De thi HSG

[r]

ubnd hun nam s¸ch

phịng giáo dục & đào tạo

k× thi chän häc sinh giỏi cấp huyện

môn thi: toán

Thời gian làm 150 phút -Câu (2,0 điểm)

Cho    

 2  

x

A

x x x x

a Rót gän biểu thức A

b Tính giá trị A biÕt x 2

 

C©u (2,0 điểm)

Cho hệ phơng trình (a 1) x y

a x y a

   

 

 

a Giải hệ phơng trình a 

b Xác định giá trị a để hệ có nghiệm thỏa mãn x + y >

Câu (2,0 điểm)

a Cho 2

x  6x 13  x 6x10 HÃy tính giá trị 2

A  x  6x 13  x  6x10

b Tìm nghiệm nguyên dơng phơng trình (x + 2y)(3x + 4y) = 96

C©u (3,0 ®iĨm)

Cho ABCnhọn (AB < AC) nội tiếp đờng trịn tâm O Đờng phân giác góc A cắt cạnh BC D; cắt đờng tròn tâm O M

a Chøng minh r»ng BMC ABC  ACB b MB MC MD MA

c Kẻ đờng cao AH



H BC



Chứng minh OAH ABC ACB

Câu (1,0 điểm)

Cho P x  xy 3y  x 1 T×m giá trị nhỏ P

-Họ tên: SBD Chữ kí GT 1:

Đáp ¸n - M«n To¸n

(HS cã thĨ chứng minh cách khác)

Câu Nội dung Điểm

x A

x (x 2)(x 3) x



  

    0.25

(x 2)(x 2) (x 3) A

(x 2)(x 3)

    



  0.25

x A x    0.25 b

V× x > 0; ta cã x2 3

  

 0.25

x   0.25

Thay vµo biĨu thøc A

3 3

  

 

   0.25

A ( 5)( 3) ( 3)( 3)

  

 

  0.25

2

a

Thay a  ta đợc hệ (1 ) x y (1)

2 x y (2)

             0.25

(1 2) x

2 x y

              0.25 x

1 2 2 y

1 2

             

KÕt luËn 0.5

b (a 1) x y 3 (1) (2a 1) x a 3

a x y a (2) a x y a

                     0.25 2

2

2          a a x a a a y a 0.25 Ta cã 2

3

2 2

   

   

  

a a a a a

x y

a a a

Ta cã a2 - a + > nªn x + y > 2a + > Hay

2

 

a (Tháa m·n)

KÕt luËn

3

a

Đặt

x 6x 13 a ; x2  6x 10 b 0.25

-> a2 - b2 = 0.25

-> (a - b)(a + b) = 3; Ta cã a - b = -> 1.(a + b) = 0.25

VËy 2

x  6x 13  x  6x 10 = 0.25

b

Ta cã (x + 2y)(3x + 4y) = 96; x + 2y + 3x + 4y = 4x + 6y Nên (x + 2y) (3x + 4y) chẵn;

Mặt khác < x + 2y < 3x + 4y V× vËy ta xÐt 96 = 4.24 = 6.16 = 8.12

0.25

XÐt c¸c trêng hỵp:      

  

 

x 2y x 16

(Lo¹i)

3x 4y 24 y

     

  

 

x 2y x

(Tháa m·n)

3x 4y 16 y

     

  

 

x 2y x

(Lo¹i)

3x 4y 12 y

0.5

KÕt luËn 0.25

4

VÏ h×nh

0.25

a

Ta cã ABC AMC (gãc néi tiÕp ch¾n 

AC) 0.25

 

ACB AMB (gãc néi tiÕp ch¾n AB ) 0.25

Céng vÕ víi vÕ - KÕt luËn 0.25

b Ta cã BAM CAM (gt)  MB MC  MB MC (1) 0.25

XÐt



 

 

  

 

AMB chung MBD vµ MAB cã

MBD MAB



E

O

D H

M

C B

A

MBD MAB (gg)  MB MA

MD MB

 MB.MB = MA.MD (2) 0.5 Tõ (1) vµ (2)  MB MC MD MA 0.25

c

Kẻ đờng thẳng BE  AO, E(O)

   

AB AE ACB ABE

    (1) (Hai gãc néi tiÕp ch¾n cung b»ng nhau)

0.25

Mặt khác OAH CBE (2) (Hai góc có cạnh tơng ứng vuông góc) 0.25

Ta lại cã ABE  CBE ABC (3) (v× tia BE nằm tia BA BC) 0.25

Từ (1); (2); vµ (3)  ACB  OAH ABC Hay OAH ABC  ACB

0.25

5

§K x; y 0

P x  xy  y 1 x  y  y  2y 0.25

2

P ( x  y ) 1 2( x  y ) y  2y 0.25

2

P ( x y 1) (2 y 1)

2

      0.25

1

P y ; x

2 4