Bài giảng ôn thi vào thpt

Buổi 1+2: Ôn về căn bậc hai (6 tiết) Bài tập tổng hợp về rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai I) Kiến thức cơ bản cần nhớ : 1) Nếu có x 2 = a thì x = a ( a là số không âm ) Nếu có x = a = ax x 2 0 ( a là số không âm ) Nếu: a 0 và b 0 ta có : a> b ba > Nếu: x 3 = a thì x = 3 a Nếu : m> 1 thì m > 1 Nếu : 0 < m < 1 thì m < 1 Nếu : m > 1 thì m > m Nếu: 0< m < 1 thì m < m A xác định (có nghĩa) khi A 0. 2) Các công thức biến đổi căn bậc hai : 1) A = A 2) AB = A . B (Với A 0 và B 0) 3) B A = B A (Với A 0 và B > 0) 4) BA 2 = BA ( B 0) 5) A BAB 2 = (Với A 0 và B 0) A BAB 2 = (Với A< 0 và B 0) 6) AB BB A 1 = (Với AB 0 và B 0) 7) B BA B A = (Với B> 0) 8) 2 )( BA BAC BA C = ( Với A 0 và A B 2 ) 9) BA BAC BA C = )( (Với A 0 ,B 0 và A B) 10) a AcbaAcAbA )( +=+ (A 0) II) Một số bài tập : Bài 1: Cho biểu thức : + + + = 1 3 22 : 9 33 33 2 x x x x x x x x B a) Rút gọn B. (ĐS: B= 3 3 + x với ĐKXĐ: 9;0 xx ) b) So sánh B với B (ĐS: B < B) c) Tìm giá trị của x để B< - 2 1 (ĐS: 0 x < 9 thì B < 2 1 ) 1 d) Tìm giá trị nhỏ nhất của B. (ĐS: GTNN của B bằng 1 Khi x = 0) Bài 2: Cho biểu thức: + + += 1 2 1 1 : 1 1 xxxx x x x x A a) Rút gọn A. (ĐS: A= 1 1 ++ x xx ) b) Tính giá trị của A khi x=4+2 3 (ĐS: x=( 2 )13 + nên A=3+2 3 ) c) Tìm giá trị của x để A> A . (A> A A>1 x>1) Bài 3: Cho biểu thức : B = x xx x x + + + + 2 1 6 5 3 2 2 a) Rút gọn biểu thức B. (ĐS: B= ) 2 4 x x b) Tính giá trị của B ,biết x= 32 2 + (ĐS: x= 13 nên B= ) 3 36 + c) Tìm giá trị nguyên của x để B có giá trị nguyên.(ĐS: x= 0,1,3,4) Bài 4: Cho biểu thức: P = 3 12 2 3 56 92 + + + + + y y y y yy y a) Tìm điều kiện xác định của P b) Rút gọn P. c) Tìm các giá trị của y để P > 1 d)Tìm các giá trị y Z sao cho P Z. Bài 5: Cho biểu thức : C= + + + + x x x x x x x xx 1 1 1 1 : 1 )1( 33 2 22 a) Rút gọn biểu thức C. (ĐS: C= 2 1 x x + ) b) Tính giá trị của C khi x= 223 + (ĐS: x= 12 + và C = 4 2 ) c) Tìm giá trị của x để cho 3.C = 1 (ĐS: x= ) 2 53 Bài 6: Cho biểu thức H = ab ba aab b bab a + + + a) Rút gọn biểu thức H. (ĐS: H = ab ba + ) b) Tính giá trị của H khi a= 324 + và b = 324 (ĐS: - 3 ) c) Chứng minh rằng nếu 5 1 + + = b a b a thì H có giá trị không đổi . (Gợi ý : Ta có : 5 1 + + = b a b a = 5 1 )5( )1( = + + bb aa b = 5a .Thay vào BT rút gọn của H , ta có: H= 2 3 4 6 5 5 == + a a aa aa . Vậy H có giá trị không đổi là 2 3 khi 5 1 + + = b a b a .) Bài 7: Cho biểu thức: A = 1 2 1 2 + + + + x xx xx xx a) Rút gọn A. (ĐS: ĐKXĐ: x > 0 ; A= x - x ) b) Biết x > 1 hãy so sánh A với A (ĐS: A=A) c) Tìm x để A = 2 (x = 4 thì A = 2 ) 2 d) Tìm giá trị nhỏ nhất của A. (GTNNcủa A bằng 4 1 Khi x = 4 1 ) Bài 8: Cho biểu thức : K = 11 1 1 1 3 + + + x xx xxxx . a) Rút gọn K . (ĐS: K=x - 2 1 x ) b) Tìm giá trị của x để K =16. (ĐS: x= 26). Bài 9: Cho biểu thức : M = 3 32 1 23 32 1115 + + + + x x x x xx x a) Rút gọn M. (ĐS: x 0; x 1; M = 3 52 + x x ) b) Tìm giá trị của x khi M = 2 1 (ĐS: x = 121 1 ) c) Tìm giá trị lớn nhất của M. Gợi ý : M = 3 52 + x x = 3 17)3(5 + ++ x x = 5+ 3 17 + x . Dễ thấy M lớn nhất khi 3 + x đạt giá trị nhỏ nhất. Vì x 0 nên 3 + x 3 3 + x đạt GTNN là 3. Khi đó:x = 0 và GTLN của M bằng 5 + 3 2 3 17 = .Vậy GTLN của M là 3 2 khi x=0. Bài 10: Cho biểu thức :N = 632 6 632 32 +++ + + baab ab baab ba . a) Rút gọn N. (ĐKXĐ: a0; b 0 ; a 9. N= 9 9 + a a ) b) Chứng minh rằng nếu N = 81 81 + b b thì khi đó a b là một số nguyên chia hết cho 3. Gợi ý: Theo câu a) ta có: N= 9 9 + a a ; do đó N= 81 81 + b b 9 9 + a a = 81 81 + b b (điều kiện a 9; b 81) (a + 9) (b 81) = (a - 9) (b + 81) 162a = 18b 9 18 162 == a b ; 9 3; vậy 3 a b (đpcm) Bài 11: Cho biểu thức: + ++ + + + = 1 1 1 1 1 2 :1 x x xx x xx x T a) Rút gọn biểu thức T.(ĐK: x 0; x 1.Kết quả : T= x xx 1 ++ = ) b) Chứng minh T > 3 với mọi giá trị x > 0 và x 1. Gợi ý : T= x xx 1 ++ = = 1 11 1 + +=++ x x x x (ĐK: x > 0 và x 1) Từ x > 0và x 1 ( .2 1 210120)1 2 >+>+>+> x xxxxxx Vậy T > 3 với mọi giá trị x > 0 và x 1. Bài tập làm thêm (về nhà) Bài 12: Cho BT: B = 2 )1( . 12 2 1 2 2 x xx x x x ++ + a) Rút gọn B. (ĐK: x 0; x 1. Kết quả rút gọn : B 3 b) Tìm GTLN của B. Bài 13 : Cho BT : P = ( ) 2 yx yx yyxx + + Rút gọn P Với x0 ; y 0 ; x 2 + y 2 > 0. Bài 14: Cho Biểu thức : Q= 12 1 : 1 11 + + + aa a aaa Bài 15: Cho biểu thức : H= x xxxx x x xx x 1 . 1 2 12 2 + ++ + a) Rút gọn H. Phần II: Ôn về phơng trình và hệ phơng trình (8 tiết) I)Các kiến thức cơ bản cần nhớ : 1) Hệ ph ơng trình bậc nhất hai ẩn : 4 a)Dạng tổng quát : =+ =+ ''' cybxa cbyax (I) (Trong đó 0 0 b a ) *(I) có nghiệm duy nhất khi '' b b a a . *(I) có vô số nghiệm khi ''' c c b b a a == *(I) vô nghiệm khi ''' c c b b a a = . b) Phơng pháp giải hệ phơng trình : + Giải hệ phơng trình bằng phơng pháp thế. + Giải hệ phơng trình bàng phơng pháp cộng đại số. 2) Các dạng ph ơng trình cơ bản đã học : +Ph ơng trình bậc nhất : Dạng ax+b =0.(1) -Nếu a 0 thì (1) là phơng trình bậc nhất một ẩn, có nghiệm duy nhất x= a b -Nếu a = 0 == = . nghiệmsố vôn nê00x dạng (1)có0b nghiệm. vôn nê0b0x dạng có)1(0b +Ph ơng trình bậc hai : Dạng ax 2 +bx +c = 0 (a 0). (1) a)Công thức nghiệm tổng quát : Biệt thức = b 2 4ac. -Nếu > 0 Phơng trình có hai nghiệm phân biệt : x 1 = a b 2 + ; x 2 = a b 2 . -Nếu = 0 Phơng trình có nghiệm kếp x 1 = x 2 = a b 2 -Nếu < 0 thì phơng trình vô nghiệm . b)Công thức nghiệm thu gọn : * Khi có hệ số b = 2b . ta sử dụng công thức nghiệm thu gọn : Biệt thức = b 2 ac. -Nếu > 0 Phơng trình có hai nghiệm phân biệt : x 1 = a b '' + ; x 2 = a b '' . -Nếu = 0 Phơng trình có nghiệm kếp x 1 = x 2 = a b' -Nếu < 0 thì phơng trình vô nghiệm . c)Cách nhẩm nghiệm : +Nếu (1) có a+b+c = 0 thì (1) có 2 nghiệm : x 1 = 1 ; x 2 = a c +Nếu (1) có a b +c = 0 thì (1) có hai nghiệm : x 1 = - 1; x 2 = a c d)Hệ thức Viét: 5 Nếu x 1 , x 2 là hai nghiệm của phơng trình ax 2 + bx + c = 0 (a 0) thì = =+ a c xx a b xx 21 21 d) Một số chú ý : * (1) có nghiệm khi : 0. * (1)Luôn có hai nghiệm trái dấu khi ac < 0. *(1) Có hai nghiệm dơng khi : >= >=+ 0. 0 0 21 21 a c xx a b xx *(1) Có hai nghiệm âm khi : >= <=+ 0. 0 0 21 21 a c xx a b xx II Bài tập: 1) Giải các phơng trình: a) x 2 11x + 30 = 0 (x 1 = 5 ; x 2 = 6) b) x 2 10x +21 = 0 . (x 1 = 3 ; x 2 = 7) c) x 2 12 x +27 = 0 (x 1 = 3 ; x 2 = 9) d) 3x 2 19x 22 =0. (x 1 = - 1 ; x 2 = 3 22 ) đ) x 2 (1+ 02)2 =+ x (x 1 = 1 ; x 2 = 2 ) e) 3x 2 - 2x 033 = (x 1 = 3 ; x 2 = 3 3 ) g) x 2 - x - 6 =0 (ĐS: < =+ = 0 06 0 06 2 2 x xx x xx = = = = 3 (2 (2 3 4 3 2 1 x x x x loại) loại) (Vậy nghiệm của PT là: x = 3 ) 6 h) 2x 3 - x 2 + 3x + 6=0 ( (x+1)(2x 2 -3x +6)=0 1 )0(0632 01 2 = <=+ =+ x xx x ) i) x 4 +8x 2 +15 =0 (Vô nghiệm ) k) x 4 -13x +36 = 0 (x 1,2 = 2; x 3,4 = 3) l)5x 4 3x 2 + 16 7 =0 (x 1,2 = 20 7 ;x 3,4 = 2 1 ) m*) x(x + 1)(x + 4)(x + 5) = 5 (Gợi ý: x(x + 5)(x + 1)(x + 4) = 5 (x 2 + 5x)(x 2 + 5x + 4) = 5 t (t + 4) = 5 t 2 + 4t 5 = 0 = = =++ =+ =+ =+ = = 2 55 2 295 055 015 55 15 5 1 4,3 2,1 2 2 2 2 2 1 x x xx xx xx xx t t Vậy phơng trình có 4 nghiệm = = 2 55 2 295 4,3 2,1 x x n) (x+2)(x 5)(x 2 +2x +2) =0 (Gợi ý: Vì x 2 + 2x +2=(x+1) 2 +1 > 0 với mọi x. Nên ta có : (x+2)(x 5)(x 2 +2x +2) =0 (x+2)(x 5) = 0 = = 5 2 x x ) o) 14412 22 +=+ xxxx (Gợi ý: 22 )12()1( = xx 121 = xx = = = = 3 2 0 211 121 x x xx xx p) 5 1 = + x x (Gợi ý: Với x 0 ta có : 5 1 = + x x xx 51 =+ Với x < 0: Phơng trình vô nghiệm . Với x > 0, ta có : xx 51 =+ = = =+ =+ )( 6 1 4 1 51 51 loạix x xx xx nên PT chỉ có 1 nghiệm x= 4 1 ) q) x - 20204 = x ( x 5 -2 01615 =+ x ( 04)15 22 = x ( 0)35-x()55 =+ x = = oại)lx (35 55-x x =30 r) x + 2 4 1 2 1 =+++ xx (Gợi ý:Đặt 0 4 1 =+ tx x = 4 1 2 t ,Thay vào PT đã cho có: 7 4 9 4 1 2 2 1 4 1 4 1 22 22 =+++⇔ =++−+− ttt ttt ⇔      −=⇒ − = < 22 2 122 0 2 1 xt t (lo¹i) s) 2 2 2 1 1 = − + + + − x x x x (§S: x = 0) t) 02 5 21 12 5 =− + − − − + x x x x §a PT vÒ d¹ng (x – 6) 2 = 0.Suy ra x = 6. 2) Gi¶i c¸c hÖ ph ¬ng tr×nh : a)    −=+− =− 465 32 yx yx (x;y)= (2; 1) b)    −=− =+ 12 3 yx yx (x;y)= ( 3 7 ; 3 2 ) c)    =− =+− 02 022 2 xy yx (x;y)=(-3; 2 1 − );(-6;-2) d)    =+− =− 02 0 2 yx yx (x;y)=(2 ; 2) ; (-1 ; 2 1 ) ®)    =− =+ 33 1332 yx yx (x;y) =(2;3) ; ( 7 33 ; 7 14 − − ) e)      =+ −=− 12 223 yx yx (x ; y) =( 0 ;1) g)      =−+− =−−− 211 1112 yx yx §Æt: 01;01 ≥=−≥=− byax cã:    =+ −= ⇔    =+ =− 32 12 2 12 aa ab ba ba 8 = = 1 1 b a Suy ra: = = 2 2 y x h) = =++ 05 )1(05)(3)(2 2 yx yxyx Gợi ý: Từ (1) đặt x+y=A, ta đợc phơng trình : 2A 2 3A 5 = 0.Phơng trình này có 2 nghiệm A 1 = -1 ; A 2 = 2 5 .Từ đó ta có: x+y=-1 ; x+y= 2 5 . Đến đây phải giải hai hệ sau : = =+ 05 1 yx yx (x;y)=(2 ; -3) và = =+ 05 2 5 yx yx (x;y) = ( 4 5 ; 4 15 ) Vậy phơng trình đã cho có nghiệm (x; y) = (2 ; -3) ; ( 4 5 ; 4 15 ). i) ( ) =+ =+ 1232 83)(5 2 yx yxyx (x;y)= (3 ; 2) ; ( 25 76 ; 25 36 ) l) = + = + + 1 31 3 12 yxyx yxyx (x;y)=( 20 63 ; 20 77 ) m) =+ =+ 05 2 5 yx x y y x (Gợi ý: Đặt y x = t > 0 tx y 1 = . Từ (1) ta có: t + t 1 = 2 5 t 1 = 2; t 2 = 2 1 . Thay vào ta có: yx y x 44 == hoặc yx y x == 4 4 1 .Vậy xét hai hệ sau: 9 =+ = 05 4 yx yx hoặc =+ = 05 4 yx yx Có các nghiệm (x; y)=(1; 4) hoặc (x; y) = (4; 1) n) =+ =+ 48 72 xyyx yyxx = =+ = =+ =+ ==+ =+ =+ =+ =+ 8 6 486. 6 48)( 6216)( 144)(3 72)()( 48)( 72)()( 333333 xy yx xy yx yxxy yx yxxy yx yxxy yx Nh vậy x và y là hai nghiệm của phơng trình bậc hai: X 2 6X+8=0.PT này có 2 nghiệm : X 1 =4 = x x=16.Hoặc y =4 y=16 X 2 =2 = x x = 4. Hoặc y = 2y = 4. Vậy nghiệm của hệ là: (x;y) = (16 ; 4); (4 ; 16). p) =+ = + + + 2008 2 1 1 1 1 yx x y y x (x;y)=(1003; 1005) q, = =+ 1 34 566 yx xyyx Gợi ý: x 0 ; y 0,Chia cả 2 vế của PT (1) cho xy ta đợc: = =+ 1 34 5 66 yx yx Đặt v y u x == 1 ; 1 ta có: = =+ 134 566 vu vu có 2 1 = u ; 3 1 = v . Từ đó suy ra nghiệm của hệ là: (x; y) = (2; 3) Bài 3: Xác định số k để pt: x 2 + 2x + k = 0 có 2 nghiệm x 1 và x 2 thoả mãn: 10 [...]... 25 m 2 4n = 25 - Thay (1) vào (2) ta có: 2 5.(m n) = 35 m 2 n = 7 (2) m= 1 n= 6 Bài 6: Cho PT: x2 - 2(m + 1)x + m 4 = 0 (1) a) Giải PT với m = 1 (ĐS: x1,2 = 2 7 ) b) C/m rằng với mọi m PT(1) luôn có hai nghiệm phân biệt 1 2 2 2 ĐS: = m + m + 5 = (m + ) + 19 > 0 với mọi m 4 c) Gọi x1 ; x2 là 2 nghiệm C/m biểu thức: A = x1(1 - x2) + x2(1 - x1) không phụ thuộc vào m (Gợi ý: A = x1(1 - x2)... d 3 phải đi qua M hay toạ độ của M thoả mãn pt của d3.Tức là: 9 = 7a 12 (Thay x=7; y=9 vào pt của đt d 3).Tính đợc a = 3 Bài 8: Chứng minh rằng khi m thay đổi các đờng thẳng: 2x + (m 1)y = 1 (*) luôn đi qua 1 điểm cố định Gợi ý: (Giải nh bài 6) (*) y= 1 2x m 1 1 y0m + (2x0 y0- 1) = 0 Vậy M( 2 ;0 ) với mọi m Bài 9: Trong mặt phẳng toạ độ cho A( - 2; 2)và đờng thẳng (d1) có pt: y = 2(x+1) a) Giải... Suy ra cả 2 nghiệm đều dơng không t/mãn đk (1) Vậy với m > 0, PT vô nghiệm (đpcm) Bài 12: Tìm a để PT: x2 + mx + 1 = 0 và PT: x2 + x + m = 0 có ít nhất một nghiệm chung (Gợi ý: +Cách1: Giả sử x0 là một nghiệm chung của hai PT đã cho , ta có: 2 2 x 0 + mx 0 + 1 = 0 và x 0 + x 0 + m = 0 12 Suy ra: (m 1)x0 = m 1 * [ m = 1thi PT dã cho trở thành x 2 + x + 1 = 0 (VN)nê n không có nghiệm chung * m 1 Ta... có tích các hệ số góc bằng -1 nên ABC vuông tại A 21 Bằng công thức tính khoảng cách ta có: AB = nên SABC = 1 1 AB AC = 3 5 2 2 4 5 = 15 8 3 5 4 ; AC = 5 (đvdt) Bài 5: Cho hàm số : y =ax2 có đồ thị (P) a)Tìm a biết (P) đi qua A(-1 ;1).Vẽ (P) b)Viết pt đờng thẳng (d) đi qua A và có hệ số góc bằng 1.Tìm toạ độ giao điểm B (A ) của (P) và (d) c)C/m rằng AOB vuông tại A.Tính AB và SAOB Gợi ý: a) a =... pt y=ax và qua A( -1 , 1) nên a=1 và vì aa = 1( -1 ) = -1 nên OA AB tại A AOB vuông tại A Vẽ OH xx ; BK xx AB2 = OB2 OA2 OA2 = OH2 +HA2 = (-1)2 +1 = 2 OB2 = OK2 +BK2 = 22 + 42 = 20 AB2 = 20 2 =18 AB = 18 = 3 2 SAOB = 1 2 OA.AB = 1 2 2 3 2 = 3 (đvdt) Bài 6: C/m rằng đờng thẳng (d) có pt : y=(m+1).x +5m 10 luôn luôn đi qua 1 điểm cố định khi m thay đổi Gợi ý: Gọi M(x0 ; y0) là điểm cần tìm.Điều... biểu thức: A = x1(1 - x2) + x2(1 - x1) không phụ thuộc vào m (Gợi ý: A = x1(1 - x2) + x2(1 - x1) = (x1 + x2) 2x1x2 = 2(m + 1) 2(m 4) = 10 Vậy A không phụ thuộc vào giá trị của m) Bài 7: Cho PT: x2 - (a - 1) - a2 + a - 2 = 0 (1) a) C/m rằng: PT (1) luôn có 2 nghiệm trái dấu với mọi a b) Gọi 2 nghiệm là x1; x2 Tính S = x12 + x22 và xác định a để S đạt giá trị nhỏ nhất Gợi ý: 11 1 a) PT bậc hai có... (P) c) Thi t lập công thức tính khoảng cách giữa 2 điểm theo tọa độ 2 điểm ấy Đáp số: a) m > - 1 4 b) y = -x - 1 4 c) AB = ( x 2 x1 ) 2 + ( y 2 y1 ) 2 ; Phần IV: Giải BT bằng cách lập PT hoặc hệ PT (2tiết) I) Kiến thức cơ bản cần nhớ: Các bớc giải bài toán bằng cách lập PT (hệ PT): Bớc 1: Lập phơng trình: *Chọn ẩn, tìm ĐK cho ẩn , Đơn vị của ẩn *Biểu thị các đại lợng cha biết khác qua ẩn *Dựa vào mối... của Bài toán là 30 30 1 = x x 3 2 hay x2 3x 180 = 0 x1 = 12 (loại); x2 = 15(Thoả mãn ĐK) ĐS: 15 km/h ; 12km/h *Bài 2: Hai đội thợ quét sơn một ngôi nhà Nếu họ cùng làm thì trong 4 ngày xong việc Nếu họ làm riêng thì đội 1 hoàn thành công việc nhanh hơn đội 2 là 6 ngày Hỏi nếu làm riêng thì mỗi đội phải làm trong bao nhiêu ngày để xong việc? Gợi ý: Gọi x là số ngày đội 1 làm một mình xong công... 4 Chứng minh cho tứ giác đó có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện II) Bài tập: Bài 1: Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB; một điểm M trên cung AB và một điểm C nằm giữa A và B sao cho CA< CB Trên nửa mp bờ AB có chứa điểm M, ngời ta vẽ các tia Ax, By vuông góc với AB Đờng thẳng đi qua M vuông góc với MC cắt Ax, By tại P, Q Gọi R, S theo thứ tự là giao điểm của AM với CP; của BM... C I 1 1 sđ AB + sđ CD = sđ AB = AOB (2) 2 2 Kết hợp (2) và (1) ta có: AIB + APB = 180 0 và ta có đpcm (hình bên) A O D *Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A,đờng cao AH.Các đờng tròn đờng kính BH, CH cắt AB, AC tại các điểm thứ hai tơng ứng D, E Tia Ex vuông góc với BE và tia Cy vuông góc với BC cắt nhau tại điểm N Chứng minh các tứ giác: BDEC; BECN; BDEN nội tiếp đA ợc 0 Gợi ý: Do D =90 = E (nội . 1 ) không phụ thuộc vào m. (Gợi ý: A = x 1 (1 - x 2 ) + x 2 (1 - x 1 ) = (x 1 + x 2 ) 2x 1 x 2 = 2(m + 1) 2(m 4) = 10. Vậy A không phụ thuộc vào giá. == = . nghiệmsố vôn nê00x dạng (1)có0b nghiệm. vôn nê0b0x dạng có)1(0b +Ph ơng trình bậc hai : Dạng ax 2 +bx +c = 0 (a 0). (1) a)Công thức nghiệm tổng