Cùng với phương pháp biến đổi trực tiếp về PT cơ bản hoặc các PT thường gặp (PT chỉ có một hàm số lượng giác, đẳng cấp, đối xứng, bậc nhất với sinx, cosx như đã trình bày ở trên) thì các[r]
(1)PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Phương pháp thường gặp để giải phương trình (PT) lượng giác thực số phép biến đổi lượng giác “Hợp lí” để đưa PT quen thuộc biết cách giải như: PT bản, PT bậc hai bậc cao hàm số lượng giác, PT đối xứng bậc sinx, cosx cốt lõi vấn đề cần nắm vững, sử dụng thành thạo công thức lượng giác
Ta nói biến đổi “Hợp lí” phép biến đổi lượng giác thường đa dạng cho nhiều kết khác Thí dụ: Nếu cần biến đổi sin4x cos4x
, tùy thuộc theo đề cụ thể, sử dụng kết sau:
4 cos
2 cos sin 1 cos sin
2
4
4x x x x x, chẳng hạn:
* Với PT sin2
2 cos sin4
x x
x cần chọn x x sin 2x
2 1 cos
sin4
để đưa PT bậc hai
sin2x
* Với PT cos2
2 cos
sin4 x x x cần lấy KQ
2 cos cos
sin4 x 4x x
để đưa PT bậc hai với cos2x
* Với PT sin4
2 cos
sin4 x 4x x cần lấy KQ
4 cos cos
sin4 x x x để đưa PT bậc với sin4x, cos4x Việc phân loại tập mang tính tương đối tốn PT lượng giác phong phú thể loại phương pháp giải
§1. BIẾN ĐỔI TRỰC TIẾP VỀ PT CƠ BẢN: sin f(x)sing(x), cos f(x)cosg(x) a Lưu ý
*
4 cos
2 cos sin 1 cos sin
2
4
4 x x x x x,
8 cos
2 cos sin cos sin
2
6
6 x x x x x
* Nếu PT có chứa biểu thức dạng 3sinxcosx,sinx 3cosx dùng phép biến đổi sau:
6 cos sin cos
sinx x x x ,
3 cos sin cos sin
3
x x x
x b Bài tập
1/
8 3 cos sin sin
cos3
x x
x
x 2/ x x cos x.sinx
4 cos
sin3
3/
4 cos sin
sin cos
cos x 3x x x x 4/
2 sin cos
cosx x x tgxtg x
tgx
5/ cosx cos7x = cos3x cos5x 6/
x x
x
2 sin
1 1005 cot tan
2011
7/ 4sin( ) cos
6
x x 8/ sin3x 3cos3x2sin2x
9/ sinx cosx.sin2x 3cos3x 2(cos4x sin3 x)
10/ 8sin22x.cos2x 3sin2x cos2x
11/
) sin )( sin (
cos ) sin (
x x
x x
12/
1 sin cos
2
cos sin cos
2
x x
x x x
13/ 2sin15x 3cos5xsin5x0 14/
cos sin
3
3 sin cos sin cos
2
x x
x x
x x
15/ tg4x + = x
x x cos
3 sin sin 2
16/
4 sin sin
3
sin x x x
17/ 3cos4 4cos
4 cos
2
x x
x 18/
8 9 ) 4 ( sin ) 4 ( sin
sin4
x x
(2)§2 BIẾN ĐỔI VỀ PT CHỈ CHỨA MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
a Lưu ý:
+ Ngồi cơng thức cơng thức nhân đơi, hạ bậc, biến tổng thành tích, tích thành tổng ta cần lưu ý tới số đẳng thức sau:
4 cos
2 cos sin 1 cos sin
2
4
4 x x x x x,
8 cos
2 cos sin cos
sin6 x x x x x
+ Gặp PT đẳng cấp bậc (bậc 3) với sinx, cosx sau thực phép chia cho cos2x (hoặc cos3x) ta được PT bậc (bậc 3) tanx
Lưu ý: PT đẳng cấp bậc hai có dạng a.sin2x + bsinx.cosx +c.cos2x + d = 0, còn PT đẳng cấp bậc PT có
chứa số hạng sin3x, cos3x, sinx, cosx, sin2x.cosx, cosx.sin2x.
b Bài tập
1/ cos2x + cosx – = 2/ cos 2x3sinx2
3/
4 sin x12 cos x7 4/ sin 24 xcos 24 xsin cos 2x x
5/ 2sin3x + cos2x = sinx 6/ 3(tgx + cotgx) = 2(2 + sin2x)
7/ sin4x + cos4x -
sin2(2x) + = 0 8/ 2cos2x – 8cosx + = x cos
1
9/ 5(sinx + )
2 sin
3 sin cos
x x x
= cos2x + 10/ cotgx – tgx + 4sin2x = x sin
2 11/ sin4x + cos4x + cos(
4
x ).sin(3x -
) -
= 12/
x x
g x
x x
2 sin
1
cot 2
sin
cos
sin4
13/
2 10 sin 2 10
sin x x 14/
4 cos cosx x
15/
sin 2
cos sin cos
sin
2 6
x
x x x
x
16/ tg x
x x
x x
2 sin
cos
sin cos
2
6
17/ cotgx = tgx +
x x sin
4 cos
18/
8 cos
sin4
x
x
19/ sin8x + cos8x = 2(sin10x + cos10x) + 5/4.cos2x 20/ sin8x + cos8x = 16 17
cos22x 21/
2 sin 11 sin sin cos
sin2 x x x x x
22/ 5sin
4
tan
x x
23/ 5sinx – = 3(1 – sinx)tan2x 24/ 3(sin2xsinx)cos2x cosx2
25/ 1
1 cos
4 sin cos
2
x
x
x
26/ x x x
x x
4 cos
tan
tan
2 cos
sin4 4
27/ sin2x + sin23x – 3cos22x = 0 28/ 3cos4x – 2cos23x = 1, sin23x = 4cos4x +3 29/ cos3x – 4cos2x + 3cosx- = 30/ 3cos4x – 8cos6x + 2cos2x + = 0
31/ cos2x + cosx(2tg2x – 1) = 2 32/ 3- tgx (tgx + 2sinx) + 6cosx = 0 33/ sinx.cos2x + cos2x(tan2x – 1) + 2sin3x = 0 34/
x x x
x 2
cos cos tan
3
tan
35/ (2sin2x – 1)tan22x + 3(2cos2x – 1) = 0 36/
x x
x x x
cos tan
1
4 sin ) cos sin
1 (
37/ 3sin2x + 4sin2x + 4cos2x = 3 38/ 4sinx + 6cosx = x cos
1 39/ 3sinx + cosx =
x cos
1
40/
1 sin
) (sin
sin ) sin (cos cos
x
x x x
(3)41/ 2sin5x + 2sin3x.cos2x + cos2x – sinx = 0 42/ 4sin3x + 3cos3x – 3sinx – sin2x.cosx = 0 43/ cos3x + sinx - 3sin2x.cosx = 0 44/ cos3x - 4sin3x - 3cosx.sin2x + sinx =0 45/ cos3x - sin3x = sinx – cosx 46/ 4cos3x + 2sin3x - 3sinx = 0
47/ 2cos3x = sin3x 48/ sinx.sin2x + sin3x = 6cos3x
49/ sinx + cosx - 4sin3x = 0 50/ sin2x(tgx+1) = 3sinx(cosx - sinx)+3 51/ tanx.sin2x - 2sin2x = 3(cos2x + sinx.cosx) 52/ cos2x cos2x 1 tanx
53/ sin3(x+
) = sinx 54/ 8.cos3(x+
3
) = cos3x 55/ 6sinx - 2cos3x =
x x x
2 cos
cos sin
56/ 6sinx – 2cos3x = 5sin2x.cosx
§3 PT THƯỜNG GẶP VÀ PT QUY VỀ PT THƯỜNG GẶP Trong phần ta xét PT thường gặp dạng sau:
- PT bậc với sinx, cosx: asinx + bcosx = c.
- PT đối xứng bậc với sinx, cosx: a(sinx+cosx) + bsinx.cosx = c. - PT gần đối xứng bậc với sinx, cosx: a(sinx - cosx) + bsinx.cosx = c.
- PT đẳng cấp bậc hai, bậc với sinx, cosx (đã xét trên, phần PT chứa hàm số lượng giác) Lưu ý: Dưới ta lưu ý toán PT đối xứng bậc cao với sinx, cosx
Bài tập (PT đối xứng, gần đối xứng)
1/ (sinx+cosx) +3sin2x-11=0 2/ sinx.cosx+2(sinx+cosx) =
3/ sinx - cosx + 7sin2x = 4/ sin2x + sin(x
-4
) = 5/ (1-sinx.cosx)( sinx+cosx) =
2
2 6/ 1 + sin3x + cos3x =
2
sin2x 7/ sin3x + cos3x =
2
2 8/ (sinx+cosx)3+ sinx.cosx-1 = 0
9/ 1+ tgx = 2sinx 10/ sinx.cosx = 6(sinx-cosx-1)
11/ sinxcosx sinx.cosx1 12/ sinx cosx 4sin2x1
13/ sinx+cosx +
x x cos
1 sin
1
=
3 10
14/ cotgx - tgx = sinx + cosx 15/ sinx + cosx =
3
x x.cos sin
1 16/ (1-sin2x)( sinx + cosx) = cos2x -
Bài tập (PT bậc biến đổi bậc với sinx, cosx)
1/ sinx + cosx =1 2/ 3sin3x + cos3x =
3/ 3sinx - cosx+ 2=0 4/ cos7x - 3sin7x = - 2, x )
7 ; (
5/ sin2x - 3cos2x = - 6/ 5sin4x + 3cos4x =
7/ 2cos2x +
2 sin x
=1 8/ 3sinx+1 = 4sin3x+ 3cos3x
9/ 3sin5x + 3cos15x = + 4sin35x 10/ 4cos2(x+
2
) + sin2x =1
11/ 2(sinxcosx).cosx3cos2x 12/ 4sin3x.cos3x + 4cos3x.sin3x+3 3cos4x=3
13/ x
x x
x x
x
sin 3
cos cos
2
3 cos cos cos
1
2
14/ 2(sin4 cos4 ) 3sin4
x x
x 15/ Tìm m để cỏc phơng trình sau có nghiệm :
a) m.sin3x+(m+1)cos3x=5 b) m.sin2x+(
2 m
)sin2x+3cos2x=4
16/ Tìm giá trị Max, Min hàm số sau:
a) y =
2 cos sin
cos
x x
x
, b) y =
cos sin
7 cos sin
x x
x x
(4)Với PT loại ta sử dụng công thức: “Nếu đặt t tan a
2 tính được: 2t sina
1 t ,
2 t cos a
1 t ,
2t tana
1 t để chuyển PT cần giải thành phương trình đại số ẩn t” Bài tập 3
1/ sin4x = tgx 2/ +3sin2x = 2tgx 3/ (1 – tgx)(1+sin2x) = + tgx
4/ tgx + cotx = 2(sin2x + cos2x) 5/ tgx + 2cotg2x = sin2x 6/ sin2x + cos2x + tgx = §4 BIẾN ĐỔI VỀ PT TÍCH
a Lưu ý:
Cùng với phương pháp biến đổi trực tiếp PT PT thường gặp (PT có hàm số lượng giác, đẳng cấp, đối xứng, bậc với sinx, cosx trình bày trên) tốn sử dụng phép biến đổi lượng giác để đưa PT dạng tích tốn thường xun xuất kỳ thi tuyển sinh năm gần
Để biến đổi PT tích, cần tạo nhân tử chung, số lưu ý:
Các biểu thức: + sin2x; cos2x; + tanx; + cotx; cos3x + sin3x; cos4x - sin4x; cos3x – sin3x; tanx – cotx;
sin
2 x có nhân tử chung là: sinx + cosx
Các biểu thức: - sin2x; cos2x; - tanx; - cotx; cos3x - sin3x; cos4x - sin4x; cos3x – sin3x; tanx – cotx;
sin
2 x có nhân tử chung là: sinx - cosx
Các biểu thức: sin3x ; sin2x; tan2x có nhân tử chung 1- cosx + cosx Các biểu thức: cos3x ; cos2x; cot2x có nhân tử chung 1- sinx + sinx Các biểu thức: sin4x; sin3x; sin2x; tanx có nhân tử chung sinx
Ngồi nhóm số hạng sin cosin góc với nhau, ta cần để ý góc cho tổng hiệu góc để làm xuất nhân tử chung
b B i t pà ậ
1/ sinx + sin2x + sin3x + sin4x = 2/ cosx+cos2x+cos3x+cos4x =
3/ 1+cosx+cos2x+cos3x=0 4/ cos2x - cos8x + cos6x =
5/ cos4x - sinx = sin7x- cos2x 6/ cos10x - cos8x - cos6x + = 7/ sin2x = cos22x + cos23x 8/ sin23x - cos24x = sin25x - cos26x 9/ cos2x + cos22x+ cos23x + cos24x =
2
10/ sinx+sin2x+sin3x=cosx+cos2x+cos3x 11/ cosx.cos4x + cos2x.cos3x = 12/ sin3x - sinx +sin2x =
13/ (2sinx-1)(2cos2x+2sinx+1) = - 4cos2x 14/ 4sin2x – 3cos2x = 3(4sinx – 1) 15/ sinx + sin3x + 4cos3x = 0 16/ +sinx + cosx + sin2x +cos2x = 0 17/ sinx+sin2x+sin3x=1+cosx+cos2x 18/ cosx + cos3x + 2cos5x =
19/ 2cos6x + sin4x + cos2x = 0 20/ 2cos3x + cos2x+sinx = 0
21/ a) 9sinx + 6cosx - 3sin2x + cos2x = 22/ a) sinx + 2cosx + cos2x – 2sinx.cosx =0 b) cos2x + 3sin2x + 5sinx – 3cosx = b) 2sin2x – cos2x = 7sinx + 2cosx - 23/ (cosx-sinx)cosx.sinx = cosx.cos2x 24/ sin4x = tgx
25/ cos3x+sin3x=sin2x+sinx+cosx 26/ cos2x + sin3x + cosx = 0 27/ cos3x + cos2x +2sinx-2 = 0 28/ sinx + sin2x + cos3x = 0 29/ 2sin3x-sinx = 2cos3x- cosx+cos2x 30/ 4cos3x +3 2sin2x = 8cosx
31/ x x sin2x
2 sin
cos4
32/ 2
sin x =
x cos
1 +
x sin
1 33/
5 sin
3
sin x x
34/
sin
5 sin
x x
35/ 3sinx + 2cosx = 2+ 3tgx 36/ tg4x + tg2x = 4.sin2x
37/ cos5x+sin7x+1/2(cos3x+sin5x)sin2x=sinx+cosx 38/ sinx+sin2x+sin3x=cosx+cos2x+cos3x 39/ 1+sinx+cos3x = cosx+sin2x+cos2x 40/ (2cosx -1)(2sinx + cosx) = sin2x - sinx
§5 PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ
1/ cos2x 3sin2x 3sinx cosx40 2/ 4sin23x.sin2x = + sin3x
(5)5/ a) cos2x + cos4x + cos6x = 3, b) cosx + cos 3x
=
6/ x sin 3x sinx.sin 3x
1
sin2
7/ 4cos2 3cos
tg x x tgx
x 8/ cos cos 2 cos cos 4
x x x
x 9/ 5cos(2x +
3
) = 4sin( 5
- x) – 10/ (cos2x – cos4x)2 = + 2sin3x BÀI TẬP TỔNG HỢP
1/ sin2x – cos2x = 3sinx + cosx – 2/ sin2x + sin22x + sin23x = 2 3/ 2 sin sin sin cos cos
cosx x x x x x 4/ 3(cotx – cosx) – 5(tanx – sinx) =
5/ + sinx + cosx =
cos
2 x 6/ 3sin4x + 5cos4x – = 0
7/ sin2x + 2cos2x = + sinx – 4cosx 8/ x 2sinx
4
sin3
9/ 3cot2x 2sin2x (2 2)cosx
10/ 2tan 5tan 5cot
sin
2
2x x x x
11/ x cos3x
3 cos
8
12/
sin sin
sin x x x
13/ x x x x cos cos sin sin
2 14/ (sin 1)
2 cos
cos2
x x
x 15/ cos cos sin cos x x x
x 16/ 3tg3x – tgx + )
2 ( cos cos ) sin ( 2 x x x =
17/ cos cos5 8sin sin cos3 cos
x x
x x
x x 18/
1
4sin x
3
sin x sin x
2
19/ cotx + sinx
2 tan tan
1
x x 20/ 2sin22x + sin7x – = sinx
21/ 3.cos
2 cos sin
x x
x
22/
cos sin sin cot cos 2 x x x x x
23/ cos23x.cos2x - cos2x = 0 24/ sinx.cos2x + cos2x(tan2x -1) + 2sin3x = 0
25/ cos3x+sin3x + 2sin2x = 1 26/ 4sin 1 0
6 sin
2
x x 27/ (1 + sin2x)cosx + (1 + cos2x)sinx = + sin2x 28/ 3sin(x –
3
) + sin (x +
6
) = 2sin2012x
29/ 3cos3x + 4sinx +
1 sin cos x
x = 30/ 3cos 4sin cos sin
4 2
x x x
x
31/ x
x x
x
x 2cot2
2 sin sin sin
sin 32/
2 cos sin sin cos sin
3 x x x x x
33/ 2cos32
4 cos
sin x x x
34/ x x
x x x x cot tan sin cos cos sin
35/ sin3 x 3cos3 x sinx.cos2 x 3sin2 x.cosx
36/ 2sinx(1 + cos2x) + sin2x = + 2cosx
37/ sin
cos
x x 38/ 2 sin
sin
x x 39/ sin sin
2
x
x 40/ 2cos2 x 3sinx.cosx 3(sinx 3cosx)
(6)45/ x x
x
x 2sin4
tan
tan 4 cos
16 22
46/
4 cos 2 cos
sin
x x
x
47/ tanx + cotx = 4cos22x 48/ 5 3sin2 x 4cosx 1 2cosx
49/
1
tan tan
3 cos cos
sin
sin3
x x
x x
x x
50/
4 tan tan cos cos
sin3x 3x x x x
51/ 3cos4 4cos
4 cos
2
x x
x 52/
4 sin sin
cos
x x
x
53/
2 cos tan
4
sin2
x x
x
54/ 2cosx.cos2x.cos3x + = 7cos2x 55/ 2(cosx.cos2x.cos3x - sinx.sin2x.sin3x) =1 56/ tan2x - tan2x.sin3x = 1- cos3x
57/ – tanx.tan2x = cos3x 58/ x x sin3x sinx sin2x
3 tan
tan
59/
x x
x x
cos sin
cos sin
+ 2tan2x + cos2x = 60/ sin2x +
x x sin
) cos
(
= 2cos2x 61/ 2sin2(x -
4
) = 2sin2x - tanx 62/ sin3x(1 + cotx) + cos3x(1 + tanx) = 2 sinx.cosx 63/ 3sin2x(2cosx1)2cos3xcos2x 3cosx 64/ x
x x
cos tan
2 cos
65/ sin(2 ) sinx 3cos
4
x x 66/ 2 os sin
12
c x x
67/
3
cos cos
2 sin sin cos
x x
x
x x
68/
2 3
tan x tan sinx xcos 0
69/ cos6 3sin3
3 cos cos
2 sin cos
x x
x x
x x
70/ 3cos xcos 2x cos 3x4sin sin 2x x
71/ 2sin (2 ) 2sin2 – tan
x x x 72/ sin3x – 3sin2x – cos2x + 3sinx + 3cosx -2 =
73/ sin4x + 2cos2x + 4(sinx + cosx) = + cos4x 74/ os6x+2cos4x- os2x = sin2x+ 3c c
75/ 8sin5x – cos4x.sinx + 4cos2x – 3sinx = 0 76/ 9. 6 3sin 2 8 2
2
cos x cos x x cos x
77/ 2
sin sin sin
4
x
x cos x x
78/ sin 3x 3cos x cos x3 sin 2xsinx 3cosx
79/ 1 2 cos sin
tan cot cot
x x
x x x
80/
x x x
x
x 2
3
2
cos
1 cos cos
tan
cos
81/ cos2x 2sin x 2sin x cos 2x 0 82/ tan x 3cot x sin x 3cosx
83/ tan2x – tanx.tan3x = 2 84/ 8 sin 6xcos6x3 3sin 4x3 cos 2x 9sin 11x
85/ 4sin 2(1 sin )
4 cos
2
cos x x x x
86/ 1 cot2 cot
sin cos
1
48 4 2 x x
x x
87/ cotgx - = x x
tgx
x sin2
2 sin
1
cos
88/ sin cos 2(1 sin )
) (cos cos2
x x
x x x
89/
x x
x x
4 sin
2 tan
2 cot tan
3 90/ 3(sin2xsinx)cos2x cosx2
(7)93/ sin 2.cos
4 sin
x x
tg x
x
94/
3(sin sin )
2cos
cos
x x
x x
95/ sin 2 3cos sin
x x x
96/
3 tan sin cot
2
x x x
97/ 2cos2x 3 sin 2x 1 3(sinx 3 cos )x
98/ 2cos2 cos sin
4
x x x
99/ sin (2 cos )x x (1 cos ) cos x 2 x 100/ (sin 1)(1 tan ) cos 2 cos
4
x x x x
101/ cosx sinx 1 sin 2xcos 2x 102/
5 cos 10 cos