De thi HSG 9

Chứng minh rằng phương trình nếu có nghiệm thì các nghiệm ấy không thể là số hữu tỉ. Vẽ đường tròn tâm M tiếp xúc với AB tại H. Từ A và B vẽ hai tiếp tuyến tiếp xúc với đường tròn tâm M[r]

Sở Giáo dục - Đào tạo TP.Hồ Chí Minh

KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9-THCS CẤP THAØNH PHỐ Năm học 2006 – 2007 MƠN TỐN

Thời gian làm : 150 phút (không kể thời gian phát đề) ĐỀ CHÍNH THỨC

Câu 1 : (3 ñ)Thu gọn biểu thức: a)A 62 5 29 12 b) B 8 8 20 40 c)

) 11 )(

12

6 15

( 

      C Câu 2 : (3 đ)

a) Chứng minh : (xyz)2 3(x2 y2 z2) , x,y,zR

b) Cho

1 ,

4 ,

4 ,

1    



 y z x y z

x

Chứng minh : 4x 1 4y 1 4z 1 21 Dấu xảy x, y, z bao nhiêu? Câu 3 : (4 đ)

Giải hệ phương trình phương trình:

a)        

 

 

 

13 36 x z

zx 18 y

yz 12 y x

xy

z

b)

2

2

8

4 x x

x

   

Câu 4 : (2 đ) Cho phương trình : ax2 bxc0 có hệ số a,b,c số nguyên lẻ

Chứng minh phương trình có nghiệm nghiệm khơng thể số hữu tỉ Câu : (4 đ)

Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB 2R Gọi M điểm chuyển động nửa đường tròn (O) ( M khác A B) Vẽ đường tròn tâm M tiếp xúc với AB H Từ A B vẽ hai tiếp tuyến tiếp xúc với đường tròn tâm M C D

a)Chứng minh ba điểm M, C, D nằm tiếp tuyến đường tròn (O) M b)Chứng minh tổng AC + BD khơng đổi Tính tích số AC.BD theo CD

Tam giác ABC nội tiếp đường trịn (O) cĩ ACB = 45o Đường tròn đường kính AB cắt AC BC M N Chứng minh MN vng góc OC MN =

AB .

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN 9 Năm học 2010 – 2011

Câu 1: (1đ) Cho biểu thức: A =

y xy x

y x y

y x x

xy y

x y y x x

xy y

x  

 

   

  

 

     

  

 

 :

3

3

1 Tìm điều kiện x, y để A có nghĩa Rút gọn A

3 Khi x = y

Chứng minh < A 

Câu 2: (4đ) Cho đường thẳng (d) y = mx – m +2 parabol (P): y = x2 Chứng minh (d) qua điểm cố định với giá trị m Chứng minh (d) cắt (P) hai điểm với giá m

3 Gọi x1, x2 hoành độ giao giao điểm (d) (P) Hãy tìm GTNN GTLN biểu thức

A =

) (

2

2 2

2

 



 x x x

x

x x

Câu 3: (4đ) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) Hai đường thẳng AD BC cắt E, hai đường thẳng AB CD cắt F

Chứng minh : EA.ED + FA.FB = EF2.

Câu 4: (6đ) Cho nửa đường tròn tâm (O) đường kính AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn, vẽ hai tiếp tuyến Ax, By nửa đường tròn Trên Ax lấy điểm C, By điểm D cho: AC + BD = CD

a) Chứng minh rằng: CD tiếp tuyến (O), AB tiếp tuyến đường tròn đường kính CD

b) Tìm vị trí C Ax để diện tích tứ giác ABCD nhỏ Câu 5: (2đ) Giải phương trình nghiệm nguyên:

Hướng dẫn chấm đáp số. Câu 1:

1 ĐK: x 0; y 0; xy (0,5đ)

2 Rút gọn được: A =

y xy

x 

1

(2đ) Từ x =

y

 y = thay vào A ta được:

A =   y y y (0,5đ) 0 1 y 0) x 0, y = (x.y > y

2  

                    A y y (0,5đ)

Mặt khác: – A = -

1   y y y = 1 2     y y y y

=

1 ) ( 2     y y y

(Dấu “=” y = x = 1)

 – A   A1

Vậy < A 

Câu 2:

1 Gọi (x0, y0) tọa độ điểm cố định Tức là: y0 = mxo – m + có nghiệm, m

 m(x0 – 1) – y0 + = m                2 0 0 y x y x

Vậy (d) đI qua điểm cố định A(1;2) với giá trị m (1đ) Hoành độ giao điểm (d) (P) nghiệm phương trình:

x2 = mx – m +  x2 – mx + m -2 = (1) Ta có:  = m2 – 4(m – 2)

= m2 – 4m + = m2 – 4m + 8 = m2- 4m + + 4

= (m – 2)2 + > m  22 0

 

m

Vậy pt (1) ln có nghiệm phân biệt  (d) cắt (P) điểm phân biệt (1đ) Câu 2: Ta có x1, x2 hai nghiệm (1)

Theo Vi – ét ta có:   

 

 

2

1

m x x

m x x

2 2 ) (

5

) (

2

2

2

2

2 2

2

    

 

  



 



m m x

x x x A

x x x

x

x x A

(1đ)

 Am2- 2m + 2A – = (2) Nếu A =  m =

2 

Nếu A  0 pt (2) có nghiệm m

 ’ = – A(2A – 1)   1 + A – 2A2  0

 (1 – A)(1+2A) 



2

  

A

A =

2 

thay vào ’ (2)  m = -2

A = thay vào  ’ (2)  m =

Vậy GTNN A =

1 

m = -2 GTNN A = m =

1đ Câu 3:

*Vẽ đường tròn ngoại tiếp ABC, cắt EF điểm M

*Dễ dàng chứng minh được: FA.FB = FM.FE (1) (2đ

c1

C

B M

E

D

A

ABE AME(cùng = SdAE

) Suy ra: EDF AME

Xét EAM EFD có: E chung,EDF AME

Do đó: EAM ~EFD(g.g)

Suy ra: EAED EM EF

ED EM EF EA

 

 (2)

Từ (1) (2) ta có: FA.FB + EA.ED = EF(FM + EM) = EF.EF = EF2 (đpcm) (2 đ)

Câu 4:

* Kéo dài DE cắt tia đối tia Ax K * Kẻ OM  CD ( m  CD)

1) Chứng minh OAD = OAK

(1,5đ)

 CKD cân C

( AC + BD = CD  AC + AK = CD  CK = CD)

 CO  KD ; ( trung tuyến đường cao, đường phân giác)

(2đ)

2 Chứng minh AOC = MOC ( cạnh huyền, góc nhọn)  OM = OA =

2 AB

 CD tiếp tuyến ( O ; AB

) Lấy N trung điểm CD

xét tứ giác ABCD có AC // BD ( vng góc AB)

mặt khác OA = OB; NC = ND  ON đường trung bình tứ giác ABDC

 ON = (AC + BD) : = CD :  O  (N;

2 CD

) Mặt khác ON = AC  ON  AB

4 Ta có SABDC =  

2

CD AB AB

BD AC

    



SABDC nhỏ  CD nhỏ nhất.

Mà CD AD  CD = AB  ABCD hình chữ nhật

 AC = BD = AB

Vậy C  Ax cho AC = AB

Vậy C Ax cho AC = AB

 SABDC nhỏ nhất.

Câu5: Viết phương

x2 + 2(2y + 1)x + 3y2 + 4y – = 0 (1)

Phương trình có nghiệm nguyên khi:

’ = (2y + 1) – (3y2 + 4y – 9) = v2 (v nguyên)  y2 + 10 = v2

(2) Vì v, y tính chẵn, lẻ

Đặt v = y + 2u, thay vào (2) ta

2(u2 + u) = (3)

Ta thấy hai vế (3) khác tính chẵn, lẻ  (3) vô nghiệm  (1) vô nghiệm.

Chú ý: - HS khơng vẽ hình khơng chấm điểm hình