Đang tải... (xem toàn văn)
Mét trong nh÷ng néi dung khã nhÊt cña lo¹i ph¬ng tr×nh vµ bÊt ph¬ng tr×nh chøa c¨n chÝnh lµ x¸c ®Þnh tiªu chuÈn ®Ó mét biÓu thøc chøa c¨n cã thÓ ph©n tÝch ®- îc thµnh nh©n tö.[r]
(1)Sở giáo dục & đào tạo bắc giang
S¸ng kiÕn kinh nghiƯm
Mét sè dạng phơng trình - bất phơng trình chứa thức phơng pháp giải
Môn : Toán Khối : 9
Năm học 2007 - 2008
Phũng giỏo dục & đào tạo Lạng giang
S¸ng kiÕn kinh nghiệm Một số dạng phơng trình - bất phơng trình chứa căn
thức phơng pháp giải
Môn : Toán Khối : 9
Phần ghi số phách Phòng GD & ĐT
(2)Ngi thực hiện: Vũ Minh Sơn đánh giá tổ chuyên môn
(Nhận xét, đánh giá xếp loại)
đánh giá hội đồng nhà trờng
(Nhận xét, đánh giá xếp loại, ký đóng dấu)
S¸ng kiÕn kinh nghiệm Một số dạng phơng trình - bất phơng trình chứa căn
thức phơng pháp giải
Môn : To¸n Khèi : 9
đánh giá, xếp loại Phòng giáo dục đào tạo (Nhận xét, đánh giá xếp loại, ký đóng dấu)
tác giả :
Đơn vị công tác :
A t
Phần ghi số phách Phòng GD & §T
(3)Trong chơng trình dạy tốn nói chung trung học sở, có nhiều vấn đề mà ngời dạy cần quan tâm, đánh giá suy nghĩ để từ t tổng hợp, tiến hành thực áp dụng việc đổi giúp cho việc giảng dạy thầy hiệu hơn, việc tiếp thu trò dễ dàng học trò hứng thú với việc học tập tr -ờng Qua nghiên cứu chơng trình giảng dạy tơi nhận thấy phân môn Đại số lớp phần tập liên quan đến thức phép biến đổi thức đặc biệt dạng toán phơng trình bất phơng trình chứa thức học sinh thực khó khăn, số đề thi học sinh giỏi cấp dạng tốn liên quan đến giải phơng trình bất phơng trình chứa thức tốn hay khó
Trong năm gần đây, việc đổi phơng pháp dạy học yêu cầu bắt buộc tất môn học, cụ thể phải áp dụng linh hoạt ph-ơng pháp để tạo cho học sinh học tập có hệ thống, tự giác việc nghiên cứu lý thuyết nh tìm tịi lời giải, phát triển tính sáng tạo học sinh việc vận dụng kiến thức học để khám phá lời giải tập, thống kê đa chúng số dạng sở thực việc giải tốn cách dễ dàng
Qua q trình giảng dạy đối tợng học sinh, thực việc tổng hợp số dạng toán phơng trình - bất phơng trình chứa thức phơng pháp giải, bớc đầu đạt đợc kết định Tôi mạnh dạn tổng hợp viết
sáng kiến kinh nghiệm Một số dạng phơng trình bất phơng trình phơng
phỏp gii khuụn khổ chơng trình tốn trung học sở nhằm mong muốn đợc đồng nghiệp tham khảo cho ý kiến
B giảI vấn đề
Một điều cần lu ý phơng trình bất phơng trình chứa tính khơng thuận nghịch phép tốn Nhìn chung dạng ph-ơng trình bất phph-ơng trình phph-ơng trình, bất phph-ơng trình đa phơng trình bất phơng trình đại số bậc nguyên Vì cần lu ý đến điều kiện có nghĩa biểu thức
VÝ dô 1: A(x) = (1 + x)2 + (1 - x)2 vµ
B(x) = + 2x A(x) = B(x) x >
Ví dụ 2: Xét phơng trình A(x) = B(x) (1) điều kiện B(x) quan
trọng Nếu cha biết thơng tin B(x) khơng thể viết: (1) A(x) = B(x)
(4)Ví dụ 3: Giải phơng trình x 1 = 1 x
Phơng trình có nghiệm x = (2) Nếu dựa vào phép tính biến đổi ta thấy:
(2) x - = (1 - x)2
2 1
x x
Do vậy, trờng hợp, cần phải xem xét điều kiện có nghĩa phơng trình cách chi tiết, sau tiến hành phép biến đổi tơng đơng
1 Quy tắc giản ớc : Khác với biểu thức đại số bậc nguyên thừa số khác không, ta giản ớc đặt thừa số chung Đối với biểu thức chứa căn, cần đặc biệt lu ý ti iu kin cú ngha
Bài toán 1: Giải phơng trình: (x 1))x + (x 2)x = x(x3)
Giải: Điều kiện có nghĩa:
(x - 1)x x (x - 2)x x = x(x + 3) x - 1) x = lµ mét nghiƯm
2) Xét x giản ớc hai vế phơng trình cho x
x + x = x3
2x - + (x 1)(x 2) = x + (x 1)(x 2) = - x
6 - x x
x =
3 28
4 (x2 - 3x + 2) = 36 - 12x + x2 3x2 = 28
Kết hợp với điều kiện x ta đợc nghiệm x =
3 28
3) Xét x - viết phơng trình cho dới dạng:
) )(
( x x + (2 x)( x) = ( x)( x 3)
Gi¶n íc vÕ cho x
x
1 + 2 x = 3 x
Trờng hợp phơng trình vơ nghiệm vế trái lớn vế phải Tóm lại: phơng trình cho có hai nghiệm x = x =
3 28
2 Quy tắc thay giá trị:
S dng hng đẳng thức: (u + v) 3 = u3 + v3 + 3uv (u +v)
Tõ biÓu thøc u + v = a dƠ dµng suy ra: u3 + v3 + 3uva = a3
Tuy nhiên, phép giá trị u + v = a vào biểu thức lập phơng dẫn đến phép bình phơng phép biến đổi khơng cịn phép biến i tng ng
Bài toán 2: Giải bất phơng trình: x + 3 3 x
m (1)
Gi¶i: (1) 3 x m - 3 x
- x m3 - 3m23 x + 3m3 x2 - x
3m x2 - 3m2 x + m3 - 0
1) m = 0, x lµ nghiƯm
2) m xÐt tam thøc bËc hai:
f(t) = 3mt2 - 3m2t + m3 - 3, víi t = 3 x
= 9m4 - 12m(m3 - 3) = - 3m4 + 36m = - 3m(m3 - 12)
(5)- + -
a) NÕu m < th× < => f(t) 0, t VËy x lµ nghiƯm
b) NÕu < m 312 th× f(t) 0 => m m
t
m m Từ ta đợc
m m
3x
m m 3
c) m > 312 th× < => f(t) > t , bất phơng trình vô nghiệm
Bài toán 3: Giải phơng trình: 2 x x2
+ 2 x x2 = Giải: Lập phơng hai vế ta đợc:
4 + 33 2 x x2
2 x x2 (3 2xx2 + 2 x x2 ) = Vậy phơng trình tơng đơng với:
3 2 x x2
+ 2 x x2 = 3 2 x x2
2 x x2 =
V× 2 x x2
> nªn suy ra: 2 x x2 = =>
2 1 x x Hai giá trị thoả mãn phơng trỡnh ó cho
3 Phép hữu tỉ hoá:
Một phơng pháp để giải phơng trình bất phơng trình chứa chuyển toán cho dạng hữu tỷ (bậc nguyờn) bng cỏch t n ph
Bài toán 4: Giải phơng trình: x1 = (a4 x - 4 x1)x
Giải: Điều kiện x
Nhận xét: a , x = không nghiệm phơng trình Chia vế phơng
trình cho x4 x, ta đợc: x x
= a (1)
+ Nếu a phơng trình vô nghiƯm
+ Xét a > (1)
x x1
= a54 x =
1 a
Bµi toán 5: Giải phơng trình: 5 x
+ x = (1)
Giải: Điều kiện x 5; Đặt x 1 = y +
2 , -
2
y
2
Khi đó:
x = (y +
2
2 )4 + 1, 4 5 x = 4 )4
2 ( 4 y Thay vào (1) ta đợc phơng trình:
4
4 )
2 (
4 y + y +
2 =
2 ( y +
2
2 )4 + (y -
2
2 )4 = 4
(y +
2
2 )2 - (y -
2
2 )2 2 + 2(y2 -
2
) 2 = 4 2y4 + 6y2 -
2
= => y =
2
Vậy phơng trình có nghiệm x1 = ( )4
2 2
2
+ =
x2= (- )4
2 2
2
(6)Bài toán 6: Giải bất phơng trình: 2( x x) 41 x
+ x
Giải: Điều kiện x
Viết bất phơng trình cho dới dạng:
(41 x+ 4 x)2 + (41 x - 4 x)2 41 x + 4 x (1)
Đặt 41 x + 4 x = y
41 x
- x
Do Nªn: y suy y2 y x x
Do vËy (41 x
+ x)2 41 x+ x
Vậy (1) luôn Suy nghiệm đoạn 0;1
4 PhÐp chun vỊ hệ: (hữu tỉ hoá gián tiếp)
Nhỡn chung, cỏc phơng trình bất phơng trình chứa thức chuyển đợc hệ hữu tỉ Tuy nhiên, khơng phải cho thấy tính u việt hệ nhận đợc Thơng thờng, phép tốn chuyển hệ có hiệu phép tốn có sử dụng đẳng thức quen biết
Bài toán 7: Giải phơng trình
x x
5
+
x x
5
=
Giải: Điều kiện: -5 < x < 5; Đặt 5 x = u ; 5x = v ; < u , v < (*) Khi ta đợc hệ:
u2 + v2 = 10
-u
4 -
v
4
+ 2(u + v) = (u + v)2 = 10 + 2uv
(u + v)(1 -
uv
2 ) =
3 Đặt tiếp
uv
2
= t uv =
t
2 , t >
5 Ta đợc hệ: (u + v)2 = 10 +
t
4 (u + v)2 =
2
) (
16
t
uv =
t
2
Vậy t phải thoả mÃn phơng trình 9(1 )2
16
t
= 10 + t
4
8t = 45t(1 - t)2 + 18(1 - t)2 45t3 - 72t2 + t + 18 = 0
15 (3t3 - 2t2) - 14 (3t2 - 2t) - 9(3t - 2) = (3t - 2) (15t2 - 14t - 9) = 0
t =
=> uv =
t =
15 46
7 => uv =
46
30
= a1 VËy u,v lµ nghiƯm cđa mét hai hƯ sau:
(u + v)2 = 10 + 2uv = 16 u
1 = ; v1 =
(1) => (u - v)2 = 10 - 2uv = u
2 = ; v2 =
u3 =
2
( 102a1 10 2a1)
(u + v)2 = 10 + 2a
1 v3 =
2
( 102a1 10 2a1)
(7)(u - v)2 = 10 - 2a
1 u4 =
2
( 102a1 10 2a1)
v4 =
2
( 102a1 10 2a1)
Các nghiệm thoả mãn điều kin (*)
Suy nghiệm phơng trình là: x = -
k
u , k = 1,2,3,4
Bài toán 8: Giải phơng trình: x2 - 2x = 2 2x 1
Giải: Điều kiện x
2
Đặt 2x = y + Chọn , để hệ : x2 - 2x = ( y + )
( y + )2 = 2x -
Là hệ đối xứng: Lấy = 1, = -1
Ta đợc hệ:
x2 - 2x = 2(y - 1)
( x
2
, y 1) (*) y2 - 2y = 2(x - 1)
x2 - 2x = 2(y - 1)
(x2 - 2x) - (y2 - 2y) = 2(y - 1) - 2(x - 1)
y = x
x2 - 2x = 2(y - 1) x2 - 2x = 2(x - 1)
x2 - y2 = y = - x
x2 - 2x = 2(- x - 1)
y = x
x = y =
x2 - 4x + = 0
y = -x
( v« nghiÖm) x2 = -2
Đối chiếu với điều kiện hệ (*) ta đợc nghiệm phơng trình :
x = +
Bài toán 9: Giải phơng trình: x + x =
2
Giải: Điều kiện x Đặt x = u
4 x = v u 2; v 2 u + v =
2
u = (
2
- v)
đợc hệ (1) u2 + v4 = (
2
- v)2 + v4 = 2
Giải phơng trình (1): v4 + v2 - 2 v +
2
=
(v4 + 2v2 + 1) - (v2 + 2v +
2
) =
(v2 + 1)2 - (v +
2
)2 = 0 (v2 + v + +
2
)(v2 - v + -
2
) =
Vế trái ln ln dơng, phơng trình cho vơ nghiệm
(8)Một nội dung khó loại phơng trình bất phơng trình chứa xác định tiêu chuẩn để biểu thức chứa phân tích đ-ợc thành nhân tử Tuy nhiên, dựa vào đặc thù riêng bài, xem phận thích hợp biểu thức cho nh biến số độc lập phân tích chúng theo biến phụ
Bµi toán 10 : Giải phơng trình:
4 1x - = 3x + 1 x + 1 x2 (1)
Phân tích: Coi 1 x = t nh biến độc lập Khi viết (1) dới dạng:
4 1x - = 3(1 - t2 ) + 2t + t 1x
3t2 - (2 + x
1 ) t + 4( 1x - 1) = (2)
Cịng nh vËy, nÕu coi 1x = t lµ ẩn phụ có phơng trình
t-ơng tự Tuy nhiên, may mắn để giải đợc pht-ơng trình (2) theo tam thức bậc hai t xảy Đó điểm nút quan trọng phơng pháp đặt ẩn số phụ khơng tồn phần: Thơng thờng, trớc giải, ta cần xét biểu diễn số hạng 3x dới dạng tổ hợp số:
( 1 x)2 ; ( 1x)2 ; 3x = (1 - x) + (1+ x) +
Và chọn , , thích hợp để tam thức theo biến t có bit thc =
Giải: Điều kiện -1 x (1) Đặt x = t
3x = - (1 - x) + (1 + x) - = - t2 + 2(x + 1) - 1
Khi phơng trình (1) có dạng
4 1x - = - t2 + 2(x + 1) - + 2t + t 1x t2 - (2 + x
1 )t + 1x - 2(1 + x) = (3)
= (2 - 1x)2
Suy (3) (t - 1x) (t - + 1x) =
t = 1x 1 x = 1x x = -
5
t = - 1x 1 x = - 1x x =
Cả hai giá trị thoả mãn điều kiện (1) Vậy phơng trình có hai nghiệm x = x = -
5
6 Phép giải biện luận:
Việc giải phơng trình bất phơng trình chứa thức có tham số thờng đợc tiến hành theo đặc thù cụ thể để tìm cách giải tối u Để có cách hệ thống bớc, ta xếp việc biện luận theo trỡnh t di õy:
Bài toán 11 : Giải biện luận bất phơng trình
2
x x – m (1)
Phân tích: Các điểm đặc biệt: x = 1, x = m
-1 m Từ đó, suy phép biện luận theo s phõn b ca m
Giải: Điều kiÖn x x - 1) m = (1) x2 x -
a) x - => x Suy x - lµ nghiÖm b) x - => x
Bất phơng trình (1) x2 - x2 - 2x + x 1
VËy x
Lµ nghiƯm x -
2) m = -1 (1)
x x + (2)
a) x - lµ nghiƯm
(9) x -1 (lo¹i)
VËy x -1 lµ nghiƯm
3) m < -1
a) x < m lµ nghiƯm
b) Xét x m bất phơng trình (1) x2 -1 x2 - 2mx + m2 2mx m2 + x
m m
2
2
=> m
x
m m
2
2
VËy x
m m
2
2
lµ nghiƯm.
4) -1 < m <
a) x -1 lµ nghiƯm b) Xét x
Bất phơng trình (1) x2 -1 x2 -2mx + m2 2mx m2 + (*)
+ -1 < m ( * ) vô nghiệm + < m < th× ( * ) x
m m
2
2
thoả mÃn điều kiện x 1
Vậy x -1 x
m m
2
2
lµ nghiƯm
5) m >
a) x -1 lµ nghiƯm b) Xét x m
Bất phơng trình (1) x
m m
2
2
không thoả mÃn điều kiện x m
Vậy x -1 nghiệm
Bài toán 12: Giải biện luận bất phơng trình sau:
(x m)(xm 2) 2x - m - (1)
Gi¶i: (1) ( 1)2 ( 1)2
m
x 2(x - 1) - (m - 1) (1')
Điều kiện để thức có nghĩa: x 1 + m (2) x - m
1) XÐt 2(x - 1) - (m - 1) x +
1
m
kÕt hợp với (2) (1) có nghiệm: x - m
2) XÐt 2(x - 1) - ( m - 1) > 0 x > +
1
m
kết hợp với (2) ta đợc x > m = x 1 + m m :
(1) (x - 1)2 - (m - 1)2 4(x - 1)2 - 4(m - 1) (x - 1) + (m - 1)2 3(x - 1)2 - 4(m - 1) (x - 1) + 2(m - 1)2 0
(x - 1)2 + (x - 1) - (m - 1) 2 0
x = m =
Trờng hợp vô nghiệm
x - m = x =
KÕt luận: m bất phơng trình có nghiệm x - m
Bài toán 13: Giải biện luận phơng trình: x2 + m = x m
Giải: Điều kiện: x m
t x m = y x = y2 + m ta đợc hệ
y
x2 + m = y x2 + m = y
x = y2 + m (x - y)(x + y + 1) = 0
x m; y x m; y
y = x
(10)x m; y
y = -1 - x
x2 + x + m + = (2)
x m; y 1) Gi¶i hƯ (1)
a) NÕu m < th× (1) cã nghiÖm x = y =
2 1 m
b) Nếu m điều kiện để (1) có nghiệm = - 4m 0 m
4 Khi x - m = x2 => x m hệ (1) có nghiệm x = y =
2 1 m
2) Gi¶i hƯ (2)
a) m + > m > -1 kh«ng xảy x > m
y = -1 - x >
b) NÕu m + th× (2) x =
2 1 m
< m (lo¹i)
y =
2 1 m
x =
2 1 m
(lo¹i)
y =
2 1 m
<
Trờng hợp hệ vô nghiệm Kết luận:
+ Nếu m < phơng trình có nghiệm x =
2
1 m .
+ NÕu m
4
thì phơng trình có nghiệm x =
2
1 m .
+ Nếu m >
phơng trình vô nghiệm
Bài toán 14: Giải biện luận: a
x = x2 +
Giải: Điều kiện: x Viết phơng trình dới dạng
a ( 1)( 1)
x x
x = (x2 + x + 1) - (x - 1)
a ( 1)( 1)
x x
x = ( 1)2 (
x x
x )2
a
1 x x
x = – (
1 x x
x )2
Đặt 1 x x
x = y (1); y
3 3
Cần xác định a để phơng trình :
f(y) = y2 + ay - = (2) cã nghiÖm
3 ;
vì f(0) = -1 nên (2) luôn có mét nghiƯm nhá h¬n VËy (2) cã nghiƯm
3 ;
0 vµ chØ f (
3 3
) a
3 ) ( (3)
Khi phơng trình cho tơng đơng với phơng trình :
1
2
x x
x = y x =
2 2 y y y
y
Víi y =
2
2 a a
(11)i) Víi a < 3 ) (
phơng trình v« nghiƯm ii) Víi a
3 ) (
phơng trình có nghiệm:
x = 2
2 2 y y y
y
víi y =
2
2 a a
bài tập áp dụng
Bài 1: Giải biện luận phơng trình
1) x a
- x b = c
2)
ax
x = ax +
3) x2 ax 1 = x2 1 + x
4) x 1 + 4 2 x = a
Bài 2: Giải biện luận bất phơng trình
1) xa+ x1 a1
2) x(x a) + x(xa) x2
3) x - x
a
4) xa - x a 2x a
Bài 3: Giải phơng trình
1)
x = x2+3x -1
2) x+ x(1 x)2
+ (1 x)3
= 1 x+ x3 + x2(1 x)
3) 2x2 - 6x - = 4 5
x
4) 1+x - 2x2 =
1
x - 2x1
Bài 4: Giải bất phơng trình
1) 4 1
x x
2) 1 x2
( 1 x2 + 2x) - 2x - x2
3) x2 + 8 8
x
4) x2 - 2x - 2(1 - x)
1 2 x x
Bài 5: Giải phơng trình: 1) x + x = 13 2) 2x2 + 3x +
9 2
x
x = 33
3) x3 x1 + x8 x1 =
4)
x
x + 10 14
x
x = 2x x2
Bài 6: Giải phơng trình: 1) 2x5 + 3x =
2)
x x = x +
3)
x x
3 3
= 22
9 x x
4) x2 – + 6
x =
Bài 7: Giải phơng trình:
1) 45
x - 16
x =
2) x + x = 12.
3) 23 x2 - 33 x = 20.
4) x 3 x + x x =
5) 2 x
x -
2 2 x
x =
12
(12)6)
1
3
x x x
-
1 3
x
x = 4.
c KÕt luËn
Cách đa tốn số dạng để có phơng pháp giải hợp lý giúp cho học sinh nhận dạng toán nhanh hơn, phản ứng trớc toán nhạy cảm hơn, làm cho t học sinh hoạt động cách linh hoạt, phát huy tính độc lập sáng tạo tạo hứng thú cho học sinh học tập có kết Để thực cơng việc đòi hỏi ngời thầy phải tham khảo nhiều tài liệu, phải dành thời gian hợp lý ví dụ học khố, học ngoại khố, học tự chọn, thực hành phải thực say mê mơn Tốn với thức đầy hóc búa Hệ thống hố đợc kiến thức liên quan đến phép biến đổi thức, số kỹ biến đổi mang tính định lợng cịn cách đặt cho phù hợp Đối với học trò cần phải nắm kiến thức nhiều mảng liên quan nh phép biến đổi thức, điều kiện có nghĩa biểu thức căn, số phép biến đổi đại số Trong q trình giảng dạy tơi nhận thấy vai trị ngời thầy việc tạo hứng thú học tập cho học sinh học đặc biệt quan trọng, phải luôn đa học sinh vào tình có vấn đề để em t duy, suy nghĩ nhng lại phải tránh nhàm chán, lặp lại Muốn vậy, phải nhiều thời gian cho công việc chuẩn bị giáo án, đặt tình phơng án giải tình dạng tập mà tổng hợp, làm cho tập dễ trở nên thật đơn giản, mà khó trở nên dễ dàng Mặt khác trình giảng dạy phải biết động viên khuyến khích, khích lệ học sinh tham gia tìm tịi sáng tạo, sáng tạo lại kiến thức, kỹ đợc tiếp thu, nghiên cứu Mỗi thầy, cô giáo nên dùng phơng pháp biểu dơng cố gắng em, trân trọng thành lao động sáng tạo em dù nhỏ
Trên số dạng phơng trình – bất phơng trình phơng pháp giải mà trình giảng dạy nghiên cứu tài liệu tổng hợp đợc Tôi mong nuốn bạn đồng nghiệp tham khảo góp ý nội dung phơng pháp để giúp cho sáng kiến ngày hồn thiện thực giúp cho việc học tập học sinh theo phơng pháp ngày hiệu quả./