[r]
(1)
NHỮNG CÔNG THỨC CƠ BẢN VỀ DÃY SỐ- CẤP SỐ - GIỚI HẠN-ĐẠO HÀM-TÍCH PHÂN
GV:nguyễn đức tuyên -THPT nguyễn bính
DÃY SỐ:
1/Dãy số (un) :TĂNG Nếu un un 1 hay
*
n n
u u 0, n N .
Hoặc
* n
n n
u
1,u 0, n N u
2/Dãy số (un) :GIẢM Nếu un un 1 hay
*
n n
u u 0, n N .
Hoặc
* n
n n
u
1,u 0, n N u
3/Dãy số (un) :BỊ CHẶN TRÊN Nếu M : n N , u * n M.
4/Dãy số (un) :BỊ CHẶN DƯỚI Nếu m : n N ,u * n m.
5/Dãy số (un) :BỊ CHẶN NếuM, m : n N , m u * n M.
CẤP SỐ CỘNG:
1/(un) :Cấp số cộng un 1 un d, n N * 2/Số hạng tổng quát : un u1(n 1)d
3/Tổng n số hạng :
1 n
n
n 2u (n 1)d n(u u )
S
2
4/Tính chất : a,b,c :Cấp số cộng
a c b
2
Tổng quát :
k k k
u u
u , k
2
CẤP SỐ NHÂN:
1/(un) : Cấp số nhân un 1 u q, n Nn * 2/Số hạng tổng quát :
n
n
u u q , n
.
3/Tổng n số hạng :
n
n
u (1 q )
S ,q
1 q
4/Tính chất : a,b,c :Cấp số nhân:
2
b ac
Tổng quát: u2k uk 1 uk 1 , k 2
GIỚI HẠN DÃY SỐ:
1/
* k
n
n
0 ; 0,k N
n
1
lim
lim
n
2/
n n
q , q
lim
3/
*
n
n
0 ; 0,k N
n
1
lim
lim
n
4/Cho (u ),(v )n n : un v , nn lim 0 lim un 0.
5/Nếu :lim un L Thì : a/ lim un L lim u3 n 3 L.
b/ Nếu : un 0, n L lim u n L.
(2)
n n
u a
lim (b 0)
v b
lim kvn kb
7/Tổng cấp số nhân lùi vô hạn :
1 u
S , ( q 1)
1 q
8/ n n
1
lim u lim
u
9/
n
n n
n u
lim u a lim v lim
v
10/limnk ,n N * 11/lim qn ,q 1 12/
n
n n n
n u lim u a 0,lim v v 0, n lim
v
13/lim un lim a lim u n
GIỚI HẠN HÀM SỐ:
1/
0 x x
lim x x
; x x0
limC C
2/k x
limx
3/
0
x x
cL
lim cf (x)
4/
k x
-, k 2n , k 2n
limx
5/
*
k k
x x
1
0 ; 0,k N
x x
lim
lim
6/Nếu x x0 x x0
L M (L,M R)
limf (x)
limg(x)
Thì :
0
x x
L M
lim f (x) g(x)
x x0
L
,(M 0) M
f (x)
lim
g(x)
0
x x
L.M
lim f (x).g(x)
k k
0 x x
ax
lim ax
x x0 x x0
f (x)
limf (x)
L Llim f (x)
L
7/Nếu x x0
L
limf (x)
Thì : x x0
L
lim f (x)
3
x x
L
lim f (x)
8/
* k
x
,k N
lim x
9/
k x
, k 2n
lim x
10/ x x0 x x0 x x0
L L
limf (x)
limf (x) limf (x)
.
11/Nếu x x0
lim f (x)
Thì x x0
1 f (x)
lim
(3)12/Các dạng vô định :
0
; ; ;
13/MỘT VÀI QUY TẮC TÌM GIỚI HẠN VÔ CỰC : Nếu
0
x x x x
0
1
f (x)
lim
lim
f (x)
Quy tắc 1: Nếu
0
0 x x
x x x x
vµ
limg(x)
L f(x).g(x) :limf(x)
lim
x x0
lim f (x)
Dấu L
0 x x
f(x).g(x)
lim
+ +
Quy tắc 2: Nếu x x0 x x0
L 0, g(x)
limf (x)
limg(x)
Hoặc g(x) 0 .
Dấu L Dấu g(x)
0 x x
f(x) g(x)
lim
+ +
+ +
HÀM SỐ LIÊN TỤC:
Hàm số f(x) liên tục x0
0 x x
f (x )
limf(x)
Nếu hàm số f liên tục đoạn
a;b
f (a).f (b) 0 c
a;b : f (c) 0
Nếu : x a x a x a
g(x) f (x) h(x)
limg(x) lim h(x)
Llimf(x)=L
0
0
x x x x
f(x ):liên tục bên phải f(x ):liên tục bên trái
limf(x)
limf(x)
f(x) liên tục đoạn
0
0
0 x x
0 x x
f(x) f(x )
a;b f(x) f(x )
f(x)liªn tơc trªn (a;b)
lim
lim
ĐẠO HÀM:
0
0 0
0
x x x x
f(x) f(x ) f(x x) f(x ) y
f '(x )
x x x x
lim
lim
lim
(4)
Quy tắc tính đạo hàm: Tính y f(x0 x) f(x ) Tìm :
0 x
y
f '(x ) x
lim
Phương trình tiếp tuyến với (C) M (x ;f(x )) (C)0 0 là: y f '(x )(x x ) f(x ) .
Vận tốc tức thời:
0
0
t
s(t t) s(t )
v(t ) s'(t )
t
lim
VI PHÂN : df(x ) f '(x ) x0
df(x) f '(x).dx hay dy y'dx f(x0 x) f(x) f '(x ) x BẢNG TĨM TẮT CƠNG THỨC ĐẠO HÀM
(u +v+t)' = u' + v' + t' (uv)' = u'v+v'u
(u-v-t)' = u' - v' - t' (uvt)' = u'vt +uv't +uvt'
¿ ¿
(
uv)
'
¿
= u ' v − v ' u
v2 ,(v ) (Cv)' = Cv' (C : số )
¿ ¿
(xα)'
¿
= α.xα−1
(
1x)
'
= −
x2 , (x )
¿ ¿
(√x)'
¿
=
2√x , (x > 0)
(u ❑α¿' = αuα −1 u'
¿ ¿
(
1u)
¿'= −u '
u2 , (u )
¿ ¿
(√u)'
¿
=
2√u.u ' , (u > 0)
(sin x)' = cos x (cos x)' = - sin x (tan x)' =
2
1
1 tan x
cos x , (cos x
0 )
(cotx)' = -
sin2x=−(1+cotg
2
x) (sin x 0 )
(sin u)' = u'.cos u (cos u)' = -u'.sin u (tan u)' =
2
u '
u '(1 tan u)
cos u ,(cos u )
(cot u)' =
2
u '
u '(1 cot u) sin u
,(sin u )
(e ❑x )' = e ❑x
(a ❑x )' =a ❑x lna , (o < a
)
(e ❑u )' = u' e ❑u
(a ❑u )' = a ❑u u'lna
(ln |x| )' = 1x , (x ) (ln x)' = 1x , (x > 0) ( logax )' =
1
x lna , (x > 0, < a
1 )
( loga|x| )' =
1
x lna , (x , < a
1 )
(ln |u| )' = u 'u , (u ) (ln u)' = u 'u , (u > 0) ( logau )' =
1
u lna.u ' , (u > 0, 0<a )
( loga|u| )' =
1
u lna.u ' , (u ,0<a )
Đạo hàm cấp cao : f(n)(x)=[f(n −1)(x)]' ,(n N,n 2) y'x y' u'u x :Đạo hàm hàm số hợp
(5) n giai thừa : n! =1.2.3 n=(n-1)!n
¿ ¿
(
ax+bcx+d
)
'
¿ =
cx+d¿2 ¿
ad−bc
¿
lim
sinx x =1
x →0
1+x¿
x
=e
¿ ¿
lim¿
lim
❑ln(1+x)
x =1
x →0
lim e
x
−1
x =1 x →0
1+1
x¿
x
=e
¿ ¿
lim¿
BẢNG CÁC NGUYÊN HÀM THƯỜNG DÙNG
1dx x C
1du u C
1
x
x dx C ( 1)
1
1
u
u du C ( 1)
1
dx ln x C (x 0)
x
du ln u C (u 0)
u
x x
e dx e C
e du eu u C
x
x a
a dx C (0 a 1)
ln a
u
u a
a du C (0 a 1)
ln a
cosx dx sinx C
cosu du sinu C
sinx dx cosx C
sinu du cosu C
1
dx tan x C
cos x
du tan u C
cos u
1
dx cotx C
sin x
du cot u C
sin u
Chú ý:
1
dx ln ax+b C
ax+b a
ax+b ax+b
e dx e C
a
1
cos(ax+b)dx sin(ax+b) C a
1
sin(ax+b)dx cos(ax+b) C a
Đổi biến số tích phân :
Nếu f(x) chứa
a2 x2 x = a.sint
(6)
Nếu f(x) chứa
x2 a2 a x =
cost
.Đặcbiệt:
2
2
1
dx t x x a
x a
Tích phân phần
:
b b
b a
a a
udv uv vdu
Dạng1: P(x) axsin ax
cosax dx e
Chọn : u =P(x) P(x) đa thức x
Dạng 2: P(x).ln(ax+b)dx u = ln(ax+b),( Còn lại : Đặt dv).