔¿
2x+2y+7¿2≤9⇔(x+y+5)(x+y+2)≤0
⇒¿
⇔
x+y+5≥0
x+y+2≤0
¿{
(v× x+y+2≤ x+y+5 )
⇔−4≤ S −1
Vậy GTNN S = –4 Đạt x = –5, y = GTLN S = –1 Đạt đợc x = –2, y =
2
a) T×m GTNN M = x2 – 3x + với x 2.
b) T×m GTLN N = x2 – 5x + với −3≤ x ≤8 . Gi
ả i
a) M = (x −1)(x −2)−1≥ −1 Vậy GTNN M = -1 Đạt đợc x = b) N = (x+3)(x −8)+25≤25 Vậy GTLN N = 25 Đạt đợc x = -3, x =
Bµi :
Cho tam giác ABC vng A Gọi M điểm di động AC Từ C vẽ đường thẳng vng góc với tia BM cắt tia BM H, cắt tia BA O Chứng minh :
a) OA.OB = OC.OH
b) Góc OHA có số đo khơng đổi
c) Tổng BM.BH + CM.CA không đổi a) BOH ~ COA (g-g)
OB OH
OC OA OA.OB = OC.OH
b)
OB OH
OC OA
OA OH
OC OB (1)
OHA vµ OBC cã O chung (2)
Tõ (1) vµ (2) OHA ~ OBC (c.g.c)
OHA OBC (không đổi)
C K
B O
A
(4)c) VÏ MK BC ; BKM ~ BHC (g.g)
BM BK
BC BH
BM.BH = BK.BC (3)
CKM ~ CAB (g.g)
CM CK
CB CA
CM.CA = BC.CK
(4)
Cộng vế (3) (4) ta đợc BM.BH + CM.CA = BK.BC + BC.CK
= BC(BK + CK) = BC2 (kh«ng