Công thức taylor và ứng dụng

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM −−− −−− BÙI THỊ XUÂN DIỄM CÔNG THỨC TAYLOR VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Đà Nẵng - 2015 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM −−− −−− BÙI THỊ XUÂN DIỄM CÔNG THỨC TAYLOR VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS PHAN ĐỨC TUẤN Đà Nẵng - 2015 MỤC LỤC MỞ ĐẦU Lí lựa chọn đề tài Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Ý nghĩa khoa học thực tiễn Nội dung luận văn đề tài CHƯƠNG CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 CÔNG THỨC TAYLOR CỦA HÀM MỘT BIẾN 1.1.1 Một số định nghĩa, định lý 1.1.2 Công thức Taylor 1.1.3 Công thức Maclaurin 1.1.4 Công thức khai triển số hàm số sơ cấp thường gặp 1.1.5 Khai triển hàm số thành chuỗi Taylor 1.2 CÔNG THỨC TAYLOR CỦA HÀM NHIỀU BIẾN 1.2.1 Một số định nghĩa, định lý hàm nhiều biến số thực 1.2.2 Công thức Taylor 1.2.3 Công thức Taylor hàm hai biến 1 1 2 3 8 10 11 11 15 16 CHƯƠNG ỨNG DỤNG 2.1 XẤP XỈ HÀM VỚI ĐA THỨC VÀ ĐÁNH GIÁ SAI SỐ 2.1.1 Đối với hàm biến số 2.1.2 Đối với hàm hai biến số 2.2 TÍNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM, ĐẠO HÀM RIÊNG 2.2.1 Tính gần đạo hàm 2.2.2 Tính gần đạo hàm riêng 2.3 TÍNH GIỚI HẠN HÀM SỐ 2.4 CHỨNG MINH MỘT SỐ BÀI BẤT ĐẲNG THỨC 2.5 GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 2.6 CÁC BÀI TỐN TÌM CỰC TRỊ 2.6.1 Cực trị hàm biến 2.6.2 Cực trị hàm nhiều biến 17 17 17 21 24 24 27 30 36 38 42 42 45 2.7 BÀI TOÁN NỘI SUY TAYLOR 50 2.7.1 Bài toán nội suy Taylor hàm biến 50 2.7.2 Bài toán nội suy Taylor hàm nhiều biến 51 KẾT LUẬN 53 TÀI LIỆU THAM KHẢO 54 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi hướng dẫn TS Phan Đức Tuấn Các kết luận văn trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Đà Nẵng, tháng 11 năm 2015 Người thực Bùi Thị Xuân Diễm DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU d : Số nguyên dương cho trước N : tập hợp số tự nhiên Z : tập hợp số nguyên Z∗ : tập hợp Z \ {0} R : tập hợp số thực α : đa số xác định α = (α1 , , αd ) ∈ Nd , |α| = α1 + · · · + αd , Dxα ∂ |α| := α1 ∂x1 ∂xαd d MỞ ĐẦU Lí lựa chọn đề tài Lý thuyết khai triển hàm số Toán nội suy có vai trị đặc biệt quan trọng Tốn học khơng đối tượng nghiên cứu mà cịn cơng cụ đắc lực việc giải vấn đề liên tục, lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết phương trình vi phân, Đa thức Pn (x) = am xm + + a1 x + a0 xem đẹp, bảo tồn phép tốn đa thức cộng, trừ, nhân, chia, đạo hàm, tích phân, vi phân việc tính tốn đa thức trở nên dễ dàng Tuy nhiên việc tính giá trị gần hàm số khác hàm số lượng giác, hàm số mũ, hàm số logarit không dễ dàng Hay tìm giới hạm cực trị số hàm số gặp khó khăn Các nhà Tốn học tìm nhiều phương pháp nghiên cứu, đưa hàm đa thức xấp xỉ để dễ dàng việc tính tốn,và cơng thức Taylor công cụ hữu hiệu sử dụng rộng rãi để đưa hàm đa thức xấp xỉ Công thức Taylor ứng dụng để giải vấn đề liên quan đến xấp xỉ, giới hạn, tính gần đạo hàm, giải gần phương trình vi phân, tìm cực trị, Trong chương trình phổ thông thức Taylor không đề cập nhiều áp dụng để giải số toán nâng cao, bồi dưỡng học sinh Với lý trên, lựa chọn đề tài: “Công thức Taylor ứng dụng” Với việc hệ thống lại lý thuyết số ứng dụng mà tơi tìm hiểu được, mong góp phần giúp người học dễ dàng tìm hiểu Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Mục đích nghiên cứu đề tài nhằm giúp người đọc hiểu rõ chất cơng thức Taylor ứng dụng Nhiệm vụ nghiên cứu luận văn hệ thống ứng dụng công thức Taylor Phương pháp nghiên cứu Thu thập báo khoa học tài liệu tác giả nghiên cứu liên quan đến cơng thức Taylor ứng dụng Nghiên cứu kĩ tài liệu, giáo trình có liên quan đến công thức Taylor trao đổi với giáo viên hướng dẫn kết mà tìm Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu vận dụng cơng thức Taylor đa thức, tính giới hạn hàm số, tính gần đạo hàm, giải gần phương trình vi phân, tìm cực trị giải toán nội suy Taylor, Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Đề tài có ý nghĩa mặt áp dụng, giải tốn gần đúng, tìm cực trị, tốn nội suy Nội dung luận văn Luận văn gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận phụ lục: Chương trình bày số kiến thức có liên quan Công thức Taylor hàm biến, hàm nhiều biến ánh xạ từ Rn đến Rm Chương ứng dụng Công thức Taylor hàm số toán nội suy Taylor Luận văn hoàn thành với hướng dẫn bảo tận tình TS Phan Đức Tuấn Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc quan tâm, động viên bảo hướng dẫn thầy CHƯƠNG CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ Chương trình bày số kiến thức có liên quan q trình vận dụng cơng thức Taylor trình bày cơng thức Taylor hàm biến, hàm biến ánh xạ Các kiến thức chương tham khảo từ tài liệu [4], [5], [6] 1.1 CÔNG THỨC TAYLOR CỦA HÀM MỘT BIẾN 1.1.1 Một số định nghĩa, định lý Định nghĩa 1.1 Cho vành A vành giao hoán có đơn vị Ta gọi đa thức bậc n biến x biểu thức có dạng Pn (x) = an xn + an−1 xn−1 + + a1 x + a0 (an = 0), ∈ A gọi hệ số, an gọi hệ số bậc cao a0 gọi hệ số tự đa thức Định nghĩa 1.2 Cho f (x) hàm số xác định khoảng (a, b); nói f (x) liên tục điểm x0 ∈ (a, b) lim f (x) = f (xo ) x→x0 (1.1) Hàm số f (x) xác định liên tục khoảng (a, b) f (x) liên tục điểm x ∈ (a, b) Định nghĩa 1.3 Cho hàm số f (x) xác đinh khoảng (a, b); nói hàm số f (x) khả vi điểm c ∈ (a, b) tồn giới hạn f (x) − f (c) = A, x = c x→c x−c lim (1.2) Nếu hàm số f (x) khả vi điểm x ∈ (a, b) ta nói f (x) khả vi khoảng (a, b) Định lý 1.1 (Định lý Rolle) Cho hàm số f (x) xác định, liên tục khoảng đóng [a, b] khả vi khoảng mở (a, b), giả sử f (a) = f (b); tồn c ∈ (a, b) cho f (c) = Định lý 1.2 Cho hàm f (x) xác định, liên tục khoảng đóng [a, b] , khả vi khoảng mở (a, b), tồn điểm c ∈ (a, b) cho f (b) − f (a) = f (c) b−a (1.3) Định lý 1.3 (Định lý Cauchy) Cho f(x), g(x) hai hàm số liên tục khoảng đóng [a, b], giả sử f (x) g(x) khả vi khoảng mở (a, b) g (x) = với x ∈ (a, b) Khi tồn c a b cho f (b) − f (a) f (c) = g(b) − g(a) g (c) (1.4) Định lý 1.4 (định lý trung bình thứ giá trị trung bình tích phân) Giả sử f (x) khả tích [a; b], (a ≤ b) giả sử m ≤ f (x) ≤ M, ∀x ∈ [a; b], tồn µ : m ≤ µ ≤ M cho b f (x)dx = µ(b − a) a Đặc biệt f (x) liên tục đoạn [a; b] tồn c ∈ [a; b] cho b f (x)dx = f (c)(b − a) a Định lý 1.5 (định lý trung bình thứ hai giá trị trung bình tích phân ) Giả sử hàm số f g khả tích đoạn [a; b] thỏa mãn a) m ≤ f (x) ≤ M, ∀x ∈ [a; b] b) g(x) không đổi dấu [a; b] Khi đó, tồn số thực µ ∈ [m; M ] cho b b f (x).g(x)dx = µ a f (x)dx a Định lý 1.6 Giả sử hàm f hàm số liên tục [a; b] g hàm số khả tích đoạn [a; b] Nếu g(x) không đổi dấu đoạn [a; b] 40 Thế điều kiện ban đầu vào (2.26) ta thu y (0) = −1, Đạo hàm hai vế (2.26) đến bậc năm ta có y = −0, 2y y − 0, 1(xy + y) − y , y (4) = −0, 2(y y + y ) − 0, 1(x + 2y ) − y , y (5) = −0, 2(y y (4) + 2y y ) − 0, 1(xy + 2y ) − y Thay x = 0, y(0) = 1, y (0) = 2, y (0) = −1, 4, vào biểu thức ta thu y (0) = −1, 54; y (4) (0) = 1, 224 Và y (5) (0) = 0, 1768 Vậy nghiệm xấp xỉ đến x5 toán Cauchy y ≈ + 2x − 0, 7x2 − 0, 2568x3 + 0, 051x4 + 0, 00147x5 Phương pháp hệ số bất định Phương pháp thường áp dụng để giải phương trình với hệ số biến thiên Ta trình bày phương pháp hệ số bất định giải phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số biến thiên sau y + p(x)y + q(x)y = f (x) (2.28) với điều kiện ban đầu y(0) = yo , y (0) = y0 Giả sử hàm p,q f khai triển thành chuỗi Maclauren p(x) = p(0) + p (0) p (0) x+ x + 1! 2! q (0) q x + x2 + 1! 2! f (0) f (0) f (x) = f (0) + x+ x + 1! 2! Với k = 0, 1, 2, , đặt q(x) = q(0) + p(k) (0) = pk , q (k) (0) = qk , f (k) (0) = fk Khi p(x) = p0 + p1 x + p2 x2 + q(x) = q0 + q1 x + q2 x2 + 41 f (x) = f0 + f1 x + f2 x2 + Xét xấp xỉ p(x) ≈ p0 + p1 x + p2 x2 + + pn x q(x) ≈ q0 + q1 x + q2 x2 + + qn x f (x) ≈ f0 + f1 x + f2 x2 + + fn x Ta tìm nghiệm phương trình (2.28) dạng y(x) ≈ a0 + a1 x + a2 x2 + + an x (2.29) an cần xác định Thay xấp xỉ đa thức bậc n y (x), y (x), p(x), q(x) f (x) vào phương trình (2.28) Ta thu n n n k(k − 1)ak x k−2 + pk x k kak x k=0 k=1 k=2 n + n qk x k=0 kak xk−1 k−1 k n k f k xk ak x = k=0 (2.30) k=0 Đồng hệ số xk hai vế đẳng thức (2.30) ta thu phương  trình  2a2 + a1 p0 + a0 p0 = f0       3.2a3 + 2a2 p0 + a1 p1 + a1 q0 + a0 q1 = f1 (2.31) 4.3a4 + 3a3 p0 + 2a2 p1 + + a0 q2 = f2    5.4.3a5 + 4a3 p0 + 3a3 p1 + + a0 q3 = f3     = f n Hệ số a0 , a1 xác định từ điều kiện ban đầu: a0 = y(0) = α; a1 = y (0) = β Thế a0 , a1 vào phương trình thứ hệ ta tìm a2 Thế vào phương trình thứ hai hệ ta tìm a3 Tiếp tục qus trình ta tìm hệ số ak cịn lại Như ta tìm nghiệm xấp xỉ phương trình vi phân Ví dụ 2.35 Tìm nghiệm xấp xỉ dạng đa thức bậc phương trình y − xy + y = − cos x (2.32) 42 với điều kiện ban đầu y(0) = 0, y (0) = Giải Theo phương pháp hệ số bất định phương trình (2.32) có: p(x) = −x, q(x) = 1, f (x) = − cos x Đa thức bậc xấp xỉ hàm p,q x x4 x6 x8 + − f (x) ≈ − 2! 4! 6! 8! Nghiệm xấp xỉ phương trình (2.32) có dạng y(x) = a0 + a1 x + + a8 x8 Ta có y (x) = a1 + 2a2 x + 3a3 x + + 8a8 x7 , y (x) = 2a2 + 3.2a3 x + + 8.7a8 x6 Thế y (x), y (x), y(x) cá đa thức xấp xỉ vào phương trình (2.32) Đồng thức hệ số ta thu hệ phương trình (2.31).Từ điều kiện ban đầu ta suy a0 = y(0) = 0; a1 = y (0) = Thế vào hệ ta tìm ak nên thu nghiệm xấp xỉ x4 x6 11x8 y(x) ≈ x + + + 24 360 4032 2.6 CÁC BÀI TỐN TÌM CỰC TRỊ Bài toán liên quan đến cực trị tốn phổ biến sử dụng đề thi Một phương pháp để giải vấn đề ứng dụng định lí Tayor Sau ta tìm hiểu số toán liên quan đến cực trị 2.6.1 Cực trị hàm biến Giả sử f (x) có đạo hàm liên tục đến cấp n lân cận điểm c, giả sử f (c) = f (c) = = f (n−1) (c) = 0; f (n) (c) = 43 Khi Nếu n chẵn f (x) đạt cực trị x = c, cụ thể x = c điểm cực tiểu f (n) (x) > 0; x = c điểm cực đại f (n) (x) < Nếu n lẻ f (x) khơng đạt cực trị x = c Chứng minh Ta có khai triển Taylor điểm x = c theo giả thiết f (c) = f (c) = = f (n−1) (c) = 0, có: f (n) (d) (x − c)n f (x) = f (c) + n! với d x c Từ biểu diễn trên, suy Nếu n chẳn: (x − c)n > f (n) (c) > 0; f (n) (x) liên tục lân cận x = c nên có lân cận đủ bé c cho f (n) (x) > với x thuộc f (n) (d) (x − c)n > 0, nghĩa đoạn lân cận đó, vậy: lân cận đó: n! f (x) > f (c) với x thuộc lân cận đó, vậy: lân cận đó, f (x) đạt cực tiểu x = c Với trường hợp f (n) (c) < lập luận tương tự, đến kết luận x = c điểm cực đại f (x) Nếu n lẻ, (x − c)n đổi dấu vượt qua giá trị x = c, f (x) − f (c) có dấu thay đổi vượt qua giá trị x = c Vậy x = c khơng thể điểm cực trị Ví dụ 2.36 Xét cực trị hàm f (x) = ex + e−x + cos x x = Giải Ta có: f (x) = ex − e−x − sin x f (x) = ex + e−x − cos x f (x) = ex − e−x + sin x f (4) (x) = ex + ex + cos x Từ f (0) = f (0) = f (0) = f (4) (0) = > n = chẵn Vậy x = điểm cực tiểu địa phương hàm số Ví dụ 2.37 Tìm cực trị hàm số y = x − ln(1 + x) Giải 44 Ta có x x+1 y =0→x=0 y = (x + 1) y = y (0) = > n = chẵn Vậy hàm số đạt cực tiểu x = ymin = y(0) = Ví dụ 2.38.Tìm cực trị hàm số y = sin x − x cos x Giải Ta có y = x sin x x=0 y =0⇒ x = kπ Xét y = sin x + x cos x Từ ta có y (0) = y (kπ) = (−1)k kπ, k = 0, k ∈ R Với k = 2m, m = 0, m ∈ y (2mπ) = 2mπ > n = chẵn nên hàm số đạt cực tiểu Với k = 2m + 1, m = 0, m ∈ y (2mπ + π) = −(2m + 1)π < n = chẵn nên hàm số đạt cực đại Xét y = cos x + sin x, y (0) = > Từ ta có y (0) = = n = lẻ nên hàm số khơng có cực trị x1 = Ví dụ 2.39 Tìm cực trị hàm số y = x4 (x − 1)3 + Giải Ta có y = x3 (x − 1)2 (7x − 4)  x1 =  y = →  x2 = x3 = 47 Ta xét y = x2 (x − 1)(42x2 − 48x + 12) y (0) = 45 y (1) = 43 33 y = > n = chẵn nên hàm số đạt cực tiểu x3 = 7 Và y = x (3x − 2)(4x − 4x + 12) + x(x − 1)(8x − 4) , y (0) = y (1) = > n = lẻ nên hàm số khơng có cực trị x2 = 2.6.2 Cực trị hàm nhiều biến Định nghĩa 2.1 (Cực trị địa phương) Cho D mở Rn , f : D → R x ∈ D Ta nói f đạt cực đại (cực tiểu) địa phương tồn lân cận U x cho: f (x) ≥ f (y) (f (x) ≤ f (y)) với y ∈ U Ta nói f đạt cực trị địa phương f đạt cực tiểu cực đại địa phương Định lý 2.1 (Điều kiện cần để có cực trị) Giả sử f có đạo hàm riêng theo biến xi , i ∈ 1, n Nếu f đạt cực ∂f trị địa phương x (x) = với i ∈ 1, n ∂xi Chứng minh Với i ∈ 1, n cố định, đặt g(t) = f (x + th) g đạt cực ∂f trị địa phương t = Suy g (0) = Nhưng g (0) = Vậy ∂xi (x) ∂f , ∂xi (x) ∂xi (x) Bổ đề 2.1 Giả sử dạng toàn phương φ : Rn xác định dương Khi tồn λ > cho φ(h) :≥ λ h với h ∈ Rn Định lý 2.2 (Điều kiện đủ để có cực trị địa phương) textitGiả sử g : D → R thuộc lớp C D a ∈ D, f (a) = Khi đó: a Nếu f (a) ≥ f đạt cực tiểu địa phương a; f < f đạt 46 cực đại địa phương b Nếu f (a) dạng toàn phương đối dấu f khơng đạt cực tiểu địa phương a Chứng minh (chứng minh a.) Giả sử f (h, h) > với h = Do bổ đề 2.1 tồn λ > để f (a)(h)2 ≥ λ h với h ∈ Rn Viết khai triển Taylor f a f (a + h) − f (a) = f (a)(h)2 + ε(h) h 2! Với ε(h) → áp dụng bất đẳng thức ta f (a + h) − f (a) ≥ λ + ε(h) h (Chứng minh tương tự cho cực đại.) Xét điều kiện đủ để có cực trị Rn : Giả sử D mở R2 , f : D → R thuộc C (D) ∂f ∂f Và (a, b) = (a, b) = Do công thức Taylor ta có ∂x ∂y f (a+t, b+s)−f (a, b) = 2 ∂ 2f ∂ 2f ∂f (a, b) + 2st (a, b) + s (a, b) +R t ∂x2 ∂x∂y ∂y s ∂ ∂ t +s f (a + θt, b + θs) − Nếu số hạng bậc Trong R = 3! ∂x ∂y khơng triệt tiêu ta bỏ qua số dư R Đặt ∂ 2f A= (a, b), ∂x2 ∂ 2f B= (a, b), ∂x∂y ∂ 2f C = (a, b) ∂y Số hạng bậc là: At2 + 2Bst + Cs2 = s2 Aλ2 + 2Bλ + C , t λ= s Tam thức bậc hai theo λ không đổi dấu AC − B > Từ suy ra: − Nếu AC − B > : f đạt cực trị địa phương (a, b) ∗ f đạt cực đại địa phương A < ∗ f đạt cực tiểu địa phương A > − Nếu AC − B < : f không đạt cực trị địa phương (a, b) Khi đó, 47 điểm (a, b) gọi điểm yên ngựa − Nếu AC − B = ta chưa thể kết luận Ví dụ 2.40 Khảo sát cực trị hàm số f (x, y) = 6x2 y − 24xy − 6x2 + 24x + 4y − 15y + 36y + Giải Ta có: f x (x, y) = 12xy − 24y − 12x + 24 = 12(x − 2)(y − 1) = f y (x, y) = 6x2 − 24x + 12y − 30y + 36 = 6(x2 − 4x + 2y − 5y + 6) = Hay (x − 2)(y − 1) = x2 − 4x + 2y − 5y + = Giải hệ ta điểm dừng M1 (2; 2), M2 2; , M3 (1; 1), M4 (3, 1) Ta tính đạo hàm cấp hai f x2 (x, y) = 12y − 12; xy (x, y) f = 24; f y (x, y) = 24y − 30 a) Tại điểm M1 (2; 2): AC − B = 216 > 0; A = 12 > M1 điểm cực tiểu b) Tại điểm M2 2; 12 : AC − B = 108 > 0; A = −6 < M2 điểm cực đại c) Tại điểm M3 (1; 1): AC − B = 144 < M3 không điểm cực trị d) Tại điểm M4 (3, 1): AC − B = 144 < M4 không điểm cực trị Ví dụ 2.41 Xét cực trị hàm f (x, y) = x2 y Giải Ta có f f x y = 2xy = = 2x2 y = Giải hệ phương trình ta điểm dừng tập tất điểm nằm trục Ox ((x0 , 0), x0 tùy ý) trục Oy ((0; y0 ), tùy ý) Đạo hàm cấp hai hàm số f x2 = 2y , f xy = 4xy, f y2 = 2x2 48 Suy AC − B = Ta không kết luận Tuy nhiên ta có f (x0 , 0) = 0, f (0, y0 ) = f (x, y) ≥ ta thấy f (x, y) ≥ f (x0 , y), f (x, y) ≥ f (0, y0 ) Do tất điểm dừng nói điểm cực tiểu Ví dụ 2.42 Tìm cực trị hàm số f (x, y, z) = x2 + y + z + 2xyz Giải Ta có f x = 2x + 2yz; f y = 2y + 2xz; Giải hệ phương trình   fx=0 fy=0  f =0 z ⇒ f z = 2z + 2xy    x + yz = y + xz =   z + xy = Ta có điểm dừng A(0; 0; 0); B(−1; −1; −1); C(−1; 1; 1); D(1; −1; 1); E(1; 1; −1) Giá trị hàm số không đổi thay đổi vai trò x, y, z thay hai biến số đối nên ta xét cực trị hai điểm A, B Đạo hàm cấp hai hàm số f (x, y, z) f x2 = 1; f xy = z; f xz =y f y2 = 1; f yz = x; f z2 =1 Từ ta tính A hàm số đạt cực tiểu; B hàm số khơng có cực trị Ví dụ 2.43 Tìm cực trị hàm số f (x, y) = (x2 + y )e−(x Giải Ta có đạo hàm cấp hàm số trên: f f +y ) + 2x x2 + y e−(x +y ) + 2y x2 + y e−(x x = 2xe−(x y = 2ye−(x 2 +y ) +y ) +y ) 49 Giải hệ phương trình f f x y =0 =0 x + x2 + y y + x2 + y ⇒ =0 =0 Ta điểm dừng O(0; 0) điểm thuộc đường tròn x2 + y = Đạo hàm cấp hai hàm số (x, y) f x2 = 4x2 x2 + y − 12x2 + e−(x f y2 = 4y x2 + y − 12y + e−(x f xy = 4xy x2 + y − 8xy e−(x +y ) +y ) +y ) ; ; * Tại điểm O(0; 0): AC − B = > 0, A = > nên hàm số có cực tiểu điểm O * Đối với điểm đường tròn x2 + y = Đặt t = x2 + y , f (x, y) = te−t Ta khảo sát hàm số biến số Ta khảo sát t = điểm dừng điểm cực đại Vậy điểm đường tròn x2 + y = hàm số đạt cực đại Ví dụ 2.44 Tìm cực trị hàm số f (x, y) = xy Giải Ta có y(1 − 2x2 − y ) fx= − x2 − y f y = − x2 − y x(1 − 2y − x2 ) − x2 − y Giải hệ phương trình f f x y =0 =0 ⇒ y(1 − 2x2 − y ) = x(1 − 2y − x2 ) = Ta điểm dừng A(0; 0) , 1 1 √ ; −√ , D −√ ; √ 3 3 Ta tính đạo hàm cấp hai f (x, y) C f x2 B 1 √ ;√ , 3 1 , E −√ ; −√ 3 2xy(−1 + y ) = − x2 − y 50 , f xy 2xy(−1 + x2 ) f y2 = − x2 − y (1 − x2 − y )(1 − 2x2 − 3y ) + 2y(1 − 2x2 − y ) = − x2 − y Từ ta tính hàm số f (x, y) đạt cực tiểu C, D f (x, y)đạt cực đại B, D 2.7 BÀI TỐN NỘI SUY TAYLOR 2.7.1 Bài tốn nội suy Taylor hàm biến Cho x0 , ak ∈ với k = 0, 1, 2, , N − Hãy xác định đa thức T (x) có bậc khơng vượt N − thỏa mãn điều kiện T (k) (x0 ) = ak , ∀k = 0, 1, , N − (2.33) Giải: N −1 Ta thấy đa thức T (x) = αk (x − x0 )k , có bậc deg T (x) ≤ N −1 k=0 Ta cần xác định hệ số αk ∈ cho T (x) thỏa mãn điều kiện T (k) (x0 ) = ak , ∀k = 0, 1, , N − Lần lượt lấy đạo hàm T (x) đến cấp thứ k, k = 0, 1, , N − x = x0 theo (2.33) Ta suy ra: αk , ∀k = 0, 1, N − αk = k! Thay αk vào biểu thức T (x) ta N −1 T (x) = k=0 ak k! (x k − x0 ) (2.34) Với k = 0, 1, N − 1, ta có N −1 T (k) (x0 ) = ak + j=k+1 aj j−k (x − x0 ) (j − k)! Do đa thức T (x) thỏa mãn điều kiện T (k) (x0 ) = ak , ∀k = 0, 1, , N − Như ta cần chứng minh đa thức T (x) 2.15 đa thức thỏa mãn điều kiện toán nội suy Taylor 51 Giả sử tồn đa thức T∗ (x), có bậc T∗ (x) ≤ N − thỏa mãn điều kiện tốn đó, đa thức P (x) = T (x) − T∗ (x) có bậc P (x) ≤ N − đồng thời thỏa mãn điều kiện P (k) (x0 ) = 0, ∀k = 0, 1, , N − Điều có nghĩa đa thức P (x) đa thức có bậc khơng q N − mà lại nhận x0 làm nghiệm với bội không nhỏ thua N , nên P (x) ≡ Vậy T (x) = T (x0 ) 2.7.2 Bài toán nội suy Taylor hàm nhiều biến Cho (x0 , y0 ) ∈ R2 số thực aij , i, j ∈, ≤ i, j ≤ n Tìm đa thức hai biến P (x, y)có bậc deg P (x, y) ≤ n thỏa mãn ∂kP (x0 , y0 ) = aij , i + j = k, k = 0, 1, 2, , n ∂xi ∂y j Giải: Đầu tiên, ta dễ thấy đa thức n αij (x − x0 )i (y − y0 )j , i + j = 0, 1, 2, , n; i, j ∈ N P (x, y) = i+j=0 có bậc deg P (x, y) ≤ n Bây ta cần xác định hệ số αij ∈ cho P (x, y) thỏa mãn điều kiện ∂ i+j P (x0 , y0 ) = aij , i + j = k, k = 0, 1, 2, , n ∂xi ∂y j Lần lượt lấy đạo hàm P (x, y) đến cấp thứ k, k = i + j = 0, 1, 2, , n (x, y) = (x0 , y0 ), ta có: ∂ i+j P (x0 , y0 ) = aij i!j!, i + j = k, k = 0, 1, 2, , n ∂xi ∂y j Sử dụng giả thiết ∂ i+j P (x0 , y0 ) = aij , i + j = k, k = 0, 1, 2, , n ∂xi ∂y j Ta suy αij = aij , ∀i + j = k, k = 0, 1, 2, , n i!j! 52 Thay giá trị αij n P (x, y) = i+j=0 aij i!j! (x i − x0 ) (y − y0 )j , i+j = 0, 1, 2, , n; i, j ∈ N (2.35) Tương tự trường hợp biến, ta chứng minh đa thức P (x) nhận 2.35 đa thức thõa mãn điều kiện toán 53 KẾT LUẬN Dưới hướng dẫn khoa học, nhiệt tình TS Phan Đức Tuấn, với nỗ lực học tập, nghiêm túc nghiên cứu thân tác giả, kết luận văn trình bày theo hệ thống sau đây: Trình bày lại kiến thức liên quan đến công thức Taylor kiến thức có liên quan Hệ thống lại số ứng dụng công thức Taylor Ở tác giả tìm hiểu trình bày ứng dụng Luận văn trình bày ứng dụng cơng thức Taylor để giải vấn đề: xấp xỉ, đánh giá sai số, tính gần đúng, tính giới hạn, giải số bất đẳng thức, giải gần phương trình vi phân, tìm cực trị toán nội suy Taylor Trong ứng dụng đưa ví dụ đa dạng để dễ dàng nắm bắt vấn đề Vì thời gian kiến thức cịn hạn chế nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Rất mong quan tâm, đóng góp thầy để luận văn hoàn thiện hơn.Em xin chân thành cảm ơn! 54 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Ban biên tập Trường Đại học sư phạm Hà Nội (2013), Giáo trình giải tích số , NXB Đại học Cần Thơ [2] Tạ Văn Đĩnh(1998), Phương pháp tính, NXB Giáo Dục [3] Nguyễn Văn Mậu (2007), Các toán nội suy áp dụng, NXB Giáo Dục [4] Nguyễn Văn Khuê, Phạm Ngọc Thao, Lê Mậu Hải, Nguyễn Đình Sang (1997), Toán cao cấp tập II (A2), NXB Giáo Dục [5] Nguyễn Xuân Liêm (1998), Giải tích tập I , NXB Giáo Dục [6] Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh (2009), Toán học cao cấp tập 1+2+3 , NXB Giáo Dục [7] Trần Văn Toản (2007), Phương pháp số thực hành, NXB ĐHQG Hà Nội [8] T.Y.Liaskô, A.C Bơiatruc, G.P.Gooloobac (1978), Giải tích tốn học tập I ,NXB Đại học Trung học chuyên nghiệp Tiếng Anh [1] Tom M Apstol (1961), Calculus (volume 1), Xerox Corporation, Printed in the United States Of America ... chất công thức Taylor ứng dụng Nhiệm vụ nghiên cứu luận văn hệ thống ứng dụng công thức Taylor Phương pháp nghiên cứu Thu thập báo khoa học tài liệu tác giả nghiên cứu liên quan đến công thức Taylor. .. pháp nghiên cứu, đưa hàm đa thức xấp xỉ để dễ dàng việc tính tốn ,và cơng thức Taylor công cụ hữu hiệu sử dụng rộng rãi để đưa hàm đa thức xấp xỉ Công thức Taylor ứng dụng để giải vấn đề liên quan... THỨC CƠ SỞ 1.1 CÔNG THỨC TAYLOR CỦA HÀM MỘT BIẾN 1.1.1 Một số định nghĩa, định lý 1.1.2 Công thức Taylor 1.1.3 Công thức Maclaurin 1.1.4 Công