Viết pttt tại giao điểm của (C) với trục hoành. 2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng có phương trình y = 3x.. 2) Tính diện tích hì[r]
(1)LỜI NÓI ĐẦU
Tài liệu biên soạn trình bày theo chương trình nâng cao, kết chương trình nâng cao
sử dụng chung cho hai chương trình nâng cao mà học sinh không cần chứng minh lại
Tài liệu biên soạn theo chủ đề, gồm tập bản có lời giải tập rèn luyện
Tài liệu sử dụng kết hợp với “Tài liệu ôn tốt nghiệp” các em cung cấp, phương pháp giải khơng được trình bày lại tài liệu
Trong q trình học tập, có khó khăn phát sai, lỗi tài liệu này, mong em góp ý để thầy chỉnh sửa cho hoàn thiện theo địa chỉ:
1/ Email: Trungtnt@yahoo.com
Trungtnt.master@gmail.com 2 Điện thoại: 0944.16.19.22 - 073.350.4747
Trước bất đầu:
- Trong q trình ơn tập, tuyệt đối tập trung vào bản, bám sát cấu trúc đề hành
- Trong vài giải phương trình bất phương trình có trình bày x=1 ^ x=3 em chỉnh thành x=1 hoặc x=3
Chúc em ôn tập hiệu có mùa thi thắng lợi! Thân ái!
(2)CẤU TRÖC THAM KHẢO
CHÖ Ý: HIỆN NAY NĂM 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KHƠNG BAN HÀNH CẤU TRƯC, CÁC EM CẦN CHÖ Ý TRÁNH HỌC TỦ, HỌC LỆCH
Cấu trúc đề thi tốt nghiệp THPT 2008-2009 Phần chung dành cho tất thí sinh:
Câu I (3 điểm):
- Khảo sát, vẽ đồ thị hàm số
- Các toán liên quan đến ứng dụng đạo hàm đồ thị hàm số: chiều biến thiên hàm số, cực trị, tiếp tuyến, tiệm cận (đứng ngang) đồ thị hàm số Tìm đồ thị điểm có tính chất cho trước, tương giao hai đồ thị (một hai đồ thị đường thẳng)… Câu II (3 điểm):
- Hàm số, phương trình, bất phương trình mũ lơgarit
- Giá trị lớn nhỏ hàm số Tìm ngun hàm, tính tích phân - Bài tốn tổng hợp
Câu III (1 điểm):
Hình học khơng gian (tổng hợp): tính diện tích xung quanh hình nón trịn xoay, hình trụ trịn xoay; tính thể tích khối lăng trụ, khối chóp, khối nón trịn xoay, khối trụ trịn xoay; tính diện tích mặt cầu thể tích khối cầu
Phần riêng (3 điểm):
Thí sinh chọn hai phần
1 Theo chương trình chuẩn:
Câu IV.a (2 điểm): Nội dung kiến thức:
- Xác định tọa độ điểm, vectơ - Mặt cầu
- Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng
- Tính góc, tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Vị trí tương đối đường thẳng, mặt phẳng mặt cầu
(3)Nội dung kiến thức:
- Số phức: môđun số phức, phép toán số phức Căn bậc hai số thực âm Phương trình bậc hai hệ số thực có biệt thức ∆ âm
- Ứng dụng tích phân: tính diện tích hình phẳng, thể tích khối trịn xoay 2 Theo chương trình nâng cao:
Câu IV.b (2 điểm): Nội dung kiến thức:
Phương pháp tọa độ không gian: - Xác định tọa độ điểm, vectơ - Mặt cầu
- Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng
- Tính góc; tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, mặt phẳng; khoảng cách hai đường thẳng Vị trí tương đối đường thẳng, mặt phẳng mặt cầu
Câu V.b (1 điểm): Nội dung kiến thức:
- Số phức: Môđun số phức, phép toán số phức Căn bậc hai số phức Phương trình bậc hai với hệ số phức Dạng lượng giác số phức
Ðồ thị hàm phân thức hữu tỉ dạng y = (ax2
+ bx +c) / (px+q ) số yếu tố liên quan - Sự tiếp xúc hai đường cong
- Hệ phương trình mũ lơgarit
(4)x y
2
3 4 4
2
O 1
CHỦ ĐỀ 1: KHẢO SÁT HÀM SỐ
Chƣơng I: KHẢO SÁT HÀM SỐ Bài 1: Cho hàm số: y x3 6x2 9x
1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho
2) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) giao điểm (C) với trục hồnh
3) Tìm m để phương trình sau có nghiệm phân biệt:
3 6 9 4 0
x x x m
Giải
Tập xác định: D = R
Đạo hàm: y 3x2 12x 9
Cho y 3x2 12x xx 13
Hàm số đồng biến khoảng (1;3), nghịch biến khoảng (–;1) (3;+)
Hàm số đạt cực đại yCD xCD ; đạt cực tiểu yCT xCT
Giới hạn: lim ; lim
x y x y
Bảng biến thiên
x – +
y – 0 + 0 –
y + 4
0 –
Giao điểm với trục hoành: 0 6 9 4 0 x
y x x x
x
Giao điểm với trục tung: x y
(5) ( ) :C y x3 6x2 9x 4
Viết pttt giao điểm (C) với trục hồnh Phương trình hồnh độ giao điểm:
3 6 9 4 0
4 x
x x x
x
Giao điểm (C) với trục hoành: A(1; 0), B(4; 0) pttt với (C) A(1; 0):
và
pttt tai
0
0
1 0
: 0 0( 1) 0
( ) (1) 0
x y
A y x y
f x f
pttt với (C) B(4; 0)
pttt tai
0
4
: 9( 4) 36 ( ) (4)
x y
B y x y x
f x f
Vậy, hai tiếp tuyến cần tìm là: y = y = - 9x + 36
Ta có, x3 6x2 9x m x3 6x2 9x m (*) (*) phương trình hồnh độ giao điểm ( ) :C y x3 6x2 9x 4
d:y = m nên số nghiệm phương trình (*) số giao điểm (C) d Dựa vào đồ thị ta thấy (*) có nghiệm phân biệt
< m <
Vậy, với < m < phương trình cho có nghiệm phân biệt
Bài 2: Cho hàm số: y x3 3x2 3x
1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho
2) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng có phương trình y = 3x
Giải
y x3 3x2 3x
Tập xác định: D
Đạo hàm: y 3x2 6x 3
Cho y 0 3x2 6x 3 0 x 1
Hàm số đồng biến tập xác định; hàm số không đạt cực trị Giới hạn: lim ; lim
x y x y
Bảng biến thiên
x – +
y + 0 +
(6)x y
2 2
1 I
O 1
Giao điểm với trục hoành:
Cho y 0 x3 3x2 3x 0 x 0
Giao điểm với trục tung: Cho x y
Bảng giá trị: x
y
Đồ thị hàm số (như hình vẽ bên đây):
( ) :C y x3 3x2 3x Viết (C) song song với đường thẳng :y 3x
Tiếp tuyến song song với :y 3x nên có hệ số góc k f x( )0
Do đó: 02 02 0
0
0
3 3
2
x
x x x x
x Với x0 y0 03 3.02 3.0
và f x( )0 nên pttt là: y 3(x 0) y 3x (loại trùng với ) Với x0
0 3.2 3.2
y
và f x( )0 nên pttt là: y 3(x 2) y 3x Vậy, có tiếp tuyến thoả mãn đề là: y 3x
Bài
Cho hàm số: y x4 4x2
1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị ( )C hàm số cho
2) Dựa vào (C), biện luận số nghiệm phương trình: x4 4x2 3 2m 0
3) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) điểm (C) có hồnh độ Giải
y x4 4x2 3
Tập xác định: D
Đạo hàm: y 4x3 8x
Cho
2
0
4 0
0 ( 2)
2 2
x
x x
y x x x x
x x x
Hàm số đồng biến khoảng ( ; 2),(0; 2), nghịch biến khoảng ( 2;0),( 2; )
Hàm số đạt cực đại yCĐ = xCD 2, đạt cực tiểu yCT = –3 xCT Giới hạn: lim ; lim
x y x y
(7)x – 0 +
y + 0 – 0 + –
y – 1 1
–3 –
Giao điểm với trục hoành: cho 2
1
0
3
x x
y x x
x x
Giao điểm với trục tung: cho x y
Bảng giá trị: x 2
y –3
Đồ thị hàm số:
x y
y = 2m
2 - 2
- 3 3
1
2m -3 -1
O
1
x4 4x2 3 2m 0 x4 4x2 3 2m (*)
Số nghiệm pt(*) với số giao điểm ( ) :C y x4 4x2 3 d: y = 2m
Ta có bảng kết quả:
m 2m
Số giao điểm (C)
d
Số nghiệm pt(*)
m > 0,5 2m > 0
m = 0,5 2m = 2 –1,5< m <
0,5
–3< 2m <
1 4
m = –1,5 2m = –3 3
m < –1,5 2m < –3 2 x0 y0
3
( ) ( 3)
f x f y x x
Vậy, pttt cần tìm là: y 3(x 3) y 3x 12
Bài Cho hàm số: y 2xx 11
1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho
2) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc –
(8)x y
1
2 2,5
3 3
2
-1 O 1
1 x y
x
Tập xác định: D \ {1}
Đạo hàm: 2 0, ( 1)
y x D
x
Hàm số cho nghịch biến khoảng xác định không đạt cực trị Giới hạn tiệm cận:
lim ; lim 2
x y x y y tiệm cận ngang
;
1
lim lim
x y x y x tiệm cận đứng
Bảng biến thiên
x – +
y – –
y 2 – +
2
Giao điểm với trục hoành: 1
y x x
Giao điểm với trục tung: cho x y Đồ thị hàm số
( ) : 1 x
C y
x
Tiếp tuyến có hệ số góc – nên f x( )0
0
2
0 0 0
1
1
1 2 2
4 ( 1)
1
4
( 1) 1
2
x x
x
x x x
Với
3
0
2
2
4
2
x y .pttt là: 4 10
2
y x y x
Với 12
0
2
2 1
0
2
x y pttt là: 4
2
y x y x
Vậy, có tiếp tuyến thoả mãn ycbt : y 4x y 4x 10
Bài
Cho hàm số: y x2(4 x2)
1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị ( )C hàm số cho
(9)x y
y = logm
- 2 2
4
-2 O 2
3) Tìm toạ độ điểm A thuộc ( )C biết tiếp tuyến A song song với (d): 16x – y
+ 2011 = Giải
y x2(4 x2) x4 4x2
Tập xác định: D
Đạo hàm: y 4x3 8x
Cho
2
0
4 0
0 ( 2)
2 2
x
x x
y x x x x
x x x
Hàm số ĐB khoảng ( ; 2),(0; 2), NB khoảng ( 2;0),( 2; )
Hàm số đạt cực đại yCĐ = xCD 2, đạt cực tiểu yCT = xCT
Giới hạn: lim lim
x y ; x y
Bảng biến thiên
x – 0 +
y + 0 – 0 + –
y – 4 4
0 –
Giao điểm với trục hoành: cho
2
2
0
0
2
x x
y x x
x x
Giao điểm với trục tung: cho x y
Bảng giá trị: x 2 2 y 0
Đồ thị hàm số hình vẽ bên đây: x4 4x2 logb 0 x4 4x2 logb (*)
Số nghiệm phương trình (*) số giao điểm (C) d: y = logb
Dựa vào đồ thị, (C) cắt d điểm phân biệt 0 logb 4 1 b 104
Vậy, phương trình (*) có nghiệm phân biệt 1 b 104
Giả sử A x y( ; )0 0 Do tiếp tuyến A song song với d y: 16x 2011 nên có hệ số góc
3
0 0 0
( ) 16 16 16
f x x x x x x
x0 y0
Vậy, A( 2;0)
Bài 6:
Cho hàm số: y 2x3 (m 1)x2 (m2 4)x m 1
(10)x y
1 2
-1
O
-1
2) Viết phương trình tiếp tuyến (C) giao điểm ( )C với trục tung 3) Tìm giá trị tham số m để hàm số đạt cực tiểu x =
Giải
Với m = ta có hàm số: y 2x3 3x2 Tập xác định: D
Đạo hàm: y 6x2 6x
Cho y 6x2 6x x hoac x
Hàm số đồng biến khoảng ( ; 1),(0; ), nghịch biến khoảng ( 1;0)
Hàm số đạt cực đại yCĐ = xCD 1, đạt cực tiểu yCT = –1 xCT Giới hạn: lim ; lim
x y x y
Bảng biến thiên
x – –1 0
y + 0 – 0 +
y
0
– –1
Giao điểm với trục hoành:
cho 3 1 hoac
2
y x x x x
Giao điểm với trục tung: cho x y
Bảng giá trị: x
2
1
2
y 1
2
Đồ thị hàm số: hình vẽ bên Giao điểm ( )C với trục tung: A(0; 1)
x0 ;y0
f (0)
Vậy, pttt A(0;–1) là: y 0(x 0) y
y 2x3 (m 1)x2 (m2 4)x m 1
Tập xác định D
y 6x2 2(m 1)x m2 4
y 12x 2(m 1)
Hàm số đạt cực tiểu x0
(loai )
2
2
(0) 6.0 2( 1).0
(0) 12.0 2( 1)
2 2
1
2
f m m
f m
m m
m m
(11)x y
1
-1 O 1 2
-2
0.5
Vậy, với m hàm số đạt tiểu x0 Bài Cho hàm số:
1 x y
x
1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số
2) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) giao điểm (C) với :y x 3) Tìm giá trị tham số k để đường thẳng d: y = kx cắt (C) điểm phân biệt
Giải
Hàm số
1
x y
x
Tập xác định: D \ { 1}
Đạo hàm: 2 0, ( 1)
y x D
x
Hàm số đồng biến khoảng xác định không đạt cực trị Giới hạn tiệm cận:
;
lim lim 1
x y x y y tiệm cận ngang
;
( 1) ( 1)
lim lim
x y x y x tiệm cận đứng
Bảng biến thiên
Giao điểm với trục hoành: cho y x
Giao điểm với trục tung: cho x y
Bảng giá trị: x 1
y 3/2 || 1/2 Đồ thị hàm số hình vẽ :
Phương trình hồnh độ giao điểm (C) là:
( 1) 0
1
x
x x x x x x
x
x0 y0 f x( )0 f (0)
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y 1(x 0) y x
Xét phương trình:
1
x
kx
x (*) x kx x( 1)
2 ( 1) 0 ( 1) 0
1 (2) x
x kx kx kx k x x kx k
kx k
x – +
y + +
y
1
(12)x y
y = m -
3
1
3 -1
-1
2 O
1
d:y kx cắt ( )C điểm phân biệt phương trình (*) có nghiệm phân biệt phương trình (2) có nghiệm khác 0, tức 0
1
k k
k k
Vậy, với k 0,k d cắt ( )C điểm phân biệt Bài
Cho hàm số: y x3 3x2 1
có đồ thị (C)
1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số
2) Dựa vào đồ thị (C), tìm điều kiện tham số k để phương trình sau có nghiệm phân biệt: x3 3x2 k 0
Giải
Hàm số y x3 3x2 1
Tập xác định: D
Đạo hàm: y 3x2 6x
Cho y 3x2 6x x hoac x
Hàm số đồng biến khoảng (0;2); nghịch biến khoảng (–;0), (2;+)
Hàm số đạt cực đại yCD xCD
đạt cực tiểu yCT xCT
Giới hạn: lim ; lim
x y x y
Bảng biến thiên
x – +
y – 0 + 0 –
y +
–1 –
Giao điểm với trục tung: cho x y
Tâm đối xứng: y 6x x y Tâm đối xứng: I(1;1)
Bảng giá trị: x –1
y –1 –1 Đồ thị hàm số hình vẽ:
x3 3x2 k 0 x3 3x2 k x3 3x2 k x3 3x2 1 k 1 (*)
Số nghiệm phương trình (*) số giao điểm (C) d: y = k – (*) có nghiệm phân biệt k k
Vậy, phương trình cho có nghiệm phân biệt k
Bài 9:
Cho hàm số: y x4 (m 1)x2 2m (1)
(13)x y
-3 -1 O 1
2) Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm ( )C có hồnh độ 3) Tìm giá trị tham số m để hàm số (1) có điểm cực trị
Giải
Với m = ta có hàm số: y x4 2x2 3
Tập xác định: D
Đạo hàm: y 4x3 4x
Cho
3
0 4 0
y x x x
Hàm số đồng biến khoảng (0; ), nghịch biến khoảng ( ;0)
Hàm số đạt cực tiểu yCT = –3 xCT Giới hạn: lim ; lim
x y x y
Bảng biến thiên
x – 0
y – 0 +
y
–3 Giao điểm với trục hoành:
Cho
2
4 2
2
0 3 1
3 x
y x x x x
x
Giao điểm với trục tung: cho x y
Đồ thị hàm số: x0 y0
0
( ) ( 2) 4.( 2) 4.( 2) 12
f x f
Vậy, pttt cần tìm là: y 12 2(x 2) y 12 2x 19 y x4 (m 1)x2 2m 1 (1)
Tập xác định D
y 4x3 2(m 1)x (đây đa thức bậc ba)
2
0
0 2( 1) (2 1)
2 (*)
x
y x m x x x m
x m
Hàm số (1) có điểm cực trị (*) có nghiệm pbiệt khác
1
m m
Vậy, với m hàm số (1) có điểm cực trị Bài 10:
Cho hàm số:
4
2 4
2 x
y x
1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số
(14)x y
-4.5
-2
-4
-1 O 1 2
Giải
Hàm số: 4
2 x
y x
Tập xác định: D
Đạo hàm: y 2x3 2x
Cho 0 2 2 0
1 x
y x x
x
Hàm số đồng biến khoảng ( 1;0),(1; ), nghịch biến khoảng ( ; 1),(0;1)
Hàm số đạt cực đại yCD xCD Hàm số đạt cực tiểu CT
2
y xCT Giới hạn: lim ; lim
x y x y
Bảng biến thiên
Giao điểm với trục hoành: Cho
2
4 2
2
0 4
2
x
y x x x x
x
Giao điểm với trục tung: cho x y
Đồ thị hàm số:
Giao ( )C với Ox: cho y x
Diện tích cần tìm:
2
2 4 2 4 2
2 2
1 224
4 4
2 10 15
x x
S x x dx x x dx x (đvdt)
2 2 0 2 2 4 4 4
2
x x
x x m x x m x m x m (*)
Số nghiệm pt(*) với số giao điểm ( ) : 4
2 x
C y x d y: m
Từ đó, dựa vào đồ thị ta thấy pt(*) có nghiệm phân biệt
4
9
4
2
m m
m m
Bài 11
x – 0 +
y – 0 + 0 – 0 +
y
–4
9
(15)x y
y = m + 3
-2
-1 3
2 -1 O 1
Cho hàm số: y (x2 2)2 1
1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số
2) Dựa vào đồ thị (C) biện luận số nghiệm phương trình: x4 4x2 m Giải
Hàm số: y (x2 2)2 1 x4 4x2 4 1 x4 4x2 3 Tập xác định: D
Đạo hàm: y 4x3 8x
Cho
0
0 ( 2)
2
x
y x x x x
x
Hàm số đồng biến khoảng ( 2;0),( 2; ), nghịch biến khoảng ( ; 2),(0; 2)
Hàm số đạt cực đại yCD xCD Hàm số đạt cực tiểu yCT xCT Giới hạn: lim ; lim
x y x y
Bảng biến thiên
x – 0 +
y – 0 + 0 – 0 +
y
3
–1 –1
Giao điểm với trục hoành: Cho
2
4
2
1
0
3
x x
y x x
x x
Giao điểm với trục tung: cho x y
Bảng giá trị: x –2 –1
y –1 –1 Đồ thị hàm số: hình vẽ bên:
x4 4x2 m x4 4x2 3 m 3 (*)
Số nghiệm phương trình (*) bằng số giao điểm (C) d: y = m + Ta có bảng kết sau:
m m + Số giao điểm của (
C) d
Số nghiệm pt(*)
m > m + > 2
m = m + = 3
–4 < m < –1< m + < 4
m = –4 m + = –1 2
(16)x y
5
4 3
1
-2 4
2 2
1
-1
O Bài 12:
Cho hàm số: y 2xx 11
1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số
2) Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm (C) có tung độ Giải
Hàm số
1
x y
x
Tập xác định: D \ {1}
Đạo hàm: 2 0, ( 1)
y x D
x
Hàm số nghịch biến khoảng xác định không đạt cực trị Giới hạn tiệm cận:
;
lim lim 2
x y x y y tiệm cận ngang
;
1
lim lim
x y x y x tiệm cận đứng
Bảng biến thiên
x – +
y + +
y 2
2 Giao điểm với trục hoành: cho
2
y x
Giao điểm với trục tung: cho x y
Bảng giá trị: x –2
y –1 || Đồ thị hàm số hình vẽ :
0 0
0
2
5 5
1 x
y x x x
x
( )0 2 (2 1)
f x
Phương trình tiếp tuyến cần tìm: y 3(x 2) y 3x 11
Bài 13:
Cho hàm số: ( ) 2 3
3
x
y f x x x
1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số
2) Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm (C) có hồnh độ x0, với
( ) 6 f x
(17)x y
y = m
-2/ 3
4
-4/ 3
3 2
O 1
Giải
Hàm số: ( ) 2 3
3
x
y f x x x
Tập xác định: D
Đạo hàm: y x2 4x 3
Cho y 0 x2 4x 3 x 1;x 3
Hàm số đồng biến khoảng (1;3), nghịch biến khoảng (–;1), (3;+)
Hàm số đạt cực đại yCD xCD 3, đạt cực tiểu CT
3
y xCT
Giới hạn: lim ; lim
x y x y
Bảng biến thiên
x – +
y – 0 + 0 –
y
+
4
3 –
Tâm đối xứng: 2
3
y x x y
Tâm đối xứng là: 2; I
Giao điểm với trục hoành: cho y x 0;x
Giao điểm với trục tung: cho x y
Bảng giá trị: x
y –4/3 –2/3 –4/3 Đồ thị hàm số hình vẽ:
( )0 0 0 0 16
f x x x y
0
( ) ( 1) ( 1) 4( 1)
f x f
Phương trình tiếp tuyến cần tìm: 16 8( 1) 8
3
y x y x
6 9 3 0 6 9 3 2 3
3
x x x m x x x m x x x m(*)
Số nghiệm phương trình (*) số giao điểm ( )C d y: m
Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình (*) có nghiệm phân biệt m
m
Bài 14
Cho hàm số: y 21x4 2x2
(18)x y
y = m
- 2
-2
-2 O 2
2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị (C) với trục hoành Giải
Hàm số: 2 2
y x x
Tập xác định: D
Đạo hàm: y 2x3 4x
Cho 0 2 4 0
2 x
y x x
x
Hàm số đồng biến khoảng ( 2;0),( 2; ), nghịch biến khoảng ( ; 2),(0; 2)
Hàm số đạt cực đại yCD xCD Hàm số đạt cực tiểu yCT xCT Giới hạn: lim ; lim
x y x y
Bảng biến thiên
x – 0 +
y – 0 + 0 – +
y
0
2
Giao điểm với trục hoành: Cho
2
4
2
0
1
0
2
2
x x
y x x
x x
Giao điểm với trục tung: cho x y
Bảng giá trị: x 2 2 y 2 Đồ thị hàm số: hình vẽ bên:
2 Giao (C) với Ox: cho y x 0;x
Diện tích cần tìm: 4 2
2
1 1
2 ( ) ( )
2 2
S x x dx x x dx x x dx
0
5
2
2 32 32 64
10 10 15 15 15
x x x x
S (đvdt)
Bài 15:
Cho hàm số: 2( 3)
2
x x y
1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số
2) Viết phương trình tiếp tuyến (C) giao điểm (C) với trục hồnh 3) Tìm điều kiện k để phương trình sau có nghiệm nhất:
3 3 0
x x k
(19)x y
y = k
-1 2
-2 -1
3 O 1
Hàm số: 2( 3) 3
2
x x x x
y
Tập xác định: D
Đạo hàm:
2
x x
y
Cho y 0 3x2 6x 0 x 0;x 2
Hàm số ĐB khoảng ( ;0),(2; ), NB khoảng (0;2)
Hàm số đạt cực đại yCĐ = xCD
đạt cực tiểu yCT = –2 xCT Giới hạn: lim ; lim
x y x y
Bảng biến thiên
x
– 0 2
y + 0 – 0 +
y
0 – –2
y 3x x y Tâm đối xứng: I 1;
Giao điểm với trục hoành: 0 3 0 x
y x x
x
Giao điểm với trục tung: cho x y
Đồ thị hàm số: hình vẽ bên :
Giao điểm (C) với trục hoành: cho 0
0 0
3 x y
x
Với x0 0,y0 f x( )0 Pttt là: y 0(x 0) y
Với 0 3, 0 ( )0
x y f x Pttt là: 9( 3) 27
2 2
y x y x
3 2 0 3 2 3
2
x x
x x k x x k k
Số nghiệm pt(*) số giao điểm ( )C đường thẳng d y: k
Dựa vào đồ thị ta thấy, pt(*) có nghiệm khi: k k
Bài 16
Cho hàm số:
1 x y
x
(20)x y
1
-4 -1 -2 -3
2
O
2) Viết pt tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
:x y
3) Tìm giá trị k để (C) d: y = kx - cắt điểm phân biệt
Giải
Hàm số: 2
1
x x
y
x x
Tập xác định: D \ {1}
Đạo hàm: 2 0, ( 1)
y x D
x
Hàm số nghịch khoảng xác định không đạt cực trị Giới hạn tiệm cận:
lim ; lim 2
x y x y y tiệm cận ngang
;
1
lim lim
x y x y x tiệm cận đứng
Bảng biến thiên
x – +
y – –
y –2 – +
–2
Giao điểm với trục hoành: 3
y x x
Giao điểm với trục tung: cho x y
Bảng giá trị: x 1/2 3/2
y –3 –4 || –1 Đồ thị hàm số hình vẽ bên
( ) :
1 x
C y
x
Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng :y x nên có hệ số góc
0
( )
k f x
2 0
0
0
0
1
1
1 ( 1)
1
( 1)
x x
x
x x
x
Với x0 y0 pttt là: y 1(x 2) y x
Với x0 y0 pttt là: y 1(x 0) y x
Xét phương trình : 3 3 2 ( 3)( 1) (1 ) 0
x
kx x kx x kx k x
(21)x y
y = -1 - m
4 5
- 3 3
- 5 5
1 -1
O
1
Số nghiệm phương trình (*) bằng số giao điểm của (C) d: y = kx
(C) d có điểm chung (*) có nghiệm phân biệt
2
0
0
0 (1 )
k
a k
k k
Vậy, với k k (C) cắt d điểm phân biệt Bài 17Cho hàm số: y 14x4 32x2 54
1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số
2) Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm cực tiểu
3) Tìm giá trị tham số m để phương trình sau có nghiệm phân biệt:
4 6 1 4 0
x x m
Giải
Hàm số: y 14x4 32x2 54 Tập xác định: D = R
Đạo hàm: y x3 3x
Cho
0
0 ( 3)
3
x
y x x x x
x
Hàm số đồng biến khoảng ( ; 3),(0; 3), nghịch biến khoảng
( 3;0),( 3; )
Hàm số đạt cực đại yCD xCD ; đạt cực tiểu CT
4
y xCT Giới hạn: lim ; lim
x y x y
Bảng biến thiên
x – 0
+
y
+ 0 – 0 + 0 –
y
1
4
Giao điểm với trục hoành:
4
2
1
1
0
5
4
x x
y x x
x x
Giao điểm với trục tung: cho
x y
(22) Điểm cực tiểu đồ thị có:
x y
f x( )0 f (0)
Vậy, tiếp tuyến điểm cực đại hàm số là: 0( 0)
4
y x y
6 1 4 0
4
x x m x x m 1
4x 2x m(*)
Số nghiệm phương trình (*) bằng số giao điểm ( )C d: y = –1 – m Do đó, dựa
vào đồ thị ta thấy (*) có nghiệm phân biệt
5 1
1 2
4 m m m
Vậy,
m phương trình cho có nghiệm phân biệt
BÀI TẬP VỀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Vậy m < m > 1/4 hàm số có cực trị
Giải
Hàm số đạt cực đại
Bài 2: Cho hàm số :
Với giá trị m hàm số đạt cực đại điểm x =
3 2
y x m x m x
3
2
' 9m 3m m
1 3m 4m m ho c m
4
Ỉ
f '(0)
x
f ''(0)
2
Ta có f '(x) x m x m f ''(x) 2x m 1)
f '(0) m ; f " m
3 m m 2
Thay v o h
m m
(23)Vậy với m = hàm số đạt cực đại x =0
Bài 3: Tìm m để hàm số y x 4mx m 4 3 x 1 2 có cực trị Giải
Để hàm số có cực trị (2) vơ nghiệm có nghiệm kép có hai nghiệm phân biệt có nghiệm
(2) vơ nghiệm có nghiệm kép '
(2) có hai nghiệm phân biệt có nghiệm
Vậy với hàm số có cực trị
Bài 4:
Cho hàm số: Tìm m để hàm số đạt cực đại,cực tiểu hai điểm x1, x2 thỏa mãn x1+x2 = 4x1.x2
Giải
Để hàm số có cực đại, cực tiểu x1, x2
3
2
Ta có: y ' 4x 12mx m x (1) x
2x 6mx 3(m 1) (2)
1 1
9m 6(m 1) m
3
'
3(m 1)
1 7
m m
m
3
m
1 7
m ;
3
x 2mx
y
mx
2
2
mx 2x 4m
Ta có: y '
(mx 1) f(x) mx 2x 4m
2
m
m
' 4m
1 4m
f 0
m m
m
1 1
m m ; \ (*)
2 2
(24)
1 2
1 2
2
x x
Theo Vi-ét ta có: m
x x
2
x x 4x x 16 m
m
Tho mãn (*)¶
Vậy m = 1/8 hàm số đạt cực đại, cực tiểu x1, x2 thỏa mãn x1+ x2 = 4x1.x2 Bài 5:
Cho hàm sô : TÌm m để hàm số có cực đại, cực tiểu nằm hai phía trục Oy
Giải
Để hàm số có cực đại, cực tiểu nằm hai phía trục Oy f(x) = có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn:
x x m
y
x
2
2
x 2x m
Ta có y '
(x 1)
f(x) x 2x m
1
1
x x
x
af(0) m
f( 1) m
(25)CHỦ ĐỀ 2: PHƢƠNG TRÌNH, BẤT PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ LƠGARIT
A.PHƢƠNG TRÌNH,BẤT PHƢƠNG TRÌNH MŨ I PHƢƠNG TRÌNH MŨ
Bài 1 Giải phương trình mũ a) 2
2 x 3.2x 1 b) 22x+5 = 24x+1.3-x-1
Giải:
a) 22x2 3.2x 1 4.22x 3.2x 1
Đặt t 2 ; x t 0 Khi phương trình trở thành:
4t 3t Phương trình có nghiệm 1;
4 t t
+ Với t 1: không thỏa điều kiện
+ Với 2
4
x
t x
Vậy phương trình cho có nghiệm x = -2 b) 22x+5 = 24x+1.3-x-1
22x+5 = 3x+1.8x+1.3-x-1
22x+5 = 8x+1
22x+5 = 23(x+1)
2x + = 3x +
x =
Vậy phương trình có nghiệm x =
Bài 2:a.Giải phương trình : x x x 6.9 13.6 6.4 0 b. Giải phương trình 7x2.71x 9 Giải
a Chia hai vế phương trình cho 4x :
x
- 13
x
+ =
*Đặt t =
x
Điều kiện t > phương trình bậc hai
6.t2 – 13t + = *Hai nghiệm t
2
t =
3(hai nghiệm thỏa mãn điều kiện ) *Nghiệm phương trình (1): x = -1 hay x =
b
2
7
7
7
7 9.7 14 7
log
x
x
x x
x x
x x
(26)II.BẤT PHƢƠNG TRÌNH MŨ Bài 1: Giải bpt mũ sau
a) 6x2x 36 (1) b) 9x + 6.3x – > (2) Giải :
a) (1)
6
x x
x2 x20 2x1 Vậy bpt có nghiệm 2 x b) Đặt t = 3x
, ( t > 0) Khi bpt trở thành: t
+ 6t -7 > t t
Kết hợp với điều kiện t > ta t > 3x 1x0
Vậy bpt có nghiệm x >
Bài : Giải bất phương trình: x x 9.3 10
Giải : Đặt t = 3x , đk: t > Bpt trở thành t2
– 10t + <
2
3
9
2
x t
x
Vậy bất phương trình có nghiệm 0<x<2
Bài 3 : Giải bất phương trình: 49x+1 + 40.7x+2 - 2009 < Giải :
pt 49.72x + 40.49.7x - 2009 =<0 72x + 40.7x - 41 <
Đặt t = 7x
>
Bất phương trình trở thành t2
+ 40.t - 41 < -41 < t <
Vì t>0 nên
0 log
1
1
7
x x
t
x
B PHƢƠNG TRÌNH,BẤT PHƢƠNG TRÌNH LOGARIT I PHƢƠNG TRÌNH LOGARIT
Bài 1: Giải phương trình logarit sau
a) log2x + log4x + log8x = 11
b) lg2 xlgx3 40
Giải :
a) Điều kiện: x >
(27)log2x+
2log2x+
3log2x =11 log2x =
x = 26 = 64 (thỏa)
Vậy phương trình có nghiệm x = 64 b) Đk x >
pt lg2 x3lgx40
10 10 lg lg x x x x
Bài 2: Giải phương trình : log2x + log4x = log2 Giải : ĐK : x >
Pt log2x +
1
2log2x = log2
3
2log2x = log2 x =
3
Bài : Giải phương trình : log4xlog4(x2)2log42 Giải :Điều kiện x >2
4
2
( 2)
4
( 2) 8
2
log log
pt x x
x
x x x x
x
Đối chiếu điều kiện ta có x = nghiệm phương trình Bài 4 : Giải phương trình :
2
2
2
log x3log xlog x2 (1)
Giải : Đk: x0
2
1 4log x2log x 2 0 2 log 1 log x x 2 x x
( thoả đk )
II BẤT PHƢƠNG TRÌNH LOGARIT Bài 1: Giải bất phương trình sau a) log0,2(5x +10) < log0,2 (x
2
+ 6x +8 ) b)
1
3
log (x 6x 5) 2log (2x)0 Giải :
a) log0,2(5x +10) < log0,2 (x
+ 6x +8 ) (1) Điều kiện:
5 10
2
4
6
x x x x x x x
Với điều kiện trên, (1)
5x 10 x 6x
x2 x 2 x1
(28)b) Đk:
2
6 5 0
1
2 0
x x
x x
2
3
2
log (2 ) log ( 5) (2 )
1
2
x x x
x x x
x x
Kết hợp với điều kiện ta tập nghiệm
1 ;1 2
T
Bài : Giải bất phương trình: log ( 1)
1 x Giải :Điều kiện xác định: x>1
BPT
3
1( 1) log
log x
x-1 9x10 Kết hợp điều kiện, kết luận : 1< x 10 Bài : Giải bất phương trình: log2(x -1) > log2(5 – x) + Giải :
ĐK: 1< x <
Biến đổi bpt dạng:
log2(x -1) > log2(5 – x) +
log2(x -1) > log2(5 – x) + log22 log2(x -1)
2
> log2[(5 – x).2] (x -1)2 > (5 – x).2 (vì: >1) x < -3 x >
Kết luận: < x <
Bài 4: Giải bất phương trình: log 2 log 10 15
1 15
1 x x
Giải : Điều kiện: 2x10
Khi đó: pt log 210 log 15 15
1 15
1
x x
x210x15 ( số 15
1 ) x2 12x350
x5hoặc x7
Đối chiếu với điều kiện ta chọn: 2x5 7x10 Bài 5: Giải bất phương trình
ln (1 sin )
2 2
2
e log (x 3x)
pt ln 2
2
(29)(1)
2
2
2
log (x 3x) x 3x
x 3x 4 x
So điều kiện , bất phương trình có nghiệm : 4 x ; < x 1
CHỦ ĐỀ 3:
GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
Bài (Đề thi TN năm 2009)
Giải :
Bài 2: (Đề thi TN năm 2008)
(30)Bài 3:
Giải :
Bài :
Tìm giá trị lớn nhỏ (nếu có) hàm số y lnx x Ta có : TXĐ D (0; )
y 1x 1 ( 12), y ( 12) x
2 x x x x x
Bảng biến thiên :
x
y + -
y 2ln2 - Vậy : Maxy y(4) 2ln2
(0;) hàm số khơng có giá trị nhỏ
Bài 5
Tìm GTLN GTNN hàm số f(x) = cos 2x4sinx đoạn
2
2 cos 4sin 2sin 4sin
2 sin 4sin
y x x x x
x x
+ Đặt t sinx ; t 1;1 Do ;
x nên t 0;1
+Hàm số trở thành y2 2t2 4t 2, t 0;1
+ 0;1
2
;
4 '
' t
y t
y + 2; 0 2; 1
2
2
y y
y
So sánh giá trị ta GTLN 2tại t =
2
GTNN t =0
Bài 6 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số s inx ; x 0; 2+cosx
y
Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số: s inx
; x 0; 2+cosx
y
2
2 osx+1 '
2+cosx
c
(31)1
'
osx=-2
3
y c
x
0 0; y
3
y y
ax
min
3
x=
3
0 x=0; x=
m
y
y
Bài 7 Tìm giá trị lớn ,nhỏ hàm số: y = 4x TXĐ : D = 3;3
.Tính y/ =
2 x
x
y/ = x = ,y/ kxđ x2
.y(0) = ,y(2) = 0, y(-2) = KL GTLN,GTNN
Bài 8 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số
x e y
x e e
đoạn
[ln2 ; ln4]
Ta có :
x e
y , x [ln2 ; ln4] x
(e e)
miny y(ln2) 2 e
[ln2 ; ln4]
4 Maxy y(ln4)
4 e [ln2 ; ln4]
Bài 9 : Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số: f(x) = x 2x2 3) (1 điểm)
+ Tập xác định: D = [ – 2; 2] + f‟(x) = –
2 x
x
=
2
2
2 x x x
+ f‟(x) = x2 x
2 x
2
2 x x x
x =
+ f(1) = 2, f(– 2) = – , f( 2) = GTLN 2, GTNN
(32)Ta có : TXĐ D (0; )
y 1x 1 ( 12), y ( 12) x
2 x x x x x
Bảng biến thiên :
x
y +
y 2ln2 -
Vậy : Maxy y(4) 2ln2
(0;)
Bài 11: Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số y = 2x33x2 12x 2
[ 1; ]
2
TX§: 1;2
1 ' 6 12; ' 6 12
2 1;2
D
x
y x x y x x
x
( 1) 15; (1) 5; (2) 6;
f f f
1;2 15 t¹i 1; 1;2 5 t¹i 1
Max y x Min y x
Bài 12: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y 24x1 đoạn
0;1
Tính 0; 0;1
24 12 /
x x
y Hàm số đồng biến đoạn [0; 1]
5 ) ( ; )
( y y
max
1 ;
0
y
x x = 1; minx 0;1 y 1 x =
Bài 13: Tìm GTLN, GTNN hàm số sau y x
x
trên 4; 1
Vậy
-4;-1 4; 1
axy 1;
M Miny
Bài 14
Tìm giá trị lớn bé hàm số f(x) = x4
-36x2+2 đoạn ;
f(x) = x4- 18x2+2 đoạn ;
/
2 1-y
x
/
0
y x x 2( loại) x= -2 ( 4) 2; ( 1) 2; ( 2)
(33)f „(x) = 4x3 36x = ) ( 4 ; 1 3 4 ; 1 3 4 ; 1 0 loai x x x
f(0) = f(3) = -79 f(-1) = -15 f(4) = -30 Vậy
4 ; ) ( max
x
f ;
1;4
79 ) ( min x f Bài 15
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số: y = cos 2x - đoạn [0; π] Giải :
Trên đoạn [0; π], hàm số y = cos2x -1 liên tục và: y‟ = -2 sin 2x * ) (0; x
y'
x
* y(0) = 0, y(π) = 0, y(
) = -2
2 0 max ] ; [ ] ; [ x y x x y
Bài 16: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số f x( )xextrên đoạn 0; '( ) x x x(1 )
f x e xe e x
'( ) 0;
f x x
2
(0) 0, (2) , (1)
f f e f e
Suy -1 0;2
axf(x)=e
x
m
x = 1; 0;2
min f(x)=0
(34)CHỦ ĐỀ 4:
NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN
A NGUYÊN HÀM
Bài 1 : Tìm nguyên hàm F(x) hàm số f(x) = sin2x, biết
F
F(x) = sin2xdx 1cos
2 x C
(1) Thế
6
x vào (1) ta :F C C
cos
6
C F
Bài : Tìm họ nguyên hàm hàm số f(x) = 5 ) ( x
x I= ) ( x dx
x , đặt u=2x-1
du=2dx x=(u+1)/2
I= u u du u du u ) ( 4 )
(
5
I = 3 4
16 12 u u
+ C = 3 4
) ( 16 ) ( 12 x
x + C
Bài Tìm nguyên hàm F(x) hàm số y = f(x) = cos2 xsinx Biết F(
2 ) x x x f sin 2 cos ) (
F(x) =
dx x x sin 2 cos
= x x xC
sin2 cos
1
1 F()=
2 + C F( )
2
2 C C
B TÍCH PHÂN
I.TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN
Bài 1: Tính tích phân (Đề TN năm 2010)
(35)Bài : Tính tích phân I =
ln x x
e dx (e +1)
Đặt t = ex
+1, suy dt = exdx
Khi x = t = 2, x = ln2 t = I =
3 2
dt t
=
3
-
2
1
t dt = -t 6
Bài 3: Tính tích phân: I =
2
sin 2x dx cos x
Đặt t = + cos2
x dt = – sin2xdx x = t = 2, x = /2 t = Khi đó: I =
2
1 dt t
=
1
1 dt t
= ln | t |12 = ln2 Bài 4:
Tính: I =
e
dx x
x x
1
ln ln
Đặt u = ln2x1 u2 = ln2 x + 2u du = dx
x 2lnx
Đổi cận: x = u = X = e u =
2
2
1
1
2
3
u
I u udu
Bài :Tính tích phân sau: I = dx x an
cos
x t
2
Đặt u = + tanx du = dx x
2
cos
Đổi cận đúng: u1 = 1, u2 = I = 12
2
1 2 |
u udu
=
(36)Bài 6 : co dx sin x) (1 x s
- Đặt u =1+ sin xdu = cosx dx -Đ/c x = u = 0,x =
2
u = I = u u du
Tính kết Tính tích phân : I =
0x2 4x
dx
Ta có I = dx dx
x x
1 1
= 10
2 1 ln
ln x x = ln2 ln4 ln3
1
1
= ln Bài :
2 2x sin2x
I e dx
2 (1 sin x)
2 2
2
0
sin sin
x x
I e dx dx M N
x
2 2
0 1 2 x x
M e dx e e
2 2
0
sin 2 sin cos sin sin
x x x
N dx dx
x x
Đặt t 1 sinx dt cos x dx Với 0 1; 2
x t x t
2 1
1 1
2 ln ln 2
t
N dt t
t t
1 1
1 ln 2 ln
2 2
I M N e e
Bài 8 :
1 x I dx x
Đặt u = 2+x3
suy du = 3x2dx; u(0) = 2; u(1) = 3;
2
3
2
(37)II.TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
Bài 1 : (Đề thi TN năm 2009)
Giải :
Bài : Tính tích phân : I =
1
2 ln(1 x )dx
Đặt u ln(1 x )2 du 2xdx2 ,dv dx choïn v x
1 x
Ta có :
1 2 1
1 x 1 1
2
I x ln(1 x ) dx ln2 (1 )dx ln2 [2x]0 dx = ln2 2M
2 2
0 01 x 0 1 x 01 x
Với M 1 2dx
1 x
Đặt x tant ;t 0;
4
, ta tính M =
4
Do : I ln2
2
Bài 3:
Tính tích phân : I =
1
ln
2x xdx
Đặt x x v x dx du dx x dv x u ) ( ln
Áp dụng cơng thức tích phân phần ,suy I 2 ) ( ln )
(x x x x dx 2 ) ( ln
5 x x
ln
Bài 4 : Tính tích phân I1x(x e )dx x
(38)
1 1
x x
1
0 0
I x(x e )dx x dx xe dx I I
1
1
1 I x dx
3
1 x
0
I xe dx 1 (Đặt : u x,dv e dx x ) Do đó: I
Bài 5:Tính tích phân
Đặt
Bài 6:
Đặt
III TÍCH PHÂN TỔNG HỢP
Bài 1: Tính tích phân : I =
2 x x
(1 sin )cos dx 2
0
x
I xe dx
x x
u x du dx
dv e dx v e
1
1 1
0 0
0
1 1
x x x x x
I xe dx xe e dx xe e
e e
2
0
cos
I x xdx
cos sin
u x du dx
dv xdx v x
2
2
2
0
0
0
cos sin sin
cos 1
2 2
I x xdx x x xdx
x
(39)2 1 (cos sin cos ) (cos sin )
2 2 2
0
1 2
(2sin cos )
2 0
x x x x
I dx x dx
x x
2 1
2 2
Bài : Tính 2 ) (sin xdx x x I e 2 2 sin 2 I I xdx x xdx x
I e
1 sin
xdx x
I Đặt u= 2x du = 2dx
dv = sinx dx v = - cosx
2 0 2 sin 2 2 0 2 . 2
1
x sxdx co sx co x I )
(
2 2 2 2
2
e x x d x dx x
I xe e e
1
4
e I
Bài : Tính tích phân sau:
2
sinx
0
( 1) osx.dx
I e c
Đặt t = sinx => dt = cosx.dx
đổi cận: x = => t = ; x = π /2 => t = Khi
1
0
( t 1).dt
I e = et t |10 = e
Bài Tính tích phân : I = e dx
(40)đặt : t = 1+lnx dt=dx
x
+ x =1 t =1 , x = e t = I =2 dt
t =
2
2 2
t
Bài 5 : Tính tích phân I1x(x e )dx x
0
1 1
x x
1
0 0
I x(x e )dx x dx xe dx I I
1
1
1
I x dx
3
1 x
0
I xe dx 1
(Đặt : u x,dv e dx x ) Do đó:
4 I
3
Bài :
Bài 7: Cho hàm số y e4x 2e x Chứng minh rằng, y 13y 12y
Giải : Xét hàm số y e4x 2e x
Ta có, y 4e4x 2e x ; y 16e4x 2e x ;
4
64 x 2 x
y e e
Từ đó,
4 4
13 64 x 2 x 13(4 x 2 x) 12 x 24 x 12
y y e e e e e e y
(41)CHỦ ĐỀ 5:
HÌNH HỌC KHƠNG GIAN ( TỔNG HỢP )
PHẦN 1: Đề thi tốt nghiệp năm: Bài 1:(đề thi tốt nghiệp năm 2006)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA vng
góc với đáy, cạnh bên SB a 3
1 TÝnh thÓ tÝch cña khèi chãp S.ABCD
2 Chøng minh trung điểm cạnh SC l tâm mặt cầu ngoại tiÕp h×nh chãp
S.ABCD
Bài 2:(đề thi tốt nghiệp năm 2007)
Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC tam giác vng đỉnh B, cạnh bên SA vng góc với đáy Biết SA = AB = BC = a Tính thể tích khối chóp S.ABC
HD:
2
2
1 a2
BC AB
SABC
SA (ABC)
6
2
3
1 a3
a a SA
S
(42)Bài 3: (đề thi tốt nghiệp năm 2008)
Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a, cạnh bên 2a Gọi I l
trung điểm cạnh BC
1) Chøng minh SA vu«ng gãc víi BC 2) TÝnh thĨ tÝch khèi chãp S.ABI theo a
Bài 4:(đề thi tốt nghiệp năm 2009)
Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác cạnh a, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy Biết góc BAC = 1200
, tính thể tích khối chóp S.ABC
(43)Bài :ĐỀ THI TỐT NGHIỆP NĂM 2010
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy, góc mặt phẳng (SBD) mặt phẳng đáy 600
Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a
PHẦN 2: BÀI TẬP
Bài 1:
Thiết diện qua trục hình nón tam giác vng cân có cạnh góc vng a
a Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình nón b Tính thể tích khối nón tương ứng
(44)Xét hình nón đỉnh S , đáy đường trịn tâm O , bán kính R Gọi SAB cân thiết diện qua trục SO Đường sinh : l = SA = SB = a AB a 2,R a 22 a Do : Sxq Rl 22 2a
2
2 2 a 2
Stp Sxq S a a
2 2
đáy
b Đường cao :
AB a 2 h SO
2 2
Vhn 31 R h2 2 a3 12
Bài 2: Cho tứ diện ABCD cạnh a Gọi H hình chiếu vng góc A xuống mp(BCD) Tính diện tích xung quanh thể tích khối trụ có đường tròn đáy ngoại tiếp tam giác BCD chiều cao AH
Đáp án:
Tính bán kính đáy R = AH = 3 a
Độ dài chiều cao hình trụ h = l = SH =
a
2 2 2 . 2
3
xq
a
S R l
3
2 6
.
9
a
V R h
Bài 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng đỉnh B, cạnh
bên SA vng góc với đáy, biết SA= a, AB = BC = b Hãy tính thể tích khối chóp S.ABC
Theo đầu đường cao khối chóp là:h = SA = a đáy tam giác vng ABC có diện tích: B = SABC =
1
2AB.BC= 2b
2
Áp dụng cơng thức tính thể tích:V=1
3Bh = 6.ab
2
Bài 4: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có AB = a, góc mặt bên mặt đáy 600 Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a
S
B
(45)I H
A C
B S
Đáp án
O C
A D
B
S
Gọi O tâm hình vng ABCD Vì S.ABCD hình chóp nên SO đường cao hình chóp góc tạo cạnh bên SAB mặt đáy ABCD góc SIO(với I trung điểm AB) Vậy theo đề ta có AB = a,
60
SIO
Xét tam giác SIO vng O, có
tan tan tan 600
2
SO a a
SIO SO IO SIO SO
IO
3
2 2
1 3
3
ABCD S ABCD ABCD
a a
S AB a V S SO a
Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Hai mặt bên SAB SAD c ng vng góc với mặt phẳng đáy Góc SC mặt phẳng (SAB) 300 Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a
Gọi O tâm hình vng ABCD
- Chứng minh SA vng góc với mp (ABCD) - Xác định góc tạo SC (SAB) góc BSC
- Tính SB = a SA = a - Tính
ABCD
S a
3
2
S ABCD
a
V
Bài 6: Cho khối chóp S.ABC có hai mặt ABC, SBC tam giác cạnh a SA=a
2 Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a
Đáp án:
+ Gọi I trung điểm cạnh BC
Chứng minh tam giác SAI
+ Gọi H trung điểm AI
Chứng minh được: SH (ABC) + Tính được: SH = 3a/4 và: SABC =
2 3a
4 + Thể tích khối chóp S.ABC là:
V =
3 ABC
1 a
S SH
3 16
Bài 7: Cho khối chóp S.ABCD có AB = a , góc cạnh bên mặt đáy 600.Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a
C
A D
B
(46)Đáp án:
Do SABCD hình chóp nên ABCD hình vng cạnh a SABCD = a
Gọi O = AC BD SO đường cao góc cạnh bên SA đáy SAD
Trong tam giác SOA ta có SO = AO tan 600 =
2
a
= 2
6
a
Thể tích khối chóp S.ABCD V =
6
6
3
1 a3
a a SO
SABCD (đvtt)
Bài 8: Cho tứ diện SABC có ba cạnh SA, SB, SC vng góc với đơi với SA = 1cm, SB = SC = 2cm Xác định tâm tính bán kính mặt cấu ngoại tiếp tứ diện, tính diện tích mặt cầu thể tích khối cầu
Đáp án:
Gọi I trung điểm AB Qua I dựng đường thẳng (SAB) Gọi J trung điểm SC Trong mp(SAC) dựng trung trực SC cắt O Khi O tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC
Tính SI = 1AB
2 cm,
OI = JS = 1cm, bán kính r = OS = 23cm Diện tích : S = R 9 (cm )2
(47)CHỦ ĐỀ 6:
PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
PHẦN 1: Đề thi tốt nghiệp năm:
Bài :Đề tốt nghiệp năm 2008( PHÂN BAN LẦN 1)
Trong không gian Oxyz, cho điểm A( 3; - 2; - 2) mặt phẳng (P) có phương trình: 2x – 2y + z – =
1 Viết phương trình đường thẳng qua điểm A vng góc với mặt phẳng (P) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) Viết phương trình mặt phẳng (Q) cho (Q) song song với (P) khoảng cách (P) (Q) khoảng cách từ điểm A đến (P)
Đáp án
(48)Bài :Đề tốt nghiệp năm 2008 ( KHÔNG PHÂN BAN LẦN 1)
Trong không gian Oxyz, cho điểm M (1; 2; 3) mặt phẳng () có phương trình: 2x – 3y + 6z + 35 =
1 Viết phương trình đường thẳng qua điểm M vng góc với mặt phẳng () Tìm tọa độ hình chiếu M lên mặt phẳng ()
3 Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng () Tìm tọa độ điểm N thuộc trục Ox cho độ dài đoạn thẳng NM khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ()
Đáp án
2
Bài 3:Đề tốt nghiệp năm 2008 ( KHÔNG PHÂN BAN LẦN 2)
Trong không gian Oxyz, cho điểm M ( - 2; 1; - 2) đường thẳng d có phương
trình: 1 2
1 2
1 y z
x
1 Chứng minh đường thẳng OM song song với đường thẳng d
2 Viết phương trình mặt phẳng qua điểm M vng góc với đường thẳng d Tìm tọa độ điểm M‟ đối xứng với M qua đường thẳng d
(49)2
Bài :Đề tốt nghiệp năm 2009
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) mặt phẳng (P) có phương trình : (S): (x – 1)2 + (y – 2)2 + (z – 2)2 = 36 (P): x + 2y + 2z + 18 =
a Xác định tọa độ tâm T tính bán kính mặt cầu (S) Tính khoảng cách từ T đến mặt phẳng (P)
b Viết phương trình tham số đường thẳng d qua T vng góc với (P) Tìm tọa độ giao điểm d (P)
Đáp án
2
Do H(- 2; - 4; - 4)
Bài 5: Trong không gian Oxyz cho điểm A(1; - 2; 3) đường thẳng d có phương
trình 1
3 1
2 2
1
y z
x
1 Viết phương trình tổng quát mặt phẳng qua A vng góc với đường thẳng d
(50)Đáp án
(51)Bài 6 : Đề tốt nghiệp năm 2009 ( BỔ TÚC)
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1; 0; 0), B(0; 3; 0) C(0; 0; 2) a Viết phương trình tổng quát mặt phẳng (ABC)
b Viết phương trình đường thẳng qua điểm M(8; 5; - 1) vng góc với mặt phẳng (ABC); từ đó, suy tọa độ hình chiếu vng góc điểm M mặt phẳng (ABC)
Đáp án
2
Bài 7:ĐỀ THI TỐT NGHIỆP NĂM 2010 ( Chương trình Chuẩn)
Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1; 0; 0), B(0; 2; 0) C(0; 0; 3)
1 Viết phương trình mặt phẳng qua A vng góc với đường thẳng BC Tìm tọa độ tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC
Đáp án
(52)Bài 8:ĐỀ THI TỐT NGHIỆP NĂM 2010 ( Chương trình Nâng cao)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng có phương trình
1 1
2 2 1
x y z
1 Tính khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng
(53)x 2 3 5
y 2( 3) 6
z 3 2( 3) 9
2
PHẦN 2: BÀI TẬP
Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng (d) :
x y z
1 2
mặt phẳng (P) : 2x + y – z – =
a Chứng minh (d) cắt (P) A Tìm tọa độ điểm A
b Viết phương trình đường thẳng () qua A , nằm (P) vuông góc
với (d) ĐÁP ÁN
PTTS (d):
Thay (1), (2), (3) vào (P) :
2(-2 + t) - 2t – (- + 2t) – = - + 2t – 2t + – 2t – = - - 2t = hay t = -
Thay t = - vào PTTS (d):
Vậy đường thẳng d cắt mặt phẳng (P) điểm A(- 5; 6; - 9) b + Vectơ phương đường thẳng (d) : ud (1; 2;2)
+ Vectơ pháp tuyến mặt phẳng (P) : nP ((2;1; 1)
+ Vectơ phương đường thẳng () : u [u ;n ] (0;1;1)d P
x 2 t
y 2t z 3 2t
(54)+ Phương trình đường thẳng () :
x 5
y t (t )
z 9 t
Bài2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng (d ) :
x 4t y 2t z t
mặt phẳng (P) : x y 2z 0 Chứng minh (d) nằm mặt phẳng (P)
Viết phương trình đường thẳng () nằm (P), song song với (d) cách
(d) khoảng 14
Đáp án
1 Chọn A(2;3;3),B(6;5;2)(d) mà A,B nằm (P) nên (d) nằm (P)
Gọi uvectơ phương (d1) qua A vng góc với (d) u ud
u uP
nên ta chọn u [u,u ] (3; 9;6) 3(1; 3;2) P Ptrình đường thẳng (d1)
x 3t
y 9t (t )
z 6t
2 () đường thẳng qua M song song với (d ) Lấy M (d1) M (2+ 3t;39t;3 + 6t)
Theo đề :
1
2 2
AM 14 9t 81t 36t 14 t t
9
+ t = 13 M(1;6;5) ( ) :1 x y z 54 2 1 + t =
1
3 M(3;0;1) ( ) :2 x y z 14 2 1
Bài 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng () : 2x y 2z 0 hai đường thẳng (d1 ) : x y 12 2 z1 ,
(d2 ) : x y z 72 3 2
1 Chứng tỏ đường thẳng (d1) song song mặt phẳng () (d2) cắt mặt phẳng ()
Tính khoảng cách đường thẳng (d1) (d2 )
Viết phương trình đường thẳng () song song với mặt phẳng () , cắt đường
(55)Đáp án
(d ):1 qua A(4;1;0) VTCP u (2;2; 1) , (d ):2 qua B( 3; 5;7) VTCP u (2;3; 2) ,
1
( ) có vtpt n (2; 1;2)
Do u n 01 A ( ) nên (d1) // () Do u n2 3 nên (d2) cắt () Vì [u ,u ] ( 1;2;2) , AB ( 7; 6;7)1 2
[u ,u ].AB1 2
d((d ),(d ))1 2
[u ,u ]1 2
Phương trình
qua (d )1
mp( ): ( ): 2x y 2z
// ( )
Gọi N (d ) ( ) 2 N(1;1;3) ;
M (d ) 1 M(2t 4;2t 1; t),NM (2t 3;2t; t 3)
Theo đề : MN2 9 t 1
Vậy ( ): qua N(1;1;3) ( ): x y z 31 2 2
VTCP NM (1; 2; 2)
Bài 4:Trong không gian oxyz cho hai điểm A(2; 3; 7) B(-2; 1; 3) Viết ph-ơng trình mặt phẳng trung trực (P) đoạn AB Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P)
Đáp án
Mặt phẳng trung trực (P) qua trung điểm M đoạn AB.ta có M(0; 2; 5)
Mặt phẳng trung trực có véc tơ pháp tuyến n AB ( 4; 2; 4)
Vậy phương trình mặt phẳng qua điểm M(0; 2; 5) nhận n ( 4; 2; 4) làm
véc tơ pháp tuyến là:-4(x - 0) - 2(y-2)- 4(z - 5) = hay: 2x + y + 2z -12 =
2 Khoảng cách từ điểm A đến (P), d(A, (P))=
2
AB
=6
2=3
Bài 5: Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng d d‟ có phương
trình:
1 2 1 3 2
x t
y t
z t
2 2
1 5 2
x y z
1 Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d‟ song song với d Tính khoảng cách đường thẳng d mặt phẳng (P)
Đáp án Đường thẳng d có VTCP ad 2;3;1
(56)Ta có ' '
; 11;5; 7
P d
P d d
P d
n a
n a a
n a
Mặt phẳng (P) qua M(2; -2; 0) có VTPT nP 11;5;7 nên có phương
trình: 11x 2 5 y 2 7 z00 hay – 11x + 5y + 7z + 32 =
2 Vì đường thẳng d song song với mp (P) nên khoảng cách d (P) khoảng cách từ điểm N thuộc d đến mp (P) Ta lấy N(-1; 1; 2) thuộc d
Khi 2 2 2
11.( 1) 5.1 7.2 32 62 195
; ( ) ( ; ( ))
195
11
d d P d N P
Bài 6:
Trên Oxyz cho A (1 ; ; -2 ), B (2 ; ; -1) đường thẳng (d):
2 1
x y z
1 Viết phương trình mặt phẳng ( P ) qua điểm A; B song song ( d )
2 Viết phương trình mặt cầu ( S ) tâm A tiếp xúc đường thẳng ( d ) Tìm tọa độ tiếp điểm
Đáp án
1 Ta có: AB (1; 2;1); ud (2;1; 1) nP AB u, d (1;3;5) VTPT (P)
Pt (P): x + 3y + 5z + =
2 Mặt cầu (S) có bán kính R d A d( ; ) 846 14 Pt (S): (x1)2 (y2)2 (z 2)2 14
Pt mặt phẳng qua A vng góc d: 2x + y – z – = Thay d vào pt mp suy t = tiếp điểm M(3; 1; 1)
Bài 7:
Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng d d‟ có phương trình:
7
x t
y t
z
13
2
x y z
mặt cầu (S) có phương trình 2
10 26 118
x y z x y z
1 Chứng minh d d‟ chéo
2 Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) song song với hai đường thẳng d d‟
Đáp án
Phương trình tham số d‟:
5 2 ' : 1 3
13 2
x t
d y t
z t
(57)
Đường thẳng d d‟ có VTCP ad 3; 2;0 ;ad2; 3; 2
Ta có
2
nên ad adkhông c ng phương
Xét hệ:
7 3 5 2
1 2 1 3 8 13 2
t t
t t
t
Chứng tỏ hệ vô nghiệm Kết luận d d‟ chéo
2 Đường thẳng d d‟ có VTCP ad 3; 2;0 và ad2; 3; 2
Ta có '
'
; 4; 6; 4;6;5
P d
P d d P d
n a
n a a
n a
Do mặt phẳng (P) có phương trình dạng: 4x + 6y + 5z + D = S) có tâm I(5; -1; -13) R 77 Ta lại có (P) tiếp xúc với (S) nên
;( )
d I P R, tức
2 2
4.5 6.( 1) 5( 13)
77
4
D
4.5 6.( 1) 5( 13) 77
128
51 77
26
D D
D
D
Vậy (P): 4x + 6y + 5z + 128 = (P): 4x + 6y + 5z – 26 =
Bài 8:Trong không gian Oxyz cho điểm M(-1; -1; 0) mặt phẳng (P): x + y – 2z – =
1 Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua M song song với mặt phẳng (P) Viết phương trình tham số đường thẳng d qua M vng góc với mp (Q)
3 Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm gốc tọa độ O tiếp xúc với mặt phẳng (Q)
Đáp án
1 Mặt phẳng (Q) có phương trình dạng: x y2zD0 (D4)
Vì (P) qua M(-1; -1; 0) nên có 112.0D0 D2 (thoả) Vậy mp (P) có pt x + y – 2z + =
2
(58)Vậy đt d có pt tham số
t z
t y
t x
2 1 1
3 Vì (S) tiếp xúc với mp (Q) nên có bán kính R = d(O; (Q)) =
3
Mặt cầu (S) có pt x2 y2 z2 32
Bài 9: Trên Oxyz cho M (1 ; ; -2), N (2 ; ; -1) mặt phẳng ( P ):3x y 2z 1 0.
1 Viết phương trình mặt phẳng ( Q ) qua điểm M; N vuông góc ( P ) Viết phương trình mặt cầu ( S ) tâm I ( -1; 3; ) tiếp xúc mặt phẳng ( P )
Đáp án
1 Ta có: MN (1; 2;1); nP (3;1; 2)nQ MN n, P ( 5;1;7) VTPT (Q) Pt (Q): 5x y 7z170
2 Mặt cầu (S) có bán kính ( ;( )) 14 Rd I P Pt (S): ( 1)2 ( 3)2 ( 2)2
14
x y z
Bài 10 Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng d có phương trình:
5
x t
y t
z t
ba điểm A(-1; 0; 2), B(3; 1; 0), C(0; 1; 1),
1 Chứng minh đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (ABC)
2 Chứng minh giao điểm H d mp (ABC) trực tâm tam giác ABC Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A chứa đường thẳng d Đáp án
1 VTPT mp (ABC): n1; 2;3 VTCP đt d: a 1; 2;3
Suy d vng góc với mp (ABC) Giao điểm H(-2; 5; -1)
- Chứng minh: AH BC. 0;BH AC. 0 - Vậy H trực tâm tam giác ABC
3 VTPT mp (P): n 21;0; 7 7 3;0;1 Phương trình mp (P) : 3x + z + =
(59)1:
x y z
2
, 2:
x 2t y t z 2t
1) Chứng minh hai đường thẳng 1 2 song song với 2) Tính khoảng cách hai đường thẳng 1 2
Đáp án
1) + 1 qua A(–1;1;2) có vectơ phương u1=(2;–1;–2) + 2 có vectơ phương u2=(–2;1;2)
+ Toạ độ điểm A khơng thoả mãn phương trình 2 nên A 2 + Vì u1= – u2 A 2 nên 1 2 song song với
2) Gọi H(1–2t;–2+t;1+2t) hình chiếu A 2 d(1;2)=AH Ta có : AH = (2–2t;–3+t;–1+2t)
AH u2 AH.u2=0 –2(2–2t) –3+t + 2(–1+2t) = t = AH = (0;–2;1) d(1;2) = AH =
Bài 12: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng:
1:
3
1
2
y z
x
, 2:
x t
y t
z 2t
và mặt cầu (S): x2
+ y2 + z2 – 2x + 4y – 6z – =
1) Chứng minh hai đường thẳng 1 , 2 chéo tính khoảng cách hai đường thẳng
2) Viết phương trình mặt phẳng () song song với hai đường thẳng 1, 2 cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến đường trịn (C) có chu vi 8
Đáp án
1) + 1 qua M1(2 ; –1 ; 1) có vectơ phương u1 = (1 ; ; –3) 2 qua M2(0 ; ; 1) có vectơ phương u2 = (1 ; – ; 2) + [u1, u2] = (1 ; –5 ; –3) M1M2 = (–2 ; ; 0)
+ [u1, u2]M M1 2 = –17 ≠ => 1 2 chéo + Tính được: d(1 ; 2 ) = 17
35
2) + Mặt cầu (S) có tâm I(1; –2 ; 3) bán kính R =
+ Mặt phẳng () song song với 1 , 2 nên có vectơ pháp tuyến:
1
n [u , u ] = (1;– 5; – 3)
+ Gọi r bán kính đường trịn (C), ta có: 2r = 8 => r = => r = R => I ()
+ Phương trình mặt phẳng (): x – 5y – 3z – =
Vì M1 M2 khơng thuộc () nên 1 // () 2 // ()
(60)Bài 13:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho bốn điểm A(0;0;1) , B(0;0;1),C(1;1;1) D(0;4;1)
a Viết phương trình mặt cầu (S) qua bốn điểm A,B,C,D
b Viết phương trình đường thẳng (d) tiếp xúc với mặt cầu (S) C tạo với trục Oz góc 450
Đáp án
a Gọi phương trình mặt cầu (S) : x2y2z22ax 2by 2cz d 0 với
2 2
a b c d
Vì mặt cầu (S) qua A,B,C,D nên ta có hệ :
1 2c d 2c d
3 2a 2b 2c d 17 8b 2c d
Giải hệ ta : a 1,b 2,c 0,d 1
Suy mặt cầu (S) có tâm I(- 1; 2; 0) , bán kính : R = 6 Do phương trình (S) : x2 y2 z2 2x 4y 0
b Gọi VTCP (d) u( ; ; ) víi aa b c b2 c2 0; trục Oz có VTCP
k ( ; ; )0 1
d IC 2 1
qua C(1;1;1) ( ) :
+ ( ; ; )và tạo với Oz góc 45
0
nên ta có hệ :
2a b c IC
c
1
k u 2 2 2 2
2 a b c
c b 2a 2
3a 4ab a
2 2
c a b
u
| | | cos( ; ) |
hay 3a = 4b
+ a = , chọn b = , c = nên pt (d) : x = ; y = 1+ t ; z = + t + 3a = 4b , chọn a = b = , c = 5 nên pt (d) : x y z 14 3 5
Bài14: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho bốn điểm A(- 2; 1; - 1), B(0; 2; - 1), C(0; 3; 0), D(1; 0; 1)
a) Viết phương trình đường thẳng BC
b) Chứng minh ABCD tứ diện tính chiều cao AH tứ diện
(61)a)
Qua C(0;3;0)
+ VTCP BC (0;1;1)
x (BC) : y t
z t
b) BC (0;1;1),BD (1; 2;2)
[BC,BD] (4;1; 1) véctơ pháp tuyến mp(BCD) Suy pt mp(BCD): 4x+(y-2)-(z+1)=0 hay 4x + y – z – =
Thay tọa độ điểm A vào pt mp(BCD), ta có: 4(-2) + – (-1) - 30 Suy
( )
A BCD Vậy ABCD tứ diện
Tính chiều cao ( , ( )) 2
AH d A BCD
c) Bán kính mặt cầu r d I BCD( , ( )) 18
Suy phương trình mặt cầu (x5)2 (y1)2 z2 18
Bài 15: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm M(1; - 1; 1), hai đường thẳng ( ):1 x y z1 1 4,
x t ( ): y 2t2
z mặt phẳng (P):y 2z 0
a) Tìm tọa độ hình chiếu vng góc điểm M (2)
b) Viết phương trình đường thẳng cắt hai đường thẳng ( ),( )1 2 nằm mặt phẳng (P)
Đáp án
a) Gọi mặt phẳng
Qua M(1; 1;1) (P) :
( )2
P 2
Qua M(1; 1;1)
(P) : + VTPT n = a ( 1;2;0) (P) : x 2y
Khi :
19 2 N ( ) (P)2 N( ; ;1)
5 5
b) Gọi A ( ) (P) 1 A(1;0;0) , B ( ) (P) 2 B(5; 2;1) Vậy
x 1 y z
(m) (AB) :
4 2 1
(62)Bài 16: Trong không gian Oxyz, cho mp(Q) mặtcầu (S) có phương trình: x+y+z=0; x2 + y2 + z2-2x +2y -4z -3 =0
1 Viết phương trình tham số đường thẳng d qua tâm mặt cầu (S) vng góc với mp(Q)
2 Viết phương trình tổng quát mp(P) song song với Oz, vng góc với mp(Q) tiếp xúc với mặt cầu (S)
Đáp án:
1 + Mặt cầu (S) có tâm I(1,-1,2)
+ Mp(Q) có vectơ pháp tuyến nQ (1;1;1)
+ Pt tham số đường thẳng d:
t z
t y
t x
2 1
2 + Gọi n vectơ pháp tuyến mp(P); R bán kính (S), R=3 + mp(P) song song chứa u=(0,0,1); nQ = (1,1,1) nên
n u,nQ = (-1,1,0)
+ pt mp(P) có dạng –x + y +D =0
+mp(P) tiếp xúc với (S) d(I,(P)) = R 1
1 D
D 2
2
2 D D
Vậy có 2mp
0
0
y x
y x
thoả mãn yêu cầu
Bài 17: Trong không gian Oxyz cho điểm A xác định hệ thức
OA i 2j3k đường thẳng d có phương trình tham số 1
2
x t
y t
z t
(t
)
1.Viết phương trình tổng quát mặt phẳng ( )P quaA vng góc với
đường thẳng d
2.Tính khoảng cách từ điểm Ađến đường thẳng d
Đáp án
Vì (P) d nên (P) có vectơ pháp tuyến n(1;1; 1)
(P) qua A(1; 2; 3) có vectơ pháp tuyến n (1;1; 1) nên có phương trình:
1(x 1) 1(y 2) 1(z 3) x y z
2 Gọi M d ( )P Suy ( ; ; )1
3 3
M
Do ( , )
(63)CHỦ ĐỀ 7: SỐ PHỨC
Bài : Tìm phần thực, phần ảo số phức i + (2 – 4i) – (3 – 2i)
Giải:
Ta có: i + (2 – 4i) – (3 – 2i) = ( + 2) + (1- 4)i + (-3 + 2i) = (2 – 3) + (-3 + 2)i = -1 – i
Vậy số phức cho có phần thực – 1, phần ảo – Bài : Tìm phần thực phần ảo số phức sau:
a) 4i 23i 5i; b) 1i 1i Giải :
a) Ta có
4 i 2 3i 5 i (4 5) ( 1)i 1i;
z
nên z có phần thực phần ảo b) Ta có
i i i i i i i i
z 1 2 1 (12 2)(12 2)(1111)(22) 04 nên z có phần thực phần ảo
Bài : Tìm số phức liên hợp z = (2 + 3i) (4 - 2i)
z = (2 + 3i) (4 - 2i) =8 – 4i + 12i – 6i2 = – 4i + 12i + = 14 + 8i Vậy số phức liên hợp z 14 8 i
Bài :Tìm phần thực, phần ảo số phức 1 i 3 2i Giải:
Ta có:
3 2 3
3 3 3
1 3 2
2
i i i i i
i i i
3
1 i 2i 10i
Bài : Tính: (1i)10;
Giải
Ta có: (1i)2 12ii2 2i
Vậy: (1i)10 (1i)25 2i 25i5 32i
Bài : Cho z = + i Tính z5 Giải
Bài :Cho z = + i Tìm z3 Giải :
5
) ( i
z 5
5 4
2 5 5
52 C i C i C i C 2i C i C
32 5.16.i 10.8.( 1) 10.4.( i) 5.2.1 i
i
41 38
(64)Bài : Cho số phức z thỏa mãn 2
1i 2i z 8 i 2i z Tìm phần thực phần
ảo z Giải :
Ta có: 2
1i 2i z 8 i 2i z 2
1 2
z i i i i
2 2
z i i i i
8 1 2
2
2
i i i z i i
Vậy số phức z cho có phần thực 2, phần ảo -3 Bài 9: Hãy thực phép tính:
a 2 i 3( )i b 2
i i
c 1 2i2 Giải:
a 2 i 3( )i 26 16 i
b 2 3 3 3
2 2
i i i i i
c 1 2i2 1 2i 2 2i Bài 10 : Thực phép toán
Giải :
Bài 11 : Tính (2 ) ) )( ( i i i i Giải : 3
) (1 )
a z i 1 3i 3i2 i3
1 3
z i i
2
z i
i i ) )( ( ) )( ( i i i i i i 25 10 15
i i i
(65)i i i i i i i i i i 11 17 ) ( ) ( ) ( ) ( ) )( ( ) ( ) )( (
Bài 12 : Hãy thực phép tính: 15 i i Giải:
2 15
2 15 45 30 24 48
3 3 13 13
i i
i i i
i
i i i
Bài 13: Cho số phức z = -3i Tìm
a
z b
z c z d
2 z + z z Giải
a 2 2 2
z 3 i 16 24 i 9i 7 24i
b 2
1 1 4
z 4 4 25 25
i i
i
i i i
c z 4 3i
d
2
2
z + z (1 ) 4
4 24
4 12 27 33 144
z z z z i i i
i i i
i i i
Bài 14 : Xác định phần thực, phần ảo số phức: z = (7- 3i)2 – (2- i)2 Giải :
z =( - 3i + - i)( - 3i -2+ i) = (9 - 4i(5 - 2i) = 37 - 38i
Vậy số phức z có phần thực a = 37 phần ảo b= - 38 Bài 15 Tìm mođun số phức z với
i i z 2 36 Giải : Ta có i
i i
z
3 2 36
Suy ra, z 62 (8)2 10
Bài 16 : Tìm mơ đun số phức 17 z
i
Ta có 17(1 ) 17(1 )2 2 (1 )(1 )
i i z i i i
Do 2 ( 4)
z
(66)
Giải :
Ta có z 4i 1 3i 3i2 i3
14i13i3 1 1i 12i Vậy z 1222
Bài 18: Tìm mơđun số phức
i i i z Ta có i i i z ) )( ( ) ( i i i i i )i ( Vậy 2 z Bài 19
Cho số phức:z 1 2i2i2 Tính giá trị biểu thức A z z Số phức z = (1-2i)(2+i)2
= (1-2i)(3+4i)= 11- 2i => z=11+2i
Nên A= z.z=(11-2i)(11+2i)= 112+ 22=125 Vậy A= 125
Bài 20 :Giải phương trình
1
z i z i tập hợp số phức Giải :
Phương trình có biệt thức 2
1 i 3i 24 10i
2
1 5i
Phương trình có hai nghiệm là: z 1 2i z3 i
Bài 21 : Giải phương trình sau tập số phức :
a) - 2ix = (3 + 4i) (1 - 3i) b) (3 + 4i) x = (1 + 2i) (4 + i) Giải :
a) - 2ix = (3 + 4i) (1 - 3i)
i x i ix i ix i i ix i i ix 5 10 ) 15 ( ) 12 ( ) )( (
(67)i i i x i x i i i x i 25 19 25 42 9 ) ( ) ( ) (
Bài 22 : Giải phương trình 70 x
x Giải :
Ta có 14.727 Phương trình có hai nghiệm phức
x i i x i i
2 3 2 27 ; 3 2 27
Bài 23 : Giải phương trình sau tập số phức
2 2
) 29
)
)
) (3 ) ( )
a x x
b x x
c x x i
d x i x i
Giải :
a Ta có ' 20, phương trình có nghiệm phức là:
1 5; x i x i
b Ta có 3 0, phương trình có nghiệm phức là:
1
1 3
;
2 2
x i x i
c 9 4(4 ) i 24i 7 (3 )i 2, phương trình có nghiệm phức là:
1
3 3
3 ;
2
i i
x i x i
d Ta có 2
(3 )i 4( )i 24i ( 20 )i 4i (1 )i
(1 )i
Vậy pt có nghiệm là:
1
3 4 (1 )
2 ;
2
i i i i
x i x i Bài 24 : Tìm nghiệm phương trình
z z với z số phức liên hợp z Giải :
Gọi z = a + bi, ta có z a bi z2 a2b22abi Ta cần tìm số thực a b cho
2
(1)
2 (2)
a b a ab b Ta có
(2) (2 1) 1
2 b b a a
(68)Thay
1 2
a vào (1) ta 3
4
b b Vậy phương trình có nghiệm
1 3
0; 1; ;
2 2
z z z i z i
Bài 25
Giải phương trình tập số phức z4
+ z2 – 12 = Giải
Đặt t = z2
Phương trình có dạng: t2
+ t -12 =
2
3 3
4
t z z
t z z i
Vậy phương trình có nghiệm: z 3,z 2i
Bài 26
Một số dạng số phức đề thi TN ĐH - CĐ Bài : Đề tốt nghiệp năm 2009( GDTX)
Cho số phức z = – 2i Xác định phần thực phần ảo số phức z2 + z z2 + z = (3 – 2i)2 + – 2i
= – 12i + 4i2 + – 2i = – 12i – + – 2i = – 14i Vậy phần thực phần ảo – 14
(69)Cho số phức z1 = + 2i, z2 = – 3i Xác định phần thực phần ảo số phức z1 – 2z2
Ta có z1 – 2z2 = + 2i – 2( – 3i) = + 2i – + 6i = - + 8i Vậy phần thực - phần ảo
Bài 3: (đề thi tốt nghiệp 2010)(Nâng cao)
Cho số phức z1 = + 5i, z2 = – 4i Xác định phần thực phần ảo số phức z1.z2
Ta có z1.z2 = (2 + 5i)(3 – 4i) = – 8i + 15i – 20i
= – 8i + 15i + 20 = 26 + 7i
Vậy phần thực 26 phần ảo Tìm phần ảo số phức z, biết
( ) (1 )
z i i
(1 2i)(1 2i)
(5 2i)
z 2i
Phần ảo số phức z 2 Bài 3: (Đề thi đại học khối A 2010)
Gọi z1 z2 nghiệm phức phương trình:z
+ 2z +10 = Tính giá trị biểu thức A = z1
2
+ z2 ‟ = -9 = 9i2
do phương trình có nghiệm z = z1 = -1 – 3i
z = z2 = -1 + 3i A = z1
2
+ z2
(70)CHỦ ĐỀ 8: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
I.TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số y = – 2x2 y = x2+
Giải:
Ta có: 72x2 x2 4 0 3x2 3 x Vậy diện tích hình phẳng cần tính:
1 1
2 2
1 1
1
1
7 ( 4) 3 ( 3)
3
S x x dx x dx x dx
x x
Bài : Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số: yex;y2 đường thẳng x1
Giải :
Giải pt: ex 2xln2 Diện tích hình phẳng là: ln2
1
2
x
e
S dx
ln2
1
2 dx
x
e ( ex 2 không đổi dấu 1,ln2 ) ln2
1
ex x
eln2 2ln2e12.1
4e2ln2 e2ln24 ( đvdt)
Bài : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
yx 3x yx PT hoành độ giao điểm
3
0
4
2 x
x x x
x
(71)Diện tích
0
3
2
4 4 4 4 8(dvdt)
S x x dx x x dx
II.TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÕN XOAY
Bài 1: Cho hình phẳng giới hạn đường cong y = sin )
(x trục hoành (
-
x ) Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành cho hình phẳng quay
quanh trục Ox
Giải : PT hoành độ đường cong trục hoành : sin(x +
) = Giải PT có x =
4
x = 3
V = x ).dx
4 ( sin
4
4
V =
2 )]
2 cos(
[(
2
3
4
dx
x (đvtt)
Bài 2:
Cho hình phẳng (H) giới hạn đường y x y x 22 Tính thể tích khối trịn xoay (H) quay quanh trục hồnh
Phương trình hồnh độ điểm chung : x x2 2 x2 1 x Vì x 2x2 2, x [ 1;1] nên :
1
2 2 2
VOx [(4 x ) (x 2) ]dx [12 12x ]dx 16
1