. Loại đồ thị nào được dùng để mô hình hệ thống các đường cao tốc giữa các thành phố lớn trong các trường hợp sau: a. Nếu giữa hai thành phố có đường cao tốc thì giữa chúng sẽ được nối bởi một cạnh. b. Mỗi cạnh biểu thị cho mỗi đường cao tốc giữa các thành phố. c. Mỗi cạnh biểu thị cho mỗi đường cao tốc giữa các thành phố và ngoài ra có thêm khuyên để biểu diễn cho đường cao tốc bao quanh một thành phố nào đó. 2. Hãy xây dựng đồ thị lấn...
BÀI TẬP LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ Giảng viên: Nguyễn Ngọc Trung Chương ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐỒ THỊ Loại đồ thị dùng để mơ hình hệ thống đường cao tốc thành phố lớn trường hợp sau: a Nếu hai thành phố có đường cao tốc chúng nối cạnh b Mỗi cạnh biểu thị cho đường cao tốc thành phố c Mỗi cạnh biểu thị cho đường cao tốc thành phố ngồi có thêm khun để biểu diễn cho đường cao tốc bao quanh thành phố Hãy xây dựng đồ thị lấn tổ cho lồi chim chim hét cạnh tranh với chim cổ đỏ chim giẻ cùi xanh, chim cổ đỏ cạnh tranh với chim nhại, chim nhại cạnh tranh với chim giẻ cùi chim bổ hạt cạnh tranh với chim gõ kiến Nếu cần phải dùng đồ biểu diễn cho kết thắng – thua trận đấu bóng chuyền đội theo thể thức vòng tròn hai lượt (mỗi đội gặp lần) cần phải dùng đồ thị gì? Đồ thị có cạnh số đội n đội? Hãy xây dựng đồ thị ưu tiên trước sau cho chương trình sau: e x := x + 2; a x := 0; f y := y + z; b x := x+1; g z := 4; c y := 2; d z := y; Có thể tồn đơn đồ thị có 15 đỉnh, đỉnh có bậc khơng? Cho đồ thị xác định bậc đỉnh đồ thị 2 3 6 b a Hãy vẽ đơn đồ thị vơ hướng có đỉnh Trong có đỉnh rẽ nhánh, đỉnh lập Hỏi đồ thị phải có cạnh? Đỉnh cịn lại phải có bậc mấy? (Chú ý: có nhiều đáp án cho câu hỏi này) Cho đồ thị vơ hướng có n đỉnh Hỏi đồ thị có tối đa cạnh Trong trường hợp số cạnh tối đa đỉnh có bậc bao nhiêu? Xét đồ thị vơ hướng có n đỉnh m cạnh Gọi k bậc nhỏ nhất, K bậc lớn đồ thị Chứng minh rằng: 2m k K n 10 Cho đồ thị vô hướng có n đỉnh 2n cạnh Chứng minh đồ thị ln tồn đỉnh có bậc không nhỏ 11 Chứng minh đơn đồ thị vơ hướng khơng chứa chu trình ln tồn hai đỉnh treo 12 Cho đồ thị có hướng có n đỉnh Hỏi đồ thị có tối đa cạnh Trong trường hợp số cạnh tối đa đỉnh có bán bậc bán bậc vào bao nhiêu? 13 Có tồn đơn đồ thị vơ hướng có đỉnh với số bậc sau khơng? Nếu có, vẽ đồ thị a 3, 3, 3, 3, b 1, 2, 3, 4, c 0, 1, 2, 2, d 1, 1, 1, 1, e 3, 4, 3, 4, f 0, 1, 0, 1, 14 Hãy vẽ đồ thị sau đây: a K4x4 c W7 b C7 d K5 15 Cho đồ thị sau Hãy cho biết đồ thị có tất đồ thị 16 Đồ thị K3 có đồ thị có đỉnh? Một đồ thị gọi quy đỉnh có bậc Một đồ thị gọi n-chính quy đỉnh có bậc n 17 Với giá trị n đồ thị sau quy? a Kn c Wn b Cn 18 Với giá trị m, n đồ thị Kmxn đồ thị quy? 19 Đồ thị bù G đồ thị G đồ thị có số đỉnh với G Hai đỉnh u v gọi kề (được nối cạnh) G khơng kề G ( (u,v) khơng phải cạnh G) Hãy xác định đồ thị bù đồ thị đây: a K n c K mxn b Cn d Wn 20 Nếu đồ thị G có n đỉnh m cạnh đồ thị G có đỉnh, cạnh? n2 21 Chứng minh G đồ thị phân đơi có n đỉnh m cạnh ta có: m 22 Cho đồ thị sau, xác định đồ thị đồ thị phân đôi: 3 4 6 23 Xét đồ thị sau: a Hãy tìm đường đơn khác từ đỉnh đến đỉnh b Hãy tìm chu trình sơ cấp chứa đỉnh c Cho biết đồ thị có liên thơng mạnh hay liên thơng yếu hay khơng? 24 Cho đồ thị sau Hãy cho biết có tất đường đơn từ đỉnh đến đỉnh 16 25 Hãy tìm số đường đơn độ dài n hai đỉnh kề đồ thị K3x3 với: a n = b n = c n = 26 Từ kết 25, rút công thức tổng quát số đường đơn độ dài n hai đỉnh kề đồ thị Kmxm 27 Chứng minh đồ thị vô hướng liên thông G có n đỉnh có n – cạnh 28 Giả sử v đỉnh đầu cạnh cắt Chứng minh v đỉnh cắt khơng đỉnh treo 29 Chứng minh đơn đồ thị tồn đỉnh khơng đỉnh cắt (Gợi ý: sử dụng kết tập 11) 30 Chứng minh cạnh đơn đồ thị cạnh cắt khơng nằm chu trình đồ thị 31 Xét đồ thị vơ hướng có k thành phần liên thông Chứng minh số cạnh đồ thị ( n k )(n k 1) vượt ? 2 Chương BIỂU DIỄN ĐỒ THỊ 32 Xác định ma trận kề đồ thị sau đây: 33 34 35 36 Hãy xác định ma trận liên thuộc đồ thị Hãy xác định danh sách cạnh đồ thị Hãy xác định danh sách kề đồ thị Gọi A ma trận kề đồ thị bên a Hãy xác định A2 b Hãy cho biết giá trị A2ij biểu diễn cho gì? c Từ đó, ta tính An Anij biểu diễn cho gì? 37 Nếu hai đồ thị đẳng cấu với ma trận kề chúng có giống hay khơng? Tại sao? 38 Cho hai đồ thị có đỉnh Cơ cấu bậc chúng giống nhau: có đỉnh bậc 3, đỉnh bậc đỉnh bậc Vậy hai đồ thị có chắn đẳng cấu với hay khơng Nếu có chứng minh, khơng cho ví dụ minh họa 39 Có tất đồ thị có đỉnh cạnh Trong số có đồ thị đẳng cấu với 40 Nêu đặc điểm ma trận kề đồ thị sau: a Đồ thị đầy đủ b Đồ thị phân đôi đầy đủ K1xn 41 Hãy vẽ đồ thị biểu diễn ma trận kề Hãy cho biết chúng đồ thị có hướng hay vô hướng: 0 1 0 1 1 a 1 b 1 0 1 0 0 Một đơn đồ thị gọi tự bù G G đẳng cấu 42 Hãy tìm đồ thị tự bù có đỉnh 43 Với số nguyên n thi Cn đồ thị tự bù 44 Chứng minh G đồ thị tự bù với n đỉnh n chia hết cho 4, n chia dư 45 Hãy xác định đồ thị sau có đẳng cấu hay khơng 46 Chứng minh đồ thị vơ hướng, liên thơng có n đỉnh n-1 cạnh khơng thể chứa chu trình Chương ĐỒ Ồ THỊ EULER – ĐỒ THỊ HAMILTON 47 Chứng minh mộtt đồ đ thị vô hướng, tồn đường đơn từ đỉnh bậc lẻ đến đỉnh bậc lẻ khác 48 Các đồ thị sau có phảii đđồ thị Euler hay nửa Euler hay không? Giảii thích N Nếu Euler hay nửa Euler phải chu trình (đường ( đi) Euler tương ứng 49 Các đồ thị có phảii đđồ thị Hamilton hay nửaa Hamilton hay khơng? Gi Giải thích Nếu Hamilton hay nửaa Hamilton phải ph chu trình (đường ng đi) Hamilton tương ứng 50 Cho đồ thị vô hướng ng liên thông G mà đỉnh có bậc 20 Chứng ng minh rrằng đồ thị khơng có cạnh cắt (cầu) u) (HD: Chứng minh nếuu bỏ b cạnh đồ thị vẫnn cịn liên thông) 51 Với giá trị củaa m n đồ thị phân đơi đầy đủ Kmxn là: a Đồ thị Euler b Đồ thị nửa Euler 52 Tính số lần nâng bút nhỏ nhấất để vẽ hình 48 Giảii thích 53 Các đồ thị sau có phảii đồ đ thị Hamilton hay không? Chứng minh 54 55 56 57 Chứng minh mộtt đồ đ thị vô hướng n đỉnh, ln tồn hai đỉnh nh có bậc b Chứng minh nếuu G đồ đ thị Hamilton G khơng chứa đỉnh cắtt Chứng minh nếuu G đồ đ thị Euler G khơng chứa cạnh cắt (cầu) u) Hãy vẽ tất đồ thị vô hướng hư có đỉnh bậc đỉnh lần lượtt là: 2, 2, 3, 3, 3, Chương ĐỒ THỊ PHẲNG – BÀI TỐN TƠ MÀU ĐỒ THỊ 58 Có năm ngơi nhà nối với hai thiết bị sinh hoạt: Gas Điện Hỏi có cách nối để dây nối không cắt hay không? Tại sao? 59 Xét đồ thị liên thơng có đỉnh bậc Hỏi biểu diễn phẳng đồ thị chia mặt phẳng thành miền 60 Các đồ thị sau có đồ thị phẳng khơng? Nếu có vẽ biểu diễn phẳng 61 Các đồ thị sau có đồ thị phẳng khơng? Nếu có vẽ biểu diễn phẳng 62 Chứng minh đơn đồ thị phẳng, liên thông có e cạnh v đỉnh, có (v3), khơng có chu trình với độ dài 3, e 2v – 63 Xét đơn đồ thị phân đơi, phẳng, liên thơng có e cạnh v đỉnh (v3) Chứng minh e 2v – 64 Một đồ thị vơ hướng, phẳng có e cạnh, v đỉnh k thành phần liên thông Hãy tìm biểu thức quan hệ r – số miền biểu diễn phẳng đồ thị – với e, v k 65 Hãy xây dựng đồ thị đối ngẫu với đồ Từ cho biết đồ tơ tổi thiều màu cho hai vùng giáp phải có màu khác 66 Hãy tìm số màu đồ thị đây: 67 Chứng minh đồ thị G có chứa chu trình có độ dài lẻ số màu G phải 68 Tính số màu đồ thị sau: a Kn b Wn c Cn 69 Một khoa có hội đồng họp tháng lần Cần có thời điểm họp khác (tối thiểu) để đảm bảo không bị xếp lịch họp hai hội đồng lúc Các hội đồng là: HĐ1 = {An, Bình, Bảo} HĐ2 = {Bình, Nam, Hoa} HĐ3 = {An, Bảo, Hoa} HĐ4 = {Nam, Bảo, Hoa} HĐ5 = {An, Bình} HĐ6 = {Bình, Bảo, Hoa} 70 Sáu đài truyền hình cách cho bảng Mỗi đài cấp kênh để phát sóng Hãy tìm số kênh cần phát, biết hai đài phát cách không 150 dặm không cấp phát chung kênh 85 175 200 20 100 85 125 175 100 160 100 200 250 175 125 210 220 200 175 100 10 100 200 210 100 100 160 250 220 100 71 Chứng minh đơn đồ thị vô hướng phân đôi số màu Tơ màu cạnh đồ thị gán cạnh đồ thị màu cho hai cạnh có chung đỉnh đầu không gán màu Số màu cạnh đồ thị số màu dùng để tô màu cạnh đồ thị 72 Hãy xác định số màu cạnh đồ thị 66 73 Hãy đưa tốn tơ màu cạnh tốn tơ màu đồ thị (tơ màu đỉnh) Chương CÂY 74 Có không đẳng cấu với n đỉnh a n = b n = 75 Cho G 5-phân đầy đủ có 100 đỉnh Hỏi G có tất đỉnh 76 Cây 3-phân (tam phân) đầy đủ có 100 đỉnh có lá? 77 Chứng minh tô hai màu 78 Cho G đồ thị vơ hướng liên thơng có n đỉnh m cạnh Cần phải xóa cạnh G để G trở thành cây? 79 Hãy vẽ tất khung đồ thị sau: 80 Các đồ thị sau có tất khung? a K3 c Cn b K2,2 d Wn 81 Khi cạnh G ln ln nằm tất khung 82 Hãy tìm khung nhỏ đồ thị sau bẳng thuật toán Prim: 83 Hãy áp dụng thuật toán Kruskal để tìm khung nhỏ đồ thị 82 Cây khung cực đại đồ thị có trọng số khung có tổng trọng số lớn 84 Hãy đề xuất hai thuật tốn để tìm khung cực đại đồ thị (HD: nên tận dụng hai thuật toán học Prim/Kruskal) 85 Áp dụng thuật tốn để tìm khung cực đại hai đồ thị 82 86 Hãy tìm khung nhỏ đồ thị sau bẳng thuật toán Prim:\ 87 Hãy áp dụng thuật tốn Kruskal để tìm khung nhỏ đồ thị 86 Chương BÀI TOÁN ĐƯỜNG ĐI NGẮN NHẤT 88 Hãy áp dụng thuật tốn Ford-Bellman để tìm đường ngắn từ đỉnh a đến đỉnh khác đồ thị Hãy vẽ đường thể cho đường ngắn 89 Tương tự 88, sử dụng thuật toán Dijsktra 90 Hãy áp dụng thuật tốn Dijsktra để tìm đường ngắn từ a tới z đồ thị 88, câu b, biết đường phải qua đỉnh f 91 Cho G đồ thị có trọng số u* đỉnh G Hãy cải tiến thuật tốn Dijsktra cho tìm đường ngắn từ đỉnh s đến đỉnh t mà phải qua đỉnh u* (Chú ý: Không cần viết chi tiết, cần mô tả ý tưởng) 92 Hãy áp dụng thuật tốn Dijsktra để tìm đường ngắn từ a tới z đồ thị 88, câu b, biết đường phải qua cạnh (d, f) (HD: Chọn đường ngắn hai đường ngắn nhất: a - … - d – f - … z, a - … - f – d - … z.) 93 Cho G đồ thị có trọng số (u*, v*) cạnh G Hãy cải tiến thuật tốn Dijsktra cho tìm đường ngắn từ đỉnh s đến đỉnh t mà phải qua cạnh (u*, v*) (Chú ý: Không cần viết chi tiết, cần mô tả ý tưởng) 94 Cho sơ đồ thành phố chi phí để di chuyển (bằng máy bay) thành phố sau: Giả sử công ty du lịch đặt NewYork muốn tổ chức tour du lịch từ NewYork tới thành phố khác Hãy đường cho cơng ty cho tour tốn tiền vé 95 Xét đồ thị sau, cho biết ma trận d p cuối sau thực thuật toán Floyd đồ thị 11 3 ...14 Hãy vẽ đồ thị sau đây: a K4x4 c W7 b C7 d K5 15 Cho đồ thị sau Hãy cho biết đồ thị có tất đồ thị 16 Đồ thị K3 có đồ thị có đỉnh? Một đồ thị gọi quy đỉnh có bậc Một đồ thị gọi n-chính... gọi n-chính quy đỉnh có bậc n 17 Với giá trị n đồ thị sau quy? a Kn c Wn b Cn 18 Với giá trị m, n đồ thị Kmxn đồ thị quy? 19 Đồ thị bù G đồ thị G đồ thị có số đỉnh với G Hai đỉnh u v gọi kề (được... xác định đồ thị bù đồ thị đây: a K n c K mxn b Cn d Wn 20 Nếu đồ thị G có n đỉnh m cạnh đồ thị G có đỉnh, cạnh? n2 21 Chứng minh G đồ thị phân đơi có n đỉnh m cạnh ta có: m 22 Cho đồ thị sau,