Tai lieu on thi vao lop 10

Cho đường tròn (O;R) có đường kính AB; điểm I nằm giữa hai điểm A và O.Kẻ đường thẳng vuong góc với AB tại I, đường thẳng này cắt đường tròn (O;R) tai M và N.Gọi S là giao điểm của 2 đườ[r]

BÀI TẬP PHẦN RÚT GOẽN

Baứi :

1) Đơn giản biÓu thøc : P = 14 5  14 5

2) Cho biÓu thøc : Q = x x x

x

x x x

    



 

    

 

a) Rút gọn biểu thức Q

b) Tìm x để Q > - Q.

c) Tìm số nguyên x để Q có giá trị nguyên H

íng dÉn : 1 P =

2 a) §KX§ : x > ; x  BiĨu thøc rót gän : Q = 

x

b) Q > - Q  x > 1.

c) x = 2;3 th× Q  Z

Bài : Cho biÓu thøc P = x x1 x x a) Rót gän biĨu thøc sau P

b) Tính giá trị biểu thức P x = H

íng dÉn : a) §KX§ : x > ; x  BiĨu thøc rót gän : P =

x x

 

1

b) Víi x =

2 th× P = - – 2

Bài : Cho biĨu thøc : A = 11 11

   



x x x

x x a) Rót gän biĨu thøc sau A

b) TÝnh giá trị biểu thức A x =

4

c) Tìm x để A < d) Tìm x để A = A.

H

íng dÉn : a) §KX§ : x  0, x  BiĨu thøc rót gän : A =

1



x x

b) Víi x = 41 th× A = -

c) Víi  x < th× A < d) Víi x > th× A = A.

Bài : Cho biĨu thøc : A = 1

a a a

   

 

   

 

   

a) Rút gọn biểu thức sau A b) Xác định a để biểu thức A >

2

H

íng dÉn : a) §KX§ : a > vµ a9 BiĨu thøc rót gän : A =

3



a

b) Víi < a < th× biĨu thøc A >

2

Baøi : Cho biÓu thøc: A = 2

x x x 4x x 2003

x x x x

      

 

 

  

 

1) Tìm điều kiện x để biểu thức có nghĩa 2) Rút gọn A

3) Với x  Z ? để A  Z ?

H

íng dÉn : a) §KX§ : x ≠ ; x ≠ 

b) BiĨu thøc rót gän : A = x

x2003 víi x ≠ ; x ≠

 c) x = - 2003 ; 2003 th× A  Z

Bài : Cho biĨu thøc: A = x x x x :2 x x



1



x

x x x x

 

   



 

    

 

a) Rót gän A

b) Tìm x để A <

c) Tìm x ngun để A có giá trị ngun H

íng dÉn : a) §KX§ : x > ; x ≠ BiĨu thøc rót gän : A =

1

 

x x

b) Víi < x < th× A < c) x = 4;9 th× A  Z

Bài : Cho biÓu thøc: A = x x : x

2

x x x x 1 x

   

 

 

     

 

a) Rót gän biĨu thøc A

b) Chøng minh r»ng: < A <

H

íng dÉn :

a) §KX§ : x > ; x ≠ BiÓu thøc rót gän : A = 1

  x

x b) Ta xÐt hai trêng hỵp :

+) A > 

1

  x

x > với x > ; x ≠ (1) +) A < 

1

  x

x <  2(x x1) >  x x > theo gt x > (2)

Tõ (1) vµ (2) suy < A < 2(®pcm)

Bài : Cho biÓu thøc: P = a a a 4 a

a a

  

 



  (a  0; a

 4)

a) Rút gọn P

b) Tính giá trị P víi a =

H

a) §KX§ : a  0, a 4 BiĨu thøc rót gän : P =

2



a

b) Ta thÊy a =



§KX§ Suy P =

Bài : Cho biĨu thøc: N = a a a a

a a

     

 

   

     

   

1) Rót gän biĨu thøc N

2) Tìm giá trị a để N = -2004 H

íng dÉn :

a) §KX§ : a  0, a 1 BiĨu thøc rót gän : N = – a

b) Ta thÊy a = - 2004



§KX§ Suy N = 2005

Bài 10 : Cho biĨu thøc P x xx 226xx 319 2x x1 xx 33

         

a Rót gọn P

b Tính giá trị P x7 4 3

c Với giá trị x P đạt giá trị nhỏ tính giá trị nhỏ H

íng dÉn : a ) §KX§ : x  0, x 1 BiĨu thøc rót gän :

3 x 16 x P   

b) Ta thÊy x7 4 3



§KX§ Suy

22 3 3 103

P 

c) Pmin=4 x=4

Baøi 11 : Cho biÓu thøc 

                        2 : 3 3 x x x x x x x x P

a Rút gọn P b Tìm x để

2 1

P c Tìm giá trị nhỏ P

H

íng dÉn : a ) §KX§ : x  0, x 9 BiĨu thøc rót gän :

3 x 3 P   

b Víi 0x9 th×

2 1

P

c Pmin= -1 x =

Bµi 12: Cho A= 1

1

a a

a a

a a a

                    

víi x>0 ,x1 a Rót gän A

b TÝnh A víi a =



4 15 10

 







4 15



( KQ : A= 4a )

Bµi 13: Cho A= :

9

x x x x x

x x x x x

       

  

   

        

   

víi x0 , x9, x4 a Rót gän A

(KQ : A= x ) Bµi 14: Cho A = 15 11 2

2 3

x x x

x x x x

  

 

    víi x0 , x1

a Rót gän A

b T×m GTLN cđa A

c Tìm x để A =

2

d CMR : A

3

 (KQ: A =

x x 

 )

Bµi 15: Cho A = 1

1 1

x x

x x x x x

 

 

    víi x0 , x1

a Rót gän A

b T×m GTLN cña A ( KQ : A =

1 x x x )

Bµi 16: Cho A =

1 1

x  x x x x víi x0 , x1 a Rót gän A

b CMR : 0 A ( KQ : A = x x x )

Bµi 17: Cho A = : 25

25 15

x x x x x

x x x x x

       

  

   

        

   

a Rót gän A

b Tìm x Z để A Z

( KQ : A =

3 x )

Bµi 18: Cho A =

5

a a a

a a a a

  

 

    víi a 0 , a9 , a4

a Rút gọn A b Tìm a để A <

c Tìm a Z để A Z ( KQ : A =

3 a a

  )

Bµi 19: Cho A= : 2

4 2

x x x x x

x x x x x

       

  

   

        

   

víi x > , x4 a Rót gän A

b So s¸nh A víi

A ( KQ : A = x

x 

Bµi20: Cho A =





2 3

: x y xy

x y

x y

y x

x y x y

     

  

    

 

víi x0 , y0, xy

a. Rót gän A

b. CMR : A 0 ( KQ : A = xy

x xyy )

Bµi 21 : Cho A = 1 1

1

x x x x x x

x

x x x x x x x

 

     

      

        Víi x > , x

1 a Rót gän A

b Tìm x để A = ( KQ : A = 2



x x 1



x

 

)

Bµi 22 : Cho A =





4

:

2

2

x x x

x x x

x x

   

 

     

 

      

 

víi x > , x4 a Rót gän A

b TÝnh A víi x = 5 (KQ: A = 1 x)

Bµi 23 : Cho A= 1 : 1

1 x x x x x

   

  

   

   

    víi x > , x1

a Rót gän A

b TÝnh A víi x = 6 5 (KQ: A =

2 x ) Bµi 24 : Cho A= 3 1 :

1

1

x x

x x x

x

     

 

   

      



 

víi x0 , x1

a Rót gän A

b Tìm x Z để A Z (KQ: A =

3 x x )

Bµi 25: Cho A= 2 :

1

1 1

x

x

x x x x x x

    

 

   

         

 

víi x0 , x1

a Rót gän A

b Tìm x Z để A Z

c Tìm x để A đạt GTNN (KQ: A =

1 x x   )

Bµi 26 : Cho A = 3 : 2

9

3 3

x x x x

x

x x x

     

  

   

       

   

víi x0 , x9

a Rút gọn A b Tìm x để A < -1

2

( KQ : A = 3 a

Bµi 27 : Cho A = 1 :

1

1 1

x x x x x

x x

x x x

       

  

   

        

   

víi x0 , x1 a Rót gän A

b TÝnh A víi x = 5 (KQ: A =

4 x x ) c CMR : A 1

Bµi 28 : Cho A = 1 :

1

x

x x x x x



 



 

   

  víi x > , x

1 a Rót gän A (KQ: A = x

x 

) b.So s¸nh A víi

Bµi 29 : Cho A = 1 :

9

3 3

x x x

x

x x x

     

  

   

       

   

Víi 0,

9 x x a Rót gän A

b Tìm x để A =6 c Tìm x để A <

( KQ : A =

3

x x

x 

 ) Bµi30 : Cho A =

2

2 2

1 2

x x x x

x x x

     



 

    

 

víi x0 , x1 a Rót gän A

b CMR nÕu < x < th× A > c TÝnh A x =3+2 2

d T×m GTLN cña A (KQ: A = x(1 x) )

Bµi 31 : Cho A = :

2

1 1

x x x

x x x x x

   

 

 

     

 

víi x0 , x1

a Rót gän A

b CMR nÕu x0 , x1 th× A > , (KQ: A = x x ) Bµi 32 : Cho A = :

1

1

x x

x x

x



 

 

 

 



  víi x > , x

1, x4 a Rót gän

b Tìm x để A =

Bµi 33 : Cho A = :

1

1

x x x x

x x

x x

       

 

   

       

 

víi x0 , x1 a Rót gän A

c Tìm x Z để A Z

Bµi 34 : Cho A= : 2

1

x x x x

x x x x x

      

  

   

        

   

víi x 0 , x9 , x4 a Rót gän A

b Tìm x Z để A Z

c Tìm x để A < (KQ: A = x

x 

 )

BAØI TẬP PHẦN HÀM SỐ BẬC NHẤT

Bài 1 :

1) Viết phơng trình đờng thẳng qua hai điểm (1 ; 2) (-1 ; -4)

2) Tìm toạ độ giao điểm đờng thẳng với trục tung trục hoành H

ớng dẫn : 1) Gọi pt đờng thẳng cần tìm có dạng : y = ax + b

Do đờng thẳng qua hai điểm (1 ; 2) (-1 ; -4) ta có hệ pt :



















b

a

b

a

4

2















1

3

b

a

Vậy pt đờng thẳng cần tìm y = 3x –

2) Đồ thị cắt trục tung điểm có tung độ -1 ; Đồ thị cắt trục hồnh điểm có hồnh độ

3

Baøi 2 : Cho hµm sè y = (m – 2)x + m + 3.

1) Tìm điều kiện m để hàm số ln nghịch biến

2) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm có hồnh độ

3) Tìm m để đồ thị hàm số đồ thị hàm số y = -x + ; y = 2x

– đồng quy

H

íng dÉn :

1) Hµm sè y = (m – 2)x + m +  m – <  m <

2) Do đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm có hồnh độ Suy : x= ; y =

0

Thay x= ; y = vào hàm số y = (m – 2)x + m + 3, ta đợc m = 43

3) Giao điểm hai đồ thị y = -x + ; y = 2x – nghiệm hệ pt :

















1

2

2

x

y

x

y

 (x;y) = (1;1)

Để đồ thị y = (m – 2)x + m + 3, y = -x + y = 2x – đồng quy cần :

(x;y) = (1;1) lµ nghiƯm cña pt : y = (m – 2)x + m + Víi (x;y) = (1;1)  m =

2 

Bài 3 : Cho hµm sè y = (m – 1)x + m + 3.

2) Tìm giá trị m để đồ thị hàm số qua điểm (1 ; -4) 3) Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số qua với m

H

íng dÉn :

1) Để hai đồ thị hàm số song song với cần : m – = -  m = -1.

Vậy với m = -1 đồ thị hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 2) Thay (x;y) = (1 ; -4) vào pt : y = (m – 1)x + m + Ta đợc : m = -3 Vậy với m = -3 đồ thị hàm số qua điểm (1 ; -4)

3) Gọi điểm cố định mà đồ thị qua M(x0 ;y0) Ta có

y0 = (m – 1)x0 + m +  (x0 – 1)m - x0 - y0 + = 











2

1

0

y

x

Vậy với m đồ thị qua điểm cố định (1;2)

Baứi4 : Cho hai điểm A(1 ; 1), B(2 ; -1). 1) Viết phơng trình đờng thẳng AB

2) Tìm giá trị m để đờng thẳng y = (m2 – 3m)x + m2 – 2m + song song

với đờng thẳng AB đồng thời qua điểm C(0 ; 2) H

ớng dẫn : 1) Gọi pt đờng thẳng AB có dạng : y = ax + b

Do đờng thẳng qua hai điểm (1 ; 1) (2 ;-1) ta có hệ pt :

















b

a

b

a

2

1

1















3

2

b

a

Vậy pt đờng thẳng cần tìm y = - 2x +

2) Để đờng thẳng y = (m2 – 3m)x + m2 – 2m + song song với đờng thẳng AB đồng

thêi ®i qua điểm C(0 ; 2) ta cần :



















2

2

2

2

3

2

m

m

m

m

 m =

Vậy m = đờng thẳng y = (m2 – 3m)x + m2 – 2m + song song với đờng thẳng

AB đồng thời qua điểm C(0 ; 2)

Baứi 5 : Cho hàm số y = (2m – 1)x + m – 3. 1) Tìm m để đồ thị hàm số qua điểm (2; 5)

2) Chứng minh đồ thị hàm số qua điểm cố định với m Tìm điểm cố định

3) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hồnh điểm có hồnh độ x = 1

H

íng dÉn : 1) m =

y0 = (2m – 1)x0 + m -  (2x0 + 1)m - x0 - y0 - = 





















2

5

2

1

0

y

x

Vậy với m đồ thị ln qua điểm cố định (

2 ;

1  

)

Baứi 6 : Tìm giá trị k để đờng thẳng sau : y = x

4 

; y = 4x



vµ y = kx + k + cắt ®iÓm

Baứi 7 : Giả sử đờng thẳng (d) có phơng trình y = ax + b Xác định a, b để (d) qua hai điểm A(1; 3) B(-3; -1)

Baứi 8 : Cho hàm số : y = x + m (D) Tìm giá trị m để đờng thẳng (D) : 1) Đi qua điểm A(1; 2003)

2) Song song với đờng thẳng x – y + =

Chủ đề : Phơng trình – bất phơng trình bậc ần Hệ phơng trình bậc ẩn

A kiÕn thøc cÇn nhí :

1 Phơng trình bậc : ax + b = Ph

ơng pháp giải :

+ Nếu a phơng trình có nghiệm nhÊt : x = ba

+ NÕu a = b phơng trình vô nghiệm.

+ Nếu a = b = phơng trình có vô số nghiệm.

2 Hệ phơng trình bậc hai ẩn :















c'

y

b'

x

a'

c

by

ax

Ph

ơng pháp giải :

Sử dụng c¸c c¸ch sau :

+) Phơng pháp : Từ hai phơng trình rút ẩn theo ẩn , vào phơng trình thứ ta đợc phơng trình bậc ẩn

+) Phơng pháp cộng đại số :

- Quy đồng hệ số ẩn (làm cho ẩn hệ có hệ số đối nhau)

- Trừ cộng vế với vế để khử ẩn - Giải ẩn, suy ẩn thứ hai B Ví dụ minh :

Ví dụ 1 : Giải phơng trình sau :

a)

2 x

x -x

x

 

b) x x -2x 3 

 =

Giải : ĐKXĐ : x3 x

 ≠ (*)

Khi :

1 x x -2x 3 

 =  2x = -  x = 

Víi  x =

2 

thay vµo (* ) ta cã (

2 

)3 +

2

 + ≠ 0

VËy x =

2 

nghiệm

Ví dụ 2 : Giải biện luận phơng trình theo m : (m 2)x + m2 – = (1) + NÕu m 2 th× (1)  x = - (m + 2)

+ Nếu m = (1) vô nghiƯm

Ví dụ 3 : Tìm m



Z để phơng trình sau có nghiệm ngun (2m – 3)x + 2m2 + m - = 0.

Gi¶i :

Ta cã : víi m

Z 2m , vây phơng tr×nh cã nghiƯm : x = - (m + 2) -

3 -m

để pt có nghiệm ngun  2m –

Giải ta đợc m = 2, m =

Ví dụ 3 : Tìm nghiệm nguyên dơng phơng trình : 7x + 4y = 23 Gi¶i :

a) Ta cã : 7x + 4y = 23  y =

4 7x -23

= – 2x +

4 x 

V× y



Z  x – 

Giải ta đợc x = y =

BÀI TẬP PHẦN HE PHệễNG TRèNH

Baứi 1 : Giải hệ phơng tr×nh:

a) 2x 3y

3x 4y

 

 

  

 b)

x 4y

4x 3y

 

 

 

 c)

2x y

5 y 4x

 

 

 

 d)

x y

x y

 

 

  

e) 2x

4x 2y

       f)

x x y

3

1,

x x y

            

Baøi 2 : Cho hệ phơng trình:

mx y

x my

 

 



1) Giải hệ phơng trình theo tham sè m

2) Gọi nghiệm hệ phơng trình (x, y) Tìm giá trị m để x + y = -1 3) Tìm đẳng thức liên hệ x y không phụ thuộc vào m

H

íng dÉn :

x 2y m

2x y 3(m 2)

  

 

  



1) Gi¶i hệ phơng trình thay m = -1

2) Gọi nghiệm hệ phơng trình (x, y) Tìm m để x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất.

Baứi 4 : Cho hệ phơng trình: (a 1)x y a

x (a 1)y

  

 

  



cã nghiƯm nhÊt lµ (x; y)

1) Tìm đẳng thức liên hệ x y khơng phụ thuộc vào a 2) Tìm giá trị a thoả mãn 6x2 – 17y = 5. 3) Tìm giá trị nguyên a để biểu thức 2x 5y

x y 

 nhËn gi¸ trị nguyên

Baứi 5 : Cho hệ phơng trình: x ay

(1) ax y

 

 

  

1) Gi¶i hƯ (1) a =

2) Víi giá trị a hệ có nghiệm nhÊt

Baứi 6 : Xác định hệ số m n, biết hệ phơng trình mx ynx myn1

 



cã nghiƯm lµ



1; 3



Bài 7 : Cho hệ phơng trình

a x y

ax y 2a

   

 

  

 (a lµ tham sè)

1) Gi¶i hƯ a =

2) Chøng minh r»ng víi mäi a hƯ lu«n cã nghiƯm nhÊt (x ; y) tho¶ m·n x + y 

Bài 8 (trang 22): Cho hƯ phơng trình :







1

-

m

4y

2)x

-

(m

0

3)y

(m

-x

(m tham số) a) Giải hệ m = -1

b) Giải biện luận pt theo m

Baứi 9 : (trang 24): Cho hệ phơng trình :















1

m

4y

mx

0

y

m

-x

(m tham số) a) Giải hệ m = -1

b) Tìm giá trị nguyên m để hệ có hai nghiệm nguyên c) Xác định hệ có nghiệm x > 0, y >

Bài 10 (trang 23): Một ôtô xe đạp chuyển động từ đầu đoạn đường sau gặp Nếu chiều xuất phát điểm sau hai xe cách 28 km Tính vận tốc xe

Bài 11 : (trang 24): Một ôtô từ A dự định đến B lúc 12 trưa Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h đến B lúc chiều Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h đến B lúc 11 trưa Tính độ quảng đường AB thời diểm xuất phát A

Đáp số : AB = 350 km, xuất phát A lúc 4giờ sáng

Bài 12 : (trang 24): Hai vòi nước chảy vào cài bể nước cạn, sau 454 đầy bể Nếu lúc đầu mở vòi thứ nhất, sau mở vịi thứ hai sau 56 bể Nếu vịi thứ hai chảy bể

Đáp số :

Bài 13 : (trang 24): Biết m gam kg nước giảm t0C tỏa nhiệt lượng Q = mt

(kcal) Hỏi phải dùng lít 1000C lít 200C để hỗn hợp 10

lít 400C.

Hường dãn : Ta có hệ pt :















400

20y

100x

10

y

x













7,5

y

2,5

x

Vậy cần 2,5 lít nước sơi 75 lít nước 200C.

Bài 14 : Khi thêm 200g axít vào dung dịch axít dung dịch có nồng độ 50% Lại thêm 300g nước vào dung dịch dung dịch axít có nồng độ 40% Tính nồng độ axít dung dịch ban đầu

Hường dãn :Gọi x khối axit ban đầu, y khối lượng dung dịch ban đầu Theo ta có hệ pt :



























%

40

%

100

.

500

y

200)

(

%

50

%

100

.

200

y

200)

(

x

x













1000

y

400

x

Vậy nồng độ phần trăm dung dịch axít ban đầu 40%

Phơng trình bậc hai định lý viet ứng dụng

A.Kiến thức cần ghi nhớ

1 Để biện luận có nghiệm phương trình : ax2 + bx + c = (1) a,b ,c phụ thuộc tham số m,ta xét trường hợp

a) Nếu a= ta tìm vài giá trị m ,thay giá trị vào (1).Phương trình (1) trở thành phương trình bậc nên : - Có nghiệm

Lập biệt số = b2 – 4ac / = b/2 – ac

*  < (/ < ) phương trình (1) vô nghiệm

*  = (/ = ) : phương trình (1) có nghiệm kép x1,2 = - a b

2

(hoặc x1,2 = -ba

/

) * > (/ > ) : phương trình (1) có nghiệm phân biệt: x1 =

a b

2

 

 ; x

2 = a b

2

  

(hoặc x1 = a b/ /

 

 ; x

2 = a b/ /

 

 )

2. Định lý Viét.

Nếu x1 , x2 nghiệm phương trình ax2 + bx + c = (a  0) S = x1 + x2 = - a

b

p = x1x2 = ac

Đảo l¹i: Nếu có hai số x1,x2 mà x1 + x2 = S x1x2 = p hai sốđó l nghim (nu có ) phơng trình bậc 2:

x2 – S x + p =

3.Dấu nghiệm số phơng trình bậc hai.

Cho phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = (a  0) Gọi x1 ,x2 nghiệm phơng trình Ta có kết sau:

x1 x2 trái dấu ( x1 < < x2 )  p = x1x2 <

Hai nghiệm dơng( x1 > x2 > ) 



















0

0

0

S

p

Hai nghiƯm cïng ©m (x1 < vµ x2 < 0) 



















0

0

0

S

p

Mét nghiÖm b»ng nghiệm dơng( x2 > x1 = 0) 



















0

0

0

S

p

Một nghiệm nghiệm âm (x1 < x2 = 0) 



















0

0

0

S

p

a)Tính nhẩm nghiệm.

Xét phơng trình bậc hai: ax2 + bx + c = (a 0)

 NÕu a + b + c = phơng trình có hai nghiệm x1 = , x2 = a c

 NÕu a – b + c = phơng trình có hai nghiệm x1 = -1 , x2 = - a c

 NÕu x1 + x2 = m +n , x1x2 = mn phơng trình có nghiệm x1 = m , x2 = n hc x1 = n , x2 = m

b) Lập phơng trình bậc hai biÕt hai nghiƯm x1 ,x2 cđa nã

Cách làm : - Lập tổng S = x1 + x2 - LËp tÝch p = x1x2

- Phơng trình cần tìm : x2 – S x + p =

c)Tìm điều kiện tham số để phơng trình bậc có nghệm x1 , x2 thoả mãn điều

kiện cho trớc.(Các điều kiện cho trớc thờng gặp cách biến đổi):

*) x12+ x22 = (x1+ x2)2 – 2x1x2 = S2 – 2p *) (x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2 = S2 – 4p

*) x13 + x23 = (x1 + x2)3 – 3x1x2(x1 + x2) = S3 – 3Sp *) x14 + x24 = (x12 + x22)2 – 2x12x22

*)

2

2

1

x x

x x x x

 

 = Sp

*)

2

2 2 1 2

x x

x x x x x

x 



 =

p p S2



*) (x1 – a)( x2 – a) = x1x2 – a(x1 + x2) + a2 = p – aS + a2

*)

2

2

1

2 )

)( (

2

1

a aS p

a S a

x a x

a x x a x a

x  

   

     

(Chó ý : giá trị tham số rút từ điều kiện cho trớc phải thoả mÃn điều kiện

0 

 )

d)Tìm điều kiện tham số để phơng trình bậc hai có nghiệm x = x1 cho

tr-íc T×m nghiƯm thø 2

Cách giải:

Tỡm iu kin phng trình có nghiệm x= x1 cho trớc có hai cách làm

+) Cách 1:- Lập điều kiện để phơng trình bậc cho có nghiệm:  0 (hoặc /



 ) (*)

- Thay x = x1 vào phơng trình cho ,tìm đợc giá trị tham số

- Đối chiếu giá trị vừa tìm đợc tham số với điều kiện(*)

để kết luận

+) C¸ch 2: - Không cần lập điều kiện0 (hoặc /

) mà ta thay

x = x1 vào phơng trình cho, tìm đợc giá trị tham số - Sau thay giá trị tìm đợc tham số vào phơng trình giải phơng trình

Chú ý : Nếu sau thay giá trị tham số vào phơng trình cho mà phơng trình bậc hai có  < kết luận khơng có giá trị tham số để phơng trình có nghim x1 cho trc

Đê tìm nghiệm thứ ta có cách làm

+) Cỏch 1: Thay giá trị tham số tìm đợc vào phơng trình giải phơng trình (nh cách trình bầy trên)

+) Cách 3: thay giá trị tham số tìm đợc vào cơng thức tích hai nghiệm ,từ tìm đợc nghim th

B Bài tập áp dụng

Bài 1: Giải biện luận phơng trình : x2 – 2(m + 1) +2m+10 = 0 Gi¶i.

Ta cã /

 = (m + 1)2 – 2m + 10 = m2 –

+ NÕu /

 >  m2 – >  m < - m > Phơng trình cho có

nghiƯm ph©n biÖt:

x1 = m + - m2  x2 = m + + m2 

+ NÕu /

 =  m =

- Với m =3 phơng trình cã nghiƯm lµ x1.2 = - Víi m = -3 phơng trình có nghiệm x1.2 = -2 + NÕu /

 <  -3 < m < phơng trình vô nghiệm

Kết kuận:

Với m = phơng tr×nh cã nghiƯm x =

 Víi m = - phơng trình có nghiệm x = -2

 Víi m < - hc m > phơng trình có nghiệm phân biệt x1 = m + - m2 x2 = m + + m2 

 Với -3< m < phơng trình vô nghiệm

Bài 2: Giải biện luận phơng trình: (m- 3) x2 – 2mx + m – = 0

Híng dÉn

 Nếu m – =  m = phơng trình cho có dạng

- 6x – =  x = -

2

* Nếu m – 0  m  Phơng trình cho phơng trình bậc hai có biệt số

/

 = m2 – (m – 3)(m – 6) = 9m – 18

- NÕu / =  9m – 18 = m = phơng trình có nghiệm kép

x1 = x2 = -

3

2

/

 

a b

= -

- NÕu /

> m >2 Phơng trình có hai nghiƯm ph©n biƯt

x1,2 =

3

  

m m m

- NÕu / <  m < Phơng trình vô nghiệm

Kết luận:

Với m = phơng trình có nghiệm x = -

2

Với m = phơng trình cã nghiƯm x1 = x2 = -2 Víi m > m phơng trình có nghiệm x1,2 =

3

  

m m m

Với m < phơng trình vô nghiệm

Bài 3: Giải phơng trình sau b»ng c¸ch nhÈm nhanh nhÊt a) 2x2 + 2007x – 2009 =

b) 17x2 + 221x + 204 = 0 c) x2 + ( 3 5)x - 15 = d) x2 –(3 - 2 7)x - 6 7 = 0

Gi¶i

Vậy phơng trình có hai nghiƯm ph©n biƯt: x1 = , x2 =

2 2009  

a c

b) 17x2 + 221x + 204 = cã a – b + c = 17 – 221 + 204 = 0

Vậy phơng trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = -1 , x2 = -

17 204  

a c

= - 12 c) x2 + ( 3 5)x - 15 = cã: ac = - 15 <

Do phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 áp dụng hệ thức Viet ta có : x1 + x2 = -( 3 5) = - +

x1x2 = - 15 = (- 3)

Vậy phơng trình có nghiƯm lµ x1 = - , x2= (hc x1 = , x2 = - 3) d ) x2 –(3 - 2 7)x - 6 7 = cã : ac = - 6 7 <

Do phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 áp dụng hệ thức Viét ,ta có

















)

7

3(-2

7

6

-

x

x

7

2

-

3

x

x

2

2

Vậy phơng trình có nghiệm x1 = , x2 = -

Bµi 4 : Giải phơng trình sau cánh nhẩm nhanh nhÊt (m lµ tham sè)

a) x2 + (3m – 5)x – 3m + = 0

b) (m – 3)x2 – (m + 1)x – 2m + = 0

Híng dÉn :

a) x2 + (3m – 5)x – 3m + = cã a + b + c = + 3m – – 3m + =

Suy : x1 = Hc x2 =

3 

m

b) (m – 3)x2 – (m + 1)x – 2m + = (*)

* m- =  m = (*) trë thµnh – 4x – =  x = -

* m –   m  (*)

    

  

  

3 2

1

2

m m x

x

Bài 5: Gọi x1 , x2 nghịêm phơng trình : x2 3x = a) TÝnh:

A = x12 + x22 B = x1  x2

C= 1 1

2

1 



 x

x D = (3x1 + x2)(3x2 + x1) b) lập phơng trình bậc có nghiệm

1

1 

x vµ

1

2

x Giải ;

Phơng trình bâc hai x2 – 3x – = cã tÝch ac = - < , suy phơng trình cã hai nghiƯm ph©n biƯt x1 , x2

Theo hÖ thøc ViÐt ,ta cã : S = x1 + x2 = vµ p = x1x2 = -7 a)Ta cã

+ (x1 – x2)2 = S2 – 4p => B = x1  x2 = S2  4p  37

+ C =

1 1    x

x =

1 ) )( ( ) ( 2           S p S x x x x + D = (3x1 + x2)(3x2 + x1) = 9x1x2 + 3(x12 + x22) + x1x2

= 10x1x2 + (x12 + x22)

= 10p + 3(S2 – 2p) = 3S2 + 4p = - 1 b)Ta cã :

S = 1 1      x

x (theo c©u a)

p = ( 1)(1 1) 1 91

2      

 x p S

x VËy

1

1 

x vµ

1

2

x nghiệm hơng trình :

X2 – SX + p =  X2 +

9

X -

9

=  9X2 + X - = 0 Bài 6 : Cho phơng tr×nh :

x2 – ( k – 1)x - k2 + k – = (1) (k lµ tham sè)

1 Chứng minh phơng trình (1 ) ln có hai nghiệm phân biệt với giá trị k Tìm giá trị k để phơng trình (1) có nghiệm phân biệt trái dấu Gọi x1 , x2 nghệm phơng trình (1) Tìm k để : x13 + x23 >

Giải Phơng trình (1) phơng tr×nh bËc hai cã:

 = (k -1)2 – 4(- k2 + k – 2) = 5k2 – 6k + = 5(k2 -

5 k + ) = 5(k2 – 2.

5 k + 25 + 25 36

) = 5(k -

5

) +

5 36

> víi mäi giá trị k Vậy phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt

2 Phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt trái dấu p <  - k2 + k – <  - ( k2 – 2.

2 k + +

) <  -(k -

2

)2 -

4

< với k.Vậy phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt trái dấu với k

3 Ta cã x13 + x23 = (x1 + x2)3 – 3x1x2(x1 + x2)

Vì phơng trình có nghiệm với k Theo hÖ thøc viÐt ta cã x1 + x2 = k – vµ x1x2 = - k2 + k –

 x13 + x23 = (k – 1)3 – 3(- k2 + k – 2)( k – 1) = (k – 1) [(k – 1)2 - 3(- k2 + k – 2)] = (k – 1) (4k2 – 5k + 7)

= (k – 1)[(2k -

4

)2 +

16 87

] Do x13 + x23 >  (k – 1)[(2k -

4

)2 +

16 87

] >  k – > ( v× (2k -

4

)2 +

16 87

> víi mäi k)  k >

VËy k > giá trị cần tìm Bài 7:

1 Gi¶i phơng trình (1) với m = -5

2 Chng minh phơng trình (1) ln có hai nghiệm x1 , x2 phân biệt với m Tìm m để x1  x2 đạt giá trị nhỏ (x1 , x2 hao nghiệm phơng trình (1)

nói phần 2.)

Giải

1 Với m = - phơng trình (1) trở thành x2 + 8x – = vµ cã nghiƯm lµ x = , x2 = -

2 Cã /

 = (m + 1)2 – (m – 4) = m2 + 2m + – m + = m2 + m +

= m2 + 2.m.

2 + + 19

= (m +

2

)2 +

4 19

> víi mäi m VËy ph¬ng trình (1) có nghiệm phân biệt x1 , x2

3 Vì phơng trình có nghiệm với m ,theo hÖ thøc ViÐt ta cã: x1 + x2 = 2( m + 1) vµ x1x2 = m –

Ta cã (x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2 = 4( m + 1)2 – (m – 4) = 4m2 + 4m + 20 = 4(m2 + m + 5) = 4[(m +

2

)2 +

4 19

] => x1  x2 =

4 19 ) (   m 19

 = 19 m +

2

=  m = -

2

Vậy x1  x2 đạt giá trị nhỏ 19 m = -

2

Bài 8 : Cho phơng trình (m + 2) x2 + (1 – 2m)x + m – = (m tham số) 1) Giải phơng tr×nh m = -

2

2) Chứng minh phơng trình cho có nghiệm với mi m

3) Tìm tất giá trị m cho phơng trình có hai nghiệm phân biệt nghiệm gấp ba lần nghiệm

Gi¶i: 1) Thay m = -

2

vào phơng trình cho thu gọn ta đợc 5x2 - 20 x + 15 = 0

phơng trình có hai nghiệm x1 = , x2=

2) + Nếu: m + = => m = - phơng trình cho trở thành; 5x – =  x =

+ Nếu : m +  => m  - Khi phơng trình cho phơng trình bậc hai có biệt số :

 = (1 – 2m)2 - 4(m + 2)( m – 3) = – 4m + 4m2 – 4(m2- m – 6) = 25 > Do phơng trình có hai nghiệm phân biệt

x1 =

) (    m m

=

4    m m

x2 =

2 ) ( ) ( ) (          m m m m m m

Tóm lại phơng trình cho ln có nghiệm với m

3)Theo câu ta có m  - phơng trình cho có hai nghiệm phân biệt.Để nghiệm gấp lần nghiệm ta sét trờng hợp

Trêng hỵp 1 : 3x1 = x2  =

2   m m

giải ta đợc m = -

2

(đã giải câu 1)

Trêng hỵp 2: x1 = 3x2  1=

2   m m

 m + = 3m –  m =

2 11

(thoả mÃn điều kiện m  - 2)

KiĨm tra l¹i: Thay m =

2 11

vào phơng trình cho ta đợc phơng trình : 15x2 – 20x + = phơng trình có hai nghiệm

x1 = , x2 =

15

=

3

Bµi 9: Cho phơng trình : mx2 2(m-2)x + m = (1) víi m lµ tham sè Biện luận theo m có nghiệm phơng trình (1)

2 Tìm m để (1) có nghiệm trái dấu

3 Tìm m để (1) có nghiệm Tìm nghiệm thứ hai Giải

1.+ NÕu m = thay vµo (1) ta cã : 4x – =  x =

4

+ NÕu m 0 LËp biÖt sè /

 = (m – 2)2 – m(m-3)

= m2- 4m + – m2 + 3m = - m +

/

 <  - m + <  m > : (1) v« nghiƯm

/

 =  - m + =  m = : (1) cã nghiÖm kÐp

x1 = x2 =

-2 2 /      m m a b /

 >  - m + >  m < 4: (1) cã nghiƯm ph©n biƯt

x1 =

m m

m 2  4 ; x =

m m m 2  4 VËy : m > : phơng trình (1) vô nghiệm

m = : phơng trình (1) Cã nghiÖm kÐp x =

2

m < : phơng trình (1) cã hai nghiƯm ph©n biƯt:

x1 =

m m

m 2  4 ; x =

m m m 2  4 m = : Phơng trình (1) có nghiệm đơn x =

4

2 (1) cã nghiƯm tr¸i dÊu  a c

<  m m

< 







































0

0

3

0

0

3

m

m

m

m





































0

3

0

3

m

m

m

m

Trêng hỵp











0

3

m

m

không thoả mÃn

Trờng hợp







0

3

m

m

3 *)Cách 1: Lập điều kiện để phơng trình (1) có hai nghiệm

/

   m  (*) (ở câu a có)

- Thay x = vào phơng trình (1) ta có :

9m – 6(m – 2) + m -3 =  4m = -9  m =

-4

Đối chiếu với điều kiện (*), giá trị m =

-4

thoả m·n

*) Cách 2: Không cần lập điều kiện /  mà thay x = vào (1) để tìm đợc m =

-4

.Sau thay m =

-4

vào phơng trình (1) :

-4

x2 –

2(-4

- 2)x -

4

- =  -9x2 +34x – 21 = 0

cã /

 = 289 – 189 = 100 > =>        x x

VËy với m =

-4

phơng trình (1) có nghiệm x= *)Để tìm nghiệm thứ ,ta có cách làm

Cách 1: Thay m = -

4

vào phơng trình cho giải phơng trình để tìm đợc x2 =

9

(Nh phần làm)

C¸ch 2: Thay m =

-4

vào công thức tính tổng nghiÖm:

x1 + x2 =

9 34 ) ( ) (       m m

 x2 =

9 34

- x1 =

9 34

- =

9

C¸ch 3: Thay m = -

4

vào công trức tính tÝch hai nghiÖm

x1x2 =

9 21 9       m m

=> x2 =

9 21

: x1 =

9 21

: =

9

Bài 10: Cho phơng trình : x2 + 2kx + – 5k = (1) với k tham số 1.Tìm k để phơng trình (1) có nghiệm kép

2 Tim k để phơng trình (1) có nghiệm x1 , x2 thoả mãn điều kiện : x12 + x22 = 10

Giải.

1.Phơng trình (1) cã nghiÖm kÐp  / =  k2 – (2 – 5k) =  k2 + 5k – = ( cã

 = 25 + = 33 > )

 k1 =

33 5

 ; k

2 =

33 5 

Vậy có giá trị k1 =

33 5

 hc k

2 =

33 5

 th× phơng trình (1) Có nghiệm

2.Có cách giải

Cỏch 1: Lp điều kiện để phơng trình (1) có nghiệm:

/

   k2 + 5k –  (*)

Ta cã x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2 Theo bµi ta cã (x1 + x2)2 – 2x1x2 = 10

Víi ®iỊu kiƯn(*) , ¸p dơng hƯ trøc vi Ðt: x1 + x2 = -  a b

- 2k vµ x1x2 = – 5k VËy (-2k)2 – 2(2 – 5k) = 10  2k2 + 5k – = 0

(Cã a + b + c = 2+ – = ) => k1 = , k2 = -

2

Để đối chiếu với điều kiện (*) ta thay lần lợt k1 , k2 vào / = k2 + 5k –

+ k1 = => / = + – = > ; tho¶ m·n

+ k2 = -

2

=> /=

8 29

8 70 49 2 35 49

     

 không thoả mÃn

Vậy k = giá trị cần tìm

Cách 2 : Không cần lập điều kiện / Cách giải là:

T điều kiện x12 + x22 = 10 ta tìm đợc k1 = ; k2 = -

2

(cách tìm nh trên) Thay lần lợt k1 , k2 vào phơng trình (1)

+ Với k1 = : (1) => x2 + 2x – = cã x1 = , x2 = + Víi k2 = -

2

(1) => x2- 7x +

2 39

= (cã = 49 -78 = - 29 < ) Phơng trình vô nghiệm

Vậy k = giá trị cần tìm

BAỉI TAP PHẦN PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

Bài 1 : Cho phơng trình : x2 6x + = 0, gäi x

1 vµ x2 lµ hai nghiƯm cđa phơng trình Không giải phơng trình, hÃy tính:

1) x12 + x22 2) x1 x1 x2 x2

3)













2

1 x

2 2

1 2

x x x x x x

x x x x

  

  

Baứi 2 : Cho phơng trình: 2x2 5x + = 0.

TÝnh x1 x2 x2 x1 (với x1, x2 hai nghiệm phơng trình)

Baứi 3 : Cho phơng trình bậc hai:

x2 – 2(m + 1)x + m2 + 3m + = 0

1) Tìm giá trị m để phơng trình ln có hai nghiệm phân biệt

2) Tìm giá trị m thoả mãn x12 + x22 = 12 (trong x1, x2 hai nghiệm ca phng trỡnh)

Baứi 4 : Cho phơng trình:

x2 – 2mx + 2m – = 0.

1) Chứng minh phơng trình ln có hai nghiệm phân biệt với m 2) Tìm điều kiện m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu

3) Gọi hai nghiệm phơng trình x1 x2, tìm giá trị m để: x12(1 – x22) + x22(1 – x12) = -8

Baứi 5 : Cho phơng trình:

1) Giải phơng trình với m =

2) Gọi hai nghiệm phơng trình x1 x2 Tìm giá trị m tho¶ m·n 5x1 + x2 =

Bài 6 : Cho phơng trình: x2 + 4x + = (1) 1) Giải phơng trình (1)

2) Gọi x1, x2 hai nghiệm phơng trình (1) Tính B = x13 + x23

Baøi 7 : Cho phơng trình : x2 - (m + 4)x + 3m + = (m lµ tham sè).

a) Xác định m để phơng trình có nghiệm Tìm nghiệm cịn lại b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn x13 + x23 

Baøi 8 : Cho phơng trình:

(m 1)x2 + 2mx + m = (*)

1) Giải phơng tr×nh m =

2) Tìm m để phơng trình (*) có nghiệm phân biệt Câu9 Cho phơng trình (2m-1)x2-2mx+1=0

Xác định m để phơng trình có nghiệm thuộc khoảng (-1,0) Câu 10: Phơng trình: ( 2m-1)x2-2mx+1=0

 XÐt 2m-1=0=> m=1/2 pt trë thµnh –x+1=0=> x=1

 Xét 2m-10=> m 1/2 ta có

,

 = m2-2m+1= (m-1)20 mäi m=> pt cã nghiƯm víi mäi m ta thÊy nghiƯm x=1 kh«ng thc (-1,0)

víi m 1/2 pt cßn cã nghiƯm x=

1

1 

 

m m m

=

1

1 

m pt cã nghiÖm kho¶ng (-1,0)=> -1<

1

1 

m <0





















0

1

2

0

1

1

2

1

m

m

=>



















0

1

2

0

1

2

2

m

m

m

=>m<0

Vậy Pt có nghiệm khoảng (-1,0) chØ m<0

GIẢI BÀI TỐN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH

Baứi : Hai tơ khởi hành lúc từ A đến B cách 300 km Ơ tơ thứ chạy nhanh ô tô thứ hai 10 km nên đến B sớm ô tô thứ hai Tính vận tốc xe tơ

Hướng dẫn : Gọi vận tốc ôtô thứ x (km/h ĐK x > 0) Ta có : Vận tốc ô tô thứ hai : x – 10 (km/h)

Do ôtô thứ đến B sớm ơtơ thứ hai ta có phương trình : x 300 -10 -x

300

Giải ta được: x = - 50 (loại) ; x = 60

Đáp số : Vận tốc ôtô thứ : 60 km/h Vận tốc ôtô thứ hai: 50 km/h

Baứi : Một ô tô dự định từ A đến B với vận tốc 50 km/h Sau đợc 2/3 quãng đờng với vận tốc đó, đờng khó nên ngời lái xe phải giảm vận tốc 10 km quãng đờng cịn lại Do tơ đến B chậm 30 phút so với dự định Tính quãng đờng AB

Hướng dẫn : Gọi x quảng đường AB (Km ĐK x > 0)

Theo giả thiết tốn ta có phương trình : 3.x40 50 21 50

2

 

 x

x

Giải ta được: x = 300 (tmđk)

Vậy quảng đường AB : 300km

Baứi : Hai vòi nớc chảy vào bể sau 48 phút đầy Neỏu chảy thời gian nh lợng nớc vịi II 2/3 lợng nớc vòi I chảy đợc Hỏi vòi chảy riêng sau đầy bể

H

ớng dẫn : Gọi x, y lần lợt thời gian vòi I, vòi II chảy đầy bể

Theo ta có hệ phơng trình :





















2y

3

x

1

24

5

y

1

x

1

Giải ta đợc :











8

x

12

y

(tmđk)

Đáp số : Vòi chảy đầy bể Vòi chảy đầy bể 12 giê

Baứi : Một ô tô dự định từ A đền B thời gian định Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h đến chậm Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h đến sớm Tính quãng đờng AB thời gian dự định lúc đầu

H

íng dÉn : Gäi quảng đường AB x (km), thời gian dự định y(giờ) ĐK : x > 0,

y >

Theo ta có hệ pt :













x

1)

-50(y

x

2)

y

(

35

suy : 35y + 70 = 50y -50 y = (TMÑK)

Thay vào hệ ta x = 350 (TMĐK)

Đáp số : Quảng đường AB : 350 (km) Thời gian dự định : (giờ)

Baứi : Quãng đờng AB dài 180 km Cùng lúc hai ôtô khởi hành từ A để đến B. Do vận tốc ôtô thứ vận tốc ôtô thứ hai 15 km/h nên ôtô thứ đến sớm ôtô thứ hai 2h Tính vận tốc ôtô?

Hướng dẫn : Gäi x (km) lµ vËn tèc ca ôtô thứ ĐK x > 0. Theo gt toán ta có pt : 180x x18015

 

Đáp số : Vận tốc ôtô thứ hai : 30 (km/h) Vận tốc ôtô thứ nhât : 45 (km/h) Baứi : Trong buổi lao động trồng cây, tổ gồm 13 học sinh (cả nam nữ) trồng đợc tất 80 Biết số bạn nam trồng đợc số bạn

nữ trồng đợc nhau; bạn nam trồng đợc nhiều bạn nữ

TÝnh sè häc sinh nam vµ sè häc sinh nữ tổ

Giải : Gọi số học sinh nam x (em) ĐK : x nguyên d¬ng, x  13

Theo gt ta có pt : 40x  1340- x 3  3x2 – 119x + 520 = (  = 89) Giải ta đợc : x = 119689 (loại) ; x = (TMK)

Đáp số : Sè HS nam : (em) Sè HS n÷ : em

Baứi : Khoảng cách hai thành phố A B 180 km Một ô tô từ A đến B, nghỉ 90 phút B trở lại từ B A Thời gian từ lúc đến lúc trở 10 Biết vận tốc lúc vận tốc lúc km/h Tính vận tốc lúc tơ

Gi¶i : Gäi vËn tèc lóc x (km/h) ĐK : x >

Theo gt ta có pt : 180x 23x180-510  17x2 – 805x + 1800 = (  = 725) Giải ta đợc : x = 80534 725 (loại) ; x = 45 (TMĐK)

Đáp số : Vận tốc lúc : 45 (km/h) Baứi : Một ca nơ xi dịng từ bến sông A đến bến sông B cách 24 km, cùng lúc từ A bè nứa trơi với vận tốc dịng nớc km/h Khi đến B ca nô quay lại gặp bè nứa trôi địa điểm C cách A km Tính vận tốc thực ca nơ

Gi¶i : Gọi vận tốc thực canô x (km/h) §K x > Theo gt bµi ta cã pt : x244x 16-42

  2x

2 – 40x = 0 Giải ta đợc : x = (loại) ; x = 20

Đáp số : Vận tốc thực canô : 20 (km/h)

Baứi : Khoảng cách hai tỉnh A B 108 km Hai ô tô khởi hành một lúc từ A đến B, xe thứ chạy nhanh xe thứ hai km nên đến B tr -ớc xe thứ hai 12 phút Tính vận tốc xe

Gi¶i : Gäi vËn tèc cđa xe thø hai lµ x (km/h) §K x > Theo gt bµi ta cã pt : 108x 1086 51

 

x  x2 + 6x – 3240 = ( ' = 57 )

Giải ta đợc : x = - 60 (loại) ; x = 54

Đáp số : Vận tốc xe thứ lµ : 60 (km/h)

VËn tèc xe thø hai lµ : 54 (km/h)

Giải : Gọi x số công nhân lúc đầu ( công nhân) ĐK : x nguyên dơng, x >

Theo gt ta cã pt :

x 360 x

360

 

  x

2 – 3x – 270 = (  = 33 ) Giải ta đợc : x = -15 (loi) ; x =18

Đáp số : Số công nhân lúc đầu : 18 ( công nhân)

Bai 12 : Ba chic bỡnh cú thể tích tổng cộng 120lít Nếu đổ đầy nớc vào bình thứ đem rót vào hai bình bình thứ đầy nớc, bình thứ đợc 1/2 thể tích nó, bình thứ đầy nớc bình thứ đợc 1/3 thể tích Tìm thể tích bình

Gi¶i : Gäi x, y, z (lÝt) theo thứ tự thể tích ba bình §K : x,y, z >

Theo gt bµi ta cã hpt :

  

   

 

 

 

  

z y

y z x

120 z y x

x



















30

z

40

y

50

x

(TM§K)

Đáp số : Bình thứ tích: 50 (lít) Bình thứ hai tích : 40 (lít) Bình thứ ba tích : 30 (lít) Baứi 13 : Hai địa điểm A, B cách 56km Lúc 6h45' ngời từ A với vận tốc 10km/h Sau 2h , ngời xe đạp từ B tới A với vận tốc 14km/h Hỏi đến họ gặp nhau, chỗ gặp cách A km

Giải : Gọi x (giờ) thời gian từ A đến C ĐK : x > Theo gt ta có pt : 10x + 14(x – 2) = 56

Giải ta c: x = 321 (TMK)

Đáp số : Gặp lúc : 10h15 Cách A: 35 (km)

Baứi 14 : Một ca nô xuôi từ A đến B với vận tốc 30km/h, sau ngợc từ B trở A. Thời gian xuôi thời gian ngợc 40' Tính khoảng cách A B Biết vận tốc ca nơ khơng đổi, vận tốc dịng nớc 3km/h

Giải : Gọi x (km) quảng đờng AB ĐK : x > Theo gt ta có pt : 30x 3224x .

Giải ta đợc : x = 80 (TMĐK)

Đáp số : Quảng đờng AB : 80 (km) Baứi 15 : Một ngời xe đạp từ A đến B cách 50km Sau 1h30' ngời xe máy từ A đến B sớm Tính vận tốc xe, biết vận tốc xe máy gấp 2.5 lần xe đạp

Giải : Gọi x (km/h) vận tốc ngời xe đạp ĐK x > Theo gt ta có pt : 50x  2,5x50 25

Đáp số : Vận tốc ngời xe đạp : 12 (km/h)

VËn tốc ngời xe máy : 30(km/h)

Bai 16 : Một phịng họp có 360 ghế ngồi đợc xếp thành hàng số ghế mỗi hàng Nếu số hàng tăng thêm số ghế hàng tăng thêm phịng có 400 ghế Hỏi có hàng, hàng có bao nhiờu gh?

Giải : Gọi x số dÃy ghế phòng họp ĐK x nguyên dơng

Theo gt ta có pt : (x + 1)(360x 1) = 400  x2 – 39x –360 = ( = ) Giải ta đợc : x = 24 (TMĐK) , x = 15 (TMK)

Đáp số : Có thể xảy khả

+) KN : Phòng họp có 24 dÃy ghế dÃy cã 15 ghÕ +) KN : Phßng họp có 15 dÃy ghế dÃy có 24 ghÕ

Baứi 17 : Hai ngời thợ làm cơng việc 16 xong Nếu ngời thứ làm ngời thứ làm họ làm đợc 25% cơng việc Hỏi ngời làm cơng việc giời xong?

Gi¶i : Gäi x, y (giê) lần lợt thời gian ngời làm hoàn thành công việc ĐK x, y >

Theo gt bµi ta cã hpt :























4

1

y

6

3

16

1

y

1

1

x

x













48

y

24

x

(TMĐK)

Đáp số : Ngời thứ hoàn thành công việc : 24 giê

Ng êi thø hai hoàn thành công việc : 48

Bai 18 : Hai vật chuyển động đờng tròn có đờng kính 20m , xuất phát lúc từ điểm Nếu chúng chuyển động ngợc chiều giây lại gặp Nếu chúng chuyển động chiều sau 10 giây lại gặp Tính vận tốc vật

Giải : Gọi x, y (m/s) lần lợt vận tèc cđa hai vËt §K x > y >

Theo gt bµi ta cã hpt :















10y

62.8

10x

62,8

2y

2x













13

y

18,84

x

(TM§K)

Đáp số : Vận tốc hai vât lần lợt : 18,84 (km/h) ; 13 (km/h) Baứi 19 : Tháng thứ hai tổ sản xuất đợc 800 sản phẩm Sang tháng thứ hai tổ 1 vợt 15%.tổ vợt 20% Do cuối tháng hai tổ xản xuất đựoc 945 sản phẩm Tính xem tháng thứ tổ sản xuất đợc sản phẩm

Theo gt toán ta có hpt :















145

100

20y

100

15x

800.

y

x













500

y

300

x

(TM§K)

Đáp số : Trong tháng :

Tổ sản xuất đợc 300 (sản phẩm) Tổ sản xuất đợc 500 (sản phẩm)

Bài 20 : Một nhà máy dự định sản xuất chi tiết máy thời gian định dự định sản xuất 300 chi tiết máy ngày Nhng thực tế ngày làm thêm đợc 100 chi tiết, nên sản xuất thêm đợc tất 600 chi tiết hoàn thành kế hoạch trớc ngày

Tính số chi tiết máy dự định sản xuất

Giải : Gọi x số chi tiết mà nhà máy dự định làm ĐK : x ngun dơng

Theo gt tốn ta có pt : 300x x 4006001  x = 3000 (TMĐK) Đáp số : Tổng số chi tiết dự định làm 3000 (chi tiết)

Bµi 21: Mét ca nô xuôi dòng 42km ngợc dòng trở lại 20km mát tổng cộng 5giờ Biết vận tốc dòng chảy 2km/h Tìm vận tốc ca nô lúc dòng nớc yên lặng

Giải : Gọi x vận tốc ca nô lúc nớc yên lặng ( km/h ; ĐK : x > 2) Theo gt to¸n ta cã pt : x 422x 20- 2 5

  5x

2 - 62x + 24 = ( '= 29) Giải ta đợc : x = 52 (loại) ; x = 12

Đáp số : Vậy vận tốc ca nô lúc n ớc yên lặng : 12 (km/h)

Bài 22: Một đội xe cần chuyên chở 120 hàng Hơm làm việc có xe phải điều nơi khác nên xe phải chở thêm 16 Hỏi đội có xe?

Giải : Gọi x số xe đội lúc đầu (xe ĐK : x > 2) Theo gt tốn ta có pt : x 1202 120x 16

  x

2 - 2x -15 = ( '= 4) Giải ta đợc : x = - (loại) ; x =

Đáp số : Vậy đội xe có xe

Bài 23: Hai ô tô khởi hành lúc từ địa điểm A đễn địa điểm B Mỗi ôtô thứ chạy nhanh ôtô thứ hai 12km nên đến địa điểm B trớc tơ thứ hai 100phút Tính vận tốc ô tô biết quãng đờng AB di 240km

Giải : Gọi x vận tốc ôtô thứ hai (Km/h ĐK : x > 0) Theo gt toán ta có pt : x 24012 240x 35

  5x

2 - 60x – 8640 = ( '=210) Giải ta đợc : x = -36 (loại) ; x = 48

Đáp số: Vận tốc ôtô thứ hai : 48 km/h VËn tèc cđa «t« thø : 60 km/h

Bài 24: Nếu mở hai vòi nớc chảy vào bể cạn sau 55phút bể đầy bể Nếu mở riêng vòi vòi thứ làm đầy bể nhanh vòi thứ hai hai Hỏi mở riêng vòi vòi chảy đầy bể?

Giải : Gọi x th

Nếu lấy tổ chuyển cho tổ số trồng đợc hai tổ

Nếu lấy 10 tổ chuyển cho tổ hai số trồng đợc tổ hai gấp đôi số tổ

Hỏi tổ trồng c bao nhiờu cõy?

Bài 25: Hai ô tô A vµ B khëi hµnh cïng mét lóc tõ hai tỉnh cách 150km, ng ợc chiều gặp sau Tìm vận tốc ô t«, biÕt r»ng nÕu vËn tèc cđa « t« A tăng thêm 5km/h vận tốc ô tô B giảm 5km/h vận tốc ô tô A lần vận tốc ô tô B

Bi 26: Hai hợp tác xã bán cho nhà nớc 860 thóc Tính số thóc mà hợp tác xã ó

bán cho nhà nớc Biết lần số thóc hợp tác xà thứ bán cho nhà nớc nhiều hai lần số thóc hợp tác xà thứ hai bán 280

ôn tập hình học 9

Phần : hình học phẳng

I.Đờng tròn: 1,Định nghĩa:

Tp hp cỏc điểm cách điểm cho trớc khoảng cách R > khơng đổi gọi đ-ờng trịn tâm bán kính R Kí hiệu : ( ; R)

2, Vị trí t ơng đối:

* Của điểm với đờng tròn : xét (0 ; R ) điểm M

vị trí tơng đối Hệ thức

M n»m ngoµi ( O ; R ) OM > R

M n»m trªn ( O ; R ) hay M thuéc

( O ; R) OM = R

M n»m ( O ; R ) OM < R

* Của đờng thẳng với đờng tròn :

xét ( O ; R ) đờng thẳng a ( với d khoảng cách từ tâm O đến đờng thẳng a )

vị trí tơng đối Số điểm chung Hệ thức

a c¾t ( O ; R ) d < R

a tiÕp xóc ( O ; R ) d = R

a vµ ( O ; R ) kh«ng

giao d > R

* Của hai đờng tròn :

vị trí tơng đối Số điểm chung Hệ thức

Hai đờng tròn cắt R – r < d < R- r

Hai đờng trịn tiếp xúc :

+ tiÕp xóc ngoµi : + tiÕp xóc :

1

d = R + r d = R – r Haiđờng trịn khơng

giao :

+hai đờng trịn ngồi :

+đờng trịn lớn đựng đ-ờng tròn nhỏ :

0

d > R + r

d < R -r TiÕp tuyÕn đ ờng tròn :

a Định nghĩa :

đờng thẳng d đợc gọi tiếp tuyến đờng trịn có điểm chung với đờng

b, TÝnh chÊt :

+ Tính chất : Nếu đờng thẳng tiếp tuyến đờng trịn vng góc với bán kính đI qua tiếp điểm

+ Tính chất : Nếu hai tiếp tuyến đờng trịn cắt điểm giao điểm cách hai tiếp điểm tia kẻ từ giao điểm qua tâm đờng trịn tia phân giác góc tạo hai tiếp tuyến

c, C¸ch chøng minh :

 Cách : chứng minh đờng thẳng có điểm chung với đờng trịn

 Cách : chứng minh đờng thẳng vng góc với bán kính đờng trịn

một điểm điểm thuộc đờng trịn Quan hệ ng kớnh v dõy cung :

* Định lí : Đờng kính vuông góc với dây cung chia dây cung thành hai phần

* Định lí : Đờng kính đI qua trung điểm dây cung không qua tâm vuông góc với dây cung

5 Quan hệ dây cung khoảng cách đến tâm :

* Định lí : Trong đờng tròn hai dây cung chúng cách tâm

* Định lí : Trong hai dây cung khơng đờng tròn, dây cung lớn gần tâm

II Gúc ng trũn:

1, Các loại góc đ ờng tròn: - Góc tâm

- Góc có đỉnh bên hay bên ngồi đờng trịn - Góc tạo tia tiếp tuyến dây cung

2, Mèi quan hệ cung dây cung:

* nh lớ 1: Đối với hai cung nhỏ đờng tròn: a, Hai cung căng hai dây

b, Đảo lại, hai dây trơng hai cung * Định lí 2: Đối với hai cung nhỏ đờng tròn:

a, Cung lớn căng dây lớn b, Dây lớn trơng cung lớn 3, Tứ giác nội tiếp:

a, Định nghÜa:

Tứ giác nội tiếp đờng tròn tứ giác có bốn đỉnh nằm đờng trịn Đơng trịn đợc gọi đờng trịn ngoại tiếp tứ giác

b, C¸ch chøng minh :

* Cách 1: chứng minh bốn đỉnh tứ giác thuộc đờng tròn

* Cách 2: chứng minh tứ giác có tổng hai góc đối diện 1800

* Cách 3: chứng minh tứ giác có hai đỉnh kề nhìn cạnh đối diện dới góc

B Bµi tËp:

Bài 1: Cho tam giác ABC ( Â= 1v ), đờng cao AH Đờng trịn đờng kính AH cắt cạnh AB, AC lần lợt E F

a CM: tø giác AEHF hình chữ nhật

b CM: tứ giác EFCB nội tiếp

c Đờng thẳng qua A vuông góc với EF cắt BC I Chứng minh I trung điểm

BC

d CMR: Nếu S ABC = S AEHF tam giác ABC vuông cân

Bi 2: Cho tam giỏc ABC ( AB> AC ) nội tiếp (O) Vẽ đờng phân giác góc  cắt (O) M Nối OM cắt BC I

1 Chøng minh tam gi¸c BMC c©n Chøng minh: gãc BMA < gãc AMC

3 Chøng minh: gãc ABC + gãc ACB = góc BMC

4 Đờng cao AH BP tam giác ABC cắt Q Chứng minh OH // AH Trên AH lấy điểm D cho AD = MO Tứ giác OMDA hình gì?

7 OM kÐo dµi cắt (O) N Vẽ OE vuông góc với NC Chøng minh OE MB

2



8 Chứng minh tứ giác OICE nội tiếp Xác định tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác OICE

9 Chứng minh tứ giác ABHP QPCH néi tiÕp

10.Tõ C vÏ tiÕp tuyÕn cña (O) cắt BM kéo dài K Chứng minh CM phân giác góc BCK

11 So sánh gãc KMC vµ KCB víi gãc A

12.Từ B vẽ đờng thẳng song song với OM cắt CM S Chứng minh tam giác BMS cân M

13.13.Chøng minh gãc S = gãc EOI – gãc MOC 14.Chøng minh gãc SBC = gãc NCM

15.Chøng minh gãc ABF = gãc AON

16.Tõ A kỴ AF // BC, F thuéc (O) Chøng minh BF = CA

Bài 3: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Đờng trịn tâm O đờng kính BC cắt AB, AC theo thứ tự D, E Gọi I giao điểm BE CD

1 Chøng minh AI vu«ng gãc víi BC Chøng minh gãc IDE = gãc IAE Chøng minh : AE EC = BE EI

4 Cho góc BAC = 600 Chứng minh tam giác DOE đều.

Bµi 4: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O) Đờng cao AH tam giác ABC cắt (O) D , AO kéo dài cắt (O) E

a) Chứng minh tứ giác BDEC hình thang cân

b) Gọi M điểm chình cung DE, OM cắt BC I Chứng minh I trung ®iĨm cđa BC

c) TÝnh b¸n kÝnh cđa (O) biÕt BC = 24 cm vµ IM = cm

Bài 5: Trên nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB lấy hai điểm M N cho cung AM, MN, NB Gọi P giao điểm AM BN, H giao điểm AN với BM CMR:

a) Tø gi¸c AMNB hình thang cân

b) PH AB T suy P, H, O thẳng hàng c) ON tiếp tuyến đờng trịn đơnngf kính PH

Bài 6: Cho (O, R) , dây cung AB < 2R Gọi M điểm cung nhỏ AB Kẻ hai dây MC, MD lần lợt cắt AB E F CMR:

a Tam giỏc MAE MCA đồng dạng

b ME MC = MF MD

c Tø gi¸c CEFD néi tiÕp

d Khi ABR tam giác OAM

a Tø gi¸c AEHF hình gì?

b Chứng minh tứ giác BEFC néi tiÕp

c Chøng minh AE AB = AF AC

d Chømg minh EF lµ tiÕp tun chung cđa (O) vµ (I)

e Gọi Ax tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh Ax //

EF

Bài 8: Cho tam giác ABC vuông cân A Điểm D thuộc AB Qua B vẽ đờng thẳng vng góc với CD H, đờng thẳng BH cắt CA E

a Chøng minh tø gi¸c AHBC néi tiÕp

b TÝnh gãc AHE

c Chứng minh tam giác EAH EBC đồng dạng

d Chøng minh AD = AE

e Khi điểm D di chuyển cạnh AB điểm H di chuyển đờng nào?

Bài 9: Tứ giác ABCD nội tiếp đờng trịn đờng kính AC ( AB > BC ; AD > CD ) Gọi E giao điểm AB CD, F giao điểm AD BC Chứng minh rằng:

a EF ┴ AC

b DA DF = DC DE

c Tø gi¸c BDFE néi tiÕp

Bài 10: Cho đờng trịn tâm O đờng kính BC, điểm A thuộc (O) Vẽ bán kính OK // BA ( K A nằm phía BC ) Tiếp tuyến với đờng tròn (O) C cắt OK I

a Chøng minh IA lµ tiÕp tun cđa (O)

b Chứng minh CK tia phân giác góc ACI

c Cho BC = 30 cm; AB = 18 cm Tính OI, CI

Bài 11: Cho đoạn thẳng AB O trung điểm AB Vẽ phía với AB tia Ax, By vuông góc với AB Các điểm M, N theo thứ tự di chuyển Ax By

sao cho góc MON = 900 Gọi I trung điểm MN Chøng minh r»ng :

a AB lµ tiÕp tuyÕn (I ; IO)

b MO tia phân gi¸c cđa gãc AMN

c MN tiếp tuyến đờng trịn đờng kính AB

d Khi c¸c điểm M, N di chuyển Ax, By tích AM BN kh«ng dỉi

Bài 12: Cho (O;R) (O’; r)tiếp xúc A Gọi BC tiếp tuyến chung ngồi hai đờng trịn ( B thuộc (O); C thuộc (O’) ) Tiếp tuyến chung hai đờng tròn A cắt BC M

a Chứng minh A, B, C thuộc đờng tròn tâm M

b Đờng thẳng OO’ có vị trí tơng đối với (M) nói trên?

c Xác định tâm đờng tròn qua ba điểm O, O’ , M

d Chứng minh BC tiếp tuyến đờng tròn qua ba điểm O, O’, M

a Gãc DME lµ gãc vu«ng

b MA tiếp tuyến chung hai đờng tròn

c MD MB = ME MC

Bài 14: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp (O), đờng cao BD, CE , M trung điểm BC

a Chøng minh tø gi¸c BCDE néi tiÕp

b Chứng minh tam giác ADE ABC đồng dạng

c KỴ tiÕp tun Ax víi (O) Chøng minh Ax // DE

d Chứng minh góc BAC = 600 tam giác DME tam giác u.

Bài 15: Cho (O) điểm A nằm bên (O) Vẽ tiếp tuyến AB AC , cát tuyến ADE Gọi H trung điểm DE

a Chøng minh tø gi¸c BHOC néi tiÕp

b Chứng minh HA tia phân giác góc BHA

c Gọi I giao điểm BC vµ DE Chøng minh : AB2 = AI AH.

d BH cắt (O) K Chứng minh AE // CK

Bài 16: Cho (O), đờng tròn AB Vẽ tiếp tuyến xBy Gọi C,D hai điểm di động hai nửa mặt phẳng bờ AB đối Tia AC cắt Bx M, tia AD cắt By N

a Chứng minh tam giác ACD AMN đồng dạng

b Tø gi¸c MNDC néi tiÕp

c Chứng minh AC AM = AD AN tích khơng đổi C, D di động

Bài 17: Xét nửa đờng trịn (O), đờng kính AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đ-ờng tròn kẻ tiếp tuyến Ax dây AC Tia phân giác góc Cax cắt nửa đđ-ờng tròn D, tia AD BC cắt E

a Chøng minh tam giác ABE cân B

b Các dây AC BD cắt K Chứng minh EK AB

c Tia BD cắt tia Ax F Chứng minh tứ giác AKEF hình thoi

Bi 18: Cho nửa lục giác ABCD nội tiếp nửa đờng tròn (O ; R) Hai tiếp tuyến B D cắt T

a Chøng minh r»ng OT // AB

b Chøng minh ba điểm O, C, T thẳng hàng

c Tính chu vi diện tích tam giác TBD theo R

d Tính diện tích hình giới hạn hai cạnh TB, TD vµ cung BCD theo R

a Tứ giác AEBD hình gì?

b Chứng minh ba điểm B, E, F thẳng hàng

c Chứng minh tứ giác MDBF néi tiÕp

d DB cắt (O’) G Chứng minh DF, EG, AB đồng qui

e Chøng minh MF DE

2

 vµ MF lµ tiÕp tun cđa (O’)

Bài 20: Cho đờng trịn tâm O, đờng kính AC Trên đoạn OC lấy điểm B vẽ đờng trịn tâm O’ đờng kính BC Gọi M trung điểm AB Từ M kẻ dây cung DE vng góc với AB, DC cắt (O) ti I

a.Tứ giác ADBE hình ? t¹i sao? b.Chøng minh BI // AD

c.Chøng minh ba điểm I, B, E thẳng hàng MD = MI

d.Xác định giải thích vị trí tơng đối đờng thẳng MI với (O’)

Bài 21: Từ điểm A bên ngồi đờng trịn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC cát tuyến AMN đờng trịn Gọi I trung điểm dây MN

a Chứng minh điểm A,B,I,O,C nằm đờng tròn

b NÕu AB = OB tứ giác ABOC hình ? Tại sao? Tính diện tích hình tròn

dài đờng tròn ngoại tiếp tứ giác ABOC theo bán kính R (O)

Bài 22: Cho tam giác ABC nội tiếp (O) Tia phân giác góc A cắt BC D, cắt (O) E Tiếp tuyến đờng tròn A cắt đờng thẳng BC M

a Chøng minh MA = MD

b Gọi I điểm đối xứng với D qua M, gọi F giao điểm IA với (O).Chứng

minh E, O, F thẳng hàng

Bi 23: Cho tam giác ABC vuông A Trên cạnh AC lấy điểm M, dựng (O) đờng kính MC Đờng thẳng BM cắt (O) D Đờng thẳng AD cắt đờng tròn (O) S

a Chøng minh tø gi¸c ABCD nội tiếp CA tia phân giác góc SCB

b Gọi E giao điểm BC với (O) Chứng minh đờng thẳng BA, EM, CD

ng qui

c Chứng minh DM phân gi¸c cđa gãc ADE

d Chứng minh M tâm đờng trịn nội tiếp tam giác ADE

Bµi 24: Cho tam giác ABC vuông A

a Nêu cách dựng (O) qua A tiếp xúc với BC B Nêu cách dựng (O) qua tiếp

xóc víi BC t¹i C

b Hai đờng trịn (O) (O’) vị trí tơng đối nào?

c Gọi M trung điểm BC Chứng minh AM lµ tiÕp tun chung cđa (O) vµ

(O’)

Bài 25: Cho nửa đờng trịn (O) đờng kính AB, bán kính OC vng góc với AB Gọi M điểm di động cung BC ( M ≠ B, M ≠ C) AM cắt OC N

a Chứng minh tích AM AN khơng đổi

b VÏ CD ┴ AM Chøng minh c¸c tø gi¸c MNOB vµ AODC néi tiÕp

c Xác định vị trí điểm M cung BC để tam giác COD cõn ti D

Bài 26: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O), H trực tâm tam giác ABC, M điểm cung BC không chøa ®iĨm A

a Xác định vị trí M để tứ giác BHCM hình bình hành

b Gọi N E lần lợt điểm đối xứng M qua AB AC Chứng minh ba điểm N H , E thẳng hàng

c Xác định vị trí M để NE có độ dài lớn

Bài 27: Cho (O,R) (O’,r) tiếp xúc M ( R > r ) Đờng thẳng OO’ cắt (O) C, cắt (O’) D Tiếp tuyến chung AB (A(O),B(O') ) cắt đòng thẳng OO’ H Tiếp tuyến chung hai đờng tròn M cắt AB I

a Chứng minh tam giác OIO AMB tam giác vuông

b Chứng minh AB R.r

c Tia AM cắt (O) A, tia BM cắt (O) B Chứng minh ba điểm A, O, B A

, O , B thẳng hµng vµ CD2 = BB’2 + AA’2.

d Gọi N N’ lần lợt giao điểm AM với OI BM với O’I Tính độ dài

đoạn thẳng MI, AB, OI, OI, OH, OH theo R vµ r

Bài 28: Cho đờng trịn (O) đờng kính AB, điểm C ( khác A, B ) nằm đờng tròn Tiếp tuyến Cx (O) cắt tia AB I Phân giác góc CIA cắt OC O’

a Chứng minh (O’, O’C) vừa tiếp xúc với (O) vừa tiếp xúc với đờng thẳng AB

b Gäi D,E theo thø tù lµ giao ®iĨm thø hai cđa CA, CB víi (O’) Chøng minh D, O, E thẳng hàng

c Tỡm vị trí C cho đờng trịn ngoại tiếp tam giác OCI tiếp xúc với AC

Bài 29: Cho nửa đờng trịn đờng kính AB = 2R Kẻ tiếp tuyến Bx với nửa đờng tròn C D hai điểm di động nửa đờng tròn Các tia AC AD cắt Bx lần lợt E F ( F nằm B E )

a Chứng minh hai tam giác ABF BDF đồng dạng

b Chøng minh tø gi¸c CEFD néi tiÕp

c Khi D C di động nửa đờng tròn , chứng tỏ :

AC AE = AD AF = const

Bài 30: Cho (O) Vẽ hai dây AB CD vng góc M bên (O) Từ A vẽ đờng thẳng vng góc với BC H, cắt CD E F điểm đối xứng C qua AB Tia AF cắt tia BD K Chứng minh rằng:

a Gãc MAH = gãc MCB

b Tam giác ADE cân

Bài 31. Cho đoạn thẳng AB C điểm nằm A B Ngời ta kẻ nửa mặt phẳng bờ AB hai tia Ax By vng góc với AB Trên tia Ax lấy điểm I Tia Cz vuông góc với tia CI C cắt By K Đờng trịn đờng kính IC cắt IK P Chứng minh:

a Tø gi¸c CPKB néi tiÕp b AI.BK=AC.CB

c  APB vu«ng

d Giả sử A, B, I cố định Hãy xác định vị trí điểm C cho diện tích hình thang vng ABKI lớn

Bài 32. Cho (O) điểm A nằm (O) Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC cát tuyến AMN với (O) (B, C, M, N thuộc (O); AM<AN) Gọi E trung điểm dây MN, I giao điểm thứ hai đờng thẳng CE với (O)

a Chứng minh bốn điểm A, O, E, C nằm đờng trịn b Chứng minh góc AOC=góc BIC

c Chøng minh BI//MN

d Xác định ví trí cát tuyến AMN để diện tích tam giác AIN lớn

Bài 33. Cho tam giác ABC vuông A (AB<AC), đờng cao AH Trên đoạn thẳng HC lấy

D cho HD=HB VÏ CE vu«ng gãc víi AD (EAD)

a Chøng minh tø gi¸c AHCE néi tiÕp

b Chứng minh AB tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tứ giác AHCE c Chứng minh CH tia phân giác góc ACE

d TÝnh diƯn tÝch h×nh giíi hạn đoạn thẳng CA, CH cung nhỏ AH đ-ờng tròn nói biết AC=6cm; góc ACB = 30o.

Bài 34. Cho (O) có đờng kính BC Gọi A điểm thuộc cung BC (cung AB < cung AC) D điểm thuộc bán kính OC Đờng vng góc với BC D cắt AC E, cắt tia BA F

a Chøng minh tø gi¸c ADCF néi tiÕp

b Gäi M trung điểm EF Chứng minh: góc AME=2 góc ACB c Chøng minh AM lµ tiÕp tun cđa (O)

d Tính diện tích hình giới hạn đoạn thẳng BC, BA cung nhỏ AC

(O) biÕt BC=8cm; gãc ABC = 60o.

Bài 35 Cho đờng trịn (O) đờng kính AB=2R điểm M di chuyển nửa đờng tròn Ngời ta vẽ đờng tròn tâm E tiếp xúc với (O) M tiếp xúc với AB N Đ ờng tròn cắt MA, MB lần lợt điểm thứ hai C, D

a Chøng minh CD//AB

b Chứng minh MN tia phân giác góc AMB đờng thẳng MN qua điểm K cố định

c Chứng minh tích KM.KN cố định

d Gọi giao điểm tia CN, DN với KB, KA lần lợt C', D' Tìm vị trí M để chu vi tam giác NC'D' đạt giá trị nhỏ đợc

Bài 36 Cho đờng trịn đờng kính AB, điểm C, D đờng tròn cho C, D không nằm nửa mặt phẳng bờ AB đồng thời AD>AC Gọi điểm cung AC, AD lần lợt M, N Giao điểm MN với AC, AD lần lợt H, I Giao điểm MD với CN K

a CM: NKD MAK cân

b CM: t giỏc MCKH nội tiếp đợc Suy KH//AD c So sánh góc CAK với góc DAK

d Tìm hệ thức số đo AC, số đo AD điều kiện cần đủ để AK//ND Bài 37 Cho (O1) (O2) tiếp xúc với điểm A tiếp tuyến chung Ax Một đờng thẳng d tiếp xúc với (O1), (O2) lần lợt B, C cắt Ax điểm M Kẻ đờng kính BO1D, CO2E

a Chứng minh M trung điểm BC b Chøng minh O1MO2 vu«ng

c Chøng minh B, A, E thẳng hàng; C, A, D thẳng hàng

d

PhÇn 2: Hình học không gian

A.Lý thuyt: I Mt số kiến thức hình học khơng gian: 1 Các vị trí t ơng đối:

a.Vị trí t ơng đối hai đ ờng thẳng:

* a // b  a , b  (P), a b điểm chung * a cắt b a , b (P), a b có điểm chung

* a b chéo a b không thuộc mặt phẳng

b V trớ t ng đối đ ờng thẳng a mặt phẳng (P): * a // (P)  a (P) khơng có điểm chung

* a cắt (P)  a (P) có điểm chung * a  (P)  a (P) có vơ số điểm chung c Vị trí t ơng đối hai mặt phẳng (P) (Q):

* (P) // (Q)  kh«ng cã ®iÓm chung

* (P)  (Q) = a  có đờng thẳng a chung ( a gọi giao tuyến hai mặt phẳng) * (P)  (Q)

2 Mét sè c¸ch chøng minh:

a Chøng minh hai đ ờng thẳng song song: C1: a b thuộc mặt phẳng a b điểm chung C2: a // c b // c

C3 : a b

b R Q a R P Q P // ) ( ) ( ) ( ) ( ) //( ) (          

b.Chứng minh đ ờng thẳng song song với mặt phẳng: ) //( ) ( // P a P b b a     

c.Chứng minh hai mặt phẳng song song:

) //( ) ( ) //( ), //( ), ( , Q P P b P a aXb Q b a     

d.Chøng minh hai ® ờng thẳng vuông góc:

b a P b P a        ) ( ) (

e.Chứng minh đ ờng thẳng vuông góc với mặt phẳng:

g.Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc:

( ) ( ) ) ( ) ( Q P Q a P a     

II Một số hình không gian: Hình lăng trụ:

Sxq = P h với P: chu vi đáy V = B h h : chiều cao

B: diện tích đáy

1 H×nh trơ:

Sxq = P.h = 2R.h với R: bán kính đáy V = B.h = R2.h h: chiều cao.

2 H×nh chãp:

h B V d P Sxq  

với d: đờng cao mặt bên

2 H×nh nãn:

h R h B V l R d P Sxq 2      

d: đờng sinh; h: chiều cao Hình chóp cụt:

 



B B BB



h

V d P P Sxq ' ' '     

3 H×nh nãn côt:

   



B B BB



h h



R r Rr



V d r R d P P Sxq ' ' ' 2           

4 Hình cầu:

3 4 R V R S    

B Bài tập:

Bài 1: Cho hình bình hành ABCD điểm S nằm mp(ABCD) Gọi M, N theo thứ tự trung điểm SA, SD Tứ giác MNCB hình gì?

Bài 2: Cho tứ diƯn ABCD Gäi G, H theo thø tù lµ trung ®iĨm cđa AD, CD LÊy ®iĨm

E AB, F  BC cho: AE AB CF CB

4 ;   .

a Chøng minh GH // (ABC); EF // (ACD); EF // GH

b Gọi I giao điểm EG (BCD) CMR: F, H, I thẳng hàng

Bi 3: CMR: Nếu mặt phẳng song song với đờng thẳng a mp(Q) mà (P) (Q) cắt giao tuyến chúng song song với a

Bµi 4: Cho hai mặt phẳng (P) (Q) cắt theo giao tuyến d Một mặt phẳng thứ ba (R) cắt (P) , (Q) theo thứ tự giao tuyÕn a vµ b CMR:

Bài 5: Cho tứ diện S.ABC, điểm D  SA cho SD SA,EAB

4

cho BE BA

4



Gọi M trung điểm SC, I giao điểm DM AC, N giao ®iĨm cđa IE vµ BC CMR:

a SB // (IDE)

b N trung điểm BC

Bài 6: Cho tam giác ABC vuông A, đờng cao AH Một đờng thẳng d  (ABC) A

Trên d lấy điểm S

a Chøng minh BC  SH

b Kẻ AI đờng cao tam giác SAH Chứng minh AI  (SBC)

c Cho AB = 15 cm, AC = 20 cm , SA = 16 cm TÝnh BC, SH råi tÝnh Sxq, Stp, V cđa h×nh chãp S ABC

Bài 7: Cho tam giác ABC trung tuyến AM, điểm I  AM cho IA = 2.IM

Qua I vẽ đờng thẳng d vng góc với mp(ABC), d lấy điểm S a Chứng minh SA = SB = SC

b Gọi IH đờng cao tam giác SIM CMR: IH  (SBC)

c TÝnh Sxq vµ V cđa h×nh chãp S ABC biÕt AB 3 3cm; SA = cm

Bµi 8: Cho tø diƯn S ABC §iĨm E  SA, F  AB cho SE SA BF BA

3 ;

3



 Gäi

G, H theo thứ tự trung điểm SC, BC CMR: a EF // GH

b EG, FH, AC đồng qui

Bài 9: Cho tam giác ABC vuông A, AB = cm, AC = cm Một đờng thẳng d vng góc vói mp(ABC) B, d lấy điểm S cho SA = 10 cm

a CMR: SB  AC

b TÝnh SB, BC, SC

c CM: Tam gi¸c SAC vu«ng d TÝnh Stp , V

Bài 10: Cho hình vng ABCD cạnh cm Trên đờng thẳng d vng góc với mp(ABCD) A lấy điểm S cho SA = cm CMR:

a (SAB)  (SAD) b SC  BD

c C¸c tam giác SBC SDC vuông d Tính Sxq , V cđa h×nh chãp S ABCD

Bài 11: Cho lăng trụ đứng ABCD A’B’C’D’ có đáy hình thoi Biét đờng cao AA’ = cm, đờng chéo AC’ = 15 cm , DB’ = cm

a TÝnh AB?

b TÝnh Sxq, V hình lăng trụ ABCD ABCD c Tính Sxq, V cđa h×nh chãp B’ ABCD

Bài 12: Cho lăng trụ tam giác ABC A’B’C’ có AA’ = cm , góc BAB’ = 450 Tính

Bµi 13: Hình hộp chữ nhật ABCD ABCD có AD = cm, AB = cm, BD’ = 13 cm Tính Sxq V ?

Bài 14: Cho hình hép ch÷ nhËt ABCD A’B’C’D’ cã AB = 12 cm, AD = 16 cm, AA’ = 25 cm

a CM: Các tứ giác ACCA, BDDB hình chữ nhËt b CM: AC’2 = AB2 + AD2 + AA’2.

c TÝnh Stp , V ?

Bµi 15: Cho hình hộp chữ nhật ABCD ABCDcó AB = AA’ = a vµ gãc A’CA = 300.

TÝnh Stp vµ V ?

Bài 16: Cho hình lập phơng ABCD A’B’C’D’ có độ dài cạnh cm a Tính đờng chéo BD’

b TÝnh Stp V hình chóp A ABD c Tính Stp V hình chóp A.BCD

Bi 17: Một thùng hình trụ có diện tích xung quanh tổng diện tích hai đáy, đờng cao hình trụ dm Hỏi thùng chứa đợc lít nớc ? ( biết dm3 = lít )

Bài 18: Một mặt phẳng qua trục OO’ hình trụ, phần mặt phẳng bị giới hạn hình trụ ( cịn gọi thiết diện) hình chữ nhật có diện tích 72 cm2 Tính bán kính đáy, đờng cao hình trụ biết đờng kính đáy nửa chiều cao

Bài 19: Một hình trụ có thiết diện qua trục hình chữ nhật có chiều dài cm, chiều rộng cm Tính Sxq V hình trụ

Bài 20: Cho hình nón đỉnh A, đờng sinh AB = cm, bán kính đáy OB = cm a Tính Sxq hình nón

b TÝnh V cđa h×nh nãn

c Gäi CD dây cung (O; OB)vuông góc với OB CMR: CD  (AOB)

Bài 21: Cho tam giác ABC vng A quay vịng quanh AB Tính bán kính đáy, đ-ờng cao hình nón tạo thành Từ tính Sxq , V hình nón biết BC = cm, góc ACB = 600.

Bài 22: Một hình nón có thiết diện qua trục tam giác cạnh cm Tính Sxq V

Bài 23: Một hình nón cụt có đờng cao 12 cm, bán kính đáy 10 cm 15 cm a Tính Sxq hình nón cụt

b Tính V hình nón sinh hình nón cụt

Bµi 24: Một hình thang ABCD có góc A góc D =900, AB = BC = a , gãc C = 600.

Tính Stp hình tạo thành quay hình thang vuông vòng xung quanh:

a Cạnh AD b Cạnh DC

Bài 1: Cho phơng trình  







    

 

3

1

x m x m

x

a) Giải phơng trình m =

b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm dơng phân biệt

Gi¶i tãm tắt:

ĐKXĐ: x Đặt x 1t

x phơng trình (*) trở thành

2

t t   t m 0

a) m = (Tù gi¶i)

b) Víi t =  x2 – x – = phơng trình có nghiệm dơng (v× ac < 0)

Để phơng trình (*) có nghiệm dơng phân biệt phơng trình t2 + t + – m =

phải có nghiệm kép khác Hay m = 11

4

Bµi 2: a) Cho a, b, c  Z tháa m n ®iỊu kiƯn ·       

 

2

2 2

1 1 1

a b c a b c

Chøng minh r»ng a3 + b3 + c3 chia hÕt cho 3

b) Giải phơng trình x3 + ax2 + bx + = 0, biÕt r»ng a, b, c số hữu tỉ +

2 nghiệm

của phơng trình

Giải tóm tắt: a) §K: a, b, c  Tõ gt suy a + b + c = Mµ a3 + b3 + c3 – (a + b + c) = a(a – 1)

(a + 1) + b(b – )(b + 1) + c(c – 1)(c + 1) chia hÕt cho vµ a + b + c = chia hÕt cho nªn a3 +

b3 + c3 chia hÕt cho 3

b) Vì + nghiệm phơng trình nªn ta cã



 

 

  





2 2a b 3a b a, b số hữu tỉ nên

   



   

2a b

3a b 

  

 

a

b Thay vµo HS tự giải tiếp

Bài 3: Cho x, y N* tháa m n x + y = 2011 ·

Tìm GTNN GTLN biểu thức P = x x

2y

y y

2x

Giải tóm tắt:

Cách 1: Vì x, y N* nên 1 x y 2009  







2 

1 x y 2009

Mà (x – y)2 = (x + y)2 – 4xy = 20112 – 4xy Do –xy = 







 

 

2

1

x y 4044121

4

VËy P = 20113 - 6031xy = 20113 + 6031 







 

 

2

1

x y 4044121

Ta cã 20113 + 6031.1



2



1 4044121

4  P  2011

3 + 6031.1



2



2009 4044121

4

Hay 2035205401  P  8120605021

VËy GTNN cđa P lµ 2035205401 Dấu = xảy x = 1006 y = 1005 x = 1005 y = 1006 GTLN P 8120605021 Dấu = xảy x = 2010 y = x = y = 2010

Cách 2: P = 20113 - 6031xy theo bµi ta cã  x, y  2010

Ta chøng minh 2010  xy  1005 1006 ThËt vËy

xy – 2010 = x(2011 – x) – 2010 = 2011x – x2 – 2010 = 2010x – x2 + x – 2010

= (2010 – x)(x – 1)  (vì  x, y  2010) Ta có xy  2010 Do P  8120605021

Bài 4: Cho nửa đờng tròn tâm O, đờng kính AB = 2R, dây cung MN = R di chuyển nửa đờng tròn Qua M kẻ đờng thẳng song song ON cắt đờng thẳng AB E Qua N kẻ đờng thẳng song song OM cắt đờng thẳng AB F

a) CMR: MNE NFM

b) Gọi K giao điểm EN FM H y xác định vị trí dây MN để chu vi tam giácã

MKN lín

Giải tóm tắt:

a) D dng chng minh c EMN FNM 120

Mặt khác EMO ONF  ME MO ME MN

NO NF MN NF (vì MON đều)

b) MNE NFM  MNE NFM FMO

mà MKN 180  0



MNE NMF 



1800



FMO NMF 



1800 600 1200không đổi

K thuộc cung trịn chứa góc 1200 dựng đoạn thẳng MN = R khơng đổi Từ suy ra

K điểm cung MKN hay MK = NK Kéo dài EM FN cắt I ta chứng minh đợc MN vị trí cho AM = MN = NB = R

Bµi 5: Cho a, b, c > vµ abc = Chøng minh r»ng





 



 

 

 



 

 

 







3 3

a b c

1 b c c a a b

Gi¶i tóm tắt: áp dụng BĐT CauChy ta có

 





 



   

   

   

3

3

a b c a b c 3a

3

1 b c 8 b c 8

tơng tự cộng lại đợc



 

 

 

 

 



 

   

     

3 3

a b c a b c

1 b c c a a b

Mµ a b c  3 abc3 3 ruy ®pcm

DÊu “=” x¶y a = b = c =

Gi

ới thiệu số đề thi vào lớp 10 tỉnh

SỞ GD & ĐT QUẢNG NGÃI KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT

NĂM HỌC: 2008 – 2009

ĐỀ CHÍNH THỨC

MƠN THI: TỐN

Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi : 24/ 06/2008

Bài : (2 điểm) Cho biểu thứcP =





a b b a

ab :

b a

ab b

a

 

 

a/ Xác định a ; b để biểu thức có nghĩa rút gọn P

b/ Tính giá trị P a = 15 6  33  12 b = 24

Bài : (2 điểm)

a/ Cho hệ phương trình

















2

m

y

mx

m

3

my

x

2

b/ Giải phương trình x2  x 

x

+ 2

x

 10 =

Bài : (2 điểm)

Một ô tô quãng đường AB dài 80 km thời gian định, ba phần tư quãng đường đầu ô tô chạy nhanh dự định 10 km/h, qng đường cịn lại tơ chạy chậm dự định 15 km/h Biết ô tô đến B quy định Tính thời gian tơ hết quãng đường AB

Bài : (3 điểm)

Gọi C điểm nằm đoạn thẳng AB (C  A, C  B) Trên nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng AB, kẻ tia Ax By vng góc với AB Trên tia Ax lấy điểm I (I  A), tia vng góc với CI C cắt tia By K Đường trịn đường kính IC cắt IK P

1/ Chứng minh:

a/ Tứ giác CPKB nội tiếp đường tròn Xác định tâm đường tròn b/ AI.BK = AC.BC

c/  APB vng

2/ Cho A, I, B cố định Tìm vị trí điểm C cho diện tích tứ giác ABKI đạt giá trị lớn

Bài : (1 điểm) Tìm x ; y nguyên dương thỏa mãn 1003x + 2y = 2008 - HẾT

-Ghi chú: Cán coi thi khơng giải thích thêm.

Họ tên thí sinh: Số báo danh: Giám thị 1: Giám thị 2:

GỢI Ý GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 MƠN TỐN QUẢNG NGÃI

Ngày thi 24-6-2008

-Bài 1: Cho biểu thứcP =





a b b a

ab :

b a

ab b

a

 

 

a) P có nghĩa a > ; b > a  b

P =

ab ) b a ( ab b

a

ab b ab

a 

 

  

=





( a b)

b a

b

a

  

 = a

 b b) Với a = 15  6  33 12 =



3  6



2 



3  6



2 =

Với b = 24 =

Do P = a  b =  = 

Bài 2:

a) Cho hệ phương trình

















)2

(

2

m

y

mx

)1(

m

3

my

x

Từ(1) ta có x = 3m  my (3) Thay (3) vào (2): m(3m  my)  y = m-2  2.

 3m2  m2y  y = 2(m2 + 1)  (m2 + 1)y = 2(m2 + 1)

Vì m2 + > với m nên y =

1 m ) m ( 2   = Thay y = vào (3) ta có x = 3m  m.2 = m

Vậy nghiệm (x ; y) hệ phương trình (x = m ; y = 2) Để x2  2x  y > m2  m  >  (m  1)2  ( 3)2 >

 (m   3).(m  1+ 3) >



























































0

3

1

m

0

3

1

m

0

3

1

m

0

3

1

m



















































3

1

m

3

1

m

3

1

m

3

1

m

         m m

Vậy m > + m <  hệ phương trình cho có nghiệm (x ; y) thỏa mãn x2  2x 

y >

b) Giải phương trình x2  x 

x

+ 2

x

 10 = (1) Điều kiện x  Phương trình (1)  (x2 +

2

x

)  (x +

x

)  10 =  (x2 +

2

x

+ )  (x +

x

)  12 =  (x +

x

)2  (x +

x

)  12 = (*) Đặt y = x +

x

Phương trình (*) trở thành : y2  y  12 =  y

1 =  ; y2 =

Với y =   x +

x

=   x2 + 3x + =  x =

2

3 

; x1 =

2 3 Với y =  x +

x

=  x2  4x + =  x

3 = + ; x4 = 

Các giá trị x vừa tìm thỏa mãn x  Vậy nghiệm số (1) : x1 =

2

3  ; x

1 =

2

3 ; x

3 = + ; x4 = 

Bài 3:

Gọi x (km/h) vận tốc dự định ô tô từ A đến B ( x> 15) Thời gian ô tô dự định từ A đến B

x 80

(h)

Thời gian ô tô ba phần tư quãng đường AB x 6010

 (h) Vận tốc ô tô phần tư quãng đường AB x  15 (km/h) Thời gian ô tô phần tư quãng đường AB x 2015

 (h) Ơ tơ đến B quy định nên ta có phương trình : x 6010

 + x 15

20

 = x

80

 x 310

 + x 15

1

 = x

4

 3x(x  15) + x(x + 10) = 4(x + 10)(x  15)  4x2  35x = 4x2  20x  600  15x = 600  x = 40 (thỏa mãn điều kiện)

Do vận tốc dự định tô 40 km/h

Vậy thời gian ô tô hết quãng đường AB 80 : 40 = (giờ)

Bài 4:

1 a/ P nằm đường trịn tâm O1

đường kính IC  IPC = 900

Mà IPC + CPK = 1800 (góc kề bù)

 CPK = 900

Do CPK + CBK = 900 + 900 = 1800

Nên CPKB nội tiếp đường tròn tâm O2

đường kính CK

b/ Vì ICK = 900  C

1 + C2 = 900

 AIC vuông A  C1 + A1 = 900

 A1 + C2 có A = B = 900

Nên  AIC  BCK (g.g) 

BK AC BC

AI

  AI . BK = AC . BC (1)

c/ Trong (O1) có A1 = I2 (gnt chắn cung PC)

Trong (O2) có B1 = K1 (gnt chắn cung PC)

Mà I2 + K1 = 900 (Vì  ICK vng C)

 A1 + B1 = 900, nên  APB vuông P

2/ Ta có AI // BK ( vng góc với AB, nên ABKI hình thang vng Do SABKI =

2

.AB.(AI + BK)

Vì A, B, I cố định nên AB, AI không đổi Suy SABKI lớn  BK lớn

Từ (1) có AI . BK = AC . BC  BK =

AI BC AC

Nên BK lớn  AC BC lớn

Ta có



AC  BC



2 0  AC + BC  AC.BC  AC.BC  AC 2 BC

 AC.BC 

2 AB

 AC BC 

4 AB2

Vậy AC BC lớn AC BC =

4 AB2

 AC = BC =

2 AB

 C trung điểm AB Vậy SABKI lớn C trung điểm AB

Bài 5:

Tìm x ; y nguyên dương thỏa mãn : 1003x + 2y = 2008

 Cách :

Từ 1003x + 2y = 2008  2y = 2008  1003x  y = 1004 

2 x 1003

P

K I

C B

A

2

2

1

1

1

O

1

x y

Vì y >  1004 

2 x 1003

>  x <

1003 2008

Suy < x <

1003 2008

x nguyên  x  {1 ; 2} Với x =  y = 1004 

2 1003

 Z nên x = loại Với x =  y = 1004 

2 1003

=  Z+ nên x = thỏa mãn.

Vậy x ; y nguyên dương phải tìm x = ; y =1

 Cách :

Vì x ; y số dương thỏa mãn 1003x + 2y = 2008  1003x < 2008  x <

1003 2008

< Do x  Z+  x  {1 ; 2}

Với x =  2y = 2008  1003 = 1005  y =

2 1005

 Z+ nên x = loại.

Với x =  2y = 2008  2006 =  y =  Z+ nên x = thỏa mãn.

Vậy x ; y nguyên dương phải tìm x = ; y =1

-SỞ GD & ĐT QUẢNG NGÃI KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT

NĂM HỌC: 2008 – 2009

ĐỀ CHÍNH THỨC

Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi : 26/ 06/2008

Bài : (2 điểm)

Cho Parabol (P) : y = x2 đường thẳng (d) có phương trình y = 4mx + 10.

a/ Chứng minh với m, (d) cắt (P) hai điểm phân biệt b/ Giả sử (d) cắt (P) hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 ; x2

Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x12 + x22 + x1x2 m thay đổi

Bài : (2 điểm)

a/ Giải phương trình :

6 x x x 15

x        

b/ Chứng minh : Với a ; b không âm ta có a3 + b3  2ab ab.

Khi xảy dấu đẳng thức?

Bài : (2 điểm)

Một phịng họp có 360 ghế ngồi, xếp thành hàng hàng có số ghế ngồi Nhưng số người đến dự họp 400 nên phải kê thêm hàng ghế ngồi thêm hàng đủ chỗ Tính xem lúc đầu phịng họp có hàng ghế hàng có ghế ngồi

Bài : (3 điểm)

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O ; R) Gọi H giao điểm hai đường cao BD CE tam giác ABC

a/ Chứng minh tứ giác BCDE nội tiếp xác định tâm I đường tròn

b/ Vẽ đường kính AK đường trịn (O ; R) Chứng minh ba điểm H , I , K thẳng hàng c/ Giả sử BC =

4

AK Tính tổng AE.CK + AC.BK theo R

Bài : (1 điểm)

Cho y =

1 x

1 x x2

  

, Tìm tất giá trị x ngun để y có giá trị nguyên - HẾT

-Ghi chú: Cán coi thi khơng giải thích thêm.

Họ tên thí sinh: Số báo danh: Giám thị 1: Giám thị 2:

Ngày thi 26-6-2008

-Bài 1:

a/ Hoành độ giao điểm Parabol (P): y = x2 đường thẳng (d) : y = 4mx + 10 nghiệm số của

phương trình: x2 = 4mx + 10  x2  4mx  10 = (1)

Phương trình (1) có ’ = 4m2 + 10 > nên phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt Do đó

Parabol (P): y = x2 đường thẳng (d) : y = 4mx + 10 cắt hai điểm phân biệt.

b/ Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình (1), ta có x1 + x2 = 4m ; x1,x2 =  10

F = x12 + x22 + x1x2 = [(x1 + x2)2  2x1x2] + x1x2 = (x1 + x2)2  x1x2 = 16m2 + 10  10

Dấu “ = ” xảy 16m2 =  m = 0.

Vậy GTNN F = 10 m =

Bài 2:

a/ Giải phương trình: x 158 x   x 3 4 x  6 Điều kiện x 

 x  2 x  1.4 16  x  1 x  1.2  6 



x  1 4



2 



x   2



2 6  x  1  x   6

 x  1 6  x  0  x  =  x = (thỏa mãn điều kiện)

Vậy nghiệm phương trình x =

b/ Với a , b  ta có:



a  b



2 0  a + b  ab

Ta có a3 + b3 = (a + b)(a2 + b2  ab) = (a + b).[(a + b)2  3ab]  2 ab[(2 ab)2  3ab]

 a3 + b3  2 ab(4ab  3ab) = 2 ab.ab = 2ab ab

Dấu “ = ” xảy a = b

Vậy với a, b khơng âm ta có a3 + b3  2ab ab.

Bài 3:

Gọi x (hàng) số hàng ghế ban đầu phòng họp (x nguyên, dương) Do

x 360

(ghế) số ghế ban đầu hàng x + (hàng) số hàng ghế lúc dự họp phịng họp Do x4001

 (ghế) số ghế lúc dự họp hàng

Khi dự họp hàng kê thêm ghế ngồi, ta có phương trình :

1 x

400

  x

360

=  x2  39x + 360 = 0.

Giải phương trình x1 = 24 ; x2 = 15 Cả hai giá trị x thỏa mãn điều kiện

Vậy ban đầu phịng họp có 24 hàng ghế, hàng có 15 ghế ngồi Hoặc ban đầu phịng họp có 15 hàng ghế, hàng có 24 ghế ngồi

Bài 4:

a/ Ta có BD CE hai đường cao cua ABC Nên BEC = BDC = 900

Suy BCDE nội tiếp đường trịn

b/ Ta có BH // CK (cùng vng góc với AC) Và CH // BK (cùng vng góc với AB) Nên BHCK hình bình hành

Do hai đường chéo BC HK giao trung điểm đường

Mà I trung điểm BC  I trung điểm củaHK Nên H, I, K thẳng hàng

c/ Gọi F giao điểm AH BC Ta có  ABF ∽  AKC (g.g) 

KC BF AK

AB

  AB. KC = AK. BF (1) Và  ACF ∽  AKB (g.g) 

KB CF AK

AC

  AC. KB = AK. CF (2) Cộng (1) (2) theo vế ta có: AB. KC + AC. KB = AK. BF + AK. CF

= AK.(BF + CF) = AK.BC

D

B A

O

F I

H

Mà BC =

4

AK  AB. KC + AC. KB = AK

AK =

4

AK2 =

4

.(2R)2 = 3R2

Bài 5:

Với x   ta có y =

1 x

1 x x2

  

= x  + x 11  Với x  Z x +  Z Để y  Z x 11

  Z  x +  { ; 1}  x + =   x =  (thỏa mãn điều kiện)

 x + =  x = (thỏa mãn điều kiện) Vậy y có giá trị nguyên x =  ; x =

Khoá thi ngày 26/6/2008 - Thời gian 120 phút. Câu I: (3 điểm)

1) Giải phương trình sau: a) 5.x 45 0

b) x(x + 2) – = 2) Cho hàm số y = f(x) =

2

x

a) Tính f(-1)

b) Điểm M



2;1



có nằm đồ thị hàm số khơng ? Vì ?

Câu II: (2 điểm) 1) Rút gọn biểu thức

P = a a

a a a

   

 

   

   

 

    với a > a 

Câu III: (1 điểm)

Tổng số công nhân hai đội sản xuất 125 người Sau điều 13 người từ đội thứ sang đội thứ hai số cơng nhân đội thứ

3 số cơng nhân đội thứ hai Tính số cơng nhân đội

lúc đầu

Câu IV: (3 điểm)

Cho đường tròn tâm O Lấy điểm A ngồi đường trịn (O), đường thẳng AO cắt đường tròn (O) điểm B, C (AB < AC) Qua A vẽ đường thẳng không qua O cắt đường tròn (O) hai điểm phân biệt D, E (AD < AE) Đường thẳng vng góc với AB A cắt đường thẳng CE F

1) Chứng minh tứ giác ABEF nội tiếp

2) Gọi M giao điểm thứ hai đường thẳng FB với đường tròn (O) Chứng minh DM  AC 3) Chứng minh CE.CF + AD.AE = AC2.

Câu V: (1 điểm) Cho biểu thức :

B = (4x5 + 4x4 – 5x3 + 5x – 2)2 + 2008.

Tính giá trị B x =

2

 

-

Giải Câu I:

1) a) 5.x 45 0  5.x 45 x 45 : 5 x 3. b) x(x + 2) – =  x2 + 2x – =

’ = + =   ' Phương trình có hai nghiệm phân biệt : x1,2 =  1

2) a) Ta có f(-1) =

( 1)

2





b) Điểm M



2;1



có nằm đồ thị hàm số y = f(x) =

x

2 Vì

 

 

2

2

f

2

 

Câu II:

1) Rút gọn: P = a a

a a a

   

 

   

   

 

    =



 

 

 





 



a a a a

a

a a 2 a 2

    



 

= a 4.



a a 2

 

a a 2



a a

    





= a

a a

 



2) ĐK: ’ >  + 2m >  m >

2 

Theo đề :



1 x 12

 

1 x 22



  5



x x1 2



2x12x22 5

 1



x x1 2



2



x1 x2



2 2x x1 2 5 Theo Vi-ét : x1 + x2 = ; x1.x2 = -2m

 + 4m2 + + 4m =  4m2 + 4m =  4m(m + 1) =  m = m = -1.

Đối chiếu với ĐK m = -1 (loại), m = (t/m) Vậy m =

Câu III:

Gọi số công nhân đội thứ x (người) ĐK: x nguyên, 125 > x > 13 Số công nhân đội thứ hai 125 – x (người)

Sau điều 13 người sang đội thứ hai số cơng nhân đội thứ lại x – 13 (người) Đội thứ hai có số cơng nhân 125 – x + 13 = 138 – x (người)

Theo ta có phương trình : x – 13 =

3(138 – x)

 3x – 39 = 276 – 2x  5x = 315  x = 63 (thoả mãn) Vậy đội thứ có 63 người

Đội thứ hai có 125 – 63 = 62 (người)

Câu V:

Ta có x =







 



2

2

1 1

2 2 2



 

 

  

 x2 = 3 2

4 

; x3 = x.x2 = 5

8 

; x4 = (x2)2 = 17 12

16 

; x5 = x.x4 = 29 41

32 

Xét 4x5 + 4x4 – 5x3 + 5x – = 29 41

32 

+ 17 12

16 

- 5

8 

+

2 

- = 29 41 34 24 25 35 20 20 16

8

        = -1.

Vậy B = (4x5 + 4x4 – 5x3 + 5x – 2)2 + 2008 = (-1)2 + 2008 = + 2008 = 2009

M F

E

D

B O C

A

3) Xét hai tam giác ACF ECB có góc C chung , A E 90 

  Do hai tam giác ACF ECB đồng dạng

 AC EC CE.CF AC.CB

CF CB  (1)

Tương tự ABD AEC đồng dạng (vì có BAD chung,   

C ADB 180   BDE)

 AB AE AD.AE AC.AB

ADAC  (2)

Từ (1) (2)  AD.AE + CE.CF = AC.AB + AC.CB = AC(AB + CB) = AC2.

1) Ta có 

FAB 90 (Vì FA AB)



BEC 90 (góc nội tiếp chắn nửa

đường trịn (O))  

BEF 90

  

FAB FEB 180 

Vậy tứ giác ABEF nội tiếp (vì có tổng hai góc đối 1800).

2) Vì tứ giác ABEF nội tiếp nên

 

AFB AEB

  sđAB Trong đường

tròn (O) ta có AEB BMD 

  sđBD

Do AFB BMD  Mà hai góc này

Đề thi vào 10 THPT chuyên ngoại ngữ (ĐHNN)

( năm học 2008-2009)

Câu 1: (2 điểm) cho biểu thức

P=

   

   

   



x y y x

y x x

y y x

y x

y x

y y

x y x

  

2

Chng minh P nhận giá trị nguyên vơí x,y thoả mÃn điều kiện x> 0,y> 0,và xy

Câu 2: (3 điểm )

1) Giải PT: x13 x213 x23x2

2) Tìm x,y số nguyên thảo mãn đẳng thức x2- xy –y +2 = 0

Câu : (3 điểm )

Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB C điểm cung AB Gọi K trung điểm đoạn thẳng BC Đờng thẳng qua hai điểm A K cắt (O)tại điểm M ( M≠A ) Kẻ CH vuông góc với AM H Đ-ơng thẳng OH cắt đờng thẳng BC N , đờng thẳng MN cắt (O) D (D≠M )

1) CM : Tứ giác BHCM hình bình hành 2) CM: OHC OHM 3) CM : điểm B,H,D thẳng hàng Câu 4: ( điểm )

Tìm tất nghiệm nhỏ -1 cña PT

)

(

2

  

x x x

Câu :( 1điểm )

Cho a,b số không ©m tho¶ m·n 2 2

 b

a > Tìm giá trị lớn biểu thức

) ( ) (

3b a b b a b a a

M    

HÕT

SỞ GD- ĐT LONG AN KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂM HỌC 2007-2008 Mơn thi: Tốn

Ngày thi: 27/6/2007

Thời gian làm bài: 30 phút (không kể phát đề)

PHẦN THI TRẮC NGHIỆM:

1 Hai đường thẳng:y (2 m x m2) 5

    y mx 3m 7song song với giá trị m là:

a/1 b/ c/ –2 d/ –1

2 Phương tình bậc hai 3x2 4x m

  có hai nghiệm x x1, thoả x13x2thì giá trị m là:

a/ m = b/ m = c/ m = d/ m=2

3 Phương trình

2007 2006 2005 2004

x x x x

   có nghiệm là:

a/ x2007 b/ x2007 c/ x2008 d/ x2008

4 Cho hàm số y = ax2 , có điểm E(2;-2) thuộc đồ thị hàm số Điểm sau điểm thuộc đồ thị hàm số

trên? a/ A(1;

2

 ) b/ B(1;

2) c/ C(

1

 ;1) d/ D(1

5 Đồ thị hàm số y = ax +b qua hai điểm A(1;-1) , B(2;1) giá trị a b là: a/ a = -2; b = b/ a = -2; b = -3 c/ a = 2; b = d/ a =2;b = -3 Phương trình bậc hai x2



1 2



x 2 0

    có hai nghiệm là:

a/  2; 1 b/ 2;1 c/  2;1 d/ 2; 1

7 Giá trị biểu thức 1

7



  bằng:

a/ b/ -4 c/ 2 d/ 2

8 Hệ phương trình 2007

2007

x y

x y

  

 

   

có nghiệm là:

a/



1; 2007 1



b/



2007 1;1



c/



2007;1



d/



1; 2007



9 Cho hàm số y 



1 2007



x2008, x x 1 2007 giá trị y là:

a/ b/ -2 c/ 2 2007 d/ 2007

10 2006 2007 xxác định

a/ 2007

2006

x b/ 2007

2006

x c/ 2006

2007

x d/ 2006

2007

x

11 Cho đường tròn (O; cm), dây AB = cm Gọi OH khoảng cách từ tâm O đến dây AB Độ dài đoạn thẳng OH là:

a/ cm b/ cm c/ cm d/ cm

12 Cho đường thẳng a điểm O cách a cm Vẽ đường trịn tâm O bán kính cm Số điểm chung đường thẳng a đường tròn (O) là:

a/ b/ c/ d/

13 Một hình thang ABCD (AB // CD) có Bˆ2Cˆ số đo Bˆ là:

a/ 800 b/ 1000 c/ 1200 d/ 600

14 Cho tam giác ABC vng A có AB 3AC Ta có sinBˆ bằng:

a/

3 b/

3

2 c/

2

2 d/

1

15 Tứ giác ABCD tứ giác nội tiếp Aˆ 800

 Số đo Cˆbằng:

a/ 800 b/ 600 c/ 1200 d/ 1000

16 Biết O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC AB=BC=AC Số đo góc AOB bằng:

a/ 900 b/ 1200 c/ 600 d/ 300

17 Một hình trụ có bán kính đáy cm, chiều cao cm Diện tích xung quanh hình trụ là: a/ 24 cm2

 b/ 96 cm c/ 12 cm d/ 48 cm 18 Biết điểm A thuộc đường trịn đường kính BC Khi số góc BAC bằng:

a/ 900 b/ 300 c/ 1800 d/ 600

19 Biết độ dài đường trịn 12 cm Vậy diện tích hình trịn bằng: a/ 36 2 cm2

 b/ 24 cm c/ 144 cm d/ 36 cm 20 Các khẳng định sau, khẳng định đúng?

a/ Trong đường tròn, hai dây cách tâm b/ Trong đường trịn, dây nhỏ dây gần tâm c/ Trong đường tròn, dây gần tâm dây nhỏ

d/ Trong đường trịn, đường kính qua trung điểm dây vng góc với dây âý

PHẦN THI TỰ LUẬN

Câu 1: (1,5 điểm)

Cho biểu thức A :

1 1

x x

x x x x x x

   

      

    

   

với x0và x1 a/ Rút gọn biểu thức A

b/ Tính giá trị biểu thức A x 4

Cho hai hàm số: y = x2và y = –x +2

a/ Vẽ đồ thị hàm số mặt phẳng toạ độ b/ Tìm toạ độ giao điểm đồ thị

Câu 3: (1 điểm)

Cho phương trình bậc hai x2 + (m – 2)x – (m2 +1)=0

a/ Chứng minh phương trình cho ln ln có nghiệm với m b/ Xác định m để hai nghiệm phương trình cho thoả hệ thức 2

1 10

x x 

Câu 4: (3 điểm)

Cho đường trịn tâm O đường kính AB = cm Lấy điểm C đường thẳng AB cho B trung điểm đoạn thẳng OC Kẻ tiếp tuyến CD, CE đường tròn (O) M N

a/ chứng minh tứ giác CDOE tứ giác nội tiếp Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác b/ chứng minh tam giác CDE tam giác

c/ Chứng minh CD2 = CM.CN.

SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NAM ĐỊNH NĂM HỌC 2008 – 2009

Ngày thi : 26/6/ 2008 ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN TỐN - ĐỀ CHUNG

( Thời gian làm bài: 120phút, không kể thời gian giao đề)

Bài 1( 2,0 điểm) Các câu đây,sau câu có nêu phương án trả lời ( A,B,C,D) có phương án Hãy viết vào làm phương án mà em cho ( cần viết chữ ứng với phương án trả lời )

Câu 1: Trên mặt phẳng toạ độ Oxy,cho đường thẳng d1: y = 2x +1 d2: y = x – 1.Hai đường thẳng cho

cắt tai điểm có toạ độ là:

A (-2;-3) B ( -3;-2) C (0;1) D (2;1)

Câu 2: Trong hàm số sau đây,hàm số đồng biến x < ?

A y = -2x B y = -x + 10 C y = x2 D y = ( 3 - 2)x2

Câu 3: Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đồ thị hàm số y = 2x + hàm số y = x2.

Các đồ thị cho cắt tại điểm có hồnh độ là:

A -3 B -1 -3 C D -1

Câu 4: Trong phương trình sau đây, phương trình có tổng nghiệm 5? A x2 – 5x +25 = B 2x2 – 10x - 2 = C x2 – = D 2x2 + 10x +1 = 0

Câu 5: Trong phương trình sau đây, phương trình có hai nghiệm âm? A x2 + 2x +3 = B x2 +

2x – 1=0 C x2 + 3x + 1=0 D x2 + =0

Câu 6: Cho hai đường tròn (O;R) (O’;R’) có OO’ = 4cm ; R = 7cm; R’ = 3cm Hai đường tròn cho: A Cắt B.Tiếp xúc C Ở D Tiếp xúc

Câu 7: Cho tam giác ABC vng A có AB = 4cm; AC = 3cm Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có bán kính bằng:

A 5cm B 2cm C 2,5cm D cm

Câu 8: Một hình trụ có bán kính đáy 3cm, chiều cao 5cm Khi đó, diện tích xung quanh hình trụ cho bằng:

A 30cm2 B 30cm2 C 45cm2 D 15cm2

Bài 2( 1,5 điểm)

Cho biểu thức P = :

1

x x x

x x x x

 

 



 

  

 

với x  Rút gọn P

2 Tìm x để P <

Bài (2,0 điểm)

Cho phương trình x2 + 2mx + m – = 0

1 Giải phương trình m =

2 Chứng minh: phương trình ln có hai nghiệm phân biệt,với m Hãy xác định m để phương trình có nghiệm dương

Bài ( 3,0 điểm)

Cho đường trịn (O;R) có đường kính AB; điểm I nằm hai điểm A O.Kẻ đường thẳng vuong góc với AB I, đường thẳng cắt đường tròn (O;R) tai M N.Gọi S giao điểm đường thẳng BM AN.Qua S kẻ đường thẳng song song với MN, đường thẳng cắt đường thẳng AB AM K H Hãy chứng minh:

1 Tứ giác SKAM tứ giác nội tiếp HS.HK = HA.HM KM tiếp tuyến đường tròn (O;R)

3 Ba điểm H,N,B thẳng hàng

Bài ( 1,5 điểm)

Giải hệ phương trình

2

6 12

xy y

xy x

   

 

  



SỞ GD - ĐT QUẢNG NGÃI KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN

NĂM HỌC 2008 – 2009 ĐỀ CHÍNH THỨC

MƠN THI: TỐN

Thời gian làm 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 25/06/2008

Bài 1: (2 điểm)

1) Giải phương trình:

15 x x

x

x x

x

2

2 

    

2) Giải hệ phương trình:





















3

x

4

3

y

x

x

y

2

3

y

4

3

x

y

y

x

2

Bài 2: (2 điểm)

1) Cho số dương a, b, c thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 20 ab + bc + ca ≤

Chứng minh rằng: < a + b + c ≤

2) Cho số nguyên dương n Chứng minh A = + 28n2

 số ngun A số phương

Bài 3: (2 điểm)

1) Cho số thực x, y, z thỏa điều kiện: x + y + 2z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = 2x2 + 2y2

– z2

2) Cho phương trình ax2 + bx + c = (a ≠ 0) có hai nghiệm số x

1 x2 thỏa mãn ax1 + bx2 + c =

Tính giá trị biểu thức: A = a2c + ac2 + b3 – 3abc + 3

Bài 4: (4 điểm)

Cho hai đường tròn (O1; R1) (O2; R2) với R1>R2 cắt hai điểm A B cho số đo góc

O1AO2 lớn 900.Tiếp tuyến đường tròn (O1) A cắt đường tròn (O2) C khác A, tiếp tuyến

đường tròn (O2) A cắt đường tròn (O1) D khác A Gọi M giao điểm AB CD

1) Chứng minh:

AD AC BA BC BD BA

 

2) Gọi H, N trung điểm AD, CD Chứng minh tam giác AHN đồng dạng với tam giác ABC

3) Tính tỉ số MD MC

theo R1 R2

4) Từ C kẻ tiếp tuyến CE với đường tròn (O1) (E tiếp điểm, E khác A) Đường thẳng CO1 cắt đường

tròn (O1) F (O1 nằm C F) Gọi I hình chiếu vng góc A đường thẳng EF J

trung điểm AI Tia FJ cắt đường tròn (O1) K Chứng minh đường thẳng CO1 tiếp tuyến

đường tròn ngoại tiếp tam giác AKC 5)

Đề thi : vào lớp 10 chuyên lơng văn tuỵ

MÃ ký hiệu: Năm học : 2008-2009 Đ01T- 08 - TS10CT Môn thi : Toán

Thời gian làm :150 phút

( Đề gồm 05 câu, 01 trang)

Bµi 1: Rót gän biĨu thøc sau :

P =

6 2

6

2 2

2

  

 

  



x x

x x

x x

Bài 2: Giải phơng trình hệ phơng trình sau:

a)













2

1

2

2 2

x

xy

y

x

b) 1 x 4x3

Bµi 3: Chøng minh r»ng :

     





2009

2007

2008

2007

4015

1

4

3

7

1

3

2

5

1

2

13

1





















Bài 4 : BC dây cung khơng đờng kính đờng trịn tâm O Một điểm A di động cung lớn BC

cho tâm O nằm tam giác ABC, đờng cao AD, BE, CF tam giác ABC cắt H a) Chứng minh tam giác AEF ABC đồng dạng

b) Gäi A' lµ trung ®iĨm cđa BC, chøng minh AH = 2OA'

c) Gọi A1 trung điểm EF, chứng minh : R.AA1 = AA'.OA'

d) Chứng minh R(EF + FD + DE) = 2SABC từ tìm vị trí A để tổng (EF + FD + DE) lớn

Bài 5 : Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác có chu vi

Chøng minh r»ng : a2 + b2 + c2 + 2abc < 2

……… HÕt………

M· ký hiƯu: Híng dÉn chấm HD01T- 08 - TS10CT Đề thi : vào lớp 10 chuyên lơng văn tuỵ

Cã : A =



2

 

3 2



2 2          x x x x x

cho 0,25 ®iĨm

A =



2



3



2    x x

cho 0,25 ®iĨm

T¬ng tù cã:

B =



3



2 2



6 2         x x x x x

cho 0,25 ®iĨm

Từ  Tập xác định x0 vàx 9 cho 0,25 điểm

Ta cã P = A+B =





 

3



2 2



6 2        x x x x =





 







3



3



2 2



3 3         x x x x x x

cho 0,5 ®iÓm

=

 9



2 2



18 2          x x x x x x x

Cho 0,25 ®iÓm

=  





 





9 2 2        x x x x

Cho 0,25 ®iĨm

VËy P = 9   x x

Víi x0 x9 Cho 0, 25 điểm

Bài 2 ( 4,5 ®iĨm) a, Tõ hƯ

















2

1

2

2

x

xy

y

x

 xy +x2 4x2 2y2



 cho 0,25 ®iÓm

0

3 2

 



 x xy y (*) cho 0,25 ®iĨm

- Nếu y = ta đợc :















2

2

1

2

x

x

hệ vô nghiệm cho 0,25 điểm

- NÕu y ≠ ta cã : (*)  2          y x y x

cho 0,25 ®iĨm

          y x y x

cho 0,5 ®iĨm

Vậy hệ cho tơng đơng với













1

2

x

2

y

2

y

x

hay



















1

2

3

2

2

y

x

y

x

cho 0,25 ®iĨm

Giải hệ đầu ta đợc (x; y) = (1; 1) hay (x ; y) = (-1 ; -1) cho 0,25 điểm

HÖ sau vô nghiệm cho 0,25 điểm

Vy h cho có nghiệm x = y = x = y = -1 cho 0,25 điểm

b) §iỊu kiƯn -  x  cho 0,25 ®iĨm

9

4

5

  

 x x cho 0,25 ®iĨm

 4 3x x2 2 cho 0,25 ®iĨm

 4- 3x - x2 = cho 0,25 ®iĨm

 x2 +3x = cho 0,25 ®iĨm

 x(x + 3) = cho 0,25 ®iĨm

 x = hc x = -3 cho 0,25 điểm

Vậy phơng trình có nghiệm x = x = -3 cho 0,25 điểm

Bài 3 : (3điểm)

Ta có với n th×

 









1 4

1 1

2

2

2

 

    

 n n

n n

n n

n cho 0,5 ®iĨm

<





 

1 1

1

     

n n n

n

n n

cho 0,5 ®iĨm

Từ ta có : Sn =









2 1



1



2

2

1

1

1

  

   

  n n n

< 1-

4

4

2

1

4

4

2

1

1

1

2













n

n

n

n

cho 0,75 ®iĨm

=

1-2

2

 

 n

n

n cho 0,5 ®iĨm

VËy Sn <

2 

n n

cho 0,25 điểm

áp dụng cho n = 2007 ta cã S2007 <

2009 2007

Bài 4 : Hình vẽ cho 0,25 điểm

a) Chứng minh AEF đồng dạng  ABC

Có E, F nhìn BC dới góc vng nên E, F thuộc đờng trịn đờng kính BC

Cho 0,25 ®iĨm

 gãc AFE = gãc ACB (cïng bï gãc BFE) cho 0,25 ®iĨm

  AEF đồng dạng  ABC (g.g) cho 0,25 điểm

b) Vẽ đờng kính AK Có BE  AC(gt)

KC  AC (V× gãc ACK = 900 ) cho 0,25 ®iĨm

 BE // KC cho 0,25 điểm

Tơng tự CH // BK cho 0,25 ®iĨm

Do tứ giác BHCK hình bình hành cho 0,25 điểm

HK đờng chéo nên qua trung điểm A' đờng chéo BC  H, A', K thẳng hàng

cho 0,25 điểm

Xét tam giác AHK cã A'H = A'K

OA = OK cho 0,25 ®iĨm

Nên OA' đờng trung bình

 AH = A'O cho 0,25 ®iĨm

c, áp dụng tính chất: tam gác đồng dạng tỉ số trung tuyến tơng ứng, tỉ số bán kính đờng tròn ngoại tiếp tỉ số đồng dạng nên ta có:

cho 0,25 điểm  AEF đồng dạng  ABC 

'

R R

=

1

'

AA AA

cho 0,25 ®iĨm

Trong R bán kính đờng trịn tâm O

R' bán kính đờng trịn ngoại tiếp  AEF cho 0,25 điểm

cũng đờng tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF cho 0,25 điểm

 R AA1 = R' AA' =

AH

.AA' cho 0,5 ®iĨm

= AA'

' 2OA

= AA' OA' cho 0,25 ®iĨm

VËy R.AA1 = AA' OA' cho 0,25 ®iĨm

d, Trớc hết ta chứng minh OA  EF vẽ tiếp tuyến Ax đờng tròn tâm O

Ta cã OA  Ax cho 0,25 ®iĨm

Vì góc xAB = Góc BCA mà góc BCA = gãc EFA (cmt)

 gãc EFA = gãc xAB cho 0,25 ®iĨm

 EF// Ax cho 0,25 ®iĨm

 OA  EF cho 0,25 điểm

Chứng minh tơng tự có OB DF vµ OC  ED Ta cã SABC = SOEAF + SOFBD +SODCE

=

OA EF +

OB FD +

OC.DE cho 0,25 ®iĨm

=

R( EF + FD + DE ) (v× OA = OB = OC = R)

 R (EF + FD + DE) = SABC cho 0,25 ®iĨm K

C B

A E F

D x

O H

 EF + FD + DE =

R SABC

2

Nªn EF + FD + DE lín nhÊt  SABC lín nhÊt cho 0,25 điểm

Lại có SABC =

2

BC.h (h đờng vng góc hạ từ A đến BC)  SABC lớn  h ln nht

ABC tam giác cân A điểm già cung AB lớn

cho 0,25 điểm

Bài 5: (3 điểm)

Vì a, b, c cạnh tam giác có chu vi nên ta có: < a; b, c



1

(cho 0,25 ®iĨm)

 a -



; b -



0; c-1



cho 0,25 ®iĨm  ( a -1) (b -1) (c -1)



 ( ab - a - b +1) ( c -1)



cho 0,25 ®iĨm  abc - (ab + ac + bc) + (a + b + c) -



cho 0,25 ®iĨm

 2abc - 2(ab + ac + bc) + 2( a + b +c)



cho 0,25 ®iÓm

 2abc - 2(ab + ac + bc) +2.2



cho 0,25 ®iĨm

 2abc - 2(ab + ac + bc) + (a +b +c)2



cho 0,5 ®iĨm

 2abc - 2(ab + ac + bc) + a2 + b2 + c2 +2(ab + ac + bc)



(cho 0,25 ®iĨm)  2abc + a2 + b2 + c2



(®pcm) cho 0,25 ®iĨm

Chú ý: có cách giải khác mà làm cho điểm tối đa.

§Ị thi : vào lớp 10 chuyên lơng văn tuỵ

MÃ ký hiệu: Năm học : 2008-2009 Đ02T- 08 - TS10 CT Môn thi : Toán

Thêi gian lµm bµi :150 phó

Bµi :

a, Chøng minh r»ng nÕu ab  ta luôn có

ab b a ab b a

    

2

2 = a  b

b, Ph©n tích đa thức M = a10a5 1 thành nhân tử

Bài 2:

a, Giải hệ phơng trình

























1

)

(

2

.

)

(

2

2

y

xy

x

y

x

y

y

x

b, cho x, y  vµ x + y =

Chøng minh 8(x4 + y4 ) + 5

xy

Bµi 3: Cho ®a thøc f(x) = ax3bx2 cxd

a) Chứng minh f(x) nhận giá trị nguyên với x số 6a; 2b; a + b + c ; d số nguyên b, Đảo lại số 6a; 2b; a + b + c ; d số nguyên đa thức f(x) có nhận giá trị nguyên với giá trị nguyên x không? sao?

Bài 4: Cho tam giác ABC vuông A, D điểm cạnh huyền BC, E điểm ụớ xng vi D qua AB, G

làgiao điểm cđa AB víi DE, tõ giao diĨm H cđa AB với CE hạ HI vuông góc với BC I tia CH, IG cắt K Chứng minh KC tia phân giác góc IKA

Bài 5: Chứng minh phơng trình

x6 - x5 + x4 - x3 + x2 - x +

=

V« nghiệm tập hợp số thực

……… HÕt………

M· ký hiƯu: Híng dÉn chÊm

HD02T- 08 - TS10 Đề thi : vào lớp 10 chuyên lơng văn tuỵ

Bài 1: (3 ®iĨm)

a, Vì vế khơng âm nên bình phơng vế trái ta có:

( ab ab

2 + ab

b a

 

2 )2 =

= (

b a

)2+ ab + (a + b) ab + (

b a

)2 + ab - (a + b) ab +2 ab)2  ab

2 (

Cho 0,25 ®iĨm

= 2(

b a

)2 + 2ab + 2(

b a

)2 - 2ab Cho 0,25 ®iĨm ( v× (

2

b a

= 4(

2

b a

)2 = (a + b)2 = ( a + b )2 Cho 0,5 điểm (vì ab a; b cïng dÊu)

 ab ab

2 + ab

b a

 

2 = a + b Cho 0,25 ®iĨm

(Víi ab  0) b, Ta cã A = a10 + a5 + 1

= a10 - a + a5 - a2 + a2 + a +

= a(a3 - 1)(a6 + a3 + 1) + a2(a3 - 1) + a2 + a + Cho 0,25 ®iĨm = a(a - 1)( a2 + a + 1)( a6 + a3 + 1) +

+ a2 (a - 1)(a2 + a + 1) + a2 + a + Cho 0,25 ®iĨm = (a2 + a + 1) a(a - 1)(a6 + a3 + 1) + a2 (a - 1) + 1) Cho 0,25 ®iĨm = (a2 + a + 1)(a8 - a7 + a5 - a4 + a3 - a + 1) Cho 0, điểm

Bài 2: (5 điểm)

a, NÕu x = thay vµo ta cã













1

.

2

y

y

y

v« lý Cho 0,25 ®iĨm

VËy x≠ Đặt y = tx Cho 0,25 điểm

Ta cã

























1

)

(

2

)

(

2 2 2

x

t

tx

x

tx

x

tx

tx

x

Cho 0,25 ®iĨm





2



2

1 ) (

) (

t t t

t t

  



=

Cho 0,25 ®iĨm

( v× t ≠ -1 hƯ míi cã nghiƯm) Cho 0,25 ®iĨm

 2

1 ) (

t t

t t  



= Cho 0,25 ®iÓm

 t + t2 = - 2t + 2t2 Cho 0,25 ®iĨm

 t2 - 3t + = Cho 0,25 ®iĨm

   

 

t t

Cho 0,25 ®iĨm

* NÕu t =  y = x  4x3 =  x = y = 3

2

Cho 0,25 ®iĨm

* nÕu t =  y = 2x





















3

9

2

9

1

y

x

Tãm l¹i hƯ cã nghiƯm

x = y =

3 2

1

Hc ( x =

3 9

1

; y =

3 9

2

) Cho 0,25 ®iĨm

b, áp dụng bất đẳng thức

2

2 b

a 

 (

b a

)2 Víi mäi a, b Cho 0,25 ®iĨm ta cã

2

4

4 y

x 

 (

2

2 y

x  )2 

2

)

( 

  



 xy Cho 0,25 ®iĨm



4

4 y

x 

 (

y x

)4 = 16

1

Cho 0,5 ®iĨm

 8( x4 + y4 )  Cho 0,25 ®iĨm

l¹i cã xy  (

y x

)2 =

Cho 0,25 ®iĨm



xy

 Cho 0,25 ®iĨm

VËy 8( x4 + y4 ) +

xy

 + = Cho 0,25 điểm

Bài 3: ( điểm)

a, Ta có f(0) = d số nguyên Cho 0,25 điểm

f(1) = a + b + c + d số nguyên Cho 0,25 ®iĨm

 f(1) - f(0) = a + b + c số nguyên Cho 0,25 ®iĨm

f( -1) =- a + b - c + d số nguyên Cho 0,25 ®iÓm

f(2) = 8a + 4b + 2c + d số nguyên Cho 0,25 điểm

VËy f(1) + f( -1) = 2b + 2d lµ số nguyên Cho 0,25 điểm

2b số nguyên ( 2d số nguyên) Cho 0,25 ®iĨm

f(2) = 6a + 2( a + b + c) + 2b + d số nguyên Cho 0,25 điểm

Mà









d

b

c

b

a

2

số nguyên

Nên 6a số nguyên Cho 0,25 điểm

f(x) = ax3 + bx2+ cx + d

= (ax3 - ax) + (bx2 - bx) + ax + bx + cx + d Cho 0,25 ®iĨm = a(x - 1)x( x + 1) + bx(x - 1) + (a + b + c)x + d Cho 0,25 ®iĨm

=

6

) ( ) (

6a x x x +

2 ) ( 2bx x

+ (a + b + c)x + d Cho 0,25 ®iĨm

= 6a

6

) ( ) (x x x

+ 2b

) (x

x

+ (a + b + c)x + d Cho 0,25 ®iĨm

Vì (x - 1)x( x + 1) tích sè nguyªn liªn tiÕp nªn nã chia hÕt cho

 6a

6

) ( ) (x x x

số nguyên Cho 0,25 điểm

x(x -1) tích sè nguyªn liªn tiÕp nªn nã chia hÕt cho

nªn 2b

) (x

x

số nguyên Cho 0,25 điểm

Và (a + b + c)x số nguyên Cho 0,25 điểm

d số nguyên

f(x) nhận giá trị nguyên với x nguyên 4sè 6a; 2b; a + b + c; d lµ số nguyên

Cho 0,25 điểm

Bài 4: ( ®iĨm)

(Vẽ hình 0,5 điểm)

Ta có G I nhìn HD dới góc vuông nên HGID tứ giác nội tiếp Cho 0,5 ®iĨm

 Gãc GHD = gãc GIB (cïng bï víi gãc GID) Cho 0,5 ®iĨm

Hay gãc GHD = gãc KIB Cho 0,5 ®iĨm

lại có góc GHD = góc GHK ( E I đối xứng qua AB) Cho 0,5 điểm

 gãc KIB = gãc KHB ( cïng = góc GHD) Cho 0,25 điểm

Nên KHIB tứ giác nội tiếp Cho 0,5 điểm

V× gãc HIB = 900  gãc HKB = 900 Cho 0,5 ®iĨm Ta cã gãc B1 = gãc K1 (Do KHIB tứ giác nội tiếp) Cho 0,5 điểm

Lại có K A nhìn BC dới góc vuông nên AKBC tứ giác néi tiÕp Cho 0,5 ®iĨm

 gãc K2 = gãc B1 Cho 0,5 ®iĨm

Từ ta có KC phân giác góc IKA Cho 0,5 điểm

Chó ý häc sinh vÏ hình khác cho điểm tơng tự.

Bài 5: (2 điểm)

E

B

I D

C A

H G

K 21

* NÕu x vế phải nhận giá trị dơng nên khoảng phơng trình vô nghiệm

Cho 0,5 ®iÓm

* NÕu < x <

Ta cã vÕ tr¸i = 2

1

1

1

x x x x x

x x

x           Cho 0,25 ®iĨm

= 2



3



2 2

3 1

2

1

1

x x x

x

x   

    

     

 

     

 

 Cho 0,25 điểm

cũng dơng nên khoảng phơng trình vô nghiệm * Nếu x ta cã

VÕ tr¸i = x5 (x - 1) + x3(x - 1) + x(x - 1) +

Cho 0,25 ®iĨm

Cịng số dơng nên khoảng phơng trình vô ngiƯm Cho 0,25 ®iĨm

Tóm lại phơng trình cho vơ nghiệm tập hợp số thực R

(Cho 0,25 ®iĨm)