de thi hoc sinh gioi cap truong

[r]

TRƯỜNG THCSKIM SƠN Đề thi học sinh giỏi cấp trường năm học TỔ :TỰ NHIÊN 2011-2012

MƠN THI:TỐN LỚP

Thời gian : 150 phút (không kể thời gian giao đề)

……… ĐỀ RA

CâuI:( điểm) Rót gän biĨu thøc:

a









 

    

 

 



 

3

2

2

2 x x x

A

4 x

víi 2 x

b P cos2 2 sin2 1

 

    với  nhọn

Câu II : (4 điểm)

a.Với ba số không âm a, b, c, chứng minh bất đẳng thức :





2

3

a b c    ab bc ca a b c

b Cho số dương a; b; c Chứng minh



a b c



1

a b c

 

     

Câu III:( điểm).Tìm nghiệm nguyên tố phơng trình: x2 2y2 = 1

CõuIV:(2 điểm): Tìm giá trị nhỏ biểu thức

A = (x + 1)2 + (x – 3)2

Câu V: ( điểm). Cho vuông cân ABC (Â=900) cạnh AC lấy điểm M

sao cho MC:MA = 1:3 Kẻ đờng thằng vng góc với AC C cắt tia BM K Kẻ BECK

a) Chøng minh: 12 2 12 BK BM

AB  

b) Cho BM = tÝnh c¹nh cđa MCK

(Cán coi thi khơng góp ý thêm)

Đáp án đề thi học sinh giỏi cấp trường

c©u I

6 điểm

a

(2,5điểm)

Đặt a 2x; b x (a, b 0)

2 2

a b 4; a b 2x

     0.25



3









2



2 ab a b ab a b a b ab

A

4 ab ab

     

  

  0.5



 







2 ab a b ab

A ab a b

4 ab

  

    

 0.25





A 2ab a b

    0.5



2





 

 



A a b 2ab a b a b a b

        0.5

2

A a b 2x A x

      0,5

b(3,5đ) P cos2 2 sin2 1 cos2 2 cos2 1

   

      

1,0

2

cos 2cos

P     (vì cos > 0) 1,0

2 (cos 1)

P   1,0

1 cos

P   (vì cos < 1)

0,5

câuII4điể m

a

(2điểm)





2

0

a  b   a b  ab 0,5

Tương tự, a c 2 ac b c  bc

1 a  a

1 b  b

c 1 c

… 1.0

cộng vế ta điều phải c/m Đẳng thức xảy Û a = b = c =

0,5 b.2điểm Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho số dương

3

a b c   abc

1 1

3

a b c   abc 1.0

=> a b c 1

a b c

 

     

 

1,0

CâuIII(2đ)

PT tơng đơng với (x+1)(x-1)=2y2

Vì x2=2y2+1 số lẻ nên x+1, x-1 số chẵn (x+1)(x-1) chia hết cho

0.5 vËy y2 chia hÕt cho suy y chia hết cho 2 mà y số nguyên tố nên y=2

0.5 Vậy phơng trình có nghiệm: (3;2) 0.5

CâuIV2đ) A = (x + 1)2 + (x – 3)2 = x2 + 2x + + x2 – 6x +

0.5

10 = 2(x – 1)2 + 8

0.5

Vì 2(x – 1)2 

x => A  x 0.5

Vaäy minA = <=> x – = <=> x =

0.5

CâuV (6điểm)

Vẽ hình 0,5 đ

a)

Chứng minh tứ giác ABEC hình vuông 0,5 đ KỴ BN  BK ( N



EC)

 AMB =  EBN ( g.c.g ) => BM = BN 1.0đ ¸p dơng hƯ thøc lượng  vu«ng NBK ta cã:

2

1

BE =

1

BN +

1

BK Mµ AB = BE ; BM = BN 0,5đ

3 A

B

K

C

E

N

=> 12

AB =

1

BM +

1

BK 1.0đ b)

MC:MA = 1:3 => MA = 3MC, AB = AC = MC 0.5 Đặt MC = x > => MA = 3x ; AB = 4x

Theo địng lý Pitago: AB2 + AC2 = BM2 0.5đ hay (4x)2 + (3x)2 = 62 ú x =

5

0.5đ

ó MC =

5

; AB =

5

0.5đ

CK//AB, theo định lý Talét ta có:

3  



MA CM AB

KC MB

MK

0.5đ

=>

3

6 

MK

=> MK =

=>

3

1

24  KC 

KC

0.5đ

-nếu học sinh làm cách khác mà đùng cho điểm tối đa

- làm tròn đến 0,5đ