Bai Tap chuan kien thuc GT12

26 6 0
Bai Tap chuan kien thuc GT12

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

Viết công thức chuyển hệ trục tọa độ trong phép tịnh tiến theo OI và viết phương trình của đường cong (C) đối với hệ trục IXY. ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ.. 1.Tìm tiệm cận đứng v[r]

(1)

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

1 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÁM SỐ.

1/ Giả sử f(x) có đạo hàm khoảng (a ; b) Ta có: a) Điều kiện đủ:

- f’(x) > khoảng (a ; b)  f(x) đồng biến khoảng (a ; b) - f’(x) < khoảng (a ; b)  f(x) nghịch biến khoảng (a ; b) b) Điều kiện cần.

- f(x) đồng biến khoảng (a ; b)  f’(x) 0 khoảng (a ; b)

- f(x) nghịch biến khoảng (a ; b)  f'(x)0trên khoảng (a ; b)

2/ Phương pháp tìm khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số - Tìm TXĐ hàm số

- Tính y’, giải phương trình y’ = - Lập bảng xét dấu y’

- Sử dụng điều kiện đủ tính đơn điệu để kết luận

Chú ý: Trong điều kiện đủ, f’(x) = số hữu hạn điểm thuộc (a ; b) kết luận Cần nhớ: f(x) = ax2 + bx + c

Nếu 0 f(x) dấu a

Nếu  0 f(x) ln dấu a

a b x

2

  

Nếu 0 f(x) có hai nghiệm x1 , x2 Ta có bảng xét dấu sau:

x - x1 x2 +

f(x) Cùng dấu a Trái dấu a Cùng dấu a

Đặc biệt: +

  

 

    

0 0 0

)( x R a xf

+

  

 

    

0 0 0

)( x R a xf

+ af()0 f(x)0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 x1 <  < x2

BÀI TẬP Xét tính đồng biến, nghịch biến hàm số

a) y = + 3x – x2 b) y = 2x3 – 6x + c) y = - 3 7 1

1

 

x x

x d) y = x3 + 3x + 1

e) y =

3

4x3 x2 x f) y = x4 – 2x2 + g) y = -x4 + 2x2 – h) y = x4 + x2

k) y = x x

 

1

l) y =

1

  x x

m) y =

1

2

   x

x x

n) y = x + x

4

p) y = 4 x2

 q) y = x2  x 20 r) y = x + 1 x2 s) y = x + x2 1 Tìm m để hàm số sau đồng biến R

a) y = x3 – 3mx2 + (m + 2)x – ĐS : 1

2

 

(2)

b) y = mx3 – (2m – 1)x2 + 4m – ĐS : m =

3, Tìm m để hàm số sau nghịch biến TXĐ

a) y = ( 2) ( 8)

3

2

   

x m x m x ĐS :  1m4

b) y = (3 2)

3 )

(

    

x m mx

x m

ĐS :

2

m Tìm m để hàm số :

a) y = m x mx

 1

đồng biến khoảng xác định hàm số ĐS : m < -1 m > b) y =

m x

m mx

 

 10

2

nghịch biến khoảng xác định hàm số ĐS : 2

5

 

m

5 Chứng minh :

a) Hàm số y = sin2x + cosx đồng biến

     

3 ;

0  và nghịch biến 

    

 

;

3

b) Hàm số y = tanx – x đồng biến khoảng    

 

2 ; 

2 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ.

* Định nghĩa: Cho y = f(x) xác định liên tục (a ; b) x0(a;b)

a) Nếu tồn số h > cho f(x) < f(x0) x(x0  h;;x0 h) xx0 ta nói hàm số f(x) đạt

cực đại x0

b) Nếu tồn số h > cho f(x) > f(x0) x(x0  h; x0 h) x x0 ta nói hàm số f(x) đạt

cực tiểu x0

* Định lí 1: Giả sử y = f(x) liên tục khoảng K = (x0 – h ; x0 + h) có đạo hàm K

K \{x0}, với h > Khi đó:

a) Nếu   

 

 

   

) ;

( ,0 ) ('

) ; (

,0 ) ('

0

0

h x x x x

f

x h x x x

f

x0 điểm cực đại f(x)

b) Nếu   

 

 

   

) ;

( , ,0 ) ('

) ; (

,0 ) ('

0

0

h x x x x

f

x h x x x

f

x0 điểm cực tiểu f(x)

* Định lí 2: Giả sử y = f(x) có đạo hàm cấp hai (x0 – h ; x0 + h) với h > Khi đó:

a) Nếu

  

 

0 )

( "

0 )

( '

x f

x f

x0 điểm cực tiểu f(x)

b) Nếu

  

 

0 )

( "

0 )

( '

x f

x f

x0 điểm cực đại f(x)

* Quy tắc tìm cực trị y = f(x). Quy tắc 1:

1 Tìm TXĐ

2 Tính f’(x) Tìm điểm f’(x) = f’(x) không xác định Lập bảng biến thiên

(3)

Quy tắc 1.Tìm TXĐ

Tính f’(x) Giải phương trình f’(x) = kí hiệu xi ( i = 1, 2, 3…n) nghiệm

Tính f”(x) f”(xi)

4, Dựa vào dấu f”(xi) suy tính chất cực trị xi

BÀI TẬP Tìm điểm cực trị hàm số

a) y = x2 – 3x – b) y = 2x3 – 3x2 + c) y = x 4x

1 3

 d) y = x3 – 3x2 +3x

e) y =

2

1

  x

x f) y =

4

x x

 g) y = x3(1 – x)2 h) y =

1

  x x k) y =

2

x

x

l) y = x + x

1

m) y =

1 2

2

  

x x x

n ) y =

1

2

  x

x x p) y = sinx + cosx q) y = 2sinx + cos2x [ ;  ]

2 Tìm m để hàm số :

a) y = x3 – 2mx2 + có cực đại cực tiểu ĐS : m 0

b) y = (3 1)

3

2

  

x m x

x m

có cực đại cực tiểu ( có cực trị) ĐS : 1;

4

 

m m

c) y =

1

2

  

x mx x

có cực đại cực tiểu ĐS : m < d) y = x4 – mx2 + có cực trị ĐS : m > 0

e) y = x3 – 3mx2 + (m – 1)x + đạt cực trị x = ĐS : m = 1

f) y = x3 – mx2 – mx – đạt cực tiểu x = ĐS : m = 1

g) y = x3 + (m + 1)x2 + (2m – 1)x + đạt cực đại x = -2 ĐS : m = 7/2

h) y =

m x

mx x

 

2

đạt cực đại x = ĐS : m = -3 k) y =

1

2

   

x m mx x

đạt cực tiểu x = Cho hàm số y =

1

2

  x

x x

(1)

a) Tính khoảng cách hai điểm cực trị đồ thị hàm số (1)

b) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số (1) GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

* Định nghĩa : Cho hàm số y = f(x) có tập xác định D.

- Số M giá trị lớn f(x) D : f(x)M,xDvàx0 D: f(x0)M Kí hiệu : M = maxD f(x)

- Số m giá trị nhỏ f(x) D : f(x)m,xDvàx0D: f(x0)m Kí hiệu : m = minD f(x)

* Định lí : y = f(x) liên tục [a ; b] tồn max[a;b] f(x),min[a;b] f(x) * Cách tìm :

Tìm điểm x1, x2, … , xn (a ; b) mà f’(x) = f’(x) khơng xác định

Tính f(a), f(x1), ……., f(xn), f(b)

(4)

BÀI TẬP Tìm GTLN GTNN ( có) hàm số

a) y = x3 – 3x2 + đoạn [-1 ; 1] b) y = x3 – 3x2 – 9x + 35 đoạn [-4 ; 4]

c) y = x4 – 2x2 + đoạn [-3 ; 2] d) y = x4 – 2x2 + đoạn [1 ; 4]

e) y = x + x

1

khoảng (0 ; +) f) y = x -

x

1

khoảng (0 ; 2] g) y =

1

  x x

đoạn [2 ; 5] h) y =

2

2

   x

x x

đoạn [-3 ; 3] k) y = 6 3x đoạn [-1 ; 1] l) y = 100 x2 doạn [-8 ; 6]

m) y = (x + 2) 1 x2

 n) y =

1

2   x x

doạn [1 ; 2] p) y = x + 4 x2

 q) y = 3x 6 x r) y = 2.cos2x4sinx

    

2 ;

0  s) y = 2sinx - sin3x

3

[0;]

u) y = sin2x + 2sinx – t) y = cos22x = sinxcosx + 4

o) y = sin4x + cos2x + w) y = x – sin2x

   

 

  ;

2

2 Trong hình chữ nhật có chu vi 40 cm, xác định hình chữ nhật có diên tích lớn

3 Tính độ dài cạnh hình chữ nhật có chu vi nhỏ hình chữ nhật có diện tích 48cm2.

4 ĐỒ THI CỦA HÀM SỐ VÀ PHÉP TỊNH TIẾN HỆ TỌA ĐỘ. a) Công thức chuyển hệ tọa độ:

Công thức chuyển hệ tọa độ phép tịnh tiến theo vec tơ OI (x0;y0)là :

  

 

 

0

y Y y

x X x

b) Phương trình đường cong hệ tọa độ IXY: Y = f(X + x0 ) – y0

BÀI TẬP

1 Xác định đỉnh I (P) : y = x2 – x + Viết công thức chuyển hệ trục tọa độ phép tịnh tiến theo

OI viết phương trình (P) hệ tọa độ IXY

2 Cho hàm số y = x3 – 3x2 + 2

a) Xác định điểm I thuộc đồ thị (C) hàm số cho biết hoành độ điểm I nghiệm phương trình f’’(x) =

b) Viết công thức chuyển hệ trục tọa độ phép tịnh tiến theo OI viết phương trình (C)

hệ tọa độ IXY Từ suy I tâm đối xứng (C) Cho đường cong (C) : y = -

1

x điểm I(-1 ; 1) Viết công thức chuyển hệ trục tọa độ phép tịnh tiến theo OI viết phương trình đường cong (C) hệ trục IXY Từ suy I tâm đối

xứng (C)

5 ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ. a) Tiệm cận đứng.

Nếu    

  ( ) ; lim ( )

lim

0

x f x

f

x x x

x    

  ( ) ; lim ( )

lim

0

x f x

f

x x x

x đường thẳng

x = x0 tiệm cận đứng (C)

(5)

Nếu xlim f(x) y0



xlim f(x) y0 đường thẳng y = y0 tiệm cận ngang (C)

c) Tiệm cận xiên

Nếu lim ( ) (  ) 0



f x ax b

x xlimf(x) (axb) 0 đường thẳng y = ax + b ( a 0)

tiệm cận xiên (C)

BÀI TẬP. 1.Tìm tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị hàm số a) y =

1

2

  x x

b) y =

4

2

 

x x

c) y =

3

 

x x

d) y =

4

2

 

 

x x x

e) y =

1

2   x x Tìm tiệm cận đứng tiệm cận xiên đồ thị hàm số.

a) y = x – +

1

x b) y =

2

x

x

c) y =

1

4

3

  

x x x

d) y = x +

1

2

x x

6 KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

1/ Các bước khả sát biến thiên vẽ đồ thi hàm số. 1o Tìm TXĐ.

2o Xét biến thiên.

a) Giới han – Tiệm cận b) Lập bảng biến thiên 3o Vẽ đồ thị.

- Vẽ đường tiệm cận (nếu có)

- Xác định số điểm dặc biệt đồ thị ( Giao điểm đồ thị với trục tọa độ) - Nhân xét đồ thị : Chỉ trục đối xứng, tâm đối xứng

2/.Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d (a 0)

a > a <

Pt y’ = có hai nghiệm phân biệt

2

-2 O

2

-2

Pt y’ = có nghiệm kép

2

(6)

Pt y’ = vô nghiệm

2

4

2

BÀI TẬP Khảo sát biến tiên vẽ đồ thị hàm số sau :

1 y = x3 – 3x2 + 1 2 y = -x3 + 3x + 2 3 y = 2x3 – 3x2 +1 4 y = x 4x

1

 5, y = x3 – 3x2 + 3x + 1 6 y = -x3 – 3x + 2

3/ Hàm số y = ax4 + bx2 + c (a 0)

a > a <

Pt y’ = có ba nghiệm phân biệt

-2

2

Pt y’ = có nghiệm

2

-2

BÀI TÂP Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số sau :

1 y = x4 – 2x2 – 3 2 y = -x4 + 2x2 – 1 3 y = 4 1

1

  x

x 4 y =

4

x x  

5 y = x4 + 2x2 – 3

4/ Hàm số y = ( 0,  0)

 

bc ad c

d cx

b ax

(7)

4

2

4

2

-2

BÀI TẬP Khào sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số sau : y =

1

  x x

2 y =

1

 

x x

3 y =

2

x

x

4 y = x x

5 y =

2

x

5/ Hàm số y = ( ' 0, 0)

' ' '

'

2

  

   

 

r a a b x a

r q px b

x a

c bx ax

a.a’ > a.a’ <

Pt y’ = có hai nghiệm phân biệt

2

-2

-4

O

2

-2

-4

O

Pt y’ = vô nghiệm

2

-2 O

2

-2

O

BÀI TÂP Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số sau :

1 y =

1 2

2

  

x x x

2 y =

1

2

x

x

3 y =

1

2

  x

x x

4 y =

1

2

  x x y = - x +

x

1

6 y =

2

2

   x

(8)

7 MỘT SỐ BÀI TOÁN THƯƠNG GẶP VỀ ĐỒ THỊ 1/ Giao điểm hai đồ thị.

Hoành độ giao điểm hai đường cong y = f(x) y = g(x) nghiêm phương trình f(x) = g(x) (1)

Do số nghiệm phân biệt (1) số giao điểm hai đường cong 2/ Sự tiếp xúc hai đương cong.

a) Hai đường cong y = f(x) y = g(x) gọi tiếp xúc với điểm M0(x0 ; y0) chúng có tiếp

tuyến chung M0 Khi M0 gọi tiếp điểm

b) Hai đường cong y = f(x) y = g(x) tiếp xúc hệ phương trình

  

 

) (' ) ('

) ( ) (

x g x f

x g x f

có nghiệm Nghiệm hệ hoành độ tiếp điểm

3/ Tiếp tuyến.

a) Dạng : Viết phương trình tiếp tuyến (C) : y = f(x) điểm M0(x0 ; y0) thuộc (C)

Phương trình : y = y’(x0)(x – x0) + y0

b) Dạng : Viết phương trình tiếp tuyến (C) : y = f(x) biết tiếp tuyến có hệ số góc k. Gọi M0(x0 ; y0) tọa độ tiếp điểm.Phương trình tiếp tuyến (C) M0 :

y = y’(x0)(x – x0) + y0 Giải phương trình y’(x0) = k để tìm x0 y0

c) Dạng : Viết phương trình tiếp tuyến (C) : y = f(x) , biết tiếp tuyến qua điểm A(xA ; yA)

Phương trình (d) qua A có hệ số góc k : y = k(x – xA) + yA

(d) tiếp xúc (C)   

   

k x f

y x x k x

f A A

) ('

) ( ) (

có nghiệm

Nghiêm hệ hoành độ tiếp điểm

BÀI TẬP 1.Tìm tọa độ giao điểm hai đồ thị :

a) y = x3 + 4x2 + 4x + y = x + b) y = x3 + 3x2 + y = 2x + 5

c) y = x3 – 3x y = x2 + x – 4 d) y = x4 + 4x2 – y = x2 + 1

2 Tìm m để đồ thị hàm số :

a) y = (x – 1)(x2 + mx + m) cắt trục hoành điểm phân biệt.

b) y = x4 – 2(m + 1)x2 + 2m + không cắt trục hoành.

c) y = x4 – 2x2 – (m + 3) cắt trục hoành điểm phân biệt.

3 Tìm m để đường thẳng y = mx + 2m + cắt đồ thị hàm số y =

1

  x

x a) Tại hai điểm phân biệt

b) Tại hai điểm thuộc hai nhánh đồ thị

4 Tìm m để đường thẳng y = mx + m + cắt đồ thị hàm số y =

1 3 2

   x

x x

a) Tại hai điểm phân biệt

b) Tại hai điểm thuộc hai nhánh đồ thị

5 Tìm m để đường thẳng qua A(- ; - 1) có hệ số góc m cắt đồ thị hàm số y =

1

2

  x x

a) Tại hai điểm phân biệt

(9)

6 CMR: (P): y = x2 – 3x – tiếp xúc với (C) : y =

1

2

   

x x x

Tìm m để đồ thị hàm số :

a) y =

1

2

  x

m x

tiếp xúc với đường thẳng y = - x + b) y = x3 – 3mx + m + tiếp xúc với trục hoành.

c) y = x4 – 2x2 + tiếp xúc với đồ thị hàm số y = mx2 – 3.

BÀI TẬP.

1 Cho (C) : y = x3 – 6x2 + 9x – 1.Viết phương trình tiếp tuyến (C) :

a) Tại điểm uốn (C) (Là điểm có hồnh độ nghiệm phương trình f”(x) = 0) b) Tại điểm có tung độ -1

c) Song song với đường thẳng d1 : y = 9x –

d) Vng góc với đường thẳng d2 : x + 24y =

2 Cho (C) : y =

2

  x x

Viết phương trình tiếp tuyến (C): a) Tại giao điểm (C ) với trục Ox

b) Song song với đường thẳng d1 : y = 4x –

c) Vng góc với đường thẳng d2: y = -x

d) Tại giao điểm hai tiệm cận 3.Cho (C ) : y =

1

2

   x

x x

.Viết phương trình tiếp tuyến (C ): a) Tại điểm có hịanh độ x =

b) Song song với đường thẳng d : -3x + 4y + = c) Vng góc với tiệm cận xiên

4 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) a) y = x3 – 3x + qua điểm A(1 ; 0)

b) y =

2 3

1

  x

x qua điểm A(0 ; )

2

c) y =

2

  x x

qua điểm A(-6 ; 5) d) y =

2

2

   x

x x

qua điểm A(2 ; 1)

TỔNG HỢP VỀ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ. 1) Cho hàm số y = x3 + 3x2 – 4

a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số

b) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm M0(-1; -2)

c) Chứng minh điểm uốn (C) tâm đối xứng 2) Cho hàm số y = -x3 + 3x + 1.

a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số

b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm phương trình x3 – 3x + m = 0.

c)Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm có hịanh độ x0 =

3) Cho hàm số y = x3 – 6x2 + 9x + 1

a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số

b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y = 24

1

x

c) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị hàm số 4) Cho hàm số y = - x3 + 3x2 – 2.

a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số

(10)

5) Cho hàm số y =

1

  x x

a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số

b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến qua điểm A(1 ; 0)

6) Cho hàm số y =

3

1x3 x2 x

a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số

b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) giao điểm (C) với trục hòanh 7) Cho hàm số y = x3 + x

a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số

b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) giao điểm (C) với trục tung 1)Cho hàm số y = x4 – 2x2 + 1

a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số

b) Biện luận theo m số nghiệm phương trình: x4 – 2x2 + – m = 0.

c) Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm có hịanh độ x =

2) Cho hàm số y = - x4 + 2x2 + 2.

a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số

b) Tìm m để phương trình x4 – 2x2 + m = có bốn nghiệm phân biệt.

c) Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm cực tiểu đồ thị hàm số 3) Cho hàm số y =

2 3

2

  x x

a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số

b) Biện luận theo m số nghiệm phương trình: x4 – 6x2 + – m = 0.

c) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến qua điểm A(0 ; )

4) Cho hàm số y = -x4 + 6x2 – 5

a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số

b) Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị (C) ba điểm phân biệt b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm M0(1 ; 0)

5) Cho hàm số y =

4

1

  x x

a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số

b) Tìm m để phương trình : x4 – 8x2 – + m = có nghiệm phân biệt.

c) Viết phương trình tiếp tuyến (C) giao điểm (C) với trục tung 1)Cho hàm số y =

1

  x x

a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (H) hàm số b) Viết phương trình tiếp tuyến (H) điểm M0(2 ; 3)

c) Viết phương trình tiếp tuyến (H) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = -2x + 2) Cho hàm số y =

1

  x

x

a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (H) hàm số

b) Viết phương trình tiếp tuyến (H) điểm có hịanh độ x = -2

c) Viết phương trình tiếp tuyến (H) biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y = -x +

3) Cho hàm số y = x x

1

a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (H) hàm số b) Tìm (H) điểm có tọa độ số nguyên

(11)

4) Cho hàm số y = x x

a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (H) hàm số

b) Viết phương trình tiếp tuyến (H) giao điểm (H) với trục hịanh c) Tìm m để đường thẳng y = x + m cắt (H) hai điểm phân biệt

5) Cho hàm số y =

4

x

a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (H) hàm số

b) Một đường thẳng (d) qua A(-4 ; 0) có hệ số góc m Tìm m để (d) cắt (H) hai điểm phân biệt

c) Viết phương trình tiếp tuyến (H) biết tiếp tuyến qua điểm A(4 ; 4) 1.Cho hàm số y =

1 3

2

   x

x x

a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số

b) Biện luận theo m só nghiệm phương trình: x2 + (3 – m)x + – m = 0.

c) Tìm điểm (C) cách hai trục tọa độ Cho hàm số y =

x x x

  

1

2

a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm M0(0, -1)

c) Chứng minh khơng có tiếp tuyến (C) song song với tiệm cận xiên (C) Cho hàm số y =

1 )

(

  x x

a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số

b) Gọi (d) đường thẳng điqua A(-1 ; 0) có hệ số góc m Tìm m để (d) cắt (C) hai điểm phân biệt

c) Chứng minh tích khỏang cách từ điểm M (C) đến hai tiệm cận (C) số không đổi

4 Cho hàm số y = x -

1

x

m

có đồ thị (Cm)

a) Tìm m để (Cm) tiếp xúc với đường thẳng (d): y =

b) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số m =

c) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến qua gốc tọa độ 5) Cho hàm số y = x +

x

1

a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số

b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) có hệ số góc –

c) Tìm hai điểm thuộc hai nhánh (C) để khỏang cách chúng nhỏ Cho hàm số y =

1 2

2

  

x x x

a) Tìm điểm (C) có tọa độ số nguyên

b) Chứng minh (C) nhận giao điểm hai tiệm cận làm tâm đối xứng c) Tìm m để (C) tiếp xúc với (P): y = - x2 + m.

7 Cho hàm số y =

1 ) (

2

   

x

m x m x

có đồ thị (Cm)

a) Xác định m cho tiệm cận xiên (Cm) định hai trục tọa độ tam giác có diện tích

bằng

b) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số m =

(12)

8 Cho hàm số y =

1

2

  x x

a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số

b) Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm phương trình:

x2 – mx + – m = suy giá trị m để phương trình có hai nghiệm phân biệt dương.

c) Định k để đường thẳng (d): y = k(x – 3) + cắt (C) hai điểm phân biệt 9) Cho hàm số y =

1

2

  x

x x

a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số

b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến qua giao điểm hai tiệm cận c) Tìm điểm (C) có tổng khỏang cách đến hai tiệm cận nhỏ

HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT 1.ĐỊNH NGHĨA LŨY THỪA VÀ CĂN.

Số mũ  Cơ số a Lũy thừa a

*

N n 

aR a an a.a a(n

 

 thừa số )

0

a 0 a a0 1

)

(n N*

n

 

a 0

n n

a a a   

) ,

(m Z n N*

n m

  

a0 a an n am (n a b bn a)

m

   

 )

, (

limr r Q n N*

n

n  

a0 a limarn

* Một số tính chất bậc n. 1) ab n a.n b

2)  (b0)

b a b a

n n n

3) n p  n p a

a  (a > 0)

4) m n am.na

5) n a n.mam

2 TÍNH CHÁT CỦA LŨY THỪA. * với a > 0, b > 0, ta có

   

  

   

   

  

b a b a b

a ab a

a a

a a a

a

a  

     

 

  ;  ; ( ) ; ( ) ;

a > : a a  

< a < :       a

a 3 ĐỊNH NGHĨA LÔGARIT.

* Với số 0a1,b0

(13)

b e b b b           ln 10 log

4 TÍNH CHẤT CỦA LÔGARIT

* a a b b

a

a   a

log ; log ; log

* loga(b.c)logablogac

b c

c b

a a

a log log

log  

    

logab .logab

Đặc biệt: b

n b b b a n a a a log log ; log

log  

* c bc ab bc ac

a a

b log log log

log log

log   

Đặc biệt : b b

a

b a a

b a log log ; log log     c b c b a c b c b a a a a a            log log : 0 log log :

5 GIỚI HẠN

lim 1 ; limln(1 )

0       x x x e x x x 6 BẢNG ĐẠO HÀM.

x

x e

e )'

(

a a ax)' x.ln

( 

x x)'

(ln  a a x x a ln )' (log  ) , ( )' (  

xx

x   

n n n x n x 1 )' (   u

u u e

e )' '

( 

a a u

au)' '. u.ln

( 

u u u)' '

(ln 

a u

u u

a .ln

' )' (log  ' )' ( u u u      n n n u n u u ' )' (  

I LŨY THỪA * Đơn giản biểu thức 1) x6.y12 5 x.y25

 2) 3 4 b a ab b a

 3)

1

1 41

2      a a a a a a a

4) 

                 m m m m m 2 2

* Tính giá trị biểu thức

1)

3 75 , 32 125 81                

 2)

1 2 ) ( 64 ) ( 001 ,

0       

3) 0,5

75 , 25 16

27  

      

4)

1 25

,

4 19( 3)

4 625 ) , (              

(14)

1) 25.

8

ax 2) 3 a5.4 a 3) 8 b3.4 b 4) 27.3

3

a * Tính

1)   3

3 

  

 2) 412 3.161 3)

2

3 27

4)  58 54

2

* Đơn giản biểu thức

1)

)

(

3 2    b a b a

2) 4 3 3

3 3 3

2 1)( )

( a a a a a a    

3)    

        

b ab

a )

(

1

II LÔGARIT.

* Biết log52 = a log53 = b Tính lôgarit sau theo a b

1) log527 2) log515 3) log512 4) log530

* Lôgarit theo số biểu thức sau , viết dạng tổng hiệu lôgarit 1)  3

2

5 a3b 2)

2 , 10          b a

3) 9a45 b 4)

27a b

* Tính giá trị biểu thức

1) log915 + log918 – log910 2)

3 3

1 log 400 3log 45

2 log

2  

3) log 12log

6

36  4) log (log34.log23)

4

* Tính giá trị biểu thức 1) 2log log log

1 125 49 25

81 

       

2) log 3log

2 log

1

4 42

16 

3) 

       

log log log 7 49 72

* Tìm x biết

1) log6x = 3log62 + 0,5 log625 – log63 2) log4x = log 216 2log 10 4log 3

1

4

4  

* Tính

1) log(2 3)20 log(2 3)20

 

 2) 3log( 21)log(5  7) 3)

e e ln1

ln  4) lne 4ln(e2 e)

* Tìm x biết

1) logx18 = 2)

5

log 

x 3) logx(2.3 2)6

* Biết log126 = a , log127 = b Tính log27 theo a b

* Biết log214 = a Tính log4932 theo a

III HÀM SỐ MŨ – LÔGARIT – LŨY THỪA. * Tìm tập xác định hàm số sau

1) y =

1  x x e e

2) y = 1

x

e 3) y = ln 

       x x 1

4) y = log(-x2 – 2x ) 5) y = ln(x2 -5x + 6) 6) y =

         x x x 1 log 2

* Tìm giới hạn 1) x e x x lim 

 2) x

e e x x

x lim   3) ) ( lim x x

x  4) 

       

xe x

x x

1

lim

5) limx 9log3 x

 6) x

x x ) ln( lim 

 7) x

(15)

8)

x x

x sin2

) ln( lim

0

 9) 1

1 lim

0  

x

ex

x 10) x

x

x tan

) ln( lim

0

* Tính đạo hàm hàm số sau

1) y = (x2 -2x + 2).ex 2) y = (sinx – cosx).e2x 3) y =

x x

x x

e e

e e

 

 

4) y = 2x - ex 5) y = ln(x2 + 1) 6) y =

x x

ln

7) y = (1 + lnx)lnx 8) y = 2.ln

x

x 9) y = 3x.log3x

10) y = (2x + 3)e 11) y = x x

. 12) y = 3 x

13) y = ln2 2x 14) y = 3 cos2x 15) y = 5cosx + sinx

* Chứng minh hàm số sau thỏa mãn hệ thức tương ứng cho 1) y = esinx ; y’cosx – ysinx – y’’ = 0

2) y = ln(cosx) ; y’tanx – y’’ – = 3) y = ln(sinx) ; y’ + y’’sinx + tan

2

x = 4) y = ex.cosx ; 2y’ – 2y – y’’ = 0

5) y = ln2x ; x2.y’’ + x y’ = 2

* Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số sau :

1) y = (x2 – 2x).ex đoạn [0 ; 3] 2) y = x2ex đoạn [-3 ; 0]

3) y = xlnx đoạn [e-2 ; e] 4) y =

x x

ln

đoạn       ;

2 e

e 5) y =

x x

ln

đoạn 1; e3 6) y = x2 – ln(1 – 2x) đoạn [-2 ; 0]

7) y = 2ln(x – 1) + 3lnx – 2x đoạn [2 ; ]

* CÁC DẠNG CƠ BẢN CỦA PHƯƠNG TRÌNH , BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT a) a af(x) ag(x) f(x) g(x)

 

 

  

 

 

)( )(

)0) (( 0) ( )( log )( log

xg xf

xg hay xf xg xf a a

b) a1 af(x) ag(x)  f(x)g(x)

loga f(x)logag(x)  f(x)g(x)0

c) a af(x) ag(x) f(x) g(x)

 

 

loga f(x)logag(x)  0 f(x)g(x)

I PHƯƠNG TRÌNH MŨ. * Giải phương trình:

1) (0,2)x-1 = 1 2) 3

3

     

x 3)

16

4

  x

x 4) x

x

3

2

1  

      

5) 3 22x 32 2 6)     1

2

5 

 

 

x

x

x 7) 1

9

3 2 

x

x

8) 25

  x

x 9) 3x.2x+1 = 72 9) 2

2

1

           

x  x

10)

27 60 20

4 

   x x

x 11) 5x+1 + 5x – 5x-1 = 52

12) 3x+1 – 3x-1 – 3x = 13) 4x + 4x-2 – 4x+1 = 3x – 3x-2 – 3x+1

(16)

1) 4x + 2x+1 – = 0 2) 4x+1 – 2x+1 + = 0

3) 34x+8 – 32x+5 + 27 4) 31+x + 31-x = 10

5) 5x-1 + 53 – x = 26 6) 9x + 6x = 4x

7) 4x – 52x = 10x 8) 27x + 12x = 8x

9) 2 3x 2 3x 2 10) 48 48 14   

 

    

  x x

11) 35 35 12

  

 

    

  x x 12) 73 5x 7 3 5x 14.2x

13) 32x+4 + 45 6x – 22x+2 = 0 14) 8x+1 + 8.(0,5)3x + 2x+3 = 125 – 24.(0,5)x

* Giải phương trình 1) 3 24 2 4

x

x

x 2)

3

2   

x x

x 3) x

x x

 2 36.32

8 4) 500

1

x x x

5) 53log5x 25x 6) x6.3logx3 35 7) 9.xlog9xx2 8) x4.53 5logx5

* Giải phương trình

1) 2x + 3x = 5x 2) 3x + 4x = 5x 3) 3x = – 2x 4) 2x = – x

5) log2x = – x 6) 2x = – log2x 7) 9x + 2(x – 2)3x + 2x – =

II PHƯƠNG TRÌNH LƠGARIT. * Giải phương trình

1) log2x(x + 1) = 2) log2x + log2(x + 1) = 3) log(x2 – 6x + 7) = log(x – 3)

4) log2(3 – x) + log2(1 – x) = 5) log4(x + 3) – log2(2x – 7) + =

6) x

x x x

2 log log

log log

125

25

 7) 7logx + xlog7 = 98 8) log2(2x+1 – 5) = x

* Giải phương trình

1) log22(x - 1)2 + log2(x – 1)3 = 2) log4x8 – log2x2 + log9243 =

3) log3x  log33x3 4) 4log9x + logx3 =

5) logx2 – log4x +

 6)

x x x

x

81 27

3

log

log log

log

   

7) log9(log3x) + log3(log9x) = + log34 8) log2x.log4x.log8x.log16x =

9) log5x4 – log2x3 – = -6log2x.log5x 10) log (2 5) log2

2 

x

x x

x

III HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LƠGARIT. * Giải hệ phương trình sau

1)

  

  

 

15 log 1 log log

11

2

2x y

y x

2)   

  

  

3 log ) log( ) log(

8 log 1 ) log( 2

y x y

x y x

3)

   

  

2 ) ( log

972 2.

3

3 x y

y x

4)

  

 

 

2 log log

25

2

2x y

y x

5)

  

 

 

1 4 3 3

y x

y x

6)

    

 

   

3 9 4 3 3

y x

y x

7)

   

  

 

5 5. 2

7 5 2

1 x y x

y x x

8)   

  

  

1 ) ( log ) ( log

3

5

2

y x y

(17)

9)

   

 

 

0 log . log ) ( log

) ( log log

log

2

2

2

y x y

x

xy y

x

10)

   

 

3 log

log log log

) 3( )

4( 4 3

y x

y x

11)

   

   

 

12 3 3

) ( 2 4

2 2

2 log

log3 3

y x y x

xy

xy

12)   

  

64 log

1 2

y

x

x y

13)   

 

 

 

1 ) 2 3( log ) 2 3( log

5 4 9

3

2

y x y

x y x

14)

    

 

y x y

x

y x

xy

3 3

27 27

27

log 4

log 3 log

log . log 3 log

IV BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT * Giải bất phương trình

1) 32x5 1 2) 27x <

3)

2

1

 

   

xx 4) 62x3 2x7.33x1

5)

  x

x 6) 3x – 3-x+2 + > 0 7) xlog3x4 243

9) log (5 1)

2

1 x  10)

1 log4

  x

x

11) log0,8(x2 + x + 1) < log0,8(2x + 5)

12) log (log211 )

1 

 

x x

13) log22x + log24x – > 14) log log

3   x

x

15) log2(x + 4)(x + 2) 6 16)

1

log 2 

 

x x

x 17) log4 x 1 18) log2x + log3x < + log2x.log3x 19) 3logx4 + 2log4x4 + 3log16x4 0

*Tìm tập xác định hàm số sau :

1) y =

5 log0,8 

 

x x

2) y = log ( 2)

2

1 x  3) y = log ( 2 2)

2 xx 4) y = log 2

2

(18)

NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

TÓM TẮT GIÁO KHOA

I Bảng tính nguyên hàm bản:

Bảng Bảng 2

Hàm số f(x) Họ nguyên hàm F(x)+C Hàm số f(x) Họ nguyên hàm F(x)+C

a ( số) ax + C

x

1

1 xC

 

(ax b )

a

1 ( )

1 ax bC

 

1

x ln x C

1

ax b lna ax b C 

x

a

ln

x

a C a

x

e ex C

eax b 1eax b C

a  

sinx -cosx + C sin(ax+b) cos(ax b C)

a

  

cosx Sinx + C cos(ax+b) sin(ax b C)

a  

2

1

cos x

tgx + C

2

1

cos (ax b ) (atg ax b C )

2

1

sin x

-cotgx + C

2

1

sin (ax b )  cot (a g ax b C )

'( )

( )

u x u x

ln ( )u xC

2

1

xa 21 lna x a Cx a

  

tgx  ln cosx C

2

1

xa

2

ln xxaC

cotgx ln sinx C

II BÀI TẬP:

(19)

1 f(x) = x2 – 3x +

x

1

ĐS F(x) = xx lnxC

2 3

2

f(x) = 42

x

x  ĐS F(x) =

C x x

 

3

f(x) = 21

x x

ĐS F(x) = lnx + x

1

+ C f(x) = 2

2 1)

(

x x

ĐS F(x) = C x x x

  

3

3

5 f(x) = x x x

 ĐS F(x) = xxxC

5 4 3

2

5

6 f(x) = 32

x

x  ĐS F(x) = x 33 x2 C

7 f(x) = x x 1)2

(  ĐS F(x) =

C x x

x ln  f(x) = 3

x x

ĐS F(x) = xx3 C

2

2

9 f(x) =

2 sin

2 x ĐS F(x) = x – sinx + C

10 f(x) = tan2x ĐS F(x) = tanx – x + C

11 f(x) = cos2x ĐS F(x) = x sin2xC

1

12 f(x) = (tanx – cotx)2 ĐS F(x) = tanx - cotx – 4x + C

13 f(x) =

x x 2 .cos

sin

ĐS F(x) = tanx - cotx + C 14 f(x) =

x x

x

2 .cos

sin cos

ĐS F(x) = - cotx – tanx + C 15 f(x) = sin3x ĐS F(x) =  cos3xC

3

16 f(x) = 2sin3xcos2x ĐS F(x) =  cos5x cosxC

5

17 f(x) = ex(ex – 1) ĐS F(x) = e x ex C

 

2

18 f(x) = ex(2 + )

cos2 x

ex

ĐS F(x) = 2ex + tanx + C

19 f(x) = 2ax + 3x ĐS F(x) = C

a ax x

 

3 ln

3 ln

20 f(x) = e3x+1 ĐS F(x) = e3x1C

3

2/ Tìm hàm số f(x) biết

1 f’(x) = 2x + f(1) = ĐS f(x) = x2 + x +

2 f’(x) = – x2 f(2) = 7/3 ĐS f(x) = 1

3   x

x

3 f’(x) = xx f(4) = ĐS f(x) =

3 40

8

  x

x x

4 f’(x) = x - 12 2

x f(1) = ĐS f(x) = 2

2

 

x

x x

f’(x) = 4x3 – 3x2 + f(-1) = ĐS f(x) = x4 – x3 + 2x + 3

6 f’(x) = ax + 2, f'(1)0, f(1) 4, f(1)2

x b

ĐS f(x) =

2

2  

(20)

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUN HÀM 1.Phương pháp đổi biến số.

Tính I = f[u(x)].u'(x)dx cách đặt t = u(x)  Đặt t = u(x) dtu'(x)dx

 I = f[u(x)].u'(x)dxf(t)dt BÀI TẬP

Tìm nguyên hàm hàm số sau: (5x 1)3dx

 )5

3

( x

dx

 5 2xdx

2x dx (2x2 1)7xdx (x3 5)4x2dx x2 1.xdx

  

dx

x x

5

2

9  

dx x x

3

2

3

10 

 )2

1 ( x x

dx

11 dx x

x

3

ln

12 xex21dx

13 sin4 xcosxdx

14  dx x x

5

cos sin

15 cotgxdx 16 

x tgxdx

2

cos

17  x dx

sin 18  x dx

cos 19 tgxdx 20  x dx e x

21 

x x

e dx e

22  dx x etgx

2

cos

2 Phương pháp lấy nguyên hàm phần.

Nếu u(x) , v(x) hai hàm số có đạo hàm liên tục I

u(x).v'(x)dxu(x).v(x) v(x).u'(x)dx

Hay

udvuv vdu ( với du = u’(x)dx, dv = v’(x)dx)

Tìm nguyên hàm hàm số sau:

1 x.sinxdxxcosxdx (x5)sinxdx 4(x2 2x3)cosxdxxsin2xdxxcos2xdxx.exdx

lnxdx

9 xlnxdx 10  xdx

ln 11 

x xdx

ln

12 e xdx

13  dx

x x

2

cos 14 xtg xdx

2

15 sin x dx 16 ln(x2 1)dx 17 ex.cosxdx

18 x3ex2dx

19 xln(1x2)dx 20 2xxdx 21 xlgxdx 22 2xln(1x)dx 23   dx

x x

) ln(

24 x2cos2xdx

TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG ĐN VÀ CÁC TÍNH CHẤT TÍCH PHÂN

1 Định nghĩa: Cho hàm số y=f(x) liên tục a b;  Giả sử F(x) nguyên hàm hàm số f(x) Thì: ( )  ( ) ( ) ( )

b

b a a

f x dxF xF b F a

 ( Công thức NewTon - Leiptnitz)

Bài 1: Tính tích phân sau: 1/ 

 

1

1

2 1)

2

( x x dx 2/   

0

3 )

3 2

( x x dx 3/ 

2

2

)

(x dx

x 4/ 

3

2 4)

(21)

5/ dx x x         1

6/  

2 2 dx x x x

7/ 

e e x dx 1

8/ 

16

1

.dx x

9/ dx

x x x e   

10/ dx

x x         

1 33

1

4 11/ 

  2 dx x x

12/ dx

x x           2

13/ 

           1 2 dx x x x

14/ dx

x x x    3

15/ x dx

x x x              2 1

16/ 

 2 cos cos   xdx

x 17/ 

 2 sin sin   xdx

x 18 / 4

0 cos sin  xdx x 19/  sin 

xdx 20/ e x dx  

21/ 

1 dx e x Bài 2: 1) 3 x 1dx  

 2)

4

x 3x 2dx

 

 3)

5

3

( x x )dx

  

 4)

2 2 x 2dx x    5) x

2  4dx

 6)

0

1 cos2xdx

 7) xxdx

2

2

II TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ :

1) DẠNG 1:Tính I = b

' a

f[u(x)].u (x)dx

 cách đặt t = u(x)

Công thức đổi biến số dạng 1:     

) ( ) ( ) ( ) ( ' . )

( u b

a u b a dt t f dx x u x u f

Cách thực hiện:

Bước 1: Đặt t u(x) dt u'(x)dx

  

Bước 2: Đổi cận :

) ( ) ( a u t b u t a x b x     

Bước 3: Chuyển tích phân cho sang tích phân theo biến t ta được

     ) ( ) ( ) ( ) ( ' . )

( u b

a u b a dt t f dx x u x u f

I (tiếp tục tính tích phân mới)

Chú ý

Dấu hiệu Cách chọn

1 f(sinx)cosxdx

2 f(cosx).sinxdx

3.f(ex)exdx

4  dx

x x f(ln ).1

t = sinx t = cosx t = ex

(22)

1) 

2

11

3

dx

x 2)   1 dx e x

3) 

1

0

2

xdx e x

4) 

  1 1 dx x x

5) x 1.xdx

0

  6) 

dx x x 7) 

3 .cos

sin

xdx

x 8) 

3 cos tan   dx x x 9)  

01 sin

cos

dx x

x 10)

  sin cos  xdx

x 11) 

e dx x x ln

12) 

2

ln

e

e x x

dx

13)  

e dx x x ln

14) 

e

x x

dx

1 ln

15) dx x x  ln

16) 

2 ln x x dx

17) 

4

1

dx x e x

18)   ln dx e e x x

19) ln8 ex 1.exdx

ln

 20) 

 ln

2

ln x

x e dx e 21)  2 cos 

xdx 22) 

2

0

cos

xdx 23) 

2

0

2 .cos

sin

xdx

x 24) 

2 3 cos sin  xdx x

2) DẠNG 2: Tính I = b

a

f(x)dx

 cách đặt x = (t)

Công thức đổi biến số dạng 2:    

 

t t dt

f dx x f I b a ) ( ' ) ( ) (

Cách thực hiện:

Bước 1: Đặt x (t) dx '(t)dt

  

Bước 2: Đổi cận :

       t t a x b x

Bước 3: Chuyển tích phân cho sang tích phân theo biến t ta được

   

 

t t dt

f dx x f I b a ) ( ' ) ( )

( (tiếp tục tính tích phân mới)

 Chú ý:

Dấu hiệu Cách đặt

2 x a  2 a x  2 x ax a x a   x a x a   ) )( (xa bx

x = asint với  /2t/2

x = x a

sin với t[/ ;2/ ]2 {\ }0

x = atgt với  /2t/2

x = acos2t x = a+(b-a)sin2t

Tính tích phân sau: 1)

1

2

1 x dx

 2)

2

1 dx x

 3)

2

1 dx

4 x

 4)

1

1 dx

x  x 1

(23)

5)

4

x dx

x x 1

 6)

2 2

2

x dx

1 x

 7)

2

2

1

x x dx

 8)

 

 

1

0 x2 x2 dx

II TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN: Cơng thức tích phân phần:

    

b a

b a b

a v x u x dx

x v x u dx x v x

u( ) '( ) ( ) ( ) ( ) '( )

Hay:     

b a

b a b

a vdu

v u

udv

Cách thực hiện:

Bước 1: Đặt

)( )( ' )(

' )(

xv v

dx x u du dx x v dv

x u u

    

Bước 2: Thay vào cơng thức tích phân từng phần :     

b a

b a b

a vdu

v u

udv

Bước 3: Tính  b a

v

u

b a

vdu

Chú ý:

Dấu hiệu Cách đặt

b

a

xdx x

P( ).sin 

b

a

xdx x

P( ).cos

b

a

xdx

e x P( )

b

a

xdx x

P( ).ln

b

a

x xdx

e sin  b

a

x xdx

e cos

Đặt u = P(x) Đặt u = P(x) Đặt u = lnx

Đặt u = sinx u = cosx

Tính tích phân sau 1) 

1

0

.e dx

x x

2)

 

2

0

cos ) (

xdx

x 3)  

6

0

3 sin ) (

xdx

x 4) 

2

0

2 sin

xdx

x

5) 

e

xdx x

1

ln 6)  

e

dx x x

1

2).ln .

1

( 7) 

3

1

ln

4x xdx 8)  

0

2).

3 ln(

x dx

x 9)

 

2

1

2 1). .

(x ex dx

10) 

0

cos

xdx

x 11)

2

0

2.cos .

dx x

x 12)  

2

0

2 2 ).sin .

(

dx x x

x 13)

2

ln xdx x

(24)

14) 2

x cos xdx

 15)

1 x

e sin xdx

 16)

2

0

sin xdx

 17)

e

x ln xdx

 18)

2

x sin xdx cos x

19)

0

xsin x cos xdx

20)

0

x(2cos x 1)dx

 21)

2 ln(1 x)dx x 

 22)

1

2 2x

(x 1) e dx

 23)

e

2

(x ln x) dx

 24)

2

0

cosx.ln(1 cosx)dx

 25)

ln ( 1) e e x dx x

 26)

1

xtg xdx

 27)  

1

2

) 2

(x e xdx

28)  

1

2)

1

ln( x dx

x

29) 

e dx x x ln 30)  

3 )sin cos

(

xdx x

x 31)   

2 ) ln( )

( x x dx 32)  

3

2 )

ln(x x dx III ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG :

Công thức: | ( ) ( ) | b a dx x g x f S  ( ) ( ) | |   b a dy y g y f S

Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau:

1)               2 1 0 2 2 x x y x x y 2)              2 1 0 2 x x y x x y 3)        0 4 y x x y 4)         4 2 2 x y x x y 5)            3 2 2 2 x x y x x y 6)           x x y x y 3 2 1 4 1 2 7)          x y y x y 4

0 8)

            x y x y x y 8 8 1 2              b x a x x g y C x f y C H : : ) ( :) ( ) ( :) ( :) ( 2              b y a y y g x C y f x C H : : ) ( :) ( ) ( :) ( :) ( 2 x y ) (H a b ) ( : )

(C1 yf x

) ( : )

(C2 yg x a

xxb

O x y ) (H a b ) ( : )

(C1 xf y

) ( : )

(C2 xg y

a

y

b

y

(25)

9)        2 |2 3 | y x x y 10)             4 0 0 tan  x x y x y 11)             1 x e y e y x x 12)             1 0 0 1 x x y x x y 13): 2 x y 4 x y           14) :

y x 4x

y x

          15) 3x y x y x              16 2 y x x y       

17): y x 2

y x

        18)

y x

x y

         19) ln x y x y x e x              20) 2

y x 2x

y x 4x

         21)

2 3

y x x

2 y x          22)

y 2y x

x y

        23         ) ( 2 :) ( :) ( Ox x y d x y C 24)          1 :) ( 2 :) ( :) ( x y d e y C x 25)        1 1 2 x y x y 26)          0 3 4 2 y x x y 27)           0 0 2 y y x x y 28)          2 1 1 2 x y x y 29)        3 ,0 , 2 y y x y x y 30)          e x e x y x y , 1 0 , ln

31) (P): y = x2, x = tiếp tuyến với (P) điểm có hịanh độ x = 1.

32) (P): y = -x2 + 6x + 8, tiếp tuyến đỉnh (P) trục tung.

33) (P): y = -x2 + 4x – tiếp tuyến (P) điểm M

1(0 ; -3), M2(3; 0)

34) (P): y = - x2 + 4x tiếp tuyến (P) qua điểm A 

     ;6

2

IV ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRỊN XOAY. Cơng thức:

a y0 b

) ( :

)

(C yf x

b a xb xx y O b a x yx O ) ( : )

(C xf y b

y

a

(26)

V bf xdx a

2

) ( 

 V bf ydy a

2

) (  

Bài1:Tính thể tích vật thể trịn xoay hình phẳng giới hạn đường sau: a) y = lnx , y = , x = , x = e quay quanh trục Ox

b) y = tanx , y = , x = , x =

4

quay quanh trục Ox c) y =

x

4

, y = , x = , x = quay quanh trục Ox d) y = x.lnx , y = , x = , x = e quay quanh trục trục Ox

e)

1 e x

y  , y = , x = , x = quay quanh trục Ox f) y = 5x – x2 , y = quay quanh trục Ox.

g) y = 2x2 , y = 2x + quay quanh trục Ox.

h)

3

3 x

y  , y = x2 quay quanh trục Ox k) y x ln(1 x2)

 , y = , x= quay quanh trục Ox

Bài 2: Tính thể tích vật thể trịn xoay hình phẳng giới hạn đường sau quay quanh trục tung.

a) y = x2 , x = , y = , y = 4

b) y = x3 , x = 0, y = , y = 2

c) y = lnx , x = , y = , y = d) y = – x2 , x = , y = 1

Bài 3: Cho miền D giới hạn hai đường : x2 + x - = ; x + y - = 0

Tính thể tích khối trịn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox Bài 4: Cho miền D giới hạn đường : y x;y x;y 0  

Tính thể tích khối trịn xoay tạo nên D quay quanh trục Oy Bài 5: Cho miền D giới hạn hai đường : y (x 2)  y =

Tính thể tích khối trịn xoay tạo nên D quay quanh: a) Trục Ox

b) Trục Oy

Bài 6: Cho miền D giới hạn hai đường : y 4 x y x2;  22

Tính thể tích khối trịn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox Bài 7: Cho miền D giới hạn đường :

2 21 ;1 2

x

y y

x

 

Ngày đăng: 14/05/2021, 23:04

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan