Trên cạnh BC kéo dài về phía C, lấy một điểm M.[r]
(1)SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO
AN GIANG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC: 2009-2010
MƠN THI: TỐN
Thời gian: 150 (không kể thời gian phát đề)
Bài 1: (4,0 điểm)
Chứng minh số sau số nguyên:
1/ 52 12
(
5 27)
3 3 3
a =ổỗỗỗ - + ửữữữữ +
ỗố - - - ứ
2/ b = 4+ 5 48 10 3+ - + Bài 2: (6,0 điểm)
1/ Cho phương trình ẩn x, tham số m:x2-2(m+1)x m+ 2+2m- =3 Xác định m để phương trình có hai nghiệm x x1, 2 cho 2008< < <x2 x1 2013
2/ Giải hệ phương trình:
(
)
2
3
3 3
2( )
x y x y xy
x y
ìï + = +
ïï
íïï + = ïỵ
Bài 3: (2,0 điểm)
Tìm giá trị nhỏ hàm số:
(
)
(
)
3 2 1 1 2 1 1
y = x + + x + + x + - x +
Bài 3: (4,0 điểm)
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O), tiếp tuyến A C đồng quy với đường thẳng BD M Chứng minh : AB.CD = BC.AD
Bài 4: (4,0 điểm)
Cho tam giác ABC cân A Trên cạnh BC kéo dài phía C, lấy điểm M Một đường thẳng D qua M cắt cạnh CA, AB N P Chứng minh rằng: BM CM
BP - CN không đổi, M D thay đổi
- Hết ĐỀ CHÍNH THỨC
(2)1 GIẢI ĐỀ:
Bài 1: (4,0 điểm) Chứng minh số sau số nguyên:
1) 52 12
(
5 27)
3 3 3 a =ổỗỗỗỗố - + ửữữữữ +
ứ
- -
-(dùng MTCT nh
ập to
àn b
ộ biểu thức tr
ên vào máy
ấn “=”, ta
ngay k
ết
qu
ả l
à: -2)
Gi
ải chi tiết tr
ên gi
ấy:
(
)
2 52 12 5 27 3 3
a =ổỗỗỗỗố - + ư÷÷÷÷ + ø
- -
-(
) (
) (
) ( )
2 52 3 12 3
5 3
2 26
é + + + ù
ê ú
= - + +
ê ú
ë û
(
6 3)(
5 3)
= + - - + + + = -
(
5 3)(
5 3+)
=25 27- =- ẻ2 ÂV
y
al m
ột số nguy
ên
(đpcm)
2) b = 4+ 5 48 10 3+ - +
(Tương tự d
ùng MTCT nh
ập to
àn b
ộ biểu thức tr
ên vào máy
ấn “=”, ta
ngay k
ết l
à: 3)
Gi
ải chi tiết tr
ên gi
ấy:
Kh
ử thức từ ngoài, ta được:
·
(
)
27+4 = 2+ = +2
·
(
)
(
)
248 10 3- + = 48 10 2- + = 28 10 3- = 5- = -5
·
3+5 48 10 7- +4 = 3+5 5(
- 3)
= 25=5 Þ b= 4+ 3+5 48 10 7- +4 = 4+ =5 9=3ẻÂV
y
bl m
t s nguy
ờn
(đpcm)
Bài 2: (6,0 điểm)
1) Cho phương trình ẩn x , tham số m:x2-2(m +1)x m+ +2m- =3 Xác định m để phương trình có hai nghiệm x x1, 2 cho 2008< < <x2 x1 2013
Ta có:
2
2
' ( 1) ( 3)
' 2
'
m m m
m m m m
D = + - +
-D = + + - - +
D =
(3)2
1 3;
x = +m x = -m
Ta lại có: x1 >x2 (vì x1- = + - + = >x2 m m 0) Nên theo đề bài, ta có:
2
2008 2013 2008 2013 2008 2009
2009 2010 2013 2010
x x m m
m m
m
m m
< < < Û < - < + <
ì ì
ï < - ï >
ï ï
Ûíï + < Ûíï < Û < <
ï ï
ỵ ỵ
Vậy với 2009< <m 2010 phương trình có hai nghiệm thỏa yêu cầu toán
2) Giải hệ phương trình: ìï + =ïï
(
+)
íïï + = ïỵ 2 3 3
2( )
( )
x y x y xy
I x y Đặt: 3 3
u x u x
v y v y ì ì ï = ï = ï ï ï Ûï í í ï = ï = ï ïïỵ ïỵ
(
)
(
)
ì ì ï + = + ï + - + = ï ï ï Ûï í í ï + = ï + = ï ï ï ï ỵ ỵ3 2
2 ( ) ( )
( ) :
6
u v u v u v u v u uv v uv
I
u v u v
ì ì ï - = ï = ï ï Ûíï + = Ûíï + = ï ï ỵ ỵ
6(36 )
6
uv uv u v
u v u v
Theo Vi-ét u v, nghiệm phương trình: - + = Û ê =é =ê
êë
2 6 8 0
4 X
X X X
Suy ra: hc
4 u u v v ì ì ï = ï = ï ï í í ï = ï = ï ï ỵ ỵ
Do đó: hc 64
64 x x y y ì ì ï = ï = ï ï í í ï = ï = ï ï ỵ ỵ
Vậy hệ phương trình (I) có hai nghiệm
( ) ( )
8;64 , 64;8 Bài 3: (2,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ hàm số:(
)
(
)
3 2 1 1 2 1 1
y = x + + x + + x + - x +
Điều kiện: x ³ -1 Ta có:
(
1 2)
1 1(
1 2)
1 1y = x + + x + + + x + - x + +
(
) (
2)
23 1 1 1 1
(4)-3
3 1 1 1 1 1 1 2
y = x + + + - x + ³ x + + + - x + =
Dấu “=” xảy Û -1 x3+ ³ Û £1 x Vậy: miny =2 - £ £1 x
Bài 3: (4,0 điểm)
· Xét ∆MAD ∆MBA, ta có: ·
AMB: chung · Ã
MAD MBA= (cựng bng ẵ s ADẳ) Suy ra: ∆MAD đồng dạng ∆MBA (g-g) Do đó: MA AD
MB AB= (*)
· Xét ∆MCD ∆MBC, ta có: ·
CMB: chung · ·
MCD MBC= (cùng ½ sđ CD») Suy ∆MCD đồng dạng ∆MBC (g-g)
Do đó: MC CD
MB BC= (**)
· Hay MA CD
MB BC= (**) (vì MC = MA theo tính chất tiếp tuyến cắt nhau)
· Từ (*), (**) suy ra:
AD CD ABCD AD BC
AB BC= Û = (đpcm)
D
M
O
A
C
B
Bài 4: (4,0 điểm)
· Vẽ qua A, (d) // (∆), cắt BC Q
· Áp dụng định lý Talet cho ∆BAQ, ta có:
BM BP hay BM BQ
BQ = BA BP = BA (*) · Áp dụng định lý Talet cho ∆CAQ, ta có:
CM CN hay CM CQ
CQ = CA CN = CA (**) · Trừ theo vế (*) (**), ta được:
BM CM BQ CQ BQ CQ BC
BP CN BA CA AB AB
= - = = (do AB
= AC)
Hay BM CM BC (const)
BP CN- = AB = (đpcm)
(d)
Q
P
B
A
C
M
N
Giải đề: Nguyễn Chí Dũng