CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC TRONG KHÔNG GIAN Bài toán1 : Họ mp quanh quanh một điểm cố định. Cho hai điểm phân biệt A và B .Tìm vị trí của mp(P) đi qua B và cách A 1 khoảng lớn nhất.[r]
(1)CÁC BÀI TỐN CỰC TRỊ HÌNH HỌC TRONG KHƠNG GIAN Bài tốn1 : Họ mp quanh quanh điểm cố định
Cho hai điểm phân biệt A B Tìm vị trí mp(P) qua B cách A khoảng lớn Giải : Gọi H hình chiếu vng gốc A lên (P) ,Ta có :
D(A;(P)) = AH AB.
Khi H ≡ B (P) qua B vng góc AB Nên (P) ó1
qua B
C VTPT n AB
Ví dụ : Viết phương trình (P) qua B(1;2;-1) gốc tọa độ O khoảng lớn
Bài toán : Họ mp quanh quanh xung quanh đường thẳng cố định
Cho điểm A đường thẳng (d) khơng qua A Tìm (P) chứa (d) cho d(A;(P)) lớn Giải :
Gọi K H hình chiéu vng góc A lên (d) (P) , Ta có :d(A;(P)) = AH AK d(A;(P)) lớn H ≡ K (P) : ó1
qua K
C VTPT n AK
Ví dụ : Cho (P) : (m-1)x + y + mz – =
Tìm m để khoảng cách từ A(1;1;2) đến (P) lớn
Giải : (P) chứa (d) cố định có pt : x t
y t
z t
.
Gọi K H hình chiéu vng góc A lên (d) (P) , Ta có :d(A;(P)) = AH AK d(A;(P)) lớn H ≡ K. Ta có : K(t;1+t;-t) AK ( t-1;t;-t-2) AK u d 0
nên (t-1)1+t+t+2 = t = -1/3 Vậy : AK(-4/3;-1/3;-5/3) , (P) vuông góc AKnên :
1
4
m m
m = 5.
Ví dụ : Cho điểm A(1;1;1) , B(2;1;0) C(2;0;2).Viết pt(P) qua B,C d(A;(P)) lớn
Bài toán 3: cho đương thẳng d d’ phân biệt không song song Viết (P) chứa d tạo với d’ 1 góc lớn
Giải : Lấy K (d) dựng qua K đường thẳng (a) //(d’) Gọi A điểm (a) H hình chiếu A lên (P),ta có : ( ';( ))d P AHK
Kẽ AT d T ,khi
os HK KT
C AHK
AK AK
Vậy ( ';( ))d P AHKlớn H≡T Góc lớn
nhất ( ; ')d d AKT
Khi đó(P) cần tìm chứa d vng góc mp(d;d’) nên (P) ó1 d ( d d')
qua K
C VTPT n u u u
P
A
H B
(d)
P
A
H K
(a) d
d'
P
A
K H
(2)Ví dụ :Cho đường thẳng
1 :
1
x y z
d
và
1 ' :
1 1
x y z
d
.Viết (P) chứa d tạo với d’ góc lớn
Giải : Áp dụng cách chứng minh (P) '
(0;1;0)
ó1 d ( d d ) ( 2; 2; 2) qua K
C VTPT n u u u
nên (P) :x+y-z-1 =
Bài toán 4:Họ đường thẳng quay quanh điểm cố định mp cố định.
Cho (P) A∈(P),điểm B ≠A.Tìm d nằm (P) qua A cách B khoảng lớn , nhỏ Giải : Gọi H T hình chiếu B d (P) ,
ta có :BH AB BHBT.Khi khoảng cách lớn H ≡ A nhỏ H ≡ T
Lớn : d ó1 d p
qua A
C VTPT u n AB
Nhỏ : d ó1 d p ( p )
qua A
C VTPT u n n AB
Ví dụ :Viết phương trình đường thẳng d qua A(1;1;1) vng góc d’ cách B(2;0;1) khoảng lớn
Giải : Gọi (P) mp qua A d’ , d nằm (P) qua A cách B khoảng lớn Theo Btốn 4, ta có d
(1;1;1)
ó1 d p (2; 2; 2)
qua A
C VTPT u n AB
Bài toán 5: Cho (P) điểm A thuộc (P) d khơng // hay nằm (P) Tìm d’ nằm (P) qua A tạo với d góc lớn , bé
Giải : Dựng đường thẳng (a) qua A // d (a) lấy B Gọi H K hình chiếu B lên d’ (P), ta có :
( ; ')d d BAH, ( ; ')
BH BK
Sin d d SinBAH
AB AB
Vậy ( ; ')d d BAH nhỏ H≡K
hay d’ AK Hay
d’ ó1 d' p ( p d)
qua A
C VTPT u n n u
Nếu góc lớn ( ; ')d d BAH = 900 thì d’ ó1 d' p d
qua A
C VTPT u n u
Bài toán : Cho (P) điểm A thuộc (P) , d không // (P), không nằm (P), khơng qua A Tìm ∆ (P) qua A cho d(d;∆) lớn
Giải : Dựng d’ qua A // d B giao điểm d (P) Gọi H hình chiếu B lên mp (d’; ∆) d(d ; ∆) = BH Gọi C hình chiéu B lên d’ ,
ta có : BH BC nên BH lớn H ≡ C ,
∆ ó1 p
qua A
(3)có thể thay BC
bằng AT