Bµi 3. Chøng minh r»ng AB lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn ®êng kÝnh EF. Gäi D lµ giao ®iÓm cña AF vµ BE. Chøng minh r»ng: EF. Khi C chuyÓn ®éng trªn nöa ®êng trßn th× M, N chuyÓn ®éng trªn ®[r]
(1)Phần I : Đại số
Chuyên đề 1: Căn Thức rút gọn biểu thức, chứng minh biểu thức A Kiến thức cần nhớ:
- Cách đặt ĐKXĐ biểu thức
- Cách quy đồng khử mẫu hai hay nhiều phân thức B Bi tp
Rút gọn Các thức sau:
Bài Tìm giá trị biểu thức sau cách biến đổi, rút gọn thích hợp: a, 196 49 16 81 25 b, 81 34 25 14 16
3 c
567 , 34 640
d, 21,6 810. 112 52
Bài Phân tích biểu thức sau thành luü thõa bËc hai:
a, 8+2 15; b, 10-2 21; c, 12- 140 d, + 24; e, 14+6 ; g, 8- 28 Bài Phân tích thành thừa số biểu thức sau:
a, + 3 5 15 b, 10 14 15 21 c, 35 15 14 d, + 18 3 e, xy +y x x1 g, 3+ x +9 -x
Bµi 4 Rót gän c¸c biĨu thøc sau:
a, ( 8 2 10)( 2 0,4) b, ( 0,2 ( 10)2.3
+ ( 3 5)2
c, ( 28 14 ) + d, ( 15 505 200 450 ) : 10 e, ( 2 3)2 2( 3)2 5 ( 1)4
g, ( ): 6
3 216 h, : ) 15 14 ( i, 10 15
Bài Chứng minh đẳng thức sau: a, a b b a : ab a b b a
( a, b > vµ a b )
b, ( 1+ ) a
1 a a a )( a a a
(a > vµ a 1);c, ( a a
a a )( a a
)2 =1 (a > vµ a
1)
d, a
b ab a b a b b a 2 2
(a+b>0, b 0) Bµi Rót gän råi tính giá trị biểu thức sau: a, 9a 9 12a 4a2
víi a = -9 ; b, + m 4m
2 m m
víi m<2
c, 10a 25a2 4a
víi a= ; d, 4x- 9x2 6x1 víi x=- e, 6x2 -x 6+1 víi x =
2 3
Bài 7:Rót gän C¸c biĨu thøc sau:
4 4 x x x
A 1 22 4 52 1 1 12 :4 41 1
x x x x x x x B x y y y x y x y x y x C 2 2
2 D x x x x x
1 1 1 : 1 1 1 :
1 x x x x
x x
E a
x x a a x x a
F 2
2
Gợi ý:
Khi làm toán cần: - Đặt ĐKXĐ?
(2)1 2 2 khix A khix 2 B x y C x y D x
E x
x
Một số loại toán thờng kèm theo tốn rút gọn I.Tính tốn biểu thức đại s
Ph ơng pháp :
Để tính giá trị biểu thức P(x), biết x=a, ta cần: +Rót gän biĨu thøc P(x).
+ Thay x=a vµo biĨu thøc võa rót gän *VÝ dơ: x x x x x A 2
Tính giá trị A biÕt x 18
2 2 a a
B Tính giá trị B biết(a-6)(a-3)=
4 : 2 2 x x x x x x x
C TÝnh giá trị C biết 2x2+3x =0
1 2 : 1 1 2 x x x x x x x x x
D TÝnh giá trị D biết x=
2007 2005 9 2 x x x x
E TÝnh E biÕt x 16
4 · 2 x x x a
F TÝnh F biÕt x= a
a
1 .
Đáp án:
1
3 (2 3) x x A khi x x x ; B a
& B=-4/5
( 2)
& 5 x C C x 1 x D x x -3 1- x
x < -3 x -
x khi x E
II.Tìm giá trị biến (ẩn) biết giá trị biểu thức: Ph ơng pháp :
Để tìm giá trị x biết giá trị P(x) =a , ta cần : + Rút gọn biểu thức P(x)
+ Giải phơng trình P(x) =a. VÝ dô :
1 1 2 a a a a a a A
a) Tìm a để A>0 b) Tính giá trị a để A=0
3 : 1 x x x x x x x
B T×m x B=6/5
1 : 1 x x x x x x x x
C a) TÝnh C biÕt x=42 b)T×m x C >1
1 : 1 1 x x x x x x x x
(3)E= 1 : 1 x x x
x a) TÝnh E x= 12 140 b) TÝnh x E >5
15 11 2
2 3
x x x
F
x x x x
a)Rút gọn F b)Tính x để F=1/2
2
2
2
1
x x x
G
x x
a)Rót gän G
c)TÝnh G x 32 2
b)Tỡm x G >1
Đáp án:
1 ; a A a a
;a=1 ; 4;
4
3
x x
B x x
x
1 3
; ; or x < -2
1
x x
C C x
x ; x D x ; x E x x
;
2 x x F x x
3; x < -1;G = 2
1 2
x
G x or
x
III Tìm giá trị biến x biết P(x) thỏa mãn điều kiện Ph ơng pháp :
Trớc hết rút gọn giá trị biểu thức, sau vào điều kiện nêu tốn mà lập luận tìm lời giải, Chẳng hạn:
Tìm điều kiện x để giá trị biểu thức nguyên? Ta cần đa biểu thức rút gọn dạng : R(x)= f(x)+
( ) a
g x sau lập luận:
R x( )Z a g x hay ( ) g(x) lµ íc cđa a (a lµ h»ng sè) VÝ dô :
1)
2
4
6
x x x
A
x x
a) Rút gọn A b)Tính xZ để AZ?
2) x x x x x B 2
Rút gọn B, Tính xZ để BZ?
3) 2 : 1 a a a a a a a a a a
C a)Tìm a để biểu thức C không xác định
b)Rút gọn C c) Tính aZ để C Z?
4) 1 1 x x x x x x x
D a)Rút gọn tính giá trị D x=5b)Tìm giá trị nguyên dơng x để DZ ?
5)E= 1 : 1 x x x x : x
x2 Tính xZ để E Z?
Đáp án: A x ; 2 x B x x ;
2
2 2 a C a a ; 1 D x ;
2 2 x E x x
IV Mét sè thÓ loại khác Bài Chứng minh rằng:
a) 1 20052 20062 2005 2004 b) 27 2 2 c) ab a a b a b a b a ab b a b b a ab
a 1
1 2 2 3 2
Bµi Cho B=
1 1 : x x x x x x x x
(4)b)CMR : B>3 víi mäi x>0 ;x1 Bµi Cho C=
6 ab 6 3 b a ab b a ab b a
a) Rót gän C b) CMR nÕu C=
81 81 b b
th× 3
b a
Bµi Cho
x x b b x b x b x x b b x b x b D
a) Rót gän D b) So sánh D với D
Bài Cho
1 2 : 4 x x x x x x x E
a) Rút gọn E b) Tìm x để E E2
c) Tìm x để E 41
Bµi Cho
ab b a b ab b b ab a
F
a) TÝnh F a= 42 3;b 4 b) CMR nÕu
5 b a b a
thì F có giá trị khơng đổi
Bµi Cho biĨu thøc: A1 = (
x 1 x 1
) : ( x
1 x 1
) +1 x
1
a) Rót gän A1 b) TÝnh giá trị A1 x=7+4
c) Vi giá trị x A1 đạt giá trị nhỏ ?
Bµi Cho biĨu thøc: A2 = 2 2
2 ) x ( ) x ( ) x (
a) Tìm x để A2 xác định b) Rút gọn A2 c) Tìm x A2 =5
Bµi Cho biÓu thøc: A3 = (
1 x x x x ):( x 1 x x x 2 )
a) Rút gọn A3 b) tìm giá trị A3 x= 3 c) T×m x A3 =
Bµi 10 Cho biĨu : A4 = (
a a a a a a a a ): a a
a) Với giá trị a A4 khơng xác định b) Rỳt gn A4
c) Với giá trị nguyên a A4 có giá trị tự nguyên ?
Bµi 11 Cho biĨu thøc: B1 =
x x x x x x
a) Rót gän B1 b) Tính giá trị B1 x=3+
c) Tìm x để B1 > ? B1 < 0? B1 =0
Bµi 12 Cho biĨu thøc: B2 =
6 a a a a
a) Rút gọn B2 b) Tìm a để B2 < 1? B2 > 1?
Bµi 13 Cho biĨu thøc: B3= ( 1+
1 x
x
):( x x x x
x x )
a) Rút gọn B3 b) Tìm x để B3 > 3? c) Tìm x để B3 =7
Bµi 14 Cho biĨu thøc: B4 = (
x x 1 x x
):( x
2 x )
a) Rót gän B4 b) Tính giá trị B4 x=3+2
c) Giải phơng trình B4 =
Bµi 15 Cho biĨu thøc: B5 = (
a b a b a a
):( a b ab
a a b a a )
a) Tìm điều kiện a để B5 xác định b) Rút gọn B5
c) BiÕt r»ng a/b = 1/4 th× B5 = 1, tìm giá trị b Bài 16 Cho biÓu thøc: C1 = x4 x x x
a) Rút gọn C1 b) Tìm x để C1 =
Bµi 17 Cho biĨu thøc: C2 =
(5)a) Rót gọn C2
b) Tính giá trị C2 a = 42 , b = 4
c) Chứng minh a/b = a+1/b+5 C2 có giá trị khơng đổi
Bµi 18 Cho biÓu thøc: C3 =
6 b a ab
ab 6
b a ab
b a
a) Chứng minh b0 C3 có giá trị không phụ thuộc vào b
b) Giải phơng trình C3 = -2
c) Tìm a để C3 < 0? C3 > 0?
d) Tìm giá trị nguyên a để C3 có giá trị nguyên
e) Chøng minh r»ng nÕu C3 = b+81/b-81,
khi b/a số nguyên chia hết cho Bài 19 Cho biểu thức: C4 = (
1 x x
2 x
x x
)
2 x x2
a) Xác định x để C4 tồn b) Rút gọn C4
c) Chøng minh r»ng nÕu < x < th× C4 >
d) Tìm giá trị C4 x = 0,16
e) Tìm giá trị lớn C4
g) Tìm x thuộc Z để C4 thuộc Z
Bµi 20 Cho biĨu thøc: C5 = 2 3 2
y xy y x x
y xy y x x
a) Rót gän C5
b) Tính giá trị C5 x = 3, y =
c) Với giá trị x, y C5 =
Bài 21 Cho biÓu thøc: D1 = (
x
1 x x
x
x x
2 x
):
2 x a) Rót gän D1
b) Chøng minh D1 > víi x0,x 1
Bµi 22 Cho biĨu thøc: D2 = (
x y
y x y x
y
x 3
):
y x
xy )
y x
(
a) Xác định x, y để D2 có nghĩa b) Rỳt gn D2
c) Tìm giá trị nhỏ D2 d) So sánh D2 D2
e) Tính giá trị D2 x = 1,8 vµ y = 0,2
Chuyên đề 2: Hàm số bậc y=ax+b Kiến thức:
Cho hµm sè y=ax+b (a≠0)
- Hàm số đồng biến a>0; nghịch biến a<0
- Nếu toạ độ (x0;y0) điểm A thoả mãn hàm số y=f(x) điểm A thuộc đồ thị hàm số này.
- Ngợc lại, điểm A(x0;y0) nằm đồ thị hàm số y=f(x) toạ độ (x0;y0) A thoả mãn hàm số
y=f(x).
- Cho hai đờng thẳng (d1): y=ax+b & (d2): y= a1.x+b1 (a ≠ ; a1 ≠ 0)
+ (d1) // (d2) a=a1 & b≠ b1
+ (d1) (d2) a= a1 & b= b1
+ (d1) c¾t (d2) a≠ a1 & b≠ b1
+ (d1) ┴ (d2) a.a1=-1
Bµi tËp vËn dông
Bài 1:Cho hàm số y= mx-2m+5.CMR hàm số qua điểm cố định với m. Bài 2: Cho đờng thẳng (d); y=(m-2)x-m+4.CMR (d) qua điểm cố định với m Bài 3: Cho đờng thẳng (d1): y=mx-2(m+2) (m ≠ 0)
(d2): y= (2m-3)x +(m2-1) (m≠ 3/2):
a) CMR: (d1) & (d2) kh«ng thĨ trïng víi mäi m
b) Tìm m để (d1) // (d2); (d1) cắt (d2); (d1) ┴ (d2)
Bài 4: CMR: đờng thẳng sau đồng quy: (d1): y=-3x (d2): y=2x+5 (d3): y=x+4
(6)Bài 6: Tính diện tích giới hạn đờng thẳng :(d1): y=
1
3x;(d2):y=-3x ;(d3): y=-x+4
Bài 7: Cho đờng thẳng (d1):y=4mx - (m+5) & (d2): y= (3m2+1)x+m2-4
a) CMR: (d1) qua điểm A cố định (d2) qua điểm B cố định
b) Tính khoảng cách AB ; c) Tìm m để (d1) // (d2)
Bµi Cho hai hµm sè : y = (k + )x + vµ y = (3-2k)x +1
Với giá trị k đồ thị hai hàm số cắt nhau? Song song với nhau? Hai đờng trùng đợc khơng ?
Bài Viết phơng trình đờng thẳng :a Có hệ số góc qua điểm P(
2 ;
) b Có tung độ gốc -2,5 qua điểm Q(1,5 ; 3,5)
c Đi qua hai điểmđiểm M(1 ; ) N (3 ; )
d Song song với đờng thẳng y = 2x - qua điểm (
3 ;
)
Bài 10.Cho đờng thẳng : y=2x+1(d1) ; y=-x-2 (d2); y=-2x-m (d3)
a Tìm toạ độ giao điểm hai đờng thẳng (d1) & (d2)
b Xác định m để đờng thẳng cho đồng quy
Bài 11 a Vẽ đồ thị hàm số hệ trục toạ độ :y=2x (1);y=0,3x (2); y=-x+6 (3)
b Gọi giao điểm đờng thẳng có phơng trình (3) với đờng thẳng (1), (2) thứ tự A,B: tìm toạ độ điểm A,B
c.TÝnh c¸c gãc cđa tam gi¸c OAB
Chun đề 3:Phơng trình hệ phơng trình bậc Bất phơng trình
I.Ph ơng trình bậc ẩn số
Ph ơng pháp : ax+b=0 ax=-b x=-b/a
Nếu phơng trình khơng có dạng tổng qt cần biến đổi đa dạng tổng quát ri tớnh
* Ví dụ:
Bài 1:Giải phơng trình:
a) 32 2 2
x x
x b)
4 12
5
5
1
x x x x x
x
c)
2
3 1 2
1
2
x x x
x x
* Ph ơng trình dạng f(x) g(x) (1)
Sơ đồ giải:
2
( ) 0(2) ( ) ( )
( ) ( ) (3) g x
f x g x
f x g x
Giải (3) đối chiếu với điều kiện(2) để loại nghiệm khơng thích hợp, nghiệm thích hợp nghiệm phơng trình cho.
VÝ dụ :
Bài 2:Giải phơng trình: a) 3x 7 b) x2x12 x
c) 2 3 x2 3x1 * Ph ơng trình dạng f(x) g(x) h(x)
Sơ đồ giải:- Đặt đk có nghĩa phơng trình
0 ) (
0 ) (
0 ) (
x h
x g
x f
- Bình phơng vế , rút gọn đa dạng(1) ví dụ:
Bài 3:Giải phơng trình:
(7)a) 5 x 1x b) 3x 1 10x1 5
* Ph ơng trình dạng f x( ) g x( ) h x( ) Sơ đồ gii:
- Đặt đk có nghĩa phơng trình
0 ) (
0 ) (
0 ) (
x h
x g
x f
-Bình phơng hai vế(có thể chuyển vế hợp lí bình phơng) sau cần phải đối chiếu nghiệm vừa tìm đợc với điều kiện!
ví dụ: Bài 5:Giải phơng trình
a) x 5 x 3 2x7 b) x 1 x 7 12 x IV Bất ph ơng trình
*Dạng 1: Bất phơng trình bậc hai ẩn a.x+b>0 a.x+b<0 + Phơng pháp: ax+b>0 ax>-b x>-b/a nÕu a>0
x<-b/a nÕu a<0 + VÝ dụ:
Bài 6: Cho phơng trình:
3
1
1
2x x x x
a) Giải bất phơng trình
b) Tìm nghiệm nguyên âm bất phơng trình
Dạng 2: BPT phân thức B A
>0 ,BPT tÝchA.B>0
*Cách giải: Mỗi bất phơng trình tơng đơng với hệ bpt :
0 0 A B A B
*vÝ dô:
Bài 6: Giải phơng trình sau: 1)2x(3x-5) <0 2)
1
2
x x
x x
3)(x-1)2-4 <0
*D¹ng 3: ( ) ( )
( )
f x a
f x a
f x a
Bài 7: Giải phơng trình: x x1
*Dạng 4: ( ) ( )
( ) f x a f x a
f x a
hc f(x) a a f(x)a
Bài 8: Giải phơng trình:
2
x x
x x
V.Hệ ph ơng trình * Phơng pháp:
*ví dụ: Cho hệ phơng trình
9
x my
x y
(1)
a) Gi¶i (1) m=
2
(8)d) Tìm m để (1) có nghiệm 0 x y Bi tõp
Bài 1.Giải phơng trình bất phơng trình sau: a) 25 20 5 5 x x x x x
b)
2
4
2 2
x x x
c) 36
x d) 2
x
x d)
e) x3x 2x12 f) x1 x g) x 4x2 4x15 Bài Giải hệ phơng trình sau
a) 1 2 1 y x y x b) 1 y x y x c) 5 x y y x
d) 2 2
x x x e) 5 ) ( ) ( 2 y x y x y x f) 12 3 ) ( ) ( y x y x y x
Bµi 3.Cho hƯ pt:
3 mx y x my
a)Tìm m để hệ có nghiệm(x;y)=(-2;5)
b)Tìm m để hệ có vơ số nghiệm; vơ nghiệm? ; c) Tìm m để hệ có nghiệm
0 x y
Bài Cho hệ phơng tr×nh:
2 mx my m
mx y m
(m: lµ tham sè)
a)Giải biện luận hệ phơng trình; b)Tìm điều kiện m để hệ có nghệm thỏa mãn x>0;y<0 Bài 5.Tìm m để hệ phơng trình sau :
2
mx y x my
cã nghiƯm tháa m·n ®iỊu kiƯn: x>0; y<0
Bài 6) Tìm a để hệ phơng trình:
·
x ay a x y
cã n0 tháa m·n x>1; y>0.
Bài 7)Tìm a để đờng thẳng sau: (d1) 2x +y =5 (d2) 3x-2y =4 (d3) a x +5y =11 ng quy?
Bài 8)Giải hệ phơng trình
3 x y x y
&
3 x y x y Bài 9) Giải hệ phơng trình sau: a) 2 2
5 x y xy
x y
b) 30
35 x y y x x x y y
c) 64
1 1
4 xy x y
d) 2 2 11
30 x xy y x y xy
e) 2 2 19
x y xy
x y xy
Bài 10 Giải hệ phơng trình sau :
2 3 1 x y x y 2 0 3 1 x y x y
2x 3y y x y 2 x 10 y x y x y x
8
(9)1 1 1 3 4 5 x y x y 36 y x y x 1 y x 1 y x y x y x 1 y x y x
Bài 11 Giải hệ phơng trình : a ) y x ( ) y x ( y x b ) y x ( ) y x ( 12 y x 2
Bài 12 Cho hệ phơng trình : ) ( b ay x ) ( by ax
a Xác định a,b để hệ có nghiệm x= 2 ,y= ; b Tìm a,b để hệ vơ số nghim
Bài 13 Cho hệ phơng trình : y x ) a ( a y ax
a Giải hệ phơng trình với a=- 2
b Xác định giá trị a để hệ có nghiệm thoả mãn điều kiện x+y>0 Bài 14.Cho hệ phơng trình
a ay x y ax
; a Giải hệ phơng trình với a= 2 -1 b Chứng minh hệ phơng trình có hai nghiệm với a
c T×m a cho hƯ cã nghiƯm (x;y) tho¶ m·n x>0; y>0
Chuyên đề 4: phơng trình bậc hai- Định lí vi ét ứng dng I.Phng trỡnh bc hai
1) Ph ơng trình bậc hai khuyết :
* Ph ơng pháp : Phân tích vế phải thành nhân tử, đa dạng phơng trình tích. * Ví dụ: Giải phơng trình sau:
a) 2x2-50x =0 b) 54x2 =27x c) 2
4
3x2 x2 d)
4 2
1 2
2
x x
x 2) Ph ơng trình dạng đầy đủ :
* Ph ơng pháp : Giải theo công thức nghiệm phơng trình bậc hai: * Ví dụ:Giải phơng tr×nh
a)
1
x x x x b) 1 2 x x x
c) 2 1
7 12 40
x x x 3)Ph ơng trình giải đ ợc cách đặt ẩn số phụ :
* VÝ dơ: Gi¶i phơng trình
a) (x2+2x)2 -2(x2+2x) -3 =0 c) 4x4 +12x3-47x2+12x+4=0
b) x4-5x2-6 =0 d) x2+
2 x -2 =0 Bài tập: Giải phơng tr×nh sau
a)(6x2-7x)2- 2(6x2-7x) -3 =0 ; b)(x+
x
1
)2-4,5(x+
x
1
) +5=0
c)(x-1)(x+2)(x+4)(x+7)=16 ; d)
2 8 x x x
II.§iỊu kiƯn nghiƯm cđa phơng trình bậc hai ax2+bx+c =0
Ph ơng pháp :
Cho phơng trình bậc hai ax2+bx+c = (1)
+ ĐK để (1) vô nghiệm:
0 a
+ ĐK để (1)Có nghiệm pb:
0 a + ĐK để (1)Có nghiệm kép:
0 a
(10)+ ĐK để (1)Có nghiệm:
0 a
+ ĐK để (1) có 2n0 dơng:
0 0 S P
+ ĐK để (1) có 2n0 âm:
0 0 S P
+ ĐK để (1)có 2n0 dấu:
0 P
(Khi Tổng 2n0 dơng 2n0 mang dấu dơng ngợc lại)
VÝ dô:
Bài 1:Cho phơng trình: (m-1)x2 -2(m+1x + m-2=0 (1)
a) Tìm m để (1) có hai nghiệm phân biệt b) Giải phơng trình m=
Bài 2: Cho phơng trình :(m+2)x2 + 6mx + (4m +1)=0 Tìm m để phơng trình có nghiệm kép?
Bài 3: Cho phơng trình :m2x2 + mx +4 =0 Tìm m phng trỡnh vụ nghim?
Bài 4:Cho phơng trình :x2 -2(k-1)x + 2k -5 =0
a)CMR Phơng trình có nghiệm?
b)Tỡm k phng trỡnh có nghiệm dấu.Khi 2n0 mang dấu gì?
Bài 5: Xác định k để pt :3x2 - (2k+1)x +k2- =0 có nghiệm trái dấu?
Bài 6: Xác định k để pt :x2- 2kx +2k -3 =0 có hai nghiệm phân bịêt dấu?
Bµi 7:Cho pt : 2x2 +14x +2m-3 =0
a)Tìm m để pt có nghiệm - 3.Tìm nghiệm thứ hai?
b) Tìm m để pt có hai nghiệm trái dấu? Nghiệm có giá trị tuyệt đối lớn hơn? Bài 8: Cho pt: x2-2mx+2m-1=0
a) m=? để phơng trình có nghiệm kép
b) m=? để phơng trình có hai nghiệm dấu.Khi n0 mang du gỡ?
III.Bài toán liên quan nghiệm phơng trình hệ thức Vi-ét
Ph ơng pháp : Nếu pt bậc :ax2+bx+c = 0
có nghiệm x1, x2 tổng tích nghiệm là:
1
1 b x x
a c x x
a
Tìm điều kiện tham số để phơng trình bậc II có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trớc Nếu đk cho trớc có chứa biểu thức x12+x22 x13+x23 cần áp dụng đẳng thức đáng nhớ: x12+x22=(x1+x2)2
-2x1x2
x13+x23=(x1+x)3-3x1x2(x1+x2).
Tất nhiên giá trị tham số rút từ đk , phải thỏa mÃn đk 0
Ví dụ:
Bài 1:Cho phơng tr×nh bËc hai: x2- 2(m+1)x + m2 +3 =0 (1)
a) Tìm m để (1) có n0 dơng?
b) Tìm m để (1) có n0 x1,x2 thỏa mãn 22
7
1 2
1
x x x
x
Bài 2:Cho phơng trình : x2 +2kx+2-5k =0 (2) k: tham sè
a) Tìm k để pt(2) có n0 kép?
b) Tìm k để (1) có n0 x1,x2 thỏa mãn x12+x22=10
(11)a) CMR pt lu«n cã nghiƯm víi mäi x
b) Tìm m để pt có nghiệm gấp đơi nghiệm kia? Bài 4: Cho phơng trình: x2-2(m+2)x +m+1 =0 (x ẩn)
a) Tìm giá trị m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu?
b) Gọi x1, x2 hai nghiệm phơng trình Tìm giá trị m để: x1(1-2x2)+x2(1-2x2)=m2
Bµi 5:Cho phơng trình mx2-(m-4)x +2m =0.
Tỡm m phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn: 2(x12+x22)-x1.x2=0
Bài 6:Cho phơng trình x2-(m-1)x +5m-6=0
Tỡm m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thoả món: 4x1+3x2=1
Bài 7:Cho phơng trình x2-2(m+1)x+m2+3=0
Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 tho : 2(x1+x2)-3x1.x2+9=0
Tìm hệ thức liên hệ nghiệm không phụ thuộc vào tham số?
Ph ơng pháp : Từ biểu thức định lí Vi - ét ,ta tiến hành khử tham số để thu đợc biểu thức không phụ thuộc vào tham số
VÝ dơ :
Bµi 1:Cho phơng trình: x2-(k-3)x +2k+1 =0 có nghiệm x
1,x2 Tìm hệ thức liên hệ nghiệm
c lp vi k
Bài 2:Cho phơng trình bậc hai: x2- (2m+3)x + m -3 =0 có nghiệm x
1,x2 Tìm hệ thức liên hệ
cỏc nghim c lp vi k
Bài 3: Cho phơng trình bậc hai: (m+1)x2-2(m-1)x+m =0 Tìm hệ thức liên hệ nghiệm độc lập
víi m?
Bài 4: Cho phơng trình bậc hai: (m-1)x2-2(m-2)2x +m+3=0 Tìm hệ thức liên hệ nghiệm độc
lËp víi m?
Lập phơng trình bậc hai biết hai nghiệm chúng Ph ơng pháp :
- LËp tæng x1+x2
- LËp tích x1x2
- Phơng trình cần tìm X2-SX+P =0.
* Ví dụ:
Bài 1:Lập phơng trình bậc hai có nghiệm lµ:a)
3
vµ
2
;b) 3vµ 5; c)5 2vµ 5 Bµi 2: Cho phơng trình: x2+px+q =0(1)
a) Không giải phơng trình, h·y tÝnh biÓu thøc:
2
2
1 22
1
2
1
x x
A theo p vµ q
b)Không giải phơng trình, hÃy lập phơng trình bậc theo y cã hai nghiƯm lµ:
1
1 1
x x
y ;
1
2 2
x x y
c)Chứng minh phơng trình (1) phơng trình x2+mx+n=0
có nghiệm chung :(n-q)2+(m-p)(mq-np)=0
Bài tập:
Bài 1: Cho phơng trình x2-mx +m-1 =0(1)
a)CMR: (1) cã nghiƯm víi mäi m.T×m nghiệm kép có (1) giá trị tơng ứng m b)Đặt A= x12+x22-6x1x2 - CMR : A=m2-8m +8
-Tìm m để A=8 Bài 2:Cho phng trỡnh : (m-4)x2-2mx+m-2=0
a) Giải phơng trình m=18
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt c) Tính x13+x23 theo m?
Bài 3: Cho phơng trình : x2-2(m+2)x+m+1=0 (1)
a) Giải phơng trình m=-3/2
b) Tỡm m phơng trình có hai nghiệm trái dấu
c) Gọi x1; x2 hai nghiệm phơng trình.Tìm m để x1(1-2x2)+x2(1-2x1)=m2
Bài 4: Cho phơng trình : x2- 2mx+2m-1=0
(12)1.CMR: A= 8m2-18m+9
2 Tìm m A=27
3 Tìm m cho phơng trình nghiệm gấp hai lần nghiệm kia?
Chuyên đề 5: Mối tơng quan đồ thị
hµm sè bËc nhÊt vµ hµm sè bËc hai
Ph ơng pháp :
Cho Parabol (P): y=ax2 đờng thẳng (d): y=mx+b
- ĐK để (d) cắt (P) điểm phân biệt phơng trình ax2=mx+b có nghiệm phân biệt >0
(nghiệm phơng trình hồnh độ cỉa hai giao điểm)
- ĐK để (d) Không cắt (P) phơng trình ax2=mx+b vơ nghiệm <0.
- ĐK để (d) tiếp xúc với (P) phơng trình ax2=mx+b có nghiệm kép
=0
(nghiệm kép tìm đợc hồnh độ tiếp điểm). Bài tập:
Bài 1: Vẽ đồ thị (P) hàm số y=
2
x
Tìm a b để đờng thẳng y=ax+b qua điểm (0;-1) tiếp xúc với (P)
Bài 2: Cho hàm số y=ax2 có đồ thị (P) qua điểm A(-2;4) tiếp xúc với đồ thị (T) hàm số y=
(m-1)x-(m-1)
a) Tìm a , m toạ độ tiếp điểm
b) Vẽ (P) & (T) với a, m vừa tìm đợc mặt phẳng toạ độ Bài 3:Cho đờng thẳng (d): y=k(x-1) Parabol (P): y= x2-3x+2
a) CMR: (d) & (P) có điểm chung
b) Trong trng hp (d) tiếp xúc (P), tìm toạ độ tiếp điểm Bài 4: Cho hàm số y= -1x 2
2 (P) a) VÏ (P)
b) Tìm m để đờng thẳng y= 2x+m cắt (P) điểm phân biệt A & B Tìm toạ độ điểm A B
Bài 5: Cho Parabol (P): y=3x2 Lập phơng trình đờng thẳng
() song song với đờng thẳng (d): y=-2x tiếp xúc với (P) Bài 6: Cho (P): y=1
2x hai đờng thẳng (d1): y=2x-2 (d2): y= ax-1
a) Vẽ (P) & (d1) mặt phẳng toạ độ tìm toạ độ giao điẻm chúng
b) BiƯn ln theo a sè giao ®iĨm cđa (P) & (d2)
c) Tìm a để đồ thị qua điểm
d) Chứng tỏ đờng thẳng qua A(-1;2) cắt (P) điểm phân biệt
Chuyên đề 6: Tìm GTLN >NN biu thc
Ph ơng pháp 1 :
Biến đổi biểu thức cho cho có chứa số hạng lũy thừa bậc chẵn ( biểu thức không âm) tùy theo dấu trớc biểu thức dơng (hay âm) mà biểu thức cho nhỏ (hay lớn nhất).
Chẳng hạn:
A=(ax+b)2+m m minA=m vµ chØ x=
a b
A=-(ax+b)2+M M
th× maxA =M vµ chØ x= a
b
(13)Ta cã: A= m2-6m+11=(m-3)2+2 Do =(m-3)2 0 nên A==(m-3)2+22
dấu = xảy m-3=0 m=3 VËy GTNN cđa A lµ m=3
VÝ dơ 2: T×m GTLN cđa biĨu thøc B= -4x2-8x+5
Ta cã: B= -4x2-8x+5=-(4x2+8x-5)=-[(2x+1)2-6]=- (2x+1)2+66
VËy GTLN cña B lµ 2x+1=0 x=-1/2
Ph ơng pháp :Phơng pháp tìm miền giá trị hàm số
Ví dụ: Tìm GTLN & GTNN cđa biĨu thøc:
1
2
x x
x
Đặt y=
1
2
x x
x
, ta cần tìm GTNN>LNcủa y?
y(x2+x+1)=x2+1 (y-1)x2+yx+y-1=0 (1) - Đây phơng trình bậc hai Èn x
+) y-1=0 y=1: (1) cã dạng:x=0 (không có GTLN hay GTNN)
+) y -1 y1: Để tồn GTNN & GTLN (1) ph¶i cã nghiƯm 0 = y2-4(y-1)2=(-y+2)(3y-2)0 2
3 y GTNN lµ
3 GTLN lµ
Khi x=
2( 1) 2(1 )
y y
y y
víi y=2/3 x=1 với y=2 x=-1 Vậy: GTNN
3 Khi x=1 ; GTLN lµ Khi x=-1
Ph ơng pháp 3 : Phơng pháp dùng bất đẳng thức Côsi: + với a0;b0 ta có ab ab
2 Dấu đẳng thức xảy a=b.
HƯ qu¶ : + NÕu a+b =S th×
4
2
S ab S
ab Vậy ab đạt GTLN S ab
4
+ Nếu ab =P a+b 2 P.Vậy a+b đạt GTNN 2 P ab Ví dụ: Cho biểu thức
x x
P
5
8
với -3<x<5 Tìm x để P đạt GTNN.Tìm GTNN Giải : Từ -3<x<5 P>0 Đặt E= x3 5 x
P đạt GTNN E đạt GTLN x3 5 x đạt GTLN Xét (x+3)+(5-x)=8 (hằng số) x3 5 x
2 dÊu‘=’khi (x+3)=(5-x) x=1(TM)
8
2
P
x x
GTLN P đạt đợc x=1 *Bi tp
Bài 1: Tìm GTLN>NN có cđa c¸c biĨu thøc sau: a) -x2+2x+5 b) 2x2-x+3 c)
1
x
x d)
5
x
Bài 2: Tìm x,y,z để biểu thức sau đạt GTNN Tìm GTNN đó
a) M=x2+4y2+z2-2x+8y-6z+15 b) N = 2x2+2xy +y2-2x+2y+2
Bµi 3: Cho biĨu thøc :
x x Q
3 72
với x>0 Tìm x để Q t GTNN.Tỡm GTNN ú
Bài 4: Tìm GTLN & GTNN cđa biĨu thøc: y=
7
2
3
x x
Bài 5: Giả sử x1và x2 hai nghiệm cuả phơng trình x2-2(m-1)x+m2-m -0 (1)
Tìm GTNN tổng S= x12+x22
Bài 6: Cho phơng trình : x2- 2(m-3)x -2(m-1) =0 (1).
(14)b) Gọi x1và x2 hai nghiệm cuả phơng trình.Tìm GTNN cđa tỉng S= x12+x22
Bµi 7: Gäi x1, x2 hai nghiệm phơng trình 2x2-3mx-2 =0
Tìm giá trị m để x12+x22 đạt giá tr nh nht?
Bài 8: Tìm GTLN>NN có cđa c¸c biĨu thøc sau: A= x2 +3x+4 B=-3x2+4x+1 C=
2
5
2 x
Bài 9: Tìm GTNN biểu thức: M=3y2+x2+2xy+2x+6y-5
Bài 10:Tìm GTLN & GTNN biểu thøc: a)
2 2 2007
x x x
y ;b)
1
2
x x
x x
y ;c) 2
1
1
x y
Bài 11: Cho biến số dơng x y Biết x+y=6.Tìm GTNN
y x Q2 Chuyên đề 7: Bất đẳng thức I Phơng pháp chứng minh trực tiếp dùng định nghĩa:
* §N: AB A- B 0 Nªn chøng minh A B ta: - LËp hiÖu A-B
-Chứng tỏ A-B 0 cách biến đổi A-B thành tích thừa số khơng âm tổng bình phơng.v.v.
VÝ dô: Chøng minh r»ng 2(a2+b2) (a+b)2 a,b
Gi¶i: XÐt hiƯu 2(a2+b2) -(a+b)2=a2-2ab+b2=(a-b)20 a,b.
Theo định nghĩa 2(a2+b2) (a+b)2 (đpcm)
Bµi tËp vËn dơng
1) CMR: (a+b)24ab 2) CMR: NÕu ab th× a3b3
3) CMR: a2+b2+c2 ab+bc+ca 4) CMR:
2
2
2 x
x x
II Phơng pháp biến đổi tơng đơng
Để chứng minh A B, ta dùng tính chất BĐT, biến đổi tơng đơng BĐT cần chứng minh đến đẳng thức biết đúng
VÝ dô: CMR :1 x y,
xy x y
Gi¶i: 1 x + y x + y 2 x - y 2
xy xy
xy x y x y
§óng x y, , 0 nªn 1 x y,
x yx y (đpcm) Bài tập vận dụng
1) CMR:
2
4
0
x x
x x
2) CMR:
2
1 a
a a 3) CMR: NÕu p,q>0 th×:
2
p q
pq p q
4) CMR: 3x
2+y2+z22x(y+z+1) x y z, ,
5) CMR: 2006 2007 2006 2007
2007 2006 6) CMR: NÕu x+4y=1 th× : x
2+4y21
5
7) CMR: NÕu 2x+4y=1 : x2+y2
20
8)Cho a0.Giả sử x1, x2 hai nghiệm phơng trình 2
1
4
2
x x
a
(15)- Sư dơng B§T C«sy: ,
2 a b
ab a b
- Sử dụng BĐT Bunhiacôpsci: ax by 2 a2b2 x2y2 x, y - Các hệ BĐT Côsy:
+)1 x y,
xy x y +)
2
1
x, y xy x y
+) 1 x, y, z
x yz x y z
Ví dụ: Cho cạnh ABC có độ dài lần lợt a,b,c chu vi 2p=a+b+c
CMR: 1 1
p a p b p c a b c
Giải: ta có p-a, p-b, p-c >0 nên ¸p dơng B§T 1 x y,
x yx y , ta cã:
1 1 1
; ;
1 1 1
2 dpcm
p a p b c p b p c a p c p a b
p a p b p c a b c
Ghi : Khi sử dụng BĐT để giải cần chứng minh trớc vận dụng Bài tập vận dụng:
Bµi 1:Cho sè dơng a,b thoả mÃn a+b=1 CMR: 21 2
ab a b (cã thĨ hái: T×m GTNN cđa biĨu thøc A=
2
1
ab a b )
Bµi 2:Cho sè d¬ng a,b CMR:
2
2
1 1
4a 4b 8ab a b
Bµi 3: Cho x>y, xy=1 CMR:
2
2
x y
x y
Bµi 4:Cho x>0; y>0 thoả mÃn điều kiện 1 1
2
xy T×m GTNN cđa biĨu thøc A= x y
Chuyên đề 8: Giải toán cách lập phơng trình hệ phơng trình
.Ph ¬ng ph¸p: B
ớc : Chọn ẩn số (ghi rõ đơn vị đặt đk cho ẩn số) B
ớc : - Biểu thị đại lợng biết cha biết qua ẩn số
- Sử dụng mối liên hệ kiện cho trớc để thiết lập phơng trình(hoặc hệ phơng trình)
B
ớc : Giải phơng trình ( hệ phơng trình) B
c : Nhận định kết quả, thử lại trả lời Bài dng:
Bài Tìm hai số biết tổng cuả hai số 59, hai lần số hn ba lần số
Bài Cho số có hai chữ số, đổi chỗ hai ch số đợc số lớn số cho 63 Tổng số cho số tạo thành 99 Tỡm s ó cho?
Bài Phân tích số 270 thõa sè mµ tỉng cđa chóng b»ng 33
(16)Bài Tỉ số cạnh huyền cạnh góc vuông tam giác vuông
3
cạnh lại dài 8cm Tính cạnh huyền
Bi By năm trớc, tuổi mẹ lần tuổi cộng thêm năm tuổi mẹ vừa gấp lần tuổi con. Hỏi năm ngời tui?
Bài Hôm qua mẹ Lan chợ mua trứng gà trứng vịt hết 10000đ Hôm mẹ lan mua quả
trứng gà trứng vịt hết 9600đ mà giá trứng nh cũ Hỏi giá trứng loại bao
nhiêu?
Bài Trong mét phßng häc cã mét sè ghÕ, nÕu xếp ghế học sinh học sinh chỗ, xếp ghế học sinh th× thõa mét ghÕ
Hái líp cã ghế học sinh?
Bi Trên cánh đồng cấy 60ha lúa giống 40ha lúa giống cũ thu hoạch đợc tất 460 thóc Hỏi xuất loại lúa 1ha Biết 3ha trồng lúa thu hoạch đợc trồng lúa cũ
Bài 10 Một đội xe cần chuyên chở 120 hàng hơm làm việc có hai xe phải điều nơi khác nên xe phải chở thêm 16 Hỏi đội có xe?
Bài 11 Hai ô tô khởi hành lúc từ địa điểm A đến địa điểm B ô tô thứ chạy nhanh hơn ô tô thứ hai 12km Nên đến địa đỉêm B trớc ô tô thứ hai 100 phút Tính vận tốc mỗt ô tô biết quãng đ-ờng AB dài 240km
Bµi 12 Hai ô tô A B khởi hành lúc tử hai tỉnh cách 150km ngợc chiều gặp sau 2h Tìm vân tốc ô tô Biết vận tốc ô tô A tăng thêm km/h vận tốc ô tô B giảm km/h vận tốc « t« A b»ng lÇn vËn tèc « t« B
Bài 13 Một ô tô t A đến B Cùng lúc ô tô thứ hai từ B đến A với vận tốc
3
vận tốc ô tô th Sau 3h chúng gặp Hỏi ô tô quãng đờng AB bao lâu?
Chuyên đề 8: Giải toán cách lập phơng trỡnh
hoặc hệ phơng trình ( Tiếp theo)
Bài 14 Một ô tô du lịch từ A đến C Cùng lúc từ địa điểm B nằm AC có tơ vân tải đi đến C sau 5h hai ô tô gặp tai C Hỏi ô tô du lịch từ A đên B hết Biết vân tốc ô tô tải 3/5 vân tốc ô tô du lịch
Bài 15 Hai ngời thợ xây tờng 7h12phút xong ngời thứ làm 5h ngời thứ làm 6h hai xây đơc 3/4 tờng Hỏi ngời làm song tờng? Bài 16 Hai công nhân sơn cửa cho cơng trình xong việc Nếu ngời thứ làm một ngày, ngời thứ đến làm tiếp ngày xong việc Hỏi ngời làm xong việc
Bài 17 Trong tháng đầu tổ công nhân sản xuất đợc 800 chi tiết máy sang tháng thứ tổ sản xuất vợt mức 15%, tổ hai sản xuất vợt mức 20% cuối tháng hai sản xuất đợc 945 chi tiết máy Hỏi tháng đầu tổ sản xuất đợc chi tiết máy
Bài 18 Cho dung dịch chứa 10% muối Nếu pha thêm 200g nớc đợc dung dịch 6% Hỏi có bao nhiêu gam dung dịch cho?
Bµi 19 Hai vòi nớc chảy vào bể sau 4
5
giờ bể đầy
mi gi lợng nớc vòi chảy đợc
2
lợng nớc chảy đợc vòi hai Hỏi vịi chảy riêng đầy bể
Bài 20 Một ngời xe đạp từ tỉnh A đến tỉnh B cách 50km sau 1h30’ ngời xe máy từ A đến B sớm 1h Tính vận tốc xe Biết vận tốc xe máy gấp 2,5lần vận tốc xe đạp
Bài 21 Một ngời xe máy từ A đến B với vận tốc trung bình 30km/h đến B ngời nghỉ 20phút rơì quay trở A với vận tốc trung bình 25km/h Tính qng đờng AB biết thời gian lẫn 5h50’ Bài 22 Hai ngời thợ làm cơng việc 16h song ngời thứ làm 3h ngời thứ hai làm 6h họ làm đợc 25% cơng việc Hỏi ngời làm thi song cơng việc
Bài 23 Cho số có hai chữ số Tổng hai chữ số chúng =10 ,tích hai chữ số nhỏ số cho 12 Tìm số cho
Bài 24 Trong phịng họp có 360 ghế đợc xếp thành dãy số ghế dãy Có lần phịng họp phải xếp thêm dãy ghế dãy tăng ghế để đủ chỗ cho 400 đại biểu Hỏi bình thờng phịng có dãy ghế
Bài 25 Qng đơng AB dài 150km ôtô từ A đến B nghỉ lại B 3h15’ trở A hết tất 10h Tính vận tốc ơtơ lúc Biết vận tốc lúc lớn vận tốc lúc 10km/h
Bµi 26 Mét số máy suôi dòng 30km ngợc dòng 28km hết thời gian thời gian mà số máy đi 59,5km mặt hồ yên lặng Tính vận tốc xng ®i hå BiÕt r»ng vËn tèc cđa n ớc chảy sông 3km/h
(17) Chuyên đề 8: Giải toán cách lp phng trỡnh
hoặc hệ phơng trình ( Tiếp theo)
Bài 28: Ngời ta dự định chia 73 học sinh thành số tổ định để tham gia hoạt động hè Sau chia số học sinh cho tổ thấy thừa học sinh Lần thứ hai chia thêm tổ ngời thiếu học sinh Hỏi số tổ dự định số học sinh tổ lúc chia lần đầu
Bài 29:Hai cạnh góc vng vng 14 cm.Tính cạnh biết chu vi của 60cm
Bµi 30Cho ruộng hình chữ nhật Nếu tăng thêm cạnh 10m diện tích
3 diện tích
cũ.Nếu giảm cạnh 10 m th× diƯn tÝch míi b»ng
5 diƯn tÝch cò
Bài 31: Hai vòi nớc chảy đầy bể khơng có nớc 3h45’ Nếu chảy riêng rẽ, vòi phải chảy lâu để bể đầy.Biết vòi sau chảy lâu vòi trớc 4giờ
Bài 32:Quãng đờng Hải Phòng – Hà Nội dài 105 km.Một tơ từ Hải Phịng Hà nội với vận tốc đã định.Lúc về, ôtô nhanh lúc 7km nên thời gian lúc nửa Tính vận tốc lúc ơtơ?
Bài 33: Một số có hai chữ số mà tổng hai chữ số 13.nếu ta thêm 34 vào tích hai chữ só đó, ta đ ợc số viết theo thứ tự ngợc lại Tìm số đó?
Bài 34:Một ngời xe đạp từ A đến B Lúc ngời đợc 1
3quãng đờng với vận tôc lúc
đi 2km/h.Phần đờng cịn lại, ngời rút vận tốc xuống thành lúc 1km/h, lúc chậm lúc 40giây Tính quãng đờng AB?
(18)Phần II: Hình học
Chuyên đề 1: Nhận biết hình, tìm điều kiện hình hệ thức lợng tam giác vng Ph ơng pháp ;
- Các phơng pháp nhận biết tam giác cân. - Các phơng pháp nhận biết tam giác đều - Các phơng pháp nhận biết tam giác vuông - Các phơng pháp nhận biết tam giác vuụng cõn
- Các phơng pháp nhận biết hình thang, hình cân - Các phơng pháp nhận biết hình bình hành
- Các phơng pháp nhận biết hình chữ nhật - Các phơng pháp nhận biết hình thoi - Các phơng pháp nhận biết vuông Bài tập vận dụng:
Bài Tìm x, y,z hình sau :
c)
Bài Chọn kết kết dới :
a, Trong (h×nh 1) sinx b»ng :
A, 5/3 B, 3/5 C, 5/4 D, 3/4 b, Trong (h×nh 2) sinQ b»ng :
A,
RS PR
B,
SR PS
C,
QR PR
D,
QR SR
Bài Cho tam giác ABC vuông A Vẽ hình thiết lập hệ thức tính tỉ số lợng giác góc B Từ suy hệ thức tính tỉ số lợng giỏc ca gúc C
Bài giải tam giác vuông ABC Biết A = 900 AB=5 ,BC=7
Bài Tính góc tam giác vuông biết tỉ số hai cạnh góc vuông 13:21 Bài Dùng gãc x BiÕt sinx = 3/5
Bµi Dùng gãc x BiÕt cotgx = 1/2
Bài Cho tam giác DEF có ED = 7cm góc D = 400 góc F = 580 kẻ đờng cao EI tam giác Hãy tính
(lấy chữ số thập phân) a).Đờng cao EI
b) C¹nh EF
Bài 9: Gọi O giao điểm hai đờng chéo hình bình hành ABCD M N lần lợt trung điểm AD và BC; BM DN cắt AC lần lợt P v Q
a) So sánh đoạn AP, PQ, QC ; b) Tứ giác MPNQ hình g×? c) TÝnh tØ sè CA
CD để MPNQ hình chữ nhật.;d) Tính ACD để MNPQ hình thoi
e) ACD phải có đặc biệt để MPNQ hình vng?
Bài 10: Cho nửa đờng trịn đờng kính AB Gọi K điểm cung AB.Gọi M điểm nằm cung AK, N điểm nằm dây cung BM cho BN=AM
Chøng minh r»ng:
a) AMK = BNK; b) MKN vuông cân MK tia phân giác AMN
c)Khi điểm M chuyển động cung AK đờng vng góc với BM kẻ từ N ln ln qua điểm cố định tiếp tuyến nửa đờng tròn B
x
9 25
y
x 10
8 a)
b) x
y z
4 5
x
3cm H.1
5cm 4cm
h2
Q R
(19)Bµi 11: Cho hinh fvuông ABCD.Lấy B làm tâm, bán kính AB, vẽ 1
4 đờng trịn phía hình vng.lấy AB
là đờng kính, vẽ
2 đờng trịn phía hình vng Gọi P điểm tuỳ ý cung AC (không trùng với A
C) H K lần lợt hình chiếu P AB AD; PA PB cắt nửa đờng tròn I M c) Chứng minh I trung điểm AP
d) Chứng minh PH,BI,AM đồng quy điểm e) Chứng minh PM=PK=AH
f) Chứng minh tứ giác APMH hình thang cân g) Tìm vị trí điểm P cung AC để APB Chuyên đề 2: Chứng minh số điểm nằm đờng trịn
tø gi¸c nội tiếp
Ph ơng pháp ;
- Phơng pháp chứng minh điểm nằm đờng tròn - Phơng pháp chứng minh điểm nằm đờng tròn
1.Chứng minh đỉnh tứ giác cách điểm Chứng minh tứ giác có tổng hai góc dối 1800
3 Chứng minh từ hai đỉnh liên tiếp nhìn hai đỉnh cịn lại hai góc Chứng minh tứ giác có tổng hai góc đối
5 Sử dụng định lý đảo hệ thức lượng đường tròn
Nếu M giao điểm AB CD thoả mãn AM.MB = CM.MD tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn Trong trường hợp phải chứng minh từ điểm trở lên nằm trsên đường tròn ta chọn điểm cố định ,rồi kết hợp với điểm thứ tư để chứng minh điểm nằm đường tròn tiếp tục chứng minh tiếp
Bµi tËp vËn dơng:
Bµi 1 Từ điểm M nằm (o) kẻ tuyến qua tâm MAB tiếp tuyến MC,MD , gọi K giao điểm AC BD
C/m điểm B,C,M,K thuộc đường tròn ,xác định tâm đường trịn
Bµi 2.Gọi AB đường kính (o) từ A kẻ hai dây cắt tiếp tuyến B đường trịn E F cắt đường tròn C D Chứng minh tứ giác DCEF nội tiếp
Bµi 3 Cho hình bình hành ABCD ( ABˆC >900) Gọi O giao điểm hai đường chéo AC,BD
A’ hình chiếu DS BC, B’ hình chiếu D AC, C’ hình chiếu cuả D AB Chứng minh O nằm đường trịn ngoại tiếp ∆A’B’C’.
Bµi 4.Cho ∆ABC ngoại tiếp đường tròn (O) gọi D E hai tiếp điểm.Trên AB AC.Các đường phân giác góc B C cắt đường thẳng DE N M
Chứng minh điểm B,M,N,C nằm đường trịn
Bµi 5.Cho ∆ABC (AB=AC),M thay đổi cạnh BC Các đường thẳng qua M song song với cạnh bên AB,AC cắt AB AC Q P.Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tâm giác ABC.Chứng minh a, Tứ giác APOQ nội tiếp
b, Điểm đối xứng M qua PQ nằm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC
Bài 6 Cho tam giác ABC nửa mặt phẳng bờ BC không chứa đỉnh A lấy điểm D cho DB=DC góc DCB 1/2góc ACB
Chøng minh tø gi¸c ABDC néi tiÕp
Bài 7. S điểm cung AB đờng tròn tâm Trên dây AB lấy hai điểm E H đờng thẳng SH SE cắt đờng tròn C D Chứng minh tứ giác EHCD nội tiếp
Bài 8 Tứ giác ABDC nội tiếp đờng trịn tâm O E điểm cung AB hai dây EC,EB cắt AB P Q dây AD,EC cắt I ,các dây BC ED cắt K Chứng minh
a Tø gi¸c CDIK néi tiÕp ; b Tứ giác CDQP nội tiếp
Bài Cho tam giác ABC đờng phân giác góc B góc C cắt S Các đờng phân giác góc B góc C cắt E Chứng minh BSCE tứ giác néi tiÕp
Bài 10 Cho tam giác cân ABC đáy BC góc A =20o Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa C lấy D
(20)Bài 11 Cho hai đoạn thẳng AC BD cắt E biết AE.EC =BE.ED Chứng minh điểm A,B,C,D cùng nằm đờng tròn
Bài 12 Cho đờng tròn tâm O SA ,SB hai tiếp tuyến đờng tròn A B Kẻ dây BC Đờng kính vuông góc với AC cắt BC I Chứng minh :
a điểm S,A,I,B nằm đờng tròn b Tứ giác SAOI nội tiếp
Bài 13.Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn tâm O tia phân giác góc BAC cắt BC I cắt đờng trịn tai P ,kẻ đường kính PQ tia phân giác góc ACB góc ABC cắt AQ E F Chứng minh điểm B,C,E,F nằm đường trịn
Bài 14.Cho tam giác ABC có góc nhọn Gọi H Trực tâm P,M,N chân đờng cao hạ từ A,B,C xuống BC ,AC,AB Chứng minh
a C¸c tø gi¸c AM HN vµ BMNC néi tiÕp
b Gọi D,E,F điểm đối xứng H qua AC,AB,BC Chứng minh điểm A,E,B,F,C D nằm đờng tròn
Bài 15 Cho tam giác ABC vuông C Gọi D hình chiếu C AB đờng trịn tâm O
đờng kính CD cắt cạnh AC,BC E F.Gọi M giao điểm thứ hai BE với đờng tròn ,K giao điểm AC MF ,P giao điểm EF BK
Chứng minh : điểm B,M,F,P thuộc đờng tròn
Bài 16: Cho ABC, đờng cao BE CF cắt nhua H Gọi H’ điểm đối xứng H qua BC Tìm tứ giác nội tiếp có hình vẽ
Bài 17: Cho hai đờng tròn (O) (O’) cắt hai điểm A B Đờng thẳng AO
cắt đờng tròn (O) (O’) lần lợt C C’ Đờng thẳng AO’ cắt đờng tròn (O) (O’) lần lợt D D’ Chng minh rng:
a) C, B, D thẳng hàng b) ODC’O’ néi tiÕp
c) Đờng thẳng CD đờng thẳng D’C’ cắt M Chứng minh: MCBC’ nội tiếp
Bài 18: Cho đờng tròn tâm O, đờng kính BC lấy điểm A đờng trịn cho AB>AC Dựng hình vng ABED miền ngồi ABC Gọi F giao điểm AE với đờng tròn K giao điểm CF ED Chứng minh:
a) B,K, D, C thuộc đờng trịn b) AC=EK
Bài 19: Cho hình thang ABCD nội tiếp đờng tròn (O) Các đờng chéo AC BD cắt E Các cạnh AD, BC kéo dài cắt F Chứng minh rằng:
a) A,D,E, O thuộc đờng tròn b) Tứ giác AOCF nội tiếp
c) MNCP hình bình hành M, N lần lợt trung điểm BD, AC P chân đờng cao hạ từ B xuống CD
Chuyên đề 3: Chứng minh tam giác đồng dạng chứng minh đẳng thức hình học Ph ơng pháp ;
- Sử dụng trờng hợp tam giác đồng dạng để chứng minh hai tam giác đồng dạng
- Sử dụng định lí Ta Lét hệ quả; tính chất đờng phân giác tam giác; các cách biến đổi tỷ lệ thức để chứng minh đẳng thức hình học. - Muốn chứng minh đẳng thức mà vế tích cảu hai đoạn thẳng,
chẳng hạn: MA.MB=MC.MD ta dùng phơng pháp sau đây: + Chứng minh vế mét tÝch thø ba
+ Chøng minh hai tam giác MAC MDB (hoặc hai tam giác MAD và MCB)
(Trờng hợp đặc biệt: MT2=MA.MB chứng minh MTA MBT)
+ Sư dơng c¸c hƯ thức vuông Bài tập vận dụng:
Bi 1: Cho hai đờng tròn (O) (O’) tiếp xúc với M đờng thẳng cắt đờng tròn A, B và tiếp xúc với đờng tròn (O) C Các tai AM , MB cắt đờng tròn (O’) lần lợt E D Tia CM cắt đờng tròn (O) I
a) Chøng minh AIB ECD
b) Tiếp tuyến chung hai đờng tròn kẻ từ M cắt P. Chứng minh PC2=PA.PB
Bài 2: Cho nửa đờng trịn tâm O, dờng kính AB=2R điểm M nửa đờng tròn (M khác A,B) Tiếp tuyến M cắt nửa đờng tròn, cắt tiếp tuyến A, B lần lợt C E
(21)e) CM: AMB COE
Bài 3: Cho góc vng xOy Trên Ox đặt đoạn OA=a.Dựng đờng tròn (I; R) tiếp xúc với Ox A cắt Oy hai điểm B,C Chứng minh hệ thức:
a) 12 12 12
AB AC a
b) AB2+AC2=4R2
Bài 4: Cho hình vuông ABCD Từ A kẻ đờng thẳng tạo với AB góc (00< <450) Đờng thẳng cắt
cạnh BC M cắt đờng thẳng DC I
a) Chøng minh hÖ thøc: Sin2 +Cos2 =1
b) TÝnh biÓu thøc 2 12
AM AI theo a cạnh hình vuông
Chuyên đề 4: Chứng minh đờng thẳng tiếp tuyến với đờng trịn-Tốn tổng hợp
Ph ¬ng ph¸p ;
- DÊu hiƯu nhËn biÕt tiÕp tuyÕn
- Định lí hai tiếp tuyến cắt (thuận, đảo) - Các định lí tiếp tuyến
Bµi tËp vËn dơng:
Bài Cho tam giác ABC cận A ( có BC<BA) nội tiếp (O) tiếp tuyến B C đờng tròn lần lợt cắt tia AC,AB D E Chứng minh :
a BD2=AD.CD
b Tø giác BDCE tứ giác nội tiếp c BC// DE
d Gọi M giao điểm BD EC Chứng minh A,O,M thẳng hàng tứ giác OBMC nội tiếp Bài Cho tam giác ABC vuông A AC lấy M dựng đờng tròn đờng kính MC Nối BM kéo dài cắt đờng tròn D,DA cắt đờng tròn S Chứng minh rng :
a ABCD tứ giác nội tiếp b CA phân giác góc SCB
c Gọi T giao điểm đờng trịn đờng kính MC với B K giao điểm BA CD Kéo dài Chứng minh: K,M,T thẳng hàng , ATK=OTK
d Chứng minh tứ giác KBTS hình thang
Bài Cho tam giác ABC có góc C=900 nội tiếp nửa đờng tròn (O,R).Gọi Ax, By lần lợt tiếp tuyến nửa
đờng tròn, tiếp rtuyến lại (O) cắt Ax, Bythứ tự E, F a Tính góc EOF
b Chøng minh r»ng EF = AE + BF c Chøng minh r»ng AE.BF = R2.
d Chứng minh AB tiếp tuyến đờng trịn đờng kính EF e Gọi M giao điểm OE AC, N giao điểm OF BC Tứ giác OMNC hình ? Vì ?
g BC c¾t Ax G, AC cắt By H Chứng minh rằng: AG.BH = AB2 vµ AG2 = GC GB.
h Gọi D giao điểm AF BE Chứng minh r»ng: CD // AE i Chøng minh r»ng: EF CD = EC.FB
k Khi C chuyển động nửa đờng trịn M, N chuyển động đờng l Xác định vị trí C để tam giác EOF có diện tích bé ?
Bài Cho hai đờng tròn ( O; R ) ( O; G ), cắt hai điểm A B ( O O, thuộc hai nửa mặt phẳng
bờ AB ) đờng thẳng AO AG cắt đờng tròn ( O ) điểm thứ hai C1D cắt đờng tròn ( G ) ại các điểm thứ hai E F.
a Chứng minh ba điểm B, F, C thẳng hàng b Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp đợc đờng tròn c Chứng minh AB, CD, EF đồng quy d Chứng minh A tâm đờng tròn nội tiếp tam giác
BDE e Tìm điều kiện để DE tiếp tuyến trung ( O ) ( G )
Bài Cho ( O ) điểm A nằm ( O ) tiếp tuyến với ( O ) kẻ từ A B C Gọi M điểm tuỳ ý đờng tròn ( khác B C ) từ M kẻ MH vng góc BC, MK vng góc CA, MI vng góc AB Chứng minh: a Tứ giác ABOC nội tiếp.b Góc BAO = góc BCO
c Tam giác MIH đồng dạng tam giác MHK d MI.MK = MH2.
Bài Cho tam giác ABC có góc nhọn nội tiếp đờng tròn ( O ) Gọi H trực tâm tam giác ABC; gọi E điểm đối xứng H qua AB, F điểm đối xứng H qua trung điểm I BC
Chứng minh:
a Tứ giác BHCF hình bình hành b E, F nằm ( O )
(22)d Gọi G giao điểm AI OH Chứng minh G trọng tâm tam giác ABC e Gọi BB' , CC' là đờng cao tam giác ABC Chứng minh AO vuông góc B' C' .
g Tìm điều kiện ràng buộc góc B góc C để OH // BC
Bài Cho (o) đờng kính AB tuyến MN quay xung quanh trung điểm H OB
a, Chứng minh cát tuyến MN di động trung điểm I MN nằm đờng trịn cố định b, Từ A kẻ ã vng góc với MN tia By cắt Ax C chứng minh tứ giác CMBN hình bình hành c, chứng minh C trực tâm tam giác AMN
d, Khi MN quay xung quanh H C di động đờng ?
e, Cho AB = 2R, AM.AN = 3R2 AN =R 3 TÝnh diÖn tÝch phần hình tròn nằm tam giác AMN.
Bi 8: Cho đoạn thẳng AB, điểm C nằm A B vẽ phía AB nửa đ ờng trịn có đờng kính theo thứ tự AB, AC, CB Đờng vng góc với AB C cắt nửa đờng tròn lớn D DA DB cắt nửa đờng trịn có đờng kính AC CB theo thứ tự M, N
a)Tø gi¸c DMCN hình gì? b)Chứng minh hệ thức: DM.DA=DN DB
c)CMR MN tiếp tuyến chung nửa đờng trịn có đờng kính AC CB d) Điểm C vị trí AB MN có độ dài lớn nhất
Bài 9:Cho đờng trịn (O) đờng kính AB, điểm M thuộc đờng trịn, vẽ N đối xứng với A qua M, BN cắt đờng tròn C Gọi E giao điểm AC với BM
a)CMR: NE ┴ AB
b)Gọi F điểm đối xứng với E qua M CMR: FA tiếp tuyến đờng tròn (O) c)CMR: FN tiép tuyến (B,BA)
Chuyên đề 5: Bài tốn tính tốn số đo diện tích xung quanh,thể tích số hình Ph ơng pháp ;
- Sư dơng cĨc cỡng thục tÝnh diơn tÝch, thố tÝch cĨc hÈnh: hÈnh trô, hÈnh nãn, hÈnh nãn côt, hÈnh cđô -Khi tÝnh cđn xĨc ợẺnh xem hÈnh cđn tÝnh bao gạm nhƠng hÈnh nÌo hỵp thÌnh.
- Lu ý đổi đơn vị để tính. Bài tập vận dụng:
Bài 1: Cho dờng thẳng d cố định Một doạn thẳng AB cắt đờng thẳng d diểm O cho OA = và OB=10, đồng thời AB tạo với d góc 300.Gọi I J tơng ứng hình chiếu vng góc A,B d.
a)Khi quay hình IAOBJ vịng xung quanh d đoạn AB tạo nên hình gì? b)Tính diện tích xung quanh hình tạo đợc; c)Tính thể tích hình tạo đợc
Bài 2: Một hộp có dạng hình trụ,ngời ta đo đợc chiều cao hộp đờng kính đáy bằng 30cm Hãy tính diện tích tồn phần hộp
Bài 3: Một bình đựng nớc có dạng hình trụ với bán kính đáy R Một hình cầu nằm khít hình trụ đó. Ngời ta đổ nớc vào trọng bình cho mặt nớc phía vừa ngập hết cầu Sau vớt cầu ra, hỏi mực nớc tụt xuống so vi lỳc u?
Bài 4:HÃy hoàn thành bảng sau với hình nón:
Bán kính
ỏy (r) Chiu cao(h) Chu vi đáy(C) Diện tíchmột đáy(Sđ)
DiƯn tÝch xung quanh (Sxq)
Diện tích toàn phần (Stp)
ThÓ tÝch (V)
5 12
5 60
5 100
Bài 5:HÃy hoàn thành bảng sau với h×nh trơ:
Bán kính đáy (r)
ChiỊu cao (h)
Chu vi đáy (C)
Diện tích một đáy(Sđ)
DiÖn tÝch xung quanh (Sxq)
DiÖn tÝch toàn phần (Stp)
Thể tích (V)
5 12
3 60
2 100
5 120
15 81
17 20
Bài 6: Một hình nón cụt có bán kính đáy R=20 cm; r=12cm đường cao h=15cm a) Tính diện tích xung quanh nón cụt
b) Tính thể tích hình nón sinh hình nón cụt
Chun đề 6: Các tốn quỹ tích Ph ơng pháp ;
(23)Bµi tËp vËn dơng
Bài 1: Cho nửa đơng trịn tâm O, đờng kính AB.Từ A B kể tiếp tuyến Ax, By nửa đờng tròn Từ điểm M di động nửa đờng tròn, ta kẻ tiếp tuyến nửa đờng tròn ấy, cắt Ax, By lần lợt C D Tìm Quỹ tích trung điểm I CD
Bài 2:Cho hai đờng tròn (O) (O’) cắt A, B Một cát tuyến di đông qua A cắt (O) (O’) theo thứ tự C D
a) CMR: Đờng trung trực đoạn CD qua điểm cố định b) Tìm quỹ tích trung điểm K đoạn CD
Bài 3:Từ diểm O nằm đờng thẳng xx’, ta kẻ Oy ┴ xx’ Trên Ox, Oy lần lợt lấy hai điểm A, B cho OA=OB Gọi C điểm di động đoạn OB
Từ B kẻ đờng thẳng ┴ với tia AC E cắt Ox’ D a) Tìm quỹ tích điểm E