Đang tải... (xem toàn văn)
[r]
(1)Đại học quốc gia hà nội Tr
ờng đại học ngoại ngữ cộng hoà xã hội chủ nghĩa việt namĐộc Lập -Tự Do -Hạnh Phúc Kì thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên ngoại ngữ nm 2011
Đề Môn Thi : Toán
Thời gian làm 120 phút( không kể thời gian phát đề) Ngày thi 12-06-2011 Đề thi gồm 01 trang
( Chú ý: Thí sinh khơng đợc sử dụng tài liệu ,CBCT khơng giải thích thờm)
Câu 1: (2điểm)
Cho biÓu thøc A=[(
√x+
√y)
√x+√y+ x+
1 y.]:√
x3+y√x+x√y+√y3
√xy3+√x3y
1) Rót gän A
2) T×m x ; y biÕt xy=
36 ; A=5 Câu : ( điểm)
1) Giải hệ phơng trình :
x2+4y2=5 (x+2y) (5+4 xy)=27
{
2) Tìm giá trị lín nhÊt vµ nhá nhÊt cđa hµm sè y=√x+3+√6− x
Câu 3: ( điểm)
Cho phơng trình bậc : x2 - 2(m+1)x + 2m+10 =0 ( m lµ h»ng sè)
1)Tìm m để phơng trình có nghiệm
2) Giả sử phơng trình có nghiệm x1; x2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P=x12+x22+8x1x2
Câu 4:(3 điểm)
Cho tam giỏc nhn ABC nội tiếp đờng tròn (O) Cho P điểm đoạn BC cho đờng trịn ngoại tiếp tam giác OBP cắt đoạn AB N khác B đờng tròn ngoại tiếp tam giác OCP cắt đoạn AC M khác C
1) Chøng minh r»ng ∠ OMP= ∠ OAC
2) Chøng minh r»ng ∠ MPN= ∠ BAC vµ ∠ OBC+ ∠ BAC=900
3) Chứng minh O trực tâm tam giác PMN
Câu 5: ( điểm)
Giải phơng tr×nh: √12− x2+√4x
2 −
x2=4x
-Hết -Họ tên thí sinh Số báo danh Phòng thi thi vào chuyên ngữ Hà nội Năm học 2011-2012
Ngày thi 12-06-2011
Câu 1: (2điểm)
Cho biÓu thøc A=[(
√x+
√y)
√x+√y+ x+
1 y.]:√
x3
+y√x+x√y+√y3 √xy3
+√x3y
1)Rót gän A
2) T×m x ; y biÕt xy=
36 ; A=5
H
(2)1)
A=[√x+√y
√xy
√x+√y+ x+y xy ]:
(√x+√y) (x −√xy+y)+√xy(√x+√y)
√xy(x+y) A=(√x+√y)
2
xy
√xy(x+y)
(√x+√y)(x+y)=
√x+√y
√xy
2) A=5⇔√x+√y=5√xy⇔√x+√y=5
6 theo GT √xy=
theo Viet đảo √x ;√y nghiệm dương phương trình bậc t2−5
6t+
6=0⇔6t
−5t+1=0 Δ=1⇒t1=1 2;t2=
1
vậy (x ; y)=(1 4;
1 3);(
1 3;
1 4) C©u : ( điểm)
1)Giải hệ phơng trình :
x2+4y2=5 (x+2y) (5+4 xy)=27
¿{ ¿
2) T×m giá trị lớn nhỏ hàm số y=√x+3+√6− x
H
ướng dẫn:
1)
x2
+4y2=5 (x+2y) (5+4 xy)=27
⇔
x+2y¿2=5+4 xy ¿
x+2y¿3=27 ¿ ⇔
¿ ¿5+4 xy=9
¿ x+2y=3
¿ ⇔
¿ ¿x=3−2y
¿ y(3−2y)=1
¿ ¿ ¿ ⇔
¿ ¿x=3−2y
¿
2y2−3y+1=0 ¿
⇔ ¿ ¿ ¿x=3−2y
¿ ¿ ¿
(3)y = x 3 6 x ®k :-3 x
Cách 1 áp dụng BBĐT Bunhia cho √x+3;√6− x 1;
Ta có
2(x+3+6− x)≥(√x+3+√6− x)2⇔(√x+3+√6− x)2≤18 ⇔0<y ≤3√2
Cách 2
Ta cã y2 = + 2 x3 6 x 9
y = x = -3 hc x =
áp dụng bất đẳng thức cô si y2 9 18
suy :max y = x= 4.5
Câu 3: ( điểm)
Cho phơng trình bậc : x2 - 2(m+1)x + 2m+10 =0 ( m lµ h»ng sè)
1)Tìm m để phơng trình có nghiệm
2) Giả sử phơng trình có nghiệm x1; x2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P=x12+x22+8x1x2
H
ướng dẫn:
1)
Δ❑
=m2+2m+1−2m−10=m2−9≥0⇔ m≥3
¿ m≤ −3
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
2)Với m thỏa mãn ĐK
P=x12+x22+8x1x2=(x1+x2)2+6x1x2=4m2+8m+4+12m+60 P=4m2+20m+64
T a có P=4m2+12m+8m+24+40=(m+3)(4m+8)+40 với m −3 m+3≤0;4m+8<⇒P ≥40 (1)
Mặt khác P=4m2−12m+32m−96+160=(m −3)(4m+32)+160
với m≥3 ; m−3≥0;4m+32>0⇒P≥160 (2)
từ (1) (2 ) suy Min(P)=40 m=-3
Câu 4:(3 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đờng trịn (O) Cho P điểm đoạn BC cho đờng tròn ngoại tiếp tam giác OBP cắt đoạn AB N khác B đờng tròn ngoại tiếp tam giác OCP cắt đoạn AC M khác C
1)Chøng minh r»ng ∠ OMP= ∠ OAC
2)Chøng minh r»ng ∠ MPN= ∠ BAC vµ ∠ OBC+ ∠ BAC=900
3) Chøng minh r»ng O lµ trực tâm tam giác PMN H
(4)K
H
D N
O
M
P B
A
C
1) ∠OPM=∠OCM ( nội tiếp chắn cung ON)
mà ∠OAM =∠OCM ( tam giác OAC cân) nên ∠OPM=∠OAC (1) ( đpcm)
2)Tương tự ∠OPN =∠OAB (2) từ (1) (2) ta có ∠MPN =∠BAC
kéo dài AO cắt (O) D ta có ∠CBD=∠CAD ; ∠OBA =∠OAB nên
900=∠DBA =∠DBC +∠CBO+∠OBA =∠DAC+∠CBO+∠OAB=∠OBC+∠BAC ⇒∠OBC+∠BAC=900(dpcm)
3)Gọi NO cắt MP H ; MO cắt NP K ta có ∠HNP =∠OBC mà
∠OBC+∠BAC=900 mà ∠BAC=∠HPN suy ∠HNP +∠HPN=900
hay NH MP (3) tương tự MK NP (4) từ (3) (4) nên O trực tâm tam giác MNP ( đpcm)
C©u 5: ( điểm)
Giải phơng trình: 12 x2+4x
2 −
x2=4x
H
ướng dẫn:
2
2
2 2
2
3
12 4
3
(4 1) (4 ).1
x x
x x
x x x
x x
Cách 1 Áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacopsky cho dãy
√x32;√4x
−
x2 √4x
2−1;1 ta có
(x32+4x 2−
x2)(4x
2−1+1
)≥(√12− x2+√4x
2−1
)2⇔√12− x2+√4x
2−1≤4x2
kết hợp với GT dấu ‘=” xảy
√x32
√4x2−1=√4x
−
x2⇔(4x
− x2)(4x
2
−1)=3 x2
(5)Cỏch 2 áp dụng bất đẳng thức cô si ta có vế trái
2
2
2
3
4
4
x x
x x x