TOA DO TRONG K G

Viết PT mặt phẳng tiếp xúc với (S) tại các giao.. điểm đó.[r]

Lưu Phi Hoàng Phương Pháp Tọa Độ Trong Không Gian Chủ đề 7: TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

I) BIỂU THỨC TOẠ ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TỐN VECTƠ Định lí: Trong KG Oxyz, cho:

a( ; ; ),a a a1 3 b( ; ; )b b b1 3

a b(a b a1 1 2; b a2 3; b3) a b (a b a1 1 2;  b a2 3;  b3) ka k a a a ( ; ; ) ( ;1 3  ka ka ka1 2; 3) (k  R)

Hệ quả:

a b

a b a b

a b 1 2 3            

 Với b0:

           a kb a b cuøng phương k R a kb a kb 1 2 3 , : 

 Cho A x y z B x y z( ; ; ), ( ; ; )A A A B B B AB(xB  x yA; B y zA B;  zA)



*M trung điểm đoạn AB: M xA x yB; A y zB; A zB

2 2

    

 

 

II) TÍCH VƠ HƯỚNG

1 Biểu thức toạ độ tích vơ hướng

Định lí: Trong KG Oxyz, cho: a( ; ; ),a a a1 3 b( ; ; )b b b1 3 * a b a b a b. 1 1 2 2a b3 3

2 Ứng dụng

 a  a12a22a32  AB (x xB A) (2y yB A) (2 z zB A )2 

a b a b a b a b

a a a b b b

1 2 3 2 2 2 3

cos( , )

        

*a b a b a b1 1 2 2 a b3 30

VD1: Trong KG Oxyz, cho A(1;1;1), B(–1;2;3), C(0;4;–2).

a) Tìm toạ độ vectơ AB, AC, BC , AM (M trung điểm BC)

b) Tìm toạ độ vectơ: AC3AB

 

, AB 2AC

                           

c) Tính tích vơ hướng:  AB AC. , AB 2 AC

III)PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU

1.Định lí: Trong KG Oxyz, mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính r có phương trình: (x a )2(y b )2(z c )2 r2

VD1: Viết phương trình mặt cầu có tâm I(1; –2; 3) bán kính r = 5.

Giải: (x1)2(y2)2( 3)z 25

2.Nhận xét: Phương trình: x y z2 2 22ax by cz d2 2  0

với a2b2c2 d0 phương trình mặt cầu có tâm I(–a; –b; –c) bán kính r a2b2c2 d. VD3: Xác định tâm bán kính mặt cầu có phương trình:

a)(x 2)2(y1)2(z3)2 64 b)(x1)2(y 2)2(z 3)29

Lưu Phi Hoàng Phương Pháp Tọa Độ Trong Khơng Gian Tìm tâm bán kính mặt cầu có phương trình:

a) x2y2z2 8x 2y 1 b) x y z2 2 24 0x y z   

c) x y z2 2 2 4 0x y z    d) 3x23y23z2 6x8y15 0z  2 Lập phương trình mặt cầu:

a) Có đường kính AB với A(4; –3; 7), B(2; 1; 3) b) Đi qua điểm A(5; –2; 1) có tâm C(3; –3; 1) c)Đi qua A,B có tâm nằm trục ox,oy,oz d) Đi qua bốn điểm O(0,0,0),A,B,C

IV) PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG 1 Véc tơ Pháp tuyến mặt phẳng

Định nghĩa: Cho mp (P) Nếu vectơ n  0 có giá vng góc với (P) n đgl vectơ pháp tuyến (P). Chú ý: Nếu n VTPT (P) kn (k  0) VTPT (P).

Bài toán : Trong KG, cho mp (P) hai vectơ không phương a( ; ; )a a a1 3 , b( ; ; )b b b1 3 có giá song song nằm (P) Chứng minh (P) nhận vectơ sau làm VTPT:

a a a a a a n

b b b b b b

2 3 1

2 3 1

; ;

 

 

 

 



Vectơ n xác định đgl tích có hướng (hay tích vectơ) hai vectơ a b.Kí hiệu:

 

n a b, n a b  

Nhận xét:

 Tích có hướng hai vectơ vectơ  Cặp vectơ a, bở đgl cặp VTCP (P)

2.Phương trình tham số : có a a a a b b b br( , , ), ( , , )1 2 3 r 1 2 3 Cặp VTCP vàM x y z( , , )0 0 0 mp( ) khi

PTTS có dạng

   



  



   



x x a t b t y y a t b t z z a t b t

0 1 2 2 3

Dạng 1: Viết Phương Trình Mặt Phẳng qua M(x0;y0;z0) có VTPT n A B C( , , )



có phương trình là:

A(x- x0)+B(y- y0)+C(z-z0)=0

Dạng 2: Viết Phương Trình Mặt Phẳng qua M(x0;y0;z0) Song Song Với MP:Ax+By+Cz+D=0

VTPT n A B C( , , ) làm VTPT có phương trình là: A(x- x0)+B(y- y0)+C(z-z0)=0

Dạng 3: Viết phương trình mp(Q) qua A(1,2,1),B(0,1,2) vng góc với mp(P): x-2y+z+3=0   

AB ( 1, 1,1)

uuur

là VTCP mp(Q) vìmp Q( )mp P( )nên nhận VTPT mp(P) làm VTCP VTPT của

mp(Q)  

 

 

r uuur uur P

n AB n,

2.Cách chuyển dạng phương trình tổng quát sang dạng phương trình tham số:

Phương trình tổng quát mp có dạng: Ax + By + Cz + D = để chuyển sang dạng tham số, ta thực bước sau:

B1: Chọn điểm thuộc mp cách

- cho y=z=0 tìm x=? ta có điểm A(….)

- cho x=z=0 tìm y=? ta có điểm B(….)

- cho x=y=0 tìm z=? ta có điểm C(….)

B2: Kiểm tra lại uuur uuurAB AC, có phương hay khơng

B3: viết PTTS mp qua A nhận uuur uuurAB AC, làm VTCP

Lưu Phi Hoàng Phương Pháp Tọa Độ Trong Không Gian b) Qua A(2; 0; 0), B(0; 2; 0), C(0; 0; 2)

c) Mặt phẳng (Oxy) d) Mặt phẳng (Oyz)

VD2: viết phương trình tổng quát mp(P) trường hợp sau a) qua điểm A(2; –1; 3), B(4; 0; 1), C(–10; 5; 3)

b) qua điểm A(1,1,1) chứa trục Oz

c) qua M(-2,1,3) song song với mp: 2x+3y-5z+1=0

d) qua A(3; –1; 2), B(-2; 3; 1) vng góc với mặt phẳng: x-3y+2z-5=0 e) qua N(2,3,5) song song với mặt phẳng (Oxy)

Bài : Cho tứ diện ABCD với A6; 2;3 ,   B0;1;6 ,  C2;0; ,   D4;1;0

a) Viết PT mặt phẳng (ABC); (BCD). b) Viết PT mp() chứa AB song song CD.

c) Viết PT đt  qua A & vng góc với (BCD).Tìm tọa độ giao điểm chúng. Bài 1: Trong không gian Oxyz choA0;0;3 , 1;1;5 ,  B  C3;0;0 ,  D0; 3;0 

a) Tính diện tích tam giác ADC.

b) CMR : điểm A; B; C; D đồng phẳng.

Bài 3: Trong KG hệ tọa độ Oxyz; cho (S):x2y2z2 2x 4y6z0 a) Xác định tọa độ tâm tính bán kính (S).

b) Xét vị trí tương đối (S) mp(): x + y − z + k = tuỳ theo k.

c) Tìm tọa độ giao điểm (S) với  qua M1;1;1 ,  N2; 1;5  Viết PT mặt phẳng tiếp xúc với (S) giao

điểm BÀI 4:

Trong không gian Oxyz cho A(3;2;6);B(3; −1; 0); C(0;−7;0); D(−2; 1; −1) a/ Viết phưong trình măt phẳng (ABC)

b/ Tính góc đường thẳng (d) qua hai điểm A; D mp(ABC) BÀI 5(TN 05+06)

Trong không gian Oxyz; cho mặt cầu (S): 2 2 2 4 3 0

      

x y z x y z hai đthẳng

1

2

1

( ) : ; ( ) :

1 1

 

 

      

 

 



x t

x y z

y t

z t

1.Chứng minh: (1) (2) chéo

2.Viết pt tiếp diện mặt cầu (S); biết tiếp diện song song với (1) (2)

B PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

 Cho A(3;−2;−2) ; B(3;2;0) ; C(0;2;1) ; D( −1;1;2)

1/ Viết phương trình mp(BCD) Suy ABCD tứ diện Tính thể tích tứ diện ABCD Đáp số : (BCD) :x + 2y + 3z −7 = 0

2/ Viết ptmp  qua A   // (BCD) Đáp số :x + 2y + 3z + 7= 0

3/ Viết pt mp   qua A   vng góc với BC Đáp số : −3x + z + 11= 0

 Cho A(5;1;3) ; B(1;6;2) ;C(5;0;4) ; D(4;0;6)

1/ Viết pt mp   qua A ; B   // CD Đáp số :10x+9y+5z−74=0

2/ Viết ptmp trung trực   CD ; tìm toạ độ giao điểm E   với Ox.

Đáp số :−2x+4z−11=0 ; E(−11/2 ; ;0)

3/ Viết ptmp   qua A   // (Oxy) Đáp số :Z – 3= 0

 Cho A(4;−1;1) ; B(3;1;−1)

1/ Viết phương trình mp   qua A   chứa trục Oy Đáp số : x−4z=0

2/ Viết ptmp   qua A   vng góc với trục Oy Đáp số : y+1=0

Lưu Phi Hoàng Phương Pháp Tọa Độ Trong Không Gian

4/ Viết pt mp (P) qua B ; (P)    ; (P)  (Oxz) Đáp số : 4x+z−11=0

 Cho A(−1;6;0) ; B(3;0;−8) ; C(2;−3;0)

1/ Viết ptmp  qua A ; B ;C Đáp số : 12x+4y+3z−12=0

2/   cắt Ox ; Oy ; Oz M ; N; P Tính thể tích khối chóp OMNP Viết ptmp (MNP).

Đáp số : V= ; (MNP) : 12x+4y+3z−12=0

 Lập phương trình mp qua G( ; −1 ; 1) cắt trục tọa độ điểm A ; B ;C cho G trọng tâm tam giác ABC

 Lập phương trình mp qua H( ; −1 ; −3) cắt trục tọa độ điểm A; B ; C cho H trực tâm tam giác ABC

 Xác định n m để cặp mp sau song song :

1/ Cho   : 2x + ny + 3z −5 =0;   : mx −6y −6z +2 =0 Đáp số : m =4 ; n =3

2/ Cho   : 3x − y + nz −9 =0;   : 2x +my +2z −3 =0 Đáp số : m = −2/3 ; n = 3

 Cho mp : (1): 2x – y + 3z + = 0; (`2): x + y – z + =

1/ Viết pt mp (P) qua giao tuyến (1), (2) (P)  (3): 3x – y + =

Đáp số : −3x−9y+13z−33=0

2/ Viết pt mp (Q) qua giao tuyến (1), (2) (Q) song song với đường thẳng