Viết công thức chuyển hệ trục tọa độ trong phép tịnh tiến theo OI và viết phương trình của đường cong (C) đối với hệ trục IXY. ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ.. 1.Tìm tiệm cận đứng v[r]
(1)ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
1 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÁM SỐ.
1/ Giả sử f(x) có đạo hàm khoảng (a ; b) Ta có: a) Điều kiện đủ:
- f’(x) > khoảng (a ; b) f(x) đồng biến khoảng (a ; b) - f’(x) < khoảng (a ; b) f(x) nghịch biến khoảng (a ; b) b) Điều kiện cần.
- f(x) đồng biến khoảng (a ; b) f’(x) 0 khoảng (a ; b)
- f(x) nghịch biến khoảng (a ; b) f'(x)0trên khoảng (a ; b)
2/ Phương pháp tìm khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số - Tìm TXĐ hàm số
- Tính y’, giải phương trình y’ = - Lập bảng xét dấu y’
- Sử dụng điều kiện đủ tính đơn điệu để kết luận
Chú ý: Trong điều kiện đủ, f’(x) = số hữu hạn điểm thuộc (a ; b) kết luận Cần nhớ: f(x) = ax2 + bx + c
Nếu 0 f(x) dấu a
Nếu 0 f(x) ln dấu a
a b x
2
Nếu 0 f(x) có hai nghiệm x1 , x2 Ta có bảng xét dấu sau:
x - x1 x2 +
f(x) Cùng dấu a Trái dấu a Cùng dấu a
Đặc biệt: +
0 0 0
)( x R a xf
+
0 0 0
)( x R a xf
+ af()0 f(x)0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 x1 < < x2
BÀI TẬP Xét tính đồng biến, nghịch biến hàm số
a) y = + 3x – x2 b) y = 2x3 – 6x + c) y = - 3 7 1
1
x x
x d) y = x3 + 3x + 1
e) y =
3
4x3 x2 x f) y = x4 – 2x2 + g) y = -x4 + 2x2 – h) y = x4 + x2
k) y = x x
1
l) y =
1
x x
m) y =
1
2
x
x x
n) y = x + x
4
p) y = 4 x2
q) y = x2 x 20 r) y = x + 1 x2 s) y = x + x2 1 Tìm m để hàm số sau đồng biến R
a) y = x3 – 3mx2 + (m + 2)x – ĐS : 1
2
(2)b) y = mx3 – (2m – 1)x2 + 4m – ĐS : m =
3, Tìm m để hàm số sau nghịch biến TXĐ
a) y = ( 2) ( 8)
3
2
x m x m x ĐS : 1m4
b) y = (3 2)
3 )
(
x m mx
x m
ĐS :
2
m Tìm m để hàm số :
a) y = m x mx
1
đồng biến khoảng xác định hàm số ĐS : m < -1 m > b) y =
m x
m mx
10
2
nghịch biến khoảng xác định hàm số ĐS : 2
5
m
5 Chứng minh :
a) Hàm số y = sin2x + cosx đồng biến
3 ;
0 và nghịch biến
;
3
b) Hàm số y = tanx – x đồng biến khoảng
2 ;
2 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ.
* Định nghĩa: Cho y = f(x) xác định liên tục (a ; b) x0(a;b)
a) Nếu tồn số h > cho f(x) < f(x0) x(x0 h;;x0 h) xx0 ta nói hàm số f(x) đạt
cực đại x0
b) Nếu tồn số h > cho f(x) > f(x0) x(x0 h; x0 h) x x0 ta nói hàm số f(x) đạt
cực tiểu x0
* Định lí 1: Giả sử y = f(x) liên tục khoảng K = (x0 – h ; x0 + h) có đạo hàm K
K \{x0}, với h > Khi đó:
a) Nếu
) ;
( ,0 ) ('
) ; (
,0 ) ('
0
0
h x x x x
f
x h x x x
f
x0 điểm cực đại f(x)
b) Nếu
) ;
( , ,0 ) ('
) ; (
,0 ) ('
0
0
h x x x x
f
x h x x x
f
x0 điểm cực tiểu f(x)
* Định lí 2: Giả sử y = f(x) có đạo hàm cấp hai (x0 – h ; x0 + h) với h > Khi đó:
a) Nếu
0 )
( "
0 )
( '
x f
x f
x0 điểm cực tiểu f(x)
b) Nếu
0 )
( "
0 )
( '
x f
x f
x0 điểm cực đại f(x)
* Quy tắc tìm cực trị y = f(x). Quy tắc 1:
1 Tìm TXĐ
2 Tính f’(x) Tìm điểm f’(x) = f’(x) không xác định Lập bảng biến thiên
(3)Quy tắc 1.Tìm TXĐ
Tính f’(x) Giải phương trình f’(x) = kí hiệu xi ( i = 1, 2, 3…n) nghiệm
Tính f”(x) f”(xi)
4, Dựa vào dấu f”(xi) suy tính chất cực trị xi
BÀI TẬP Tìm điểm cực trị hàm số
a) y = x2 – 3x – b) y = 2x3 – 3x2 + c) y = x 4x
1 3
d) y = x3 – 3x2 +3x
e) y =
2
1
x
x f) y =
4
x x
g) y = x3(1 – x)2 h) y =
1
x x k) y =
2
x
x
l) y = x + x
1
m) y =
1 2
2
x x x
n ) y =
1
2
x
x x p) y = sinx + cosx q) y = 2sinx + cos2x [ ; ]
2 Tìm m để hàm số :
a) y = x3 – 2mx2 + có cực đại cực tiểu ĐS : m 0
b) y = (3 1)
3
2
x m x
x m
có cực đại cực tiểu ( có cực trị) ĐS : 1;
4
m m
c) y =
1
2
x mx x
có cực đại cực tiểu ĐS : m < d) y = x4 – mx2 + có cực trị ĐS : m > 0
e) y = x3 – 3mx2 + (m – 1)x + đạt cực trị x = ĐS : m = 1
f) y = x3 – mx2 – mx – đạt cực tiểu x = ĐS : m = 1
g) y = x3 + (m + 1)x2 + (2m – 1)x + đạt cực đại x = -2 ĐS : m = 7/2
h) y =
m x
mx x
2
đạt cực đại x = ĐS : m = -3 k) y =
1
2
x m mx x
đạt cực tiểu x = Cho hàm số y =
1
2
x
x x
(1)
a) Tính khoảng cách hai điểm cực trị đồ thị hàm số (1)
b) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số (1) GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
* Định nghĩa : Cho hàm số y = f(x) có tập xác định D.
- Số M giá trị lớn f(x) D : f(x)M,xDvàx0 D: f(x0)M Kí hiệu : M = maxD f(x)
- Số m giá trị nhỏ f(x) D : f(x)m,xDvàx0D: f(x0)m Kí hiệu : m = minD f(x)
* Định lí : y = f(x) liên tục [a ; b] tồn max[a;b] f(x),min[a;b] f(x) * Cách tìm :
Tìm điểm x1, x2, … , xn (a ; b) mà f’(x) = f’(x) khơng xác định
Tính f(a), f(x1), ……., f(xn), f(b)
(4)BÀI TẬP Tìm GTLN GTNN ( có) hàm số
a) y = x3 – 3x2 + đoạn [-1 ; 1] b) y = x3 – 3x2 – 9x + 35 đoạn [-4 ; 4]
c) y = x4 – 2x2 + đoạn [-3 ; 2] d) y = x4 – 2x2 + đoạn [1 ; 4]
e) y = x + x
1
khoảng (0 ; +) f) y = x -
x
1
khoảng (0 ; 2] g) y =
1
x x
đoạn [2 ; 5] h) y =
2
2
x
x x
đoạn [-3 ; 3] k) y = 6 3x đoạn [-1 ; 1] l) y = 100 x2 doạn [-8 ; 6]
m) y = (x + 2) 1 x2
n) y =
1
2 x x
doạn [1 ; 2] p) y = x + 4 x2
q) y = 3x 6 x r) y = 2.cos2x4sinx
2 ;
0 s) y = 2sinx - sin3x
3
[0;]
u) y = sin2x + 2sinx – t) y = cos22x = sinxcosx + 4
o) y = sin4x + cos2x + w) y = x – sin2x
;
2
2 Trong hình chữ nhật có chu vi 40 cm, xác định hình chữ nhật có diên tích lớn
3 Tính độ dài cạnh hình chữ nhật có chu vi nhỏ hình chữ nhật có diện tích 48cm2.
4 ĐỒ THI CỦA HÀM SỐ VÀ PHÉP TỊNH TIẾN HỆ TỌA ĐỘ. a) Công thức chuyển hệ tọa độ:
Công thức chuyển hệ tọa độ phép tịnh tiến theo vec tơ OI (x0;y0)là :
0
y Y y
x X x
b) Phương trình đường cong hệ tọa độ IXY: Y = f(X + x0 ) – y0
BÀI TẬP
1 Xác định đỉnh I (P) : y = x2 – x + Viết công thức chuyển hệ trục tọa độ phép tịnh tiến theo
OI viết phương trình (P) hệ tọa độ IXY
2 Cho hàm số y = x3 – 3x2 + 2
a) Xác định điểm I thuộc đồ thị (C) hàm số cho biết hoành độ điểm I nghiệm phương trình f’’(x) =
b) Viết công thức chuyển hệ trục tọa độ phép tịnh tiến theo OI viết phương trình (C)
hệ tọa độ IXY Từ suy I tâm đối xứng (C) Cho đường cong (C) : y = -
1
x điểm I(-1 ; 1) Viết công thức chuyển hệ trục tọa độ phép tịnh tiến theo OI viết phương trình đường cong (C) hệ trục IXY Từ suy I tâm đối
xứng (C)
5 ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ. a) Tiệm cận đứng.
Nếu
( ) ; lim ( )
lim
0
x f x
f
x x x
x
( ) ; lim ( )
lim
0
x f x
f
x x x
x đường thẳng
x = x0 tiệm cận đứng (C)
(5)Nếu xlim f(x) y0
xlim f(x) y0 đường thẳng y = y0 tiệm cận ngang (C)
c) Tiệm cận xiên
Nếu lim ( ) ( ) 0
f x ax b
x xlimf(x) (axb) 0 đường thẳng y = ax + b ( a 0)
tiệm cận xiên (C)
BÀI TẬP. 1.Tìm tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị hàm số a) y =
1
2
x x
b) y =
4
2
x x
c) y =
3
x x
d) y =
4
2
x x x
e) y =
1
2 x x Tìm tiệm cận đứng tiệm cận xiên đồ thị hàm số.
a) y = x – +
1
x b) y =
2
x
x
c) y =
1
4
3
x x x
d) y = x +
1
2
x x
6 KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
1/ Các bước khả sát biến thiên vẽ đồ thi hàm số. 1o Tìm TXĐ.
2o Xét biến thiên.
a) Giới han – Tiệm cận b) Lập bảng biến thiên 3o Vẽ đồ thị.
- Vẽ đường tiệm cận (nếu có)
- Xác định số điểm dặc biệt đồ thị ( Giao điểm đồ thị với trục tọa độ) - Nhân xét đồ thị : Chỉ trục đối xứng, tâm đối xứng
2/.Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d (a 0)
a > a <
Pt y’ = có hai nghiệm phân biệt
2
-2 O
2
-2
Pt y’ = có nghiệm kép
2
(6)Pt y’ = vô nghiệm
2
4
2
BÀI TẬP Khảo sát biến tiên vẽ đồ thị hàm số sau :
1 y = x3 – 3x2 + 1 2 y = -x3 + 3x + 2 3 y = 2x3 – 3x2 +1 4 y = x 4x
1
5, y = x3 – 3x2 + 3x + 1 6 y = -x3 – 3x + 2
3/ Hàm số y = ax4 + bx2 + c (a 0)
a > a <
Pt y’ = có ba nghiệm phân biệt
-2
2
Pt y’ = có nghiệm
2
-2
BÀI TÂP Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số sau :
1 y = x4 – 2x2 – 3 2 y = -x4 + 2x2 – 1 3 y = 4 1
1
x
x 4 y =
4
x x
5 y = x4 + 2x2 – 3
4/ Hàm số y = ( 0, 0)
bc ad c
d cx
b ax
(7)4
2
4
2
-2
BÀI TẬP Khào sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số sau : y =
1
x x
2 y =
1
x x
3 y =
2
x
x
4 y = x x
5 y =
2
x
5/ Hàm số y = ( ' 0, 0)
' ' '
'
2
r a a b x a
r q px b
x a
c bx ax
a.a’ > a.a’ <
Pt y’ = có hai nghiệm phân biệt
2
-2
-4
O
2
-2
-4
O
Pt y’ = vô nghiệm
2
-2 O
2
-2
O
BÀI TÂP Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số sau :
1 y =
1 2
2
x x x
2 y =
1
2
x
x
3 y =
1
2
x
x x
4 y =
1
2
x x y = - x +
x
1
6 y =
2
2
x
(8)7 MỘT SỐ BÀI TOÁN THƯƠNG GẶP VỀ ĐỒ THỊ 1/ Giao điểm hai đồ thị.
Hoành độ giao điểm hai đường cong y = f(x) y = g(x) nghiêm phương trình f(x) = g(x) (1)
Do số nghiệm phân biệt (1) số giao điểm hai đường cong 2/ Sự tiếp xúc hai đương cong.
a) Hai đường cong y = f(x) y = g(x) gọi tiếp xúc với điểm M0(x0 ; y0) chúng có tiếp
tuyến chung M0 Khi M0 gọi tiếp điểm
b) Hai đường cong y = f(x) y = g(x) tiếp xúc hệ phương trình
) (' ) ('
) ( ) (
x g x f
x g x f
có nghiệm Nghiệm hệ hoành độ tiếp điểm
3/ Tiếp tuyến.
a) Dạng : Viết phương trình tiếp tuyến (C) : y = f(x) điểm M0(x0 ; y0) thuộc (C)
Phương trình : y = y’(x0)(x – x0) + y0
b) Dạng : Viết phương trình tiếp tuyến (C) : y = f(x) biết tiếp tuyến có hệ số góc k. Gọi M0(x0 ; y0) tọa độ tiếp điểm.Phương trình tiếp tuyến (C) M0 :
y = y’(x0)(x – x0) + y0 Giải phương trình y’(x0) = k để tìm x0 y0
c) Dạng : Viết phương trình tiếp tuyến (C) : y = f(x) , biết tiếp tuyến qua điểm A(xA ; yA)
Phương trình (d) qua A có hệ số góc k : y = k(x – xA) + yA
(d) tiếp xúc (C)
k x f
y x x k x
f A A
) ('
) ( ) (
có nghiệm
Nghiêm hệ hoành độ tiếp điểm
BÀI TẬP 1.Tìm tọa độ giao điểm hai đồ thị :
a) y = x3 + 4x2 + 4x + y = x + b) y = x3 + 3x2 + y = 2x + 5
c) y = x3 – 3x y = x2 + x – 4 d) y = x4 + 4x2 – y = x2 + 1
2 Tìm m để đồ thị hàm số :
a) y = (x – 1)(x2 + mx + m) cắt trục hoành điểm phân biệt.
b) y = x4 – 2(m + 1)x2 + 2m + không cắt trục hoành.
c) y = x4 – 2x2 – (m + 3) cắt trục hoành điểm phân biệt.
3 Tìm m để đường thẳng y = mx + 2m + cắt đồ thị hàm số y =
1
x
x a) Tại hai điểm phân biệt
b) Tại hai điểm thuộc hai nhánh đồ thị
4 Tìm m để đường thẳng y = mx + m + cắt đồ thị hàm số y =
1 3 2
x
x x
a) Tại hai điểm phân biệt
b) Tại hai điểm thuộc hai nhánh đồ thị
5 Tìm m để đường thẳng qua A(- ; - 1) có hệ số góc m cắt đồ thị hàm số y =
1
2
x x
a) Tại hai điểm phân biệt
(9)6 CMR: (P): y = x2 – 3x – tiếp xúc với (C) : y =
1
2
x x x
Tìm m để đồ thị hàm số :
a) y =
1
2
x
m x
tiếp xúc với đường thẳng y = - x + b) y = x3 – 3mx + m + tiếp xúc với trục hoành.
c) y = x4 – 2x2 + tiếp xúc với đồ thị hàm số y = mx2 – 3.
BÀI TẬP.
1 Cho (C) : y = x3 – 6x2 + 9x – 1.Viết phương trình tiếp tuyến (C) :
a) Tại điểm uốn (C) (Là điểm có hồnh độ nghiệm phương trình f”(x) = 0) b) Tại điểm có tung độ -1
c) Song song với đường thẳng d1 : y = 9x –
d) Vng góc với đường thẳng d2 : x + 24y =
2 Cho (C) : y =
2
x x
Viết phương trình tiếp tuyến (C): a) Tại giao điểm (C ) với trục Ox
b) Song song với đường thẳng d1 : y = 4x –
c) Vng góc với đường thẳng d2: y = -x
d) Tại giao điểm hai tiệm cận 3.Cho (C ) : y =
1
2
x
x x
.Viết phương trình tiếp tuyến (C ): a) Tại điểm có hịanh độ x =
b) Song song với đường thẳng d : -3x + 4y + = c) Vng góc với tiệm cận xiên
4 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) a) y = x3 – 3x + qua điểm A(1 ; 0)
b) y =
2 3
1
x
x qua điểm A(0 ; )
2
c) y =
2
x x
qua điểm A(-6 ; 5) d) y =
2
2
x
x x
qua điểm A(2 ; 1)
TỔNG HỢP VỀ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ. 1) Cho hàm số y = x3 + 3x2 – 4
a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số
b) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm M0(-1; -2)
c) Chứng minh điểm uốn (C) tâm đối xứng 2) Cho hàm số y = -x3 + 3x + 1.
a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số
b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm phương trình x3 – 3x + m = 0.
c)Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm có hịanh độ x0 =
3) Cho hàm số y = x3 – 6x2 + 9x + 1
a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số
b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y = 24
1
x
c) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị hàm số 4) Cho hàm số y = - x3 + 3x2 – 2.
a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số
(10)5) Cho hàm số y =
1
x x
a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số
b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến qua điểm A(1 ; 0)
6) Cho hàm số y =
3
1x3 x2 x
a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số
b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) giao điểm (C) với trục hòanh 7) Cho hàm số y = x3 + x
a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số
b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) giao điểm (C) với trục tung 1)Cho hàm số y = x4 – 2x2 + 1
a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số
b) Biện luận theo m số nghiệm phương trình: x4 – 2x2 + – m = 0.
c) Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm có hịanh độ x =
2) Cho hàm số y = - x4 + 2x2 + 2.
a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số
b) Tìm m để phương trình x4 – 2x2 + m = có bốn nghiệm phân biệt.
c) Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm cực tiểu đồ thị hàm số 3) Cho hàm số y =
2 3
2
x x
a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số
b) Biện luận theo m số nghiệm phương trình: x4 – 6x2 + – m = 0.
c) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến qua điểm A(0 ; )
4) Cho hàm số y = -x4 + 6x2 – 5
a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số
b) Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị (C) ba điểm phân biệt b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm M0(1 ; 0)
5) Cho hàm số y =
4
1
x x
a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số
b) Tìm m để phương trình : x4 – 8x2 – + m = có nghiệm phân biệt.
c) Viết phương trình tiếp tuyến (C) giao điểm (C) với trục tung 1)Cho hàm số y =
1
x x
a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (H) hàm số b) Viết phương trình tiếp tuyến (H) điểm M0(2 ; 3)
c) Viết phương trình tiếp tuyến (H) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = -2x + 2) Cho hàm số y =
1
x
x
a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (H) hàm số
b) Viết phương trình tiếp tuyến (H) điểm có hịanh độ x = -2
c) Viết phương trình tiếp tuyến (H) biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y = -x +
3) Cho hàm số y = x x
1
a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (H) hàm số b) Tìm (H) điểm có tọa độ số nguyên
(11)4) Cho hàm số y = x x
a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (H) hàm số
b) Viết phương trình tiếp tuyến (H) giao điểm (H) với trục hịanh c) Tìm m để đường thẳng y = x + m cắt (H) hai điểm phân biệt
5) Cho hàm số y =
4
x
a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (H) hàm số
b) Một đường thẳng (d) qua A(-4 ; 0) có hệ số góc m Tìm m để (d) cắt (H) hai điểm phân biệt
c) Viết phương trình tiếp tuyến (H) biết tiếp tuyến qua điểm A(4 ; 4) 1.Cho hàm số y =
1 3
2
x
x x
a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số
b) Biện luận theo m só nghiệm phương trình: x2 + (3 – m)x + – m = 0.
c) Tìm điểm (C) cách hai trục tọa độ Cho hàm số y =
x x x
1
2
a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm M0(0, -1)
c) Chứng minh khơng có tiếp tuyến (C) song song với tiệm cận xiên (C) Cho hàm số y =
1 )
(
x x
a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số
b) Gọi (d) đường thẳng điqua A(-1 ; 0) có hệ số góc m Tìm m để (d) cắt (C) hai điểm phân biệt
c) Chứng minh tích khỏang cách từ điểm M (C) đến hai tiệm cận (C) số không đổi
4 Cho hàm số y = x -
1
x
m
có đồ thị (Cm)
a) Tìm m để (Cm) tiếp xúc với đường thẳng (d): y =
b) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số m =
c) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến qua gốc tọa độ 5) Cho hàm số y = x +
x
1
a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số
b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) có hệ số góc –
c) Tìm hai điểm thuộc hai nhánh (C) để khỏang cách chúng nhỏ Cho hàm số y =
1 2
2
x x x
a) Tìm điểm (C) có tọa độ số nguyên
b) Chứng minh (C) nhận giao điểm hai tiệm cận làm tâm đối xứng c) Tìm m để (C) tiếp xúc với (P): y = - x2 + m.
7 Cho hàm số y =
1 ) (
2
x
m x m x
có đồ thị (Cm)
a) Xác định m cho tiệm cận xiên (Cm) định hai trục tọa độ tam giác có diện tích
bằng
b) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số m =
(12)8 Cho hàm số y =
1
2
x x
a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số
b) Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm phương trình:
x2 – mx + – m = suy giá trị m để phương trình có hai nghiệm phân biệt dương.
c) Định k để đường thẳng (d): y = k(x – 3) + cắt (C) hai điểm phân biệt 9) Cho hàm số y =
1
2
x
x x
a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số
b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến qua giao điểm hai tiệm cận c) Tìm điểm (C) có tổng khỏang cách đến hai tiệm cận nhỏ
HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT 1.ĐỊNH NGHĨA LŨY THỪA VÀ CĂN.
Số mũ Cơ số a Lũy thừa a
*
N n
aR a an a.a a(n
thừa số )
0
a 0 a a0 1
)
(n N*
n
a 0
n n
a a a
) ,
(m Z n N*
n m
a0 a an n am (n a b bn a)
m
)
, (
limr r Q n N*
n
n
a0 a limarn
* Một số tính chất bậc n. 1) ab n a.n b
2) (b0)
b a b a
n n n
3) n p n p a
a (a > 0)
4) m n a m.na
5) n a n.mam
2 TÍNH CHÁT CỦA LŨY THỪA. * với a > 0, b > 0, ta có
b a b a b
a ab a
a a
a a a
a
a
; ; ( ) ; ( ) ;
a > : a a
< a < : a
a 3 ĐỊNH NGHĨA LÔGARIT.
* Với số 0a1,b0
(13)b e b b b ln 10 log
4 TÍNH CHẤT CỦA LÔGARIT
* a a b b
a
a a
log ; log ; log
* loga(b.c)logablogac
b c
c b
a a
a log log
log
logab .logab
Đặc biệt: b
n b b b a n a a a log log ; log
log
* c bc ab bc ac
a a
b log log log
log log
log
Đặc biệt : b b
a
b a a
b a log log ; log log c b c b a c b c b a a a a a log log : 0 log log :
5 GIỚI HẠN
lim 1 ; limln(1 )
0 x x x e x x x 6 BẢNG ĐẠO HÀM.
x
x e
e )'
(
a a ax)' x.ln
(
x x)'
(ln a a x x a ln )' (log ) , ( )' (
x x
x
n n n x n x 1 )' ( u
u u e
e )' '
(
a a u
au)' '. u.ln
(
u u u)' '
(ln
a u
u u
a .ln
' )' (log ' )' ( u u u n n n u n u u ' )' (
I LŨY THỪA * Đơn giản biểu thức 1) x6.y12 5 x.y25
2) 3 4 b a ab b a
3)
1
1 41
2 a a a a a a a
4)
m m m m m 2 2
* Tính giá trị biểu thức
1)
3 75 , 32 125 81
2)
1 2 ) ( 64 ) ( 001 ,
0
3) 0,5
75 , 25 16
27
4)
1 25
,
4 19( 3)
4 625 ) , (
(14)1) 25.
8
ax 2) 3 a5.4 a 3) 8 b3.4 b 4) 27.3
3
a * Tính
1) 3
3
2) 412 3.161 3)
2
3 27
4) 58 54
2
* Đơn giản biểu thức
1)
)
(
3 2 b a b a
2) 4 3 3
3 3 3
2 1)( )
( a a a a a a
3)
b ab
a )
(
1
II LÔGARIT.
* Biết log52 = a log53 = b Tính lôgarit sau theo a b
1) log527 2) log515 3) log512 4) log530
* Lôgarit theo số biểu thức sau , viết dạng tổng hiệu lôgarit 1) 3
2
5 a3b 2)
2 , 10 b a
3) 9a45 b 4)
27a b
* Tính giá trị biểu thức
1) log915 + log918 – log910 2)
3 3
1 log 400 3log 45
2 log
2
3) log 12log
6
36 4) log (log34.log23)
4
* Tính giá trị biểu thức 1) 2log log log
1 125 49 25
81
2) log 3log
2 log
1
4 42
16
3)
log log log 7 49 72
* Tìm x biết
1) log6x = 3log62 + 0,5 log625 – log63 2) log4x = log 216 2log 10 4log 3
1
4
4
* Tính
1) log(2 3)20 log(2 3)20
2) 3log( 21)log(5 7) 3)
e e ln1
ln 4) lne 4ln(e2 e)
* Tìm x biết
1) logx18 = 2)
5
log
x 3) logx(2.3 2)6
* Biết log126 = a , log127 = b Tính log27 theo a b
* Biết log214 = a Tính log4932 theo a
III HÀM SỐ MŨ – LÔGARIT – LŨY THỪA. * Tìm tập xác định hàm số sau
1) y =
1 x x e e
2) y = 1
x
e 3) y = ln
x x 1
4) y = log(-x2 – 2x ) 5) y = ln(x2 -5x + 6) 6) y =
x x x 1 log 2
* Tìm giới hạn 1) x e x x lim
2) x
e e x x
x lim 3) ) ( lim x x
x 4)
xe x
x x
1
lim
5) limx 9log3 x
6) x
x x ) ln( lim
7) x
(15)8)
x x
x sin2
) ln( lim
0
9) 1
1 lim
0
x
ex
x 10) x
x
x tan
) ln( lim
0
* Tính đạo hàm hàm số sau
1) y = (x2 -2x + 2).ex 2) y = (sinx – cosx).e2x 3) y =
x x
x x
e e
e e
4) y = 2x - ex 5) y = ln(x2 + 1) 6) y =
x x
ln
7) y = (1 + lnx)lnx 8) y = 2.ln
x
x 9) y = 3x.log3x
10) y = (2x + 3)e 11) y = x x
. 12) y = 3 x
13) y = ln2 2x 14) y = 3 cos2x 15) y = 5cosx + sinx
* Chứng minh hàm số sau thỏa mãn hệ thức tương ứng cho 1) y = esinx ; y’cosx – ysinx – y’’ = 0
2) y = ln(cosx) ; y’tanx – y’’ – = 3) y = ln(sinx) ; y’ + y’’sinx + tan
2
x = 4) y = ex.cosx ; 2y’ – 2y – y’’ = 0
5) y = ln2x ; x2.y’’ + x y’ = 2
* Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số sau :
1) y = (x2 – 2x).ex đoạn [0 ; 3] 2) y = x2ex đoạn [-3 ; 0]
3) y = xlnx đoạn [e-2 ; e] 4) y =
x x
ln
đoạn ;
2 e
e 5) y =
x x
ln
đoạn 1; e3 6) y = x2 – ln(1 – 2x) đoạn [-2 ; 0]
7) y = 2ln(x – 1) + 3lnx – 2x đoạn [2 ; ]
* CÁC DẠNG CƠ BẢN CỦA PHƯƠNG TRÌNH , BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT a) a af(x) ag(x) f(x) g(x)
)( )(
)0) (( 0) ( )( log )( log
xg xf
xg hay xf xg xf a a
b) a1 af(x) ag(x) f(x)g(x)
loga f(x)logag(x) f(x)g(x)0
c) a af(x) ag(x) f(x) g(x)
loga f(x)logag(x) 0 f(x)g(x)
I PHƯƠNG TRÌNH MŨ. * Giải phương trình:
1) (0,2)x-1 = 1 2) 3
3
x 3)
16
4
x
x 4) x
x
3
2
1
5) 3 22x 32 2 6) 1
2
5
x
x
x 7) 1
9
3 2
x
x
8) 25
x
x 9) 3x.2x+1 = 72 9) 2
2
1
x x
10)
27 60 20
4
x x
x 11) 5x+1 + 5x – 5x-1 = 52
12) 3x+1 – 3x-1 – 3x = 13) 4x + 4x-2 – 4x+1 = 3x – 3x-2 – 3x+1
(16)1) 4x + 2x+1 – = 0 2) 4x+1 – 2x+1 + = 0
3) 34x+8 – 32x+5 + 27 4) 31+x + 31-x = 10
5) 5x-1 + 53 – x = 26 6) 9x + 6x = 4x
7) 4x – 52x = 10x 8) 27x + 12x = 8x
9) 2 3x 2 3x 2 10) 48 48 14
x x
11) 35 35 12
x x 12) 73 5x 7 3 5x 14.2x
13) 32x+4 + 45 6x – 22x+2 = 0 14) 8x+1 + 8.(0,5)3x + 2x+3 = 125 – 24.(0,5)x
* Giải phương trình 1) 3 24 2 4
x
x
x 2)
3
2
x x
x 3) x
x x
2 36.32
8 4) 500
1
x x x
5) 53log5x 25x 6) x6.3logx3 35 7) 9.xlog9x x2 8) x4.53 5logx5
* Giải phương trình
1) 2x + 3x = 5x 2) 3x + 4x = 5x 3) 3x = – 2x 4) 2x = – x
5) log2x = – x 6) 2x = – log2x 7) 9x + 2(x – 2)3x + 2x – =
II PHƯƠNG TRÌNH LƠGARIT. * Giải phương trình
1) log2x(x + 1) = 2) log2x + log2(x + 1) = 3) log(x2 – 6x + 7) = log(x – 3)
4) log2(3 – x) + log2(1 – x) = 5) log4(x + 3) – log2(2x – 7) + =
6) x
x x x
2 log log
log log
125
25
7) 7logx + xlog7 = 98 8) log2(2x+1 – 5) = x
* Giải phương trình
1) log22(x - 1)2 + log2(x – 1)3 = 2) log4x8 – log2x2 + log9243 =
3) log3x log33x3 4) 4log9x + logx3 =
5) logx2 – log4x +
6)
x x x
x
81 27
3
log
log log
log
7) log9(log3x) + log3(log9x) = + log34 8) log2x.log4x.log8x.log16x =
9) log5x4 – log2x3 – = -6log2x.log5x 10) log (2 5) log2
2
x
x x
x
III HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LƠGARIT. * Giải hệ phương trình sau
1)
15 log 1 log log
11
2
2x y
y x
2)
3 log ) log( ) log(
8 log 1 ) log( 2
y x y
x y x
3)
2 ) ( log
972 2.
3
3 x y
y x
4)
2 log log
25
2
2x y
y x
5)
1 4 3 3
y x
y x
6)
3 9 4 3 3
y x
y x
7)
5 5. 2
7 5 2
1 x y x
y x x
8)
1 ) ( log ) ( log
3
5
2
y x y
(17)9)
0 log . log ) ( log
) ( log log
log
2
2
2
y x y
x
xy y
x
10)
3 log
log log log
) 3( )
4( 4 3
y x
y x
11)
12 3 3
) ( 2 4
2 2
2 log
log3 3
y x y x
xy
xy
12)
64 log
1 2
y
x
x y
13)
1 ) 2 3( log ) 2 3( log
5 4 9
3
2
y x y
x y x
14)
y x y
x
y x
xy
3 3
27 27
27
log 4
log 3 log
log . log 3 log
IV BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT * Giải bất phương trình
1) 32x5 1 2) 27x <
3)
2
1
x x 4) 62x3 2x7.33x1
5)
x
x 6) 3x – 3-x+2 + > 0 7) xlog3x4 243
9) log (5 1)
2
1 x 10)
1 log4
x
x
11) log0,8(x2 + x + 1) < log0,8(2x + 5)
12) log (log211 )
1
x x
13) log22x + log24x – > 14) log log
3 x
x
15) log2(x + 4)(x + 2) 6 16)
1
log 2
x x
x 17) log4 x 1 18) log2x + log3x < + log2x.log3x 19) 3logx4 + 2log4x4 + 3log16x4 0
*Tìm tập xác định hàm số sau :
1) y =
5 log0,8
x x
2) y = log ( 2)
2
1 x 3) y = log ( 2 2)
2 x x 4) y = log 2
2
(18)NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
TÓM TẮT GIÁO KHOA
I Bảng tính nguyên hàm bản:
Bảng Bảng 2
Hàm số f(x) Họ nguyên hàm F(x)+C Hàm số f(x) Họ nguyên hàm F(x)+C
a ( số) ax + C
x
1
1 x C
(ax b )
a
1 ( )
1 ax b C
1
x ln x C
1
ax b lna ax b C
x
a
ln
x
a C a
x
e ex C
eax b 1eax b C
a
sinx -cosx + C sin(ax+b) cos(ax b C)
a
cosx Sinx + C cos(ax+b) sin(ax b C)
a
2
1
cos x
tgx + C
2
1
cos (ax b ) (atg ax b C )
2
1
sin x
-cotgx + C
2
1
sin (ax b ) cot (a g ax b C )
'( )
( )
u x u x
ln ( )u x C
2
1
x a 21 lna x a Cx a
tgx ln cosx C
2
1
x a
2
ln x x a C
cotgx ln sinx C
II BÀI TẬP:
(19)1 f(x) = x2 – 3x +
x
1
ĐS F(x) = x x lnxC
2 3
2
f(x) = 42
x
x ĐS F(x) =
C x x
3
f(x) = 21
x x
ĐS F(x) = lnx + x
1
+ C f(x) = 2
2 1)
(
x x
ĐS F(x) = C x x x
3
3
5 f(x) = x x x
ĐS F(x) = x x x C
5 4 3
2
5
6 f(x) = 32
x
x ĐS F(x) = x 33 x2 C
7 f(x) = x x 1)2
( ĐS F(x) =
C x x
x ln f(x) = 3
x x
ĐS F(x) = x x3 C
2
2
9 f(x) =
2 sin
2 x ĐS F(x) = x – sinx + C
10 f(x) = tan2x ĐS F(x) = tanx – x + C
11 f(x) = cos2x ĐS F(x) = x sin2xC
1
12 f(x) = (tanx – cotx)2 ĐS F(x) = tanx - cotx – 4x + C
13 f(x) =
x x 2 .cos
sin
ĐS F(x) = tanx - cotx + C 14 f(x) =
x x
x
2 .cos
sin cos
ĐS F(x) = - cotx – tanx + C 15 f(x) = sin3x ĐS F(x) = cos3xC
3
16 f(x) = 2sin3xcos2x ĐS F(x) = cos5x cosxC
5
17 f(x) = ex(ex – 1) ĐS F(x) = e x ex C
2
18 f(x) = ex(2 + )
cos2 x
ex
ĐS F(x) = 2ex + tanx + C
19 f(x) = 2ax + 3x ĐS F(x) = C
a ax x
3 ln
3 ln
20 f(x) = e3x+1 ĐS F(x) = e3x1C
3
2/ Tìm hàm số f(x) biết
1 f’(x) = 2x + f(1) = ĐS f(x) = x2 + x +
2 f’(x) = – x2 f(2) = 7/3 ĐS f(x) = 1
3 x
x
3 f’(x) = x x f(4) = ĐS f(x) =
3 40
8
x
x x
4 f’(x) = x - 12 2
x f(1) = ĐS f(x) = 2
2
x
x x
f’(x) = 4x3 – 3x2 + f(-1) = ĐS f(x) = x4 – x3 + 2x + 3
6 f’(x) = ax + 2, f'(1)0, f(1) 4, f(1)2
x b
ĐS f(x) =
2
2
(20)MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUN HÀM 1.Phương pháp đổi biến số.
Tính I = f[u(x)].u'(x)dx cách đặt t = u(x) Đặt t = u(x) dt u'(x)dx
I = f[u(x)].u'(x)dxf(t)dt BÀI TẬP
Tìm nguyên hàm hàm số sau: (5x 1)3dx
)5
3
( x
dx
5 2xdx
2x dx (2x2 1)7xdx (x3 5)4x2dx x2 1.xdx
dx
x x
5
2
9
dx x x
3
2
3
10
)2
1 ( x x
dx
11 dx x
x
3
ln
12 xex21dx
13 sin4 xcosxdx
14 dx x x
5
cos sin
15 cotgxdx 16
x tgxdx
2
cos
17 x dx
sin 18 x dx
cos 19 tgxdx 20 x dx e x
21
x x
e dx e
22 dx x etgx
2
cos
2 Phương pháp lấy nguyên hàm phần.
Nếu u(x) , v(x) hai hàm số có đạo hàm liên tục I
u(x).v'(x)dx u(x).v(x) v(x).u'(x)dx
Hay
udvuv vdu ( với du = u’(x)dx, dv = v’(x)dx)
Tìm nguyên hàm hàm số sau:
1 x.sinxdx xcosxdx (x5)sinxdx 4(x2 2x3)cosxdx xsin2xdx xcos2xdx x.exdx
lnxdx
9 xlnxdx 10 xdx
ln 11
x xdx
ln
12 e xdx
13 dx
x x
2
cos 14 xtg xdx
2
15 sin x dx 16 ln(x2 1)dx 17 ex.cosxdx
18 x3ex2dx
19 xln(1x2)dx 20 2xxdx 21 xlgxdx 22 2xln(1x)dx 23 dx
x x
) ln(
24 x2cos2xdx
TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG ĐN VÀ CÁC TÍNH CHẤT TÍCH PHÂN
1 Định nghĩa: Cho hàm số y=f(x) liên tục a b; Giả sử F(x) nguyên hàm hàm số f(x) Thì: ( ) ( ) ( ) ( )
b
b a a
f x dx F x F b F a
( Công thức NewTon - Leiptnitz)
Bài 1: Tính tích phân sau: 1/
1
1
2 1)
2
( x x dx 2/
0
3 )
3 2
( x x dx 3/
2
2
)
(x dx
x 4/
3
2 4)
(21)5/ dx x x 1
6/
2 2 dx x x x
7/
e e x dx 1
8/
16
1
.dx x
9/ dx
x x x e
10/ dx
x x
1 33
1
4 11/
2 dx x x
12/ dx
x x 2
13/
1 2 dx x x x
14/ dx
x x x 3
15/ x dx
x x x 2 1
16/
2 cos cos xdx
x 17/
2 sin sin xdx
x 18 / 4
0 cos sin xdx x 19/ sin
xdx 20/ e x dx
21/
1 dx e x Bài 2: 1) 3 x 1dx
2)
4
x 3x 2dx
3)
5
3
( x x )dx
4)
2 2 x 2dx x 5) x
2 4dx
6)
0
1 cos2xdx
7) x xdx
2
2
II TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ :
1) DẠNG 1:Tính I = b
' a
f[u(x)].u (x)dx
cách đặt t = u(x)
Công thức đổi biến số dạng 1:
) ( ) ( ) ( ) ( ' . )
( u b
a u b a dt t f dx x u x u f
Cách thực hiện:
Bước 1: Đặt t u(x) dt u'(x)dx
Bước 2: Đổi cận :
) ( ) ( a u t b u t a x b x
Bước 3: Chuyển tích phân cho sang tích phân theo biến t ta được
) ( ) ( ) ( ) ( ' . )
( u b
a u b a dt t f dx x u x u f
I (tiếp tục tính tích phân mới)
Chú ý
Dấu hiệu Cách chọn
1 f(sinx)cosxdx
2 f(cosx).sinxdx
3.f(ex)exdx
4 dx
x x f(ln ).1
t = sinx t = cosx t = ex
(22)1)
2
11
3
dx
x 2) 1 dx e x
3)
1
0
2
xdx e x
4)
1 1 dx x x
5) x 1.xdx
0
6)
dx x x 7)
3 .cos
sin
xdx
x 8)
3 cos tan dx x x 9)
01 sin
cos
dx x
x 10)
sin cos xdx
x 11)
e dx x x ln
12)
2
ln
e
e x x
dx
13)
e dx x x ln
14)
e
x x
dx
1 ln
15) dx x x ln
16)
2 ln x x dx
17)
4
1
dx x e x
18) ln dx e e x x
19) ln8 ex 1.exdx
ln
20)
ln
2
ln x
x e dx e 21) 2 cos
xdx 22)
2
0
cos
xdx 23)
2
0
2 .cos
sin
xdx
x 24)
2 3 cos sin xdx x
2) DẠNG 2: Tính I = b
a
f(x)dx
cách đặt x = (t)
Công thức đổi biến số dạng 2:
t t dt
f dx x f I b a ) ( ' ) ( ) (
Cách thực hiện:
Bước 1: Đặt x (t) dx '(t)dt
Bước 2: Đổi cận :
t t a x b x
Bước 3: Chuyển tích phân cho sang tích phân theo biến t ta được
t t dt
f dx x f I b a ) ( ' ) ( )
( (tiếp tục tính tích phân mới)
Chú ý:
Dấu hiệu Cách đặt
2 x a 2 a x 2 x a x a x a x a x a ) )( (x a b x
x = asint với /2t/2
x = x a
sin với t[/ ;2/ ]2 {\ }0
x = atgt với /2t/2
x = acos2t x = a+(b-a)sin2t
Tính tích phân sau: 1)
1
2
1 x dx
2)
2
1 dx x
3)
2
1 dx
4 x
4)
1
1 dx
x x 1
(23)5)
4
x dx
x x 1
6)
2 2
2
x dx
1 x
7)
2
2
1
x x dx
8)
1
0 x2 x2 dx
II TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN: Cơng thức tích phân phần:
b a
b a b
a v x u x dx
x v x u dx x v x
u( ) '( ) ( ) ( ) ( ) '( )
Hay:
b a
b a b
a vdu
v u
udv
Cách thực hiện:
Bước 1: Đặt
)( )( ' )(
' )(
xv v
dx x u du dx x v dv
x u u
Bước 2: Thay vào cơng thức tích phân từng phần :
b a
b a b
a vdu
v u
udv
Bước 3: Tính b a
v
u
b a
vdu
Chú ý:
Dấu hiệu Cách đặt
b
a
xdx x
P( ).sin
b
a
xdx x
P( ).cos
b
a
xdx
e x P( )
b
a
xdx x
P( ).ln
b
a
x xdx
e sin b
a
x xdx
e cos
Đặt u = P(x) Đặt u = P(x) Đặt u = lnx
Đặt u = sinx u = cosx
Tính tích phân sau 1)
1
0
.e dx
x x
2)
2
0
cos ) (
xdx
x 3)
6
0
3 sin ) (
xdx
x 4)
2
0
2 sin
xdx
x
5)
e
xdx x
1
ln 6)
e
dx x x
1
2).ln .
1
( 7)
3
1
ln
4x xdx 8)
0
2).
3 ln(
x dx
x 9)
2
1
2 1). .
(x ex dx
10)
0
cos
xdx
x 11)
2
0
2.cos .
dx x
x 12)
2
0
2 2 ).sin .
(
dx x x
x 13)
2
ln xdx x
(24)14) 2
x cos xdx
15)
1 x
e sin xdx
16)
2
0
sin xdx
17)
e
x ln xdx
18)
2
x sin xdx cos x
19)
0
xsin x cos xdx
20)
0
x(2cos x 1)dx
21)
2 ln(1 x)dx x
22)
1
2 2x
(x 1) e dx
23)
e
2
(x ln x) dx
24)
2
0
cosx.ln(1 cosx)dx
25)
ln ( 1) e e x dx x
26)
1
xtg xdx
27)
1
2
) 2
(x e xdx
28)
1
2)
1
ln( x dx
x
29)
e dx x x ln 30)
3 )sin cos
(
xdx x
x 31)
2 ) ln( )
( x x dx 32)
3
2 )
ln(x x dx III ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG :
Công thức: | ( ) ( ) | b a dx x g x f S ( ) ( ) | | b a dy y g y f S
Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau:
1) 2 1 0 2 2 x x y x x y 2) 2 1 0 2 x x y x x y 3) 0 4 y x x y 4) 4 2 2 x y x x y 5) 3 2 2 2 x x y x x y 6) x x y x y 3 2 1 4 1 2 7) x y y x y 4
0 8)
x y x y x y 8 8 1 2 b x a x x g y C x f y C H : : ) ( :) ( ) ( :) ( :) ( 2 b y a y y g x C y f x C H : : ) ( :) ( ) ( :) ( :) ( 2 x y ) (H a b ) ( : )
(C1 yf x
) ( : )
(C2 yg x a
x xb
O x y ) (H a b ) ( : )
(C1 xf y
) ( : )
(C2 xg y
a
y
b
y
(25)9) 2 |2 3 | y x x y 10) 4 0 0 tan x x y x y 11) 1 x e y e y x x 12) 1 0 0 1 x x y x x y 13): 2 x y 4 x y 14) :
y x 4x
y x
15) 3x y x y x 16 2 y x x y
17): y x 2
y x
18)
y x
x y
19) ln x y x y x e x 20) 2
y x 2x
y x 4x
21)
2 3
y x x
2 y x 22)
y 2y x
x y
23 ) ( 2 :) ( :) ( Ox x y d x y C 24) 1 :) ( 2 :) ( :) ( x y d e y C x 25) 1 1 2 x y x y 26) 0 3 4 2 y x x y 27) 0 0 2 y y x x y 28) 2 1 1 2 x y x y 29) 3 ,0 , 2 y y x y x y 30) e x e x y x y , 1 0 , ln
31) (P): y = x2, x = tiếp tuyến với (P) điểm có hịanh độ x = 1.
32) (P): y = -x2 + 6x + 8, tiếp tuyến đỉnh (P) trục tung.
33) (P): y = -x2 + 4x – tiếp tuyến (P) điểm M
1(0 ; -3), M2(3; 0)
34) (P): y = - x2 + 4x tiếp tuyến (P) qua điểm A
;6
2
IV ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRỊN XOAY. Cơng thức:
a y0 b
) ( :
)
(C yf x
b a x b x x y O b a x y x O ) ( : )
(C xf y b
y
a
(26)
V b f x dx a
2
) (
V b f y dy a
2
) (
Bài1:Tính thể tích vật thể trịn xoay hình phẳng giới hạn đường sau: a) y = lnx , y = , x = , x = e quay quanh trục Ox
b) y = tanx , y = , x = , x =
4
quay quanh trục Ox c) y =
x
4
, y = , x = , x = quay quanh trục Ox d) y = x.lnx , y = , x = , x = e quay quanh trục trục Ox
e)
1 e x
y , y = , x = , x = quay quanh trục Ox f) y = 5x – x2 , y = quay quanh trục Ox.
g) y = 2x2 , y = 2x + quay quanh trục Ox.
h)
3
3 x
y , y = x2 quay quanh trục Ox k) y x ln(1 x2)
, y = , x= quay quanh trục Ox
Bài 2: Tính thể tích vật thể trịn xoay hình phẳng giới hạn đường sau quay quanh trục tung.
a) y = x2 , x = , y = , y = 4
b) y = x3 , x = 0, y = , y = 2
c) y = lnx , x = , y = , y = d) y = – x2 , x = , y = 1
Bài 3: Cho miền D giới hạn hai đường : x2 + x - = ; x + y - = 0
Tính thể tích khối trịn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox Bài 4: Cho miền D giới hạn đường : y x;y x;y 0
Tính thể tích khối trịn xoay tạo nên D quay quanh trục Oy Bài 5: Cho miền D giới hạn hai đường : y (x 2) y =
Tính thể tích khối trịn xoay tạo nên D quay quanh: a) Trục Ox
b) Trục Oy
Bài 6: Cho miền D giới hạn hai đường : y 4 x y x2; 22
Tính thể tích khối trịn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox Bài 7: Cho miền D giới hạn đường :
2 21 ;1 2
x
y y
x