Co so ly thuyet chuyen dong quay cua Vat ran

[r]

Chương

ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN

Chương nghiên cứu phương trình động lực học vật rắn, đặc biệt là chuyển động quay vật rắn quanh trục cốđịnh

§3.1 – VẬT RẮN

1 – Khái niệm vật rắn:

Hệ chất điểm là hệ gồm nhiều vật mà vật coi chất điểm Các chất điểm hệ tương tác lẫn nhau, lực tương tác gọi nội lực; đồng thời tương tác với vật bên hệ, lực tương tác gọi ngoại lực

Vật rắn là hệ chất điểm phân bố liên tục (theo góc độ vĩ mơ) miền khơng gian mà khoảng cách hai chất điểm không thay đổi

Như vậy, vật rắn ln có hình dạng, kích thước thể tích định Trên thực tế, khơng có vật rắn tuyệt đối Bởi lẽ, ảnh hưởng điều kiện bên như: nhiệt độ, áp suất, lực tác dụng, … khoảng cách phần tử vật có thay đổi đôi chút Tuy nhiên, phạm vi khảo sát, thay đổi khơng đáng kể ta coi vật vật rắn

2 – Tính khối lượng vật rắn:

Trong chương 2, ta biết khối lượng đại lượng đặc trưng cho mức quán tính mức hấp dẫn vật Trong phạm vi giới hạn Cơ học cổđiển, khối lượng đại lượng bất biến Do khối lượng hệ lập ln bảo toàn

Khối lượng m hệ chất điểm tổng khối lượng phần tử tạo nên

hệ: =∑

i i m

m (3.1)

Vật rắn hệ chất điểm phân bố liên tục miền Ω nên khối lượng vật rắn

được tính bởi: ∫ (3.2)

Ω

= dm m

với dm vi phân khối lượng m (chính khối lượng phần tử nhỏ bé cấu tạo nên vật rắn)

Trường hợp vật rắn phân bố liên tục thể tích V (hình 3.1), điểm khảo sát M, ta lấy yếu tố thể tích dV bao quanh M, gọi dm khối lượng vật chất chứa yếu tố dV, ta định nghĩa mật độ khối lượng khối :

ρ(M) =

dV dm

Khi đó, dm = ρ(M)dV =∫∫∫ρ (3.4) V

dV ) M ( m

Nếu vật rắn đồng (hay nhất) ρ = const (lúc ρ khối lượng riêng chất liệu cấu tạo nên vật rắn) Khi (3.4) trở thành:

m = ρV (3.5)

Tương tự, hệ phân bố liên tục bề mặt (S) (hình 3.2), ta định nghĩa mật độ khối lượng mặt:

dS dm ) M ( =

σ (3.6)

với dm khối lượng vật chất chứa yếu tố diện tích dS Khi ta có:

dm = σ(M)dS =∫∫σ (3.7)

S

dS ) M ( m

Nếu hệ phân bố liên tục chiều dài L (hình 3.3), ta định nghĩa mật độ khối lượng dài: λ =

A

d dm

(3.8)

với dm khối lượng vật chất chứa yếu tố chiều dài dA Khi ta có:

dm = λd A (3.9)

L

m= λ∫ (M)dA

Nếu hệthuần nhất từ (3.7), (3.9) ta có: m = σS = λL (3.10)

dV M

b) Yếu tố diện tích dS bao quanh M

dS M

dA M

c) Yếu tố chiều dài d bao quanh M A a) Yếu tố thể tích

dV bao quanh M

Hình 3.1

§3.2 KHỐI TÂM

Khi nghiên cứu chuyển động hệ chất điểm hay chuyển động vật rắn, số trường hợp rút gọn chuyển động điểm đặc trưng cho hệđó Điểm đặc biệt khối tâm hệ

1 – Định nghĩa khối tâm: M

2 G M1

Khối tâm định nghĩa xuất phát từ tốn tìm trọng tâm (điểm đặt trọng lực) hệ chất điểm Xét hai chất điểm M1 M2 có khối lượng m1 m2 Trọng lực tác dụng lên chất điểm Hợp lực

có điểm đặt G cho:

P →

2 P →

1 P →

2 P

→ →

P →P

→

2

P →

1 P

1 2

1

m m P P G M

G M

=

= Hình 3.2: Khối tâm hệ chất điểm

⇒ m1.M1G – m2.M2G = hay (3.11) 0

G M . m G

M .

m1 →1 + 2 →2 =

Điểm G thỏa mãn (3.11) gọi khối tâm hệ chất điểm M1 M2

Trường hợp tổng quát, hệ có n chất điểm có khối lượng m1, m2, …, mn đặt tương ứng điểm M1 , M2 , … , Mn , ta định nghĩa khối tâm hệ điểm G thoả mãn: m1M→1G+m2M→2G+ +mn M→nG =0

hay: m 0 (3.12)

n

i =

∑

=

→

1 i

iG M Với vật rắn, khối tâm điểm G thỏa mãn:

∫MG→ dm= ∫MG→ ρdV=0 (3.13)

Vật rắn Vật rắn

Ví dụ, khối tâm đĩa tròn đồng chất, khối lượng phân bốđều tâm đĩa (giao điểm hai đường kính); khối tâm miếng sắt mỏng đồng chất, hình chữ nhật giao điểm đường chéo, …

Cần phân biệt hai thuật ngữ “khối tâm” “trọng tâm”! Trọng tâm G’ hệ điểm đặt trọng lực tác dụng vào hệ, nghĩa vị trí G’ khơng phụ thuộc vào vị trí, khối lượng phần tử cấu tạo nên hệ mà phụ thuộc vào gia tốc trọng trường Trong vị trí khối tâm G không phụ thuộc vào gia tốc trọng trường

Trên thực tế, hầu hết kích thước hệ vật lí mà ta khảo sát khơng lớn, gia tốc trọng trường không đổi điểm G’ trùng với G Việc phân biệt vị trí G’ G khơng cần thiết!

Ví dụ 3.1: Hệ ba chất điểm có khối lượng nhau, đặt ba đỉnh tam giác ABC Xác định khối tâm hệ

Giải

Theo định nghĩa, khối tâm G thỏa: m1AG→ +m2BG→ +m2CG→ =0 Vì m1 = m2 = m3 = m nên: AG+BG+CG=0

→ → →

Điểm G thỏa phương trình trọng tâm (giao điểm ba trung tuyến) tam giac ABC

2 – Toạ độ khối tâm:

Trong kỹ thuật, việc xác định xác khối tâm vật rắn quan trọng, vật rắn có chuyển động quay Xác định khối tâm G theo định nghĩa (3.12) (3.13) phức tạp Trong thực hành, ta xác định G cách tìm giao điểm trục đối xứng Phương pháp đặc biệt tiện lợi vật phẳng đồng

Trong lí thuyết, ta dùng phương pháp tọa độ Chọn điểm O làm gốc tọa độ, vị trí khối tâm G xác định vectơ bán kính Áp dụng “qui tắc điểm” điểm O, G M

→ →

=OG rG

i bất kì, ta có:

→ →

→

+

=OM M G

OG i i

Nhân hai vế phương trình với mi lấy tổng theo i, ta có:

→ →

→

+

=m OM m M G

OG

mi i i i i

và n i n i i n i

i i i

m OG→ m OM→ m M G

= = =

= +

∑ ∑ ∑ i

→

i

→

Vì OG→ khơng phụ thuộc vào số chạy i nên ta đưa dấu tổng:

n n n

i

i i i

i i i

OG→ m m r→ m M G

= = =

= +

Mà theo định nghĩa (3.12), ta có: MG 0 i i = ∑ = → n i m

Vậy: rG

∑ ∑ = = → → → = = n i i n i i i m r m

OG (3.14)

Trong hệ toạđộ Descartes, vectơ có tọa độ nên khối tâm G hệ có

tọa độ:

→

i

r (xi,yi,zi)

G ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ = = = = = = n i i n i i i n

1 i i n

1 i i i n

1 i i n

1 i i i

m z m ; m y m ; m x m (3.15)

Với vật rắn tọa độ G là:

⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = ∫ ∫ ∫ m zdm z ; m ydm y ; m xdm

xG vật rắn G vật rắn G vật rắn (3.16)

Trong (x,y,z) tọa độ yếu tố khối lượng dm; m khối lượng vật rắn Ví dụ 3.2: Có ba chất điểm khối lượng m1 = m2 = 2mo, m3 = 6mođặt ba đỉnh A, B, C tam giác đều, cạnh a Xác định khối tâm G hệ Phải tăng hay giảm khối lượng m3đi để khối tâm G trùng với trọng tâm ∆ABC?

Giải

m3

Am1

x C G

O

Dễ thấy, hệ đối xứng qua đường cao OC, nên G nằm OC Chọn trục Ox hình vẽ Theo (3.15), ta có:

3 3 2 1

G m m m

x m x m x m x + + + + =

Dễ thấy: x1 = xA = 0; x2 = xB = 0; B

m2

x3 = xC = a 3/2

Hình 3.3 Suy ra: 10 3 a 3 m 10 2 / 3 a m 6 0 0 x o o G = + + =

Để G trùng với trọng tâm ∆ABC :

6 3 a 3 x x x

x A B C

G =

6 3 a m m 2 m 2

2 / 3 a m 0 0

3 o o

3 =

+ +

+ +

⇒ ⇒ m3 = 2mo dA=Rdϕ

x x

R -α

α ϕ Vậy phải giảm khối lượng vật m3 lượng ∆m = 4mo O

Ví dụ 3.3: Xác định khối tâm vật thể hình cung trịn đồng nhất, bán kính R, chắn góc tâm 2α

Giải

Chọn trục Ox đường phân giác góc tâm

hình (3.4) Dễ thấy Ox trục đối xứng hệ Suy khối tâm G phải nằm Ox

Hình 3.4:

Xét yếu tố dài chắn góc tâm dϕ Hồnh độ yếu tố là: x = Rcosϕ; khối lượng chứa dAdA dm = λdA = λRdϕ Theo (3.16), ta có:

α α =

α λ

ϕ λ

= ϕ λ ϕ =

= ∫ ∫ ∫

α

α

− Rsin

2 . R

cos R m

Rd . cos R m

xdm x

2 L

L

G (3.17)

trong λ mật độ khối lượng dài cung tròn; m = λR.2α khối lượng cung tròn

Vậy khối tâm vật thể hình cung trịn đồng nằm phân giác góc ởđỉnh, cách tâm đoạn xG xác định (3.17)

dS = r.dr.dϕ

r

R

dϕ

x

ϕ

dr

Ví dụ 3.4: Xác định khối tâm vật thể hình quạt trịn đồng nhất, bán kính R, chắn góc tâm 2α

Giải

x O

Tương tự ví dụ ta suy khối tâm G hình quạt đồng nằm trục đối xứng Ox (đường phân giác góc tâm)

Xét yếu tố diện tích dS Trong hệ tọa độ cực, ta có dS = r.dr.dϕ Khối lượng chứa dS dm = σdS; hoành độ dS x = r.cosϕ Hoành độ khối tâm G là:

Hình 3.5

m dS cos r m

xdm

x S S

G

∫∫

∫ ϕσ

=

=

m d dr r cos r

S

∫∫ ϕσ ϕ

α α = α σ ϕ ϕ σ = ⇒ ∫ ∫ α α − 3 sin R 2 R . d cos . dr r x 2 R

G (3.18)

Trong đó, m = σ.S = σ.αR2 là khối lượng của hình quạt

Vậy khối tâm vật thể hình quạt đồng nằm phân giác góc ởđỉnh, cách tâm đoạn xG xác định (3.18)

Ví dụ 3.5: Xác định khối tâm vật thể hình nón đồng nhất, đường cao h

Giải

Chia hình nón thành phần nhỏ, có dạng đĩa trịn bán kính r, bề dày dx (hình

3.6) Ta có:

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ρπ ρπ = ρ ρ = = vật rắn vật rắn vật rắn vật rắn vật rắn

m r .dx

dx . r x dV dV x dm . x x 2 G h dx ) x h ( dx ) x h ( x dx tg ) x h ( dx tg ) x h ( x x h h 2 2 G = − − = α − α − = ∫ ∫ ∫ ∫ vật rắn vật rắn

Vậy, khối tâm khối hình nón đồng nằm trục hình nón, cách đáy khoảng:

4 h

xG = (3.19)

3 – Chuyển động khối tâm: Vận tốc khối tâm:

dx O h 4 r G O

h – x x

α

x

h

i ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ = = → = = → = = → → → = = = = n i i n i i n i i n i i i n i i n i i i G G m v m m dt r d m m r m dt d dt r d

v (3.20)

Tương tự, gia tốc khối tâm: aG

∑ ∑ = = → → → = = n i i n i i i G m a m dt v d (3.21)

Gọi tổng ngoại lực nội lực tác dụng lên chất điểm thứ i; m = khối lượng toàn hệ Theo (2.6) ta có :

→ → i f aø v Fi ∑mi

→ →

→

=

+ i i i

i f m a F

Suy ra:

m f F aG ∑ ∑i i

→ →

→ +

=

Mà theo định luật III Newton, vật hệ tương tác lực trực đối, nên tổng nội lực ∑f→i =

Vậy: ∑ → ∑→

→ →

=

= i G i

G hay ma F

m F

a (3.22)

(3.22) phương trình chuyển động khối tâm Từđó ta thấy rằng, khối tâm của hệ chuyển động chất điểm có khối lượng tổng khối lượng vật tronghệ

§ 3.3 CHUYỂN ĐỘNG CỦA VẬT RẮN

Trong chương 1, nghiên cứu tính chất chuyển động chất

điểm Vật rắn có chuyển động riêng dạng chuyển động, có tính chất đặc trưng riêng Giáo trình nghiên cứu chuyển động song phẳng vật rắn, nghĩa trình chuyển động, điểm vật rắn ln có qũi đạo nằm mặt phẳng song song với mặt phẳng cốđịnh

1 – Vật rắn tịnh tiến:

Chuyển động vật rắn gọi tịnh tiến đoạn thẳng nối hai điểm vật rắn ln song song với (có phương không đổi)

Xét điểm M vật rắn khối tâm G vật rắn Chọn điểm O làm gốc tọa độ, theo qui tắc điểm ta có:

M G G

M

OM→ =OG→ + GM→ hay r→M =r→G + GM→

Hình 3.7: Chuyển động tịnh tiến vật rắn Suy ra:

dt GM d dt

r d dt

r

d →M →G → + =

Vì vật rắn tịnh tiến nên vectơ GM→ khơng đổi Do =0

→

dt GM d

. Vậy: hay v→M v→G

→ →

= =

dt r d dt

r

d M G

(3.23)

Khi vật rắn tịnh tiến điểm vật rắn vạch qũi đạo giống nhau với vận tốc với vận tốc khối tâm Do chuyển động vật rắn trường hợp qui chuyển động khối tâm Nói cách khác, tồn vật rắn coi chất điểm có khối lượng khối lượng toàn vật rắn, đặt khối tâm G

2 – Vật rắn quay quanh trục cố định:

độ lớn: v = ωR (3.25) - Gia tốc tiếp tuyến: a→t = →β xR→ (3.26)

và độ lớn: at = βR (3.27) - Gia tốc pháp tuyến: a 2R (3.28)

n =ω

- Gia tốc toàn phần: →a =a→t+a→n (3.29) độ lớn:

n t a

a

a= + (3.30)

Ví dụ 3.6: Một dây cuaroa truyền động, vịng qua vơlăng I bánh xe II Bán kính vơlăng R1 = 10cm; bánh xe R2 = 50cm Vôlăng quay với vận tốc 720 vịng/phút bị ngắt điện, quay chậm dần đều, sau 30 giây vận tốc cịn 180 vịng/phút Tính vận tốc quay bánh xe trước ngắt điện, số vịng quay vơlăng bánh xe khoảng

trời gian Sau bao lâu, kể từ lúc ngắt điện, hệ thống dừng? Tính vận tốc góc trung bình vơlăng bánh xe khoảng thời gian từ lúc ngắt điện đến lúc dừng (dây cuaroa không bị trượt vôlăng bánh xe)

ω

M

→

ω →

R

Hình 3.8: Chuyển

động quay vật rắn quanh trục

cốđịnh.

Giải

Gọi ω1 ω2 vận tốc góc vôlăng bánh xe; ω01 ω02 vận tốc góc ban đầu chúng Ta có: ω01 = 720 vòng/phút = 24π rad/s

t1 = 30s; ω1 = 180 vịng/phút = 6π rad/s Vì dây cuaroa khơng bị trượt vôlăng bánh xe nên điểm tiếp xúc vôlăng – dây cuaroa, bánh xe

– dây cuaroa ln có vận tốc dài Suy ra: ω1R1 = ω2R2 ; ω01R1 = ω02R2

R2 R1

Hình 3.9

Vậy vận tốc quay bánh xe trước ngắt điện là:

144 720 50 10 R

R

1 o 2

o = ω = =

ω vịng/phút = 4,8π rad/s

Gia tốc góc vôlăng: β = ω −ω = π− π =−0,6π 30

24 t1

1 o

1 rad/s2

Góc mà vơlăng quay thời gian t1 = 30s: π = π − π = β + ω =

θ t 24 .30 0,3 .30 450

2 1

t 2

1 1 o

Vậy, vôlăng quay N1 = 225 vòng

Số vòng quay bánh xe thời gian t1 = 30s: N2 = N

R R

= 45 vịng

Ta có: ω1 =ωo1+β1t Khi dừng: ω1 = Suy t 40s

1 o =

β ω − =

Vậy, hệ thống dừng lại sau 40s kể từ lúc ngắt điện Góc mà vơlăng quay thời gian t = 40s:

π = π − π = β + ω =

θ t 24 .40 0,3 .40 912

2 1

t 2

1

o rad

Vận tốc góc trung bình vơlăng: ω = θ = π =22,8π 40

912 t

tb

1 rad/s

Vận tốc góc trung bình bánh xe: ω = ω =4,56π R

R

tb tb

2 rad/s

3 – Chuyển động phức tạp vật rắn:

Khi vật rắn có chuyển động phức tạp (nhưng song phẳng), ta phân tích thành hai chuyển động đồng thời: tịnh tiến quay Để chứng minh điều này, ta xét điểm M N vật rắn chọn điểm O làm gốc tọa độ Theo qui tắc điểm ta có: Lấy đạo hàm hai vế theo thời gian, ta có:

→ → → →

→ →

+ = +

=ON NM hay r r NM

OM M N

dt NM d v

vM N

→ →

→

+ =

Vectơ có độ lớn khơng đổi, có phương thay đổi, nên ta tìm trục quay (∆) tức thời cho quay quanh N với vectơ vận tốc góc thỏa mãn phương trình:

→ NM

→

NM ω→

→ → →

→ →

= ω

= xR NM

dt NM

d với R

(3.31)

Do ta viết: v→M =v→N + ω→ xR→ (3.32) Như vậy: Nếu chọn điểm N điểm chuyển động điểm M (bất kỳ vật rắn) bao gồm hai chuyển động:

Khi chọn điểm khác vận tốc tịnh tiến điểm M khác vận tốc góc khơng thay đổi Trong toán, ta thường chọn điểm khối tâm vật rắn Khi (3.32) trở thành:

→ ω → → → → ω +

=v x R

vM G với R→ =GM→ (3.33)

Tóm lại: Chuyển động vật rắn ln phân tích thành hai chuyển động

đồng thời: tịnh tiến điểm quay quanh trục qua điểm Thơng thường, ta chọn điểm khối tâm G vật rắn.

Ví dụ 3.7: Bánh xe hình đĩa trịn, lăn khơng trượt đường nằm ngang với vận tốc tịnh tiến vo Xác định vectơ vận tốc, qũi đạo quãng đường (sau hai lần liên tiếp tiếp xúc với mặt đường) điểm vành bánh xe

Giải Xét điểm M vành

bánh xe Chọn hệ trục toạ độ Oxy hình 3.10 Gốc toạ độ gốc thời gian vị

trí thời điểm M tiếp xúc với mặt đường y Đường cong cycloid o v → O M A D → M v → →

ωxR

G

x Hình 3.10: Qũi đạo, vận tốc điểm M vành bánh xe

Do bánh xe lăn không trượt nên vận tốc dài điểm M có độ lớn với vận tốc tịnh tiến bánh xe: vM = ωR = vG = vo

Vận tốc điểm M: v→M =→vG+ω→ xR→ = (*)

→ → →

ω

+ xR

vo Chiếu (*) lên trục tọa độ Ox, Oy ta có:

⎩ ⎨ ⎧ ω = ϕ ω + = ω − = ω − = ϕ ω − = t sin v sin R v ) t cos ( v t cos v v cos R v v o y o o o o x (3.34)

trong ϕ = MGAq= ωt : góc mà điểm M quay thời gian t Suy ra, độ lớn vận tốc điểm M:

| 2 t sin | v ) t cos 1 ( 2 v v v

v o o

y x M ω = ω − = +

Nếu ta chọn điểm điểm A v→M =ω→ xAM→ Suy →vM ⊥AM→ Vậy: phương v→M qua đỉnh D bánh xe

(3.34) suy phương trình chuyển động M:

⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧

ω − = =

ω −

= ω ω − = =

∫ ∫

) t cos 1 ( R dt v y

t sin R t v ) t sin 1 t ( v dt v x

t

y

o o

t

x

(3.36)

(3.36) biểu diễn đường cong cycloid Vậy quĩđạo M đường cong cycloid Khoảng thời gian hai lần liên tiếp điểm M tiếp xúc với mặt đường chu kì quay quanh khối tâm: T =

ω π 2

Trong khoảng thời gian này, điểm M quãng đường: =∫ → = ∫ ω

T o o T

0

M |dt

2 t sin | v dt | v |

s = 8R (3.37)

§ 3.4 PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN 1 – Tổng quát:

Chuyển động phức tạp vật rắn phân tích thành hai chuyển động đồng thời Vì thế, mơ tả chuyển động vật rắn mặt động lực học, ta có hai phương trình:

• Phương trình mơ tả chuyển động tịnh tiến khối tâm G:

→ →

=F dt

p d

hay m→a =→F (3.38)

Với: →F=∑F→i tổng ngoại lực tác dụng lên vật rắn;

∑ → →

→

= = mivi mvG

p động lượng vật rắn;

→

a gia tốc tịnh tiến vật rắn (gia tốc khối tâm) • Phương trình mơ tả chuyển động quay quanh trục ∆ qua khối tâm G:

dt L d→

Với: →= ∫ → mơ men động lượng vật rắn;

vật raén

A

d L

M→ = ∑(r→ixF→i)là tổng momen ngoại lực trục ∆

Hai phương trình (3.38) (3.39) mơ tả chuyển động vật rắn Nếu xét hệ trục Oxyz ta có phương trình vi phân Tuy nhiên, phạm vi giáo trình này, ta khảo sát chuyển động đặc biệt vật rắn, nên việc giải phương trình sẽđơn giản

Trước hết, chuyển động vật rắn tịnh tiến từ (3.38) ta thấy, chuyển động qui chuyển động khối tâm G việc khảo sát giống chuyển động chất điểm G có khối lượng m

Dưới dây ta khảo sát chi tiết chuyển động quay vật rắn quanh trục cốđịnh ∆

2 – Phương trình động lực học vật rắn quay quanh trục cố định:

Xét vật rắn quay quanh trục cố định ∆ với vận tốc góc ω Theo (2.57) ta có mơmen động lượng vật rắn là:

→ ∆ →

→ →

→

ω = ω

= ω =

= ∫d ∫dI ∫dI I

L

vật rắn vật rắn

vật rắn

A (3.40)

Với: ∆ = ∫ = ∫ (3.41)

vật rắn vật rắn

dm r dI

I

là mơmen qn tính vật rắn trục quay ∆

Chiếu (3.40) lên trục ∆, ta có: L∆ = I∆ω (3.42)

Suy ra: ∆ = ∆ω = ∆ ω =I∆β dt d I dt

) I ( d dt dL

(3.43)

Chiếu (3.39) lên trục ∆ kết hợp (3.43), ta có: I∆β=M∆ (3.44) (3.44) phương trình động lực học vật rắn quay quanh trục ∆ cốđịnh Trong đó: β gia tốc góc; M∆ tổng đại số mơmen ngoại lực trục quay ∆; I∆

mômen quán tính vật rắn trục ∆ Về hình thức, (3.44) giống phương trình (2.6) động lực học chất điểm, đó, mơmen qn tính I đóng vai trị giống khối lượng m Vì khối lượng đặc trưng cho mức qn tính nên mơmen qn tính đặc trưng cho mức qn tính chuyển động quay Do đó, người ta cịn gọi mơmen qn tính I qn tính quay

3 – Tính mơmen lực trục ∆:

Để tìm hiểu rõ tác dụng làm quay vật rắn quanh trục ∆ ngoại lực , ta phân tích thành thành phần (xem hình 3.11):

→ F →

F

→ → → ⊥ → → →

+ + = +

=F// F F// Fn Ft

F (3.45)

• Thành phần có phương song song với trục ∆, nên có tác dụng làm vật rắn trượt theo trục ∆ Thành phần sẽđược cân phản lực trục ∆

→

// F

• Thành phần nằm mặt phẳng vng góc với trục quay, lại phân tích thành hai thành phần:

⊥ → F

→

n F F→t • Thành phần nằm pháp tuyến

qũi đạo điểm M, có tác dụng kéo vật chuyển động vng góc với trục ∆ Thành phần cân phản lực trục quay ∆

→

n F

→

ω

ω

→

n F

t F →

→ ⊥ F → F →

//

F

M

• Thành phần hướng theo tiếp tuyến qũi đạo điểm M, thành phần thực làm vật rắn quay quanh trục ∆

→

t F

Hình 3.11: Chỉ có thành phần tiếp tuyến lực gây

tác dụng làm quay vật. Vậy, chỉ có thành phần tiếp tuyến

lực thực gây tác dụng làm quay vật rắn

Suy mômen ngoại lực trục quay ∆ (gọi tắt mômen quay) là:

→ F

⇒

t F x R M∆ → →

→

= M∆ =Ft.R =F⊥.d=F⊥.Rsinθ (3.46) với R bán kính quĩ đạo điểm M (điểm đặt ngoại lực); d = Rsin θ cánh tay địn; θ góc R→ thành phần ⊥ (xem hình 3.12)

→ F

Từ (3.46) suy ra, mômen quay lớn lực nằm vng góc với trục quay vng góc với vectơ bán kính

→ F →

Nếu có nhiều ngoại lực tác dụng vào vật rắn tổng mơmen ngoại lực là:

∑ → → ⇒ (3.47)

∆ →

= i

ti ixF ) R (

M ∆ =∑

i ti i R . F M

Ví dụ 3.8: Lực F = 10N tác dụng vào vật rắn có trục quay cố định Biết nằm mặt phẳng vng góc với trục quay, có điểm đặt cách trục quay 20cm tạo với bán kính R góc 30

→ F

o Tính mơmen quay lực

θ

Hình 3.12

M R

d

H

O Giải

⊥ → F Mômen quay lực là:

M∆ = F.R.sinθ = 10.0,2.sin30o = 1(Nm)

Ví dụ 3.9: Tính mơmen của lực để mở cánh cửa hình chữ nhật, biết lực tác dụng vào tay nắm (núm cửa) vuông góc với mặt cánh cửa, có độ lớn 5N tay nắm cách lề 80cm Nếu điểm đặt lực núm cửa mà cách lề 50cm độ lớn lực phải để có mơmen trên?

→

F’ →F

M N

O

Hình 3.13: Mômen làm quay cánh cửa Giải

Mômen lực đặt núm cửa: Mo = F.d = 5.0,8 = 4(Nm)

Nếu điểm đặt lực cách lề 50cm độ lớn lực là: F’ = Mo/d’ = 4/0,5 = (N)

4 – Tính mơmen qn tính trục ∆:

a) Nhắc lại công thức định nghĩa về mơmen qn tính: Mơmen qn tính trục quay ∆ của:

• Một chất điểm: I∆ = mr2 (3.48)

với r khoảng cách từ chất điểm đến trục quay; m khối lượng chất điểm

• Hệ chất điểm: ∑ (3.49)

= ∆ =

n i

2 i ir m I

• Vật rắn: ∆ = ∫ (3.50)

vật rắn

dm r

I

với r khoảng cách từ yếu tố khối lượng dm đến trục ∆ Tùy theo phân bố vật rắn mà dm tính theo (3.4), (3.7) hay (3.9)

b) Mơmen qn tính của một số vật rắn đồng chất, khối lượng phân bốđều đối với trục quay ∆ đi qua khối tâm G:

Ví dụ 3.10: Tính mơmen qn tính hình trụ rỗng, thành mỏng hay vành tròn đồng chất, khối lượng phân bốđều trục

dϕ Giải

h R

Hình 3.14 Chia bề mặt hình trụ làm nhiều phần, có dạng

hình chữ nhật, phần có chiều rộng d = Rdϕ Gọi σ mật độ khối lượng phân bố mặt trụ, ta có:

A dm = σ dS = σ h.d = σhRdϕ A

d

⇒ dI = dm R2 = σ hR3 dϕ

Vì khối lượng phân bốđều nên σ = const

⇒ I = ∫ ∫ ∫

π

ϕ σ

= ϕ σ

=

0 3d hR d

hR dI

trụ mặt trụ mặt

⇒ I = 2πσ hR3 = mR2

với m = 2πσhR khối lượng hình trụ

Làm tương tự vành tròn (trục quay trục

của vành trịn), ta có: I = mR2 dr

h

dr r

Vậy: Mơmen qn tính đối với trục hình trụ rỗng, hay vành trịn đồng chất, khối lượng phân bốđều là:

I = mR2 (3.50)

với m R khối lượng bán kính hình trụ, hay vành trịn

Ví dụ 3.11: Tính mơmen qn tính khối trụđặc hay điã tròn đồng chất, khối lượng phân bốđều trục nó.

Giải

Chia khối trụ đặc thành nhiều lớp mỏng, có bề dày dr Mỗi lớp coi mơt hình trụ rỗng, nên có mơmen qn tính là: dI = dm.r2 = ρdV.r2

với ρ khối lượng riêng khối trụ

⇒ dI = 2πρhr3 dr

⇒

R

3 mR

2 hR dr r h dI

I= ∫ = πρ ∫ = πρ =

trụ khối toàn

Tương tự, đĩa tròn ta thu kết

Vậy: Mơmen qn tính đối với trục đối xứng khối trụđặc hay điã tròn đồng chất, khối lượng phân bốđều là: mR2

2 1

I= (3.51)

với m R khối lượng bán kính khối trụ hay đĩa trịn Ví dụ 3.12: Tính mơmen qn tính

thanh đồng chất, khối lượng m phân bốđều theo chiều dài Acủa thanh, trục ∆ vng góc với

Giải

Chia chiều dài thành phần tử nhỏ có bề dày dx Khối lượng phần dm = λ dx , với λ mật độ khối

lượng phân bố theo chiều dài Vì khối lượng phân bốđều nên λ = const Ta có dI = dm.x2 = λ dx.x2 = λ x2 dx

2

A

Hình 3.16

O

2

A

− x

dx

⇒ I = ∫ ∫

−

λ =

2 2dx

x dI

A

A toàn

= m

12 1 12

1

A A =

λ (3.52) với m = λA khối lượng thanh; chiA ều dài

Ví dụ 3.13: Tính mơmen qn tính khối cầu đặc, đồng chất, khối lượng phân bố đều trục quay chứa đường kính.

Giải

Mơmen qn tính trục Oz (hình 3.17):

r

y

M

z

z

y

xO

x

∫ ∫

∫ = = +

=

cầu

ối khốicầu cầu

khoái kh

2 2

z

z dI r dm (x y )dm

I

Tương tựđối với trục Ox, Oy ta có: ;

∫ +

=

cầu khối

dm ) z y (

I 2

x

∫ + =

cầu khối

dm ) x z (

I 2

Do tính đối xứng cầu nên Ix = Iy = Iz = I = 3

I I Ix + y + z

⇒ I = ∫ + + = ∫ ρ

caàu

khối khốicầu dV r dm ) z y x (

2 2 2

Mà thể tích hình cầu V = 3 4

πr3 ⇒ dV = 4πr2 dr

⇒ I =

R

0

2 R

15 dr r dr r r

2 ρ π = πρ = πρ

∫ ∫

cầu khối

= mR2 5 2

(3.53)

với R, m = ρV = 3

4πR3ρ bán kính, khối lượng của khối cầu

Ví dụ 3.14: Tính mơmen qn tính khối cầu rỗng, thành mỏng đồng chất, khối lượng phân bốđều trục quay chứa đường kính.

Giải

Xét điểm M mặt cầu, ta có: x2 + y2 + z2 = R2 = const Làm tương tự ví dụ 6, ta

cũng có: 2 2 mR2

3 dm R dm ) z y x (

I= ∫ + + = ∫ =

cầu

mặt mặt cầu

(3.54)

c) Định lí Huygens – Steiner:

Các công thức (3.50) đến (3.54) cho phép tính mơmen qn tính vật rắn trục quay ∆G qua khối tâm G Trong trường hợp, trục ∆ không qua G song song với ∆G, ta vận dụng định lí Huygens – Steiner để tính:

I∆ = IG + md2 (3.55)

với m khối lượng vật rắn d khoảng cách hai trục quay ∆ ∆G Chứng minh:

Xét yếu tố khối lượng dm, trục ∆G đoạn x cách trục ∆ khoảng (x + d) (xem hình minh họa 3.18)

∆G

O

∆

x dm

x d

Mơmen qn tính vật rắn trục ∆G là: = ∫ trục ∆ là:

VR G x dm I

∫

∫ + = + +

=

VR

2

VR

2dm (x 2dx d )dm )

d x (

I Hình 3.18: Chứng minh định

lí Huygens - Steiner

⇒ = ∫ + ∫ + ∫ (*)

VR VR

VR

2dm 2d xdm d dm x

Số hạng thứ vế phải (*) mơmen qn tính trục ∆G; số hạng thứ hai ln triệt tiêu, hàm dấu tích phân hàm lẻ theo x miền tính tích phân đối xứng quanh trục ∆G vật rắn (nói cách khác có yếu tố dm tọa độ x tồn yếu tố dm tọa độ (– x) nên tích phân thứ hai khơng); Số hạng thứ ba md2 Vậy: I

∆ = IG + md2 (đpcm)

Ví dụ 3.15: Tính mơmen qn tính của đồng chất trục quay qua đầu vuông góc với

Giải Ap dụng định lí Huygen – steiner:

I∆ = IG + md2 = 2 m 3 1 ) 2 ( m m 12

1

A A

A + = (3.56)

§ 3.5 PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TỐN ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN

Tương tự nhưĐộng Lực Học chất điểm, Động Lực Học vật rắn có hai dạng tốn: thuận nghịch Bài tốn cho biết lực, tìm gia tốc – gọi toán thuận; toán cho gi a tốc tìm lực, mơmen lực – gọi toán nghịch Phương pháp giải dạng tốn tn theo trình tự sau:

1 – Các bước:

• Bước 1: Phân tích lực tác dụng lên vật rắn

• Bước 2: Viết cc phương trình động lực học: (1) cho chuyển động tịnh tiến v phương trình

→ →

=

∑F ma

∑M∆ =I∆.β (2) cho chuyển động quay (nếu có)

• Bước 3: Chiếu phương trình (1) lên trục toạđộ cần thiết • Bước 4: Giải hệ phương trình biện luận kết

Chú ý: - Khi chiếu vectơ lên trục toạđộ, vectơđó xác định hình chiếu có dấu xác định tùy theo theo chiều dương hay âm trục toạđộ Nếu vectơđó chưa xác định (thường vectơ gia tốc lực liên kết) hình chiếu có giá trịđại số

2 – Các ví dụ mẫu:

Ví dụ 3.16: Một bánh xe (coi hình trụ đặc đồng nhất), bán kính R bắt đầu lăn khơng trượt từđỉnh dốc có độ cao h, nghiêng góc α so với phương ngang xuống chân dốc Bỏ qua ma sát cản lăn Tính gia tốc vận tốc khối tâm bánh xe chân dốc

Giải Bước 1: Lực tác dụng lên bánh xe gồm:

- Trọng lực (có giá qua kh→P ối tâm G);

- Phản lực pháp tuyến N→ (có giá qua khối tâm G); - Lực ma sát nghỉ fmsn(tiếp tuyến với mặt tiếp xúc)

→

Chú ý: Nếu hồn tồn khơng có ma sát, bánh xe trượt mà khơng quay,

đều có giá qua G nên khơng tạo mơmen quay Do phải có ma sát nghỉ tạo mơmen quay Lực đóng vai trị lực phát động, khơng phải lực cản (bỏ qua ma sát cản lăn) Để hiểu rõ thêm lực ma sát chuyển động lăn, xin đọc § 3.6

→ P N→

Bước 2: Chuyển độngcủa bánh xe bao gồm hai chuyển động đồng thời: Tịnh tiến khối tâm G quay quanh trục qua G, nên ta có hai phương trình:

Áp dụng (3.54), ta có: N→ + + →P f msn = m (1)

→ →

a

Áp dụng (3.56), ta có: fmsn.R = I.β (2)

Chú ý: có lực ma sát tạo mơmen quay, cịn lực khác qua khối tâm G nên không tạo mômen quay

α

h msn f →

→ P

→ v →

N

Bước 3: Chiếu (1) lên phương mặt phẳng nghiêng, chiều dương hướng xuống chân dốc, ta có: Psinα - fmsn = ma (3)

Do lăn không trượt nên a = at = β.R ⇒ β = a/R (4)

Bước 4: Thay (4) vào (2) kết hợp (3), ta có gia tốc khối tâm bánh xe là:

α =

+ α =

+ α

= gsin

3 m m

sin m g R

I m

sin m g a

2

(3.57)

Tới chân dốc, khối tâm G bánh xe cách mặt đường đọan R, nên quãng đường mà khối tâm là: s = (h – R)/sinα Vậy vận tốc G chân dốc là:

3 ) R h ( g sin

R h a as

v = −

α − =

= (3.58)

Ví dụ 3.17: Một động cơđiện khởi động nhanh dần thời gian giây, đạt vận tốc ổn định 720 vịng/phút Coi rotor có dạng hình trụđặc đồng nhất, bán kính R = 10cm, khối lượng m = kg coi lực từ có phương tiếp xúc với bề mặt rotor, tính mơmen khởi động lực từ độ lớn lực từ Bỏ qua mômen cản trục rotor

Giải

→ F Lực tác dụng lên rotor gồm trọng lực ,

phản lực pháp tuyến vòng đỡ, lực từ (khi quấn động cơ, người ta tính tốn cho có phương tiếp tuyến để tạo mơmen lớn nhất) Dễ thấy cân với trọng lực có lực từ tạo mơmen làm quay động

→ P →

N →F

→ F →

N →P

Hình 3.20 Mơmen khởi động lực từ:

M∆ = I.β = t Iω−ωo

Với mR2 2 1

I= = 2 1

.6.0,12 = 0,03kgm2 ; ω

o = rad/s; ω = 720 vịng/phút = 24π rad/s mômen lực là: M∆ = 0,03.24π/3 = 0,72π ≈ 2,26 Nm

Độ lớn lực từ: M∆ = F.R ⇒ 22,6N 1

, 0

26 , 2 R M

F= ∆ = =

qua mômen cản trục lăn, coi dây khơng giãn khơng trượt rịng rọc Tính gia tốc vật A

Giải Phân tích lực:

H 3.21

C B

A • Lực tác dụng lên vật A gồm: trọng lực

, lực căng dây

→

1

P T→1

• Lực tác dụng lên lăn B gồm: trọng lực , phản lực pháp tuyến , lực căng dây , lực ma sát

→

2

P N→2

→

2

T Fms

→

• Lực tác dụng lên ròng rọc C gồm: trọng lực , phản lực liên kết trục quay

→

0 P →

R, lực căng dây T→3, T→4

Viết phương trình động lực học cho A, B, C:

A: P→1+T→1 =m1a→1 (1)

B: P→2+N→2+T→2+→Fms =m2a→2 (2)

và: ∑M/G =I2β2 (3)

C: ∑M/G =I0β0 (4)

A B

C

→

2 P

→

2 N

ms F →

→

0

P

→ R →

2

T T3

→

4 T→

1

T→ y

x O

H 3.22

→

1 P

Chiếu (2) lên Ox ⇒ T2 – Fms = m2a2 (6) Chiếu (2) lên Oy ⇒ P2 – N2 = (7) Chọn chiều quay dương chiều kim đồng hồ

• Đối với lăn B, lực không gây mơmen quay, giá chúng qua trục quay; có lực ma sát phản lực pháp tuyến gây mômen quay Mômen lực ma sát mômen phát động làm lăn quay theo chiều kim đồng hồ: M

→

2 P T→2

ms F

→ →

2 N ms = Fms.R ; cịn mơmen phản lực pháp tuyến mơmen cản lăn (xem § 3.6): MN = – µ’.N2 Do (3) trở thành:

Fms.R – µ’.N2 = I2.β (8) • Tương tựđối với rịng rọc C, (4) trở thành:

T4 r – T3 r – Mc = I0.β0 (9) Ngồi ta có điều kiện:

- Dây không giãn ⇒ a1 = a2 = a (10)

- Dây không khối lượng ⇒ T1 = T4 = T; T2 = T3 = T’ (11) - Dây khơng trượt rịng rọc ⇒ a = at = β0 r = β2.R (12) Giải hệ phương trình: thay (10), (11), (12) vào (5), (6), (7), (8), (9), ta có:

(5) ⇒ m1g – T = m1a (5’)

(6) ⇒ T’ – Fms = m2a (6’)

(8) ⇒ m a

2 1 R

a I g m R

'

Fms −µ 2 = 2 2 = 2 (8’)

(9) ⇒ T – T’ m a

2 1 r a . r I r M

0

c = =

− (9’)

Cộng vế với vế phương trình (5’), (6’), (8’) (9’), ta thu gia tốc vật:

o

1

c

m 2 1 m 2 3 m

gr M m R

' m g a

+ +

− µ −

= (3.59)

3 – Con lắc vật lý:

Con lắc vật lý vật rắn khối lượng m, quay quanh trục cố định, nằm ngang

dụng lên lắc gồm trọng lực (có →P điểm đặt khối tâm) phản lực R→của trục quay (có điểm đặt trục quay) Suy ra, có trọng lực gây mơmen quay, cịn phản lực khơng tạo mơmen quay (vì có giá qua trục quay)

Phương trình chuyển động quay lắc quanh trục O là: d

. sin mg d

. sin P M

dt d I

O / P 2

θ −

= θ − = =

θ

→ (3.60)

với I momen quán tính lắc trục quay; d khoảng cách từ khối tâm G đến trục quay; chiều quay dương chiều ngược kim đồng hồ

G

→ P

θ Xét trường hợp lắc dao động với biên độ góc

θo nhỏ sinθ ≈ θ (3.60) trở thành:

0 I mgd dt

d

2

= θ +

θ hay:

0 dt

d

o 2

= θ ω +

θ (3.61) Với 2o mgd

I

ω = (3.61) phương trình vi phân lắc vật lý Nghiệm phương trình có dạng: θ = θosin(ωot + ϕ) (3.62)

Hình 3.23: Con lắc vật lý Vậy, với biên độ góc nhỏ (θo < 10o), dao động

con lắc vật lý dao động điều hồ tự do, có : • Tần số góc riêng:

I mgd

o =

ω (3.63)

• Chu kì riêng:

mgd I 2 T

o

o ω = π

π

= (3.64)

Trường hợp đặc biệt, vật rắn chất điểm đặt G, I = md2 ta có:

g T hay g d

To o

A

π = π

= (3.65)

con lắc vật lý trở thành lắc tốn học (con lắc đơn) có chiều dài A= d

§ 3.6 MA SÁT TRONG CHUYỂN ĐỘNG LĂN CỦA VẬT RẮN

Trong sinh hoạt hàng ngày, ta thường gặp chuyển động lăn vật hình trụ mặt phẳng ngang Ta thấy rằng, có lúc bánh xe quay nhanh mà khơng tiến lên (xe bị lún sình); bánh xe trượt mà không lăn; vừa lăn, vừa trượt, … Nguyên nhân tượng ma sát Bài cung cấp thêm thông tin vềđặc điểm ma sát lăn; vai trò ma sát chuyển động lăn khơng trượt vật rắn có dạng hình trụ Nói chung, ma sát chuyển

động lăn phức tạp Có lúc ma sát đóng vai trị lực phát động, có lúc lại cản trở chuyển động Sau khảo sát ảnh hưởng ma sát chuyển động lăn khối trụ trường hợp cụ thể

1 – Trường hợp 1: thời điểm to = 0, khối trụ có chuyển động tịnh tiến với vận

tốc vo: →

Nếu mặt ngang khối trụ hồn tồn khơng có ma sát phản lực trọng lực triệt tiêu (hình 3.24) Do khối trụ

trượt theo qn tính với vận tốc khơng đổi (điểm tiếp xúc A trượt với vận tốc , khơng có lực tạo mômen quay)

→

N →

P

o

v →

o

v →

→

P

→

N

A O

o

v → Thực tế có ma sát tác dụng lên khối trụ

và lực ma sát có hai tác dụng (hình 3.25):

• Cản trở chuyển động tịnh tiến theo phương trình: ms

f dt dv

m =− (3.66)

Hình 3.24 • Tạo mơmen làm quay vật rắn theo phương trình:

R f dt d

I ω = ms (3.67) →

N

O A

R→

ms

f → đó: v vận tốc tịnh tiến khối tâm; ω vận tốc góc I mơmen qn tính trục quay qua

khối tâm →vo

Lúc này, vận tốc trượt điểm tiếp xúc A là: vtr = v – ωR (3.68)

Vận tốc tịnh tiến v lúc giảm vận tốc góc ω lúc tăng Do đó, sau khoảng thời gian t1 vtr = Lúc điểm tiếp xúc A khơng cịn trượt nữa, ta nói khối trụ lăn không trượt mặt

→

P

phẳng ngang với vận tốc góc ω1 vận tốc tịnh tiến v1 xác định sau:

∫

− = ⇒ −

= ⇒ −

=

t

0 ms o

1 ms

ms f dt

m v v dt m f dv f

dt dv

m (*)

∫

+ ω = ω ⇒ =

ω ⇒ =

ω t1

0 ms o

1 ms

ms f dt

I R dt

f I R d R

. f dt d

I (**)

Khử tích phân (*) (**) kết hợp với điều kiện lăn không trượt: v1 = ω1R, ta

có:

⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧

+ =

+ = ω

2 o

o

mR I

v v

mR I R

v

(3.69)

Trên lý thuyết, khối trụ lăn khơng trượt với vận tốc góc ω1, thực tế, kể từ lúc t1 trở đi, khối trụ lại chuyển động chậm dần dừng lại Điều chứng tỏ khối trụ mặt phẳng ngang xuất lực cản (sẽ khảo sát mục 3) 2 – Trường hợp 2: thời điểm to = 0, khối trụ có chuyển động quay với vận tốc

góc ωo:

ω

A O

ms

f

→

Cho khối trụ quay quanh trục với vận tốc góc ωo đặt nhẹ xuống mặt phẳng ngang Nếu hình trụ mặt phẳng ngang khơng có ma sát tổng mơmen ngoại lực khơng (vì trọng lực phản lực khơng tạo mơmen quay) nên mơmen động lượng bảo tồn vật tiếp tục quay chỗ với vận tốc góc ωo khơng đổi

Nếu hình trụ mặt phẳng ngang có ma sát điểm tiếp xúc A xuất lực ma sát có

khuynh hướng giữ chặt điểm A lại (hình 3.26) có hai tác dụng: ms

f

→

ms

f

→

Hình 3.26

• Cản trở chuyển động quay theo phương trình: f .R dt

d

I ω =− ms

• Kéo hình trụ chuyển động sang phải với phương trình: fms dt dv

m =

Vận tốc trượt điểm tiếp xúc A: vtr = ωR – v

nói khối trụlăn khơng trượt mặt phẳng ngang với vận tốc góc ω1 vận tốc tịnh tiến v1 xác định sau:

∫ = ⇒ = ⇒ = t ms ms

ms m f dt

1 v dt m f dv f dt dv

m (*)

∫ − ω = ω ⇒ − = ω ⇒ − =

ω t1

0 ms o

1 ms

ms f dt

I R dt f I R d R . f dt d

I (**)

Khử tích phân (*) (**) kết hợp với điều kiện lăn không trượt: v1 = ω1R, ta có: ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ + ω = + ω = ω I mR R v I mR o o (3.70)

Trên lý thuyết, khối trụ lăn khơng trượt với vận tốc góc ω1, thực tế, kể từ lúc t1 trởđi, khối trụ lại chuyển động chậm dần dừng lại Điều chứng tỏ khối trụ mặt phẳng ngang xuất lực cản (sẽ khảo sát mục 3) 3 – Chuyển động lăn không trượt khối trụ – ma sát lăn:

Trong mục 2, ta thấy, sau thời điểm t1, muốn trì chuyển động khối trụ phải tác dụng lực vào khối trụ Điều

đó chứng tỏ hình trụ mặt phẳng ngang xuất lực cản Nguyên nhân lực cản khối trụ tiếp xúc với mặt phẳng ngang điểm A mà mặt, cung AB Khi khối trụ lăn sang phải, trọng lượng hầu nhưđặt B, nghĩa phản lực đặt B, lệch phía trước khoảng nhỏ

→ F → N L '

µ so với khối tâm (hình 3.27) Trọng lực phản lực pháp tuyến tạo thành ngẫu lực, cản trở quay, khối trụ lăn chậm dần Muốn cho khối trụ tiếp tục lăn, ta phải tác dụng vào khối trụ lực cho

mômen cặp lực ( , ) phải lớn mômen cặp lực ( , ): ⇒

→

P N→

→ F →

F f ms

→ →

P N→

L

' N

FR ≥ µ N

R 'L µ

F≥ (3.71)

Vậy, giới hạn lực F để khối trụ lăn là: N R

'

F L

min

µ

= (3.72)

Khi đó, lực ma sát lăn là: fms = N R

'

F L

min

µ

= (3.73)

Trong đó: có thứ nguyên chiều dài, gọi “hệ số ma sát lăn” (ở chương 2, ta kí hiệu hệ số µ’

L

'

µ

L) Đặt

R 'L

µ

= µL hư số (khơng thứ ngun) ta có fmslăn

= µLN, giống trường hợp ma sát trượt: fmst = µN Vì thế, đơi ta gọi µL hệ số ma sát lăn

Để thống cách gọi, giáo trình này, ta qui ước hệ số ma sát lăn

µ’L(có thứ ngun mét)

4 – Phân biệt ma sát nghỉ ma sát lăn:

Trong chuyển động lăn khối trụ lực ma sát nghỉ ln có xu hướng giữ chặt điểm tiếp xúc A, ngăn khơng cho trượt phía sau Chính lực đóng vai trị lực phát động làm cho điểm tiếp xúc A chuyển động tới

Khi khối trụ lăn, xuất lực ma sát lăn, cản trở chuyển động lăn khối trụ Lực gây mômen cản trở chuyển động quay khối trụ

Để hình dung vai trò ma sát nghỉđối với chuyển động lăn, ta xét chuyển động bánh xe sau xe môtô (bánh phát động) Khi nổ máy vào số, nhờ có hệ thống nhơng, sên, đĩa, nội lực làm cho bánh xe có khuynh hướng quay điểm tiếp xúc A có khuynh hướng trượt phía sau Khi xuất lực ma sát nghỉ (chính ngoại lực) có khuynh hướng giữ chặt điểm tiếp xúc A Lực ma sát nghỉ có độ lớn tăng dần, cuối kéo điểm tiếp xúc A tới, nhờđó tồn xe người chuyển động Khi bánh xe lăn, xuất lực ma sát lăn cản trở chuyển động lăn Nếu lực ma sát nghỉ cân với ma sát lăn xe chuyển động

Như vậy, chuyển động ơtơ nói riêng vật rắn khác nói chung, lực ma sát nghỉđóng vai trị ngoại lực phát động Vì lực ma sát nghỉ có giá trị lớn µN (bằng ma sát trượt), nên lực ma sát nghỉđạt đến giá trị cực đại, dù công suất động cơđốt có tăng đến khơng thể làm cho xe chuyển động nhanh được!

Đối với bánh xe trước, lúc t = 0, nhận vận tốc tịnh tiến vo điểm tiếp xúc bị trượt tới Chính lực ma sát nghỉđã làm cho có chuyển động quay

Vậy, lực ma sát ma sát nghỉđóng vai trị tích cực, hữu ích chuyển động lăn vật

5 – Ma sát dây quấn vào khối trụ:

P, ta chứng minh được, dây cân đặt vào đầu lực có độ lớn Q thỏa điều kiện: Q = P.e - µα (3.74)

→ Q

→

P Hình 3.28

R

α Để chứng minh (3.74), ta xét mẩu dây chắn góc

ở tâm dα Lực tác dụng lên mẩu dây gồm: lực căng dây ’; lực ma sát ; phản lực pháp tuyến khối trụ

→

T →T fms

→

→

N

Từ điều kiện cân mẩu dây, ta có: + ’+ + = (*)

→

T T→ fms

→ →

N

Chiếu (*) lên phương tiếp tuyến với mặt trụ: T – T’ – fms = Hay: dT = T’ – T = – fms = – µN (**)

Chiếu (*) lên phương pháp tuyến mặt trụ lưu ý T’ ≈ T, ta có:

dα

→ T

' T→

→

N

→

ms

f

N = T.dα ⇒ dT = – µTdα

→

N

→

T

' T→ ⇒ =−µdα

T dT

⇒ ∫ =−µα Q

P T dT

⇒ )=−µα

P Q

ln(

Hình 3.29 ⇒ Q = Pe - µα (đpcm)

Nếu dây quấn vịng, Q << P

Ví dụ 3.19: Một người kéo sàlan quấn vào trụ bờ cảng Nếu lực giữ đầu dây lớn 200N dòng nước chảy, đẩy sàlan làm căng đầu dây lực 20000N Hỏi người phải quấn vịng dây vào trụ để giữđược sàlan? Biết hệ số ma sát dây cột trụ µ = 0,5

Giải Theo (3.80), ta có Q =Pe - µα

⇒ =− =

µ − = α

5 , 0

) 20000 / 200 ln( )

P / Q ln(

BÀI TẬP CHƯƠNG

3.1 Tính khối lượng phẳng hình trịn, bán kính R, biết mật độ khối lượng phân bố bề mặt giảm theo qui luật hàm mũ: kr, với k, σ

oe

−

σ =

σ o

các hệ số dương; r khoảng cách từ tâm đĩa đến điểm khảo sát Áp dụng số: σo = 5kg/m2; k = 10g/cm; R = 50cm

3.2 Khối bán cầu bán kính R, có mật độ khối lượng tăng tuyến tính theo chiều cao: ρ = ah + b, với a, b số; h khoảng cách từ mặt đáy bán cầu đến điểm khảo sát Tính khối lượng khối bán cầu Áp dụng số: R = 50cm; a = 20000 kg/m4 ; b =

3.3 Một thùng đựng rượu thành mỏng, có dạng Elíp trịn xoay quanh trục lớn 2a, bị cắt bỏở hai đầu cho khoảng cách từ tâm đến hai mặt đáy bán trục nhỏ b Elíp Tính dung tích thùng khối lượng rượu mà thùng chứa, biết khối lượng riêng rượu ρ Áp dụng số: a = 0,8m; b = 0,5m; ρ = 800kg/m3

3.4 Quan sát chuyển động quay quạt trần quạt bàn, ta thấy có quay “êm”, có lắc mạnh Hãy tìm ngun nhân đưa hướng khắc phục

3.5 Xác định khối tâm hệ ba chất điểm có khối lượng là: m, 2m, 2m đặt ba đỉnh A, B, C tam giác đều, cạnh a Cần phải tăng hay giảm khối lượng chất điểm đỉnh A để khối tâm hệ trùng với trung điểm đường cao AH?

b c

a

3.6 Xác định khối tâm hệ bốn chất điểm có khối lượng là: m, 2m, 3m, 4m đặt bốn đỉnh O, A, B, C hình

vng cạnh a a

3.7 Xác định khối tâm vật phẳng đồng có dạng nửa hình trịn; ¼ hình trịn bán kính R

3.8 Xác định khối tâm vật phẳng đồng có dạng nửa elíp: 1

b y a x

2 2

=

+ ; với

a bán trục lớn, b bán trục nhỏ Xét hai trường hợp: a) nửa elíp có x ≥ 0; b) nửa elíp có y ≥

Hình 3.30 3.9 Xác định khối tâm khối bán cầu đồng

nhất, bán kính R

3.10 Xác định khối tâm vật phẳng đồng có dạng hình trịn, bán kính R bị kht lỗ có dạng hình trịn, bán kính r Biết tâm lỗ cách tâm hình trịn lớn đoạn a Suy trường hợp r = a =

2 R

3.11 Xác định khối tâm khối cầu đồng bán kính R, bị kht lỗ có dạng hình cầu bán kính r Biết tâm lỗ cách tâm khối cầu lớn đoạn a Suy trường hợp r = a =

2 R

3.12 Một thước dẹt đồng có dạng hình chữ T (hình 3.30) Hãy xác định khối tâm thước Xét

trường hợp đặc biệt c = b h

3.13 Một vật thểđặc, đồng gồm phần hình trụ, chiều cao h bán cầu bán kính R (hình 3.31) Xác định h theo R để khối tâm vật nằm phần bán cầu

Hình 3.31

3.14 Một bánh xe bán kính R lăn khơng trượt đường thẳng với vận tốc (hình 3.32) Hãy xác định:

o v →

a) Vận tốc điểm A, B, C, D Từđó suy ra, muốn bánh sau xe đạp khơng văng bùn đất lên người chắn bùn (dè xe) phải phủ nào?

b) Quĩđạo, vận tốc, gia tốc điểm M vành bánh xe

c) Quãng đường mà điểm M lần liên tiếp tiếp xúc với mặt đường

3.15 Một dây cuaroa truyền động, vòng qua khối trụ I bánh xe II Bán kính khối trụ r1 = 30cm, bánh xe r2 = 75cm Bánh xe bắt đầu quay với gia tốc góc 0,4πrad/s2 Hỏi sau bao lâu, khối trụ I sẽ quay với vận tốc góc 300 vịng/phút? (dây cuaroa không trượt khối trụ bánh xe)

O

o

v

→

A D

B C

Hình 3.32

d H 3.33

3.16 Một đĩa chia thành n hình quạt nhau, quay chậm dần Một kim thị gắn ngồi, gần mép đĩa (giống nhưchiếc nón kì diệu) Hình quạt thứ qua kim thời gia t1 = 4s, hình quạt thứ hai thời gian t2 = 5s; sau đĩa quay thêm góc ϕ = 0,75π dừng lại Tính gia tốc đĩa

3.17 Quả cầu bán kính R = 3cm, lăn đều, không trượt hai ray song song cách d = 4cm Sau 2s, 120cm Xác định vận tốc điểm cao nhất, thấp cầu (hình 3.33)

3.18 Một hình trụ bán kính R, đặt ván phẳng chuyển động song song với vận tốc (H 3.34) Giả sử ván không trượt hình trụ Tính vận tốc góc hình trụ vận tốc tịnh tiến trục hình trụ hai trường hợp:

1 v →

a) v1 chiều

→

2 v →

b) v1 ngược chiều

→

2 v →

3.19 Trong thời gian đạp vịng bàn đạp xe đạp mét? Biết số đĩa gấp đôi số líp đường kính lốp xe 700mm Suy muốn xe

được 10km phải đạp vòng? Nếu vận tốc xe v = 20km/h vận tốc đạp vịng/phút?

1 v →

2 v →

H 3.34

3.20 Chiều dài đùi pêđan (giò dĩa) xe đạp 20cm; chân người tác dụng lực F = 100N hướng thẳng đứng xuống Tính độ lớn mơmen quay trục giò dĩa giò dĩa làm với đường thẳng đứng góc 30o; 60o; 90o ; 180o ? 3.21 Tính mơmen lực

điểm O hình 3.35, biết F 1;F F → →

1 = 20N; F2 = 15N; α = 150o; β = 120o; OA = 20cm; OB = 10cm Suy tổng mômen làm vật rắn quay quanh O? Vật quay theo chiều nào?

A

1 F →

2 F

→ Hình 3.35

β

α

B O

3.22 Trong mặt phẳng Oxy, lực = (6;8)N đặt điểm A(-20;50) cm Hãy tính độ lớn mơmen lực gốc O

→ F →

F

3.23 Tính mơmen qn tính khối trụ rỗng, đồng trục khối trụ Biết khối trụ có khối lượng m, bán kính thành ngồi R1 thành R2

3.24 Tính mơmen qn tính khối hình nón đồng trục quay trục hình nón Biết có khối lượng m, bán kính đáy R Tương tự với hình nón cụt, bán kính R, r

3.25 Tính mơmen qn tính đĩa đặc phẳng, hình trịn đồng nhất, khối lượng m, bán kính R trục quay chứa đường kính đĩa trục quay qua mép đĩa, vng góc mặt phẳng đĩa

3.26 Tính mơmen qn tính vành trịn, đồng nhất, khối lượng m, bán kính R trục quay chứa đường kính vành trịn

3.27 Một đĩa đặc, phẳng, hình trịn, đồng nhất, bán kính R bị kht phần có dạng hình trịn, bán kính r, tâm phần khoét cách tâm đĩa đoạn d Khối lượng phần cịn lại m Tính mơmen qn tính phần lại trục quay : a) qua hai tâm hai hình trịn; b) qua tâm hình trịn lớn vng góc với mặt đĩa Suy trường hợp r = d = R/2

3.29 Tính mơmen qn tính cánh cửa phẳng hình chữ nhật đồng khối lượng m, chiều rộng a, chiều dài b trục quay:

a) chứa lề; b) vng góc với mặt cánh cửa tâm hình chữ nhật 3.30 Một trục khuỷu có dạng nhỏđồng nhất, chiều dài , khối lượng m

có thể quay quanh trục vuộng góc với qua đầu Tính mơmen qn tính trục khuỷu trục quay

A

3.31 Có viên bi nhỏ, khối lượng viên m đặt đỉnh hình thoi mà độ dài hai đường chéo 2a 2b Tìm khối tâm hệ tính mơmen qn tính hệ trục quay qua khối tâm và: a) vng góc mặt phẳng hình thoi; b) chứa đường chéo 2a; c) chứa đường chéo 2b

3.32 Có viên bi nhỏ, khối lượng viên m đặt đỉnh hình vng, cạnh a Tính mơmen qn tính hệđối với trục quay: a) qua khối tâm vng góc mặt phẳng hình vng; b) chứa đường chéo; c) chứa cạnh; d) qua đỉnh vng góc với mặt phẳng hình vng

→

F

R r

O α

3.33 Một cuộn dây điện (dây đồng mảnh) có

bán kính hình trụ ngồi R lõi có quấn dây điện, tạo thành hình trụ có bán kính r Cuộn dây chuyển động theo chiều nào, gia tốc trục hình trụ bao nhiêu, kéo đầu dây lực (H 3.36)?

Cho biết khối lượng mômen quán tính cuộn dây m I; bỏ qua ma sát cản lăn

→ F

H 3.36

3.34 Tính gia tốc vật lực căng dây quấn vào ròng rọc hệ hình 3.37; 3.38 Biết khối lượng vật rịng rọc m mo; dây nhẹ, không co giãn khơng trượt rịng rọc; bỏ qua ma sát trục rịng rọc

3.35 Tính gia tốc vật lực căng dây hệ hình 3.39; 3.40 Biết khối lượng

các vật ròng rọc m1, m2 mo; dây nhẹ, H 3.37 H 3.38

mo

m1

m2

α

mo

m2

m H 3.40

không co giãn không trượt ròng rọc; bỏ qua ma sát trục ròng rọc; hệ số ma sát vật mặt nghiêng µ

3.36 Một khối trụđặc khối lượng m lăn không trượt mặt phẳng ngang tác dụng lực kéo đặt tâm hình 3.41 Tính gia tốc khối trụ, bỏ qua ma sát lăn

3.37 Một vô lăng quay với vận tốc góc ωo bị hãm lực có mơmen tỉ lệ với bậc hai vận tốc góc vơ lăng Tính vận tốc góc trung bình vô lăng suốt thời gian hãm

3.38 Bánh mài máy mài hình đĩa, khối lượng 500g, bán kính R = 20cm quay với vận tốc 480 vịng/phút bị hãm lại Tính mơmen hãm để:

a) bánh mài dừng lại sau 50 giây

b) bánh mài quay thêm 100 vịng dừng

3.39 Một đồng chất, dài 1m, khối lượng kg quay quanh trục ∆ qua khối tâm vng góc với Tác dụng vào đầu

thanh lực F = 10N theo hướng hợp với góc 60o ( nằm mặt phẳng vng góc với trục quay), thời gian giây Tính vận tốc góc mà đạt

→ F

→ F Hình 3.41 3.40 Một vơ lăng hình đĩa trịn có khối lượng m, bán kính R quay với vận tốc