- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày tóm tắt lời giải theo một cách, nếu thí sinh làm theo cách khác đúng, các giám khảo thống nhất biểu điểm của hướng dẫn để cho điểm.. - Với những ý đáp án c[r]
(1)ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2008 – 2009
MƠN : TỐN
Thời gian : 150 phút (không kể thời gian giao đề)
-Câu (4 điểm)
a Cho A = k4 + 2k3 16k2 2k + 15 với k Z Tìm điều kiện k để A chia hết cho 16
b Tìm giá trị lớn phân số mà tử số số có ba chữ số, mẫu số tổng chữ số t s
Câu 2 (2 điểm):
Cho a, b, c dơng
2
1
1
a b c
Chøng minh r»ng P = abc 1
Câu 3 (5 điểm) Giải phơng trình; hệ phơng trình sau: a x+ y+z+4=2 x-2+4 y-3+6 z-5
b
5
3
2
2
3
2
2
2
y
y
x
x
y
y
x
x
Câu 4 (3 điểm) Tìm giá trị nhỏ cđa biĨu thøc : ab
c c ac
b b bc
a a y
8
8 2
2
víi a, b, c lµ số thực dơng.
Câu (6 điểm)
a Cho tam giác cân ABC có góc A=200, AB = AC = b, BC = a
Chøng minh r»ng: a 3 + b3 = 3ab2
b Cho đờng tròn (O ; r) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC D Vẽ đờng kính DE; AE cắt BC M Chứng minh rằng: BD = CM
(2)Híng dÉn chÊm
đề thi khảo sát học sinh giỏi vòng
năm học 2008 2009
Môn thi: toán
-A Hướng dẫn chung
- Hướng dẫn chấm trình bày tóm tắt lời giải theo cách, thí sinh làm theo cách khác đúng, giám khảo thống biểu điểm hướng dẫn để cho điểm.
- Với ý đáp án cho từ 0,5 điểm trở lên, cần thiết giám khảo có thể thống để chia nhỏ thang điểm.
- Thí sinh làm đến đâu, giám khảo vận dụng cho điểm đến đó. - Điểm toàn tổng điểm thành phần, khơng làm trịn.
B Đáp án biểu im
Câu Nội dung Điểm
1a Cho A = k4 + 2k3 - 16k2 - 2k +15 víi k Z
V× k Z ta xét trờng hợp:
TH1: k chẵn A = k4 + 2k3 - 16k2 - 2k +15 lµ số lẻ
A không chia hết cho
A không chia hết cho 16 (loại) (1)
1
TH2: k lỴ, ta cã:
A = k4 + 2k3 - 16k2 - 2k +15 = (k2 - 1)(k2 + 2k - 15)
= (k - 1)(k + 1)(k - 3)(k + 5)
Do k lẻ k - 1; k + 1; k - 3; k + chẵn
A = (k - 1)(k + 1)(k - 3)(k + 5) 2.2.2.2 = 16 (tho¶ m·n) (2)
Tõ (1) vµ (2) víi k Z mà k lẻ A chia hết cho 16
1
1b Giám khảo tự thống cho điểm theo thang điểm:
Đáp số: 100
(3)2
- Ta cã
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 c c b b c c b b c c b b c b a
- T¬ng tù
2 2
2 2 b b a a c c c a a b
- Nhân vế BĐT ta đợc ĐPCM
1
0,5
0,5
3a
Phơng trình tơng đơng với:
1
2
3
0 ) ( 4 ) ( 2 ) ( 2 z y x z z y y x x 0 3 5 z 0 2 3 y 0 1 2 x
14
z
7
y
3
x
3b Đặt t x x t xx2 2 2
Đặt v y y v y
y23 0 23 3 Khi hệ cho tơng đơng
víi hƯ:
vt
vt
vt
vt
2
5
32
2
5
32
v
t
v
v
2
0
6
11
5
1
1
1t
v
hc
5
4
5
6
2t
v
(4)*) Trêng hỵp 2:
5
4
5
6
2t
v
5
4
3
5
6
2
2y
y
x
x
20
13
20
17
5
4
3
5
6
2
2
2
y
x
y
y
x
x
Đặt ab c c ac b b bc a a T 88 2
2
áp dụng BĐT Bu – nhi - a hai lần ta đợc
( )
(
b c
a ab c c ac b b bc a a 8
8 2
2 )
2 3 3 3 2 ) ( ) )( ( ) 24 )( ( ) ( ) 8 ( c b a T c b a c b a T abc c b a c b a T abc c c abc b b abc a a T ab c c ac b b bc a a
Từ suy T 1 Dấu “=” xảy abc
1
1 a/
VÏ tia Bx cho góc CBx = 200, Bx cắt cạnh AC D VÏ AE
Bx, E
BxXÐt BDC vµ ABC cã : CBD =BAC=200
BCD chung BDC ~ ABC BC DC AC BC AB BD
BD = BC = a
; 2 b a b DC AC AD b a BC AB BD
DC
0,5
0,5
0,5
(5)5
ABE vuông E có ABE=ABC-CBD=600 nên nửa
tam giỏc u, Suy ra:
a b BD BE DE b AB
BE
2
2
Mặt khác theo Pitago ta có
AE2 + BE2 = AB2 2 2
4
b BE AB
AE
ADE vuông E, nên theo Pitago tacã:
2 3 2
4
2 2 2
2
2 2
2
2
3
2
1
) ( ) (
ab b
a a ab b a
b a a b a ab b b
b a b a b b AD
DE AE
b/
VÏ tiÕp tuyÕn HEK cña (O) ( H thuéc AB, K thuéc CD) BC
HK BC
ED HK
ED , //
Gọi N tiếp điểm AC (O)
OK, OC hai tia phân giác hai gãc kỊ bï EON vµ NOD ( TÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau)
KOC 900
XÐt OEK vµ CDO cã OECCDO900 , OKE= COD ( cïng phơ víi gãc EOK)
OEK ~ CDO (g.g)
CD OE OD EK
hay
CD r r EK
(1)
T¬ng tù ta cã:
BD r r EH
(2)
LÊy (1) : (2) ta cã:
) (
BC BD HK EK
CD BD
BD HE
EK EK CD
BD HE EK
Trong tam gi¸c ABM cã HE // BM, theo Ta lÐt tacã: AM
AE BM
HE
(4)
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
(6)T¬ng tù ta cã:
AM AE CM
EK
(5)
Tõ (4) vµ (5) ta cã:
BM CM
HE EK CM
EK CM
EK BM
HE
) (
BC CM HK EK BC
HK CM
EK
Tõ (3) (6) suy BD = CM (đpcm)