*Nhieàu vaán ñeà cuûa toùan hoïc, vaät lyù, hoùa hoïc, sinh hoïc.[r]
(1)(2)CHƯƠNG - Đạo Hµm
BÀI : KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM
1 Ví dụ mở đầu : Từ vị trí O (ở độ cao định ) ta thả viên bi cho rơi tự xuống đất nghiên cứu chuyển động viên bi
* Nếu chọn trục Oy theo phương thẳng đứng ,
chiều dương hướng xống đất , gốc O vị trí ban đầu viên bi (tại thời điểm t = 0) bỏ qua sức cản khơng khí phương trình viên bi :
2
2
1
)
(
t
gt
f
(3)* Giả sử thời điểm , viên bi vị trí có tọa độ
*Tại thời điểm ,viên bi vị trí có tọa độ
*Khi khoảng thời gian tư quãng đường viên bi đi :
*Vận tốc trung bình viên bi khoảng thời gian là:
) (taïi t 0
) (taïi t 1
O
) (t0 f M M ) (t1 f
y
t
M
y0 f (t0 ))
t
t
(
t
1 1
0) ( 1
1 f t
y
M
t
t
)
(
)
(
1 01
0
M
f
t
f
t
M
)
1
(
)
(
)
(
1 0 (4)*Neáu nhỏ (1) phản ánh
chính xác nhanh , chậm viên bi thời điểm
*Từ đó, ta xem giới hạn tỉ số vận tốc tức thời thời điểm viên bi
Kí hiệu :
0
1
t
t
0
t
0
0
1) ( )
(
t t
t f t
f
0
1
t
t
t
0)
(
t
0v
0
0
)
(
)
(
lim
)
(
t
t
t
f
t
f
t
t
t
v
(5)*Nhiều vấn đề tóan học, vật lý, hóa học, sinh học dẫn đến tóan tìm giới hạn :
0
0
0
)
(
)
(
lim
x
x
x
f
x
f
x
x
*Trong toán học người ta gọi giới hạn đó, có hữu hạn ,là đạo hàm hàm số thời
(6)2 Đạo hàm hàm số điểm:
a) Khaùi nieäm :
Cho hàm số xác định khoảng (a; b) và điểm thuộc khoảng
Định nghóa :
)
(
x
f
y
0
x
Giới hạn hữu hạn, co,ù tỉ số khi gọi Đạo hàm hàm số cho điểm
0
0
)
(
)
(
x
x
x
f
x
f
0
x
0
x
x
Kí hiệu: hay
f
'(
x
0)
y
'(
x
0)
Nghóa laø: /
0 lim ( ) ( 0)x x
x f x
f x x
x f
(7)Nếu đặt thì:x x x0 y y y0
20 lim )
( )
(
lim 0 0
0 /
x y x
x
x f x
x f x
x f
Chuù yù:
1.Số gia gọi số gia biến số điểm
Số gia gọi số gia hàm số ứng với số gia điểm
2.Soá không thiết mang dấu dương
0
x x
x
x0
x
0x
f
x
0f
y
0
x
x
x
(8)b.Quy tắc tính đạo hàm
Muốn tính đạo hàm hàm số y = f (x ) điểm theo định nghĩa ta thực bước sau :
Bước 1: tính theo cơng thức:
trong số gia biến số điểm
0
x
x
y f
x0 x
f
x0x
x0Bước : Tìm giới hạn
x y
x
(9)Ví dụ 1:
Tính đạo hàm hàm số điểm y x2
x
0
2
Giải
Đặt , ta coù :f (x) x2
x0 x
f
x0 (2 x)2 22 x(4 x)f
y
4 )
4 ( lim
lim
x x x
y x
* Tính * Tính
Vaäy f '(2) 4
Nhận xét : Nếu hàm số y = f (x) có đạo hàm điểm liên
(10)5.Ý nghĩa hình học đạo hàm:
* Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C)
một điểm cố định thuộc (C) có hoành độ , với điểm M thuộc ( C) khác có hồnh độ hệ số góc của cát tuyến
Giả sử tồn giới hạn :
0
M
0
x M0
M x
M k
M M0
*Nếu có vị trí giới hạn M chạy (C) tới thì gọi tiếp tuyến đường cong điểm gọi là tiếp điểm.
M
M0 M0T
0
M T
M0
0
M
0
M
M M
k x x
k
0
lim
*Giả sử f có đạo hàm điểm , ta có :x0
/ x lim f (x ) f (x ) lim k k
f M
y (C)
f(x)
M y
f(x0) M0 H
O x
x0 x
(11)Nhận xét :
+ Đạo hàm hàm số hệ số góc tiếp tuyến với đồ thị (C) tại
) (x f
y
x
0)) (
;
( 0 0
0 x f x
M
+ Nếu hàm số có đạo hàm điểm tiếp tuyến đồ thị hàm số có phương
trình :
) (x f
y
x
0)) (
;
( 0 0
0 x f x
M
) (
) )(
( 0 0 0
' x x x f x
f
y
* Ví dụ : Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm có hồnh độ
y
x
3 x0 Ta có : f ‘ (-1) = f (-1) = -1 nên phương trình tiếp tuyến cần tìm :
(12)4 Ý nghĩa vật lý đạo hàm :
* Xét chuyển động chất điểm có quãng đường
là hàm số s= f(t) thời gian t
•Khi nhỏ tỉ số phản ánh chính xác độ nhanh chậm chuyển động thời điểm
t
t
t s t
t s
) ( )
( 0 0
0
t
•Giới hạn gọi vận tốc tức thời chuyển động thời điểm
t
t s t
t s t
t v
( ) ( )
0 lim )
( 0
0
0
t
Nhận xét : Vận tốc tức thời thời điểm chuyển động có phương trình s = s (t) đạo hàm hàm số s = s (t) điểm , tức :
) (t0
v
t
00
(13)II. Đạo hàm khoảng :
a Khái niệm :
1 . Hàm số y= f(x) gọi có đạo hàm (a; b) nếu có đạo hàm điểm x thuộc (a; b).
2 Nếu hàm số f có đạo hàm (a; b) hàm số f ’ xác.
định gọi đạo hàm cảu hàm số f )
( ) ; ( :
' '
x f x
R b
a f
* Ví dụ : Tìm đạo hàm hàm số khoảng
3
x
y
) ;
(
Giaûi:
Với x thuộc khoảng , ta có :
(
;
)
2
2 3 ) 3
3 ( lim lim
' y x x x x x
(14)a)Hàm số y = c có đạo hàm R y’ = 0 b)Hàm số y = x có đạo hàm R y’ = 1
c) Hàm số có đạo hàm R và
c) Hàm số có đạo hàm khoảng và
b.Đạo hàm số thường gặp :
) ,
(
x n N n
y n
1
'
nx
ny
x
y
x y
2 '
) ;
0
(
* Ví dụ : Tìm đạo hàm hàm số
y
x
4Giải: Với , ta có :