hsg k9

Về sau , khi bớt đi 1 ôtô thì có thể phân phối số hành khách như nhau lên mỗi ôtô còn lại.. Đường AI cắt BM tại H.[r]

PHÒNG GD & ĐT KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN KRÔNGPĂK NĂM HỌC : 2009-2010 - MƠN : TỐN – LỚP ĐỀ CHÍNH THỨC ( Thời gian làm : 150 phút) Câu 1: (4 điểm)

Cho biểu thức : 15 11 2

2 3

x x x

A

x x x x

  

  

   

1 Rút gọn A

2 Tìm giá trị x A

3 Tìm giá trị nguyên x để A số nguyên Tìm giá trị x để A đạt giá trị lớn Câu 2: (4 điểm)

1 Cho x1,y1 Chứng minh :x y1y x1xy Tìm giá trị lớn biểu thức:

A y x 1(x 1;y 1)

y x

 

   

Câu 3: (4 điểm)

Một đoàn khách du lịch tham quan ô tô Họ định ô tô phải chở số hành khách Ban đầu họ định cho ô tô chở 22 hành khách, thừa người Về sau , bớt ơtơ phân phối số hành khách lên ôtô cịn lại Hỏi ban đầu có ơtơ có tất khách du lịch, biết ôtô chở không 32 người

Câu 4: (5 điểm)

Cho đường tròn (O,R) dây AB = R Trên tiếp tuyến A (O) lấy M cho AM = R ( M thuộc nửa mặt phẳng bờ AB không chứa O)

1 Tứ giác AMBO hình gì?

2 Đường OM cắt (O) I, tính IM theo R ( I thuộc cung nhỏ AB ) Tính AI theo R

4 Đường AI cắt BM H Chứng minh AH phân giác góc MAB Khi A chuyển động (O) M di chuyển đường nào?

Câu 5: (3điểm )

Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn bán kính R Một điểm M chạy cung nhỏ AB Hãy chứng minh tổng khoảng cách từ M đến A B không lớn đường kính đường trịn

ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC : 2009-2010

Câu 1: (4điểm)

Cho biểu thức 15 11 2

2 3

x x x

A

x x x x

  

  

   

Đ /k : x0;x1 (0,5đ)

1 Rút gọn: 15 11 (3 2)( 3) (2 3)( 1)

( 1)( 3) ( 1)( 3) ( 1)( 3)

x x x x x

A

x x x x x x

    

  

      (1đ)

15 11

( 1)( 3)

x x x x x

x x

      



  (1đ)

7 ( 1)(5 2)

( 1)( 3) ( 1)( 3)

5

3

x x x x

x x x x

x A

x

   

 

   

 



(1,5đ)

Câu 2: (4điểm)

1 Áp dụng bất đẳng thức Cơsi cho hai số khơng âm ta có: 1.( 1) 1

2

y y

y  y     (0,5đ)

2 xy x y

   (0,5đ)

Tương tự : xy

y x  (0,5đ)

Do : x y1y x1xy (0,5đ) Theo câu 1:

1

1 x y y x

x y y x xy

xy   

     

Do : y x 1

y x

 

 

Dấu “=” xảy 1

1

x x

y y

  

 

   

  

 

Vậy giá trị lớn A Câu 3: (4điểm)

Gọi x số ơtơ có lúc đầu lúc sau ôtô chở y người.( đ/k : x2,y32)

Vì xe lúc đầu dự định chở 22 hành khách thừa người nên số hành khách có :22x +1 người

Vì lúc sau bớt xe ôtô nên số xe lại : (x – 1) xe xe lúc sau chở y người nên số hành khách : y(x-1) người

22 22 23

1

x y

x x



   

 

Vì y số tự nhiên, x2 nên 23

x số tự nhiên, 23x1 Vậy x-1 = x-1 = 23

Với x-1 = x =  y = 22 +23 = 45 Trái giả thiết xe chở không 32 người Với x-1 = 23 x = 24  y22 23  32.(thoả mãn đ/k)

Vậy số ôtô ban đầu 24 tổng số khách du lịch là: 22.24+1= 529 người Bài 4: (5 điểm)

Vẽ hình đúng, ghi GT,KL : (0,5đ)

1 Xét tam giác OAB có OA = OB (=R); AB = R Nên tam giác OAB vuông O (đảo Pytago) Ta có :OB vng góc với OA (cm trên)

MA vng góc với OA(tính chất tiếp tuyến) / /

OB MA

 , lại có OB = MA (=R) nên tứ giác AMBO hình bình hành

Mặt khác : MAOGóc MAOvng AM = AO nên AMBO hình vng

2 IM = OM – OI = R 2-R =R( 2-1)

3 Gọi C giao điểm hai đường chéo AB OM ta có AB vng góc với OM

CM =

2

R Ta có : CI = CM – IM = 2

( )

2

R R

R R R

   

Tam giác ACI vuông C nên: AI2= CI2 +AC2 ( Pytago)

2

2 2 2 2 2 2

( ) ( ) 2

2 2 4

R R R R R

AI R R R R R

         

2 AI R

  

4 Ta có IAOAIO(tam giác AOI cân O) mà IAOAHM (so le AO//MB) Mà :

0

0

90 90

IAO A

AHM A

   

     A1A2 Vậy AH phân giác góc MAB

4 Ta có OM = AB = R không đổi , O cố định Do M thuộc đường trịn tâm O bán kính R